八届世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛九年级地方晋级赛初赛A卷答案

第十三届世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得一份试卷。

考试期间，不得使用计算工具或手机。

2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。

3. 请将答案写在试卷上。

考试完毕时，试卷及草稿纸会被收回。

4. 若计算结果是分数，请化至最简，并确保为真分数或带分数。

九年级地方晋级赛初赛A 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题。

（每小题4分，共40分）1.要使式2+a 在实数范围内有意义，则字母a 的取值范围是（ ）。

A.a ＞2 B.a ≥－2 C.a ＞－2 D.a ＜22.一元二次方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根是3，则这个方程的另一个根是（ ）。

A.2 B.－2 C.－6 D.63.①2.19.06.1=⨯；②694322=÷；③36362=⨯，其中正确的有（ ）个。

A.0B.1C.2D.34.袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，任意摸出一个是红球的概率为（ ）。

A.52 B.53 C.32 D.21 5.方程x 2－2x ＝6的根的情况为（ ）。

A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根 6.两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，……，那么六条直线最多有（ ）。

A.21个交点 B.18个交点 C.15个交点 D.10个交点7.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且P ＝|a －b ＋c |＋|2a ＋b |，Q ＝|a ＋b ＋c |＋|2a －b | ，则P 、Q 的大小关系为（ ）。

A. P ＜QB. P ＞QC. P ＝QD.无法确定第7题图 第8题图 第10题图8.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，O 为AC 上一点，以O 为圆心，OC 为半径作圆切AB 于E ，交AC 于F ，则AF 的长为（ ）。

八年级海选A 试卷答案一、填空。

（每题5分，共计50分）1、62、4，23、4、205、-16、2327、锐角三角形8、9999980000019、12010、8二、计算题（每题6分，共计12分）11、解：设s=1+3+5+7+9+…+1997+1999.......................................................................1分S=1999+1997+…+9+7+5+3+1......................................................................2分2s=2000×1000.......................................................................4分S=1000000.......................................................................6分12、解：s=1+5+52+53+…+5100..................................2分5s=5+52+53+…+5100+5101...............4分5s-s=5101-1................................5分s=...........................................................6分三、解答题（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分）13、解：=.............1分=........................2分..........................................................................................4分...............................................................5分x=...............................................................6分14、三式相加得（a+b+c ）+（）=72.................................2分................4分...............6分又因为a、b、c均为正实数，所以a+b+c=8.............8分15、解：设交换前行驶x千米，交换后行驶y千米：.................................5分解得x+y==3750（千米）................................10分16、解：（1）因为OB=OD，所以................................................................1分因为OC=2OE，所以................................................................2分所以................................................................4分（2）因为................................................................5分由（1）可知................................................................6分连接OA，设因为OB=OD，，故 (7)分因为OC=2OE，所以...................................................8分X=3................................................................9分所以................................................................10分17、作BF∥DE交AC于F，作∠ACB的角平分线交AB于G，交BF于H (1)分则∠AED=∠AFB=∠CHF+∠C.........................2分因为∠AED=90°+∠C，所以∠CHF=90°=∠CHB................................................................4分又∠FCH=∠BCH，CH=CH....................................................................5分所以△FCH≌△BCH............................................................6分所以CF=CB=4.........................................................................................7分所以AF=AC-CF=3.................................................................8分因为AD=DB，BF∥DE.....................................................................................9分所以AE=EF=1.5..................................................................................10分所以CE=5.5..................................................................................12分18、过A做BC垂线交BC于N，交BD于M (1)分因为AB=AC，∠BAC=90°........................................................................................2分所以∠BAM=∠DAM=∠C=45°又因为AE⊥BD所以∠1=∠2,.........................................................................................3分所以Rt△ABM与Rt△CAF中∠BAM=∠C，AB=AC，∠1=∠2所以Rt△ABM≌Rt△CAF （ASA）........................................................................................6分所以AM=CF,.........................................................................................7分所以△ADM与△CDF中，AD=CD,∠DAM=∠C,AM=CF所以△ADM≌△CDF（SAS）........................................................................................10分所以∠ADB=∠CDF.........................................................................................12分。

九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。

A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 一个等差数列的首项为2，公差为3，则第10项为（）。

A. 29B. 30C. 31D. 324. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(3)的值为（）。

A. 6B. 9C. 12D. 155. 在直角坐标系中，点(3, 4)关于y轴的对称点为（）。

A. (-3, 4)B. (3, -4)C. (-3, -4)D. (4, 3)二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个等腰三角形一定是相似的。

（）2. 任何数乘以0都等于0。

（）3. 二次函数的图像一定是一个抛物线。

（）4. 平行四边形的对角线互相平分。

（）5. 一元一次方程的解一定是整数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个圆的半径为r，则它的周长为______。

2. 若等差数列的首项为a，公差为d，则第n项为______。

3. 若函数f(x) = ax² + bx + c，则它的顶点坐标为______。

4. 在直角坐标系中，点(2, -3)关于原点的对称点为______。

5. 若一个平行四边形的面积为S，底为b，高为h，则S =______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列的定义。

2. 简述二次函数的图像特点。

3. 简述勾股定理。

4. 简述平行线的性质。

5. 简述一元二次方程的解法。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个正方形的边长为10cm，求它的对角线长。

2. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项。

3. 已知函数f(x) = 3x² 12x + 9，求它的顶点坐标。

4. 在直角坐标系中，已知点A(2, 3)和点B(4, 7)，求线段AB的长度。

2013世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方晋级赛（三年级试题答案及评分标准）一、填空题（每题8分，共计64分）1・2002年5月31日2.1993・804.5・4分钟6.7.80 + 123 - 116 + 53 — 40=1008・31一、计算题(每题10分，共计20分)9・原式=53 X 32+53X 13+53 X 31+53X 2+53X22=53X (32+13+31+2+22)=53X100=530010.原式=222X4X111+222X556二222X444+222X556=222X (444+556)=222X1000=222000三、解答题（第11题12分，第12题12分，第13题12分，第14题15分，第15题15分,共计66分）11.18+18+22=58584-2=29三年级：3284-2+29=193三年级=193 （人）...... 算出三年级人数6分四年级:3284-2-29=13 ........... 算出四年级人数6分（注：此题有多种解法，得出与题目对应的答案，根据评分标准分别给分）12.正方形边长：484-4=12 （厘米）小长方形：边长：124-2=6 （厘米） ....... 3分宽：124-4=3 （厘米）....... 3分周长：（6+3）x2=18 （厘米） ........ 3分面积：6x3=18 （平方厘米） ....... 3分13.（220+270） 4-7=70 （页）............ 8 分14004-70=20 （天）............ 12 分14.7 年前小明:（15+6） 4-（8-1） =3（岁）............. 8 分今年小明：7+3=10（岁）............ 12分今年大伯：10+15+6=31 （岁）............ 15分15.哥哥（26+2）/2=14 块弟弟14-2=12块................. 8分弟弟给哥哥5块以前，哥哥：14-5=9块弟弟：26-9=17块................. 10分弟弟从哥哥那儿抢走一半以前，哥哥：9X2=18块弟弟：26-18=8块................. 12分哥哥从弟弟那儿抢走一半以前，弟弟：8X2=16块................. 15分（注：此题有多种解法，得出与题目的对应答案，根据评分标准分别给分。

第九届世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛九年级地方晋级赛答案一、填空题。

（每题5分，共60分）1.2.3.(1)(2)y x y ++−4.205.24或6.27.1478.29719.610.-411.150°12.①④二、解答题。

（每题10分，共40分）1.解：（1）当m =1时，方程为2410x x ++=配方得：2(44)410x x ++−+=即2(2)3x +=所以2x +=则方程的根为：2x =−±（2）因为方程没有实数根，则△=24410m −××<所以416m >4m >。

