江苏省2019高考数学总复习优编增分练：高考附加题加分练曲线与方程、抛物线

2019高考数学江苏优编增分二轮复习专题8 附加题第3讲 矩阵与变换、坐标系与参数方程[考情考向分析] 1.考查常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法，属B 级要求.2.考查直线、曲线的极坐标方程、参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，属B 级要求．热点一 二阶矩阵与平面变换例1 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1：x 24＋y 22＝1，求曲线C 的方程．解 设曲线C 上任一点为(x ，y )，经过变换T 变成(x 0，y 0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即x 0＝x ，y 0＝2y . 由x 204＋y 202＝1，得曲线C 的方程为x 2＋4y 2＝4. 思维升华 解决这类问题一般是设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，求出原曲线在T 的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值．跟踪演练1 已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1，求实数b 的值． 解 从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0.在曲线C 1上任意选一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0 x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 故⎩⎪⎨⎪⎧ 2by 0＝x ′x 0＝y ′，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x ′，x 0＝y ′.代入曲线C 1方程得，y ′2＋⎝⎛⎭⎫12b x ′2＝1. 即曲线C 2方程为⎝⎛⎭⎫12b 2x 2＋y 2＝1.与已知的曲线C 2的方程x 24＋y 2＝1比较得(2b )2＝4. 所以b ＝±1.热点二 二阶矩阵的逆矩阵及其求法 例2 已知点P (3,1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b －1变换下得到点P ′(5，－1)．试求矩阵A 和它的逆矩阵A －1. 解 依题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a ＋23b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2＝5，3b －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1. 因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 20 －1＝1×(－1)－0×2＝－1， 所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1. 思维升华 由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序．跟踪演练2 二阶矩阵M 对应的变换T M 将曲线x 2＋x －y ＋1＝0变为曲线2y 2－x ＋2＝0，求M －1. 解 设曲线2y 2－x ＋2＝0上一点P (x ，y )在M －1对应变化下变成P (x ′，y ′)，。

五大技巧，简化解析几何运算解析几何是通过建立平面直角坐标系，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性．解析几何题目的难度很大程度上体现在运算上，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．因此，探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程就成了突破解析几何问题的关键． 技巧一 利用定义，回归本质例1 (1)已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，A 在抛物线上，且AF ＝4，则P A ＋PO 的最小值是__________． 答案 213解析 如图，可求A ()－2，4，再求A ()－2，4关于抛物线的准线x ＝2的对称点A ′()6，4，因此P A ＋PO ＝P A ′＋PO ，当O ，P ，A ′三点共线时P A ＋PO 取到最小值．即()P A ＋PO min ＝A ′O ＝62＋42＝213.(2)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．答案62解析 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧AF 1＋AF 2＝4，AF 2－AF 1＝2a ，AF 21＋AF 22＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. 跟踪演练1 (1)已知椭圆x 225＋y 216＝1内有两点A (1,3)，B (3,0)，P 为椭圆上一点，则P A ＋PB的最大值为______． 答案 15解析 由椭圆方程可知点B 为椭圆的右焦点，设椭圆的左焦点为B ′，由椭圆的定义可知PB ＝2a －PB ′＝10－PB ′， 则P A ＋PB ＝10＋()P A －PB ′， 很明显，()P A －PB ′max ＝AB ′ ＝()－3－12＋()0－32＝5，据此可得P A ＋PB 的最大值为10＋5＝15.(2)抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则PFP A 的最小值为______． 答案22解析 设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义， 知PF ＝x P ＋m ，又P A 2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝⎛⎭⎫PF P A 2＝(x p ＋m )2(x p ＋m )2＋4mx P＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)， 所以PF P A ≥22，所以PF P A 的最小值为22.技巧二 设而不求，整体代换例2 (1)已知直线l 交椭圆4x 2＋5y 2＝80于M ，N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是___________________________． 答案 6x －5y －28＝0解析 由4x 2＋5y 2＝80得x 220＋y 216＝1，∴椭圆上顶点为B (0,4)，右焦点F (2,0)为△BMN 的重心，故线段MN 的中点为C (3，－2)． 直线l 的斜率存在，设为k ， ∵点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋5y 21＝80，4x 22＋5y 22＝80，∴4(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋5(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45·6－4＝65.∴直线l 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1与函数y ＝tan x4的图象相交于A 1，A 2两点，若点P 在椭圆C 上，且直线P A 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤38，34解析 由题意，得A 1，A 2两点关于原点对称， 设A 1(x 1，y 1)，A 2(－x 1，－y 1)，P (x 0，y 0)，则x 214＋y 213＝1，x 204＋y 23＝1， 即y 21＝34(4－x 21)，y 20＝34(4－x 20)， 两式相减整理，得y 0＋y 1x 0＋x 1＝－34×x 0－x 1y 0－y 1＝－34×1kP A 1.因为直线P A 2的斜率的取值范围是[－2，－1]， 所以－2≤y 0＋y 1x 0＋x 1≤－1，所以－2≤－34·11PA k ≤－1，解得38≤1PA k ≤34跟踪演练2 (2018·全国大联考江苏卷)已知椭圆M: x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过其左焦点F (－c,0)的直线交椭圆M 于A ，B 两点，若弦AB 的中点为D (－4,2)，则椭圆M 的方程是________．答案 x 272＋y 236＝1解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由中点坐标公式得x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝4.将A ，B 的坐标分别代入M 的方程中得⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减，化简得y 1－y 2x 1－x 2＝2b 2a2，又因为A ，B ，D ，F 四点共线，所以2－0c －4＝y 1－y 2x 1－x 2＝2b 2a2，所以a 2＝b 2(c －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2(c －4)，c 2a 2＝12，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝72，b 2＝36，c ＝6，所以椭圆M 的方程为x 272＋y 236＝1.技巧三 根与系数的关系，化繁为简例3 已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴的两个顶点与F 1，F 2构成面积为2的正方形．(1)求椭圆Γ的方程；(2)直线l 与椭圆Γ在y 轴的右侧交于点P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过点F 2，PQ 的垂直平分线交x 轴于A 点，且OA →＝611OF 2→，求直线l 的方程．解 (1)因为椭圆C 的短轴的两个端点和其两个焦点构成正方形，所以b ＝c ， 因为S ＝a 2＝2，所以a ＝2，b ＝c ＝1， 故椭圆Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx ＋m ，显然k ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0， 因为x 1,2＝－4km ±8(2k 2－m 2＋1)2(1＋2k 2)所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－1)1＋2k 2，Δ＝8(2k 2－m 2＋1)>0，(*)y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2，y 1＋y 2＝kx 1＋m ＋kx 2＋m ＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k 2，由PF 2→·QF 2→＝0，得(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝0，得3m 2－1＋4km ＝0，即k ＝1－3m 24m，PQ 的中点为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km2k 2＋1，m 2k 2＋1，所以线段PQ 的中垂线AB 的方程为y －m2k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2km 2k 2＋1，令y ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－km 2k 2＋1，0，由OA →＝611OF 2→，得－km 2k 2＋1＝611，将k ＝1－3m 24m 代入上式，得3m 4－m 29m 4＋2m 2＋1＝311， 即6m 4－17m 2－3＝0，解得m 2＝3，所以m ＝3，k ＝－233或m ＝－3，k ＝233，经检验满足(*)式，所以直线PQ 的方程为 2x ＋3y －3＝0或2x －3y －3＝0.跟踪演练3 (2018·连云港期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线与抛物线交于A, B 两点，若F A →＝2BF →，则直线AB 的斜率为________． 答案 ±2 2解析 当直线AB 的斜率不存在时，不满足题意．∵抛物线C 的焦点F (1,0)， 设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝k ()x －1，y 2＝4x ，可得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝2(2＋k 2)±4(2＋k 2)2－4k 42k 2，则x 1＋x 2＝2()2＋k 2k 2，x 1·x 2＝1，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k，①∵F A →＝(x 1－1，y 1)，BF →＝(1－x 2，－y 2)，∴F A →＝2BF →，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－1＝2(1－x 2)，y 1＝－2y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3－2x 2，y 1＝－2y 2，②①②联立可得，x 2＝k 2－4k 2，y 2＝－4k ，代入抛物线方程y 2＝4x 可得k 2＝8， 故 k ＝±2 2.技巧四 平几助力，事半功倍例4 (1)已知直线y ＝kx ＋1(k ≠0)交抛物线x 2＝4y 于E ，F 两点，以EF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为27，则k ＝________. 答案 ±1解析 直线y ＝kx ＋1()k ≠0恒过定点()0，1， 则EF ＝y E ＋y F ＋p ，圆心到x 轴的距离为d ＝y E ＋y F 2，圆的半径为r ＝EF2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去x 得，y 2－2()1＋2k 2y ＋1＝0，则y E ＋y F ＝2()1＋2k 2，所以根据垂径定理有⎝⎛⎭⎫EF 22＝⎝⎛⎭⎫y E ＋y F 22＋()72， 代入计算得k ＝±1.(2)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点Q 在圆C ：()x ＋32＋()y －32＝1上，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ ＋PR 的最小值是________． 答案 3解析 根据抛物线的定义，可知PR ＝PF －1，而PQ 的最小值是PC －1， 所以PQ ＋PR 的最小值就是PF ＋PC －2的最小值，当C ，P ，F 三点共线时，PF ＋FC 最小，最小值是CF ＝(－3－1)2＋(3－0)2＝5 ， 所以PQ ＋PR 的最小值是3.跟踪演练4 已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为___________． 答案 32解析 双曲线x 27－y 29＝1的右焦点为点(4,0)，即为抛物线y 2＝2px 的焦点⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以p2＝4，即p ＝8，所以抛物线的方程为y 2＝16x ，其准线为x ＝－4，所以K (－4,0)，过A 作AM 垂直于准线，垂足为M ，则AM ＝AF ，所以AK ＝2AM ，所以∠MAK ＝45°，所以AM ＝MK ＝AF ，从而易知四边形AMKF 为正方形，所以KF ＝AF ，所以△AFK 的面积为12KF 2＝32.技巧五 巧设参数，方便计算例5 (2018·无锡期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上位于第一象限的点，O 为坐标原点，A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，则四边形OAMB 的面积的最大值为________． 答案2解析 S 四边形OAMB ＝S △OAB ＋S △AMB ＝12()2＋AB ·d ＝12(2＋5d )，其中d 为点M 到直线AB 的距离，当M 到直线AB 距离最远时S 四边形OAMB 取得最大值，设M (2cos θ，sin θ)，直线AB ：x＋2y －2＝0，所以d ＝||2cos θ＋2sin θ－25＝⎪⎪⎪⎪22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－25≤22－25，故S 四边形OAMB 的最大值为 2.跟踪演练5 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若AF ＝3，则△AOB 的面积为________．答案322解析 设∠AFx ＝θ(0＜θ＜π)及BF ＝m ， ∵AF ＝3，∴点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3， ∴2＋3cos θ＝3，∴cos θ＝13，∵m ＝2＋m cos(π－θ)，∴m ＝21＋cos θ＝32，∵cos θ＝13，0＜θ＜π，∴sin θ＝223，∴△AOB 的面积为S ＝ 12×OF ×AB ×sin θ＝ 12×1×⎝⎛⎭⎫3＋32×223＝322.。

