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高考数学解题技巧（每周一计.整理版） 每周一计第一计——恒成立问题的处理策略恒成立问题一直以来都有是数学中的一个重点、难点，这类问题也没有一个固定的思想方法去处理，各类考试以及高考中都屡见不鲜。
如何更好地简单，准确，快速解决这类问题并更好地认识把握，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。
一 转化为二次函数，利用分类讨论思想直接处理例1． 已知函数f(x)=x 2-2ax+4在区间[-1，2] 上都不小于2，求a 的值。
解：由函数f(x)=x 2-2ax+4的对称轴为x=a所以必须考察a 与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论 1．当a ≥2时f(x)在[-1，2]上是减函数此时min )(x f = f(2)=4-4a+42≥ 即a 23≤结合a ≥2，所以a 的解集为φ 2．当a 1-≤ 时 f(x)在[-1，2]上是增函数，min )(x f = f(-1)=1+2a+42≥结合a 1-≤ 即123-≤≤-a 3．当-1<a<2时 m i n )(x f = f(a)=a 2-2a 2+4 2≥ 即≤-2a 2≤所以21≤<-a综上1，2，3满足条件的a 的范围为：223≤≤-a 二 确定主元，构造函数，利用单调性简单处理例2．对于满足0≤a ≤4的所有实数a 求使不等式x 2+ax>4x+a-3都成立的x 的取值范围。
解：不等式变形为x 2+(x-1)a-4x+3>0设f(a)= (x-1)a+x 2-4x+3，则其是关于a 的一个一次函数：是单调函数结合题意有⎩⎨⎧>>0)0(0)4(f f 即 得1-<x 或3>x 三 利用不等式性质快速处理例3．若关于x 的不等式|x-2|+|x+3|≥a 恒成立，试求a 的范围解：由题意知只须min )32(++-≤x x a由5)3(232=+--≥++-x x x x 所以 5≤a四 构造新函数，利用导数求最值迂回处理。
数学解题的技巧与方法数学解题的技巧与方法高考是我们人生一次大的转折点，所以大家要尽最大的努力好好复习，争取在高考中取得好成绩。
店铺为大家整理了数学解题的技巧与方法，供大家参考。
数学解题的技巧与方法篇1第一个技巧，看清审题与解题有的考生对审题重视不够，匆匆一看急于下笔，以致题目的条件与要求都没有吃透，至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起，这样解题出错自然多。
只有耐心仔细地审题，准确地把握题目中的关键词与量?如“至少”，“a>0”，自变量的取值范围等，从中获取尽可能多的信息，才能迅速找准解题方向。
第二个技巧，利用好快与准只有“准”才能得分，只有“准”你才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时训练的结果，不是考场上所能解决的问题，一味求快，只会落得错误百出。
如去年第21题应用题，此题列出分段函数解析式并不难，但是相当多的考生在匆忙中把二次函数甚至一次函数都算错，尽管后继部分解题思路正确又花时间去算，也几乎得不到分，这与考生的实际水平是不相符的。
适当地慢一点、准一点，可得多一点分;相反，快一点，错一片，花了时间还得不到分。
第三种解题技巧：“会做”与“得分”的关系要将你的解题策略转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表述，这一点往往被一些考生所忽视，因此卷面上大量出现“会而不对”“对而不全”的情况，考生自己的估分与实际得分差之甚远。
如去年理17题三角函数图像变换，许多考生“心中有数”却说不清楚，扣分者也不在少数。
这样的失分情况，的确很冤枉，所以高中不希望我们的同学也犯这样的错误!第四种解题技巧：难题与容易题的关系一般来说，当我们拿到试卷后，应将全卷通览一遍，一般来说应按先易后难、先简后繁的顺序作答。
但是，近年来考题的顺序并不完全是难易的顺序，因此在答题时要合理安排时间!此外，高中学习方法指导名师建议我们的同学，在解答题时都应设置了层次分明的“台阶”，因为看似容易的题也会有“咬手”的关卡，看似难做的题也有可得分之处。
课程篇应用基本不等式解题的常用方法分析孙天贶（湖南省平江县一中高467班）在高中数学中，基本不等式作为重点知识内容，在实际运用的过程中，需要掌握相应的解题技巧与方法，进而为实现对基本不等式知识的有效掌握奠定了基础，同时，实现对这一知识点的有效掌握，也是学好其他相关知识的基础。
通常而言，基本不等式解题的常用方法为：“1”的代换法、换元法、适当拼凑组合法、待定系数法、换元法、消元法以及多次应用不等式法。
一、“1”的代换法例题1：若点A （1，1）在直线mx+ny-2=0上，其中，m ，n >0，1m +1n的最小值为（）解析：从本题的题意中，存在m+n -2=0，即m+n 2=1，则=1m+1n =（1m +1n ）·m+n 2=12（2+m n +n m )≥12（2+2m n ·n m √）=2，当m=n =1时等号成立，所以1m +1n的最小值为2。
评析：基于“1”的巧妙利用下，则是以1乘以任何数，相应值都不会发生改变的性质，通过整体代换的方式，将代数式化成齐次式，进而促使在应用不等式的过程中，两数相乘具备定值，此种方式还能够用来求1m 2+1n2的最小值。
二、换元法的运用例题2：已知x ，y ∈R +，且x+y +1x +1y =5，则x+y 的最大值为（）A.3B.72C.4D.92解析：设t=x+y >0，则有已知5-（x+y ）=x+y xy ≥（x+yx+y 2）=4x+y，即5-t ≥4t ，整理得t 2-5t +4≤0，解得1≤t ≤4，因此，x+y ≤4，当x=y =2时等号成立，因此答案为C 。
评析：在这一题目中，涉及了x+y 与xy ，借助基本不等式，可将xy 沟通到目标式x+y ，通过换元法的运用进行换元，再以解不等式的方式，将x+y 的取值范围求出。
同样，在相同的条件下，能够求出xy 的最大值为4。
事实上，在实际解题的过程中，采用换元法的目的是将问题简单化，进而促使不会的问题转变为会的问题，在此基础上，就能轻而易举地得到答案。
高中立体几何知识点总结学好立几并不难，空间想象是关键。
点线面体是一家，共筑立几百花园。
点在线面用属于，线在面内用包含。
四个公理是基础，推证演算巧周旋。
下面是为大家整理的关于高中立体几何知识点总结，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!高中立体几何知识点总结1点在线面用属于，线在面内用包含。
四个公理是基础，推证演算巧周旋。
空间之中两条线，平行相交和异面。
线线平行同方向，等角定理进空间。
判定线和面平行，面中找条平行线。
已知线与面平行，过线作面找交线。
要证面和面平行，面中找出两交线，线面平行若成立，面面平行不用看。
已知面与面平行，线面平行是必然;若与三面都相交，则得两条平行线。
判定线和面垂直，线垂面中两交线。
两线垂直同一面，相互平行共伸展。
两面垂直同一线，一面平行另一面。
要让面与面垂直，面过另面一垂线。
面面垂直成直角，线面垂直记心间。
一面四线定射影，找出斜射一垂线，线线垂直得巧证，三垂定理风采显。
空间距离和夹角，平行转化在平面，一找二证三构造，三角形中求答案。
引进向量新工具，计算证明开新篇。
空间建系求坐标，向量运算更简便。
知识创新无止境，学问思辨勇攀登。
多面体和旋转体，上述内容的延续。
扮演载体新角色，位置关系全在里。
算面积来求体积，基本公式是依据。
规则形体用公式，非规形体靠化归。
展开分割好办法，化难为易新天地。
高中立体几何知识点总结2三角函数。
注意归一公式、诱导公式的正确性数列题。
1.证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。
利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。
简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单立体几何题1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，要建系;3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系。
专题4-8 数列求和技巧进阶篇题型一：（1）已知142n n a a n −+=−，14a =求n S（2）已知12nn n a a −+=，11a =求n S题型二：（1）()252nn a n =−⨯，求n S .（待定系数法）（2）1111(1)(11)nn n n n n n n n a a b a a a a +++⎛⎫+ ⎪−+⎝=−⎭=（3）122(1)21111(1)2(1)2122(1)2−++−⎛⎫==−⋅=− ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n （4）[]1(1)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n n n +=++−−+，21n a n =−，1n n n b a a +=（5）222244111111414122121n n n c n n n n −+⎛⎫===+−⎪−−−+⎝⎭题型三：（1）2(1)n nn a =−，求数列{}n a 的前n 项和．（2）(21)(1)nn a n =−−，求数列{}n a 的前n 项和（3）,2n n n a n b ==，求数列{}(1)n n n a b −的前n 项和题型四：已知数列()()21,2,n n n n a n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 （1）求数列{}n a 的前20项和20T （2）求数列{}n a 的前2n 项和2n T . （3）求数列{}n a 的前21n −项和21n T −. （4）求数列{}n a 的前n 项和n T题型一 并项求和简化计算一般来说，并项求和的计算量比分组求和要小 1．已知21n a n =−，若2πcos 3n n n b a =，求数列{}n b 的前31n +项和31n T +.2．（2023秋·湖南长郡中学校考）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，1232,3,4a a a ===，数列{}12n n n a a a ++++是公差为1的等差数列，则40S = .重点题型·归类精讲3．记n S ，为数列{}n a 的前n 项和，已知142n n a a n −+=−，14a =求n S ．4．已知数列{}n a 的前n 项和为1,(1)21nn n n S a a n ++−=−，则8S = ．5．已知{}n a 的前n 项和为n S ，()()1221n n n n a a n +++−=，50600S =，则12a a += .6．已知21n a n =−，记()1nn n b S =−，求数列{}n b 的前30项的和30T .7．已知12n n a +=，设()21log nn n b a =−，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足20k T =的k 的值．8．已知13n n a =−，若()22π1cos 3n n n b a =+，求数列{}n b 的前18项和18T ．9．已知212n n a −=，设11b =，1,,n n n a n b b n n +⎧=⎨−+⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .题型二 裂项求和差比数列的其它处理方式（待定系数法）10．()252nn a n =−⨯，求n S .11．22n n a n =⨯，求n S .12．()2414133nn a n n =++⨯，求n S .【裂项相加】：(-1)n例：()()()21111111nn n n n n n +⎛⎫−⋅=−+ ⎪++⎝⎭，本类模型典型标志在通项中含有(1)n −乘以一个分式. 对于11(1)nn n n n n a a b a a ++=−+可以裂项为1111(1)(11)n n n n n n n n n a a b a a a a +++⎛⎫+ ⎪−+⎝=−⎭=13．若21n a n =−，数列{}n b 满足11(1)n n n n nb a a ++−=，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T14．已知数列{}n a 满足31nn a =−，若()()()()22231321265log 1log 1nn n n n n b a a ++−⋅++=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和nT ．15．已知21n b n =−，设()()121(1),11nn n n n n c T b b ++=−++为数列{}n c 的前n 项和，证明：216n T ≤−.16．已知21nn a =−，求111222(1)n n n n n a a +++⎧⎫⎛⎫+−⎪⎪−⋅⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和n T ．17．已知()()612n a n n =++，若()()231nn n b n a =+−，求{}n b 的前n 项和n T .【等差数列相邻2两项之积构成的的新数列】例如：[]1(1)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n n n +=++−−+ 一般式，当公差为k 时：[]1()()(2)()()3kn kn k kn kn k kn k kn k kn kn k k⋅+=⋅+⋅+−−⋅⋅+ 18．已知21n a n =−，1n n n b a a +=，求数列{n b }的前n 项和n T19．已知21n a n =−，()11nn n n b a a +=−，求数列{n b }的前n 项和n T .一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘例子：122(1)21111(1)2(1)2122(1)2−++−⎛⎫==−⋅=− ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n 一般结构()()()()()11111n n na kn a kn ab b a kn b k n b a k k n b a b =−−⎡⎤⎡⎤−++++⎣⎦−++⎣−⎦20．已知3n n b =，若()()*24141n n n b c n n +=∈−N ，求数列{}n c 的前n 项和21．已知12nn a +=，记22(1)n n n a b n n++=+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ．22．已知2222n n n n b ++=，求证：()()3112..212233411n n b b b b b n n n n −+++⋯++<⨯⨯⨯−⨯⨯+.23．已知n a n =，设14122n n n a n n n a b a a a ++++=⋅⋅⋅，证明：1214nb b b ++⋅⋅⋅+<.对式子变形后再裂项24．已知121n a n =−，设214n n n c n a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．25．已知24n a n =+，记1n nb na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .26．已知()()*1N 1n a n n n =∈+，若()221n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .27．已知1n n a n =+，证明：.题型三 (-1)n 的处理28．已知2(1)n nn a =−，求数列{}n a 的前n 项和n S ．29．已知(21)(1)nn a n =−−，求数列{}n a 的前n 项和n S ．30．在,2n n n a n b ==，求数列{}(1)n n n a b −的前n 项和n T ．31．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知30a =，1(1)2n nn n a S ++−=，令12n n n b a a +=+，求2462n b b b b ++++.3121234n n a a a n a a a ++++<+题型四 分奇偶项求和11．已知数列()()21,2,n n n n a n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 （1）求数列{}n a 的前20项和20T ;（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n T ;（3）求数列{}n a 的前21n −项和21n T −. （4）求数列{}n a 的前n 项和n T32．已知21,n a n −=2n a =212n +，记{}n a 的前n 项和为n S ，2023n S >，求n 的最小值.33．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知3nn a =，若13log ,,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n T ．专题4-8 数列求和技巧进阶篇题型一：（1）已知142n n a a n −+=−，14a =求n S（2）已知12nn n a a −+=，11a =求n S题型二：（1）()252nn a n =−⨯，求n S .（待定系数法）（2）1111(1)(11)nn n n n n n n n a a b a a a a +++⎛⎫+ ⎪−+⎝=−⎭=（3）122(1)21111(1)2(1)2122(1)2−++−⎛⎫==−⋅=− ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n （4）[]1(1)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n n n +=++−−+，21n a n =−，1n n n b a a +=（5）222244111111414122121n n n c n n n n −+⎛⎫===+−⎪−−−+⎝⎭题型三：（1）2(1)nnn a =−，求数列{}n a 的前n 项和．（2）(21)(1)nn a n =−−，求数列{}n a 的前n 项和（3）,2n n n a n b ==，求数列{}(1)n n n a b −的前n 项和题型四：已知数列()()21,2,n nn n a n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 （1）求数列{}n a 的前20项和20T （2）求数列{}n a 的前2n 项和2n T . （3）求数列{}n a 的前21n −项和21n T −. （4）求数列{}n a 的前n 项和n T题型一 并项求和简化计算一般来说，并项求和的计算量比分组求和要小 1．已知21n a n =−，若2πcos 3n n n b a =，求数列{}n b 的前31n +项和31n T +. 【解析】()2π2πcos 21cos 33n n n n b a n ==−， 【法一】并项求和()()()()()3133162π62π6π63cos 61cos 61cos333n n n n n n b b b n n n −+−+++=−+−++ ()()()22π63cosπ61cos 2π61cos33n n n −=−+−++ 化简得()()3133111636161022n n n b b b n n n −+++=−−+−−+=，故()()()311234567313311102n n n n T b b b b b b b b b b b +−+=++++++++++=+=−【法二】分组求和重点题型·归类精讲311233231331n n n n n T b b b b b b b +−−+=+++++++()()()311111135165636112222n T n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯−+⨯−+⨯++−⨯−+−⨯−+−⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1612n ⎛⎫++⨯− ⎪⎝⎭()()()()165363561111161222222n n n n n n n +−+−+−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯−+⨯−+⨯++⨯− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22233113232222n n n n n n =−+−++−−=−，所以，数列{}n b 的前31n +项和3112n T +=−2．（2023秋·湖南长郡中学校考）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，1232,3,4a a a ===，数列{}12n n n a a a ++++是公差为1的等差数列，则40S = . 【答案】366【分析】设12n n n n b a a a ++=++，易得()9118n b n n =+−⨯=+，再由4012538S a b b b =++++求解.【详解】解：设12n n n n b a a a ++=++，由题意知{}n b 是公差为1的等差数列， 则11239b a a a =++=，故()9118n b n n =+−⨯=+，则21110b b =+=， 故()()()()25381323828583881383642b b b ⨯++++=++++++=⨯+=.于是()()()401234567383940S a a a a a a a a a a =+++++++++，125382364366a b b b =++++=+=.3．记n S ，为数列{}n a 的前n 项和，已知142n n a a n −+=−，14a =求n S ．【答案】22,2,n n n n S n n n ⎧+=⎨++⎩当为偶数时当为奇数时 【详解】解：()141242n n a a n n −+=−+=−，*n ∈N ，2n ≥． 当n 为偶数时，()()()()1234164222n n n nn S a a a a a a −+−=++++++=2n n =+； 当n 为奇数时，()()()()12345111042242n n n n n S a a a a a a a −−+−=+++++++=+22n n =++．综上所述，22,2,n n n n S n n n ⎧+=⎨++⎩当为偶数时当为奇数时.4．已知数列{}n a 的前n 项和为1,(1)21nn n n S a a n ++−=−，则8S = ．【答案】36【解析】由题意可得n 为奇数时，12121,21n n n n a a n a a n +++−=−+=+， 两式相减得22n n a a ++=；n 为偶数时，12121,21n n n n a a n a a n ++++=−−=+，两式相加得24n n a a n ++=，故()()()()8135724682282436S a a a a a a a a =+++++++=+++=. 故答案为：365．已知{}n a 的前n 项和为n S ，()()1221n n n n a a n +++−=，50600S =，则12a a += .【答案】12−【解析】当43,n k k =+∈N 时，则()()()143222n n k k +=++为偶数，()()()()1222452n n k k ++=++为偶数，可得()()4543122143k k n n n n a a a a k +++++−==++，()()()122314644144n n n n k k a a a a k +++++++−+==+，两式相加可得：4645444378k k k k a a a a k ++++++=++，故()()()()5012501234567891047484950......S a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++=++++++++++++++ ()()()()12121212795715 (956126002)a a a a a a +=+++++=++=++=，解得1212a a +=−.6．已知21n a n =−，记()1nn n b S =−，求数列{}n b 的前30项的和30T .【解析】2(121)2n n n S n +−==， 所以2(1)(1)=−−=⋅n n n n b n S ， 所以2222223012342930T =−+−++−+()()()()()()2112433430292930=−⋅++−⋅+++−⋅+12342930=++++++30(130)4652⨯+==.7．已知12n n a +=，设()21log nn n b a =−，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足20k T =的k 的值．【解析】()()()21log 11n nn n b a n =−=−+，212212(1)2(1)(21)1n nn n b b n n −−+=−⋅+−+=，当k 为偶数时，12341()()()2k k k k T b b b b b b −=++++++=，令202k kT ==，得40k =；当k 为奇数时，1113(2)22k k k k k T T b k ++++=−=−+=−，令3202k k T +==，得37k =， 所以40k =或37.8．已知13n n a =−，若()22π1cos 3n n n b a =+，求数列{}n b 的前18项和18T ．【解析】()2222π2π12π1cos 11cos cos33393n n n n n n b a n ⎛⎫=+=−+= ⎪⎝⎭. 因为当N k *∈时，2223231324π12π5cos 2πcos 2πcos 2π333318k k k b b b k k k k k k k −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=−−+−−+=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()18123345161718T b b b b b b b b b =+++++++++．555555123456181818181818=−+−+−+−+−+− 558(123456)6183=+++++−⨯= 所以数列{}n b 的前18项和为583.9．已知212n n a −=，设11b =，1,,n n na nb b n n +⎧=⎨−+⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【详解】当n 为奇数时，2112n n n b a −+==； 则当n 为偶数时，1n n b b n ++=. 2122n n S b b b =+++()()()()1223452221n n n b b b b b b b b −−=+++++++()2112422n a n −=+++++−()()43432222112212n n n n n n −−+−−=++=+−+.题型二 裂项求和差比数列的其它处理方式（待定系数法）10．()252nn a n =−⨯，求n S .【答案】()()()()125212222n n n nn a n n n n λμλμλλμ+=−⨯=⎡++⎤⨯−+⨯=++⨯⎣⎦，22259λλλμμ==⎧⎧⇒⎨⎨+=−=−⎩⎩()()12192292n n n a n n +=⎡+−⎤⨯−−⨯⎣⎦，()()1121921427214n n n S n n ++=⎡+−⎤⨯+=−⨯+⎣⎦.213n nn a +=，求n S . 【答案】()11212233333n n n n nn n n n a λμλμλμλ−−++++−==−=， 112312λλμλμ==⎧⎧⇒⎨⎨−==⎩⎩，()112233n n n n n a −−++=−，223n nn S +=−.11．22n n a n =⨯，求n S .【答案】()()2121122n nn a n n t n n t λμλμ+⎡⎤⎡⎤=++++⨯−++⨯⎣⎦⎣⎦()24222n n n t λλμλμ⎡⎤=+++++⨯⎣⎦， 令114042206t t λλλμμλμ==⎧⎧⎪⎪+=⇒=−⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩()()21214162462n nn a n n n n +⎡⎤⎡⎤=+−++⨯−−+⨯⎣⎦⎣⎦ ()()()21211416262326n n n S n n n n ++⎡⎤=+−++⨯−=−+⨯−⎣⎦.12．()2414133nn a n n =++⨯，求n S .【答案】()()2121133n nn a n n t n n t λμλμ+⎡⎤⎡⎤=++++⨯−++⨯⎣⎦⎣⎦()22623323n n n t λλμλμ⎡⎤=+++++⨯⎣⎦24262141332132t t λλλμμλμ==⎧⎧⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩， ()()21221123223n nn a n n n n +⎡⎤⎡⎤=++++⨯−++⨯⎣⎦⎣⎦， ()()()21212112315255315n n n S n n n n ++⎡⎤=++++⨯−=++⨯−⎣⎦.