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赛（中国区）选拔赛第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1.每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2.本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3.请将答案写在本卷上。
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4.若计算结果是分数，请化至最简。
八年级地方晋级赛复赛B 卷（本试卷满分120分，考试时间90分钟）一、选择题（每小题4分，共40分）1．函数123++=x x y 的自变量的取值范围是（）A ．x ≥－2B ．x ＞－1C ．x ≠－1D ．x ≥－2且x ≠－12．如图，四边形ABCD 、APQR 是两个全等的正方形，CD 与PQ 相交于点E ，若∠BAP =20°，则∠PEC 等于（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°第2题图第4题图3．已知1)1(12=--x x ，则x 的值为（）A ．±1B ．－1、2C ．1、2D ．0、－14．大明因急事在运行中的自动扶梯上行走去二楼，图中线段OA 、OB 分别大致表示大明在运行中的自动扶梯上行走去二楼和静止站在运行中的自动扶梯上去二楼时，距自动扶梯起点的距离与时间之间的关系．下面四个图中，虚线OC 能大致表示大明在停止运行（即静止）的自动扶梯上行走去二楼时，距自动扶梯起点的距离与时间关系的是（）A ．B ．C ．D ．5．若关于x 的分式方程q p x n m x =--2有解，则必须满足条件（）A ．m≠nB ．m≠－nC ．N p≠－m qD ．p≠－q ，m≠n6．如图，在△ABC 中，有一点P 在AC 边上移动，若AB =AC =5，BC =6，则AP +BP +CP 的最小值为（）A ．8B ．8.8C ．9.8D ．107．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（）赛（中国区）选拔赛A ．40B ．25C ．26D ．36第6题图第7题图第8题图第10题图8．如图，点P 、Q 是边长为4cm 的等边△ABC 边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，连接AQ 、CP 交于点M ，则在P 、Q 运动的过程中，当△PBQ 为直角三角形时，运动时间为（）A ．34秒B ．25秒或38秒C ．25秒D ．34秒或38秒9．有一种近似半圆球形状的隔热钢碗，每个钢碗的内部半径都是5厘米，厚度都是均匀的0.5厘米，如图①所示，常见钢碗叠放的方式如图②所示．某学校食堂现在要设计一批柜子存放这样的碗，如果要确保每个柜子的正面每竖条都放6个碗，如图③所示，那么柜子的内部高度至少是（）A ．16厘米B ．17厘米C ．18厘米D ．19厘米图①图②图③10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y =x 上一点P （1，1），C 为y 轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y =x 交于点A ，且BD =2AD ，连接CD ，直线CD 与直线y =x 交于点Q ，则点Q 的坐标为（）A ．（25，25）B ．（3，3）C ．（47，47）D ．（49，49）二、填空题（每小题5分，共30分）11．若整数m 满足条件2)1( m =m +1且m ＜21，则m 的值是____________．12．若实数a 、b 、c 满足a +b +c =0，且a ＜b ＜c ，则一次函数y =ax +c 的图象不可能经过第_______象限．13．定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2＝－1，这个数i 叫做虚数单位．那么i 1=i ，i 2=－1，i 3=－i ，i 4=1，i 5=i ，i 6=－1…，那么i 2015＝_____________．14．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC =78°，过C 点作CF ∥AB ，连接AF 与BC 相交于点G ，若GF =2AC ，则∠BAG =_____________．15．已知ax +by =3，a y －bx =5，则（a 2+b 2）（x 2+y 2）的值为_____________．赛（中国区）选拔赛16．如图，∠AOB =30°，点M 、N 分别是射线OA、OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，且OP =6，当△PMN 的周长取最小值时，则PM 的长为_____________．三、解答题（共5小题，共50分）17．已知a =2+1，b =2－1，求ab －（a bb a ）的值．（8分）18．求证：817－279－913能被45整除．（9分）19．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，点H 在AB 上，且∠EHF =90°，求证：CH ⊥AB ．（10分）赛（中国区）选拔赛20．受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：到超市的路程（千米）运费（元/斤•千米）甲养殖场2000.012乙养殖场1400.015（1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元,则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？（5分）（2）设从甲养殖场调运鸡蛋x 斤，总运费为W 元，试写出W 与x 的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？（5分）21．如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =32x +4分别交x 、y 轴于B 、A 两点，将△AOB沿直线l 2：y =2x －29折叠，使点B 落在点C 处．（1）点C 的坐标为______________；（3分）（2）若点D 沿射线BA 运动，连接OD ，当△CDB 与△CDO 面积相等时，求直线OD 的解析式；（4分）（3）在（2）的条件下，当点D 在第一象限时，沿x 轴平移直线OD ，分别交x ，y 轴于点E ，F ，在平面直角坐标系中，是否存在点M （m ，3）和点P ，使四边形EFMP 为正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（6分）备用图赛（中国区）选拔赛八年级B 卷答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.C2.C3.B4.B5.D6.C7.B8.D9.B 10.D5.由分式方程q p x n m x =--22解得x =q p mq np 22++，由原分式方程有解，得n －2x =q p mqnp nq np +--+≠0．解得m ≠n ，p =－q ．6.AP +BP +CP =BP +AC ，当BP ⊥AC时，AP +BP +CP 的值最小，作AD ⊥BC ，AD =43522=-，S △ABC =22BP AC AD BC ⨯=⨯=25246BP=⨯，∴BP =4.8，即AP +BP +CP 的最小值为5+4.8=9.8．7.设小正方形的边长为a ，大正方形的边长为b ，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，可得ab +a （b －a ）=24①，由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，可得（b －a ）2=1a 2－3②，将①②联立解方程组可得：a =4，b =5，∴大正方形的边长为5，∴面积是25．8.设时间为t 秒，则AP =BQ =t cm ，PB =（4－t ）cm ，当∠PQB =90°时，∵∠B =60°，∴PB =2BQ ，即4－t =2t ，t =34，当∠BPQ =90°时，∵∠B =60°，∴BQ =2BP ，得t =2（4－t ），t =38，∴当第34秒或第38秒时，△PBQ 为直角三角形．9.如图，CO 2=5，CO 1=5.5，则O 1O 2=25.555.522=-，六个碗叠放的总高度是5×25.5+5.5=25.131+5.5，∵112=121，11.52=132.25，则112＜131.25＜11.52，11＜25.131＜11.5，∴16.5＜25.131+5.5＜17，因此高度至少是17厘米．10.过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交AB 于N ，过D 作DH ⊥y 轴，交y 轴于H ，∠CMP =∠DNP =∠CPD =90°，∴∠MCP +∠CPM =90°，∠MPC +∠DPN =90°，∴∠MCP =∠DPN ，∵P （1，1），∴OM =BN =1，PM =1，在△MCP 和△NPD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠PD,PC DPN MCP DNP CMP ，，∴△MCP ≌△NPD （AAS ），∴DN =PM ，PN =CM ，∵BD =2AD ，∴设AD =a ，BD =2a ，∵P （1，1），∴BN =2a －1，则2a －1=1，a =1，即BD =2．∵直线y =x ，∴AB =OB =3，在Rt △DNP 中，由勾股定理得：PC =PD =5，在Rt △MCP 中，由勾股定理得：CM =2，则C 的坐标是（0，3），设直线CD 的解析式是y =kx +3，把D （3，2）代入得：k =－1，即直线CD 的解析式是y =－1x +3，赛（中国区）选拔赛即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,,331x y x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.49,49y x ，即Q 的坐标是（9，9）．二、填空题（每小题5分，共30分）11.0或－112.三13.－i 14.26°15.3416.311.∵2)1(+m =m +1，∴m +1≥0，即m ≥－1，又∵m ＜21＜1，∴－1≤m ＜1且为整数，∴m =0或－1．12.∵实数a 、b 、c 满足a +b +c =0，且a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0，∴一次函数y =ax +c 的图象经过第一、二、四象限，不可能经过第三象限．13.根据题意得：i 2015=i 2014•i ＝（i 2）1007•i ＝－i ．14.如图，取FG 的中点E ，连接EC ．∵FC ∥AB ，∴∠GCF =90°，∴EC =21FG =AC ，∴∠EAC =∠AEC =∠F +∠ECF =2∠F ，设∠BAG =x ，则∠F =x ，∵∠BAC =78°，∴x +2x =78°，∴x =26°，∴∠BAG =26°．15.由题意得，ax +by =3①，a y －bx =5②，①2得a 2x 2+b 2y 2+2abxy =9③，②2得a 2y 2+b 2x 2－2abxy =25④，③+④得a 2x 2+b 2y 2+a 2y 2+b 2x 2=34，a 2（x 2+y 2）+b 2（x 2+y 2）=34，∴(a 2+b 2)(x 2+y 2)=34．