(九)数学归纳法1．已知数列{a n }满足：a 1＝2a －2，a n ＋1＝aa n －1＋1(n ∈N *)．(1)若a ＝－1，求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝3，试证明：对∀n ∈N *，a n 是4的倍数．(1)解 当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1.令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n .∵b 1＝－5为奇数，∴当n ≥2时，b n 也是奇数且只能为－1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5，n ＝1，－1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4，n ＝1，0，n ≥2.(2)证明 当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1.下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ，∴a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C 14(t －1)·44t －5＋…－(－1)r C r 4(t －1)·44t －4－r ＋…－C 4t －54(t －1)·4， ∴m ∈Z ，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由数学归纳法知，对∀n ∈N *，a n 是4的倍数成立．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a 2n －12na n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝3.(1)计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明；(2)求证：当n ≥2时，a n n ≥4n n.(1)解 a 2＝4，a 3＝5，a 4＝6，猜想：a n ＝n ＋2(n ∈N *)．①当n ＝1时，a 1＝3，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k ＋2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a 2k －12ka k ＋1＝12(k ＋2)2－12k (k ＋2)＋1＝k ＋3＝(k ＋1)＋2， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，得数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)． (2)证明 原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ≥4. 显然，当n ＝2时，等号成立．当n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ＝C 0n ＋C 1n 2n ＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋…＋C n n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n >C 0n ＋C 1n 2n ＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＝5－2n>4. 综上所述，当n ≥2时，a n n ≥4n n.3．已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数．(1)求实数a 的取值范围；(2)若数列{a n }满足a 1∈(0,1)，a n ＋1＝ln(2－a n )＋a n ，n ∈N *，证明：0<a n <a n ＋1<1.(1)解 ∵函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数，∴f ′(x )＝－12－x＋a ≥0在区间(0,1)上恒成立， ∴a ≥12－x. 又g (x )＝12－x在区间(0,1)上是增函数， ∴a ≥g (1)＝1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)证明 先用数学归纳法证明0<a n <1.当n ＝1时，a 1∈(0,1)成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <1成立．当n ＝k ＋1时，由(1)知当a ＝1时，函数f (x )＝ln(2－x )＋x 在区间(0,1)上是增函数， ∴a k ＋1＝f (a k )＝ln(2－a k )＋a k ，∴0<ln 2＝f (0)<f (a k )<f (1)＝1，即0<a k ＋1<1成立，∴当n ∈N *时，0<a n <1成立．下证a n <a n ＋1.∵0<a n <1，∴a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )>ln 1＝0，∴a n <a n ＋1.综上0<a n <a n ＋1<1.4．设f (k )是满足不等式log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)的正整数x 的个数． (1)求f (k )的解析式；(2)记S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )，P n ＝n 2＋n －1(n ∈N *)，试比较S n 与P n 的大小． 解 (1)∵log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，3·2k －1－x >0，x (3·2k －1－x )≥22k －1，解得2k －1≤x ≤2k ， ∴f (k )＝2k －2k －1＋1＝2k －1＋1. (2)∵S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n ) ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＋n ＝2n ＋n －1， ∴S n －P n ＝2n －n 2.当n ＝1时，S 1－P 1＝2－1＝1>0；当n ＝2时，S 2－P 2＝4－4＝0；当n ＝3时，S 3－P 3＝8－9＝－1<0；当n ＝4时，S 4－P 4＝16－16＝0；当n ＝5时，S 5－P 5＝32－25＝7>0；当n ＝6时，S 6－P 6＝64－36＝28>0.猜想：当n ≥5时，S n －P n >0.证明如下：①当n ＝5时，由上述可知S n －P n >0.②假设当n ＝k (k ≥5，k ∈N *)时，S k －P k ＝2k －k 2>0.当n ＝k ＋1时，S k ＋1－P k ＋1＝2k ＋1－(k ＋1)2 ＝2·2k －k 2－2k －1＝2(2k －k 2)＋k 2－2k －1＝2(S k －P k )＋k 2－2k －1>k 2－2k －1＝k (k －2)－1≥5×(5－2)－1＝14>0.∴当n ＝k ＋1时，S k ＋1－P k ＋1>0成立．由①②可知，当n ≥5时，S n －P n >0成立，即S n >P n 成立． 由上述分析可知，当n ＝1或n ≥5时，S n >P n ；当n ＝2或n ＝4时，S n ＝P n ；当n ＝3时，S n <P n .。

