八年级同步第15讲：反比例函数的图像及性质

1 / 18反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据．一、 反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x 、y 成反比例，就是xy k =，或表示为ky x =，其中k是不等于0的常数．2、解析式形如ky x=（k 是常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数，其中k 称也叫做比例系数． 3、反比例函数ky x=的定义域是不等于零的一切实数．反比例函数的图像及性质知识结构模块一：反比例函数的概念知识精讲内容分析2/ 18【例1】 下列变化过程中的两个变量是否成反比例?为什么？ （1）被除数为100，变量分别是除数r 和商q ；（2）三角形面积S 一定时，三角形一边上的长a 和这条边上的高h ；（3）一位男同学练习1000米长跑，变量分别是男生跑步的平均速度v （米/秒）和跑完 全程所用时间t （秒）；（4）完成工作量Q 一定时，完成工作量所需的时间t 与工人人数n （假设每个工人的工作效率相同）.【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 一个长方体的体积是20cm 3，它的长是ycm ，宽是5cm ，高是xcm .写出长y 与高x之间的函数关系式. 【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？（1）23y x = (2) 1y x -= (3) 3xy =（4）3y x=（5）27y x =+ （6）y =8x+7 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析【例4】 已知y 是x 的反比例函数，且3x =-时，2y =，那么y 关于x 的函数解析式是________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例5】 已知y4x =时，2y =-，求y 与x 的函数解析式． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例6】 若函数231(2)m m y m x -+=-是反比例函数，则m 的值为________．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例7】 如果2212n n n n y x+++=是反比例函数，那么n 的值是________．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】 已知y 是x的反比例函数，且当2x =时，2y =，那么当1y =+时，x的值是________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例9】 如果变量1x和变量y 成正比例，变量1y 和变量z 成反比例，那么变量x 和z 成________比例关系． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例10】已知反比例函数22++=k xk y ，求k 的值，并求当x =2时的函数值 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例11】已知12y y y =+，若1y 与x 正比例，2y 与x 成反比例函数，且当2x =时，14y =，当3x =时，1293y =，求y 与x 间的函数关系式．【难度】★★ 【答案】 【解析】5 / 18【例12】已知12y y y =+，若1y 与1x -正比例，2y 与1x +成反比例，且当0x =时5y =-，当2x =时1y =； （1）求y 与x 间的函数关系式；（2）求当3y =-时，x 的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例13】已知：正比例函数与反比例函数的比例系数互为相反数，且正比例函数的图像过点3(83)-，，求反比例函数的解析式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】师生总结1、反比例函数自变量的指数是多少？2、反比例函数自变量的定义域是多少？6/ 18二、 反比例函数的图像1、反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像叫做双曲线，它有两支． 三、 反比例函数的性质 1、当0k >时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小．2、当0k <时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐增大．3、图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴，但不会与x 轴和y 轴相交．【例14】已知反比例函数8y x =和8y x=- 列表：取自变量x 的一些值，根据反比例函数的解析式，填写下表x...... (8)y x=…… …… 8y x=-…………描点：分别以所取x 的值和相应函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出相应点 连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的点按照横坐标由小到大的顺序连接 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析知识精讲模块二：反比例函数的图像和性质【例15】 已知反比例函数3y x=-，那么当x ＜0时，y 的值随着x 的增大而________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例16】反比例函数25(2)my m x -=+在它的图像所在的每个象限内，y 随x 的增大而________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例17】 若反比例函数的图像经过点(25)-，，那么函数图像在________象限．【难度】★ 【答案】 【解析】【例18】已知反比例函数2k y x-=，其图象在第一、第三象限内，则k 的取值范围是________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例19】 函数135k y x --=的图像在一、三象限，那么k 的取值范围是________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例20】已知函数ky x=的图象不经过第一、三象限，则y kx =-的图象经过第________象限．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】如果反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像在第二、四象限，那么正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图像经过哪几个象限？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例22】若正比例函数(0)y kx k =≠，与反比例函数(0)my m x=≠的图像没有交点，那么k 与m 满足关系式可以是________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】已知反比例函数1y x=-的图像上有两点11()A x y ，、22()B x y ，，且12x x <，那么下列结论正确的是（ ）A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y =D ．1y 与2y 的大小关系无法确定【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】反比例函数4y x=-的图像上一点的横坐标是3，那么这点到x 轴的距离是________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】 已知反比例函数21k y x+=（1）若该函数图像经过点(21)-，，求k 的值；（2）若该函数图像在每一象限内y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例26】直线y kx =(k ＞0)与双曲线交于11()A x y ，、22()B x y ，两点， 求122127x y x y -的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】xy 4=【例27】反比例函数2yx=的图像上一点A，过A点分别作x轴、y轴垂线，垂足为B、C；（1）求矩形ABOC的面积；（2）当点A沿双曲线移动时（1）中矩形面积有变化吗？