16.作点P 关于OA 的对称点P 1，关于OB 的对称点P 2，连P 1P 2与OA 交于点M 、与OB 交于点N ，连PM 、PN ，则此时△PMN 的周长可取最小值．∵∠AOB =30°，由对称性可知∠AOP 1=∠AOP ，∠BOP 2=∠BOP ，故∠P 1OP 2=2∠AOB =60°，又OP 1=OP =OP 2=6，∴△P 1OP 2为等边三角形．易证得△P 1OM ≌△POM 则MP 1=MP ，∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x ，则∠3=2x ，又OP 平分∠AOB ，则在等边△P 1OP 2中OP 也为角平分线，故OP ⊥P 1P 2，∴∠MPO =90°－2x ，∠OPP 1=75°，∴90°－2x +x =75°，解得x =15°，∴∠3=30°，在Rt △PMG 中，设PG =m ，则PM =2m ，MG =m 3，∴P 1P 2=4MG =4m 3，故4m 3=6，m =23，PM =3．三、解答题（共5小题，共50分）17.解：∵a =2+1，b =2－1，∴ab =（2+1）（2－1）=1，a －b =2+1－2+1=2，∴ab －（a b b a -）=1－（a abb ab-）=1－（a b 11-）=1－（ab ba -）=1－（a －b ）=1－2=－1．18.证明：原式=914－99×39－913=328－327－326=326（32－3－1）=326×5=324×32×5=45×324．所以能被45整除．赛（中国区）选拔赛19.证明：∵点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，∴DE ∥BC ，DF ∥CE ，∴四边形CEDF 是平行四边形．∵∠ACB =90°，∴四边形CEDF 是矩形，得OD =OC =OE =OF ．在Rt △EHF 中，OH =21EF =OE =OF ，∴OH =21CD =OC =OD ，∴在△CHD 中，∠CHO =∠OCH ，∠OHD =∠ODH ．∵∠CHO +∠OCH +∠OHD +∠ODH =180°，∴∠CHO +∠OHD =90°，即CH ⊥AB ．20.解：（1）设从甲养殖场调运鸡蛋x 斤，从乙养殖场调运鸡蛋y 斤，根据题意得：⎩⎨⎧=+=⨯+⨯,12002670015.0140012.0200y x y x ，解得：⎩⎨⎧==.700,500y x ∵500＜800，700＜900，∴符合条件．答：从甲、乙两养殖场各调运了500斤，700斤鸡蛋；（2）从甲养殖场调运了x 斤鸡蛋，从乙养殖场调运了（1200－x ）斤鸡蛋，根据题意得：⎩⎨⎧≤-≤,9001200,800x x 解得：300≤x ≤800，总运费W =200×0.012x +140×0.015×（1200－x ）=0.3x +2520，（300≤x ≤800），∵W 随x 的增大而增大，∴当x =300时，W 最小=2610元，∴每天从甲养殖场调运了300斤鸡蛋，从乙养殖场调运了900斤鸡蛋，每天的总运费最省．21.解：（1）（0，3）；（2）①点D 在第一象限时（如图①中点D 1），∵△CDB 与△CDO 面积相等，∴CD ∥OB ，∴点D 的纵坐标为3，当y =3时，－32×x +4=3，解得x =23，∴点D 的坐标为（23，3），∴直线OD 的解析式为y =2x ；②点D 在第二象限时（如图①中点D 2），AC =4－3=1，设点D 到y 轴的距离为a ，则S △CDB =S △ACD +S △ABC =21×1•a +21×1×6=21a +3，∵△CDB 与△CDO 面积相等，∴1a +3=1×3a ，解得a =3，∴点D 的横坐标为－3，当x =－3时，y =－2×（－3）+4=2+4=6，∴点D 的坐标为（－3，6），∴直线OD 的解析式为y =－2x ．赛（中国区）选拔赛（3）如图②，设OD 平移后的解析式为y =2x +b ，令y =0，则2x +b =0，解得x =－2b，令x =0，则y =b ，所以，OE =2b ，OF =b ，过点M 作MN ⊥y 轴于N ，过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，∵四边形EFMP 是正方形，∴易证△MNF ≌△FOE ≌△EQP ，∴MN =OF =EQ ，NF =OE =PQ ，∵M （m ，3），∴ON =b +2b=3，解得b =2，∴OE =1，OF =2，∴OQ =OE +QE =1+2=3，∴点M （－2，3），点P （－3，1），故存在点M （－2，3）和点P （－3，1），使四边形EFMP 为正方形．图①图②。
中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题题 号 一 二 三总 分1～5 6～10 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设71a =-，则代数式32312612a a a +--的值为( ).（A ）24 （B ）25 （C ）4710+ （D ）4712+ 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92 （D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程（第8题）（第10题）20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．（第13题）（第12题）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．3．C解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1D E FS S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为（第14题）（第4题）()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=. 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，． 由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32（第8题）解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+． 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以F E A FC B A C=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b a b a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，（第10题）解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者815a b c ===，，， 故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：（1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， . 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.（第12题）（第13题）于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为P Q x PC QD x =-，所以BC PCBD QD=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .（2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC =3a ，BD =3b ，所以 AC =32a -，AD =23b -.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是PC ACDQ AD=，即3223a a b b -=-， 所以3a b ab +=．由（1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以33322ab a b =+=，，于是可求得2 3.a b == 将32b =代入223y x =，得到点Q 的坐标（32，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3.3k =- 所以直线PQ 的函数解析式为313y x =-+. 根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 222(1)Q Q Q x x y =++.将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 32Q x =或 3. 又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=. 若32Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673s i n 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．（第14题）。
全国奥林匹克数学初二竞赛题
全国奥林匹克数学初二竞赛题
一、数学逻辑
1、已知函数f(x)的定义域为[a,b],若f(a)=8,f(b)=15，求f(c)的值。
2、若函数f(x)的定义域为[a,b]，其图像对称轴的方程若为y=kx-k，求a，b的值。
3、已知椭圆的两个焦点F1，F2在x轴上，以及它们到圆心的距离为a，求椭圆方程。
二、不等式
4、设a,b,c分别为正实数，求使a，b，c满足不等式x^2+2ax+2bx+c=0
的有界解集。
5、若x^2+2ax+2bx+c>0,其中a,b,c均为正实数，求对应的x的取值范围。
6、已知x，y,a,b均为正实数，求使x^2+2ax+2bx+y^2+2ay+2by=c的有
界解集。
三、函数
7、已知f(x)的定义域为[2,30]，求f(x)的最大值以及f（x）的最小值。
8、已知直线上有m,n两点，求m到n的最短距离以及对应的方程（以
y=mx+b的形式表示）。
9、已知椭圆上有m,n两点，求m到n的最短距离以及对应的方程（以ax^2+by^2+cx+dy+k=0的形式表示）。
四、应用题
10、已知某商品的销售总额为50万，还知该商品的单位成本为100元，求该商品的最大利润。
11、若有两段距离分别为a,b共需要t小时，若要同时全程行驶，求所
需的最大时间。
12、已知f（x）的定义域为[1,50]，求f（x）的单调递增区间及它们的
端点值。
第八届奥林匹克全国数学大赛初二的题题目一：第八届奥林匹克全国数学大赛初二组一、选择题（共20题，每题4分，共80分）1. 在一个等差数列中，首项为3，公差为5，第5项为23，则这个等差数列的前n项和Sn为__________。
2. 已知一组数的平均值是18，如果将其中一个数3改成2，则新的平均值为____。
3. 若一个正整数除以8余2，除以10余6，求这个数除以40的余数是多少？4. 若直线y=3x+2与圆的方程为$x^2+y^2-2x-4y-11=0$，求这个圆与y轴的交点坐标。
5. 若正方形的边长为a，则其对角线的长度为______。
6. 若两条直线的斜率之和为5，斜率之积为-6，则这两条直线的方程分别是______。
7. 若甲乙两个数的和是100，乙丙两个数的和是80，乙数比丙数多10，求甲数是多少？8. 若一个正整数除以5余3，除以6余4，求这个数除以30的余数是多少？9. 设A、B、C三个整数满足A<B<C，如果A、B、C是一个等差数列，则这个等差数列的公差为______。
10. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则集合A与集合B的并集为______。
二、填空题（共5题，每题6分，共30分）1. 在一个等差数列中，首项为2，公差为4，若前n项的和为56，则这个等差数列的第n项为______。
2. 设矩形的长是宽的3倍，周长为72，这个矩形的长和宽的分别是______。
3. 若$ax^2+bx+c$的图像与x轴两交点均为负数，则a、b、c的关系式为______。
4. 若直线y=2x-7与直线y=kx-2平行，则k的值为______。
5. 设一个正整数的个、十位数字和为12，将该数字的个、十位数字对调后，新数字比原数字增大36，该正整数为______。
三、解答题（共5题，每题10分，共50分）1. 设$\log_5{x}=a,\log_3{x}=b$，求$\log_{75}{x}$的值。
22008年初中数学联赛（初二组）试卷一、选择题（本大题满分56分，每小题8分）1、已知a 、b 、c 是三角形的三边，则a 4＋b 4c 4 －2 a 2c 2－2 b 2c 2－2 a 2c 2的值是（ ）A.恒正 B. 恒负 C.可正可负 D.非负 2、已知a ＋b ＋c ＝0， a1＋b1＋c1＝－4，那么，（a1）2＋（b1）2＋（c1）2的值是（ ） A.3 B. 8 C. 16 D.203、已知：a 1－│a │＝1，那么代数式a1＋│a │的值是（ ）A.25B.－25C.－5D. 54、已知│a │＝5，b 2＝9时，且ab ＞0则a ＋b 的值为( )，A. 8B.－2C.－8或8D.－2或25、已知a 、b 、c 是正整数，a ＞b ，且a 2－a b －a c ＋bc ＝7,则a －c 的值为（ ）A.－1B.－1或－7C.1D.1或7 6、已知△ABC 的一个角是400，且∠A ＝∠B ，那么∠C 的外角的大小是( )A. 1400B. 800或1000C. 1000或 1400D. 800 或14007、如图，已知FA ＝FB,FC ＝FD,下列结论中：①∠A ②DE ＝CE ；③连接FE ，则FE 平分∠F ，正确的是（ ） A. ①② B.②③ C.①③ D.①②③二、填空题（本大题满分40分，每小题8分）1、若x 2＋x y ＋y ＝14，y 2＋x y ＋x ＝28，则 x ＋y 的值为 .2、（3+1）2001-2（3+1）2000-2（3+1）1999+2008＝ .3、已知x 、y 是实数，43+x +y 2-6y+9=0，若axy-3x=y ，则a= . 4、a 、b 、c 为△ABC 的三边，且3a 3+6a 2b-3a 2c-6abc=0，则△ABC 的形状为 .5、已知x1+y1=5，则yxy x yxy x +++-2252= .1 2三、计算（本大题满分20分，）要求写出必要的步骤.（1）2115141021151410+++--+2） 18612⨯＋（1＋3）（1－3）四、（本大题满分12分，）如图，在△ABC 中，AD 若AB=5，AC=3，求AD五、（本大题满分12分）如图，在△ABC 中，AB=AC ∠BAC=80°O 为△ABC 内一点，且∠OBC=10°，∠OCA=20°,求∠BAO 的度数.。
WMO 世 界 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 （ 中 国 区 ） 选 拔 赛姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、 ---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共 50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
八年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．函数0)2(1--=x x y 的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠1且x ≠2 C ．x ≥0且x ≠2 D ．x ≥0且x ≠2且x ≠1 2．某车由甲地等速前往丁地，如图，过程是：自甲向东直行8分钟至乙后， 朝东偏南直行8分钟至丙，左转90°直行15分钟至丁．若此车由甲地 按原来的速度匀速向东直行可到达丁地，则此车程需要（ ）A ．19.5分钟B ．24分钟C ．25分钟D ．28分钟 3．如果等式（2x －3）x +3=1，则等式成立的x 的值的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．如右图，在一条笔直的小路上有一盏路灯，晚上小雷从点B 处径直走到点A 处再远离A 处 时，小雷在灯光照射下的影长y 与行走的路程x 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，△ABC 内有一点P ，点D 、E 、F 分别是点P 关于AB 、BC 、AC 对称的点．若△ABC 的内角∠BAC =70°，∠ABC =60°，∠ACB =50°，则∠ADB +∠BEC +∠CF A 等于（ ） A ．180° B ．270° C ．360° D ．480° 6．若实数x ，y 满足x －y +1=0且1＜y ＜2，化简1026234422+--+-+y x y y x 得（ ） A ．7 B ．2x +2y －7C ．11D ．9－4y7．如图，正三角形ABC 的三边表示三面镜子，BP =31AB =1，一束光线从点P 发射至BC 上R 点，且∠BPR =60°．光线依次经BC 反射，AC 反射，AB 反射…一直继续下去．当光线第一次回到点P 时，这束光线所经过的路线的总长为（ ） A ．6 B ．9C ．39D ．278．如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB，CE ⊥AB 于E ，F 为AD 的中点，若∠AEF =54°， 则∠B 的度数为（ ）A ．54°B ．60°C ．66°D ．72°第5题图 第7题图 第8题图9．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB =m ， PC =n ，AB =c ，AC =b ，则（m +n ）与（b +c ）的大小关系是（ ）A ．m +n ＞b +cB ．m +n ＜b +cC ．m +n =b +cD ．无法确定第9题图 第10题图10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y =x 上一点P （1，1），C 为y 轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y =x 交于点A ，且BD =2AD ，连接CD ，直线CD 与直线y =x 交于点Q ，则点Q 的 坐标为（ ）A ．（25，25）B ．（3，3）C ．（47，47） D ．（49，49）二、填空题（每小题5分，共30分）11．已知a =6013，b =1315，则代数式(a +b )2－(a －b )2的值为____________． 12．如图，在△ABC 中，AB=4，AC =3，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，则线段EF 的长等于 ．13．若关于x 的方程0111=--+x ax 的解为正数，则a 的取值范围是_____________． 14．如图，点A （1，1），B （2，－3），点P 为x 轴上一点，当|P A －PB |最大时，点P 的坐 标为_____________．第12题图 第14题图 第16题图 15． 若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，a 、b 满足)2(2)3(b a b b a a -=-，则abb aba +-=_______．16．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，D 为BC 上一点，BE ∥AC ，且DE ⊥AD ，若 BD =2，CD =4，则BE 的长为_______________．---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------三、解答题（共5小题，共50分）17．先化简，再求值：yx y xy x y x yx ++++--239，其中x =3，y =4．（8分）18．定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2=－1，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a +bi （a ，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫 做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算：（5+i ）×（3－4i ）=19－17i ． 试一试：请利用学过的有关知识将ii-+22化简成a +bi 的形式．（9分）19．如图，在平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AB 边于点E ，EF ∥BC ，交CD 于点F ，点G 是BC 边的中点，连接GF ，且∠1=∠2，CE 与GF 交于点M ，过点M 作MH ⊥CD 于点H ．求证：EM =FG +MH ．（10分）20．某超市在端午节前两天每天都花4000元购进咸肉馅和板栗馅粽子若干，已知这两种粽子每个的进价相同，第一天超市将咸肉馅粽子按进价的2倍销售，板栗馅粽子在进价的基础 上提价50%销售，当天全部售完，发现咸肉馅粽子销售了1200个，共获利3200元．（1）设这两种粽子的进价为每个a 元，求a 的值；（5分） （2）如果要求咸肉馅粽子的数量不能超过板栗馅粽子数量的60%，且按第一天的销售价格 销售，那么销售利润最多是多少元？（5分）21．在平面直角坐标系xOy 中，边长为6的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，直线y =mx +2与OC ，BC 两边分别相交于点D ，G ，以DG 为边作菱形DEFG ， 顶点E 在OA 边上．（1）如图①，当CG =OD 时，求直线DG 的函数表达式；（3分） （2）如图②，连接BF ，设CG =a ，△FBG 的面积为S ． ①求S 与a 的函数关系式；（4分）②判断S 的值能否等于等于1？若能，求此时m 的值，若不能，请说明理由．（6分）八年级A 卷答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.D2.C3.C4.A5.C6.A7.B8.D9.A 10.D 3.当x +3=0时，x =－3；当2x －3=1时，x =2；当x =1时，（2x －3）x +3=1．6.∵x －y +1=0，∴y =x +1，∵1＜y ＜2，∴1＜x +1＜2，∴0＜x ＜1， ∴1026234422+--+-+y x y y x=10)1(26)1(23)1(4422++--++-++x x x x x =96214422+-+++x x x x =22)3(2)12(-++x x =|2x +1|+2|x －3|=2x +1+2（3－x ） =7． 