2.解：⑴30020y x=+06045x x ≥⎧⎨−≥⎩∴0≤x≤15∴所求的函数关系式为：30020y x =+（0≤x ≤15）.⑵设每星期的利润为W 元，W=(60)(30020)40(30020)x x x −+−×+=2520()61252x −−+∵x 为正整数，当x =2或3时，W 有最大值为6120元.当x =2时，60-x =58；当x =3时，60-x =57；∴当售价为58元或57元时，每星期的利润最大，最大利润为6120元。

3.证明：∵BC 是⊙O 的切线∴∠ABC ＝∠ABD +∠CBD ＝90°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°则∠BFD +∠EBD =90°又EBD CBD ∠=∠，∴∠ABD =∠BFD .如图可知：A 、B 、D 、G 四点共圆。

∴∠ABD =∠CGD∴∠ABD =∠BFD =∠CGD又ACB ∠的平分线交⊙O 于D ，EBDCBD ∠=∠∴点D 到AC 、BC 、BE 的距离相等分别作DM ⊥BE 于M ，DN ⊥AC 于N ，则DM =DN在Rt △MFD 和Rt △NGD 中，DM =DN ，∠MFD =∠NGD ,∠FMD =∠GND =90°∴△DMF ≌△DNG ，∴DF =DG ．4.⑴证明：连接OD ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠C =60°，∵OB =OD ，∴∠ODB =∠ABC =60°，∴∠DOB =∠C =60°，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC 于E ，∴OD ⊥DE ，∴DE 是半圆O 的切线。

九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。

A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 54. 下列哪个图形不是正多边形？（）A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 正五边形5. 若一个圆的半径为r，则它的周长为（）。

A. 2rB. 2πrC. πr²D. r²/2二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘的结果一定是正数。

（）2. 任何数乘以0都等于0。

（）3. 对角线相等的四边形一定是矩形。

（）4. 一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的解可以用公式x = [-b ± √(b² 4ac)] / 2a求得。

（）5. 任何数都有倒数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则第三个内角的度数为______°。

2. 若2x 5 = 0，则x的值为______。

3. 若一个圆的直径为10cm，则它的面积为______cm²。

4. 若一个等差数列的首项为3，公差为2，则第5项的值为______。

5. 若sinθ = 1/2，且θ是锐角，则θ的度数为______°。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述勾股定理的内容。

2. 请简述一元一次方程的求解方法。

3. 请简述等差数列的定义及通项公式。

4. 请简述平行四边形的性质。

5. 请简述圆的周长和面积的计算公式。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个长方形的长是宽的2倍，且长方形的周长是24cm，求长方形的长和宽。

第八届世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛天津赛试题（九年级初赛答案）一、填空题.（每题5分，共60分）1. 02. ()22(a ab 1)b ab 1-+++3. 3664. 6485.26. 77. 98. 10°9. 9.610. 411. 2 12. 11311211x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩二、解答题.（每题10分，共40分）1.解：（1）当k =0时，x =-1，方程有有理根。

（2）当k ≠0时，因为方程有有理根则判别式=22(1)461k k k k --=-+为完全平方数，即存在非负数m使2261k k m -+=配方得22(3)8k m --=，得k -3+m =4,k -3-m =2或k -3+m =-2,k -3-m =-4解得k =6或k =0（舍去）所以k 的值为0或6。

2. 解：设某游客一年中进入该公园x 次，依题意得不等式组：10100502100x x ≥⎧⎨+≥⎩ 解得：x≥10，x≥25∴不等数组的解集是：x≥25答：某游客一年进入该公园超过25次时，购买A 类年票合算。

