人教版七年级数学下册课件：第六章 实数-6.1 平方根第1课时 算术平方根

新知一 算术平方根的概念
学校要举行美术作品比赛，小强很 高兴，他想裁出一块面积为25dm2 的正 方形画布，画上自己的得意之作参加比 赛，这块正方形画布的边长应取多少？
因为52 =25, 所以这块正方形画布的边长应取5dm.
新知二 算术平方根的双重非负性
即．
规定：0的算术平方根是0，即
填表： 1
高兴，他想裁出一块面积为25dm2 的正
(1)求计划设计的花坛的长和宽； (2)请你通过计算说明设计师能否实现这个计划．
解：(1)设计划设计的花坛长为 5x 米，宽为 3x 米(x＞0)，依题意，得 5x·3x＝300，解得 x＝2 5 ， ∴5x＝10 5 ，3x＝6 5 ， 答：计划设计的花坛长为 10 5 米，宽为 6 5 米 (2)∵(10 5 )2＝500＞400，∴10 5 ＞20， ∴计划设计的花坛长比原正方形空地的边长要长， ∴设计师不能实现这个计划
9．已知 b＝ a－3＋ 3－a＋1，求 a＋b 的算术平方根．
解：由算术平方根的意义可知a3－－3a≥≥00，，解得 a＝3，∴b＝1. ∴a＋b＝3＋1＝4.∴a＋b 的算术平方根是 2
10．如图，公园里有一块面积为400平方米的正方形空地，园林设计 师计划按图中方法在此空地上建一个面积为300平方米的长方形花坛， 使长方形的长宽之比为5：3.
归纳新知
算术平方根的概念
算术平 方根
算术平方根的双重非负性
算术平方根的应用
课后练习 1．(安顺中考) 4的算术平方根是( B ) A．± 2 B. 2 C．±2 D．2
2．下列说法：①一个数的算术平方根一定是正数；②100 的算术平方根
是 10，记作 100＝10；③3 是(－3)2 的算术平方根；④(π－3.14)2 的算术平 方根是π－3.14；⑤a2 的算术平方根是 a.其中正确的个数有( C )

品比赛，小红很高兴，他 想裁出一块面积为25dm2 的正方形画布，画上自己 的得意之作参加比赛，这 块正方形画布的边长应取 多少？你能帮小明算一算 吗？
二、推进新课
填表1
正方形的边长 1 正方形的面积 1
3 0.1 9 0.01
思考:你能从表格中发现什么共同点吗？
已知一个正数，求这个正数的平方， 这就是平方运算。
一、创设情境，导入新课 一、创设情境，导入新课 算数平方根的数学符号表示 会用根号表示一个数的算术平方根（重点）； 一个正数有两个算术平方根，且互为相反数。 问题：学校要举行美术作品比赛，小红很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方 形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 第1课时 算术平方根 了解算术平方根的概念； 思考:你从表2中能发现什么？ 算术平方根具有双重非负性 算数平方根的数学符号表示 已知一个数的平方，求这个数的运算叫做开平方。 会用根号表示一个数的算术平方根（重点）； 了解算术平方根的概念； 问题：学校要举行美术作品比赛，小红很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方 形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 一个正数有两个算术平方根，且互为相反数。 用大小完全相同的250块正方形地板砖，铺一间面积为160 m2的地面，每块地板砖的边长是多少？ 第1课时 算术平方根 会用根号表示一个数的算术平方根（重点）； 已知一个正数，求这个正数的平方，这就是平方运算。
已知一个数的平方，求这个数的运算叫做开平方。
算数平方根的数学符号表示
所以m+n=2
了解算术平方根的概念；
算术平方根具有双重非负性
问题：学校要举行美术作品比赛，小红很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方

