(江苏省)2018年高中数学专题049月第一次周考(第二章函数、导数及其应用测试二——基本初等函数I)测试卷

1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).(2)二次函数的图象和性质(1)定义：一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图象过定点(1，1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 【知识拓展】1.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0. 2.幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性.(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( × )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数.( × )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )(4)函数122y x =是幂函数.( × )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( √ ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数.( × )1.(教材改编)若幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (9)＝________. 答案 27解析 设f (x )＝x α，则2α＝22， ∴α＝32，∴f (x )＝32x .∴f (9)＝329＝27.2.(教材改编)设α∈{－1，1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值和为__________. 答案 4解析 当α＝1，3时，函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数；当α＝－1时，y ＝1x 的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }；当α＝12时，y ＝12x ＝x 的定义域是{x |x ≥0}.∴满足题意的a 值为1和3，其和为4.3.(教材改编)函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝______. 答案 －3解析 f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28，由题意m4＝2，∴m ＝8，∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3.4.已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________. 答案 [1，2]解析 如图，由图象可知m 的取值范围是[1，2].5.(教材改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减. 答案 y ＝12x- (0，＋∞)解析 设f (x )＝x a ，则2a ＝22， ∴a ＝－12，即幂函数的解析式为y ＝12x -，单调减区间为(0，＋∞).题型一 求二次函数的解析式例1 (1)(2016·南京模拟)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式. 解 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2. ∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， 又f (x )的图象过点(4，3)， ∴3a ＝3，a ＝1，∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.思维升华 求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 答案 (1)x 2＋2x ＋1 (2)－2x 2＋4解析 (1)设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a ， 由已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1，∴a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴－a ＝－(－2ab)，即b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2，又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4. 题型二 二次函数的图象和性质 命题点1 二次函数的单调性例2 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是__________. 答案 [－3，0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件. 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3，0]. 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知a <0， 又3－a2a＝－1，∴a ＝－3. 命题点2 二次函数的最值例3 已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值. 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上 且对称轴为x ＝1a.①当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]内，∴f (x )在[0，1a ]上单调递减，在[1a ，1]上单调递增.∴f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a.②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]的右侧，∴f (x )在[0，1]上单调递减.∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下 且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a ，a ≥1.命题点3 二次函数中的恒成立问题例4 (1)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立. 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12.综上，实数a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－∞，12. (2)(2016·江苏徐州一中质检改编)若14t 2－kt －1≤0在t ∈[－1，1]上恒成立，求实数k 的取值范围.解 求二次函数f (t )＝14t 2－kt －1在给定区间[－1，1]上的最大值M ，二次函数f (t )的图象的对称轴为直线t ＝2k .①当2k ∈[－1，1]，即k ∈[－12，12]时，M ＝f (－1)或f (1)，由M ≤0，得f (－1)≤0且f (1)≤0，解得－34≤k ≤34，又k ∈[－12，12]，故－12≤k ≤12；②当2k <－1，即k <－12时，函数f (t )在[－1，1]上单调递增，故M ＝f (1)＝14－k －1，由M ≤0，得k ≥－34，又k <－12，故－34≤k <－12；③当2k >1，即k >12时，函数f (t )在[－1，1]上单调递减，故M ＝f (－1)＝14＋k －1，由M ≤0，得k ≤34，又k >12，故12<k ≤34.综上知，实数k 的取值范围为[－34，34].思维升华 (1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a的取值范围为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12. (2)已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2，a ]，求f (x )的最小值. 解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，∴应进行讨论，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1. 综上，当－2<a ≤1时，y min ＝a 2－2a ， 当a >1时，y min ＝－1. 题型三 幂函数的图象和性质例5 (1)若12(21)m +>122(1)m m +-，则实数m 的取值范围是__________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析 因为函数y ＝12x 的定义域为[0，＋∞) 且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1，解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12；解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2. 综上所述，m 的取值范围是5－12≤m <2. (2)已知函数f (x )＝x－m ＋3(m ∈N *)是偶函数，且f (3)<f (5)，求m 的值，并确定f (x )的函数解析式. 解 由f (3)<f (5)，得3－m ＋3<5－m ＋3，所以(35)－m ＋3<1＝(35)0.因为y ＝(35)x 是减函数，所以－m ＋3>0.解得m <3. 又因为m ∈N *，所以m ＝1或2； 当m ＝2时，f (x )＝x －m ＋3＝x 为奇函数，所以m ＝2舍去. 当m ＝1时，f (x )＝x－m ＋3＝x 2为偶函数，所以m ＝1，此时f (x )＝x 2.思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.