3. 证明：∵△OAB 和△OCD 为等边三角形，∴CD=OD ，OB=AB ，∠ADC=∠ABO =60°．∵四边形ODEB 是平行四边形，∴OD=BE ，OB=DE ，∠CBE=∠EDO ．∴CD=BE ，AB=DE ，∠ABE=∠CDE ．∴△ABE ≌△EDC ．∴AE=CE ，∠AEB=∠ECD ．∵BE ∥AD ，∴∠AEB=∠EAD ．∴∠EAD=∠ECD ．在△AFE 和△CFD 中又∵∠AFE =∠CFD ，∴∠AEC =∠ADC =60°．∴△ACE 为等边三角形．4. 证明：作△ABC 的外接圆⊙O ，并作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OP 、OQ 、OB 、OA ，∵O 是△ABC 的外心，∴OE =OF ，OB=OA ，由勾股定理得：BE 2=OB 2-OE 2，AF 2=OA 2-OF 2，∴BE =AF ，∵AP =BQ ，∴PF =QE ，∵OE⊥AB，OF⊥AC∴∠OFP=∠OEQ=90°，∴Rt△OPF≌Rt△OQE，∴∠P=∠Q，∴O、A、P、Q四点共圆．即：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．三、综合素质题（10分）解：（1）将A（-1，m）与B（2，m+33）代入反比例函数kyx=中得:m=-k，m+33=2k∴(1)2(33)m m-=+解得：m=-23则k=23(2)如图1，作BE⊥x轴，E为垂足则CE=3，BE=3，BC=23∵Rt△CBE中，BE=12BC∴∠BCE=30°又点C与点A的横坐标相同∴CA⊥x轴∴∠ACB=120°当AC为底时，由于过点B且平行于AC的直线与双曲线只有一个公共点B，故不符题意；当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D过点A ，D 分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F由于∠DAF=30°，设DF=1m （1m >0），则AF=13m ，AD=21m由点A （-1，-23），得点D （-1+13m ，-23+1m ）因此（-1+13m ）·（-23+1m ）=23解之得1m =733（1m =0舍去） 因此点D （6，33） 此时AD=1433，与BC 的长度不等，故四边形ADBC 是梯形 如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D由于AC=BC ，因此∠CAB=30°，从而∠ACD=150°，作DH ⊥x 轴，H 为垂足 则∠DCH=60°，设CH=2m （2m >0），则DH=23m ，CD=22m由点C （-1，0），得点D （-1+2m ，23m ）因此（-1+2m ）·23m =23解之得2m =2（2m =-1舍去），因此点D （1，23）此时CD=4，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形，如图3，当过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D 时， 同理可得，点D （-2，-3），四边形ABCD 是梯形 综上所述，函数图象23y x上存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为梯形点D 的坐标为：D （6，33）或D （1，23）或D （-2，-3）四、数学与生活（10分）解：答案不唯一（只要情景对话积极、健康，能将法则嵌入得比较自然，又有教育意义即可）例如：习惯、人品、健康饮食、素质教育等方面，观点正确，符合要求4分，文字表达6分。