学校要举行美术作品比赛，小美想裁出一块面积为9 dm2的正方形画布，临摹自己的最喜欢的作品参加比赛， 这块正方形画布的边长应取多少？
你一定会算出边长应取3 dm. 说一说，你是怎样算出来的？ 因为32=9，所以这个正方形 画布的边长应取3 dm.
课程讲授
1 算术平方根
填表：
正方形的 面积/dm2
1
课程讲授
2 估算算术平方根
如此进行下去，可以得到 2 的更精确的近似值. 事实 上， 2 =1. 414 213 562 373…，它是一 个无限不循环 小数. 实际上，许多正有理数的算术平方根(例如 3, 5, 7 等)都是无限不循环小数.
小数位数无限,且小数部分 不循环的小数称为无限不循 环小数.
… 0.062 5 0.625 6.25 62.5 625 6 250 62 500 … … 0.25 0.790 6 2.5 7.906 25 79.06 250 …
课程讲授
3 用计算器求一个正数的算术平方根
归纳小结：被开方数的小数点向右每移动 位,它的算2术平方 根的小数点就向右移动 位;被开方数的小数点向1左每移动 位,
（5） x （6） x2 （7） x2 1 （8） 1
x1
x2
（9） x 2 4 2x
第六章 实 数
6.1 平方根
第1课时
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.算术平方根 2.估算算术平方根
3.用计算器求一个正数的算术平方根
新知导入
试一试：根据所学知识，试着解决下列问题.
课程讲授
1 算术平方根
例 求下列各数的算术平方根：
（1）100；
（2）49 ； 64
（3）0.000 1.

（2）在这个过程中, 有没有直线a与b不相交的位置?
平行概念：同一平面内,存在一条直线a与 直线b不相交的位置,这时直线a与b互相平 行．换言之, 同一平面内, 不相交的两条直 线叫做平行线．直线a与b是平行线, 记作 a∥b．
问题2：同一平面内,两条直线存在哪些位置 关系?
相交和平行
问题3：平行线在生活中很常见, 你能举出一 些例子吗?
活动2
探索归纳引 入概念
跟踪练习：
（1）下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
， ，，
5 3 3
3 2 .
（2）下列各式有意义的条件是什么？
3 无意义
32 9 3
x 3,
2 x.
x3
x2
活动3 应用新知 形成技能
例1
例题:
求下列各数的算术平方根:
64
(1)100； (2) 49 ； (3) 0.000 1.
平行公理推论：如果两条直线都与第三条 直线平行,那么这条直线也互相平行．
如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
练习：读下列语句，并画出图形．
（1）如图（1），过点A画EF ∥ BC； （2）如图（2），在∠AOB内取一点P，过点P
画PC ∥ OA交OB于C，PD ∥ OB交OA于D．
E
F
（1）
D
．
P
C
（2）
活动5
归纳小结 深化新知
小结与提升：
本节课你学习了哪些知识？在探 索知识的过程中，你用了哪些方 法？对你今后的学习有什么帮助？
活动5
归纳小结 深化新知
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
小结与提升：
（1）算术平方根的概念； （2）算术平方根的双重非负性； （3）求一个正数的算术平方根的运算与

−0.3 2 =0.3.
迁移应用
1.计算:(1) 9 =_____；


(4) (−6)2 =_____；
(2) 0.25=_____；
.
(3)﹣

64
=______；
−
49


(5) 36+ 16- 25=_____.
2.已知 + 4=3，则x=______.

3.若单项式2xmy3与3xym+n是同类项，则 2 + 的值为______.
解:因为(x-2)2+ + 1+|z-3|=0，
(x-2)2≥0， + 1≥0，|z-3|≥0，
所以(x-2)2=0， + 1=0，|z-3|=0.
所以x-2=0，y+1=0，z-3=0.
所以x=2，y=-1，z=3.
所以(x+3y)z=[2+3×(-1)]3=(-1)3=-1.
迁移应用
所以|3x-3|=0， − 2 =0.
所以3x-3=0，y-2=0，即x=1，y=2.
所以x+4y=1+4×2=9.
因为 9=3，所以x+4y的算术平方根为+ + 3=0，求a(b+c)的值.
解:因为(a+1)2+|b-2|+ + 3=0，
所以a+1=0，b-2=0，c+3=0，

4.若4是3x-2的算术平方根，则x的值是______.