(2016·盐城模拟)幂函数的图象经过点(4，2)，若0<a <b <1，则下列各式正确的是________.①f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b )②f (1a )<f (1b )<f (b )<f (a )③f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )④f (1a )<f (a )<f (1b )<f (b )答案 ③解析 设幂函数为f (x )＝x α，将(4，2)代入得α＝12，所以f (x )＝12x ，该函数在(0，＋∞)上为增函数， 又0<a <b <1，所以1a >1b >1，即a <b <1b <1a，所以f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a ).3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例 (14分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值. 思想方法指导 已知函数f (x )的最值，而f (x )图象的对称轴确定，要讨论a 的符号. 规范解答解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .[2分] (1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；[4分](2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；[9分](3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.[12分]综上可知，a 的值为38或－3.[14分]1.(教材改编)幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，4)，那么函数f (x )的单调递增区间是__________. 答案 [0，＋∞)解析 把点(2，4)代入函数解析式得4＝2α，所以α＝2，故f (x )＝x 2，所以函数的单调递增区间为[0，＋∞).2.(教材改编)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么f (－2)，f (0)，f (2)大小关系为____________. 答案 f (0)＜f (2)＜f (－2)解析 函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x ).可知函数f (x )图象的对称轴为x ＝12，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大. 3.已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是____________. 答案 [0，4]解析 由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)， 若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.4.若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是____________.答案 [32，3]解析 二次函数图象的对称轴为x ＝32且f (32)＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈[32，3].5.若a <0，(12)a 、(0.2)a 、2a 大小关系为__________.答案 (0.2)a >(12)a >2a解析 若a <0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是单调减函数，又∵0.2<12<2，∴(0.2)a >(12)a >2a .6.已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________. 答案 {1}解析 由定义域为R ，则x 2－2x ＋a ≥0恒成立.又值域为[0，＋∞)，则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点，所以Δ＝4－4a ＝0，则a ＝1，所以实数a 的取值集合为{1}. 7.(2016·连云港模拟)已知幂函数f (x )＝12x -，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________.答案 (3，5)解析 ∵幂函数f (x )＝12x -单调递减，定义域为(0，＋∞)，∴由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得3<a <5. 8.(2016·无锡模拟)已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________________.答案 [1，2]解析 作出已知函数的图象如图所示，当x ＝1时，y 最小，最小值为2；当x ＝2时，y ＝3；当x ＝0时，y ＝3.由图象知m 的取值范围是[1，2].*9.若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________. 答案 [0，2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞)，x 2＋ax －a ，x ∈(－∞，1)， x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2－ax ＋a ＝(x －a 2)2＋a －a 24， x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2＋ax －a ＝(x ＋a 2)2－a －a 24. ①当a 2>1，即a >2时，f (x )在[1，a 2)上单调递减， 在(a 2，＋∞)上单调递增，不合题意； ②当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意； ③当a 2<0，即a <0时，不符合题意. 综上，a 的取值范围是[0，2].10.若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ] (b >1)，则a ＋b ＝________. 答案 92解析 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即函数f (x )在[1，b ]上单调递增.∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，① f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ， ② 又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，∴a ，b 的值分别为32，3. ∴a ＋b ＝92. 11.(2016·江苏赣榆高级中学质检)设函数f (x )＝x 2－3x ＋a .若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为________.答案 (0，94] 解析 方法一 由f (x )＝0，得a ＝－x 2＋3x ＝－(x －32)2＋94. 因为x ∈(1，3)，所以－(x －32)2＋94∈(0，94]， 所以a ∈(0，94]. 方法二 因为f (x )＝x 2－3x ＋a ＝(x －32)2－94＋a ， 所以要使函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则需f (32)≤0且f (3)>0，解得0<a ≤94. 12.(2016·江苏淮阴中学期中)已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两个实数根是α，β，且有1<α<2<β<3，则实数a 的取值范围是__________.答案 (2，115) 解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)>0，f (2)<0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋a ＋2>0，4－4a ＋a ＋2<0，9－6a ＋a ＋2>0，解得2<a <115， 所以实数a 的取值范围为(2，115). 13.(2016·江苏泰州中学质检)已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ].若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为__________.答案 (0，1)∪{2}解析 因为f (x )＝(x －1)2＋a －1，且f (0)＝f (2)＝a ，当a －1≥－a ，即a ≥12时，此时恒有[a －1，a ]⊆[－a ，a ]，故t ∈(0，2]，从而它的最大值为2；当a －1<－a ，即0<a <12，此时t ∈(0，1)且t 2－2t ＋a ≥－a 在0<a <12上恒成立，即t ≥1＋1－2a (不成立，舍去)或t ≤1－1－2a ，由于0<a <12，故t ∈(0，1). 综上，g (a )的值域为(0，1)∪{2}.14.已知幂函数f (x )＝223mm x --(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调减函数.(1)求函数f (x )；(2)讨论F (x )＝a f (x )－b xf (x )的奇偶性. 解 (1)∵f (x )是偶函数，∴m 2－2m －3应为偶数.又∵f (x )在(0，＋∞)上是单调减函数，∴m 2－2m －3<0，－1<m <3.又m ∈Z ，∴m ＝0，1，2.当m ＝0或2时，m 2－2m －3＝－3不是偶数，舍去；当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，∴m ＝1，即f (x )＝x －4. (2)F (x )＝a x 2－bx 3，∴F (－x )＝a x 2＋bx 3. ①当a ≠0且b ≠0时，函数F (x )为非奇非偶函数；②当a ≠0且b ＝0时，函数F (x )为偶函数；③当a ＝0且b ≠0时，函数F (x )为奇函数；④当a ＝0且b ＝0时，函数F (x )既是奇函数，又是偶函数.。