高考填空题仿真练11．已知集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∩(∁U B )＝________. 答案 ∅解析 ∵集合U ＝{1,2,3,4}，B ＝{1,3,4}， ∴∁U B ＝{2}，∵A ＝{1,3}，∴A ∩(∁U B )＝∅.2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别为________． 答案 3，－2解析 ∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ， ∴a ＝3，b ＝－2.3．某健康协会从某地区睡前看手机的居民中随机选取了270人进行调查，得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计睡前看手机在40～50分钟的人数为________．答案 81解析 由频率分布直方图可知，睡前看手机在40～50分钟的频率为1－(0.010＋0.037＋0.023)×10＝0.3，故睡前看手机在40～50分钟的人数为270×0.3＝81. 4．执行如图所示的伪代码，可知输出S 的值为________． 错误! 答案 36解析 根据算法语句可知，I 的取值依次为2,4,6,8，…，2 016，2 018，当I 的取值为2 018时，结束程序，所以输出的S ＝2×2 018－4 000＝36.5．(2018·南京多校联考)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.答案 1解析 ∵周期为2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 6．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为______． 答案 25解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件的总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10， ∴所求概率P ＝1025＝25.7．已知角α，β满足tan αtan β＝－4，cos(α＋β)＝13，则cos(α－β)＝________.答案 －15解析 方法一 设cos(α－β)＝x ，即 cos αcos β＋sin αsin β＝x .①又cos(α＋β)＝13，即cos αcos β－sin αsin β＝13.②由①②得cos αcos β＝16＋x 2，sin αsin β＝x 2－16，所以tan αtan β＝x 2－16x 2＋16＝－4，解得x ＝－15.方法二 由tan αtan β＝－4，得 sin αsin β＝－4cos αcos β，①由cos(α＋β)＝13，得cos αcos β－sin αsin β＝13.②由①②得cos αcos β＝115，sin αsin β＝－415，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－15.8．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是__________． 答案 [3，＋∞)解析 依题意可知双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 与抛物线方程联立消去y ，得x 2±b ax ＋2＝0.∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝b 2a2－8≥0，即b 2≥8a 2，∴c ＝a 2＋b 2≥3a ，∴e ＝c a≥3. 9．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 解析 f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2的定义域为R 且为偶函数．当x >0时，y ＝f (x )为增函数，所以f (x )>f (2x －1)，即f (|x |)>f (|2x －1|)，所以|x |>|2x －1|，即x 2>(2x －1)2，解得13<x <1.10．在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若AB ＝2，BC ＝3，PA ＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为________． 答案 29π解析 把三棱锥P －ABC 放到长方体中，如图所示，所以长方体的体对角线长为22＋32＋42＝29， 所以三棱锥外接球的半径为292， 所以外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫2922＝29π. 11．已知函数f (x )＝x 2－4x 的图象上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1<x 2，若曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则3x 1－2x 2的最大值是________． 答案 2－ 6解析 由题意得f ′(x )＝2x －4，因为曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直， 所以x 1≠2，x 2≠2，(2x 1－4)·(2x 2－4)＝－1.又x 1<x 2，所以2x 1－4<0,2x 2－4>0，x 1＝－14x 2－8＋2，则3x 1－2x 2＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2－8＋2－2x 2＝－2x 2－34x 2－8＋6＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(4x 2－8)＋34x 2－8＋2≤－212(4x 2－8)·34x 2－8＋2＝2－6， 当且仅当12(4x 2－8)＝34x 2－8>0时，上式取等号，因此3x 1－2x 2的最大值为2－ 6.12．(2018·苏锡常镇四市调研)如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP →·OQ →的取值范围为________．答案 [2－1,1]解析 以点O 为坐标原点，以OA 所在直线为x 轴，以OB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．则A (1,0)，B (0,1)，直线AB 的方程为x ＋y －1＝0， 设P (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎪⎫0≤α≤π2，Q (x 0，y 0)，所以PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋cos α2，y 0＋sin α2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k PQ＝sin α－y0cos α－x 0＝1，x 0＋cos α2＋y 0＋sin α2－1＝0，所以x 0＝1－sin α，y 0＝1－cos α，所以OP →·OQ →＝cos α(1－sin α)＋sin α(1－cos α) ＝sin α＋cos α－2sin αcos α，设t ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，t ∈[1，2]， 所以sin αcos α＝t 2－12，所以OP →·OQ →＝1－t 2＋t ，t ∈[1，2]． 设f (t )＝1－t 2＋t ，t ∈[1，2]，所以当t ＝1时函数f (t )取最大值1，当t ＝2时函数f (t )取最小值2－1.13．(2018·南京多校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋42＝c 2，ab ＝4，则sin C tan 2A sin 2B 的最小值是________．答案32＋42解析 ∵a 2＋b 2＋42＝c 2，ab ＝4，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－422×4＝－22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝3π4，B ＝π4－A ，sin 2B ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝cos 2A ， ∴tan 2A sin 2B ＝tan 2A cos 2A ＝3－⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2A ＋1cos 2A ≤3－22，∴sin C tan 2A sin 2B ＝22tan 2A cos 2A ≥223－22＝32＋42，当且仅当2cos 2A ＝1cos 2A ， 即cos 2A ＝22，满足A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4时等号成立．14．在正项等比数列{a n }中，若a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 5a 3＝________.答案 3＋2 2解析 由于a 1，12a 3,2a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，q 2－2q －1＝0， 解得q ＝2＋1或q ＝1－2(舍去)． 故a 5a 3＝q 2＝3＋2 2.高考填空题仿真练21．(2018·如皋调研)集合A ＝{1,3}，B ＝{a 2＋2,3}，若A ∪B ＝{1,2,3}，则实数a 的值为________． 答案 0解析 ∵A ＝{1,3}，B ＝{a 2＋2,3}，且A ∪B ＝{1,2,3}， ∴a 2＋2＝2，a ＝0，即实数a 的值为0.2．若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.答案 3解析 由3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝3－b ＋(3＋b )i2＝a ＋b i ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.3．若一组样本数据2,3,7,8，a 的平均数为5，则该组数据的方差s 2＝________. 答案265解析 因为2＋3＋7＋8＋a5＝5，所以a ＝5，所以s 2＝15[(2－5)2＋(3－5)2＋(7－5)2＋(8－5)2＋(5－5)2]＝265.4．执行如图所示的流程图，如果输入a ＝2，b ＝2，那么输出的a 的值为________．答案 256解析 log 32>4不成立，执行第一次循环，a ＝22＝4； log 34>4不成立，执行第二次循环，a ＝42＝16；log 316>4＝log 334＝log 381不成立，执行第三次循环，a ＝162＝256； log 3256>4＝log 381成立，跳出循环，输出的a 的值为256.5．已知一元二次不等式f (x )>0的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)，则f (lg x )<0的解集为________． 答案 (10,100)解析 因为一元二次不等式f (x )>0的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)， 所以一元二次不等式f (x )<0的解集为(1,2)， 由f (lg x )<0可得1<lg x <2，从而解得10<x <100，所以不等式f (lg x )<0的解集为(10,100)．6．已知四边形ABCD 是半径为2的圆的内接正方形，若在圆的内部随机取一点P ，则点P 落在正方形ABCD 内部的概率为________． 答案2π解析 由已知可得，正方形边长为22，再利用几何概型概率计算公式可得概率为(22)2π×22＝2π. 7．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期为________． 答案 π解析 由f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 得f (x )的最小正周期为π.8．已知过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点且垂直于x 轴的弦的长为a 2，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为________． 答案52解析 将x ＝c 代入椭圆方程，得c 2a 2＋y 2b 2＝1，即y 2b 2＝b 2a 2，解得y ＝±b 2a.由题意知2b 2a ＝a 2，即a 2＝4b 2.设双曲线的焦距为2c ′，则c ′2＝a 2＋b 2＝5b 2. 所以其离心率为e ＝c ′a ＝5b 2b ＝52. 9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x <1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.若f (x )恰有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)解析 当a ≥1时，要使f (x )恰有两个零点，需满足21－a ≤0，即a ≥2； 当a <1时，要使f (x )恰有两个零点，需满足a <1≤2a,21－a >0，解得12≤a <1.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)． 10．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点，若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．答案 8 3解析 依题意可知，截面△BC 1D 是等腰直角三角形，其面积为6，可知BD ＝C 1D ＝23，设AB ＝a ，AD ＝h ，在Rt△ABD 与Rt△BCC 1中，由勾股定理，得⎩⎨⎧a 2＋h 2＝(23)2，a 2＋4h 2＝(26)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，h ＝2，所以V ＝S △ABC ·2h ＝34a 2·2h ＝34×8×4＝8 3. 11．(2018·江苏盐城中学模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ，若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集为空集，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,22－3]解析 由f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x －a )(x ＋1)<0， 当a ＝－1时，f (x )＝(x ＋1)2<0无解，适合题意； 当a >－1时，f (x )<0的解为－1<x <a ，此时f (f (x ))<0的解集为空集只需f (x )≥a 恒成立， 即x 2＋(1－a )x －2a ≥0恒成立，所以只需Δ＝a 2＋6a ＋1≤0，解得－1<a ≤22－3；当a <－1时，f (x )<0的解为a <x <－1，此时f (f (x ))<0的解集为空集只需f (x )≥－1恒成立， 即x 2＋(1－a )x －a ＋1≥0恒成立，所以只需Δ＝a 2＋2a －3≤0，解得－3≤a <－1. 综上知－3≤a ≤22－3.12．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为________．答案π6解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0，得cos A ＝35，则A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin A ＝45.由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ，所以sin B ＝12.又a >b ，B 必为锐角，所以B ＝π6.13．(2018·江苏泰州中学月考)已知点A (－3,0)和圆O: x 2＋y 2＝9，AB 是圆O 的直径，M 和N 是线段AB 的三等分点，点P (异于点A ，B )是圆O 上的动点，PD ⊥AB 交AB 于点D ，PE →＝λED →(λ>0)，直线PA 与BE 交于点C ，则当λ＝________时，CM ＋CN 为定值． 答案 18解析 由题意可得B (3,0)，M (－1,0)，N (1,0)， 设P (x 0，y 0)(x 0≠±3)， 则点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，11＋λy 0， 故PA 的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，BE 的方程为y ＝11＋λy 0x 0－3(x －3)，联立方程组可得y 2＝y 20(1＋λ)(x 20－9)(x 2－9)，把y 20＝9－x 20代入化简，可得x 29＋y 291＋λ＝1， 故点C 在以AB 为长轴的椭圆上．当M ，N 为此椭圆的焦点时，CM ＋CN 为定值2a ＝6， 此时a ＝3，c ＝1，b ＝91＋λ， 由a 2－b 2＝c 2，可得9－91＋λ＝1，求得λ＝18.14.如图，△ABC 是边长为23的等边三角形，P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP →·BP →的最小值为________．答案 1解析 以点C 为原点，水平方向为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆C ：x 2＋y 2＝1，于是可设点P (cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π)． 又因为△ABC 是边长为23的等边三角形， 所以A (－3，－3)，B (3，－3)， 所以AP →＝(cos θ＋3，sin θ＋3)， BP →＝(cos θ－3，sin θ＋3)，所以AP →·BP →＝cos 2θ－3＋sin 2θ＋6sin θ＋9＝7＋6sin θ， 所以当sin θ＝－1时，AP →·BP →取得最小值1.高考填空题仿真练31．已知全集U ＝{1,2,3,4}，若A ＝{1,3}，B ＝{3}，则(∁U A )∩(∁U B )＝________. 答案 {2,4}解析 根据题意得，∁U A ＝{2,4}，∁U B ＝{1,2,4}， 故得到(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}．2．设i 是虚数单位，若复数z ＝i1＋i ，则z 的共轭复数z ＝________.答案 12－12i解析 复数z ＝i 1＋i ＝i ＋12，根据共轭复数的概念得到，z 的共轭复数为z ＝12－12i.3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________．答案 20解析 50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.4．根据如图所示的伪代码可知，输出的结果S 为________．答案 14解析 根据伪代码，开始时S ＝0，I ＝1，此时满足S ≤10，接下来有S ＝0＋12＝1，I ＝1＋1＝2，此时满足S ≤10，接下来有S ＝1＋22＝5，I ＝2＋1＝3，此时满足S ≤10，接下来有S ＝5＋32＝14，I ＝3＋1＝4，此时不满足S ≤10，结束循环，输出S ＝14.5．(2018·横林高级中学测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝________. 答案 －2 解析 ∵－116<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＝sin π6＝12. ∵当x >0时，f (x )＝f (x －1)－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116－1－1 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π－2＝－12－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－12－2＝－2. 6．已知m ∈{－1,0,1}，n ∈{－1,1}，若随机选取m ，n ，则直线mx ＋ny ＋1＝0恰好不经过第二象限的概率是________． 答案 13解析 依题意，注意到可形成数组(m ，n )共有6组，其中相应直线mx ＋ny ＋1＝0恰好不经过第二象限的数组(m ，n )共有2组(它们是(0,1)与(－1,1))，因此所求的概率是26＝13.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则ω的最小值为________． 答案 23解析 当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或2k 2π＋5π6，k 2∈Z ，两式相减，得π4ω＝(k 1－2k 2)π－π6或(k 1－2k 2)π－5π6，k 1，k 2∈Z ，即ω＝4(k 1－2k 2)－23或4(k 1－2k 2)－103，k 1，k 2∈Z ，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.8．设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________. 答案324解析 设P (－c ，y 0)，代入双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1，得y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，由题意知y 0<0，∴y 0＝－b 2a ，又∵P 在直线y ＝b3a x 上，代入得c ＝3b ，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝324.9．已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2)，且当n ＝1时其图象过点(2,8)，则a 7的值为________． 答案 5解析 因为y ＝a n x 2在x ＝1处的切线斜率为2a n ， 所以2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，即a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，又由8＝4a 1，得a 1＝2，所以a 7＝a 1＋6×12＝5.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________． 答案533或－ 3 解析 由S △ABC ＝12ab sin C ，代入数据解得sin C ＝32，又C 为三角形的内角，所以C ＝60°或120°. 若C ＝60°，则在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝84，此时，最大边是b ，故最大角为B ，其余弦值cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3221，正弦值sin B ＝53221，正切值tan B ＝533；若C ＝120°，此时C 为最大角，其正切值为tan 120°＝－ 3. 11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋2y －5≤0，y ≥1，则u ＝(x ＋y )2xy的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．令t ＝y x表示可行域内的点(x ，y )与原点连线的斜率， 由图联立直线可得t max ＝k OA ＝2，t min ＝k OB ＝13，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2. u ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋2xy ＋y 2xy ＝x y ＋y x ＋2＝t ＋1t＋2.易知u ＝t ＋1t ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递减，在[1,2]上单调递增．当t ＝13时，u ＝163；当t ＝1时，u ＝4；当t ＝2时，u ＝92，所以u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163.12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5解析 方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.13.如图，它是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈(0，π))图象的一部分，则f (0)的值为________．答案322解析 由函数图象得A ＝3，2πω＝2[3－(－1)]＝8， 解得ω＝π4，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ， 又因为(3,0)为函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ的一个下降零点，所以π4×3＋φ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )，解得φ＝π4＋2k π(k ∈Z )，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝π4，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，则f (0)＝3sin π4＝322.14．(2018·南京多校联考)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )，若函数f (x )图象上存在点P 与函数g (x )图象上的点Q 关于y 轴对称，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，e)解析 设点P (x 0，y 0)(x 0<0)在函数f (x )上，由题意可知，点P 关于y 轴的对称点P ′(－x 0，y 0)在函数g (x )上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20＋0e x －12，y 0＝(－x 0)2＋ln (－x 0＋a )，消y 0，可得x 20＋0e x－12＝(－x 0)2＋ln(－x 0＋a )，即0e x－ln(－x 0＋a )－12＝0(x 0<0)，所以0e x－12＝ln(－x 0＋a )(x 0<0)，令m (x )＝e x－12(x <0)，n (x )＝ln(a －x )(x <0)，问题转化为函数m (x )与函数n (x )在x <0时有交点．在平面直角坐标系中，分别作出函数m (x )与函数n (x )的图象，如图所示．n (x )＝ln(a －x )＝ln[－(x －a )]，当n (x )＝ln(a －x )过点⎝⎛⎭⎪⎫0，12时，解得a ＝ e.由图可知，当a <e 时，函数m (x )与函数n (x )在x <0时有交点．高考填空题仿真练41．(2018·南京模拟)集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∪B ＝________. 答案 {－3，－2,2}解析 由题意得A ＝{x |(x ＋3)(x －2)＝0}＝{－3,2}，B ＝{x |(x ＋2)(x －2)＝0}＝{－2,2}，所以A ∪B ＝{－3，－2,2}．2．已知复数z ＝(1＋i)(2－i)(i 为虚数单位)，则z ＝________. 答案 3－i解析 ∵z ＝(1＋i)(2－i)＝3＋i ，∴z ＝3－i.3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示.则7个剩余分数的方差为________． 答案367解析 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367.4．(2018·江苏高考冲刺预测卷)执行如图所示的流程图，输出的S 为________．答案 17解析 初始条件，i ＝1，S ＝27；第一次循环，S ＝47，i ＝2；第二次循环，S ＝17，i ＝3；第三次循环，S ＝27，i ＝4；第四次循环，S ＝47，i ＝5；第五次循环，S ＝17，此时i ＝5<5不成立，输出S ＝17.5．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．答案 (0,1]解析 根据题意可知， ⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1，故定义域为(0,1]．6．现有红桃J ，Q ，K 和黑桃J ，Q ，K 共6张牌，从这6张牌中随机抽取2张，则抽取的2张牌中1张为红桃，1张为黑桃的概率为________． 答案 35解析 红桃J ，Q ，K 分别记为J 1，Q 1，K 1，黑桃J ，Q ，K 分别记为J 2，Q 2，K 2.由题意知，从6张牌中随机抽取2张的基本事件共有15种，即(J 1，Q 1)，(J 1，K 1)，(J 1，J 2)，(J 1，Q 2)，(J 1，K 2)，(Q 1，K 1)，(Q 1，J 2)，(Q 1，Q 2)，(Q 1，K 2)，(K 1，J 2)，(K 1，Q 2)，(K 1，K 2)，(J 2，Q 2)，(J 2，K 2)，(Q 2，K 2)，其中抽取的2张牌中1张为红桃，1张为黑桃的基本事件共有9种，即(J 1，J 2)，(J 1，Q 2)，(J 1，K 2)，(Q 1，J 2)，(Q 1，Q 2)，(Q 1，K 2)，(K 1，J 2)，(K 1，Q 2)，(K 1，K 2)，故所求概率为915＝35.7．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案 23解析 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝23.8．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________． 答案 相交解析 圆的标准方程为M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， 则圆心为(0，a )，半径R ＝a ， 圆心到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，∵圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22， ∴2a 2－a 22＝22，即a 2＝4，a ＝2(舍负)，则圆心为M (0,2)，半径R ＝2，圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为N (1,1)，半径r ＝1，则MN ＝2，∵R ＋r ＝3，R －r ＝1，∴R －r <MN <R ＋r ，即两个圆相交．9.如图，若C 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上位于第一象限内的点，A ，B 分别是椭圆的左顶点和上顶点，F 是椭圆的右焦点，且OC ＝OF ，AB ∥OC ，则该椭圆的离心率为________．答案63解析 方法一 设C (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝c 2，y 0x 0＝ba，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝aca 2＋b 2，y 0＝bca 2＋b 2，代入椭圆方程得a 2c 2a 2＋b 2a 2＋b 2c 2a 2＋b 2b2＝1，整理得2c 2＝a 2＋b 2.又a 2＝b 2＋c 2，故2c 2＝a 2＋a 2－c 2， ∴e 2＝23，又0<e <1，故e ＝63.方法二 过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ， 则△AOB ∽△ODC ，故可设⎩⎨⎧OC ＝a 2＋b 2k ，OD ＝ak ，DC ＝bk ，其中k >0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ (ak )2a 2＋(bk )2b 2＝1，a 2＋b 2k ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝12，2a 2＝3c 2，故e ＝63. 10．若正实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋y ＋x ＋y z的最小值是________． 答案 3解析 由题意知，x ，y ，z >0，且满足x ＋y ＋z ＝1. 则1x ＋y ＋x ＋y z ＝x ＋y ＋z x ＋y ＋x ＋y z ＝1＋z x ＋y ＋x ＋yz≥2zx ＋y ·x ＋yz＋1＝3，当且仅当z ＝x ＋y ＝12时，取等号．∴1x ＋y ＋x ＋y z的最小值是3. 11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a 2＝b 2＋c 2－bc ，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|BD →|2＋|AB →|2－|AD →|2＝BD →·BC →，则角C ＝________.答案π3解析 由余弦定理可得cos∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵∠BAC ∈(0，π)，∴∠BAC ＝π3，由|BD →|2＋|AB →|2－|AD →|2＝BD →·BC →可得， 2BD →·BA →＝BD →·BC →，2BD →·BA →＝BD →·(BA →＋AC →)， 即DB →·(AB →＋AC →)＝0， ∴△ABC 为正三角形，∴C ＝π3. 12．若曲线y ＝a ln x 与曲线y ＝12e x 2在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则t s＝________. 答案e2e解析 曲线y ＝a ln x 的导数为y ′＝ax， 在P (s ，t )处的斜率为k ＝a s. 曲线y ＝12e x 2的导数为y ′＝xe ，在P (s ，t )处的斜率为k ＝se.由曲线y ＝a ln x (a ≠0)与曲线y ＝12e x 2在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，可得a s ＝se ，并且t ＝s 22e ＝a ln s ，得ln s ＝12，∴s 2＝e.则a ＝1，∴t ＝12，s ＝e ，即t s ＝e2e.13．已知实数x ，y 满足x ＋2y ＋3＝xy ，且对任意的实数x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，21510解析 因为x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，所以x ＋y －3>0，所以不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0可转化为(x ＋y －3)＋1x ＋y －3≥a .令t ＝x ＋y －3，t >0，则f (t )＝t ＋1t≥a ，且函数f (t )在区间[1，＋∞)上单调递增．方法一 等式x ＋2y ＋3＝xy 可化为(x －2)(y －1)＝5， 令m ＝x －2，n ＝y －1，则m >0，n >0，且mn ＝5， 则t ＝m ＋n ≥2mn ＝25，当且仅当m ＝n ， 即x ＝y ＋1，即x ＝2＋5，y ＝1＋5时等号成立， 故f (t )≥f (25)＝25＋125＝21510，所以a ≤21510.方法二 x ＋2y ＋3＝xy 可化为y ＝1＋5x －2(x >2)， 故直线x ＋y －3－t ＝0与函数y ＝1＋5x －2(x >2)的图象有公共点，当两者相切时是临界位置，此时y ′＝－5(x －2)2＝－1，得x ＝2＋5，y ＝1＋5，此时，t ＝25， 数形结合可知当t ≥25时，符合题意， 故f (t )≥f (25)＝25＋125＝21510，所以a ≤21510.14．已知两个正数a ，b 可按规则c ＝ab ＋a ＋b 扩充为一个新数c ，在a ，b ，c 三数中取两个较大的数，按上规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个数称为一次操作．若p >q >0，经过六次操作后扩充所得的数为(q ＋1)m(p ＋1)n－1(m ，n 为正整数)，则m ＋n 的值为________．答案 21解析 因为p >q >0，所以第一次得c 1＝pq ＋p ＋q ＝(q ＋1)(p ＋1)－1， 因为c 1>p >q ，所以第二次得c 2＝(c 1＋1)(p ＋1)－1＝(pq ＋p ＋q )p ＋p ＋(pq ＋p ＋q )＝(p ＋1)2(q ＋1)－1， 所得新数大于任意旧数，所以第三次得c 3＝(c 2＋1)(c 1＋1)－1＝(p ＋1)3(q ＋1)2－1， 第四次得 c 4＝(c 3＋1)(c 2＋1)－1＝(p ＋1)5(q ＋1)3－1，…，故经过六次扩充， 所得数为(p ＋1)13(q ＋1)8－1， ∴m ＝8，n ＝13，∴m ＋n ＝21.高考填空题仿真练51．已知集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x 2－1>0}，则A ∩B ＝________. 答案 {2}解析 由题意得B ＝{x |x <－1或x >1}， 则A ∩B ＝{2}．2．已知复数z 满足：z (1－i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为________． 答案10解析 由题意得z ＝2＋4i 1－i ＝(2＋4i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋3i.所以|z |＝|－1＋3i|＝(－1)2＋32＝10.3．某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资收入，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要采用分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则[30,35)(单位：百元)月工资收入段应抽取________人．答案 15解析 月工资收入落在[30,35)(单位：百元)内的频率为1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，则0.15÷5＝0.03，所以各组的频率比为0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01＝2∶4∶5∶5∶3∶1， 所以[30,35)(单位：百元)月工资收入段应抽取320×100＝15(人)．4．(2018·江苏盐城中学模拟)执行如图所示的流程图，则输出S 的值为________．答案 19解析 由流程图知，k ＝2，S ＝0，满足条件k <10，执行循环体，S ＝2，k ＝3， 满足条件k <10，执行循环体，S ＝5，k ＝5， 满足条件k <10，执行循环体，S ＝10，k ＝9， 满足条件k <10，执行循环体，S ＝19，k ＝17， 此时，不满足条件k <10，退出循环，输出S 的值为19.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x，x ≤0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.答案 14解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝log 33－2＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝2－2＝14.6．若α是锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－33，则sin α＝________. 答案6＋36解析 ∵α是锐角，∴π3<α＋π3<5π6，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝63.∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝63×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－33×32＝6＋36. 7．(2018·苏锡、常镇等四市调研)在棱长为2的正四面体P －ABC 中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且PD ＝2DN ，则三棱锥D －MBC 的体积为________． 答案29解析 由题意得V D －BMC ＝V M －BDC ，又PN ＝AN ＝22－12＝3，DN ＝13×3＝33.所以AD ＝(3)2－⎝⎛⎭⎪⎫332＝263. 所以三棱锥M －BDC 的高为12×263＝63.因为S △BCD ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2×12＝33，所以V D －BMC ＝V M －BDC ＝13×33×63＝29.8．已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________． 答案 6解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． 设AO →与AP →的夹角为θ， AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ， |AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝|AQ →||AP →|＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2， 所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]．所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6. 方法二 因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α<2π)， 所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立．9．(2018·江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 答案310解析 设2名男生为a ，b,3名女生为A ，B ，C ，从中选出2名的情况有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共10种，而都是女生的情况有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3种，故所求概率为310.10．设f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0,4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫ln 22，1e解析 原问题等价于方程|ln x |＝ax 在区间(0,4)上有三个根， 令h (x )＝ln x ，则h ′(x )＝1x，由h (x )在(x 0，ln x 0)处切线y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)过原点，得x 0＝e ，即曲线h (x )过原点的切线斜率为1e，而点(4，ln 4)与原点确定的直线的斜率为ln 22，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫ln 22，1e .11．两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m,50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．答案 45°解析 在△ACD 中，容易求得AD ＝2010，AC ＝305， 又CD ＝50，由余弦定理可得cos∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝22，所以∠CAD ＝45°，即从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.12．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y 轴上，若∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为________． 答案33解析 方法一 设线段PF 1的中点为Q ， 则OQ 是△PF 1F 2的中位线， 则PF 2∥OQ ，又由OQ ⊥x 轴，得PF 2⊥x 轴．将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，得y ＝±b 2a ，则点P ⎝⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a . 由tan∠PF 1F 2＝PF 2F 1F 2＝33，得b 2a 2c ＝33，即3b 2＝23ac ，得3(a 2－c 2)＝23ac ， 则3c 2＋23ac －3a 2＝0，两边同时除以a 2，得3e 2＋23e －3＝0， 解得e ＝－3(舍去)或e ＝33. 方法二 设线段PF 1的中点为Q ， 则OQ 是△PF 1F 2的中位线，则PF 2∥OQ ，则由OQ ⊥x 轴，得PF 2⊥x 轴．将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，得y ＝±b 2a ，则点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a . 由椭圆的定义，得PF 1＝2a －b 2a，由∠PF 1F 2＝30°，得PF 1＝2PF 2，即2a －b 2a ＝2b 2a，得2a 2＝3b 2＝3(a 2－c 2)，得a 2＝3c 2，得c 2a 2＝13，故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝33. 13．(2018·江苏泰州中学月考)已知圆心角为120°的扇形AOB 的半径为1，C 为AB 的中点，点D ，E 分别在半径OA ，OB 上(不含端点)．若CD 2＋CE 2＋DE 2＝269，则OD ＋OE 的最大值是________． 答案 43解析 设OD ＝a ，OE ＝b ，则a ，b ∈(0,1)，如图．由余弦定理得CD 2＝a 2－a ＋1， 同理CE 2＝b 2－b ＋1，DE 2＝a 2＋ab ＋b 2， 所以由CD 2＋CE 2＋DE 2＝269，可得3ab ＝2(a ＋b )2－(a ＋b )－89，又3ab ≤34(a ＋b )2，代入上式得，2(a ＋b )2－(a ＋b )－89≤34(a ＋b )2，又a >0，b >0，所以不等式得0<a ＋b ≤43，故OD ＋OE 的最大值是43.14．对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n 恒成立，则实数k的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125 解析 由题设可知a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ＋1，则a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)·2n ，n ≥2，以上两式两边相减可得(n －1)·2n ＋2n －1a n ＝n ·2n ＋1，即2(n －1)＋a n ＝4n ，所以a n ＝2n ＋2，a 1＝4也适合a n ＝2n ＋2， 所以a n ＝2n ＋2(n ∈N *)． 故a n －kn ＝(2－k )n ＋2， 则S n ＝(2－k )×n (n ＋1)2＋2n ，所以S 5＝40－15k ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 4≤S 5，S 6≤S 5，即⎩⎪⎨⎪⎧28－10k ≤40－15k ，54－21k ≤40－15k ，解得k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125.。