【裂项相加】：(-1)n例：()()()21111111nn n n n n n +⎛⎫−⋅=−+ ⎪++⎝⎭，本类模型典型标志在通项中含有(1)n −乘以一个分式.对于11(1)nn n n n n a a b a a ++=−+可以裂项为1111(1)(11)n n n n n n n nn a a b a a a a +++⎛⎫+ ⎪−+⎝=−⎭=13．若21n a n =−，数列{}n b 满足11(1)n n n n nb a a ++−=，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T【答案】11(1)1421n n T n +⎡⎤−=+⎢⎥+⎣⎦. 【详解】由题可得1111(1)(1)(1)11(21)(21)42121n n n n n n n n b a a n n n n ++++−−−⎛⎫===+ ⎪−+−+⎝⎭，所以1111111(1)111(1)114343542121421n n n T n n n ++⎡⎤−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−++++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.14．已知数列{}n a 满足31nn a =−，若()()()()22231321265log 1log 1nn n n n n b a a ++−⋅++=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和nT ．【答案】()()21142n n T n −=−+ 【分析】()()()2211112nn b n n ⎛⎫=−+⎪ ⎪++⎝⎭，分别在n 为偶数和n 为奇数的情况下，利用裂项相消法和11n n n T T b ++=−求得结果，综合两种情况可得n T .【详解】()()()()()()()()()22222233221212651265111log log 132231nnnn n n n n n n n n n n b ++⎛⎫−⋅++−⋅++∴===−+ ⎪ ⎪⋅⎝+++⎭+，当n为偶数时，()22222222111111112334451n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−+++−−+⋅⋅⋅+−−+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭()()()22211114122n n n ⎛⎫+=− ⎪ ⎪+++⎝⎭；当n 为奇数时，()()()()112222111111443232n n n T T b n n n n ++=−=−−−=−−++++； 综上所述：()()21142n n T n −=−+.15．已知21n b n =−，设()()121(1),11nn n n n n c T b b ++=−++为数列{}n c 的前n 项和，证明：216n T ≤−.【详解】12121111(1)(1)(1),(1)(1)4(1)41nn n n n n n n c b b n n n n +++⎛⎫=−=−=−+ ⎪++++⎝⎭所以211111111111....1,41223212221421n T n n n n n ⎛⎫⎛⎫=−−++−−−+=− ⎪⎪−++⎝⎭⎝⎭由于2111(11)421n T n t n ⎛⎫=−≤≤−⎪+⎝⎭是递减的，所以211111.4216n T T ⎛⎫≤=−⎪⎭=− +⎝16．已知21nn a =−，求111222(1)n n n n n a a +++⎧⎫⎛⎫+−⎪⎪−⋅⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和n T ．【解析】1111111122211(1)()(1)()(1)()n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++++−−⋅=−=−+，所以()()()11111223111111111111121n n n n n nn n T a a a a a a a ++++++−−⎛⎫⎛⎫=+−+++−+=+=+ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭． 17．已知()()612n a n n =++，若()()231nn n b n a =+−，求{}n b 的前n 项和n T .【详解】()()()2316112n n n n b n a n n ⎛⎫=+−=−+ ⎪++⎝⎭， 所以()1211111166********n n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=−+++++−+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()6312nn =−+−+. 【等差数列相邻2两项之积构成的的新数列】例如：[]1(1)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n n n +=++−−+一般式，当公差为k 时：[]1()()(2)()()3kn kn k kn kn k kn k kn k kn kn k k⋅+=⋅+⋅+−−⋅⋅+ 18．已知21n a n =−，1n n n b a a +=，求数列{n b }的前n 项和n T【答案】21(461)3n T n n n =+−.【分析】对n b 裂项，利用裂项相消法计算作答.【详解】当2n ≥时，()121112116n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++−+++−+−=−=6n b =，因此，12111()6n n n n n n n b a a a a a a ++−+=−，1212312211()(15)66nk n n n n n n k b a a a a a a a a a ++++==−=−∑，则21121221151(15)(21)(21)(23)3(461)6623nn k n n n k T b b a a a a a n n n n n n ++==+=−+=−++−+=+−∑，13b =满足上式，所以21(461)3n T n n n =+−.19．已知21n a n =−，()11nn n n b a a +=−，求数列{n b }的前n 项和n T .【答案】2*2*22,2,N 221,21,N n n n n k k T n n n k k ⎧+=∈=⎨−−+=−∈⎩【分析】对n 分奇偶讨论，当n 为偶数时，采用并项法求和，当n 为奇数时，11n n n n T a a T −+=− 【详解】当n 为偶数时， ()1223344511nn n n T a a a a a a a a a a +=−+−++−+()()()21343511n n n a a a a a a a a a −+=−++−+++−+()()()24321244212n nn a a a n n +−=+++==+当n 为奇数时， 当1n =时，13T =− 当3n ≥时，11n n n n T a a T −+=−()()()213232421212212n n n n n n −+−=−−+=−−+ 经检验，1T 也满足上式，所以当n 为奇数时，2221n T n n =−−+综上，数列{}n b 的前n 项和2*2*22,2,N 221,21,N n n n n k k T n n n k k ⎧+=∈=⎨−−+=−∈⎩一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘例子：122(1)21111(1)2(1)2122(1)2−++−⎛⎫==−⋅=− ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n 一般结构()()()()()11111n n na kn a kn ab b a kn b k n b a k k n b a b =−−⎡⎤⎡⎤−++++⎣⎦−++⎣−⎦20．已知3n n b =，若()()*24141n n n b c n n +=∈−N ，求数列{}n c 的前n 项和 【详解】由()()*24141n n n b c n n +=∈−N ， 可得()()()()1441132121321321n n n n n c n n n n −+==−−+−+，则数列{}n c 的前n 项和为()()0112111111131333335321321n n n n −−+−+⋅⋅⋅+−⨯⨯⨯⨯−+ ()11321n n =−+.21．已知12nn a +=，记2(1)n n a b n n+=+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 【解析】因为22(1)n n n a b n n++=+， 所以()()()()1222112122121n n n n n n n b n n n n n n a +⎡⎤++===−⎢⎥+⋅+⋅++⎢⎥⎣⎦，所以数列{}n b 的前n 项和为：()12231111111212222232212n n n T n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−++−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()1111121121212n n n n +⎡⎤=−=−⎢⎥⋅+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦．22．已知2222n n n n b ++=，求证：()()3112..212233411n n b b b b b n n n n −+++⋯++<⨯⨯⨯−⨯⨯+. 【详解】()()()1222211212n n n b n n n n n n n n n n n ++++++==⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯.()1111122212n n n n n ++⎛⎫=⨯+− ⎪ ⎪⨯+⨯⎝⎭()()3112..12233411n n b b b b bn n n n −∴+++⋯++⨯⨯⨯−⨯⨯+ ()21232311111111111221222222322212n n n n n ++⎛⎫=⨯+−++−+⋯++− ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⎝⎭. ()211111221121121212nn n +⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=⨯+− ⎪⨯+⨯− ⎪ ⎪⎝⎭()111121 2.212n n n ++⎛⎫=−−< ⎪ ⎪+⨯⎝⎭另解：()()()21122122112212n n n n b n n n n n n n n n n ++⎛⎫++++==⨯− ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭()()311212233411n n b b b b bn n n n −∴+++⋯⋯++⨯⨯⨯−⨯⨯+()2231233412212222232212n n n n n n +⎛⎫++=⨯−+−+⋯+− ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⎝⎭ ()1221212n n n +⎛⎫+=⨯−< ⎪ ⎪+⨯⎝⎭.得证23．已知n a n =，设14122n n a n n n b a a a +++=⋅⋅⋅1214n b b b ++⋅⋅⋅+<. 【详解】解：因为14111241422(1)(2)12(2)n n n a n n n n n a n n b a a a n n n n n n ++++++++===⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅+，1112(1)2(1)(2)n n n b n n n n +=−⋅⋅+⋅++，故12n b b b ++⋅⋅⋅+=22311111112122232232342(1)2(1)(2)n n n n n n +−+−+⋅⋅⋅+−⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅+⋅++111142(1)(2)4n n n +=−<⋅++.对式子变形后再裂项24．已知121n a n =−，设214n n n c n a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【解析】()()()()222212244411111141121214141212122121n n n n n n c n a a n n n n n n n n +−+⎛⎫=====+=+− ⎪−+−−−+−+⎝⎭ 12311111112335212121n n nT c c c c n n n n n ⎛⎫=++++=+−+−++−=+ ⎪−++⎝⎭.25．已知24n a n =+，记1n nb na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 【解析】()111112442n n b na n n n n ⎛⎫===− ⎪++⎝⎭， ∴11111111111432435462n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−+−+−++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111114212n n ⎛⎫=+−− ⎪++⎝⎭ 32384(1)(2)n n n +=−++.26．已知()()*1N 1n a n n n =∈+，若()221n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】2222111(1)n n b n n n +==+，则()2222222211111111223(1)(1)(1)n n n T n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−++−=−= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.27．已知1n n a n =+，证明：. 【分析】由，得到，结合裂项求和及，即可得证. 【详解】解：由，则.