导数及其应用一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知直线kx y =是曲线x y ln =的切线,则直线kx y =经过点 （ ） A ．)1,(-eB ．)1,(eC ．)1,1(-eD ．)1,1(e2.已知函数1)(+-=mx e x f x 的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线x y 21=垂直的切线，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．21-≤mB ．21-＞m C ．2≤m D ．2＞m3.若2()cos f x x α=-,则'()f α等于 A ．2sin αα+B ．cos αC ．sin αD ．2sin αα-4.曲线2)(3-+=x x x f 上点0P 处的切线垂直于直线x y 41-=，则点P 0的坐标是 （ ） A ．)0,1(-B ．)2,0(-C ．)4,1(--或)0,1(D ．)4,1(5.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为t t t s 833123+-=，那么速度为零的时刻是 （ ） A ．1秒 B ．1秒末和2秒末 C ．4秒末D ．2秒末和4秒末6.函数3()21(0)f x ax x a =++≠在x=1处的切线方程为0x y m +-=,则实数a 等于 A 1 B -1 C-2 D 37.函数)(x f 的导函数为)(x f '，对任意的R x ∈都有)()(2x f x f >'成立，则A ．)3ln 2(2)2ln 2(3f f >B ．)3ln 2(2)2ln 2(3f f <C ．)3ln 2(2)2ln 2(3f f =D ．)2ln 2(3f 与)3ln 2(2f 的大小不确定 8.已知点P 是曲线13+-=x x e e y 上一动点，α∠为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α∠的最小值是 （ ） A ．0 B ．4π C ．32πD ．43π9.已知函数)(x f y =，（x ∈R ）上任一点))(,(00x f x 处的切线斜率200)1)(3(+-=x x k ，则该函数的单调递增区间为 （ ）A ．[)+∞,3B ．(]3,-∞C ．(]1,--∞ D ．[)+∞-,1 10.函数)(x f 的导函数图像如图所示，则函数)(x f 的极小值点个数有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11.已知函数)(x f 的导函数为)(x f '，满足3)2(2)(x f x x f +'=，则)2(f '等于A ．8-B ．12-C ．8D ．1212.定义在R 上的函数()f x 满足f （4）=1，f （x ）为f （x ）的导函数，已知函数y=f′（x ）的图象如图所示．若正数a ，b 满足f （2a+b ） <1，则22a b ++的取值范围是A ．（1,23）B ．（1,)(3,)2-∞+∞C ．1(,3)2D ．（,3)-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13.函数233x x y -=在x 等于 处取得极小值． 14.x x y cos 21-=的单调递减区间为 ； 15.曲线x x y tan 1tan +=在点)21,4(πM 处的切线的斜率为 ．16.直线x y =是曲线kx y sin =的一条切线，则符合条件的一个实数值 ．三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.（本题满分14分）已知函数（1）求函数在上的最大值和最小值； （2）求证：在区间上，函数的图象在的图象的下方。

专题3.3 导数的综合应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【2017课标3，理11改编】已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =_________【答案】12【解析】2. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】()53,44--【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,0,0f f m ><<，解得51534244m m >->⇒-<<- 3. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】若函数()y f x =的定义域为R ，对于x R ∀∈，'()()f x f x <，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()xf x e <的解集为 ． 【答案】(0,)+∞ 【解析】试题分析：令()()x f x g x e =，则()()()0xf x f xg x e'-'=<，因为(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)(0)(2)1g(0)1f x f x f f +=-+⇒==⇒=，因此()()1(0)0x f x e g x g x <⇒<=⇒>4. 【2017届高三七校联考期中考试】若()1ln ,(),0xexf x x a xg x a e =--=<，且对任意[]()1212,3,4,x x x x ∈≠121211|()()|||()()f x f xg x g x -<-的恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】22[3,0)3e - 【解析】则()'21()10xe x a h x x ex-=--≤在(3,4)x ∈上恒成立，[]11,3,4x x e a x e x x --∴≥-+∈恒成立 令[]11(),3,4x x e u x x ex x--=-+∈，[]21112(1)113'()11,3,424x x x e x u x ee x x x ---⎡⎤-⎛⎫∴=-+=--+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 21211331,'()0244x e e u x x -⎡⎤⎛⎫-+>>∴<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q ，()u x ∴为减函数，()u x ∴在[]3,4x ∈的最大值为22(3)33u e =-综上，实数a 的取值范围为22[3,0)3e -.5. f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则af (b )与bf (a )的大小关系为________．【答案】af (b )≤bf (a )【解析】∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫f x x ′＝xfx －f x x 2≤－2fxx 2≤0.则函数f x x在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f a a≥f b b.即af (b )≤bf (a )．6.设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，127.电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 【答案】40【解析】由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0； 当x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值．8.函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)【解析】f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，即函数f (x )恰有两个极值点，即f ′(x )＝0有两个不等实根．∵f (x )＝ax 3＋x ，∴f ′(x )＝3ax 2＋1. 要使f ′(x )＝0有两个不等实根，则a <0.9.函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．【答案】2110.设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2x e x ，对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，不等式g x 1k ≤f x 2k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________． 【答案】[1，＋∞)解析】因为对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)， 不等式g x 1k≤f x 2k ＋1恒成立，所以kk ＋1≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤g x 1f x 2max . 因为g (x )＝e 2xex ，所以g ′(x )＝(x e 2－x )′＝e 2－x ＋x e 2－x ·(－1)＝e 2－x (1－x )． 当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0， 所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e ； 因为f (x )＝e 2x 2＋1x，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝e 2x ＋1x ≥2e，当且仅当e 2x ＝1x，即x ＝1e时取等号，故f (x )min ＝2e.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤g x 1f x 2max ＝e 2e ＝12. 所以kk ＋1≥12.又因为k 为正数，所以k ≥1.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。