7.∵BP =31AB =1，∠BPR =60°，∴PR =1，根据等边三角形的性质可知当光 线第一次回到点P 时，光线经过的大致路线如图所示， ∴当第一次回到点P 时，这束光线所经过的路线的总长为---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------1+2+1+2+1+2=9．8.过F 作FG ∥AB ∥CD ，交BC 于G ．则四边形ABGF 是平行四边形，所以AF =BG ，即G 是BC 的中点；连接EG ，在Rt △BEC 中，EG 是斜边上的中线， 则BG =GE =FG =21BC ；∵AE ∥FG ，∴∠EFG =∠AEF =∠FEG =54°， ∴∠AEG =∠AEF +∠FEG =108°，∴∠B =∠BEG =180°－108°=72°．9.在BA 的延长线上取点E ，使AE =AC ，连接EP ，∵AD 是∠A 的外角平分线，∴∠CAD =∠EAD ，在△ACP 和△AEP 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，AP AP EAD CAD AC AE ,，∴△ACP ≌△AEP （SAS ），∴PE =PC ，在△PBE 中，PB +PE ＞AB +AE ， ∵PB =m ，PC =n ，AB =c ，AC =b ，∴m +n ＞b +c ．10.过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交AB 于N ，过D 作DH ⊥y 轴，交y 轴于H ， ∠CMP =∠DNP =∠CPD =90°，∴∠MCP +∠CPM =90°，∠MPC +∠DPN =90°， ∴∠MCP =∠DPN ，∵P （1，1），∴OM =BN =1，PM =1，在△MCP 和△NPD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠P D ,PC DPN MCP DNP CMP ，，∴△MCP ≌△NPD （AAS ），∴DN =PM ，PN =CM ， ∵BD =2AD ，∴设AD =a ，BD =2a ，∵P （1，1），∴BN =2a －1，则2a －1=1，a =1，即BD =2． ∵直线y =x ，∴AB =OB =3，在Rt △DNP 中，由勾股定理得：PC =PD =5，在Rt △MCP中，由勾股定理得：CM =2，则C 的坐标是（0，3），设直线CD 的解析式是y =kx +3，把D （3，2）代入得：k =－31，即直线CD 的解析式是y =－31x +3， 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,,331x y x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.49,49y x ，即Q 的坐标是（49，49）．二、填空题（每小题5分，共30分）11.1 12.21 13.a ＜1且a ≠－1 14.(21,0) 15.512 16.213.解方程得x =a -12，∵原方程的解为正数，∴x ＞0，即a-12＞0，当x －1=0时，x =1，代入得a =－1．此为增根，∴a ≠－1，解得a ＜1且a ≠－1．14.作A 点关于x 轴的对称点A'，连BA'，交x 轴于点P ，此时|P A -PB |最大． 由A'（1，－1）、B （2，－3）可得直线BA'的解析式为y =－2x +1， 令y =0，则x =21，即点P 的坐标为(21,0) ． 15.∵)2(2)3(b a b b a a -=-，∴a －3ab =2ab －4b ，∴a －5ab +4b =0， ∴（b a 4-）（b a -）=0，而a ≠b ，故b a 4-=0，a =16b ，原式=5124416=+-b b b b ．16.连AE ，过A 点作AF ⊥BC 于点F ，过点E 作EG ⊥CB 的延长线于点G ，∵BD =2，CD =4， ∴BC =6，由题意得BF =CF =AF =3，DF =1，AB =23，∴在Rt △ADF 中AD =10．设GE =GB =x ，则BE =x 2，GD =x +2，ED 2=x 2+（x +2）2，AE 2=ED 2+AD 2=x 2+（x +2）2+10，又在Rt △ABE 中，AE 2=BE 2+AB 2=2x 2+（23）2= 2x 2+18，∴x 2+（x +2）2+10=2x 2+18，解得x =1，∴BE =2．三、解答题（共5小题，共50分）17.解：原式=yx y x y x 3)3)(3(-+-+yx y x ++2)(=x +3y +x +y=2x +4y ，当x =3，y =4时，原式=23+44=23+8．18.解：i i i i i i i i i i 5453543444)2)(2()2(22222+=+=-++=+-+=-+． 19.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠1=∠ECF ，∵EF ∥BC ，∴四边形BCFE 是平行四边形，∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE =∠ECF ， ∴∠BCE =∠1，∴BC =BE ，∴四边形BCFE 是菱形．∵∠1=∠ECF ，∠1=∠2，∴∠ECF =∠2，∴CM =FM ，又∵MH ⊥CD ，连接BF 交CE 于点O ，∵G 是BC 中点， ∴CG =21CB ，∵CH =21CF ，∴CG =CH ，在△CGM 和△CHM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，CH CG HCM GCM CM CM , ∴△CGM ≌△CHM （SAS ），∴∠CGM =∠CHM =90°，即FG ⊥BC ，∴CF =BF ，∵BC =CF ，∴BC =CF =BF ，∴△BCF 是等边三角形， ∴∠BFC =60°，∴∠2=∠BFG =30°，∵BF ⊥CE ， ∴OM =MH ，∵OE =OC =FG ，∴EM =FG +MH ． 20.解：（1）设这两种粽子的进价为每个a 元，则1.5a ×aa12004000-+1200×2a －4000=3200，---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------解得：a =2．（2）由（1）知粽子的进价为每个2元，则前两天购进咸肉馅和板栗馅粽子4000÷2=2000 个，设利润为W 元，销售板栗粽子x 个，咸肉馅棕售价4元/个，板栗粽售价3元/个，根 据题意得：W =4（2000－x ）+3x －400=－x +4000，∵2000－x ≤60%x ，∴x ≥1250，∵－1＜ 0，∴W 随x 的增大而减小，∴当x =1250时，W 最大，最大值为W =－1250+4000=2750． 21.解：（1）∵将x =0代入y =mx +2得；y =2，∴点D 的坐标为（0，2）．∵CG =OD =2，∴点G 的坐标为（2，6），将点G （2，6）代入y =mx +2得：2m +2=6． 解得：m =2．∴直线DG 的函数表达式为y =2x +2． （2）①如图所示：过点F 作FH ⊥BC ，垂足为H ，延长FG 交y 轴于点N ． ∵四边形DEFG 为菱形，∴GF =DE ，GF ∥DE ．∴∠GNC =∠EDO ． ∴∠NGC =∠DEO ．∴∠HGF =∠DEO ．∴Rt △GHF ≌Rt △EOD ． ∴FH =DO =2．∴S △GBF =21GB ·HF ==21×2×（6－a ）=6－a ，∴S 与a 之 间的函数关系式为：S =6－a ．②当s =1时，则6－a =1，解得：a =5．∴点G 的坐标为（5，6）． 在△DCG 中，由勾股定理可知DG =41542222=+=+CG CD ． ∵四边形GDEF 是菱形，∴DE =DG =41．在Rt △DOE 中，由勾股定理可知 OE =44122-=-OD DE =37＞6．∴OE ＞OA ，∴点E 不在OA 上，∴S ≠1．图① 图②。
第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛：八年级地方晋级赛复赛A 卷 --------------------------------------------------------------------------------- 考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间,不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分,选择题每小题4分,填空题每小题5分,解答题共5小题,共 50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时,考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数,请化至最简。
八年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ,考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分,共40分） 1．函数0)2(1--=x x y 的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠1且x ≠2 C ．x ≥0且x ≠2 D ．x ≥0且x ≠2且x ≠12．某车由甲地等速前往丁地,如图,过程是：自甲向东直行8分钟至乙后, 朝东偏南直行8分钟至丙,左转90°直行15分钟至丁．若此车由甲地 按原来的速度匀速向东直行可到达丁地,则此车程需要（ ） A ．19.5分钟B ．24分钟C ．25分钟D ．28分钟3．如果等式（2x －3）x +3=1,则等式成立的x 的值的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．如右图,在一条笔直的小路上有一盏路灯,晚上小雷从点B 处径直走到点A 处再远离A 处时,小雷在灯光照射下的影长y 与行走的路程x 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图,△ABC 内有一点P ,点D 、E 、F 分别是点P 关于AB 、BC 、AC 对称的点．若△ABC的内角∠BAC =70°,∠ABC =60°,∠ACB =50°,则∠ADB +∠BEC +∠CF A 等于（ ） A ．180° B ．270° C ．360° D ．480°6．若实数x ,y 满足x －y +1=0且1＜y ＜2,化简1026234422+--+-+y x y y x 得（ ） A ．7B ．2x +2y －7C ．11D ．9－4y7．如图,正三角形ABC 的三边表示三面镜子,BP =31AB =1,一束光线从点P 发射至BC 上R点,且∠BPR =60°．光线依次经BC 反射,AC 反射,AB 反射…一直继续下去．当光线第 一次回到点P 时,这束光线所经过的路线的总长为（ ） A ．6B ．9C ．39D ．278．如图,在平行四边形ABCD 中,BC =2AB ,CE ⊥AB 于E ,F 为AD 的中点,若∠AEF =54°, 则∠B 的度数为（ ）A ．54°B ．60°C ．66°D ．72°第5题图 第7题图 第8题图 9．如图,在△ABC 中,AD 是∠A 的外角平分线,P 是AD 上异于A 的任意一点,设PB =m , PC =n ,AB =c ,AC =b ,则（m +n ）与（b +c ）的大小关系是（ ）A ．m +n ＞b +cB ．m +n ＜b +cC ．m +n =b +cD ．无法确定第9题图 第10题图10．如图,在平面直角坐标系中,已知直线y =x 上一点P （1,1）,C 为y 轴上一点,连接PC ,线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ,过点D 作直线AB ⊥x 轴,垂足为B ,直线AB 与直线y =x 交于点A ,且BD =2AD ,连接CD ,直线CD 与直线y =x 交于点Q ,则点Q 的 坐标为（ ） A ．（25,25） B ．（3,3） C ．（47,47） D ．（49,49）二、填空题（每小题5分,共30分） 11．已知a =6013,b =1315,则代数式(a +b )2－(a －b )2的值为____________． 12．如图,在△ABC 中,AB =4,AC =3,AD 、AE 分别是其角平分线和中线,过点C 作CG ⊥AD 于点F ,交AB 于点G ,连接EF ,则线段EF 的长等于 ． 13．若关于x 的方程0111=--+x ax 的解为正数,则a 的取值范围是_____________． 14．如图,点A （1,1）,B （2,－3）,点P 为x 轴上一点,当|P A －PB |最大时,点P 的坐 标为_____________．第12题图 第14题图 第16题图 15． 若a ＞0,b ＞0,且a ≠b ,a 、b 满足)2(2)3(b a b b a a -=-,则abb aba +-=_______．16．如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,D 为BC 上一点,BE ∥AC ,且DE ⊥AD ,若 BD =2,CD =4,则BE 的长为_______________．三、解答题（共5小题,共50分） 17．先化简,再求值：y x y xy x y x yx ++++--239,其中x =3,y =4．（8分）18．定义：如果一个数的平方等于－1,记为i 2=－1,这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数,表示为a +bi （a ,b 为实数）,a 叫这个复数的实部,b 叫 做这个复数的虚部,它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似． 例如计算：（5+i ）×（3－4i ）=19－17i ． 试一试：请利用学过的有关知识将ii-+22化简成a +bi 的形式．（9分）19．如图,在平行四边形ABCD 中,CE 平分∠BCD ,交AB 边于点E ,EF ∥BC ,交CD 于点F ,点G 是BC 边的中点,连接GF ,且∠1=∠2,CE 与GF 交于点M ,过点M 作MH ⊥CD 于点H ．求证：EM =FG +MH ．（10分）20．某超市在端午节前两天每天都花4000元购进咸肉馅和板栗馅粽子若干,已知这两种粽子每个的进价相同,第一天超市将咸肉馅粽子按进价的2倍销售,板栗馅粽子在进价的基础上提价50%销售,当天全部售完,发现咸肉馅粽子销售了1200个,共获利3200元． （1）设这两种粽子的进价为每个a 元,求a 的值；（5分）（2）如果要求咸肉馅粽子的数量不能超过板栗馅粽子数量的60%,且按第一天的销售价格销售,那么销售利润最多是多少元？（5分）21．在平面直角坐标系xOy中,边长为6的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴的正半轴上,直线y=mx+2与OC,BC两边分别相交于点D,G,以DG为边作菱形DEFG, 顶点E在OA边上．（1）如图①,当CG=OD时,求直线DG的函数表达式；（3分）（2）如图②,连接BF,设CG=a,△FBG的面积为S．①求S与a的函数关系式；（4分）②判断S的值能否等于等于1？若能,求此时m的值,若不能,请说明理由．（6分）图①图②八年级A卷答案一、选择题（每小题4分,共40分）1.D2.C3.C4.A5.C6.A7.B8.D9.A 10.D3.当x+3=0时,x=－3；当2x－3=1时,x=2；当x=1时,（2x－3）x+3=1．6.∵x－y+1=0,∴y=x+1,∵1＜y＜2,∴1＜x+1＜2,∴0＜x＜1,∴1026234422+--+-+yxyyx=10)1(26)1(23)1(4422++--++-++xxxxx=96214422+-+++xxxx=22)3(2)12(-++xx=|2x+1|+2|x－3|=2x+1+2（3－x）=7．7.∵BP=31AB=1,∠BPR=60°,∴PR=1,根据等边三角形的性质可知当光线第一次回到点P时,光线经过的大致路线如图所示,∴当第一次回到点P时,这束光线所经过的路线的总长为1+2+1+2+1+2=9．8.过F作FG∥AB∥CD,交BC于G．则四边形ABGF是平行四边形,所以AF=BG,即G是BC的中点；连接EG,在Rt△BEC中,EG是斜边上的中线,则BG=GE=FG=21BC；∵AE∥FG,∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°,∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°,∴∠B=∠BEG=180°－108°=72°．9.在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接EP,∵AD是∠A的外角平分线,∴∠CAD=∠EAD,在△ACP和△AEP中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，APAPEADCADACAE,,∴△ACP≌△AEP（SAS）,∴PE=PC,在△PBE中,PB+PE＞AB+AE,∵PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,∴m+n＞b+c．10.过P作MN⊥y轴,交y轴于M,交AB于N,过D作DH⊥y轴,交y轴于H,∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°,∴∠MCP+∠CPM=90°,∠MPC+∠DPN=90°,∴∠MCP=∠DPN,∵P（1,1）,∴OM=BN=1,PM=1,在△MCP和△NPD中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠PD,PCDPNMCPDNPCMP，，∴△MCP≌△NPD（AAS）,∴DN=PM,PN=CM,∵BD=2AD,∴设AD=a,BD=2a,∵P（1,1）,∴BN=2a－1,则2a－1=1,a=1,即BD=2．∵直线y=x,∴AB=OB=3,在Rt△DNP中,由勾股定理得：PC=PD=5,在Rt△MCP中,由勾股定理得：CM=2,则C的坐标是（0,3）,设直线CD的解析式是y=kx+3,把D （3,2）代入得：k =－31,即直线CD 的解析式是y =－31x +3, 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,,331x y x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.49,49y x ,即Q 的坐标是（49,49）．二、填空题（每小题5分,共30分）11.1 12.21 13.a ＜1且a ≠－1 14.(21,0) 15.512 16.213.解方程得x =a -12,∵原方程的解为正数,∴x ＞0,即a-12＞0,当x －1=0时,x =1,代入得a =－1．此为增根,∴a ≠－1,解得a ＜1且a ≠－1．14.作A 点关于x 轴的对称点A',连BA',交x 轴于点P ,此时|P A -PB |最大． 由A'（1,－1）、B （2,－3）可得直线BA'的解析式为y =－2x +1,令y =0,则x =21,即点P 的坐标为(21,0) ． 15.∵)2(2)3(b a b b a a -=-,∴a －3ab =2ab －4b ,∴a －5ab +4b =0,∴（b a 4-）（b a -）=0,而a ≠b ,故b a 4-=0,a =16b ,原式=5124416=+-b b b b ． 16.连AE ,过A 点作AF ⊥BC 于点F ,过点E 作EG ⊥CB 的延长线于点G ,∵BD =2,CD =4, ∴BC =6,由题意得BF =CF =AF =3,DF =1,AB =23,∴在Rt △ADF 中AD =10．设 GE =GB =x ,则BE =x 2,GD =x +2,ED 2=x 2+（x +2）2,AE 2=ED 2+AD 2= x 2+（x +2）2+10,又在Rt △ABE 中,AE 2=BE 2+AB 2=2x 2+（23）2= 2x 2+18,∴x 2+（x +2）2+10=2x 2+18,解得x =1,∴BE =2．三、解答题（共5小题,共50分）17.解：原式=yx y x y x 3)3)(3(-+-+yx y x ++2)(=x +3y +x +y=2x +4y ,当x =3,y =4时,原式=23+44=23+8．18.解：i i i i i i i i i i 5453543444)2)(2()2(22222+=+=-++=+-+=-+． 19.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD ,∴∠1=∠ECF ,∵EF ∥BC ,∴四边形BCFE 是平行四边形,∵CE 平分∠BCD ,∴∠BCE =∠ECF , ∴∠BCE =∠1,∴BC =BE ,∴四边形BCFE 是菱形．∵∠1=∠ECF ,∠1=∠2,∴∠ECF =∠2,∴CM =FM ,又∵MH ⊥CD ,连接BF 交CE 于点O ,∵G 是BC 中点,∴CG =21CB ,∵CH =21CF ,∴CG =CH ,在△CGM 和△CHM 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，CH CG HCM GCM CM CM , ∴△CGM ≌△CHM （SAS ）,∴∠CGM =∠CHM =90°,即FG ⊥BC ,∴CF =BF ,∵BC =CF ,∴BC =CF =BF ,∴△BCF 是等边三角形, ∴∠BFC =60°,∴∠2=∠BFG =30°,∵BF ⊥CE , ∴OM =MH ,∵OE =OC =FG ,∴EM =FG +MH ． 20.解：（1）设这两种粽子的进价为每个a 元,则1.5a ×aa12004000-+1200×2a －4000=3200,解得：a =2．（2）由（1）知粽子的进价为每个2元,则前两天购进咸肉馅和板栗馅粽子4000÷2=2000 个,设利润为W 元,销售板栗粽子x 个,咸肉馅棕售价4元/个,板栗粽售价3元/个,根 据题意得：W =4（2000－x ）+3x －400=－x +4000,∵2000－x ≤60%x ,∴x ≥1250,∵－1＜ 0,∴W 随x 的增大而减小,∴当x =1250时,W 最大,最大值为W =－1250+4000=2750． 21.解：（1）∵将x =0代入y =mx +2得；y =2,∴点D 的坐标为（0,2）．∵CG =OD =2,∴点G 的坐标为（2,6）,将点G （2,6）代入y =mx +2得：2m +2=6． 解得：m =2．∴直线DG 的函数表达式为y =2x +2．（2）①如图所示：过点F 作FH ⊥BC ,垂足为H ,延长FG 交y 轴于点N ． ∵四边形DEFG 为菱形,∴GF =DE ,GF ∥DE ．∴∠GNC =∠EDO ． ∴∠NGC =∠DEO ．∴∠HGF =∠DEO ．∴Rt △GHF ≌Rt △EOD ． ∴FH =DO =2．∴S △GBF =21GB ·HF ==21×2×（6－a ）=6－a ,∴S 与a 之 间的函数关系式为：S =6－a ．②当s =1时,则6－a =1,解得：a =5．∴点G 的坐标为（5,6）． 在△DCG 中,由勾股定理可知DG =41542222=+=+CG CD ． ∵四边形GDEF 是菱形,∴DE =DG =41．在Rt △DOE 中,由勾股定理可知 OE =44122-=-OD DE =37＞6．∴OE ＞OA ,∴点E 不在OA 上,∴S ≠1．。
wmo世界奥林匹克数学竞赛试题八年级WMO世界奥林匹克数学竞赛是一项国际性的数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
以下是一套模拟的WMO世界奥林匹克数学竞赛试题，适用于八年级学生：一、选择题（每题3分，共15分）1. 若\( a \)和\( b \)互为相反数，\( c \)和\( d \)互为倒数，且\( a \)和\( b \)的绝对值相等，求下列表达式的值：\[ \frac{1}{2}ab + cd \]A. 0B. 1C. -1D. 无法确定2. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 83. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. -16C. 正负16D. 正负44. 一个圆的直径是14厘米，求这个圆的面积。
A. 38.5平方厘米B. 153.94平方厘米C. 69.08平方厘米D. 98.16平方厘米5. 一个数列的前三项分别是1，2，3，如果每一项都是前一项的两倍，那么第10项是多少？A. 1024B. 2048C. 4096D. 8192二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的立方根是2，这个数是________。
7. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是________或________。
8. 一个长方体的长、宽、高分别是2厘米、3厘米和4厘米，它的体积是________立方厘米。
9. 一个分数的分子是7，分母是12，化简后的分数是________。
10. 一个正整数，如果它是3的倍数，同时也是5的倍数，那么这个数至少是________。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 =\frac{n^2(n+1)^2}{4} \)。
12. 一个长方体的长、宽、高分别是\( l \)、\( w \)和\( h \)，如果长方体的表面积是\( S \)，求长方体的体积。
八年级奥林匹克数学竞赛题八年级的奥林匹克数学竞赛题相对于一般数学题而言,更侧重考查学生对知识的综合运用能力和解题思维能力,题目相对偏难一些。
接下来是店铺为大家带来的八年级奥林匹克的数学竞赛题，供大家参考。
八年级奥林匹克数学竞赛题目一填空题1、观察下列各式1× 3=3而3=22-1，3×5=15而15=42-1，5×7=35而35=62-1，……，11×13=143而143=122-1;你猜想到的规律用只含一个字母n的式子表示出来是 __ 。
2、a=2005x+2004,b=2005x+2005,c=2005x+2006,代数式a2+b2+c2-ab-bc-ca= 。
3、一个多边形的对角线的条数等于边数的5倍，则这个多边形是_____边形.4、现有铁矿石73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，已知载重量7吨的卡车每台车的运费为65元，载重量5吨的卡车每台车运费为50元，则最省的运费是元。
5、100个数据分成5组，其中第一、二小组的频率之和等于0.11，第四、五小组的频率之和等于0.27，则第三小组的频数等于_______________。
6、甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答.以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答.抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是________。
7、在四边形ABCD中，如果要使对角线AC⊥BD，可添加条件(只需填写一个你认为适当的条件即可)。
8、有3堆硬币，每枚硬币的面值相同.小李从第1堆取出和第2堆一样多的硬币放入第2堆;又从第2堆中取出和第3堆一样多的硬币放人第3堆;最后从第3堆中取出和现存的第1堆一样多的硬币放人第1堆，这样每堆有16枚硬币，则原来第1堆有硬币___枚，第2堆有硬币____枚，第3堆有硬币_____枚.9、盒子里有10个球，每个球上写有1～10中的1个数字，不同的球上数字不同，其中两个球上的数的和可能是3，4，…，19.现从盒中随意取两个球，这两个球上的数的和，最有可能出现的是_______。
初二奥林匹克数学竞赛（10道变态难数学题）今天给大家分享的是八年级数学奥林匹克竞赛的知识，也会讲解10道异常难的数学题。
如果你碰巧解决了你现在面临的问题，别忘了关注这个网站，现在就开始！初二奥林匹克数学竞赛始于1894年由匈牙利数学界为纪念数理学家厄特沃什-罗兰而组织的数学竞赛。
而把数学竞赛与体育竞赛相提并论，与科学的发源地–古希腊联系在一起的是前苏联，她把数学竞赛称为数学奥林匹克。
20世纪上半叶，不同国家相继组织了各级各类的数学竞赛，先在学校，继之在地区，后来在全国进行，逐步形成了金字塔式的竞赛系统。
从各国的竞赛进一步发展，自然为形成最高一层的国际竞赛创造了必要的条件。
1975年匈牙利布达佩斯大学数学委员会提倡创立，并于1978年8月在匈牙利举行了第一次世界奥林匹克数学竞赛（Would Mathematical Olympiad 简称WMO）。
随着影响力的扩大，越来越多的国家和地区参与进来。
2006年，中国组委会提出申请，并于2007年8月获准加入该协会。
最近几年中国一直排名第一。
10道变态难数学题1、有六级台阶，小明从下往上走，若每次只能跨一级或两级，她走上去有几种可能?2.如果今天是星期六，从明天算起2的20次方后的第一天是星期几？3.在一个月中，星期二的天数比星期三多，星期一的天数比星期天多。
这个月5号是星期几？4、100的平方-99的平方+98的平方-97的平方+……+2的平方-1的平方是多少？5、1×2+2×3+3×4+……100×1016.某次比赛，一等奖10个，二等奖20个。
现在一等奖最后四个人调整为二等奖，所以二等奖平均分增加2分，也就是一等奖平均分增加1分。
原来一等奖比二等奖平均分多多少分？7.一条公交线路中间有15个站，有快车和慢车两种。
快车的速度是慢车的1.5倍。
慢车每站都停，快车只停中间站，停站时间2分钟。
慢车每次60分钟从同一个始发站发车时，快车刚好到达终点。
（第15小题图）世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）总决赛八年级数学试卷（满分120分）一、选择题。
（每小题3分，共18分）(将正确答案的字母填在括号内)1．下列调查,比较适用普查而不适用抽样调查方式的是（ ）。
A ．为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率 B ．为了了解夏季冷饮市场上一批冰淇淋的质量情况C ．为了了解初三某班的每个学生周末（星期六）晚上的睡眠时间D ．为了考察一片试验田里某种水稻的穗长情况2．如果分式x x 2－1的值为零，那么x 的取值是（ ）。
A ．0B ．1C ．－1D ．±1 3．把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是（ ）。
4．某同学利用影子长度测量操场上旗杆的高度，在同一时刻，他测得自己影子长为0.8m ，旗杆的影子长为7m ，已知他的身高为1.6m ，则旗杆的高度为（ ）。
A ．8cmB ．10mC ．12mD ．14m 5．下列四个命题中是真命题的有（ ）。
（1）同位角相等 （2）相等的角是对顶角（3）直角三角形的两个锐角互余 （4）三个内角相等的三角形是等边三角形 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）。
A ．a 2―b 2＝(a ―b)2B ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2C ．(a ―b)2＝a 2―2ab ＋b 2D ．a 2―b 2＝(a ＋b) (a ―b)二、填空题。
（每小题3分，共33分）7．今年我市约有6万名初中毕业生参加升学考试，为了解6万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中总体是______________________。
8．当x____________时，分式x ＋1x －1有意义。
一、请你填一填。
(19分)1. + + + =( ×)。
2.画一个直径6厘米的圆，圆规两脚尖的距离是( )厘米，面积是( )平方厘米。
3. =0.4= ( ) : 20 =( )%。
4.把3:1.25化成最简单的整数比是( )，比值是( )。
5.40千克的20%是( )千克，20吨比( )吨少。
6. 六(1)班今天出勤48人，有2人请假，今天六(1)班学生的出勤率是( )。
7.油菜籽的出油率是40%，500千克油菜籽可出油( )千克;要出油500千克需要( )千克油菜籽。
8.一个长方形的周长是30厘米，长与宽的比是3:2，这个长方形的面积是( )平方厘米。
9.一个钟面的分针长4厘米，时针走了1大格，分针扫过的面积是( )平方厘米，分针的尖端所走过的路程是( )厘米。
10.六(1)班女生人数是男生人数的，女生人数与全班人数的比是( )，男生人数占全班的,男生比女生多。
二、请你来判断。
(6分)1.1的倒数是1，0的倒数是0。
( )2.用110粒种子做发芽试验，有100粒发芽,发芽率是100% ( )3.走完一段路，甲需要8时，乙需要10时，甲、乙速度比是4：5。
( )4.1吨煤用去吨，还剩20%吨。
( )5.5比4多25%，4比5少20%。
( )6.大牛和小牛的头数比是4:5，表示大牛比小牛少。
( )三、请你来选择。
(16分)1.两根3米长的铁丝，第一根用去全长的，第二根用去米，剩下的铁丝( )。
A第一根长B第二根长C 两根一样长2.一台电视机降价40%后售价是660元，原价是( )元。
A 1100B 396C 3303.小圆的直径是2厘米，大圆的半径是2厘米，小圆的面积是大圆面积的( )。
4.一个正方形的边长和圆的半径相等，已知正方形的面积是20平方米，圆的面积是( )平方米。
A 62.8B 12.56C 15.75.一种MP3原来的售价是820元，降低10%，再提高10%，现在的价格和原来相比( )。
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列数中，不是有理数的是（）A. 2/3B. -1/4C. √2D. 3.142. 已知a=2，b=-3，那么a²+b²的值是（）A. 1B. 5C. 13D. 173. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等边三角形C. 等腰梯形D. 长方形4. 下列等式中，不成立的是（）A. a²+b²=c²（c为直角三角形斜边）B. (a+b)²=a²+2ab+b²C. (a-b)²=a²-2ab+b²D. (a+b)(a-b)=a²-b²5. 已知函数f(x)=3x²-4x+1，当x=2时，f(x)的值是（）A. 5B. 7C. 9D. 11二、填空题（每题5分，共20分）6. 分数4/5的倒数是__________。
7. 下列数中，最小的负整数是__________。
8. 一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，那么这个三角形的周长是__________cm。
9. 若a、b、c为三角形的三边，且满足a+b>c，b+c>a，a+c>b，那么这个三角形一定是__________三角形。
10. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,-2)，那么线段AB的中点坐标是__________。
三、解答题（每题20分，共80分）11. （10分）已知一元二次方程x²-5x+6=0，求它的两个根。
12. （10分）已知函数f(x)=2x+1，求函数f(x)的值域。
13. （10分）已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，求第10项an的值。
14. （10分）已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，求AC的长度。
15. （10分）已知函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0），若f(1)=2，f(2)=5，f(3)=10，求a、b、c的值。
D CBA奥杯赛 初中数学竞赛试题一、 选择题 1．函数y ＝1x-图象的大致形状是（ ）A B C D2．老王家到单位的路程是3500米，老王每天早上7：30离家步行去上班，在8：10（含8：10）到8：20（含8：20）之间到达单位。
如果设老王步行的速度为x 米／分，则老王步行的速度范围是（ ）A ．70≤x ≤87.5B ．70≤x 或x ≥87.5C ．x ≤70D ．x ≥87.53．如图，AB 是半圆的直径，弦AD ，BC 相交于P ，已知∠DPB ＝60°，D 是弧BC 的中点，则tan ∠ADC 等于（ ）A ．12B ．2 CD ．34．抛物线()20y x x p p =++≠的图象与x 轴一个交点的横坐标是P ，那么该抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（0，－2） B ．19,24⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．19,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，CD 是角平分线，则△DBC 的面积与△ABC 的面积的比值是（ ）yxOyx OyxOyxOA．22 B．23- C．32 D．33-6．直线l ：()0y px p =是不等于的整数与直线y ＝x ＋10的交点 恰好是（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l 有（ ） A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．无数条7．把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入20x x ++= 的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a ，b ，c （ ）A ．不存在B ．有一组C ．有两组D ．多于两组8．六个面上分别标有1,1，2,3，3,5六个数字的均匀立方体的表面如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数主该点的纵坐标。
全国奥林匹克数学大赛解析初中数学竞赛试题一、 选择题（30分）1. 化简)2(2)2(2234++-n n n ，得（ ）。
（A ）8121-+n (B) 12+-n (C) 87 (D)47 答案：C 2. 如果c b a ,,是三个任意整数，那么2,2,2a c c b b a +++ （ ）。
（A ）都不是整数 （B ）至少有两个整数（C ）至少有一个整数 （D ）都是整数答案：C3. 如果b a ,是质数，且,013,01322=+-=+-m b b m a a 那么b a a b +的值为（ ）。
（A ）22123 （B ）222125或 （C ）22125 （D ）222123或 答案：B4. 如图，若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为（ ） ……（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12答案：B5. 如图，若PA=PB ，∠APB=2∠ACB ，AC 与PB 交于点D,且PB=4，PD=3，则AD ⨯DC 等于（ ）。
（A ）6 （B ）7 （C ）12 （D ）16答案：B6. 若b a ,是正数，且满足)111)(111(12345b a -+=，则b a 和之间的大小关系是（ ）。
（A ）b a > （B ）b a = （C ）b a < （D ）不能确定答案：A二、 填空题（30分）7. 已知：2323,2323-+=+-=y x 。
那么=+22yx x y ____________。
答案：9708. 若,28,1422=++=++x xy y y xy x 则y x +的值为____________。
答案：6或-79. 用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于____________。
答案：36或1010. 销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150m 。
为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为____________。
WMO 世 界 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 （ 中 国 区 ） 选 拔 赛第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共 50分。
3. 请将答案写在本卷上。
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4. 若计算结果是分数，请化至最简。
八年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．函数0)2(1--=x x y 的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠1且x ≠2 C ．x ≥0且x ≠2 D ．x ≥0且x ≠2且x ≠1 2．某车由甲地等速前往丁地，如图，过程是：自甲向东直行8分钟至乙后， 朝东偏南直行8分钟至丙，左转90°直行15分钟至丁．若此车由甲地 按原来的速度匀速向东直行可到达丁地，则此车程需要（ ）A ．19.5分钟B ．24分钟C ．25分钟D ．28分钟 3．如果等式（2x －3）x +3=1，则等式成立的x 的值的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．如右图，在一条笔直的小路上有一盏路灯，晚上小雷从点B 处径直走到点A 处再远离A 处 时，小雷在灯光照射下的影长y 与行走的路程x 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，△ABC 内有一点P ，点D 、E 、F 分别是点P 关于AB 、BC 、AC 对称的点．若△ABC 的内角∠BAC =70°，∠ABC =60°，∠ACB =50°，则∠ADB +∠BEC +∠CF A 等于（ ） A ．180° B ．270° C ．360° D ．480°6．若实数x ，y 满足x －y +1=0且1＜y ＜2，化简1026234422+--+-+y x y y x 得（ ）A ．7B ．2x +2y －7C ．11D ．9－4y7．如图，正三角形ABC 的三边表示三面镜子，BP =31AB =1，一束光线从点P 发射至BC 上R 点，且∠BPR =60°．光线依次经BC 反射，AC 反射，AB 反射…一直继续下去．当光线第一次回到点P 时，这束光线所经过的路线的总长为（ ） A ．6 B ．9C ．39D ．278．如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE ⊥AB 于E ，F 为AD 的中点，若∠AEF =54°， 则∠B 的度数为（ ）A ．54°B ．60°C ．66°D ．72°第5题图 第7题图 第8题图9．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB =m ， PC =n ，AB =c ，AC =b ，则（m +n ）与（b +c ）的大小关系是（ ）A ．m +n ＞b +cB ．m +n ＜b +cC ．m +n =b +cD ．无法确定第9题图 第10题图 10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y =x 上一点P （1，1），C 为y 轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y =x 交于点A ，且BD =2AD ，连接CD ，直线CD 与直线y =x 交于点Q ，则点Q 的 坐标为（ ）A ．（25，25）B ．（3，3）C ．（47，47） D ．（49，49）二、填空题（每小题5分，共30分）11．已知a =6013，b =1315，则代数式(a +b )2－(a －b )2的值为____________． 12．如图，在△ABC 中，AB =4，AC =3，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，则线段EF 的长等于 ． 13．若关于x 的方程0111=--+x ax 的解为正数，则a 的取值范围是_____________． 14．如图，点A （1，1），B （2，－3），点P 为x 轴上一点，当|P A －PB |最大时，点P 的坐 标为_____________．第12题图 第14题图 第16题图 15． 若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，a 、b 满足)2(2)3(b a b b a a -=-，则abb aba +-=_______．16．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，D 为BC 上一点，BE ∥AC ，且DE ⊥AD ，若BD =2，CD =4，则BE 的长为_______________．18．定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2=－1，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a +bi （a ，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫 做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算：（5+i ）×（3－4i ）=19－17i ． 试一试：请利用学过的有关知识将ii-+22化简成a +bi 的形式．（9分）19．