所以.3121234n n a a a n a a a ++++<+1n na n =+1111122n n a a n n +⎛⎫=+− ⎪+⎝⎭11012n n +>++1n n a n =+()()()()2112111112222n n n n n aa n n n n n n ++++⎛⎫===+− ⎪+++⎝⎭3121211111111111232435112n n a a a n a a a n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+−+−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11113111122124212n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++−−=+−+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭因为，所以， 即题型三 (-1)n 的处理28．已知2(1)nnn a =−，求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解答】直接用等比数列求和公式(2)n n a =−，则()()()2122221233n n n S ⎡⎤−−−⎣⎦==−+⋅−−−29．已知(21)(1)nn a n =−−，求数列{}n a 的前n 项和n S ．【分析】错位相减比分奇偶讨论要方便【解答】1231(1)3(1)5(1)(21)(1)n n S n =⨯−+⨯−+⨯−++−⨯−所以23411(1)3(1)5(1)(23)(1)(21)(1)n n n S n n +−=⨯−+⨯−+⨯−++−⨯−+−⨯−， 相减得23121(1)2[(1)(1)(1)](21)(1)n n n S n +=⨯−+⨯−+−++−−−⨯−211(1)1(1)12(21)(1)1(1)n n n −+⎡⎤−−−⎣⎦=−+⨯−−⨯−−−12(1)n n +=−−，所以1(1)(1)n nn S n n +=−−=−.30．在,2n n n a n b ==，求数列{}(1)n n n a b −的前n 项和n T ．【分析】错位相减即可【解答】记(1)2(2)n n nn c n n =−⋅=−，1231(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n n −=−+⋅−+⋅−+⋯+−⋅−+⋅−23122(2)2(2)(1)(2)(2)n n T n n +−=−+⋅−+⋯+−−+−123113(2)(2)(2)(2)(22)(2))21(21n n n n n T n n ++=−+−+−+⋯+−−−⎡−−⎤−−−⎣⎦=+，11012n n +>++3111342124n n n n ⎛⎫+−+<+ ⎪++⎝⎭3121234n n a a a n a a a ++++<+12(31)(2)9n n n T +−−+−=.31．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知30a =，1(1)2n n n n a S ++−=，令12n n n b a a +=+，求2462n b b b b ++++.【答案】2122n +−【分析】根据偶数项和奇数项的关系可得221212222k k k k a a −++=+，进而根据分组求和即可. 【详解】当2n k =时，22122kk k a S ++=， 当21n k =−时，221212k k k a S −−=−，两式相加可得22121221222k k k k k k a S a S +−−=+−++，得221212222k k k k a a −++=+，由于12n n n b a a +=+，所以()()()()32547462622212222n n n b b b b a a a a a a a a +=++++++++++++()()()()21436522122222222n n −=++++++++()()24621352122222222n n −=+++++++++()()21414214221414n n n +−−=+=−−−题型四 分奇偶项求和11．已知数列()()21,2,n n n n a n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 （1）求数列{}n a 的前20项和20T （2）求数列{}n a 的前2n 项和2n T . （3）求数列{}n a 的前21n −项和21n T −. （4）求数列{}n a 的前n 项和n T 【详解】（1）201351924620()()T C C c C c c C c =+++++++++24620(371139)(2222)=+++++++++()21011214(330)1062642143−+⨯+=+=−（2）由（1）知()()21,2,n n n n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列.记13521n k A c c c c −=+++⋅⋅⋅+，2462n k B c c c c =+++⋅⋅⋅+2141k c k −=−，故234122n k A k k k +−=⋅=+ 222kk c =，故()224124241433k k nB ⋅−⋅==−− 1224123k k T A B k k +−=+=++ （3）2212124123k k k k T T c k k −−−=−=++ （4）当n 为偶数时，记n=2k则有1224123k k T k k +−=++，故222123n n n n T ++−=+当n 为奇数时，记n=2k -1则有2214123k k T k k −−=++，故21322423n n T n n +++=+− 故()22122212,22324,2,133n n n n n n k T n n n k k N +++++−⎧+−+=⎪⎪==⎪⎪⎩−∈+⎨32．已知21,n a n −=2n a =212n +，记{}n a 的前n 项和为n S ，2023n S >，求n 的最小值.【分析】解法一：枚举；解法二：分组求和得出()()2841123kk k k S −+=+，进而得出()21124823k k k k S −+⨯−=+，求解即可得出答案；解法三：分组求和得出()21124823k k k k S −+⨯−=+，求解即可得出答案. 【详解】解法一：9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()()135792468a a a a a a a a a =++++++++ ()()3579123452222156806952023=++++++++=+=<，又1110910695227432023S S a =+=+=>；又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， 所以n 的最小值为10. 解法二：*k ∈N 时，21232k k S a a a a =++++()()135212462k k a a a a a a a a −=+++++++++()()357211232222k k +=+++++++++()()841123k k k −+=+，()()()2121228411124822323kk k k k k k k k k S S a +−−++⨯−=−=+−=+， 所以5925156248695202323S S ⨯−⨯⨯−==+=<，()51025841562743202323S S ⨯−⨯==+=>， 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， 所以n 的最小值为10. 解法三：当*k ∈N 时，2112321k k S a a a a −−=++++()()1352124622k k a a a a a a a a −−=+++++++++ ()()357211232222k k −=+++++++++()()()118411114821423k k k k k k −−−++⎛⎫−=+=+ ⎪−⎝⎭， 所以()4925184156695202323S S ⨯−−⨯==+=<，25110910695227432023S S a ⨯+=+=+=>. 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， 所以n 的最小值为10.33．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知3nn a =，若13log ,,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】,3,n n n n b n −⎧=⎨⎩为奇数为偶数，当n 为偶数时，()()1213124n n n n T b b b b b b b b b −=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()24131333n n =−++⋅⋅⋅+−+++⋅⋅⋅+()2919112219nn n ⎛⎫− ⎪⎡⎤⋅+−⎣⎦⎝⎭=−⨯+− ()293184n n =−−； 当n 为奇数时()()211111931384n n n n n n T T b +++++=−=−−−()211193884n n ++=⨯−−；综上所述：()()2121193,884931,84n n nn n T n n +⎧+⨯−−⎪⎪=⎨⎪−−⎪⎩为奇数为偶数.。
高考的数学答题技巧〔推荐8篇〕篇1：数学高考答题技巧另外，在高考时很多同学往往因为时间不够导致数学试卷不能写完，试卷得分不高，掌握解题思想可以帮助同学们快速找到解题思路，节约考虑时间。
以下总结高考数学五大解题思想，帮助同学们更好地提分。
1.函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析^p 和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系运用函数的图像和性质去分析^p 问题、转化问题和解决问题；方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程或不等式模型去解决问题。
同学们在解题时可利用转化思想进展函数与方程间的互相转化。
2.数形结合思想中学数学研究的对象可分为两大局部，一局部是数，一局部是形，但数与形是有联络的，这个联络称之为数形结合或形数结合。
它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此建议同学们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。
3.特殊与一般的思想用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，同学们可以直接确定选择题中的正确选项。
不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样有用。
4.极限思想解题步骤极限思想解决问题的一般步骤为：一、对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量；二、确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；三、构造函数(数列)并利用极限计算法那么得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。
5.分类讨论思想同学们在解题时常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进展下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。
引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法那么、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。
专题06函数的概念1.与函数的概念(1)一般地，给定非空A ，B ，按照某个对应法则f ，使得A 中元素x ，都有B中的元素y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数.记作：)(x f y x =→，A x ∈.集合A 叫做函数的，记为D ，集合)({x f y y =，}A x ∈叫做值域，记为C .很显然，C ⊆B 。
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.(3)函数表示法：①②③函数书写方式为)(x f y =，D x ∈；写函数表达式的时候，后面一定要写上函数的定义域，当定义域为全体实数的时候可以省略不写。
(4)函数三要素：(5)同一函数（函数相等）：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.一定是先看函数的定义域，再化简函数的解析式。