[A銀恳社达标]（时间：40分钟）1・[2017・泰安检测]若泵函数y = 3，—3加十3）*4" 的图象不过原点，则机的取值是（）A. —1 W/nW2 m = 1 或加=2C ・/H— 2D ・"7 — 1解析由幕函数性质可知nr - 3m+ 3=1 ,・•・m = 2或n =1 •又幕函数图象不过原点，・•・n? -也一 2 W0 ,即一lWmW2, ••・也=2 或m —1.2. [2017-沧州质检]如果函数J{x)=x2 + hx+c对任憲的都有/(x+l)=/(—x),那么( )A. A-2)<A0)<7(2) B・ J<O)<A —2)</(2)C・求2)今(0)5 — 2) 少人0)今(2)今:一2)解析由/（1十对- N）知./U）的图象关于直线对称°又抛物线7U）开口向上，/＜.A0）＜A2）＜A - 2）.取值范围为（）訂一生+85，23 B. (It +8)3・已矢口帝函数fix）=x a9当x>l时，恒有./U）vs 贝IJ仪的取值范围是（）A. (0,1) 歹(一8, 1)C. (0, 4-oo)D. (—8, 0)解析当X>1时，恒有工）VY,即当X>1时，函数几V）=屮的图象在J=X 的图象的下方，作出幕函数./（X）= x a在第一象限的图象，由图象可知QV1时满足题意，故选B.4.方程X2+«X-2= 0在区间［1,5］上右根，则丈数“的235，5解析解法一:令/(.¥)= X 2 + OX — 2,由题意知的图象与X 轴在［X5］上有交点.又人0)= - 2vO,5・［2016•上海静安期末］已知函数JM=—X 2 + 4X , xe ［m,5］的值域是［ — 5,4］,则实数m 的取值范围是()A ・( — 8, —1)B ・(—1,2］解析 二次函数/(x) = -/ + 4尢的图象是开口向下的抛物线，最大值为4,且在x = 2时取得，而当x = 5或- 1时, /(X )= -5,结合图象可知"2的取值范围是［-1,2］・憎囂即｛23即方程 而函数° [72]D ・ |2,5)6・己矢「函数/U)=F+2S+2在[—5,5]上是单凋函数, 则实数a的取值范围是(一8，—5]U|5, +8).解析.心0 = (x + “)'+ 2-"，图象的对称轴为兀=-a 由题意可知-“三5或- oW-5,解得G W-5或aM5.7・[2014•江苏高考]已知函数/U)=x2 + /n.r—1 , 若対于任意x^[m. m+1],都有./U)v0成立，则实数/”的取值范解析由题可得./U)v0对于xe [m.1]恒成立，即8・[2016-北京西城模拟]己知函数fix)=x 2 , OWxWg .卩+匸一2 Wxv(),其中0().那么/U)的零点是一1和° ：若勺值域是一2 ,贝ij c的取值范I I；I是((21解桁当OWxWc时，由兀吉=0得X = O・当-2WxvO时，由，+兀=(),得乂= - 1,所以函数零点为- 1和()•当OWxWc 时，Jlx)=.」，所以OW/MW蚯;当一2Wxv()时，/(x) = x2 + x = (x+ 所以此时-亦W/(x)W2.若/(X)的值域是一£ 2,则有&W2,即O v「W4,即c的取值范围是(0,4].9. 己矢口函数/(x) = ax2 + bx+\ (a 9 heR), x^R.（1）若函数/U）的最小值为人一i）=（）,求yu）的解析式,并写出单调IX | HJ :（2）在（1）的条件下,f［x）>x + k在|><」可［—3, —1］上恒成立, 试求上的取值范围.解（1）由题意得- 1）= 0-” + 1 =0, aHO、且-昜=-1 ,・•・a = 1, b = 2. .'./(AT)= F + 2x + 1 ,单调减区间为(- 8, -1］,单调增区间为［- 1, +8).(2)/(x)>.r + * 在区间［- 3, - 1］J L恒成立、转化为/ + .丫 + I>A：在区间［-3, - 1］上恒成立.设gM x2x 1, *€［-3‘- 1］>则*(x)在［-3、- 1］上递减.・•・ g(X)m in = g(- 1) = 1 •・・・处1,即k的取值范围为(一 8, 1).10・[2017-运城模扌以]己知xe[ —1,1]B 寸，用)=兀2—占+号 ＞0恒成立，求实数。

3.2 导数的应用第1课时导数与函数的单调性1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值(1)求函数y＝f(x)的极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：第一步求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.【知识拓展】1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零.3.对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( × )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( √ ) (3)函数的极大值不一定比极小值大.( √ )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件.( × ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( √ ) (6)三次函数在R 上必有极大值和极小值.( × )1.(教材改编)f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间为 . 答案 (0,4)解析 f ′(x )＝3x 2－12x ＝3x (x －4)， 由f ′(x )<0，得0<x <4， ∴单调递减区间为(0,4).2.(教材改编)函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为 . 答案 (π3，π)解析 令f ′(x )＝1－2cos x >0，得cos x <12，又x ∈(0，π)，所以π3<x <π.3.(教材改编)函数y ＝3x 3－9x ＋5的极大值为 . 答案 11解析 y ′＝9x 2－9.令y ′＝0，得x ＝±1. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：从上表可以看出，当x ＝－1时，函数y 有极大值， 3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.4.(2016·苏中八校联考)函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为 . 答案 (0,1)解析 函数的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令f ′(x )<0，得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1).5.设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是 . 答案 (－∞，－1)解析 ∵y ＝e x＋ax ，∴y ′＝e x＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵当x >0时，－e x <－1， ∴a ＝－e x<－1.第1课时 导数与函数的单调性题型一 不含参数的函数的单调性例1 (1)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为 .(2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是 .答案 (1)(0,1) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 解析 (1)y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2－1x＝x －x ＋x(x >0).令y ′<0，得0<x <1，∴单调递减区间为(0,1). (2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.思维升华 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.(1)函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为 .(2)已知函数f (x )＝x ln x ，则下面关于函数f (x )单调性的判断正确的是 . ①在(0，＋∞)上递增； ②在(0，＋∞)上递减； ③在(0，1e)上递增；④在(0，1e)上递减.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ (2)④ 解析 (1)由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 当f ′(x )>0时，解得x >1e，即函数的单调递增区间为(1e ，＋∞)；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为(0，1e ).题型二 含参数的函数的单调性例2 (2016·江苏新海中学月考改编)已知函数f (x )＝2x 3＋32tx 2－3t 2x ＋t －12(t ≠0)，求f (x )的单调区间.解 f ′(x )＝6x 2＋3tx －3t 2＝3(2x －t )(x ＋t ). 令f ′(x )＝0，得x ＝－t 或x ＝t2.∵t ≠0，以下分两种情况进行讨论： ①若t <0，则t2<－t .由f ′(x )>0，得x <t2或x >－t ；由f ′(x )<0，得t2<x <－t .②若t >0，则t2>－t .由f ′(x )>0，得x <－t 或x >t2；由f ′(x )<0，得－t <x <t2.∴当t <0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，t 2)，(－t ，＋∞)，单调递减区间为(t2，－t )；当t >0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－t )，(t 2，＋∞)，单调递减区间为(－t ，t2).思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数.讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性.解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a2a，则当x ∈(0, 1－a2a)时，f ′(x )<0；当x ∈(1－a2a ，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0, 1－a2a)上单调递减，在( 1－a2a，＋∞)上单调递增.