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世界著名难题黎卡提(Riccati)方程的解法林文业湛江公路工程大队 邮编:52400 电话0668-8322239摘要: 对于黎卡提(Riccati)方程)()()(/2x r y x q y x p dx dy ++=,本文先将其化为二阶线性微分方程,再由《关于高阶线性微分方程的一般解法》(2000年《湛江师范学报.增刊》发表)提供的方法,求得通解。
关键词: 黎卡提(Riccati)方程；通解 一. 方程的线性化及求解对于黎卡提(Riccati)方程 )()()(/2x r y x q y x p dx dy ++= (1.1) 其中)(x p 在[]b a ,上一阶可导,且0)(≠x p ,)(x q 、)(x r 在[]b a ,上连续, a 、b 为实数。
设Y x f y )(=，0)(≠x f ，则(1.1)化为)()()()()()()()(2x f x r Y x f x f x f x q Y x f x p Y +'-+=' (1.2) 令)(1)(x p x f =,则(1.2)为 )()()()()()(2x r x p Y x p x p x q x p Y Y +'++=' 设)()()()()(x p x p x q x p x g '+=,)()()(x r x p x h =,则上式变为 )()(2x h Y x g Y Y ++=' (1.3) 设zz Y '-=(0≠z ),则(1.3)化为 z x h z x g z )()(-'='' (1.4) 令j x i z )(=,0)(≠x i ,则(1.4)化为j x i x i x i x h x i x g j x i x i x i x g j )()()()()()()()(2)()(''--'+''-='' (1.5) 令 0)(2)()(='-x i x i x g , (1.6) 则(1.4)化为j x i x i x i x h x i x g j )()()()()()(''--'='' 简记为j x k j )(='' 其中)()()()()()()(x i x i x i x h x i x g x k ''--'=(1.7)解(1.6),得 ⎰=dx x g e x i )(21)( 代入(1.7),得())(21)()(41)(2x g x h x g x k '--= (1.8) 由《关于高阶线性微分方程的一般解法》(2000年《湛江师范学报.增刊》发表)提供的方法,求得微分方程j x k j )(=''的通解为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋯⋯++⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋯⋯++⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--x a x a x a m x a x a x a x a m x a dx j x k dx dx x x k x k dx x x k x C dx j x k dx dx x k x k dx x k C x j 2)1(2222222222)1(122222221)()()()()()()()()()()())(()())((1)(其中)()()()()()(21)()()()(41)(2x r x p x p x p x q x p x p x p x q x p x k -'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=,[]b a x ,∈, 1C ,2C 为任意常数。
第十二章微分方程一、教学目标及基本要求1、了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以及积分曲线等概念。
2、掌握可分离变量微分方程的解法。
3、掌握齐次方程的解法，并知道如何解可化为齐次的方程。
4、会用微小量分析法建立微分方程解决应用问题。
5、知道解一阶线性微分方程的常数变易法，并掌握一阶非齐次线性方程的通解公式。
6、 知道一阶非齐次线性方程的通解为对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解之和。
7、会用变量代换解伯努利方程。
8、掌握判别全微分方程的条件并会用曲线积分求全微分方程的通解。
9、知道积分因子的概念并会用积分因子法求一些简单的微分方程的解。
10、掌握用降阶法解特殊类型的二阶微分方程。