为什么？【难度】★★【答案】【解析】【例28】若P（a，b）是反比例函数图像上的一点，且a是b是的小数部分，求反比例函数的解析式．【难度】★★★【答案】【解析】【例29】已知：点A、B是函数3yx=-图像上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BC∥x轴，求△ABC的面积．【难度】★★★【答案】【解析】11 / 18【例30】反比例函数xky =(0)k <的图像经过点(3)A m -，，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为3，求k 和m 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例31】已知：反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于A ，B 两点，若点A 在第二象限，且点A 的横坐标为-3，且AD ⊥x 轴，垂足为D ，△AOD 的面积是4． （1） 写出反比例函数的解析式； （2） 求出点B 的坐标；（3） 若点C 的坐标为（6，0），求△ABC 的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】师生总结反比例函数的图像具有哪些性质？12/ 18【习题1】 下列问题中的两个变量是否成反比例？如果是，可以用怎样的数学式来表示？ （1）平行四边形的面积为20平方厘米，变量分别是平行四边形的一条边长a （厘米）和这条边上的高h （厘米）；（2）一位男同学练习一千米长跑，变量分别是男生跑步的的平均速度v （米秒）和跑完全程所用时间t （秒）.【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 下列函数是不是反比例函数？为什么？（1）13y x =-； （2）4xy =；（3）15y x =-； （4）2(0)ay a a x =≠为常数，；（5）1y x π= ； （6）21y x= ．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 若函数223()k k y k k x --=+是反比例函数，则k 的值是________．【难度】★ 【答案】 【解析】随堂检测【习题4】 在同一平面直角坐标系内，分别画出下列函数的图像．（1）4y x =； （2）4y x =-．求：（1）这两个函数的图像分别位于哪几个象限内？（2）在每一象限内，随着图像上的点的横坐标x 逐渐增大，纵坐标y 是怎样变化的？（3）图像的每支都向两方无限延伸，它们可能与x 轴、y 轴相交吗？为什么？【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题5】 已知正比例函数y kx =与反比例函数xky -=6图像的一个交点坐标是（1，3），则反比例函数的解析式是________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题6】 已知反比例函数xk y 1+=，11()x y ，、22()x y ，为其图像上的两点，若当120x x <<时，12y y >，则k 的取值范围是________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】 若点(34)，是反比例函数221m m y x++=图像上一点，则此函数图像必经过点（ ）A .(34)-，B .(26)-，C .(43)-，D . (26)， 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 已知M 是反比例函数ky x=(0)k ≠ (k ≠0)图像上一点，MA x ⊥轴于点A ，若 4AOMS =V ，则这个反比例函数的解析式是（ ）A ．8y x =； B ．8y x =-； C ．8y x =或8y x =-； D ．4y x =或4y x=-. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】 已知122y y y =+，若1y 与(1)x +正比例，2y 与x 成反比例函数，且当1x =时，1y =-；当3x =-时，3y =，求y 与x 间的函数关系式．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题10】 已知第三象限内的点B （3m ，m）在反比例函数的图像上，且OB =，而点A （1，y ）也在双曲线上，求反比例函数的解析式，并求出△AOB 的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】15 / 18【习题11】 11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点P 1、P 2在4y x=x ＞0）的图像上，斜边OA 1、A 1A 2都在x 轴上，求点A 2的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题12】 两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图像如图所示，点P 在k y x=的图像上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图像于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图像于点B ，当点P 在ky x=的图像上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等； ②四边形P AOB 的面积不会发生变化； ③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】反比例函数ayx=的图像在第二、四象限，则a________．【难度】★【答案】【解析】【作业2】当n=________时，函数224(3)n ny n x--=-是反比例函数．【难度】★【答案】【解析】【作业3】函数21(1)my m x-=-是反比例函数，且图像经过第二、四象限，则m=________．【难度】★【答案】【解析】【作业4】已知反比例函数13kyx-=，当k________时，它的图像在第二、四象限，此时，在每个象限内，y随x的增大而________．【难度】★【答案】【解析】课后作业16/ 18【作业5】 已知长方形的面积为20平方厘米，它的一边长为x 厘米，求这个边的邻边长y（厘米）关于x （厘米）的函数解析式，并写出这个函数的定义域． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】 反比例函数ky x=的图像上有两点111()p x y ，，222(,)p x y ，若120x x <<，12y y >，则k ________0，图像经过第________象限． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业7】 在平面直角坐标系内，从反比例函数ky x=(0)k ≠上一点作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴围成面积为3的矩形，求函数解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 （1）已知y 与2x -成反比例，当4x =时，3y =，求5x =时，y 的值； （2）已知y 与2x 成反比例，并当3x =时，2y =，求 1.5x =时，y 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业9】 已知12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与2x 成反比例，当2x =与3x =时，19y =，求y 关于x 的函数解析式．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业10】 点A 是反比例函数6y x=的图像上的一点，AB ⊥y 轴于点B ，求△AOB 的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业11】 已知n 是正整数，111()P x y ，，222()P x y ，，…()n n n P x y ，，…是反比例函数图像上的一列点，其中11x =， 22x =，…，n x n =，…．记112A x y =，223A x y =，…，1n n n A x y +=，…，若1A a =(a 是非零常数)，求12n A A A ⋅⋅⋅K 的值(用含a 和n 的代数式表示)． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】。