题型三 已知函数单调性求参数例3 (2016·南通模拟)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0).(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围. 解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解.设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min 即可.而G (x )＝(1x－1)2－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1，即a 的取值范围为(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1,4]上单调递减得，当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立.所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝(1x－1)2－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈[14，1]，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，即a 的取值范围是[－716，＋∞).引申探究1.本题(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围. 解 由h (x )在[1,4]上单调递增得， 当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立， 即当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x恒成立，又当x ∈[1,4]时，(1x 2－2x)min ＝－1(此时x ＝1)，∴a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1].2.本题(2)中，若h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围. 解 h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 则h ′(x )<0在[1,4]上有解， 即当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x有解，又当x ∈[1,4]时，(1x 2－2x)min ＝－1，∴a >－1，即a 的取值范围是(－1，＋∞). 思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解. (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.已知函数f (x )＝e xln x －a e x(a ∈R ).(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1e x ＋1垂直，求a 的值；(2)若f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x －a e x ＝(1x－a ＋ln x )e x，f ′(1)＝(1－a )e ，由(1－a )e·1e＝－1，得a ＝2.(2)由(1)知f ′(x )＝(1x－a ＋ln x )e x，若f (x )为单调递减函数，则f ′(x )≤0在x >0时恒成立. 即1x－a ＋ln x ≤0在x >0时恒成立.所以a ≥1x＋ln x 在x >0时恒成立.令g (x )＝1x＋ln x (x >0)，则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2(x >0)，由g ′(x )>0，得x >1； 由g ′(x )<0，得0<x <1.故g (x )在(0,1)上为单调递减函数，在(1，＋∞)上为单调递增函数，此时g (x )的最小值为g (1)＝1，但g (x )无最大值(且无趋近值).故f (x )不可能是单调递减函数. 若f (x )为单调递增函数，则f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即1x－a ＋ln x ≥0在x >0时恒成立，所以a ≤1x＋ln x 在x >0时恒成立，由上述推理可知此时a ≤1.故实数a 的取值范围是(－∞，1].5.用分类讨论思想研究函数的单调性典例 (16分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，其中函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.思想方法指导 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：(1)方程f ′(x )＝0是否有根；(2)若f ′(x )＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；(3)若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法. 规范解答解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ， 则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b .[2分]由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴， 得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a －1.[4分](2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－a ＋x ＋1x＝ax －x －x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )>0，得0<x <1； 由g ′(x )<0，得x >1.[8分] 当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，[9分]若12a <1，即a >12， 由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a ，由g ′(x )<0，得12a <x <1；[11分]若12a >1，即0<a <12， 由g ′(x )>0，得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a；若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0. [14分]综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，12a )上单调递减，在(12a ，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在(0，12a )上单调递增，在(12a，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.[16分]1.(2015·课标全国Ⅱ改编)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 . 答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0. 当x ≠0时，令g (x )＝f xx， 则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0. 则当x ＞0时，g ′(x )＝[f xx]′ ＝xfx －f xx 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数. 所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0 ⇔f x x ＞0⇔f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，g (x )＜g (－1)＝0⇔f xx＜0⇔f (x )＞0.综上，知使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1).2.已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的 条件.答案 充分不必要解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件. 3.在区间(－1,1)内不是增函数的函数是 . ①y ＝e x＋x ； ②y ＝sin x ；③y ＝x 3－6x 2＋9x ＋2； ④y ＝x 2＋x ＋1. 答案 ④解析 ①y ＝e x ＋x ，y ′＝e x＋1>0，在区间(－1,1)内是增函数； ②y ＝sin x ，y ′＝cos x ，在区间(－1,1)内是增函数；③y ＝x 3－6x 2＋9x ＋2，y ′＝3x 2－12x ＋9＝3(x －2)2－3，在区间(－1,1)内是增函数； ④y ＝x 2＋x ＋1，y ′＝2x ＋1，在区间(－12，1)内y ′>0，在区间(－1，－12)内y ′<0，在区间(－1,1)内不单调.4.已知函数y ＝f (x )在定义域[－4,6]内可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为 .答案 [－43，1]∪[113，6]解析 不等式f ′(x )≤0的解集即函数y ＝f (x )的减区间，由题图知y ＝f (x )的减区间为[－43，1]，[113，6]，故f ′(x )≤0的解集为[－43，1]∪[113，6].5.(2017·江苏扬州中学月考)若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是 . 答案 [12，＋∞)解析 f ′(x )＝2mx ＋1x －2，由题意知，f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m ≥－1x 2＋2x在(0，＋∞)上恒成立，令t ＝1x>0，则2m ≥－t 2＋2t ，又∵(－t 2＋2t )max ＝1，∴2m ≥1，∴m ≥12.6.