11、了解函数线性无关与线性相关的概念。
12、理解二阶齐次线性方程通解的结构与二阶非齐次线性方程通解的结构，并知道n 阶线性方程的通解与有类似的结构。
13、理解线性方程解的叠加原理。
14、掌握求二阶常系数齐次线性方程的通解的方法（欧拉指数法），并了解高阶常系数齐次线性方程的解法。
15、会用待定系数法求自由项特殊的两类形式的二阶常系数非齐次线性方程的特解，并写出通解。
16、会用叠加原理，求自由项)()()(21x f x f x f +=的二阶常系数非齐次线性方程的特解。
二、本章各节教学内容及学时分配第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程 2学时第三节齐次方程 2学时第四节一阶线性微分方程 2学时第五节全微分方程 2学时第六节可降阶的高阶微分方程 2学时第七节高阶线性微分方程 2学时第八节常系数齐次微分方程 2学时第九节常系数非齐次微分方程 2学时三、本章教学内容的重点和难点1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念；2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法；3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法；4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。
四、本章教学内容的深化和拓宽：1、分离变量法的理论根据；2、方向场与几何解释；3、等斜线与图解法；4、常用的变量代换；5、怎样列微分方程解应用题；6、黎卡提方程；7、近似积分法；8、全微分方程的推广；9、二阶齐次方程；10、高阶微分方程的补充；11、刘维尔公式；12、求线性齐次方程的另一个线性无关的解；13、求线性非齐次方程的一个特解；14、常数变易法；15、欧拉公式法。
Riccati 方程秦源 S201801006通过一个学期常微分方程课的学习，我对一些有关常微分方程的理论和方程解法有了一定的了解，下面主要介绍一种比较特殊的一阶非线性微分方程：里卡蒂(Riccati)方程。
当一阶微分方程y’=f(x,y)的右端函数f(x,y)对y 是二次多项式时，称它为里卡蒂(Riccati)方程,其一般形式为)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=。
(1) 里卡蒂方程是二次的非线性微分方程，在一般情况下无法用初等积分法求解，只有对一些特殊情况，或者事先知道了它的一个特解，才可以求出其通解。
下面介绍里卡蒂方程可求解的一些特殊情况，如下：1 当p(x),q(x),r(x)都是常数时，方程(1)是变量可分离的方程，可以用分离变量法求解。
2 当p(x)≡0时，方程(1)是一阶线性微分方程，可用公式()()()⎰⎰⎰-+=dx dx x q x r C dx x q y )(exp )()(exp 求解。
3 当r (x)≡0时，方程(1)是Bernoulli 方程，也可以求解。
4 当里卡蒂方程的形式为22xb y x l ay dx dy +=+ (2) 时，可利用变量替换z=xy,将方程(2)化为变量可分离的方程b z l az dxdz x +++-=)1(2可以用分离变量法求解。
5 若已知里卡蒂方程的一个特解，则可求得它的通解。
令y=φ(x)是里卡蒂方程的一个特解，令y=u+φ(x)代入方程(1)得：)()]()[()]()(2)[()(''22x r x u x q x u x u x p x u +++++=+ϕϕϕϕ因为y=φ(x)是里卡蒂方程的特解，所以代入得：)()()()()()('2x r x x q x x p x ++=ϕϕϕ所以2)()]()()(2['u x p u x q x x p u ++=ϕ这是一个Bernoulli 方程可以求解；或者令z=1/u)()]()()(2['x p z x q x x p z -+-=ϕ这是一阶线性微分方程，我们可以求出它的通解z=Φ(x,C),然后通过变换u=1/z 以及y=u+φ(x),可得里卡蒂方程的通解。
黎卡提方程的初等解法摘要：常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具，例如化学，生物学，电子技术等等都提出大量的微分方程问题，那么就需要探讨微分方程的求解问题，本文介绍了著名的黎卡提方程的，给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示，最后举例对一些具体的黎卡提方程进行求解，及微分方程的应用举例。
