人教版初一数学 12.平方根(基础)知识讲解

平方根、立方根、实数教学内容一、同步知识梳理知识点1：算术平方根的概念如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”。

规定0的算术平方根是0。

知识点2：算术平方根的双重非负性负数没有平方根，即被开方数一定是正数或0, 0a ≥；算术平方根是非负数，即0a ≥。

二、同步题型分析三、课堂达标检测题型一：算术平方根【例1】 4的值是（ ）A ．4B ．2C ．－2D ．±2【例2】 2的算术平方根是（ ）A ．2B ．－2C ．±2D ．2【例3】 （-2）2的算术平方根是（ ）A ．2B ．±2C ．－2D ．2【例4】 49的算术平方根是（ ） A ．8116 B ．23± C ．23- D ．23【例5】 0.36的算术平方根是（ ）A ．±0.6B ．±错误!未找到引用源。

C ．0.6D ．错误!未找到引用源。

【例6】 错误!未找到引用源。

的算术平方根是（ ）A ．4B ．±4C ．2D ．±2【例7】 当m ≥0时，m 表示（ ）A ．m 的平方根B ．一个有理数C ．一个无理数D ．m 的算术平方根【例8】 有一个数值转换器，原理如下图所示，当输入的x=64时，输出的y 等于（ ）A ．2B ．8C ．错误!未找到引用源。

D ．错误!未找到引用源。

【例9】 下列运算正确的是（ ）A ．4=±2B ．-（x-1）=-x-1C ．-32=9D ．-|-2|=-2【例10】 一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）A ．1a - B. 1a + C. 21a + D. 21a +【例11】 下列说法正确的是（ ）A ．-6是（-6）2的算术平方根B ．±6是36的算术平方根C ．5是25的算术平方根D ．-5不是25的平方根【例12】 下列说法正确的是（ ）A ．-5是-25的平方根B ．3是（-3）2的算术平方根C ．（-2）2的平方根是2D ．8的平方根是±4【例13】（x 2+1）2的算术平方根是（ ） A ．x 2+1 B ．（x 2+1）2 C ．（x 2+1）4 D ．±（x 2+1）【例14】 已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ）A ．S=aB ．S 的平方根是aC ．a 是S 的算术平方根D ．a=±s【例15】 若8k （k 为大于0的自然数）的算术平方根是整数，则正整数k 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【例16】 如果一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．-1或0或1【例17】 一个数a 的算术平方根比本身大，那么这个数一定（ ）A ．a ＞0B ．a ＞1C ．0＜a ＜1D ．不能确定【例18】 如果a-3是一个数的算术平方根，那么（ ）A ．a ≥0B ．a ＞0C ．a ＞3D ．a ≥3【例19】 算术平方根等于它相反数的数是（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．-1或0或1【例20】 如果y =0.25，那么y 的值是（ ）A ．0.0625B ．-0.5C ．0.5D ．±0.5【例21】 已知错误!未找到引用源。

七年级平方根知识点平方根是数学中常见的概念，也是七年级数学中的重要知识点。

学好平方根，不仅可以提高数学素养，还能帮助我们解决实际问题。

下面就来详细了解一下七年级平方根知识点。

1. 平方根的定义平方根指的是一个数的正平方根或负平方根。

例如正数a的正平方根是x，即x²=a，那么x就是a的正平方根；负数a的平方根是i*x，即(i*x)²=a，其中i表示虚数单位，那么i*x就是a的负平方根。

2. 平方根的性质平方根有以下几个重要的性质：（1）正数的平方根是正数，负数的平方根是虚数；（2）任何正数都有两个平方根，一个正平方根和一个负平方根；（3）零的平方根是零，任何负数的平方根都不存在实数解。

3. 简化平方根当我们求解平方根时，有一些情况下可以将平方根简化为较小的数。

例如对于正整数a，如果a可以分解成两个数的积，那么a 的平方根可以被简化。

具体地说，我们可以找到a的因数b和c，使得a=b*c，那么a的平方根就可以化简成根号b*根号c。

4. 平方根的运算在平方根的运算中，最基本的运算是加减。

有平方根的表达式相加减时，我们需要先将同类项合并，再根据平方根的性质进行约分，最后将常数项相加减即可。

在乘除运算中，平方根可以和普通数相乘除，也可以和平方根相乘除。

具体方法如下：（1）和普通数相乘除时，我们可以将平方根化简为最简形式，再和另一个数相乘除。

例如sqrt(2) * 3 = 3sqrt(2)，3 / sqrt(2) =3sqrt(2) / 2。

（2）和平方根相乘除时，我们需要用到一个公式：sqrt(a) *sqrt(b) = sqrt(ab)。

例如，我们要求解sqrt(2) * sqrt(3)，可以将其化为sqrt(6)，即sqrt(2)*sqrt(3) = sqrt(6)；同样地，我们也可以将sqrt(2)/sqrt(3)化为sqrt(2/3)。

5. 平方根的应用平方根除了在数学中起到重要的作用外，在实际生活中也有许多应用。

初中人教版七年级平方根知识点总结
一、概念
平方根是指一个数的平方等于被开方数的数。

例如，2的平方根是√2，因为√2×√2=2。

平方根的符号为√，并且不能出现负数。

二、平方根的性质
1. 如果一个数是平方数，那么它的平方根就是一个整数。

2. 如果一个数不是平方数，那么它的平方根就是一个无限不循环小数。

3. 两个平方数之间的数字是整数。

三、求解平方根的方法
1. 直接法：用手算或计算器求出平方根的值。

2. 开方法：因数分解后，将同样的因数放在一个括号中，然后每个因数的次数除以2，再将式子乘起来。

例如：√72=√(2 × 2 × 2 × 3 × 3)=2 × √6。

3. 近似法：用前一次算出的平方根估算下一次的平方根。

四、平方根的应用
平方根在数学、物理、化学等各个学科中都有广泛的应用，例如用来计算等腰三角形的高、圆的直径等。

总之，学好平方根对于研究数学有很大的帮助，也为日常生活中的实际应用提供了便利。

以上就是初中人教版七年级平方根知识点的总结。

人教版七年级数学下册平方根（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】【高清课堂：389316 平方根，知识要点】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：a0，a≥0.2.平方根的定义如果2x a=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为0)a≥是a的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩()2a a=≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误；D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ）（3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根． 2、 填空：（1）4-是 的负平方根．（2116表示 的算术平方根，116= ． （3181的算术平方根为 ．（4）若3x =，则x = ，若23x =，则x = ．【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325 （2）8136+（3）0.040.25- （4）40.36121⋅ 【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6553、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________．【答案】x ≥1-；【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.【总结升华】当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 举一反三：【变式】（2015春•中江县期中）若+（3x+y ﹣1）2=0，求5x+y 2的平方根． 【答案】解：∵+（3x+y ﹣1）2=0，∴， 解得，，∴5x+y 2=5×1+（﹣2）2=9，∴5x+y 2的平方根为±=±3．类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得1442x=169开平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移项，得（x﹣2）2=36开平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝1323x=±21x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.。

上海初中数学二次根式知识点知识要领：正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用√ā(a≥0)来表示。

二次根式1、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

即，如果一个数x=a，那么这个数x是a的平方根。

二次根式的定义和概念：1、定义：一般形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式。

当a≥0时，表示a的算术平方根;当a小于0时，非二次根式(在一元二次方程中，假设根号下为负数，那么无实数根)被开方数必须大于等于0。

2、概念：式子√ā(a≥0)叫二次根式。

√ā(a≥0)是一个非负数。

其中，a叫做被开方数。

√a的性质和几何意义1)a≥0 ; √a≥0 [ 双重非负性 ]2)(√a)^2=a (a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]3) c=√a^2+b^2表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论。

4) √a^2 = |a|化最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√6、√7、√a(a≥0)、√x+y 等;含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√16、√25、√a^2、√(x+y)^2、√x^2+2xy+y^2等最简二次根式同时满足以下三个条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式;(2)被开方数中不含有能开的尽的因式;(3)被开方数不含分母。

知识点总结：一般形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的`内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

（带答案）人教版初中数学二次根式基础知识点归纳总结（文末附答案）单选题1、下列二次根式中能与2√3合并的是（ ）A ．√8B ．√13C ．√18D ．√92、在根式√2，√75，√150，√127，√15中，与√3是同类二次根式的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、使得式子√4−x 有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x≥4B ．x ＞4C ．x≤4D ．x ＜4 4、计算：(3√48−2√27)÷√3=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．85、√2的相反数是【 】A ．√2B ．√22C ．−√2D ．−√22 6、若|x 2﹣4x+4|与√2x −y −3互为相反数，则x+y 的值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．97、如图，在长方形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）cm 2A ．16−8√3B ．−12+8√3C ．8−4√3D ．4−2√38、如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2A．16−8√3B．−12+8√3C．8−4√3D．4−2√3填空题9、观察下列各式：√1+13=2√13，√2+14=3√14，√3+15=4√15，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来__________________．10、计算√23×(√8+√2)的结果是________．11、当_____时，式子√x−3√5−x12、计算√27−6√13的结果是_____．13、若x满足|2017-x|+ √x-2018 =x，则x-20172=________ 解答题14、阅读下列解题过程：√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1；√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；√4+√3=√4−√3(√4+√3)(√4−√3)=√4−√3；…则：（1）化简：√10+√9（2）观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子√n+√n−1＝；（3）利用这一规律计算：(√2+1√3+√2√4+√3+⋯√2020+√2019)(√2020+1)的值．15、已知a，b，c满足|a−√8|+√b−5+(c−√18)2=0．（1）求a、b、c的值（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长，若不能，请说明理由．（带答案）人教版初中数学二次根式_018参考答案1、答案：B解析：先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．A 、√8＝2√2，不能与2√3合并，故该选项错误；B 、√13=√33能与2√3合并，故该选项正确；C 、√18＝3√2不能与2√3合并，故该选项错误；D 、√9＝3不能与2√3合并，错误；故选B ．小提示：本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．2、答案：B解析：二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，继而可得出答案．∵√75=5√3，√150=√210，√127=√39，故与√3是同类二次根式的有：√75，√127，共2个,故选B.小提示：本题考查了同类二次根式的知识，解题的关键是掌握同类二次根式是化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式．3、答案：D解析：直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．有意义，则：4﹣x＞0，解：使得式子√4−x解得：x＜4即x的取值范围是：x＜4故选D．小提示：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．4、答案：C解析：先根据二次根式的性质化简括号内的式子，再进行减法运算，最后进行除法运算即可．原式=(12√3−6√3)÷√3=6√3÷√3=6．故选C．小提示：本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简是解题的关键．5、答案：C解析：相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此√2的相反数是−√2．故选C．6、答案：A解析：根据题意得:|x2–4x+4|+√2x−y−3=0，所以|x2–4x+4|=0，√2x−y−3=0，即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．7、答案：B解析：先根据正方形的面积公式求出两张正方形纸片的边长，从而可得长方形ABCD的长与宽，再利用长方形ABCD 的面积减去两个正方形的面积即可得．面积为16cm2的正方形纸片的边长为√16=4(cm)，则CD=4cm，面积为12cm2的正方形纸片的边长为√12=2√3(cm)，则BC=(4+2√3)cm，因此，图中空白部分面积为BC⋅CD−16−12=16+8√3−16−12=8√3−12(cm2)，故选：B．小提示：本题考查了二次根式的几何应用，正确求出两个正方形的边长是解题关键．8、答案：B解析：先根据正方形的面积公式求出两张正方形纸片的边长，从而可得长方形ABCD的长与宽，再利用长方形ABCD的面积减去两个正方形的面积即可得．面积为16cm2的正方形纸片的边长为√16=4(cm)，则CD=4cm，面积为12cm2的正方形纸片的边长为√12=2√3(cm)，则BC=(4+2√3)cm，因此，图中空白部分面积为BC⋅CD−16−12=16+8√3−16−12=8√3−12(cm2)，故选：B．小提示：本题考查了二次根式的几何应用，正确求出两个正方形的边长是解题关键．9、答案：√n+1n+2=(n+1)√1n+2(n≥1)解析：观察分析可得√1+13=(1+1)√11+2，√2+14=(2+1)√12+2，√3+15=(3+1)√13+2，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是√n+1n+2=(n+1)√1n+2(n≥1)解：根据题意得：√1+13=(1+1)√11+2，√2+14=(2+1)√12+2，√3+15=(3+1)√13+2，……，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是√n+1n+2=(n+1)√1n+2(n≥1)．所以答案是：√n+1n+2=(n+1)√1n+2(n≥1)小提示：本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n表示的等式即可．10、答案：2解析：利用二次根式的乘除法则运算．解：原式=√23×√8+√23×√2=√2×83+√2×23=43+23=2.故答案是：2.小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．11、答案：3≤x ＜5．解析：根据二次根式和分式的意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．根据题意，得：{x −3≥05−x ＞0，解得：3≤x ＜5． 小提示：本题考查了的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数．12、答案：√3．解析：解：原式=3√3﹣6×√3=3√3﹣2√3=√3．3故答案为√3．13、答案：2018解析：根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解得出x的取值范围，再根据绝对值的意义化简即可得出方程√x-2018 =2017，将方程的两边同时平方即可解决问题．解：由条件知，x-2018≥0，所以x≥2018，|2017-x|=x-2017.所以x-2017+ √x-2018 =x，即√x-2018 =2017，所以x-2018=20172，所以x-20172=2018，所以答案是：2018．小提示：本题主要考查了二次根式的内容，根据二次根式有意义的条件找到x的取值范围是解题的关键．14、答案：（1）√10−3；（2）√n−√n−1；（3）2019．解析：（1）可分母有理化也可利用上面的规律；（2）可分母有理化也可利用上面的规律；（3）先根据已知得到(√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2020−√2019)(√2020+1)，合并后根据平方差公式即可求解．解：（1）√10+√9=√10−√9(√10+√9)(√10−√9)=√10−√9=√10−3，（2）原式＝√n−√n−1(√n+√n−1)(√n−√n−1)＝√n−√n−1n−(n−1)＝√n−√n−1所以答案是：√n−√n−1（3）(√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2020−√2019)(√2020+1)＝（(√2020−1)(√2020+1)＝2020﹣1＝2019．小提示：本题主要考查了分母有理化的应用、平方差公式、二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类，理解题意找到规律是解题关键．15、答案：（1）a=2√2，b=5，c=3√2；（2）能，5+5√2解析：（1）根据非负数的性质可求出a、b、c的值；（2）根据三角形三边关系，再把三角形三边相加即可求解．解：（1）由题意得：a−√8=0，b−5=0，c−√18=0，解得：a=√8=2√2，b=5，c=√18=3√2．（2）根据三角形的三边关系可知，a、b、c能构成三角形此时三角形的周长为a+b+c=2√2+5+3√2=5+5√2．小提示：本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．11。