定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则12e ()x f x 与21e ()x f x 的大小关系为 . 答案 1221e ()e ()x x f x f x ＞ 解析 设g (x )＝f xe，则g ′(x )＝f xx－f xx＝f x －f xe，由题意得g ′(x )>0，所以g (x )单调递增，当x 1<x 2时，g (x 1)<g (x 2)，即1212()()e ex x f x f x ＜， 所以1221e ()e ()x x f x f x ＞.7.(2016·苏州模拟)若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为(－1,3)，则b ＋c ＝ . 答案 －12解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <3是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集， ∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根， ∴b ＝－3，c ＝－9，b ＋c ＝－12.8.(2016·无锡模拟)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是 .①f (b )>f (c )>f (d ) ②f (b )>f (a )>f (e ) ③f (c )>f (b )>f (a ) ④f (c )>f (e )>f (d ) 答案 ③解析 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数， 因为a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，因此③正确.9.若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在[23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 . 答案 (－19，＋∞)解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a .当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19， 所以a 的取值范围是(－19，＋∞).10.(2016·全国甲卷改编)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是 .答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 解析 ∵函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0，即a cos x ≥43cos 2x －53在(－∞，＋∞)恒成立.当cos x ＝0时，恒有0≥－53，得a ∈R ；当0<cos x ≤1时，得a ≥43cos x －53cos x ，令t ＝cos x ，f (t )＝43t －53t 在(0,1]上为增函数，得a ≥f (1)＝－13；当－1≤cos x <0时，得a ≤43cos x －53cos x ，令t ＝cos x ，f (t )＝43t －53t 在[－1,0)上为增函数，得a ≤f (－1)＝13.综上，可得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13. 11.(2016·江苏南京十三中月考)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0). (1)讨论f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1,2)上是增函数，求a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)， ∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，令f ′(x )＝0，即3ax 2＋6x ＋3＝0，则Δ＝36(1－a ). ①当a ≥1时，Δ≤0，f ′(x )≥0，∴f (x )在R 上是增函数； ②当a <1且a ≠0时，Δ>0，f ′(x )＝0有两个根，x 1＝－1＋1－aa，x 2＝－1－1－aa.(ⅰ)当0<a <1时，易知当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故函数f (x )在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)上是增函数，在(x 2，x 1)上是减函数；(ⅱ)当a <0时，易知当x ∈(－∞，x 1)或x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0，当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0， 故函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是减函数， 在(x 1，x 2)上是增函数.(2)当a >0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3>0(x ∈(1,2))， 故a >0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数， 当a <0时，由f (x )在区间(1,2)上是增函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧f，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋9≥0，12a ＋15≥0，解得a ≥－54，所以－54≤a <0.综上，a 的取值范围是[－54，0)∪(0，＋∞).12.已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x(x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2(x >0). 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去. 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(5，＋∞)内为增函数.综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5). 13.已知函数f (x )＝13x 3－a 2x 2.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a ). ①当a ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0恒成立， ∴f (x )在R 上单调递增.②当a >0时，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )的增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，减区间为(0，a ).③当a <0时，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )>0；当x ∈(a,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )的增区间为(－∞，a )，(0，＋∞)，减区间为(a,0). (2)∵g (x )＝13x 3－a 2x 2＋2x ，∴g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即当x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x)max ＝－22即可.所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22).。

1.分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1).正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定m na＝1m na(a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理数指数幂的运算性质：a s a t ＝a s ＋t ，(a s )t ＝a st ，(ab )t ＝a t b t ，其中s ，t ∈Q ，a >0，b >0.2.指数函数的图象与性质1.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，(－1，1a ).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为mn 个a 相乘.( × )(3)24(1)-＝12(1)-＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x 是R 上的增函数.( × )(5)函数y ＝21x a +(a >1)的值域是(0，＋∞).( × )(6)函数y ＝2x－1是指数函数.( × )1.(教材改编)若函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过点P (2，12)，则f (－1)＝________.答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝(22)x ，所以f (－1)＝(22)－1＝ 2. 2.(2016·苏州模拟)已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为________. 答案 (2，3)解析 由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2，3).3.已知113344333(),(),()552a b c ---===则a ，b ，c 的大小关系是______________.