第3讲 矩阵与变换、坐标系与参数方程[考情考向分析] 1.考查常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法，属B 级要求.2.考查直线、曲线的极坐标方程、参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，属B 级要求．热点一 二阶矩阵与平面变换例1 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1：x 24＋y 22＝1，求曲线C 的方程．解 设曲线C 上任一点为(x ，y )， 经过变换T 变成(x 0，y 0)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即x 0＝x ，y 0＝2y .由x 204＋y 202＝1，得曲线C 的方程为x 2＋4y 2＝4. 思维升华 解决这类问题一般是设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，求出原曲线在T 的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值．跟踪演练1 已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1，求实数b 的值． 解 从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0.在曲线C 1上任意选一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为 P ′(x ′，y ′)， 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.故⎩⎪⎨⎪⎧2by 0＝x ′x 0＝y ′， 解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x ′，x 0＝y ′.代入曲线C 1方程得，y ′2＋⎝⎛⎭⎫12b x ′2＝1. 即曲线C 2方程为⎝⎛⎭⎫12b 2x 2＋y 2＝1.与已知的曲线C 2的方程x 24＋y 2＝1比较得(2b )2＝4.所以b ＝±1.热点二 二阶矩阵的逆矩阵及其求法例2 已知点P (3,1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b －1变换下得到点P ′(5，－1)．试求矩阵A 和它的逆矩阵A －1.解 依题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a ＋23b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2＝5，3b －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1.因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 20 －1＝1×(－1)－0×2＝－1，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1. 思维升华 由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序．跟踪演练2 二阶矩阵M 对应的变换T M 将曲线x 2＋x －y ＋1＝0变为曲线2y 2－x ＋2＝0，求M －1.解 设曲线2y 2－x ＋2＝0上一点P (x ，y )在M －1对应变化下变成P (x ′，y ′)，设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，代入x 2＋x －y ＋1＝0得，方程(ax ＋by )2＋(ax ＋by )－(cx ＋dy )＋1＝0，即b 2y 2＋(a －c )x ＋(b －d )y ＋2abxy ＋a 2x 2＋1＝0，与方程y 2－x2＋1＝0比较得，a ＝0，b ＝1，c＝12，d ＝1或a ＝0， b ＝－1，c ＝12，d ＝－1.所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 －1或M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 112 1. 热点三 特征值与特征向量例3 已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值．解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋b c ＋d ， M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a ＋2b －c ＋2d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4.(2)令特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4 ＝(λ－6)(λ－4)－8＝0，解得λ1＝8，λ2＝2.故矩阵M 的另一个特征值为2.思维升华 求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法． 跟踪演练3 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 112.(1)求矩阵A ； (2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解 (1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵， 且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0， 所以A ＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 23 －13－1323. (2)矩阵A－1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2 ＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (λ)＝0，得矩阵A －1的特征值为λ1＝1，λ2＝3，所以ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量． 热点四 曲线的极坐标方程例4 (2018·江苏冲刺预测)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t －1(t 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝62＋sin 2θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；(2)射线OP ：θ＝α⎝⎛⎭⎫其中0<α<π2与C 2交于P 点，射线OQ ：θ＝α＋π2与C 2交于Q 点，求1OP 2＋1OQ 2的值．解 (1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t －1(t 为参数)，所以曲线C 1的直角坐标方程为x －2y －2＝0， 所以曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ－2＝0， 因为ρ＝62＋sin 2θ，所以ρ2(2＋sin 2θ)＝6，所以曲线C 2的直角坐标方程为2x 2＋3y 2＝6.(2)依题意得，点P 的极坐标满足⎩⎨⎧ρ＝62＋sin 2θ，θ＝α，所以OP ＝62＋sin 2α，1OP 2＝2＋sin 2α6， 点Q 的极坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝62＋sin 2θ，θ＝α＋π2，所以OQ ＝62＋cos 2α，1OQ 2＝2＋cos 2α6， 所以1OP 2＋1OQ 2＝2＋sin 2α6＋2＋cos 2α6＝56.思维升华 解决这类问题一般有两种思路：一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．跟踪演练4 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2(a ＞0)，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半。