各章节详细知识点七年级上册第一章《有理数》1.正数与负数的概念2.正数与负数的实际意义3.有理数的概念4.数轴的概念5.相反数的概念6.绝对值的概念7.有理数的大小比较8.有理数的加法法则9.有理数的减法法则10.有理数的乘法法则11.有理数的运算律12.有理数的除法法则13.有理数的混合运算法则14.有理数的乘方相关概念（乘方、幂、底数、指数）15.有理数的乘方法则16.科学记数法17.近似数（有效数字）第二章《整式的加减》1.单项式及其相关概念（单项式、系数、次数）2.多项式及其相关概念（多项式、项、常数项、次数）3.整式4.同类项的概念5.合并同类项的法则6.去括号法则7.整式加减的运算法则第三章《一元一次方程》1.方程的概念2.一元一次方程的概念3.方程的解4.等式的性质5.一元一次方程的解法（步骤）6.一元一次方程的应用问题（和差倍分问题、数字问题、行程问题、工程问题、劳动力调配问题、增长率问题、商品利润问题）第四章《图形的初步认识》1.几何图形的概念2.立体图形的概念3.平面图形的概念4.立体图形的三视图5.立体图形的展开图6.点、线、面、体的概念7.直线的相关概念（直线、相交线、交点）8.两点确定一条直线9.点与直线的位置关系10.线段的中点11.两点之间线段最短12.两点之间的距离13.角及其相关概念14.角平分线15.余角的概念16.补角的概念17.余角（补角）的性质七年级下册第五章《相交线与平行线》1.相交线的相关概念（邻补角、对顶角）2.对顶角的性质3.垂线的相关概念（垂直、垂线、垂足）4.过一点画垂线5.垂线段最短6.点到直线的距离7.“三线八角”的相关概念8.平行的概念9.平行公理10.平行线的判定11.平行线的性质12.命题及其相关概念（命题、真命题、假命题）13.定理的概念14.平移的概念15.平移的性质第六章《平面直角坐标系》1.有序实数对的概念2.平面直角坐标系及其相关概念（平面直角坐标系、横轴、纵轴、原点、坐标、象限）3.特殊点坐标（象限符号、坐标轴上点的特征、坐标轴角平分线上点的特征、对称点坐标特征、平行于坐标轴的点的特征）4.直角坐标系的实际应用5.平移的坐标特征第七章《三角形》1.三角形的概念2.三角形的分类3.三角形的三边关系4.三角形的“三线”（高线、中线、角平分线）5.三角形的稳定性6.三角形的内角和定理7.三角形的外角8.三角形的外角性质定理9.多边形及其相关概念（多边形、对角线、正多边形）10.多边形的内角和定理11.多边形的外角和定理第八章《二元一次方程组》1.二元一次方程的概念2.二元一次方程（组）的解3.解二元一次方程（代入消元法、加减消元法）4.二元一次方程的应用5.三元一次方程组的概念6.三元一次方程组的解法第九章《不等式与不等式组》1.不等式的概念2.不等式的解3.解集4.一元一次不等式的概念5.不等式的性质6.一元一次不等式的解法7.一元一次不等式的应用8.一元一次不等式组的概念9.一元一次不等式组的解法第十章《数据的收集、整理与描述》1.收集数据（问卷）2.整理数据（表格）3.描述数据（条形统计图、扇形统计图）4.抽样调查的概念5.总体、个体、样本、样本容量6.简单随机抽样的概念7.直方图及其相关概念（直方图、组距、频数）8.画直方图的步骤八年级上册第十一章《全等三角形》1.全等形的概念2.全等三角形的相关概念（全等三角形、对应顶点、对应边、对应角）3.全等三角形的性质4.全等三角形的判定5.角平分线的性质6.角平分线的判定第十二章《轴对称》1.轴对称图形的概念2.关于直线对称的相关概念3.轴对称的性质4.线段垂直平分线的性质5.线段垂直平分线的判定6.作轴对称图形7.关于坐标轴对称点的特征8.等腰三角形的概念9.等腰三角形的性质10.等腰三角形的判定11.等边三角形的概念12.等边三角形的判定13.等边三角形的性质第十三章《实数》1.算术平方根的概念2.平方根的概念3.平方根的性质4.立方根的概念5.立方根的性质6.实数的概念7.实数的分类8.实数的相反数、绝对值9.实数与数轴的关系第十四章《一次函数》1.变量与常量2.函数与自变量3.函数的图像4.正比例函数的解析式5.正比例函数的图象及其性质6.一次函数的解析式7.一次函数的图象及其性质8.一次函数与一元一次方程的关系9.一次函数与一元一次不等式关系10.一次函数与二元一次方程组的关系第十五章《整式的乘除与因式分解》1.同底数的幂的乘法公式2.幂的乘方公式3.积的乘方公式整式的乘法法则4.单项式与多项式相乘的乘法法则5.多项式相乘的乘法法则6.平方差公式7.完全平方公式8.添括号法则9.同底数幂的除法法则10.单项式除单项式的法则11.多项式除以单项式法则12.因式分解的概念13.因式分解的方法（提取公因式法、公式法）八年级下册第十六章《分式》1.分式的概念2.分式的基本性质3.约分与通分4.最简分式5.分式乘除的法则6.分式加减的法则7.整数指数幂的运算性质8.分式方程的概念9.分式方程的解法10.分式方程的应用第十七章《反比例函数》1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及其性质3.反比例函数的应用第十八章《勾股定理》1.勾股定理2.勾股定理的逆定理第十九章《四边形》1.平行四边形的概念2.平行四边形的性质3.平行四边形的判定4.两条平行直线之间的距离5.矩形的概念6.矩形的判定7.矩形的性质8.菱形的概念9.菱形的性质10.菱形的判定11.正方形的概念12.正方形的性质与判定13.梯形概念14.梯形的分类15.等腰梯形的性质16.等腰绞刑的判定第二十章《数据的分析》1.平均数与加权平均数2.中位数3.众数4.方差九年级上册第二十一章《二次根式》1.二次根式的概念2.二次根式的两个重要公式3.代数式的概念4.二次根式的乘法法则5.二次根式的除法法则6.最简二次根式7.二次根式的加减法法则第二十二章《一元二次方程》1.一元二次方程的概念2.一元二次方程的根3.一元二次方程的解法（直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法）4.根的判别式5.一元二次方程根与系数的关系6.一元二次方程的应用（面积问题、连续增长问题）第二十三章《旋转》1.旋转的相关概念（旋转、旋转中心、旋转角）2.旋转的性质3.中心对称的相关概念（中心对称、对称中心、对称点）4.中心对称的性质5.中心对称图形的概念6.关于原点对称的点的坐标的特征第二十四章《圆》1.圆的相关概念（圆的两种定义、圆心、半径、弦、直径、圆弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧）2.垂径定理及其推论3.弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系定理4.圆周角的概念5.圆周角定理及其推论6.圆内接多边形的概念7.圆内接四边形的性质8.点与圆的位置关系9.三点确定一个圆10.三角形的外接圆及外心11.直线与圆的位置关系及其相关概念12.切线的性质及判定定理13.切线长定理14.圆与圆的位置关系及其相关概念15.正多边形与圆的相关概念（正三角形与圆、正方形与圆、正六边形与圆）16.弧长公式及扇形面积公式17.圆锥及圆柱的侧面积及表面积第二十五章《概率》1.随机事件、不可能事件、必然事件的概念2.随机事件的性质3.概率的概念4.概率的计算公式5.用列表法、树形图计算概率6.频率与概率的关系。