答案 c <b <a解析 ∵y ＝(35)x 是减函数，11034333()()(),555--∴＞＞即a >b >1，又c ＝343()2-<(32)0＝1，∴c <b <a .4.计算：133()2-×⎝⎛⎭⎫－760＋148×42________. 答案 2解析 原式＝132()3×1＋131344222()3⨯-＝2.5.若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式： (1)122.553[(0.064)]-－3338－π0；(2)41233322338(4a a b ab a--÷-+.解 (1)原式＝121553326427{[()]}()110008---1521()33523343[()][()]1102⨯-⨯=--＝52－32－1＝0. (2)原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a aa ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅ 51116333111336(2)2a a a a b a ba=-⨯⨯-12233.a a a a =⨯⨯=思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.化简1213321()4(0.1)()a b ---⋅⋅＝________.答案 85解析 原式＝2×333223322210a b a b--⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝85.题型二 指数函数的图象及应用 例2 已知f (x )＝|2x －1|. (1)求f (x )的单调区间； (2)比较f (x ＋1)与f (x )的大小；(3)试确定函数g (x )＝f (x )－x 2的零点的个数.解 (1)由f (x )＝|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，1－2x，x <0可作出函数的图象如图所示.因此函数f (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增.(2)在同一坐标系中，分别作出函数f (x )、f (x ＋1)的图象如图所示.由图象知，当0012112x x +-=-，即x 0＝log 223时，两图象相交，由图象可知，当x <log 223时，f (x )>f (x ＋1)；当x ＝log 223时，f (x )＝f (x ＋1)；当x >log 223时，f (x )<f (x ＋1).(3)将g (x )＝f (x )－x 2的零点个数问题转化为函数f (x )与y ＝x 2的图象的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )＝|2x －1|和y ＝x 2的图象(图略)，有四个交点，故g (x )有四个零点.思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(0≤x <1)，2x －12(x ≥1)，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是______. 答案 [34，2)解析 函数的图象如图所示.因为a >b ≥0，f (a )＝f (b )，所以0.5≤b <1且1.5≤f (a )<2.所以0.75≤bf (a )<2.题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 指数函数单调性的应用例3 (1)(2016·徐州模拟)下列各式比较大小正确的是________. ①1.72.5>1.73; ②0.6－1>0.62；③0.8－0.1>1.250.2;④1.70.3<0.93.1.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)② (2)(－3，1)解析 (1)②中，∵y ＝0.6x 是减函数， ∴0.6－1>0.62.(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为(12)a －7<1，即(12)a <8，即(12)a <(12)－3， 所以a >－3.又a <0，∴－3<a <0. 当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1. 所以0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3，1).命题点2 复合函数的单调性 例4 (1)已知函数f (x )＝|2|2x m －(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________. (2)函数2211()()2x x f x -++=的单调减区间为________________________________________________________________________. 答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减.而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4].(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数，∴函数f (x )＝2211()2x x -++的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间.又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]. 引申探究 函数f (x )＝4x －2x＋1的单调增区间是________.答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x ，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)， 令2x ≥1，得x ≥0， ∴函数f (x )＝4x －2x＋1的单调增区间是[0，＋∞).命题点3 函数的值域(或最值)例5 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________. 答案 (1)⎣⎡⎦⎤34，57 (2)13或3 解析 (1)因为x ∈[－3，2]， 所以若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8， 故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57. (2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[1a ，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增， 所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去). 当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[a ，1a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a ]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13.思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(12)x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________.答案 (1)[－3，0) (2)0解析 (1)当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8，1]， 当a ≤x ＜0时，f (x )∈[－(12)a ，－1)，所以[－12a ，－1)[－8，1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，所以实数a 的取值范围是[－3，0).(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.2.指数函数底数的讨论典例 (2016·南京模拟)已知函数22xxy b a +=+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52， 则a ，b 的值分别为________.错解展示解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵－32≤x ≤0，∴－1≤t ≤0.∵1a ≤a t ≤1，∴b ＋1a ≤b ＋a t ≤b ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.答案 2，2 现场纠错解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵x ∈[－32，0]，∴t ∈[－1，0].①若a >1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为增函数， ∴a t∈[1a ，1]，22x xb a ++∈[b ＋1a，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.②若0<a <1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为减函数， ∴a t ∈[1，1a ]，则22x xb a++∈[b ＋1，b ＋1a]，依题意得⎩⎨⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎨⎧a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝32.答案 2，2或23，32纠错心得 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.1.(2016·苏州模拟)设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为________.答案 27解析 ∵2x ＝8y ＋1＝23(y＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y ，∴x －9＝2y ， 解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27. 