2.函数的定义域已知函数解析式，求解函数的定义域应注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切tan y x =的定义域是{,x x R ∈且,2x kx k Z π⎫≠+∈⎬⎭；抽象函数，求定义域需要注意：（6）已知()f x 的定义域求解()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f x 的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.3.基本初等函数的值域(1))0(≠+=k b kx y 的值域是R .(2))0(2≠++=a c bx ax y 的值域是：当0>a 时，值域为}44{2a b ac y y -≥；当0<a 时，值域为}44{2ab ac y y -≥．(3))0(≠=k xky 的值域是}0{≠y y .(4)0(>=a a y x 且)1≠a 的值域是)0(∞+，.(5)0(log >=a x y a 且)1≠a 的值域是R .4.分段函数的应用分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．【题型归纳目录】题型一：函数的概念题型二：同一函数的判断题型三：给出函数解析式求解定义域题型四：抽象函数定义域题型五：函数定义域的应用题型六：函数解析式的求法1.待定系数法（函数类型确定）2.换元法或配凑法（适用于了()[]x g f 型）3.方程组法4.求分段函数的解析式5.抽象函数解析式题型七：函数值域的求解1.观察法2.配方法3.图像法（数形结合）4.基本不等式法5.换元法（代数换元与三角换元）6.分离常数法7.判别式法8.单调性法9.有界性法10.导数法题型八：分段函数的应用【典例例题】题型一：函数的概念例1．函数y =f (x )的图象与直线1x =的交点个数（）A ．至少1个B ．至多1个C ．仅有1个D ．有0个、1个或多个例2．下列四个图像中，是函数图像的是（）A ．（1）（2）B ．（1）（2）（3）C ．（1）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4）（多选题）例3．下列对应关系f ，能构成从集合M 到集合N 的函数的是（）A ．13,1,22M ⎧⎫=⎨⎩⎭，{6,3,1}N =--，162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1)3f =-，312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．{|1}M N x x ==≥-，()21f x x =+C ．{1,2,3}M N ==，()21f x x =+D ．M =Z ，{1,1}N =-，1,,()1,.x f x x -⎧=⎨⎩为奇数为偶数例4．将函数π2sin 0,22x y x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图像绕着原点逆时针旋转角α得到曲线T ，当(]0,αθ∈时都能使T 成为某个函数的图像，则θ的最大值是（）A ．π6B ．π4C ．3π4D ．2π3例5．存在函数()f x ，对于任意x ∈R 都成立的下列等式的序号是________．①()sin 3sin f x x =；②()32sin 3f x x x x =++；③()222f x x +=+；④()242f x x x +=+．题型二：同一函数的判断例6．下列各组函数是同一函数的是（）①()f x ()g x =()f x x =与()g x ③()0f x x =与()01g x x=．④()221f x x x =--与()221g t t t =--．A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④例7．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．()lnx f x e =，()g x x=B ．24(),()22x f x g x x x -==-+C ．0()f x x =，()1g x =D ．()||f x x =，{1x ∈-，0，1}，2()g x x =，{1x ∈-，0，1}（多选题）例8．下列各组函数中表示同一个函数的是（）A ．()2f x x =，2,0()2,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩B ．2()f x x =，2()g t t=C ．0()3x f x x =+，1()3g x x =+D ．()4f x x =+，216()4x g x x -=-（多选题）例9．在下列四组函数中，()f x 与g()x 不表示同一函数．．．．．．．的是（）A ．()1f x x =-，21()1x g x x -=+B ．()|1|f x x =+，1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C ．()1f x =，0()(1)g x x =+D ．()f x x =，2()g x =题型三：给出函数解析式求解定义域例10．已知等腰三角形的周长为40cm ，底边长()y cm 是腰长()x cm 的函数，则函数的定义域为()A ．()10,20B ．()0,10C ．()5,10D ．[)5,10例11．函数()f x =___________.例12．函数()()lg 2f x x =-的定义域是_______．例13．函数()f x =___________.题型四：抽象函数定义域例14．已知函数()y f x =的定义域为()0,1，则函数()()21xF x f =-的定义域为（）A ．(),1-∞B ．()(),00,1-∞⋃C ．()0,∞+D ．[)0,1例15．已知函数()24y f x =-的定义域是[]1,5-，则函数()21y f x =+的定义域为______.例16．已知函数(1)=-y f x 的定义域为[]1,3，则函数()3log y f x =的定义域为（）A ．[]0,1B ．[]1,9C ．[]0,2D ．[]0,9例17．若函数()f x 的定义域为[]1,2-，则函数()g x =）A ．[]1,4B ．(]1,4C ．[]1,2D ．(]1,2例18．已知函数()f x 的定义域为[3,6]，则函数y ）A ．3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭例19．已知函数()f x 是定义在[)2,+∞的单调递增函数，若()()222544f a a f a a -+<++，则实数a 的取值范围是（）．A ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．[)2,6C ．[)10,2,62⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦D ．()0,6例20．求下列函数的定义域：(1)已知函数()f x 的定义域为[]22-,，求函数()21y f x =-的定义域.(2)已知函数()24y f x =+的定义域为[]0,1，求函数()f x 的定义域.(3)已知函数()f x 的定义域为[]1,2-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域.题型五：函数定义域的应用例21．若函数()22112()ln 2xxa f x a+++=+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(2,1)(1,)--⋃-+∞例22．已知函数()f x =的定义域为R ，则m 的取值范围是（）A ．12m -<<B ．12m -<≤C ．12m -≤≤D ．12m -≤<（多选题）例23．若函数y =[]2,1--上有意义，则实数a 可能的取值是（）A ．1-B ．1C ．3D ．5例24．函数y =R ，则a 的取值范围是_________．例25．已知函数)()lgf x ax =+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．题型六：函数解析式的求法1.待定系数法（函数类型确定）（多选题）例26．已知函数()f x 是一次函数，满足()()98f f x x =+，则()f x 的解析式可能为（）A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =--例27．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且(1),(4),(13)f f f 成等比数列，则(2)(4)(2)f f f n +++ 等于（）A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)例28．已知()f x 为二次函数，()00f =，()()22132f x f x x x +-=++，求()f x 的解析式．2.换元法或配凑法（适用于了()[]x g f 型）例29.已知()2ln 1x f x =+，则()f x =（）A ．()2ln 1x +B ．()2ln 1x +C ．2ln 1x -D ．()2ln 1x -例30．已知函数221111x xf x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式为（）A ．()()2211xf x x x =≠-+B ．()()2211xf x x x =-≠-+C ．()()211xf x x x =≠-+D ．()()211xf x x x =-≠-+例31．已知函数()f x 满足()cos 1cos 21f x x -=-，则()f x 的解析式为（）A ．()()22420f x x x x =+-≤≤B ．()()224f x x x x R =+∈C ．()()2120f x x x =--≤≤D ．()()21f x x x R =-∈例32．已知函数)25fx =+，则()f x 的解析式为_______例33．已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数f (x )=_______，=_______．例34．已知2(|1|)23f x x x -=-+，则(3)f =（）A ．6B ．3C ．11D ．10例35．已知()62log f x x =，则()8f =（）A ．12B ．14C ．16D ．183.方程组法例36．已知函数()f x 的定义域为R ，且2()2()f x f x x x +-=-，则()f x =（）A ．223x x +B ．223x x +C ．2223x x +D ．23x x+例37．设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()201823f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()2018f 等于A ．2016B ．-2016C ．-2017D ．2017例38．若函数()f x ，()g x 满足14()22f x f x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()()6f x g x x +=+，则(1)(1)f g +-=________．例39．已知123()51f x f x x⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则函数f (x )的解析式为___________.4.求分段函数的解析式例40．设函数()(),1011,011x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，若函数()2y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有两个零点，则实数t 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(),0-∞C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭例41．已知函数1,1()2,1x f x x ->-⎧=⎨-≤-⎩，则(())f f x =___________，||()x f x 的最大值是___________.例42．函数f (x )＝－x 2＋4x －1在区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最大值为g (t )．求g (t )的解析式5.抽象函数解析式例43．对任意实数x ，y ，都有()()222233f x y f y x xy y x y +-=+-+-，求函数()f x 的解析式．例44．已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且()1a f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()10f =，则()3f =（）A ．23B ．43C ．2D ．3例45．已知函数()f x 在x ∈R 上满足()()22226f x f x x x +=--+，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程是（）A ．260x y --=B ．640x y --=C ．240x y --=D ．240x y +-=例46．定义在R 上的函数()f x 单调递增，且对x R ∀∈，有()()23xf f x -=，则()4log 3f =___________.例47．已知定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则方程()2f x =_______．例48．已知()f x 在(0,)+∞上是减函数，且()()()1f x f y f xy +=+对任意的(0,)x ∈+∞都成立，写出一个满足以上特征的函数()f x =___________.例49．设()f x 是定义在R 上的函数，且满足对任意,x y 等式()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，则()f x 的解析式为_____________．题型七：函数值域的求解1.观察法例50．函数111y x =-+的值域是（）A ．(),1-∞-B ．()1,++∞C ．()(),11,-∞--+∞ D ．(),-∞+∞例51．下列函数中，值域为()0 ,+∞的是（）A ．2y x =B ．2y x=C ．2xy =D ．2log y x=例52．下列函数中，函数值域为(0,)+∞的是（）A ．2(1),(0,)y x x =+∈+∞B ．2log ,(1,)y x x =∈+∞C ．21y x =-D ．y =2.配方法例53.函数的y =）A ．[)0,+∞B ．[]0,2C ．[)2,+∞D ．()2,+∞例54．函数()y f x =的图象是如图所示的折线段OAB ，其中()1,2A ，()3,0B ，函数()()g x x f x =⋅，那么函数()g x 的值域为（）A ．[]0,2B ．90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．[]0,4例55．已知正实数a ，b ，c 满足21a b +=，12abc c +=，则c 的最大值为（）A ．12B ．23C ．815D ．23.图像法（数形结合）例56．函数241y x x =-+，[]0,4x ∈的值域是（）A ．[]1,6B ．[]3,1-C ．[]3,6-D ．[)3,-+∞例57.函数()[0,2])f x x π=∈的最小值是（）A ．22B ．1-C ．D ．例58．函数f (x )＝12x -的值域为()A ．[－43,43]B ．[－43,0]C ．[0,1]D ．[0,43]例59.已知[x ∈，y R +∈，则229())x y y-+-的最小值为___________.例60．函数y =的值域为_____.4.基本不等式法例61．下列函数中最小值为6的是（）A ．226y x x =++B ．9|cos ||cos |y x x =+C ．933xx y =+D ．9ln ln y x x=+例62．函数2221x x y x ++=+的值域是_______．5.换元法（代数换元与三角换元）例63．函数()f x =的值域为（）A ．[0,4]B ．(,2]-∞C ．[2,)+∞D ．[0,2]例64．函数()1423x x y x R -=++∈的值域为（）A ．[)2,+∞B ．()3,+∞C ．13,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．[)9,+∞例65．函数()f x x =）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞例66．若y =y 的取值范围是________6.分离常数法例67．函数y 243xx+=-的值域是（）A ．（﹣∞，+∞）B ．（﹣∞，12-）∪（12，+∞）C ．（﹣∞，13-）∪（13，+∞）D ．（﹣∞，13-）∪（13-，+∞）例68．函数23()31x f x x -=+的值域（）A ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7.判别式法例69．函数()2211x x f x x x --=++的最大值与最小值的和是（）A ．53B ．23C ．1D ．23-例70．函数()2212x x f x x x -+=-+的值域是___________.例71．求函数22122x y x x +=-+的值域______________．例72.函数222421x x y x ++=+的值域为_________.8.单调性法例73．已知函数()114,10lg ,10a x a x y x x ⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．9,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．9,14⎛⎫- ⎪⎝⎭例74．已知函数()f x =()f x 的值域为（）A ．[]3,0-B ．[]0,3C ．[]3,3-D ．[]3,12例75．函数()2f x x =+的值域为（）A ．[1,)-+∞B ．[0,)+∞C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞9.有界性法例76．函数cos 1cos 2y αα+=+的值域是________________.例77．函数12321x x y ++=+的值域为（）A ．(0,2)B ．[2,)+∞C ．(2,3)D ．[1,2]例78．实数x ，y 满足()()221211x y x y +-+-+=，则2x y +的最大值为___________．10.导数法例79．函数32()343x f x x x =+--在[]0,2上的最小值是__________.例80．已知函数2 ()2ln f x x x =-，则() f x 在[1,]e 上的最大值是__________．例81．已知函数()2sin f x x x =-，当[]0,1x ∈时，函数()y f x =的最大值为_______.例82．已知函数()ln(ln (1))f x x e x m =+--，若曲线22311x y x +=+上存在点()11,x y ，使得()()11y f f y =，则实数m 的最大值是（）A ．0B ．3C ．2-D ．1-题型八：分段函数的应用例83．已知函数()1221,0,,0,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若()3f m =，则m 的值为（）AB ．2C ．9D ．2或9例84．已知()3,00x x f x x +≤⎧⎪=>，若()()32f a f a -=+，则()f a =（）A ．2BC ．1D ．0例85．己知函数()323,1log ,1x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪≥⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．1B ．2C ．3D ．4例86．设函数()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，则()()22log 6f f -+=（）A ．2B ．6C ．8D ．10例87．已知函数ln ,0,(),0,1x e x f x x a x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪-⎩，则(1)f =___________；若((1))1f f -=，则实数=a ___________.例88．设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩，若()()1f a f a =+，则=a __________，1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.检测题一.单选题1．下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是A ．()=f x xB ．()f x x x=-C ．()1f x x =+D ．()f x x=-2．已知()f x 是定义域为R 上的单调增函数，且对任意x ∈R ，都有()()26f f x x -=，则()6f 的值为（）A ．12B ．14C ．14-D ．183．若函数f （x ）满足f （1－ln x ）＝1x，则f （2）＝（）A ．12B ．e C ．1eD ．－14．设全集U =R ，集合(){|ln 1},{|M x y x N x y ==-=，则M N = （）A ．（1，2）B ．（1，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）5．已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（）A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭6．函数()133x y x x +=>-的值域是（）A ．()1,+∞B ．()0,∞+C ．()3,+∞D ．()4,+∞7．若函数21121x f x x x-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则函数()()4g x f x x =-的最小值为（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[ 3.7]4-=-，[2.3]2=.已知1()21xx e f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域为（）A ．{0}B ．{1-，0}C ．{2-，1-，0}D ．{1-，0，1}二、多选题9．已知()f x 满足()2(-)21f x f x x -=-，则（）A ．(3)3f =B ．(3)3f =-C ．()()2f x f x +-=D ．()()-2f x f x +-=10．下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是（）A ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝211x x --B ．f (x )g (x )C ．f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1D ．f (x )＝2x，g (x )11．关于直线y m =与函数24y x x =++的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（）A ．不论m 为何值时都有交点B ．当2m >时，有两个交点C ．当2m =时，有一个交点D ．当2m <时，没有交点三、填空题12．已知函数2,0()0xx f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则((2))f f -=____________．13．若定义在R 的函数()f x ，满足()()22425f x f x x x =--+，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是___________.14．已知f （x ）是定义在R 上的周期为4的周期函数，在区间[﹣2，2]上，f （x ）＝,022,201ax b x cx x x+≤≤⎧⎪+⎨-≤<⎪-⎩，且f （5）＝2f （12），则3a +2b +c 的值为__．四、解答题15．若()241f x x x t =-+-，其中t 是常数(1)求()4()f x f x +--的值;．(2)方程()0f x =的两根异号，求实数t 的取值范围；(3)当4t =时，求出不等式()0f x x>的解集．16．求下列函数的值域（1）34xy x+=-；（2）25243y x x =-+；（3）y x =；（4）22436x x y x x ++=+-；（5）4y =；（6）y x =+（7）y ；（8）y =（9）312x y x +=-；（10）2211(212x x y x x -+=>-.17．知函数()()()2log 260,1a f x kx x a a =-+>≠（1）若函数的定义域为R ，求实数k 的取值范围；（2）若函数()f x 在[1,2]上恒有意义，求k 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由18．如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数()f x 义域为{2|10x ax bx a +++≥且}0x ≥.（Ⅰ）若2a =-，3b =，求()f x 的定义域；（Ⅱ）当1a =时，若()f x 为“同域函数”，求实数b 的值；（Ⅲ）若存在实数0a <且1a ≠-，使得()f x 为“同域函数”，求实数b 的取值范围.19．若f （x ）＝x 2－2x ，g （x ）＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，求实数a 的取值范围．题型一：函数的概念例1．（2022·全国·高三专题练习）函数y =f (x )的图象与直线1x =的交点个数（）A ．至少1个B ．至多1个C ．仅有1个D ．有0个、1个或多个【答案】B 【解析】【分析】利用函数的定义判断.【详解】若1不在函数f (x )的定义域内，y =f (x )的图象与直线1x =没有交点，若1在函数f (x )的定义域内，y =f (x )的图象与直线1x =有1个交点，故选：B.例2．（2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（）A ．（1）（2）B ．（1）（2）（3）C ．（1）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4）【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义即可得到答案.【详解】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足.故选：C.（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）下列对应关系f ，能构成从集合M 到集合N 的函数的是（）A ．13,1,22M ⎧⎫=⎨⎩⎭，{6,3,1}N =--，162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1)3f =-，312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．{|1}M N x x ==≥-，()21f x x =+C ．{1,2,3}M N ==，()21f x x =+D ．M =Z ，{1,1}N =-，1,,()1,.x f x x -⎧=⎨⎩为奇数为偶数【答案】ABD 【解析】根据函数的定义，结合函数的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，集合M 中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合N 中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合M 到集合N 的函数；对于B 中，集合{|1}M x x =≥-中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合{|1}N x x =≥-中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合M 到集合N 的函数；对于C 中，集合{1,2,3}M =，当3x =时，可得(3)5f N =∉，所以不能构成从集合M 到集合N 的函数；对于D 中，集合M =Z 中的任一元素，按1,,()1,.x f x x -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，在集合{1,1}N =-有唯一的元素与之对应，所以能构成从集合M 到集合N 的函数.故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的基本概念及判定，其中解答中熟记函数的基本概念，结合函数的定义逐项判定是解答的关键，着重考查推理与判定能力，属于基础题.例4．（2022·浙江·高三专题练习）将函数π2sin 0,22x y x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图像绕着原点逆时针旋转角α得到曲线T ，当(]0,αθ∈时都能使T 成为某个函数的图像，则θ的最大值是（）A ．π6B ．π4C ．3π4D ．2π3【答案】B 【解析】【分析】根据函数的概念，一个x 只能对应一个y ，所以找到在原点处的切线，使图像旋转过程中切线不能超过y 轴即可.【详解】解：'cos 2xy =在原点处的切线斜率为1k =，切线方程为y x=当2sin2xy =绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角θ大于4π，则旋转所成的图像与y 轴就会有两个交点，则曲线不再是函数的图像.所以θ的最大值为4π.故选：B.【点睛】思路点睛：函数的关键点：每一个x 都有唯一的一个确定的数y 和它对应，所以考虑函数的切线，当函数的切线超过y 轴时，一个x 会有2个y 和它对应，则不满足情况，所以旋转角度即为切线的旋转角.例5．（2022·全国·高三专题练习）存在函数()f x ，对于任意x ∈R 都成立的下列等式的序号是________．①()sin 3sin f x x =；②()32sin 3f x x x x =++；③()222f x x +=+；④()242f x x x +=+．