第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得一份试卷。

考试期间，不得使用计算工具或手机。

2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。

3. 请将答案写在本卷上。

考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。

4. 若计算结果是分数，请化至最简。

九年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分） 1．252用科学记数法可以表示为（ ） A ．8×10-1B ．8×10-2C ．2.3×10-1D ．2.3×10-22．如图，O 为线段AB 的中点，AB =4cm ，P 1、P 2、P 3、P 4到点O 的距离分别是1cm 、2cm 、 2.8cm 、1.7cm ，下列四点中能与A 、B 构成直角三角形的顶点是（ ） A ．P 1 B ．P 2 C ．P 3 D ．P 4第2题图 第3题图 第4题图3．如图，圆上有A 、B 、C 三点，直线l 与圆相切于点A ，CD 平分∠ACB ，且与l 交于点D ，若⌒AB =80°，⌒BC =60°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．80°B ．85°C ．90°D ．95°4．如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠OCD =90°， CO =CD ．若点B 的坐标为（1，0），则点C 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（2，4）C ．（22，22）D ．（4，2）5．方程组⎩⎨⎧=+=+6||,12||y x y x 的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．若等式23)3)(2(1-+-=---x bx a x x x （a 、b 为常数）成立，则a 、b 的值为（ ）A ．a =4，b =－3B ．a =2，b =－1C ．a =－1，b =1D ．a =－1，b =27．小梦每周有100元零用钱，一小块巧克力3元，一根棒棒糖2元．小梦的幸福值可以用公 式“幸福值=巧克力块数×棒棒糖根数”来表示，则小梦一个月可达到的幸福值最高为（ ） A ．300 B ．405 C ．416 D ．450 8．如图，矩形台球桌ABCD ，其中A 、B 、C 、D 处有球洞，已知DE =4， CE =2，BC =36，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后回到E 点，则关于tan α的说法下列正确的是（ ）A ．3≤tan α＜323 B ．343＜tan α＜323 C ．tan α=3 D ．343＜tan α＜33 9．如图，已知反比例函数y =xk的图象过Rt △ABO 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于C ，连结AD 、OC ，若△ABO 的周长为4+25，AD =2，则△ACO 的面积为（ ） A ．41 B ．21C ．1D ．210．将直线l 1：y =x 和直线l 2：y =2x +1及x 轴围成的三角形面积记为S 1，直线l 2：y =2x +1和直线l 3：y =3x +2及x 轴围成的三角形面积记为S 2，…，以此类推，直线l n ：y =nx +n －1 和直线l n +1：y =（n +1）x +n 及x 轴围成的三角形面积记为S n ，记W =S 1+S 2+…+S n ，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（ ） A ．32 B ．21 C ．31 D ．41二、填空题（每小题5分，共30分）11．已知a 2－5a －1=0，则5（1+2a ）－2a 2=___________．12．宜君手上有24张卡片，其中12张卡片作上“O ”记号，另外12张卡片作上“X ”记号．右图表示宜君从手上拿出6张卡片放在桌面的情形，且她打算从手上剩下的卡片中抽出一 张卡片，若她手上剩下的每张卡片被抽到的概率相等，则她抽出记号为“O ” 的卡片的概率是___________． 13．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD 是经过A 点的一条直线，且B 、C 在AD的两侧，BD ⊥AD 于D ，CE ⊥AD 于E ，交AB 于点F ，CE =10，BD =4，则DE 的长为_________．第13题图 第14题图 第16题图14．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动 滚动，直到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度为 ． 15．正数m ，n 满足m +n m mn 424--+4n =3，则2016282++-+n m n m 的值为 ．16．已知正方形ABCD 的边长为5，点E 在BC 边上运动，点G 是DE 的中点，EG 绕点E 顺 时针旋转90°得到EF ，当CE = 时，点A 、C 、F 在一条直线上．三、解答题（共5小题，共50分） 17．解不等式：)1)(221()1)(31(22+--++y y y y ＞（8分）18．如果有理数m 可以表示成2x 2－6xy +5y 2（其中x 、y 是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”．