平方根和开平方（基础）知识讲解平方根和开平方（基础）【学习目标】1•了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2•了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果X2 a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数a的两个平方根可以用“,a”表示，其中,a表示a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；.a表示a的负平方根，读作“负根号a ” .要点诠释：当式子,a有意义时，a 一定表示一个非负数，即,.a > 0，a > 0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：■•一a和' a2•联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根•因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根•要点三、平方根的性质a a 0a2 | a | 0 a 0a a 0、a a a 0要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位•例如：62500 250，. 625 25，一625 2.5，.0.0625 0.25 .【典型例题】【答案】C;【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.A.因为'、25 = 5，所以本说法正确；B.因为±"二±1,所以I是I的一个平方根说法正确;C.因为±..4 2=±、、16 = ±4，所以本说法错误；D.因为'一0 = 0，■ 0 = 0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题.举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正:(1)9没有平方根•()A.5是25的算术平方根B.I2C. 4的平方根是一 4D.0是I的一个平方根的平方根与算术平方根都是类型一、平方根和算术平方根的概念(2).16 4 .( )1 1(3)( —)2的平方根是一.( )1010(4)| 2是暮的算术平方根.( )【答案】V ；x； V； x,提示：(2)皿4;(4)§是善的算术平方根. 仇、填空：(1)_________ 4是的负平方根.(2)_____________ 16表示 __________________ 的算术平方根，、.16 -(3)______________________ ；的算术平方根为 .(4)___________________ 若3，则x ____________ ，若7 3，则x .【思路点拨】(3) 1就是丄的算术平方根二-，此题求的是-的算术平方V81 81 9 9根•1 1 1【答案与解析】(1)16 ;⑵ 一；—(3)-⑷9 ; ±316 4 3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三:【变式1】下列说法中正确的有( )：①3是9的平方根. ②9的平方根是3.③4是8的正的平方根.④8是64的负的平方根.A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个【答案】B;提示：①④是正确的•【变式2】(2015?凉山州)材苟的平方根是_____________ .【答案】土 3.解：因为 -=9, 9的平方根是土3,所以答案为土 3.03、使代数式屮灯〒有意义的x的取值范围是 __________________ .【答案】x > 1 ;【解析】x + 1>0,解得x > 1.【总结升华】当式子有意义时，a一定表示一个非负数，即 a >0, a >0.举一反三:【变式】代数式y二x 3有意义，则x的取值范围是______________________ 【答案】x 3.类型二、利用平方根解方程(2015春?鄂州校级期中)求下列各式中的x值,2(1)169x =1442(2)( x - 2) - 36=0 .【思路点拨】(1)移项后，根据平方根定义求解;(2)移项后，根据平方根定义求解.【答案与解析】2解:( 1) 169x =144,2 144x =169x= 144 ■169，12x= 一13 .2(2)( x - 2) - 36=0,2(x - 2) =36,x - 2= 36 ,x - 2=±6,••• x=8 或x= - 4.【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数.类型三、平方根的应用C5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米•求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x・3 X = 13233 x =1323x 21x = - 21（舍去）答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数。