【答案】④【解析】【分析】根据函数定义逐项判断①②③，采用换元的方法求解④中()f x 的解析式并进行判断.【详解】①当0x =时，()00f =；当3x π=时，()302f =，与函数定义矛盾，不符合；②当0x =时，()00f =；当3x π=时，()320++333f πππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与函数定义矛盾，不符合；③当2x =-时，()60f =；当2x =时，()64f =，与函数定义矛盾，不符合；④令2x t +=，所以()24f t t -=，令[)244,t m -=∈-+∞，所以4t m =±+所以()[))444,f m m m m =±+=+∈-+∞，所以()[))44,f x x x =+∈-+∞，符合，故答案为：④.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于对于函数定义的理解以及换元法求解函数解析式的运用，通过说明一个自变量x 的值对应两个不同的()f x 的值，判断出不符合函数定义；同时在使用换元法求解函数解析式时，新元取值范围的分析不能遗漏.【方法技巧与总结】利用函数概念判断题型二：同一函数的判断例6．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（）①()f x ()g x =②()f x x =与()g x =③()0f x x =与()01g x x=．④()221f x x x =--与()221g t t t =--．A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④【答案】C 【解析】【分析】根据函数的概念可知同一函数需满足定义域和对应关系均相同，因此结合题目逐个分析即可得到结果.【详解】对于①，()f x =(),0-∞，()g x =(),0-∞，所以()f x =-()f x 与()g x 的定义域相同，但对应关系不同，则不是同一函数；对于②()g x x ==，所以()f x x =与()g x =对于③()0f x x =的定义域为{}0x x ≠，()01g x x =的定义域为{}0x x ≠，且()1f x =，()1g x =，因此函数()0f x x =与()01g x x =的定义域和对应关系均相同，则是同一函数；对于④()221f x x x =--的定义域为R ，()221g t t t =--的定义域为R ，因此函数()221f x x x =--与()221g t t t =--的定义域和对应关系均相同，则是同一函数；故选：C.例7．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．()lnx f x e =，()g x x=B ．24(),()22x f x g x x x -==-+C ．0()f x x =，()1g x =D ．()||f x x =，{1x ∈-，0，1}，2()g x x =，{1x ∈-，0，1}【答案】D 【解析】【分析】根据函数的定义域和同一函数的定义逐一判断可得选项.【详解】解：对于A ：()f x 的定义域是(0,)+∞，()g x 的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于B ：()2f x x =-，(2)x ≠-，()g x 的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于C ：()f x 的定义域为{|0}x x ≠，()g x 的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于D ：()f x 对应点的坐标为{(1,1)-，(0,0)，(1,1)}，()g x 对应点的坐标为{(1,1)-，(0,0)，(1,1)}，两个函数对应坐标相同，是同一函数，故选：D ．（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中表示同一个函数的是（）A ．()2f x x =，2,0()2,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩B ．2()f x x =，2()g t t =C ．0()3x f x x =+，1()3g x x =+D ．()4f x x =+，216()4x g x x -=-【答案】AB 【解析】【分析】确定函数的定义域与对应法则是否相同即可判断．【详解】A 中两个函数定义域都是R ，对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数；B 中两个函数定义域都是R ，对应法则都是取平方，是同一函数；C 中()f x 定义域是{|0}x x ≠，()g x 的定义域是R ，不是同一函数；D 中()f x 的定义域是R ，()g x 的定义域是{|4}x x ≠，不是同一函数．故选：AB ．（多选题）例9．（2022·全国·高三专题练习）在下列四组函数中，()f x 与g()x 不表示同一函数．．．．．．．的是（）A ．()1f x x =-，21()1x g x x -=+B ．()|1|f x x =+，1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C ．()1f x =，0()(1)g x x =+D ．()f x x =，2()g x =【答案】ACD 【解析】【分析】根据同一函数的要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分别进行判断，得到答案.【详解】A 选项，()f x 定义域为R ，()g x 的定义域为()(),11,-∞--+∞ ，所以二者不是同一函数，故A 符合题意；B 选项，()11111x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩，与()g x 定义域相同，对应法则也相同，所以二者是同一函数，故B 不符合题意；C 选项，()f x 定义域为R ，()g x 的定义域为()(),11,-∞--+∞ ，所以二者不是同一函数，故C 符合题意；D 选项，()f x 定义域为R ，()g x 的定义域为[)0,+∞，所以二者不是同一函数，故D 符合题意；故选：ACD.【点睛】方法点睛：函数的三要素是定义域，对应关系（解析式），值域，而定义域和对应关系决定值域，所以判断两个函数是否相同只需要判断两个要素：定义域，对应法则是否相同即可.【方法技巧与总结】当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数.题型三：给出函数解析式求解定义域例10．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为40cm ，底边长()y cm 是腰长()x cm 的函数，则函数的定义域为()A ．()10,20B ．()0,10C ．()5,10D ．[)5,10【答案】A 【解析】【分析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域.【详解】由题设有402y x =-，由4020402x x x x ->⎧⎨+>-⎩得1020x <<，故选A.【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.例11．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）函数()f x =___________.【答案】()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为0，根据真数列出不等式，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．【详解】由题意可知()22log 291420x x -+->，而以2为底的对数函数是单调递增的，因此229144x x -+>，求解可得2x <或52x >．故答案为：()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭．例12．（2022·北京·模拟预测）函数()()lg 2f x x =-的定义域是_______．【答案】1[,2)2-【解析】【分析】依据题意列出不等式组，解之即可得到函数的定义域【详解】由题意可得，21020x x +≥⎧⎨->⎩，解之得122x -≤<则函数()()lg 2f x x =+-的定义域是1[,2)2-故答案为：1[,2)2-例13．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）函数()f x =___________.【答案】(,0]-∞【解析】【分析】根据具体函数的定义域求法，结合指数函数的单调性求解.【详解】解：由1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得011122⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x，所以0x ≤，所以函数的定义域为(,0]-∞，故答案为：(,0]-∞【方法技巧与总结】对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子()f x 有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式.题型四：抽象函数定义域例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域为()0,1，则函数()()21xF x f =-的定义域为（）A ．(),1-∞B ．()(),00,1-∞⋃C ．()0,∞+D ．[)0,1【答案】B 【解析】【分析】抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x 的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致.【详解】()y f x = 的定义域为()0,1，1021x-∴<<，即121121x x ⎧-<-<⎨≠⎩，10x x <⎧∴⎨≠⎩，解得：1x <且0x ≠，()()21x F x f ∴=-的定义域为()(),00,1-∞⋃.故选：B .例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()24y f x =-的定义域是[]1,5-，则函数()21y f x =+的定义域为______.【答案】5,102⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由函数()24y f x =-的定义域是[]1,5-，可求24x -的值域，即函数()f x 的定义域，再由[]214,21x +∈-，即可求得()21y f x =+的定义域.【详解】()24y f x =-的定义域是[]1,5-，则[]244,21x -∈-，即函数()f x 的定义域为[]4,21-，令[]214,21x +∈-，解得5,102x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.则函数()21y f x =+的定义域为5,102⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：5,102⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求法，注意理解函数()f x 的定义域与函数()f g x ⎡⎤⎣⎦定义域的区别.例16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)=-y f x 的定义域为[]1,3，则函数()3log y f x =的定义域为（）A ．[]0,1B ．[]1,9C ．[]0,2D ．[]0,9【答案】B 【解析】【分析】根据1x -与3log x 的取值范围一致，从而得到[]3log 0,2x ∈，进而求得函数的定义域．【详解】由[]1,3x ∈，得[]10,2x -∈，所以[]3log 0,2x ∈，所以[]1,9x ∈．故选：B ．例17．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x 的定义域为[]1,2-，则函数()2g x -=（）A ．[]1,4B ．(]1,4C ．[]1,2D ．(]1,2【答案】B 【解析】根据题意可得出关于x 的不等式组，由此可解得函数()g x 的定义域.【详解】由于函数()f x 的定义域为[]1,2-，对于函数()2g x -=12210x x -≤-≤⎧⎨-≠⎩，解得14x <≤.因此，函数()g x =的定义域是(]1,4.故选：B.例18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[3,6]，则函数y =（）A ．3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】由函数的定义域得到2x 的范围，根据分母不为0及被开方数非负得到关于x 的不等式，求出不等式的解集．【详解】解：由函数()f x 的定义域是[]3,6，得到326x ，故1232620(2)0x x log x ⎧⎪⎪->⎨⎪->⎪⎩即332212x x x ⎧⎪⎪>⎨⎪<<⎪⎩解得：322x <；所以原函数的定义域是：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查学生掌握复合函数的定义域，考查了对数不等式的解法，属于基础题．例19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是定义在[)2,+∞的单调递增函数，若()()222544f a a f a a -+<++，则实数a 的取值范围是（）．A ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．[)2,6C ．[)10,2,62⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦D ．()0,6【答案】C 【解析】根据函数的定义域以及单调性可得22222542422544a a a a a a a a ⎧-+≥⎪++≥⎨⎪-+<++⎩，解不等式组即可．【详解】因为函数()f x 是定义在[)2,+∞的单调递增函数，且()()222544f a a f a a -+<++，所以2222122542242254406a a a a a a a R a a a a a ⎧≤≥⎪⎧-+≥⎪⎪++≥⇒∈⎨⎨⎪⎪-+<++<<⎩⎪⎩或，解得102a <≤或26a ≤<．故选：C ．例20．