迁移应用
5.求下列各数的算术平方根:
121
(2) ；
100
(1)0.64；

=18
了解算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性.
面积 1 如果一个正数x的平方等于a，即 x 2 =a ，那么这个
解:设每块地板砖的边长为x m. 判断题：下列各式是否有意义？为什么？
9
16 36
16 25
a
★那么乘方与谁互为逆运算呢？
（4）
（5）3
边长 判断题：下列各式是否有意义？为什么？
二 算术平方根的双重非负性
一个正数的算术平方根有几个？
求下列各数的算术平方根： 我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方这五种运算。
非负数 a 0
6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
因为22=4 ，所以4的算术平方根是＿＿；
★加法与减法互为逆运算；
了解算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性.
得
，
１
表示的意义是什么？它的值是多少？用等式怎样表示？
３４6
4
5?
了解算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性.
所以100的算术平方根为10，
上面的问题，实际上是已知一个正数的平 ∵192=
∴
=19
∵202= 400 ∴
=20
⑴100 ⑵
⑶0.
方，求 这个正数 的问题.
第六章 实 数
6.1 平方根
第1课时 算术平方根
学习目标
了解算术平方根的概念，会用根号表 1 示一个正数的算术平方根，并了解算
术平方根的非负性.
2 了解开方与乘方互为逆运算，会用平 方运算求某些非负数的算术平方根.
我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、 除法、乘方这五种运算。

（2） 9 3； （3） 22 2. 25 5
3. （1）若一个数的算术平方根是 13 ，则这个数 是___1_3___.
4
（2）① 16 =___4__， 16的算术平方根是___2___；
② （ - 5）2 =___5___，（ - 5）2 的算术平方根是 ___5___，（-5）2的算术平方根是____5___.
概念
提取 ( 0 )2 = 0 ，规定：0 的算术平方根是 0.
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，
即 x2 = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平
方根.
(非负数 x )2 = a
非负数 x 是非负数 a 的算术平方根
那么 1，9，16，36，4 的算术平方根是？
25
概念 提取
a 的算术平方根记为 a ，读作“根 号 a”，a 叫做被开方数.
（1）根据计算结果，回答 a2 一定等于 a 吗？你
发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来. （2）利用你总结的规律，计算：（3.14-）2 .
解：（1） a2 不一定等于a， a2 a .
（2）原式 = |3.14－π| = π－3.14 .
课堂总结
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a， 即 x2 = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平
从
100 10
从
大 到
49 7 64 8
大 到
小
小
0.0001 0.1
被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
若a b 0，则 a __＞___ b.
对应训练
【选自教材P41练习 第1题】
1. 求下列各数的算术平方根： （1）0.0025；（2）81；（3）32.

第六章 实数
6.1 平方根
第六章 实数
第1课时 算术平方根
A知识要点分类练 B规律方法综合练 C拓广探究创新练
第1课时 算术平方根
A知识要点分类练
知识点 1 算术平方根的定义
1．下列说法正确的是( A ) A．因为 52＝25，所以 5 是 25 的算术平方根 B．因为(－5)2＝25，所以－5 是 25 的算术平方根 C．因为(±5)2＝25，所以 5 和－5 都是 25 的算术平方根 D．以上说法都不对
第1课时 算术平方根
9．下列式子有意义的是( C )
A. －3
B．(－ －3)2
C．－ （－3）2 D. －（－3）2
第1课时 算术平方根
B规律方法综合练
10．算术平方根等于它的相反数的数是( A ) A．0 B．1 C．0 或 1 D．0 或±1 11．已知有理数 x，y 满足 x－1＋|y＋3|＝0，则 x＋y 的值为( A ) A．－2 B．2 C．4 D．－4第1Fra bibliotek时 算术平方根
知识点 3 算术平方根的非负性
7．(1) a中，被开方数 a 是非负数，即 a___≥_____0； (2) a是非负数，即 a___≥_____0； (3)负数没有平方根，即当 a___＜_____0， a无意义．
8．设 a 是一个数的算术平方根，那么( A ) A．a≥0 B．a＞0 C．a<0 D．a≤0
第1课时 算术平方根
5．求下列各数的算术平方根．
(1)0.64; (2)196； (3)(－3)2;
1 (4)24.
解：(1)0.8. (2)34. (3)3. (4)32.
第1课时 算术平方根
6．求下列各式的值： (1) 25； (2) 196； (3) （－4）2.