平方根（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】【高清课堂：389316 平方根，知识要点】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：a0，a≥0.2.平方根的定义如果2x a=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为0)a≥是a的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩()2a a=≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误；D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根． 2、 填空：（1）4-是 的负平方根． （2116表示 的算术平方根，116= ． （3181的算术平方根为 ． （43x =，则x = ，若23x =，则x = ．【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325 （2）8136+（3）0.040.25- （4）40.36121⋅【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6553、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________． 【答案】x ≥1-；【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.【总结升华】当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 举一反三：【变式】（2015春•中江县期中）若+（3x+y ﹣1）2=0，求5x+y 2的平方根．【答案】解：∵+（3x+y ﹣1）2=0， ∴，解得，，∴5x+y 2=5×1+（﹣2）2=9，∴5x+y 2的平方根为±=±3．类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x 值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得1442x=169开平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移项，得（x﹣2）2=36开平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝132321x=±x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.附录资料：一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34. xx>⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【高清课堂：第二讲一元一次不等式组的解法370096 例2】举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______；(2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______；(3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______．【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组(1) 313112123x x x x +<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①②（2）213(1)4x x x +>-≥-．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集． 【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x ＜-2解不等式②，得x ≥-5故原不等式组的解集为-5≤x ＜-2． 其解集在数轴上表示如图所示．（2） 原不等式可变为：213(1)3(1)4x x x x +>-⎧⎨-≥-⎩①②解①得：4x < 解②得：12x ≥-故原不等式组的解集为142x -≤<．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x名学生，根据题意，得：437611 4376132x xx x+>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（），不等式(1)的解集是：x ＜2121； 不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121， 因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵） 答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？ 【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． （1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可； （2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可． 【答案与解析】 解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本； 方案二：文学名著27本，动漫书47本； 方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【高清课堂：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？ 【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤， 又x 为整数，所以5x =或6或7， ∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆； 方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆； 方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆． （2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）； 方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）； 方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）． ∴方案1运费最少，应选方案1．。