高考解答题仿真练21．已知函数f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x . (1)求函数f (x )的定义域和最小正周期；(2)当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，求函数f (x )的值域．解 (1)函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，因为f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x cos 2x＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得π6<2x ＋π6<7π6，所以－12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32，即函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.2．(2018·泰州期末)如图，在三棱锥A －BCD 中，E 是底面正△BCD 边CD 的中点，M ，N 分别为AB ，AE 的中点．(1)求证：MN ∥平面BCD ；(2)若AE ⊥平面BCD ，求证：BE ⊥平面ACD .证明 (1)在△ABE 中，M ，N 分别为AB ，AE 的中点， 所以MN ∥BE ，又BE ⊂平面BCD ，MN ⊄平面BCD ， 所以MN ∥平面BCD .(2)因为AE ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ， 所以AE ⊥BE .又E 是底面正△BCD 的边CD 的中点， 所以BE ⊥CD .又AE ∩CD ＝E ，AE ，CD ⊂平面ACD ， 所以BE ⊥平面ACD .3.一缉私艇巡航至距领海边界线l (一条南北方向的直线)3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得其用最短时间在领海内拦截成功；⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据：sin 17°≈36，33≈5.744 6(2)问：无论走私船沿任何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由． 解 (1)设缉私艇在C 处与走私船相遇，如图所示，依题意，AC ＝3BC .在△ABC 中，由正弦定理，得sin∠BAC ＝BC AC ·sin∠ABC ＝sin 120°3＝36.因为sin 17°≈36，所以∠BAC ＝17°. 从而缉私艇应向北偏东47°方向追击．在△ABC 中，由余弦定理，得cos 120°＝42＋BC 2－AC28BC ，解得BC ＝1＋334≈1.686 15.又B 到边界线l 的距离为3.8－4sin 30°＝1.8. 因为1.686 15<1.8，所以能在领海上成功拦截走私船.(2)如图所示，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xAy ，则B (2,23)．设缉私艇在P (x ，y )处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私船相遇，则PA PB＝3，即x 2＋y 2(x －2)2＋(y －23)2＝3.整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9432＝94，所以点P (x ，y )的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，943为圆心，32为半径的圆. 因为圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫94，943到领海边界线l ：x ＝3.8的距离为1.55，大于圆的半径32，所以无论走私船沿任何方向逃跑，缉私艇总能在领海内截住走私船．4.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点、上顶点分别为A ，B ，坐标原点到直线AB的距离为433，且a ＝2b .(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 交椭圆于M ，N 两点，且该椭圆上存在点P ，使得四边形MONP (图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形，求直线l 的方程．解 (1)直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，坐标原点到直线AB 的距离为433＝ab a 2＋b2，所以a 2b 2a 2＋b 2＝163，又a ＝2b ，解得a ＝4，b ＝22， 故椭圆的方程为x 216＋y 28＝1.(2)由(1)可求得椭圆的左焦点为F 1(－22，0)， 易知直线l 的斜率不为0， 故可设直线l ：x ＝my －22，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为四边形MONP 为平行四边形，所以 OP →＝OM →＋ON →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 所以P (x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 联立⎩⎨⎧x ＝my －22，x 2＋2y 2－16＝0，得(m 2＋2)y 2－42my －8＝0，因为Δ＝64(m 2＋1)>0， 且y 1,2＝42m ±64(m 2＋1)2(m 2＋2)， 所以y 1＋y 2＝42mm 2＋2，所以x 1＋x 2＝－82m 2＋2， 因为点P (x 1＋x 2，y 1＋y 2)在椭圆上， 所以(x 1＋x 2)2＋2(y 1＋y 2)2＝16， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫－82m 2＋22＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫42m m 2＋22＝16，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程为x ±2y ＋22＝0.5．已知函数f (x )＝a x－x ln a ＋32x 2－5(a >0，且a ≠1)的导函数为f ′(x )．(1)当a ＝1e (e 为自然对数的底数)时，求与曲线f (x )相切且与x 轴平行的直线l 的方程；(2)当a ＝e 时，若不等式f (x )<0的解集为(m ，n )(m <n )，证明：2<n －m <4；(3)若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e－12成立，求实数a 的取值范围．(1)解 当a ＝1e 时，f (x )＝1e x ＋x ＋32x 2－5，f ′(x )＝－1e x ＋1＋3x ＝1＋3x －1ex ，令F (x )＝1＋3x －1e x ，F ′(x )＝3＋1e x >0，则F (x )单调递增，且F (0)＝0， 故由f ′(x )＝0，得x ＝0.又f (0)＝－4，则直线l 的方程为y ＋4＝0. (2)证明 当a ＝e 时，f (x )＝e x－x ＋32x 2－5，f ′(x )＝e x －1＋3x ，令G (x )＝e x－1＋3x ，则G ′(x )＝e x＋3>0， 则G (x )单调递增，且G (0)＝0， 故由f ′(x )＝0得x ＝0，且当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 且f (1)＝e －92<0，f (2)＝e 2－1>0，f (－2)＝e －2＋3>0，f (－1)＝e －1－52<0，则－2<m <－1,1<n <2，∴2<n －m <4.(3)解 ∵存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e－12成立，∴f (x )max －f (x )min ≥e－12，x ∈[－1,1]．∵f ′(x )＝a xln a －ln a ＋3x ＝3x ＋(a x－1)ln a ，①若a >1，当x <0时，3x <0，a x－1<0，ln a >0，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x >0时，3x >0，a x－1>0，ln a >0，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴f ′(x )在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝－4，f (x )max ＝max{f (－1)，f (1)}．f (1)－f (－1)＝a －ln a ＋32－5－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋ln a ＋32－5＝a －1a －2ln a .令g (a )＝a －1a－2ln a ，则g ′(a )＝1＋1a 2－2a ＝(a －1)2a2>0，g (a )单调递增， ∴g (a )>g (1)＝0，即f (1)>f (－1)，∴f (x )max ＝f (1)＝a －ln a －72，∴a －ln a －72＋4＝a －ln a ＋12≥e－12，a －ln a ≥e－1，令h (a )＝a －ln a ，a >1，则h ′(a )＝1－1a>0，则h (a )在(1，＋∞)上单调递增，∵h (a )≥h (e)，∴a ≥e.②若0<a <1，当x <0时，3x <0，a x－1>0，ln a <0，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x >0时，3x >0，a x－1<0，ln a <0，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴f (x )在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (0)＝－4，f (x )max ＝max{f (－1)，f (1)}， 由①知g (a )单调递增， 又0<a <1，∴g (a )<g (1)＝0，即f (1)<f (－1)，f (x )max ＝f (－1)＝1a ＋ln a －72，∴1a ＋ln a －72＋4＝1a ＋ln a ＋12≥e－12，1a ＋ln a ≥e－1. 令m (a )＝1a＋ln a,0<a <1，则m ′(a )＝－1a 2＋1a ＝a －1a2<0，则m (a )在(0,1)上单调递减， ∵m (a )≥m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，∴0<a ≤1e . 综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ∪[e，＋∞)．6．已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1.①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，则d >0.由a 2a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)，所以a n ＝2n －1.(2)①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1，所以b 1＝a 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以b 1＝a 1＝1，b 2－b 1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13，b 3－b 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15，…，b n －b n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1(n ≥2)，累加得b n －b 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1＝n －12n －1，所以b n ＝3n －22n －1，n ≥2.b 1＝1也符合上式．故b n ＝3n －22n －1，n ∈N *. ②假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m . 又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，所以43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－14n －2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－14m －2，化简得2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1.当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2(舍去)； 当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．。