关键词：黎卡提方程，变量方程，伯努利方程，线性方程0. 引言常微分方程是数学的一个重要分支，也是偏微分方程，变分法，控制论等数学分支的基础。
微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力的工具。
在17~18世纪，在力学，天文，物理和技术科学中，就已借助微分方程取得了巨大成就。
微分方程的首要问题是如何给定一个方程的通解或特解。
到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。
例如一阶微分方程中的变量分离方程、线性方程等等。
求一个方程的解最自然的想法是用初等解法求解,即把微分方程的求解问题化为积分问题,但这是不容易做到的,能用初等解法求解的微分方程为数很少,绝大部分的微分方程都无法求出通解,黎卡提方程便是其中的一个。
意大利数学家黎卡提于 1724 年给出了它的特殊形式，后来引起许多学者的研究。
达朗贝尔在 1763年给出了它的一般形式，并首先称之为“黎卡提方程”；黎卡提方程'2y =p(x)y (x)y+r(x)q + 不同于线性微分方程'y =(x)y+r(x)q 之处是还多含一项2p(x)y ，但这就大大地改变了解的性质，即初等可积性丧失了，但在特殊情况下仍旧可以利用初等积分法进行求解。
文献[2]和[3]汇集了很多可积方程和可积性成果；60年代以来，《美国数学月刊》上又连续发表了多篇关于这方面的论文；近年来《数学通报》也发表了多篇关于这一内容的文章，如[2][4]及[5]。
黎卡提方程的解法
张孟霞;郭春晓
【期刊名称】《教育教学论坛》
【年(卷),期】2017(000)045
【摘要】17世纪,意大利数学家黎卡提提出方程:dydx=p(x)+q(x)y+r(x)y2称为黎卡提方程.黎卡提方程有着重要的应用,比如,可用此方程证明贝塞尔方程的解不是初等函数;另外,它也出现在现代控制论和向量场分支理论的一些问题中.黎卡提方程自从17世纪黎卡提提出以来,历经了三百多年一直未有一般解法,虽然有众多特例解法,但是未能从根本上解决这个方程.本文主要利用无穷小生成元的思想介绍黎卡提方程的几种解法.
【总页数】2页(P164-165)
【作者】张孟霞;郭春晓
【作者单位】中国矿业大学(北京),北京 100083;中国矿业大学(北京),北京 100083【正文语种】中文
【中图分类】G642.0
【相关文献】
1.黎卡提方程有初等解法的两个充分条件 [J], 邱翠萍
2.关于黎卡提方程的一种解法 [J], 宋丽娟;孙礼信
3.两类代数黎卡提方程数值解法的研究进展 [J], 卢琳璋
4.黎卡提方程的一种解法 [J], 李仲佳
5.基于状态相关黎卡提方程的非线性协同制导律 [J], 郭志强;周绍磊;于运治;李晓宝
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编号 090901228毕业论文( 2013 届本科）题目：浅谈黎卡提的求解学院: 数学与统计学院专业：数学与应用数学作者姓名: 吴大婷指导教师：张飞羽职称：教授完成日期： 2013 年 5 月 30 日二○一三年四月浅谈黎卡提方程的求解吴大婷指导老师：张飞羽（河西学院数学与应用数学专业2013届2班28号, 甘肃张掖734000)摘要著名的黎卡提方程是一个部分可积的非线性常微分方程，本文给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件,使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示。
此外，本文还提出了黎卡提方程的另一种解法,即将它转化为二阶齐次性微分方程，再根据朗斯基定理，得出其通解.关键词黎卡提方程；初等积分法；分离变量；伯努利方程；朗斯基；中图分类号O175。
14The Solution of Riccati EquationWu Dating Instructor Zhang Feiyu(No。
28，Class 2 of 2013, Specialty of Mathematics and Applied Mathematics,Hexi University，Zhangye,Gansu，734000）Abstract: The Riccati equation is a partly interglacial differential equation。
In this paper some sufficient conditions are given that elementary integration as well as the representatives of general solutions for several Riccati equations. We also puts forward another solution for Riccati equations which turns it into two order homogeneous linear differential equation, then gets the general answer of Riccati equation basics on the Wronsky theorem。
黎卡提方程的解法作者：张孟霞，郭春晓来源：《教育教学论坛》2017年第45期摘要：17世纪，意大利数学家黎卡提提出方程：■=p（x）+q（x）y+r（x）y■称为黎卡提方程。
黎卡提方程有着重要的应用，比如，可用此方程证明贝塞尔方程的解不是初等函数；另外，它也出现在现代控制论和向量场分支理论的一些问题中。
黎卡提方程自从17世纪黎卡提提出以来，历经了三百多年一直未有一般解法，虽然有众多特例解法，但是未能从根本上解决这个方程。
本文主要利用无穷小生成元的思想介绍黎卡提方程的几种解法。
关键词：黎卡提方程；无穷小生成元；李积分因子；典型变量中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）45-0164-02一、黎卡提方程的几种等价形式黎卡提方程的一般形式为：y'=p（x）+q（x）y+r（x）y2（1）1.方程（1）可以通过变换y=-r（x）y写为：y'+y2=p（x）+q（x）y （2）其中，q=q+■，p=-rp2.方程（2）可以通过变换■=y-■q（x）写为：■'+■2=■（x）（3）其中，■=-■q'+■q2+p3.方程（2）可以通过变换y=■写为一个二阶线性方程：u"=q（x）u'+p（x）u（4）二、黎卡提方程可线性化的充分条件定理：黎卡提方程（1）可线性化的充分条件为：（A）方程（1）有形式y'=q（x）y+r （x）y2，或有形式y'=p（x）+q（x）y+k（q（x）-kp（x））y2，其中k为常数；（B）方程（1）有一个常数解。
当方程（1）满足（A）、（B）条件中的任何一个时，则方程可线性化。
例：将方程y'=q（x）y+r（x）y2（伯努利方程）线性化。
解：将方程左右两边同时除以y2可得：y-2y'=q（x）y-1+r（x）令z=y-1则上式可转化为一阶线性微分方程：z'=-q（x）z-r（x）三、黎卡提方程的通解1.黎卡提方程的性质。
黎卡提方程是dy dx=p (x )y 2+q (x )y+r (x )(1)其中p (x )在区间I 上有p (x )≠0,∀x ∈I ;则,变换u=p (x )y +12M (x )(2)将方程变成u′=u 2+f (x )(3)其中M (x )=[p (x )q (x )+p′(x )]p (x )f (x )=p (x )r (x )-14M 2(x )+12M′(x )证明:把变换(2)代入(1),即可得到(3)式。
证毕。
定义1:我们称方程x 2y″+xy′+(x 2-n 2)y=0(4)为贝赛尔方程。
定义2:贝赛尔方程(4)的一个广义幂级数解y=J n (x )=∞k =0∑(-1)kΓ(n+k +1)Γ(k +1)(x 2)2k+n称为第一类贝赛尔函数;而把(4)的另一个广义幂级数解y=J -n (x )=∞k =0∑(-1)kΓ(-n+k +1)Γ(k +1)(x 2)2k-n称为第二类贝赛尔函数。
贝赛尔函数有许多的性质,下面我们介绍两个引理,这在解题过程中是必不可少的。
引理1:当x →0时,J v (x )≅xv2vΓ(1+v )引理2:dJ v (u )du =12[J v-1(u )-J v+1(u )]=J v-1(u )-v uJ v (u )=v uJ v (u )-J v+1(u )其中J v (u )为贝赛尔函数。
介绍了一些性质和引理,无非是要求黎卡提方程(1)的解,通过变换我们已将(1)变为(3)的形式。
下面我们举个例子,看看形如(3)的方程的解法,也就是变换后黎卡提方程的解法。
案例1:dy dx=y 2+x (5)解:设z (x )=-y (x )就给出关于y 和z 之间的一个一一对应关系,而且(连续)可微的y 正好对应于(连续)可微的z 。
z′=(-y )′=-y′=-y 2-xz 2=y2则z′=-z 2-x设u (x )=e 0∫z (t )dt,显然u (x )≠0又因为u′(x )=uzu″=u′z +uz′=uz 2+u (-z 2-x )u″+ux=0(6)u (0)=1(7)以下求(6)式的解,令t =23x32u (x )=t 13v(8)其中v 为t 的未知函数。