最新人教版七年级下册数学《平方根(2)》优质教学设计一、教学目标- 理解平方根的定义和性质。

- 能够求解简单的平方根运算。

- 通过实例理解平方根在实际问题中的应用。

二、教学准备- 课件：包含平方根的定义、性质和运算规则的课件。

- 练题：准备一些简单的平方根练题，包括计算和应用题。

- 实物：提前准备好一些平方根的实物对象，如根号形状的卡片或实际物体。

三、教学过程1. 导入与引入- 利用课件引入平方根的概念，通过介绍平方根的定义和性质来激发学生的兴趣。

2. 知识输入与讲解- 给学生展示平方根的运算规则，包括简单的开平方运算以及开平方的性质。

- 通过示例演示如何计算平方根，引导学生掌握计算平方根的方法。

3. 练与巩固- 让学生进行一些简单的计算平方根的练题，帮助他们巩固所学知识。

- 鼓励学生主动提问、解答问题，培养他们的思维能力和解决问题的能力。

4. 实践应用- 设计一些实际问题，引导学生运用平方根的知识解决问题。

例如，给出一个需要测量某个地点到校园大门距离的场景，让学生使用平方根计算出准确的距离。

- 使用提前准备好的实物对象让学生模拟测量并解决实际问题，加强他们对平方根的应用理解。

5. 总结与展望- 对本堂课学到的平方根知识进行总结概括，强调其重要性和实际应用场景。

- 展望下堂课的教学内容，为学生对平方根的进一步研究提供引导和展望。

四、教学评价- 通过学生的课堂参与度、练题的正确率等来评价学生对平方根知识的掌握情况。

- 观察学生在解决实际问题时的思路和方法，评估他们对平方根应用的理解程度。

五、拓展延伸- 在下一堂课中，可以引入更复杂的平方根运算和应用，拓展学生对平方根的深入理解和运用能力。

平方根【学习目标】1. 了解平方根、算术平方根的含义；2. 会表示、计算一个数的平方根、算术平方根.【要点梳理】【高清课堂：平方根、算术平方根知识要点】知识点一、算术平方根的定义一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为√a，读作“根号a”.a叫做被开方数.要点诠释：①算术平方根一定是正数.②负数没有算术平方根.③0的算术平方根是0.知识点二、算术平方根的性质特征：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.知识点三、平方根的定义一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.要点诠释：①正数有两个平方根，它们互为相反数.② 0的平方根是0.③负数没有平方根【典型例题】类型一、算术平方根的概念1、求下列各数的算术平方根（1）100 （2）4964（3） 2. 计算下列各式的值（1）√1（2）√925（3）−√0.493. 判断下列各式是否有意义？为什么？（1）-√3（2）√−3（3）√（−3）2（4）√0练 1、求下列各数的算术平方根（1）（2）81（3）322.计算下列各式的值（1）√9（2）√22（3）±√64 813.求下列x的取值范围，使得式子有意义. （1）√x（2）√x−1（3）√x2类型二、算术平方根的比较大小1、比较下列各组数的大小：（1）与 （2）与8类型三、平方根的概念1、 求下列各数的平方根．（1）100 （2）4964 （3） (4)32 2.判断下列说法是否正确（1）0的平方根是0；（2）1的平方根是1；（3）-1的平方根是-1；（4）是的一个平方根.练 1. 求下列各数的平方根．（1）49 （2）425 （3） (4)0 2. 判断下列说法是否正确（1）5是25的算术平方根；（2）56是2536的一个平方根； （3）(−4)2的平方根是-4；（4）0的平凡根与算术平方根都是0. 类型四、解方程（1）x 2=25；（2）x 2−81=0；（3）25x 2=36．。

人教版七年级下册数学课本知识点归纳第五章相交线与平行线一、相交线两条直线相交，形成4个角。

1．邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。

具有这种关系的两个角，互为邻补角。

如：∠1、∠2。

2．对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。

如：∠1、∠3。

3．对顶角相等。

二、垂线1．垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

2．垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

3．垂足：两条垂线的交点叫垂足。

4．垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成8个角。

1．同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。

如：∠1和∠5。

2．内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。

如：∠3和∠5。

3．同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。

如：∠3和∠6。

四、平行线(一) 平行线1.平行：两条直线不相交。

互相平行的两条直线，互为平行线。

a∥b（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

）2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3.平行公理推论：①平行于同一直线的两条直线互相平行。

②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

(二)平行线的判定：1.同位角相等，两直线平行。

2.内错角相等，两直线平行。

3.同旁内角互补，两直线平行。

(三)平行线的性质1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

七年级平方根的知识点在初中数学中，平方根是一个非常基础的概念。

对于七年级的学生而言，学习平方根是非常重要的，因为它不仅是后续学习的基础，也是生活中实际需要的一种计算方法。

本文将详细介绍七年级数学中平方根的知识点。

一、平方根的概念平方根是求一个数的平方等于另一个数的运算。

例如，如果 a的平方等于 b，那么 a 就是 b 的平方根。

二、平方根的符号在数学中，平方根通常用√表示，例如，表示一个数的平方根。

当然，平方根可以用正负号表示，因为对于正数来说，一个数有两个平方根，一个是正数，一个是负数。

例如，-4 的平方等于16，所以 16 的平方根就有两个，一个是 4，一个是 -4。

三、平方根的运算法则平方根有一些运算法则，这些法则对于计算平方根非常有用。

1. 同底数相乘，指数相加。

例如，求的结果就等于。

解释一下，就是 16 和 25 的平方根分别是 4 和 5，两个数相乘就是 20，所以它们的平方根就是。

2. 同底数相除，指数相减。

例如，求的结果等于。

解释一下，就是 16 和 4 的平方根分别是 4 和 2，4 除以 2 就是 2，所以它们的平方根就是 2。

3. 同底数的幂，指数相乘。

例如，求的结果等于。

解释一下，就是 16 的平方根是 4，16 的平方是 256，所以 256 的平方根就是。

四、平方根的性质我们学习数学的时候，需要了解一些基本的性质和定理，同样，求平方根也有一些基本性质。

1. 一个数的正平方根为正数，负平方根为负数。

例如， 16 的平方根是 4，-16 的平方根是 -4。

2. 0 的平方根为 0。

因为 0 的平方等于 0，所以它的平方根就是 0。

3. 负数没有实数平方根。

因为一个数的平方是非负数，所以没有任何数的平方等于负数，因此负数没有实数平方根。

4. 一个数的平方根是无理数。

例如， 2 的平方根是无理数，即不能用两个整数组成的分数表示。

五、平方根的应用平方根不仅仅是一个数学概念，它还有很多实际应用。