(五)函数与导数(A)1．(2018·宿迁期末)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－2a x ＋a 2(a >0，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)若存在x ∈[1,2]，使得4＋mf (x )－2x ＋1≥0成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (0)＝a ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－21＋a 2＝0，可得a ＝2. 经检验a ＝2符合题意．(2)由(1)可得f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1， ∴函数f (x )在R 上单调递增，又2x ＋1>1，∴－2<－22x ＋1<0， ∴－2<2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1<2. ∴函数f (x )的值域为(－2,2)．(3)当x ∈[1,2]时，f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ＋1>0. 由题意知，存在x ∈[1,2]，使得mf (x )＝2m ·2x －12x ＋1≥2x ＋1－4成立， 即存在x ∈[1,2]，使得m ≥(2x ＋1)(2x －2)2x －1成立． 令t ＝2x －1(1≤t ≤3)，则有m ≥(t ＋2)(t －1)t ＝t －2t＋1， ∵当1≤t ≤3时，函数y ＝t －2t＋1为增函数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t －2t ＋1min ＝0. ∴m ≥0.故实数m 的取值范围为[0，＋∞)．2．已知函数f (x )＝a e x x＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1.∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －(a e ＋1)＝x －1，又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1，解得a ＝－1e. (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0>1， ① 00e x a x ＋x 0>0， ②0e x a (x 0－1)＋x 20x 20＝0， ③ 由③得0e x a ＝－x 20x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0>0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0e x a x ＋x 0>0，得a >－020e x x ， 设h (x )＝－x 2e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ，当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数，∴a >h (x 0)>h (2)＝－4e 2. 又a <0，故当极大值为正数时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－4e 2，0， 从而不存在负整数a 满足条件．方法二 当x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2，则H ′(x )＝(a e x ＋2)x ，∵x ∈(1，＋∞)，∴e x ∈(e，＋∞)，∵a 为负整数，∴a ≤－1，∴a e x <a e≤－e ，∴a e x ＋2<0，∴H ′(x )<0，∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减．又H (1)＝1>0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4<0，∴∃x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0，且当1<x <x 0时，H (x )>0，即f ′(x )>0；当x >x 0时，H (x )<0，即f ′(x )<0. ∴f (x )在x 0处取得极大值f (x 0)＝0e x a x ＋x 0.(*) 又H (x 0)＝0e xa (x 0－1)＋x 20＝0， ∴0e x a x 0＝－x 0x 0－1，代入(*)得f (x 0)＝－x 0x 0－1＋x 0＝x 0(x 0－2)x 0－1<0， ∴不存在负整数a 满足条件．3．(2018·南通模拟)已知函数f (x )＝12ax 2－ax ＋ln x ＋54a ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若函数f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求f (x 1)＋f (x 2)的取值范围；(3)若不等式f (x )≥ax －a 4对任意的实数x ∈(1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2－x ＋ln x ＋54， 故f (1)＝34， 且f ′(x )＝x －1＋1x，故f ′(1)＝1， 所以函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y －34＝x －1， 即4x －4y －1＝0.(2)由f (x )＝12ax 2－ax ＋ln x ＋54a ，x >0， 可得f ′(x )＝ax －a ＋1x ＝ax 2－ax ＋1x， 因为函数f (x )存在两个极值点x 1，x 2，所以x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个正根，即ax 2－ax ＋1＝0的两个正根为x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－4a >0，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝1a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >4，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝1a ，所以f (x 1)＋f (x 2)＝12ax 21－ax 1＋ln x 1＋54a ＋12ax 22－ax 2＋ln x 2＋54a ＝12a [(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]－a (x 1＋x 2)＋ln(x 1x 2)＋52a ＝2a －ln a －1，令g (a )＝2a －ln a －1，a >4，故g ′(a )＝2－1a>0，g (a )在(4，＋∞)上单调递增， 所以g (a )>g (4)＝7－ln 4，故f (x 1)＋f (x 2)的取值范围是(7－ln 4，＋∞)．(3)由题意知，f (x )≥ax －a 4对任意的实数x ∈(1，＋∞)恒成立， 即2ln x ＋ax 2－4ax ＋3a ≥0对任意的实数x ∈(1，＋∞)恒成立． 令h (x )＝2ln x ＋ax 2－4ax ＋3a ，x >1，则h ′(x )＝2x ＋2ax －4a ＝2·ax 2－2ax ＋1x， ①若a ＝0，当x >1时，h (x )＝2ln x >0，故a ＝0符合题意；②若a >0，(ⅰ)若4a 2－4a ≤0，即0<a ≤1，则h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，h (x )>h (1)＝0，故0<a ≤1符合题意；(ⅱ)若4a 2－4a >0，即a >1，令h ′(x )＝0， 得x 1＝1－a 2－a a<1(舍去)， x 2＝1＋a 2－a a>1， 当x ∈(1，x 2)时，h ′(x )<0，h (x )在(1，x 2)上单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(x 2，＋∞)上单调递增，所以存在x ＝x 2>1，使得h (x 2)<h (1)＝0，与题意矛盾，所以a >1不符合题意．③若a <0，令h ′(x )＝0，当x ∈(1，x 0)时，h ′(x )>0，h (x )在(1，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )在(x 0，＋∞)上单调递减．首先证明：4－2a>x 0. 要证4－2a>x 0， 即要证4－2a >1－a 2－a a， 只要证2－3a >a 2－a ，因为a <0，所以(2－3a )2－(a 2－a )2＝8a 2－11a ＋4>0，故2－3a >a 2－a ，所以4－2a>x 0. 其次证明，当a <0时，ln x <x －32a 对任意的x ∈(1，＋∞)都成立， 令t (x )＝ln x －x ＋32a ，x >1，则t ′(x )＝1x－1<0， 故t (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以t (x )<t (1)＝32a －1<0，则ln x －x ＋32a <0， 所以当a <0时，ln x <x －32a 对任意的x ∈(1，＋∞)都成立， 所以当x >4－2a 时，h (x )＝2ln x ＋ax 2－4ax ＋3a <2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32a ＋ax 2－4ax ＋3a ， 即h (x )<ax ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2a <0，与题意矛盾，故a <0不符合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是[0,1]．。