2.函数f (x )＝2|x －1|的图象是________.答案 ②解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除③、④. 又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除①.3.已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则a ，b ，c 的大小关系为__________. 答案 a >b >c解析 由0.2<0.8，底数0.4<1知，y ＝0.4x 在R 上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b >c . 又a ＝40.2>40＝1，b ＝0.40.2<1， 所以a >b ，综上，a >b >c .4.已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为__________.答案 [1，9]解析 由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x－2在[2，4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.5.(2015·山东改编)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为__________. 答案 (0，1)解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a，整理得(a －1)(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3，当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1； 当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解. ∴x 的取值范围为(0，1).6.(2016·浙江改编)已知函数f (x )满足f (x )≥2x ，x ∈R .若f (a )≤2b ，则a ，b 的大小关系为________. 答案 a ≤b解析 依题意得f (a )≥2a ，若f (a )≤2b ，则2a ≤f (a )≤2b ，∴2a ≤2b ， 又y ＝2x 是R 上的增函数，∴a ≤b .7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，13x ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.答案 (－∞，8]解析 当x <1时，由e x －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1时恒成立；当x ≥1时，由13x ≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.8.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________. 答案 (0，12)解析 (数形结合法)由图象可知0<2a <1，∴0<a <12.9.(2016·镇江模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________.答案 [－14，14] 解析 设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0<t ≤1， f (t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14. ∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14]. ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈[－14，0]. 故函数的值域为[－14，14]. 10.已知函数f (x )＝2ax ＋2(a 为常数)， (1)求函数f (x )的定义域；(2)若a >0，试证明函数f (x )在R 上是增函数；(3)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )，x ∈(－1，3]的值域.(1)解 函数f (x )＝2ax ＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R .(2)证明 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，由a >0，得ax 1＋2<ax 2＋2.因为y ＝2x 在R 上是增函数，所以有122222ax ax ++，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )在R 上是增函数.(3)解 由(2)知，当a ＝1时，f (x )＝2x ＋2在(－1，3]上是增函数.所以f (－1)<f (x )≤f (3)，即2<f (x )≤32.所以函数f (x )的值域为(2，32].11.已知函数f (x )＝(23)|x |－a . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值. 解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t ， 不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的， 因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞).(2)由于f (x )的最大值是94且94＝(23)－2， 所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.12.已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝2431()3x x --+， 令t ＝－x 2－4x ＋3，由于函数t ＝－x 2－4x ＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1， 即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2). (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值.解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3 ＝(12)2x －2λ·(12)x ＋3(－1≤x ≤2).设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2). 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3 ＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2). 所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34. 所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34， 故函数f (x )的值域为[34，3716]. (2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)， ①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916， 令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14，不符合舍去； ②当14<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3， 令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合舍去)； ③当λ>2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合舍去. 综上所述，实数λ的值为 2.14.(2017·江苏淮阴中学月考)已知f (x )＝23x＋1＋m ，m 是实常数. (1)当m ＝1时，写出函数f (x )的值域；(2)当m ＝0时，判断函数f (x )的奇偶性，并给出证明；(3)若f (x )是奇函数，不等式f (f (x ))＋f (a )<0有解，求a 的取值范围.解 (1)当m ＝1时，f (x )＝23x ＋1＋1，定义域为R ， 3x ＋1∈(1，＋∞)，则23x ＋1∈(0，2)， 所以f (x )＝23x ＋1＋1∈(1，3)， 即当m ＝1时，函数f (x )的值域为(1，3).(2)当m ＝0时，f (x )为非奇非偶函数.证明如下 ：当m ＝0时，f (x )＝23x＋1，f (1)＝24＝12， f (－1)＝213＋1＝32， 因为f (－1)≠f (1)，所以f (x )不是偶函数；又因为f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数.故f (x )为非奇非偶函数.(3)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )恒成立，即23－x＋1＋m ＝－23x ＋1－m 对x ∈R 恒成立， 化简整理得－2m ＝2×3x 1＋3x ＋23x ＋1，即－2m ＝2，所以m ＝－1. 下面用定义法研究f (x )＝23x ＋1－1的单调性. 任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝1222113131x x --+++ 21212(33)0(31)(31)x x x x -=++＞， 所以f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上单调递减.所以f (f (x ))＋f (a )<0有解，且函数f (x )为奇函数，所以f (f (x ))<－f (a )＝f (－a )，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (x )>－a 有解，又易求函数f (x )＝23x ＋1－1的值域为(－1，1)，所以－a <1，即a >－1.。