那么两个“世博数”之积也是“世博数”吗？请证明．（9分）19．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm ，宽30cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的51，上、下边衬等宽，左、右边 衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度．（结果精确到0.1cm ，参考数据5≈2.236）（10分）20．如图①是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图②所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO 与键盘所在面的侧边BO 长均为24cm ，点P 为眼睛所在位置，D 为AO 的中点，连接PD ，当PD ⊥AO 时，称点P 为“最佳视角点”，作PC ⊥BC ，垂足C 在OB 的延长线上，且BC =12cm ．（1）当P A =45cm 时，求PC 的长；（5分）（2）若∠AOC =120°时，“最佳视角点”P 在直线PC 上的位置会发生什么变化？此时PC 的 长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732） （5分）图① 图②21．已知二次函数图象的顶点坐标为A （2，0），且与y 轴交于点（0，1），B 点坐标为（2，2），点C 为抛物线上一动点，以C 为圆心，CB 为半径的圆交x 轴于M ，N 两点（M 在N 的左 侧）．（1）求此二次函数的表达式；（3分）（2）当点C 在抛物线上运动时，弦MN 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发 生变化，求出弦MN 的长；（4分）（3）当△ABM 与△ABN 相似时，求出M 点的坐标．（6分）备用图九年级A 卷答案三、选择题（每小题4分，共40分）1.B2.B3.C4.A5.A6.B7.C8.C9.A 10.B5.当x ≥0，y ≤0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=-=+,6,12y x y x 解得⎩⎨⎧==;3,9y x 由于y ≤0，所以此种情况不成立；当x ≤0，y ≥0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=+=-,6,12y x x y 解得⎩⎨⎧=-=;9,3y x 当x ≥0，y ≥0时，⎩⎨⎧=+=+,6,12y x y x 无解；当x ≤0，y ≤0时，⎩⎨⎧=-=-,6,12y x x y 无解；因此只有一组解． 7.设巧克力和棒棒糖的数量分别为x ，y ，幸福值为W ，根据题意得：3x +2y ≤100，W =xy ，∴y =xW ， ∴3x +2x W ≤100，∴W ≤50x －23x 2=－23（x －350）2+31250，∵x ，y 为整数，∴x =16，y =26 时，W 最大=xy =416．8.如图，∵DE =4，CE =2，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后 回到E 点，∴四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等， ∴CF =211+BC =23，∴在Rt △CEF 中，tan α=CECF =3． 9.在Rt △AOB 中，AD =2，AD 为斜边OB 的中线，∴OB =2AD =4， 由周长为4+25，得到AB +AO =25，设AB =x ，则AO =25－x ，根据勾股定理得：AB 2+OA 2=OB 2，即x 2+（25－x ）2=42， 整理得：x 2－25x +2=0， 解得x 1=5+3，x 2=5－3，∴AB =5+3，OA =5－3，过D 作DE ⊥x 轴， 交x 轴于点E ，可得E 为AO 中点，∴OE =21OA =21（5－3）（若OA =5+3， 求出结果相同），在Rt △DEO 中，利用勾股定理得：DE =21（5+3），∴k =－DE •OE =－21（5+3）× 21（5－3）=－21，∴S △AOC =21|k |=41． 10.将y =nx +n －1和y =（n +1）x +n 联立得：⎩⎨⎧++=-+=,)1(,1n x n y n nx y 解得：⎩⎨⎧-=-=.1,1y x ∴无论k 取何值，直线l n 和直线l n +1均交于定点（－1，－1），k ≠1时，l n 与l n+1的图象的示意图如图，∵y =nx +n －1与x 轴的交点为A （n n -1，0），y =（n +1）x +n 与x 轴的交点为B （1+-n n， 0），∴S n =S △ABC =21×|AB |×|－1|=21×|11|++-n nn n ×1=)1(21+n n ， 当n =1时，结论同样成立．∴W =S 1+S 2+S 3+…+S n =]11321211[21）（+++⨯+⨯⨯n n =21（1－21+21－31+…+111+-n n ）=21（1－11+n ）=121+⨯n n ．当n 越来越大时，1+n n 越来越接近与1． ∴121+⨯n n越来越接近于21，∴W 越来越接近于21．四、填空题（每小题5分，共30分）11.3 12.94 13.6 14.5π 15.20195- 16.3513.∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴∠BAD +∠CAD =90°，∵CE ⊥AD 于E ，∴∠ACE +∠CAE =90°，∴∠BAD =∠ACE ，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴AE =BD =4，AD =CE =10，∴DE =AD － AE =6．14.由图形可知，圆心先向前走OO 1的长度，圆心从O 到O 1的运动轨迹是一条直线，长度为41圆的周长，然后沿着弧O 1O 2旋转41圆的周长，则圆心O 运动路径的长度为：41×2π×5+ 41×2π×5=5π．15.∵m +4n m mn 42--+4n =3，∴m +4mn +4n －2（m +2n ）－3=0，∴（m +2n ）2－2（m +2n ）－3=0，∴（m +2n －3）（m +2n +1）=0，∴m +2n =3，m +2n ）=－1（不合题意，舍去），∴原式=2016383+-=20195-．16.过F 作FN ⊥BC ，交BC 延长线于N 点，连接AC ，∵∠DCE =∠ENF =90°，∠DEC +∠NEF =90°，∠NEF +∠EFN =90°， ∴∠DEC =∠EFN ，∴Rt △FNE ∽Rt △ECD ， ∵DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，∴DE :EF =2:1， ∴CE :FN =DE :EF =DC :NE =2:1，∴CE =2NF ，NE =21CD =25． ∵∠ACB =45°，∴当∠NCF =45°时，A 、C 、F 在一条直线上．则△CNF 是等腰直角三角形，∴CN =NF ，∴CE =2CN ， ∴CE =32NE =32×25=35．∴CE =35时，A 、C 、F 在一条直线上．五、解答题（共5小题，共50分）17.解：∵y 2+1＞0，则原不等式可化为1+3y ＞1－22-y ，解得y ＞1.2． 18.解：是的．证明如下：∵m =2x 2－6xy +5y 2=（x －2y ）2+（x －y ）2，其中x 、y 是有理数，∴“世博数”m =p 2+q 2（其中p 、q 是任意有理数），只需p =x －2y ，q =x －y 即可．∴对于任意两个“世博数”，不妨设一个为a =j 2+k 2，另一个为b =r 2+s 2，其中j 、k 、r 、 s 为任意给定的有理数，则ab =（j 2+k 2）（r 2+s 2）=（jr +ks ）2+（js －kr ）2是“世博数”．19.解一：设上、下边衬宽均为4x cm ，左、右边衬宽均为3x cm ，则（40－8x ）（30－6x ）=54×40×30．整理，得x 2－10x +5=0，解之得x =5±25，∴x 1≈0.53，x 2≈9.47（舍去），答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ． 解二：设中央矩形的长为4x cm ，宽为3x cm ，则4x ×3x =54×40×30，解得x 1=45，x 2= －45（舍去），∴上、下边衬宽为20－85≈2.1，左、右边衬宽均为15－65≈1.6，答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ．20.解：（1）如图，当P A =45cm 时，连接PO ．∵D 为AO 的中点，PD ⊥AO ，∴PO =P A =45cm ． ∵BO =24cm ，BC =12cm ，∠C =90°，∴OC =OB +BC =36cm ，PC =223645-=27（cm ）； （2）当∠AOC =120°，如图，过D 作DE ⊥OC 交BO 延长线于E ，过D 作DF ⊥PC 于F ， 则四边形DECF 是矩形．在Rt △DOE 中，∵∠DOE =60°，DO =21AO =12， ∴DE =DO •sin60°=63，EO =21DO =6，∴FC =DE =63，DF =EC =EO +OB +BC = 6+24+12=42．在Rt △PDF 中，易求得∠PDF =30°，∴PF =DF •tan30°=42×33=143， ∴PC =PF +FC =143+63=203≈34.64＞27，∴点P 在直线PC 上的位置上升了．21.解：（1）设抛物线的表达式为y =a （x －2）2．∵将（0，1）代入得：4a =1，解得a =41， ∴抛物线的解析式为y =41（x －2）2． （2）MN 的长不发生变化．理由如下：如图1所示，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H ，连接BC 、CN ．设点C 的坐标为（a ，2)2(41-a ）．∵CH ⊥MN ，∴MH =HN ． ∵HN 2=CN 2－CH 2=CB 2－CH 2，∴HN 2=[2－2)2(41-a ]2+（a －2）2－[2)2(41-a ]2=4．∴HN =2．∴MN =4．∴MN 不发生变化．（3）①如图2所示，当点C 与点A 重合时．∵MN 经过点C ，∴MN 为圆C 的直径．∴MC =2． ∵点C （2，0），∴M （0，0）． ②如图3所示，∵△ABM ∽△ANB ，∴ABANAM AB =，即AB 2=AM •AN ． 设AM =a ，则4=a （a +4），解得：a 1=－2+22，a 2=－2－22（舍去）， 又∵点A （2，0），∴2+（－2+22）=22．∴点M 的坐标为（22，0）．③如图4所示，∵△ABN ∽△AMB ，∴AB 2=AN •AM ．设AM =a ，则4=a （a －4），解得：a 1=2+22，a 2=2－22（舍去）．又∵点A （2，0），∴2－（2+22）=－22．∴点M 的坐标为（－22，0）．。