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的定义域：(1)已知函数()f x 的定义域为[]22-,，求函数()21y f x =-的定义域.(2)已知函数()24y f x =+的定义域为[]0,1，求函数()f x 的定义域.(3)已知函数()f x 的定义域为[]1,2-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域.【答案】(1)⎡⎣；(2)[]4,6；(3)⎡⎤⎣⎦.【解析】【分析】抽象函数定义域求解，需注意两点：①定义域是函数解析式中自变量“x ”的范围；②对于同一个对应关系“f ”，“f ”后括号里面式子整体范围相同.(1)()21y f x =-中2x －1的范围和()f x 中x 范围相同，()f x 中x 范围是[]22-,；(2)()f x 中x 的范围和()24y f x =+中2x ＋4范围相同，()24y f x =+中x 范围是[]0,1；(3)2(1)(1)y f x f x =+--中x ＋1与21x -均与()f x 中x 范围相同，()f x 中x 的范围是[]1,2-.(1)令－2≤2x －1≤2得－1≤2x ≤3，即0≤2x ≤3x∴函数2(1)y f x =-的定义域为[.(2)∵(24)y f x =+的定义域为[0,1]，即在(24)y f x =+中x ∈[0,1]，令24t x ＝＋，x ∈[0,1]，则t ∈[4,6]，即在()f t 中，t ∈[4,6]，∴()f x 的定义域为[4,6].(3)由题得2112112x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩＋，1x ≤≤，∴函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域为[.【方法技巧与总结】1.抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若)(x f 的定义域为)(b a ，，求)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域，口诀：定义域指的是x 的范围，括号范围相同．已知)(x f 的定义域，求四则运算型函数的定义域2．若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．题型五：函数定义域的应用例21．（2022·全国·高三专题练习）若函数()22112()ln 2xxa f x a+++=+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(2,1)(1,)--⋃-+∞【分析】由题意得到2122xa a ++≥+恒成立，根据定义域为R 得到20a +>恒成立，且满足()2211ln 2021xxa a +++≠⇒+≠，2121x a +≠-,解出a 得范围,二者取交集即可.【详解】因为2122xa a ++≥+，()f x 的定义域为R ，所以首先满足20a +>恒成立，2a >-∴，再者满足()2211ln 2021xxa a +++≠⇒+≠，变形得到[)221121,22,12xxa a ++≠-∈+∞∴-< 1a ∴>-，最终得到1a >-.故选：B.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，则m 的取值范围是（）A ．12m -<<B ．12m -<≤C ．12m -≤≤D ．12m -≤<【答案】C 【解析】【分析】由()()231104m x m x +-++≥在R 上恒成立，分10m +=和10m +≠结合二次函数性质求解即可..【详解】由题意得：()()231104m x m x +-++≥在R 上恒成立.10m +=即1m =-时，()2f x =恒成立，符合题意，10m +≠时，只需()()2101310m m m +>⎧⎪⎨∆=+-+≤⎪⎩，解得：12m -<≤，综上：[]1,2m Î-，故选：C .（多选题）例23．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数y =[]2,1--上有意义，则实数a 可能的取值是（）A ．1-B ．1C ．3D ．5【答案】AB该题可等价于10ax+≥在区间[]2,1--上恒成立，分离参数即可求得.【详解】函数y =[]2,1--上有意义，等价于10ax+≥在区间[]2,1--上恒成立，由0x <得a x ≤-在区间[]2,1--上恒成立，所以1a ≤，故选：AB ．例24．（2022·全国·高三专题练习）函数y =R ，则a 的取值范围是_________．【答案】[)0,4【解析】根据函数的解析式，可知当定义域为R 时，说明210ax ax ++>在R 上恒成立，则对a 进行分类讨论，确定满足条件的a 的范围.【详解】由题意可得210ax ax ++>在R 上恒成立．①当0a =时，则10>恒成立，0a ∴=符合题意；②当0a ≠时，则2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<．综上可得04a ≤<，∴实数a 的取值范围为[)0,4．故答案为：[)0,4.【点睛】不等式20ax bx c ++>的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当0a ＝时，00b c >＝，；当0a ≠时，00a >⎧⎨∆<⎩；不等式20ax bx c ++<的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a ＝时，00b c <＝，；当0a ≠时，00a <⎧⎨∆<⎩．例25．（2022·上海·高三专题练习）已知函数)()lg f x ax =+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】根据对数函数的真数大于0ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg ax ）的定义域为R ，ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．【方法技巧与总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.题型六：函数解析式的求法【方法技巧与总结】求函数解析式的常用方法如下：（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.（2）当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法，若易将含x 的式子配成()x g ，用配凑法.若易换元后求出x ，用换元法.（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法.（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求.（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．（6）若已知成对出现()f x ，1()f x或()f x ，()f x -，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出()f x ．1.待定系数法（函数类型确定）（多选题）例26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是一次函数，满足()()98f f x x =+，则()f x 的解析式可能为（）A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =--【答案】AD 【解析】【分析】设()f x kx b =+，代入()()98f f x x =+列方程组求解即可.【详解】设()f x kx b =+，由题意可知()()()298f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+，所以298k kb b ⎧=⎨+=⎩，解得32k b =⎧⎨=⎩或34k b =-⎧⎨=-⎩，所以()32f x x =+或()34f x x =--.故选：AD.例27．（2022·全国·高三专题练习）设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且(1),(4),(13)f f f 成等比数列，则(2)(4)(2)f f f n +++ 等于（）A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)【答案】A 【解析】由已知可以假设一次函数为1y kx =+，在根据(1),(4),(13)f f f 成等比数列，得出3k =，利用等差数列的求和公式求解即可．【详解】由已知，假设()f x kx b =+，(0)k ≠(0)10f k b ==⨯+ ，1b ∴=．(1),(4),(13)f f f 成等比数列，且41,(13(1)1,(4)1k f f k f k =+=+=+．1k ∴+，41k +，131k +成等比数列，即2(41)(1)(131)k k k +=++，22161813141k k k k ++=++，从而解得0k =（舍去），2k =，(2)(4)(2)f f f n +++ (221)(421)(221)n =⨯++⨯++⋯+⨯+(242)2n n=++⋯+⨯+(1)42n n n +=⨯+2(1)n n n =++()22332n n n n ==++.故选：A ．【点睛】本题考查了等比数列、等差数列和函数的综合应用，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于中档题．例28．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，()00f =，()()22132f x f x x x +-=++，求()f x 的解析式．【答案】()21533f x x x =+【解析】【分析】设()2f x ax bx c =++，由已知建立关系求出,,a b c 即可.【详解】解：因为()f x 为二次函数，所以设()2f x ax bx c =++，因为()00f =，所以0c =，所以()2f x ax bx =+，所以()()()()()22212121442f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++，因为()()22132f x f x x x +-=++，所以()()223432ax a b x a b x x ++++=++，所以31a =，43a b +=，2a b +=，所以13a =，53b =，所以()21533f x x x =+．2.换元法或配凑法（适用于了()[]x g f 型）例29.（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知()2ln 1x f x =+，则()f x =（）A ．()2ln 1x +B ．()2ln 1x +C ．2ln 1x -D ．()2ln 1x -【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用换元法求出()f x 即可作答.【详解】因()2ln 1x f x =+，则设1x t +=，有1x t =-，而0x ≠，则有1t ≠，于是得2()ln(1)2ln |1|f t t t =-=-，。
高中数学宝典】解题方法篇：一、配方法收藏7月3日16:19Jane19881221(我是可爱的珏珏班班)节目介绍：“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。
本节目将介绍高考中的常用数学基本方法（如配方、换元、待定系数法等），再介绍常用的数学思想（如数形结合、分类讨论等），希望同学们能认真学习，掌握解题的金钥匙！解题方法篇：一、配方法方法点拨：配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)^2＝a^2 ＋2ab＋b^2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，也可以结合其他数学知识和性质，如三角函数等，产生另外的配方形式。
如：例题：分析：已知方程有实根，一般考虑从韦达定理入手，得到p+q , pq，再观察不等式结构特征，先通分，再利用配方法表示成p+q，pq的表达式求解。
同时一定不要忽视对Δ的讨论。
小练习：已知长方体的全面积为11，其12 条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。
答案回复可见哦~ 自己动手做一做吧~\(≧▽≦)/~------------------以下为回复可见内容------------------。
2024年高职高考知识点总结一、语文1.汉字与词汇：掌握3500个常用汉字，了解字形、字音、字义。
增加词汇量的积累，尤其是与专业相关的词汇。
2.语法与修辞：理解汉语的语法结构，包括词类、句型、复句等。
熟悉常见修辞手法，如比喻、拟人、排比等，并能在写作中运用。
3.古诗词：背诵并理解100篇经典古诗词，如《静夜思》、《登鹳雀楼》等，了解其背景、含义及艺术特点。
4.现代文阅读：提高阅读速度，训练阅读理解的准确性。
学会分析文章的主题、情感、语言特色等。
5.应用文写作：掌握如通知、信函、简历等常见应用文的写作格式和技巧，能够准确、规范地撰写。
6.作文：训练记叙文、议论文、说明文等不同文体的写作，提高审题、立意、构思的能力。
二、数学1.代数：掌握一元二次方程、不等式、分式方程的解法。
理解函数的概念，掌握一次函数、二次函数、三角函数的性质。
2.几何：了解点、线、面的基本性质，掌握三角形、四边形、圆的基本性质和定理。
3.三角函数与解三角形：理解三角函数的定义和性质，掌握正弦、余弦定理的应用。
4.数列与排列组合：理解等差数列和等比数列的性质，掌握二项式定理和排列组合的基本计算。
5.逻辑推理与数形结合：训练逻辑思维能力，如推理、归纳、演绎等。
同时，学会数形结合的方法，将数学问题转化为图形问题求解。
6.解题技巧：掌握数学中的常用解题技巧，如消元法、换元法、待定系数法等，并能灵活运用。
三、英语1.词汇与语法：积累3000个常用词汇，并掌握其用法。
理解英语的基本语法结构，如时态、语态、从句等。
2.阅读理解：提高阅读速度和准确性，训练对文章的理解能力。
学会分析文章的主题、细节和作者的观点。
3.写作：训练英文书信、电子邮件、简历等的写作技巧，提高语言表达的准确性和流畅性。
4.听力与口语：提高听力理解能力，熟悉不同场景的常用表达和用语。
训练口语表达能力，能够用英语进行简单的交流和表达。
5.翻译：掌握基本的翻译技巧，能够将英文句子或段落准确翻译成中文，或反之。