(七)计数原理1．已知等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，其中a i (i ＝0,1,2，…，10)为实常数．求：(1)∑n ＝110a n 的值；(2)∑n ＝110na n 的值．解 (1)在(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10中， 令x ＝－1，得a 0＝1.令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝25＝32.所以∑n ＝110a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝31.(2)等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10两边对x 求导， 得5(x 2＋2x ＋2)4·(2x ＋2)＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋…＋9a 9(x ＋1)8＋10a 10(x ＋1)9. 在5(x 2＋2x ＋2)4·(2x ＋2)＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋…＋9a 9(x ＋1)8＋10a 10(x ＋1)9中，令x ＝0，整理得∑n ＝110na n ＝a 1＋2a 2＋…＋9a 9＋10a 10＝5·25＝160. 2．设等差数列{a n }的首项为1，公差为d (d ∈N *)，m 为数列{a n }中的项． (1)若d ＝3，试判断⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x m 的展开式中是否含有常数项？并说明理由；(2)证明：存在无穷多个d ，使得对每一个m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项．(1)解 因为{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n －2.假设⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中第r ＋1项为常数项(r ∈N )，T r ＋1＝C r m x m －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝32C m r rm x -，于是m －32r ＝0.设m ＝3n －2(n ∈N *)，则有3n －2＝32r ，即r ＝2n －43，这与r ∈N 矛盾．所以假设不成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中不含常数项．(2)证明 由题设知a n ＝1＋(n －1)d ，设m ＝1＋(n －1)d ，由(1)知，要使对于每一个m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项，必须有：对于n ∈N *，满足1＋(n －1)d －32r ＝0的r 无自然数解，即r ＝2d3(n －1)＋23∉N .当d ＝3k (k ∈N *)时，r ＝2d3(n －1)＋23＝2k (n －1)＋23∉N .故存在无穷多个d ，满足对每一个m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项． 3．已知f (x )＝(2＋x )n ，其中n ∈N *.(1)若展开式中含x 3项的系数为14，求n 的值；(2)当x ＝3时，求证：f (x )必可表示成s ＋s －1(s ∈N *)的形式．(1)解 因为T r ＋1＝C r n 2n －rx 2r，当r2＝3时，r ＝6，故x 3项的系数为C 6n 2n －6＝14，解得n ＝7.(2)证明 由二项式定理可知，(2＋3)n ＝C 0n 2n (3)0＋C 1n 2n －1(3)1＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C n n 20(3)n，设(2＋3)n ＝p ＋3q ＝p 2＋3q 2，p ，q ∈N *，而若有(2＋3)n ＝a ＋b ，a ，b ∈N *，则(2－3)n ＝a －b ，a ，b ∈N *. ∵(a ＋b )·(a －b )＝(2＋3)n ·(2－3)n ＝1，∴a －b ＝1，令a ＝s ，s ∈N *，得b ＝s －1， ∴(2＋3)n 必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.4．设n ∈N *，n ≥3，k ∈N *.(1)求值：①k C k n －n C k －1n －1；②k 2C k n －n (n －1)C k －2n －2－n C k －1n －1(k ≥2)；(2)化简：12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C k n ＋…＋(n ＋1)2C n n . 解 (1)①k C k n －n C k －1n －1＝k ×n ！k ！(n －k )！－n ×(n －1)！(k －1)！(n －k )！ ＝n ！(k －1)！(n －k )！－n ！(k －1)！(n －k )！＝0. ②k 2C k n －n (n －1)C k －2n －2－n C k －1n －1＝k 2×n ！k ！(n －k )！－n (n －1)×(n －2)！(k －2)！(n －k )！－n ×(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝k ×n ！(k －1)！(n －k )！－n ！(k －2)！(n －k )！－n ！(k －1)！(n －k )！＝n ！(k －2)！(n －k )！⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1－1－1k －1＝0. (2)由(1)可知当k ≥2时，(k ＋1)2C k n＝(k 2＋2k ＋1)C k n ＝k 2C k n ＋2k C k n ＋C k n＝[n (n －1)C k －2n －2＋n C k －1n －1]＋2n C k －1n －1＋C k n＝n (n －1)C k －2n －2＋3n C k －1n －1＋C k n .故12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C k n ＋…＋(n ＋1)2C n n＝(12C 0n ＋22C 1n )＋n (n －1)(C 0n －2＋C 1n －2＋…＋C n －2n －2)＋3n (C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n )＝(1＋4n )＋n (n －1)2n －2＋3n (2n －1－1)＋(2n －1－n ) ＝2n －2(n 2＋5n ＋4)．。