世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方晋级赛试题（2013年1月）选手须知：1. 本卷共120分，第1～8题 ，每小题6分，第9～10题，每小题8分，11题10分，12题10分，13题10分，14题12分，15题14分。

2. 比赛期间，不得使用计算工具。

3. 比赛完毕时，试卷及草稿纸会被收回。

4. 本卷中所有附图不一定依比例绘成。

若计算结果是分数，请化至最简，并确保为真分数或带分数，或将计算结果写成小数。

四 年 级 试 题（本试卷满分120分，比赛时间90分钟）一、填空题（每小题6分，共48分）1、巴尔末老师成功地从光谱数据59 、1216、2125、3236、…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门。

请你按照这种规律写出第七个数据是_________.。

2、中共十八大在11月14日胜利闭幕，15日北京时间11:55，新一届中共中央政治局常委与记者见面会正式召开，见面会时钟表上时针和分针的夹角是______角，从那一刻开始再过________（填时间），两针的夹角会第一次出现直角。

3、下图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何线段和点不得重复经过。

这只甲虫最多有______种不同的走法。

4、套娃是俄罗斯的一种民间工艺品。

大套娃里面有小套娃，小套娃里面有更小的套娃。

现在有个特产商店里出售这种六重套娃，一整套的价格是8700元，当然也可以单卖，而且相邻的大套娃比小套娃贵300元。

那六重套娃之中，最小的套娃价格是__________元。

5、 数一数，下图有_______个正方形。

6、把所有的奇数依次一项、二项、三项、四项循环为：（3），（5、7），（9、11、13），（15、17、19、21），（23），（25、27），（29、31、33）...... 则第100个括号内的各数之和是____________。

7、四个正方形如下图那样叠放在桌面上，每一个正方形的顶点恰好是另一个正方形的中心，且每边互相平行，每一个正方形的周长是8厘米。

第八届世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛--------------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。

考试期间，不得使用计算工具或手机。

2. 本卷共120分，分填空题和解答题两部分。

3. 请将答案写在本卷上。

考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。

4. 若计算结果是分数，请化至最简，并确保为真分数或带分数。

五年级地方晋级赛初赛A 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、填空题。

（每题5分，共60分）1、计算：2012+2012-2012×2012×2÷2012= 。

2、下图中的一串珠子是用黑白两种颜色按一定规律排列而成的，一部分放在盒子里。

那么盒子里有黑色的珠子 颗和白色的珠子 颗。

（盒子里两种珠子都有。

）3、有一只蜗牛在爬树，这只蜗牛每小时都比前一小时多爬10厘米，第12个小时爬了2.2米，这只蜗牛前5个 小时一共爬了 米。

4、今年图图8岁，图图的爸爸36岁， 年后图图爸爸的年龄是图图的3倍。

5、十一长假，语文老师布置了两篇作文，题目是：《20年后回母校》、《伦敦奥运会》，结果有34人完成了 《20年后回母校》，有46人完成了《伦敦奥运会》，全班52人中没有人偷懒（都至少完成了一篇作文）。

那么，两篇作文都完成了的有 人。

6、下图是用22块小正方体积木堆成的立体图形。

这个立体图形中有些小正方体积木恰好有4个面和其它积木相接。

那么这种积木有 块。

7、如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是4厘米。

那么，阴影部分的面积是 平 方厘米。

8、小淘气沿着铁轨旁的小路散步，迎面开来一列火车，火车共有17节车厢，每节车厢长9米，相邻车厢间隔1米。

小淘气每秒走1米，火车从车头到车尾经过他身边共用了13秒。

则火车每秒走 米。