如图，在平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AB 边于点E ，EF ∥BC ，交CD 于点F ，点G 是BC 边的中点，连接GF ，且∠1=∠2，CE 与GF 交于点M ，过点M 作MH ⊥CD 于点H ．求证：EM =FG +MH ．（10分）20．某超市在端午节前两天每天都花4000元购进咸肉馅和板栗馅粽子若干，已知这两种粽子每个的进价相同，第一天超市将咸肉馅粽子按进价的2倍销售，板栗馅粽子在进价的基础 上提价50%销售，当天全部售完，发现咸肉馅粽子销售了1200个，共获利3200元．21．在平面直角坐标系xOy 中，边长为6的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x轴和y 轴的正半轴上，直线y =mx +2与OC ，BC 两边分别相交于点D ，G ，以DG 为边作菱形DEFG ， 顶点E 在OA 边上．（1）如图①，当CG =OD 时，求直线DG 的函数表达式；（3分） （2）如图②，连接BF ，设CG =a ，△FBG 的面积为S ． ①求S 与a 的函数关系式；（4分）②判断S 的值能否等于等于1？若能，求此时m 的值，若不能，请说明理由．（6分）图① 图②一、选择题（每小题4分，共40分）1.D2.C3.C4.A5.C6.A7.B8.D9.A 10.D3.当x+3=0时，x=－3；当2x－3=1时，x=2；当x=1时，（2x－3）x+3=1．6.∵x－y+1=0，∴y=x+1，∵1＜y＜2，∴1＜x+1＜2，∴0＜x＜1，∴1026234422+--+-+yxyyx=10)1(26)1(23)1(4422++--++-++xxxxx=96214422+-+++xxxx=22)3(2)12(-++xx=|2x+1|+2|x－3|=2x+1+2（3－x）=7．7.∵BP=31AB=1，∠BPR=60°，∴PR=1，根据等边三角形的性质可知当光线第一次回到点P时，光线经过的大致路线如图所示，∴当第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为1+2+1+2+1+2=9．8.过F作FG∥AB∥CD，交BC于G．则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，即G是BC的中点；连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，则BG=GE=FG=21BC；∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，∴∠B=∠BEG=180°－108°=72°．9.在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，∵AD是∠A的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD，在△ACP和△AEP中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，APAPEADCADACAE,，∴△ACP≌△AEP（SAS），∴PE=PC，在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，∴m+n＞b+c．10.过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，∴∠MCP=∠DPN，∵P（1，1），∴OM=BN=1，PM=1，在△MCP和△NPD中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠P D,PCDPNMCPDNPCMP，，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN=PM，PN=CM，∵BD=2AD，∴设AD=a，BD=2a，∵P（1，1），∴BN=2a－1，则2a－1=1，a=1，即BD=2．中，由勾股定理得：CM=2，则C的坐标是（0，3），设直线CD的解析式是y=kx+3，把D（3，2）代入得：k=－31，即直线CD的解析式是y=－31x+3，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,,331xyxy解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.49,49yx，即Q的坐标是（49，49）．二、填空题（每小题5分，共30分）11.1 12.2113.a＜1且a≠－1 14.(21,0)15.51216.213.解方程得x=a-12，∵原方程的解为正数，∴x＞0，即a-12＞0，当x－1=0时，x=1，代入得a=－1．此为增根，∴a≠－1，解得a＜1且a≠－1．14.作A点关于x轴的对称点A'，连BA'，交x轴于点P，此时|P A-PB|最大．由A'（1，－1）、B（2，－3）可得直线BA'的解析式为y=－2x+1，令y=0，则x=21，即点P的坐标为(21,0)．15.∵)2(2)3(babbaa-=-，∴a－3ab=2ab－4b，∴a－5ab+4b=0，∴（ba4-）（ba-）=0，而a≠b，故ba4-=0，a=16b，原式=5124416=+-bbbb．16.连AE，过A点作AF⊥BC于点F，过点E作EG⊥CB的延长线于点G，∵BD=2，CD=4，∴BC=6，由题意得BF=CF=AF=3，DF=1，AB=23，∴在Rt△ADF中AD=10．设GE=GB=x，则BE=x2，GD=x+2，ED2=x2+（x+2）2，AE2=ED2+AD2=x2+（x+2）2+10，又在Rt△ABE中，AE2=BE2+AB2=2x2+（23）2=2x2+18，∴x2+（x+2）2+10=2x2+18，解得x=1，∴BE=2．三、解答题（共5小题，共50分）17.解：原式=yxyxyx3)3)(3(-+-+yxyx++2)(=x+3y+x+y=2x+4y，当x=3，y=4时，原式=23+44=23+8．18.解：i i i i i i i i i i 5453543444)2)(2()2(22222+=+=-++=+-+=-+．19.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠1=∠ECF ，∵EF ∥BC ，∴四边形BCFE 是平行四边形，∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE =∠ECF ， ∴∠BCE =∠1，∴BC =BE ，∴四边形BCFE 是菱形．∵∠1=∠ECF ，∠1=∠2，∴∠ECF =∠2，∴CM =FM ，又∵MH ⊥CD ，连接BF 交CE 于点O ，∵G 是BC 中点， ∴CG =21CB ，∵CH =21CF ，∴CG =CH ，在△CGM 和△CHM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，CH CG HCM GCM CM CM , ∴△CGM ≌△CHM （SAS ），∴∠CGM =∠CHM =90°，即FG ⊥BC ， ∴CF =BF ，∵BC =CF ，∴BC =CF =BF ，∴△BCF 是等边三角形， ∴∠BFC =60°，∴∠2=∠BFG =30°，∵BF ⊥CE ， ∴OM =MH ，∵OE =OC =FG ，∴EM =FG +MH ． 20.解：（1）设这两种粽子的进价为每个a 元，则1.5a ×aa12004000-+1200×2a －4000=3200，解得：a =2．（2）由（1）知粽子的进价为每个2元，则前两天购进咸肉馅和板栗馅粽子4000÷2=2000 个，设利润为W 元，销售板栗粽子x 个，咸肉馅棕售价4元/个，板栗粽售价3元/个，根 据题意得：W =4（2000－x ）+3x －400=－x +4000，∵2000－x ≤60%x ，∴x ≥1250，∵－1＜ 0，∴W 随x 的增大而减小，∴当x =1250时，W 最大，最大值为W =－1250+4000=2750． 21.解：（1）∵将x =0代入y =mx +2得；y =2，∴点D 的坐标为（0，2）． ∵CG =OD =2，∴点G 的坐标为（2，6），将点G （2，6）代入y =mx +2得：2m +2=6． 解得：m =2．∴直线DG 的函数表达式为y =2x +2． （2）①如图所示：过点F 作FH ⊥BC ，垂足为H ，延长FG 交y 轴于点N ． ∵四边形DEFG 为菱形，∴GF =DE ，GF ∥DE ．∴∠GNC =∠EDO ． ∴∠NGC =∠DEO ．∴∠HGF =∠DEO ．∴Rt △GHF ≌Rt △EOD ． ∴FH =DO =2．∴S △GBF =21GB ·HF ==21×2×（6－a ）=6－a ，∴S 与a 之 间的函数关系式为：S =6－a ．②当s =1时，则6－a =1，解得：a =5．∴点G 的坐标为（5，6）． 在△DCG 中，由勾股定理可知DG =41542222=+=+CG CD ． ∵四边形GDEF 是菱形，∴DE =DG =41．在Rt △DOE 中，由勾股定理可知 OE =44122-=-OD DE =37＞6．∴OE ＞OA ，∴点E 不在OA 上，∴S ≠1．。
世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛姓名年级学校准考证号考场赛区_________父母姓名、联系电话_、－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－装－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－订－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－第十二届世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－考生须知：1.每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2.本卷共120分，填空题每小题5分，解答题每题10分，综合素质题10分，数学与生活题10分。
3.请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4.若计算结果是分数，请化至最简，并确保为真分数或带分数。
八年级全国总决赛复赛试卷（本试卷满分120分，考试时间90分钟）一、填空题。
（每题5分，共60分）1.计算：|)5(4|)3()3(2201522323-------=。
2.分解因式（x 2－1）(x 4＋x 2＋1)－(x 3＋1)2的结果是。
3.已知a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，e ＜0且|e |=1，那么（－ab ）2009－(c ＋d )2014－e 2015的值为。
4.若a ＋b ＋c =0，则2221c b a -+＋2221a c b -+＋2221b c a -+的值是。
5.解分式方程1-x x ＋1-x k －1+x x=0有增根x =1，则k 的值等于。
6.如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有种。
第6题图第7题图7.如图，光线以如图所示的角度α照射到平面镜m 上，然后在平面镜m ，n 之间来回反射，已知∠α=60°，∠β=50°，则∠γ=。
第8题图第9题图第12题图8.如图，∠A =60°，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，BD ，CE 相交于点F ，若FD =1cm ，EF =2cm ，则BD ＋CE =cm 。