(五)函数与导数(A)1．(2018·宿迁期末)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－2a x＋a 2(a >0，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)若存在x ∈[1,2]，使得4＋mf (x )－2x ＋1≥0成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝a ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－21＋a 2＝0，可得a ＝2. 经检验a ＝2符合题意．(2)由(1)可得f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1，∴函数f (x )在R 上单调递增， 又2x＋1>1，∴－2<－22x ＋1<0，∴－2<2⎝⎛⎭⎪⎫1－22x＋1<2. ∴函数f (x )的值域为(－2,2)．(3)当x ∈[1,2]时，f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－12x ＋1>0. 由题意知，存在x ∈[1,2]，使得mf (x )＝2m ·2x－12x ＋1≥2x ＋1－4成立，即存在x ∈[1,2]，使得m ≥(2x ＋1)(2x－2)2x－1成立． 令t ＝2x－1(1≤t ≤3)，则有m ≥(t ＋2)(t －1)t ＝t －2t＋1，∵当1≤t ≤3时，函数y ＝t －2t＋1为增函数，∴⎝⎛⎭⎪⎫t －2t＋1min ＝0. ∴m ≥0.故实数m 的取值范围为[0，＋∞)．2．已知函数f (x )＝a e xx＋x .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1.∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －(a e ＋1)＝x －1，又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1e.(2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0>1， ①e x a x＋x 0>0， ②e x a (x 0－1)＋x 2x 20＝0， ③由③得0e x a ＝－x 20x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0>0，结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0e x a x ＋x 0>0，得a >－020e x x ，设h (x )＝－x 2e，则h ′(x )＝x (x －2)e，当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4e2.又a <0，故当极大值为正数时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－4e 2，0， 从而不存在负整数a 满足条件．方法二 当x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2， 则H ′(x )＝(a e x＋2)x ，∵x ∈(1，＋∞)，∴e x∈(e，＋∞)， ∵a 为负整数，∴a ≤－1，∴a e x<a e≤－e ， ∴a e x＋2<0，∴H ′(x )<0， ∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减．又H (1)＝1>0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4<0， ∴∃x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0， 且当1<x <x 0时，H (x )>0，即f ′(x )>0； 当x >x 0时，H (x )<0，即f ′(x )<0.∴f (x )在x 0处取得极大值f (x 0)＝0e x a x ＋x 0.(*)又H (x 0)＝0e xa (x 0－1)＋x 20＝0，∴e x a x 0＝－x 0x 0－1，代入(*)得f (x 0)＝－x 0x 0－1＋x 0＝x 0(x 0－2)x 0－1<0，∴不存在负整数a 满足条件．3．(2018·南通模拟)已知函数f (x )＝12ax 2－ax ＋ln x ＋54a ，其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若函数f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求f (x 1)＋f (x 2)的取值范围；(3)若不等式f (x )≥ax －a4对任意的实数x ∈(1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2－x ＋ln x ＋54，故f (1)＝34，且f ′(x )＝x －1＋1x，故f ′(1)＝1，所以函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y －34＝x －1，即4x －4y －1＝0.(2)由f (x )＝12ax 2－ax ＋ln x ＋54a ，x >0，可得f ′(x )＝ax －a ＋1x ＝ax 2－ax ＋1x，因为函数f (x )存在两个极值点x 1，x 2， 所以x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个正根， 即ax 2－ax ＋1＝0的两个正根为x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a >0，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝1a>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >4，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝1a，所以f (x 1)＋f (x 2)＝12ax 21－ax 1＋ln x 1＋54a ＋12ax 22－ax 2＋ln x 2＋54a＝12a [(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]－a (x 1＋x 2)＋ln(x 1x 2)＋52a ＝2a －ln a －1，令g (a )＝2a －ln a －1，a >4，故g ′(a )＝2－1a>0，g (a )在(4，＋∞)上单调递增，所以g (a )>g (4)＝7－ln 4，故f (x 1)＋f (x 2)的取值范围是(7－ln 4，＋∞)．(3)由题意知，f (x )≥ax －a4对任意的实数x ∈(1，＋∞)恒成立，即2ln x ＋ax 2－4ax ＋3a ≥0对任意的实数x ∈(1，＋∞)恒成立． 令h (x )＝2ln x ＋ax 2－4ax ＋3a ，x >1， 则h ′(x )＝2x ＋2ax －4a ＝2·ax 2－2ax ＋1x，①若a ＝0，当x >1时，h (x )＝2ln x >0， 故a ＝0符合题意； ②若a >0，(ⅰ)若4a 2－4a ≤0，即0<a ≤1，则h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x >1时，h (x )>h (1)＝0，故0<a ≤1符合题意； (ⅱ)若4a 2－4a >0，即a >1，令h ′(x )＝0，得x 1＝1－a 2－aa <1(舍去)，x 2＝1＋a 2－aa>1，当x ∈(1，x 2)时，h ′(x )<0，h (x )在(1，x 2)上单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(x 2，＋∞)上单调递增， 所以存在x ＝x 2>1，使得h (x 2)<h (1)＝0，与题意矛盾， 所以a >1不符合题意． ③若a <0，令h ′(x )＝0，得x 0＝1－a 2－aa＝1＋1－1a>1.当x ∈(1，x 0)时，h ′(x )>0，h (x )在(1，x 0)上单调递增； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )在(x 0，＋∞)上单调递减．首先证明：4－2a>x 0.要证4－2a>x 0，即要证4－2a >1－a 2－aa，只要证2－3a >a 2－a ， 因为a <0，所以(2－3a )2－(a 2－a )2＝8a 2－11a ＋4>0， 故2－3a >a 2－a ，所以4－2a>x 0.其次证明，当a <0时，ln x <x －32a 对任意的x ∈(1，＋∞)都成立，令t (x )＝ln x －x ＋32a ，x >1，则t ′(x )＝1x －1<0，故t (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以t (x )<t (1)＝32a －1<0，则ln x －x ＋32a <0，所以当a <0时，ln x <x －32a 对任意的x ∈(1，＋∞)都成立，所以当x >4－2a 时，h (x )＝2ln x ＋ax 2－4ax ＋3a <2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32a ＋ax 2－4ax ＋3a ，即h (x )<ax ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝⎛⎭⎪⎫4－2a <0，与题意矛盾，故a <0不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是[0,1]．。

高考填空题分项练5 函数的图象与性质1．函数y＝错误!的单调增区间为________．答案［0,＋∞)解析当x≥0时，y＝x为增函数；当x<0时,y＝x2为减函数．2．函数f（x）＝错误!则f（f(－1)）＝________。

答案0解析f(f（－1））＝f(f（2)）＝f（f(5)）＝f(1）＝f(4）＝0。

3．若函数f(x)＝x2－6x＋m在区间［2,＋∞）上的最小值是－3，则实数m的值为________．答案6解析函数f(x）＝x2－6x＋m的对称轴是x＝3，开口向上，所以函数f（x）在［2,3]上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，故函数f（x)在x＝3处取得最小值．由f(3)＝32－6×3＋m＝－3，解得m＝6。

故实数m的值为6.4．函数f(x）＝错误!在区间错误!上的对称中心为________．答案（0,0）解析f(x）＝错误!＝错误!＝错误!＝tan x,由正切函数的图象可知，f（x）在区间错误!上的对称中心为(0,0)．5．函数y＝|x|（1－x)的单调增区间为________．答案错误!解析当x≥0时，y＝|x｜（1－x)＝x（1－x）＝x－x2＝－错误!2＋错误!；当x<0时，y＝|x｜(1－x)＝－x（1－x）＝x2－x＝错误!2－错误!。

故y＝错误!函数图象如图所示．所以函数的单调增区间为错误!。

6．已知f(x)＝错误!是奇函数，则f(g(－2))＝________.答案1解析方法一当x〈0时，－x〉0，g（x)＝－f（－x）＝－(2－x－3）＝3－错误!x，所以g（－2)＝－1，f(g（－2))＝f（－1）＝3－2＝1.方法二因为g（－2)＝f（－2）＝－f(2)，所以f（g(－2))＝f(－f(2）)＝f（－（22－3))＝f(－1）＝－f(1)＝1.7．已知函数f（x)＝a x（a〉0且a≠1）在［－1,1]上恒有f（x）〈2，则实数a的取值范围为________．答案错误!∪（1，2）解析当a〉1时，f(x）在[－1,1］上是增函数，∵在x∈［－1,1］上恒有f(x）〈2，∴f(1)<2，∴1<a〈2。