A．0的平方根是0
B．正数的两个平方根互为相反数
C．－22的平方根是±2
D．a是a2的一个平方根
例2．如果一个数的负平方根是-2，则这个数的算术平方根是______，这个
数的平方是_____．
【点拨】要注意理解好平方根的概念与算术平方根的概念，一个正数的算术 平方根是这个正数的正的平方根. 【解析】正数的平方根是两个，它们是互为相反数，0的平方根只有一个是0， 负数没有平方根，由此可知，选项C是错误的. 由这个数的负的平方根是-2，可知这个数是4，4的正的平方根（算术平方根） 是2，4 的平方是16． 【答案】例1：C；例2：2，16
______.
【点拨】理解掌握一个数的算术平方根是非负数，即 a ≥0 . 【解析】因为绝对值和算术平方根都具有非负性，因此 x+5 0 且 y-4 0， 可得x= -5，y=4，即(x+y )101 =-1 . 【答案】-1 .
知识点三：求x的取值范围
例5．求下列各式中x的取值范围（1）
2 x
算术平方根与平方根
课标引路
1. 掌握住平方根、算术平方根的概念； 2. 平方根与算数平方根的化简方法，尤其是 对 a 2 的化简． Nhomakorabea 知识梳理
平方根的概念
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的 平方根. 表示为“ a ”.
• （1）被开方数一定是大于等于0，也就是说是非负数. 常常用这个特点求自变量的 取值范围；
1
；（2）
x2 x1
【点拨】算术平方根要求被开方数是非负数 【解析】第1个题中，根式是在分母上了，因此同时还要考虑到分母是不为0， 因此得到 x10,x1，第二个式子中要求 x20,x10， 所以答案是x>2 【答案】 x>1；x>2

±4
(2)求 16的平方根.
±2
变式练习
9.(1)如果x2＝10,那么x叫做 10
即x＝ ± 10;
1
(2)求 2 的平方根.
4
±
3
2
的 平方根
,
5.【例2】(人教7下P46)求下列各式的值:
(1) 36;

(2)－ 0.81;
－0.9
6
(3)±
7
±
3
49
9
2
; (4) (-3) .
3
10.求下列各数的平方根:
即 ≥0,a≥0;
③0的平方根与算术平方根均为0
3.填空:
(1)9的算术平方根是 3 ; (2)9的平方根是 ±3
7
7
49
49
±
(3) 的算术平方根是 4 ; (4) 的平方根是 4 ;
16
16
(5) 1＝ 1
(7)±
1
1
±
＝
81
(6)－ 0.25＝ －0.5 ;
;
9
.
;
精典范例
4.【例1】(1)求16的平方根;
(1)900;
±30
(3)0.001 6;
±0.04
1
(2)2 ;
4
3
±
2
1
(4)
6
10
±
.
1
103
6.【例 3】(北师 8 上 P29)求满足下列各式的未知数 x:
2
25
(1)x ＝ ;
81
x＝±
5
9
2
(2)x ＝6.
x＝± 6
11.(人教7下P48)求下列各式中x的值: