第4章 最优控制

便可得到使性能指标取极值的必要条件，即
ˆ (t ),U ˆ (t ), Λ ˆ (t ), t ) ∂H ( X =0 ˆ (t ) ∂U
另一必要条件为
& ˆ =− Λ
∂ ˆ (t ),U ˆ (t ), Λ ˆ (t ), t H X ˆ (t ) ∂X
f
[
]
Λ (t ) t =t = 0
例3.3
) ) ˆ ∂H ( X (t ),U (t ), Λ, t ) ˆ & ˆ (t ) Λ = − H xˆ = − = −2α 2 x ˆ (t ) ∂X
由式(c)、（d）两式消去 Λ 可得
2 α ˆ &− 2 x ˆ=0 u β
(c)
(d)
或
ˆ & − r2x ˆ=0 u
m(0)=M+F ，飞船的初始高度为 h0=x(t0) ，
初始速度
& (t 0 ) v0 = x
为状态变量，
& (t ), x3 (t ) = m(t ) 选择 x1 (t ) = x(t ), x 2 (t ) = x
可写出飞船的状态方程
&1 (t ) = x 2 (t ) x & 2 (t ) = x u (t ) −g m(t ) & 3 (t ) = m & (t ) = − ku (t ) x
按照控制对象的动态特性，选择一个容许控制，使被控对象按照技 术要求运行，并使给定的性能指标达到最优值。
核心
是选择控制函数 u(x) ,
使
Ｊ 取 极值
控制系统最优化问题，包括性能指标的合理选择以及最优化控制 系统的设计，而性能指标在很大程度上决定了最优控制性能和最优控 制形式。
4.2 最优控制问题的提法和数学模型
将上式代入式
δJ = ∫ (δX T
t0
tf
∂F ∂F + δU T ) dt = 0 ∂X ∂U
并令
ˆ (t ),U ˆ (t ), t ) tf ∂F ( X T ˆ dt Λ (τ ) = ∫ Φ (t ,τ ) t0 ˆ ∂X (t )
且
ˆ (τ ) Λ
τ =t f
=0
引入哈密顿函数
ˆ (t ), U ˆ (t ), t ) + Λ ˆT (t ) f ( X ˆ (t ), U ˆ (t ), t ) H ( X (t ), U (t ), Λ (t ), t ) = F ( X
3.3 求解最优控制问题的变分方法
设系统的状态方程和初始条件为
& (t ) = f ( X , U , t ), X
X ( 0) = X 0
欲求 U (t )，使系统从初态 X (t 0 ) = X 0 转移到终态 X (t f ) ，并使
J = ∫ F ( X , U , t ) dt
t0
tf
达到极小（或极大）， 式中 X (t ) 为 n 维状态矢量；U (t ) 为 r 维控制矢量；
且使性能指标 J 为极小 对这样的控制
ˆ (t ) 称为系统的最优控制。 u
最优控制规律通常取决于，初始状态或初始输出、希望的状态或希望的 输出、约束的性质、性能指标的性质等。因此在一种性能指标下的最优 控制对另一种性能指标来说，它不一定是最优的。
3. 性能指标 J
在最优控制问题中，性能指标是非常重要的。因为性能指标的形 式，决定了最优控制的形式和复杂程度，它直接影响到实际系统中实现 最优控制的可能性。 性能指标的确定既要考虑到它能确切地评价系统的性能，又要考虑 到数学上处理的方便以及工程上的可能性。 由于实际系统千差万别，要求又各不相同。因此要提出一个统一的 性能指标是困难的。在一般情况下，应对不同的问题，选择不同型式的 性能指标。 在拉格伦日（Lagrange）问题中，性能指标取以下形式
设如图3-3所示单积分系统的运动方程为
&=u x
试求使系统从状态 x(0) = x0
tf
& u= x
(a)
转移到 x (t f ) = x f
1/S
x
的性能指标
J = ∫ (α 2 x 2 + β 2 u 2 )dt
0
(b)
为极小时的最优控制u 。
解: 将式 (a)、(b)两式与式
& (t ) = f ( X , U , t ), X
f ( X , U , t ) 为 n 维连续可微矢量函数，它应具有一阶偏导数。
为了方便起见，定义 xi (t ), u j (t ) 的一阶变分，分别为 定义J 的一阶变分为
δxi , δui
∂F r ∂F δJ = ∫t0 (∑ δxi )dt + ∑ δu j ∂u j ∂xi j =1 i =1
Ｊ 下的最优拦截问题
2. 最优控制问题的描述：
对于状态方程
& (t ) = AX (t ) + B(t )u (t ) X
和约束条件
u (t ) ∈ Ω ⊆ R
m
决定的系统
，
ˆ (t ) ∈ Ω 最优控制问题是寻求一个满足约束条件的控制矢量 u
使控制系统从
X (t 0 ) = X 0
X (t f ) ∈ S
其初始条件为
x1 (t 0 ) = x10 x 2 (t 0 ) = x 20
可把研究的问题变为： 寻找一个满足约束条件 u (t ) < K 初态 X (t 0 ) = {x10 , x 20 }
T
的控制作用力，使物体在最短的时间内从 终态 X (t f ) = {x1 (t f ), x 2 (t f )} = {0,0}
α(t)是包括空气动力与地心引力所产生的加速度在内的相对加速度向
量，它是x(t)、v(t) 的函数，也可看成是时间的函数。 设 m(t)是拦截器的质量， f(t)是其推力的大小。用 u 表示拦截器推力方向
的单位矢量。C是有效喷气速度，可看作常数。
则 拦截与目标的相对运动方程可写成

& =v x & = α (t ) + v
M 的运动微分方程式
M
u(t)
d2x = u (t ) − g 2 dt
选择
x(t)
& (t ) = x &1 (t ) x1 (t ) = x(t ), x 2 (t ) = x
为状态变量，
可写出 M 的状态方程
dx1 (t ) = x 2 (t ) dt dx 2 (t ) = u (t ) − g dt
J = ∫ F ( X , U , t ) dt
t0
tf
若要突出系统终态性能的影响，性能指标可取
J = Φ X (t f ) + ∫ F ( X , U , t )dt
t0
[
]
tf
二次型性能指标
J = ∫ ( X T QX + U T RU + ⋅ ⋅ ⋅)dt
t0
tf
Q 和 R 是正定实对称矩阵，又称为加权矩阵。
∂f A= ∂X
控制矩阵
∂f B= ∂U
令 Φ (t , t 0 ) 是式（3-17）的状态转移矩阵 状态方程式
∂f ∂f d (δX ) = δX + δU ∂U dt ∂X
t
的非齐次解可以表示为
∂f ( X (τ ),U (τ ),τ ) δU (τ )dτ δX = Φ(t , t0 )δX t =t + ∫ Φ(t ,τ ) 0 t0 ∂U (τ ) t ∂f ( X (τ ),U (τ ),τ ) δU (τ )dτ = ∫ Φ (t ,τ ) t0 ∂U (τ )
取Q和R为对角矩阵，设Q和R的元各为 q1 , q 2 ,..., q n 和 r1 , r2 ,..., rn 。 则二次型性能指标可写为
2 2 J = ∫ (q1 x12 + q 2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + r1u12 + r2 u 2 + ⋅ ⋅ ⋅)dt t0 tf
式中的变量可以代表各色各样的物理量。 被积函数中，控制作用u的平方具有能量的意义，使性能指标为最小， 意味着所需的控制能量为最小。用加权矩阵Q和R对这两部分变量加权，以 便使这两部分在性能指标中所占的比重不同。不同的比重表示这两部分中 对那一部分的要求更严格些。如果在控制过程中，还要求其它变量为最 小，可以将这些变量以二次型的形式一一列入性能指标中。
T
∂F ∂F ∂F ∂F = , ,⋅ ⋅ ⋅, ∂U ∂u1 ∂u 2 ∂u n
ˆ (t ) U (t ) = U
若
ˆ (t ) X (t ) = X
是所求的最优控制和最优轨线，
则性能指标达到极值的必要条件为一阶变分等于零，即
δJ = ∫
tf
t0
∂F T ∂F (δX ) dt = 0 + δU ∂X ∂U
要求控制拦截器从相对目标的初始状态出发，于某终点时刻 tf 与目标相遇（拦截） 即 且应满足
x(t f ) = 0
m(t f ) ≥ me
me 燃料耗尽后火箭的质量
为实现快速拦截，并消耗燃料最少，综合考虑这两种要求，取性能指标为
J=
∫
tf
t0
[C1 + f (t )]dt
问题归结为： 选择 f(t), u(t) 和 tf ，除实现拦截外还要使规定的性能消耗率成 正比的比例常数
初始条件:t=t0时
&1 (t 0 ) = v0 x1 (t 0 ) = h0 , x 2 (t 0 ) = x m(0) = M + F
端点条件: t=tf时
&1 (t f ) = 0 x1 (t f ) = 0, x2 (t f ) = x