下载文档原格式
2016年广西桂林市、崇左市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|（x+1）（3﹣x）＞0}，集合B＝{x|1﹣x＞0}，则A∩B 等于（）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）2．（5分）在复平面内，复数﹣2i2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知双曲线﹣＝1（b＞0）的离心率等于b，则该双曲线的焦距为（）A．2B．2C．6D．84．（5分）已知＜α＜π，3sin2α＝2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）A．﹣2B．﹣2或﹣1C．1或﹣3D．﹣2或6．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．47．（5分）（x2﹣2）（1+）5的展开式中x﹣1的系数为（）A．60B．50C．40D．208．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．f（x）＝sin（x+）B．f（x）＝sin（x+）C．f（x）＝sin（x+）D．f（x）＝sin（x﹣）9．（5分）高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．10．（5分）若x log52≥﹣1，则函数f（x）＝4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．011．（5分）过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|P A|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为（）A．B．C．D．212．（5分）若函数f（x）＝（x2﹣cx+5）e x在区间[，4]上单调递增，则实数c 的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，8]D．[﹣2，4]二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，的夹角为，||＝，||＝2，则•（﹣2）＝．14．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱DC的中点，则D1P 与BC1所在的直线所成角的余弦值等于．15．（5分）包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，则甲与乙、丙都相邻的概率为．16．（5分）已知三角形ABC中，三边长分别是a，b，c，面积S＝a2﹣（b﹣c）2，b+c＝8，则S的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝a n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝2log3+1，求++…+．18．（12分）某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计产品A，产品B为正品的概率；（2）生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元；在（1）的前提下．记X 为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE＝EP．（1）证明：AC⊥DE；（2）若PC＝BC，求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得△BFM与△BFN的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．请考生在第22.23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F （不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．（1）求证：∠BAC＝∠CAG；（2）求证：AC2＝AE•AF．选修4--4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1：ρ＝2sinθ，曲线（t为参数）（I）化C1为直角坐标方程，化C2为普通方程；（II）若M为曲线C2与x轴的交点，N为曲线C1上一动点，求|MN|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝+ax（a＞0）在（1，+∞）上的最小值为15，函数g （x）＝|x+a|+|x+1|．（1）求实数a的值；（2）求函数g（x）的最小值．2016年广西桂林市、崇左市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|（x+1）（3﹣x）＞0}，集合B＝{x|1﹣x＞0}，则A∩B 等于（）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）【解答】解：A＝{x|（x+1）（3﹣x）＞0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|1﹣x＞0}＝{x|x＜1}，则A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}＝（﹣1，1）．故选：D．2．（5分）在复平面内，复数﹣2i2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数﹣2i2＝+2＝3+i，对应的点（3，1）位于第一象限．故选：A．3．（5分）已知双曲线﹣＝1（b＞0）的离心率等于b，则该双曲线的焦距为（）A．2B．2C．6D．8【解答】解：设双曲线﹣＝1（b＞0）的焦距为2c，由已知得，a＝2；又离心率e＝＝b，且c2＝4+b2，解得c＝4；所以该双曲线的焦距为2c＝8．故选：D．4．（5分）已知＜α＜π，3sin2α＝2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵＜α＜π，3sin2α＝2cosα，∴sinα＝，cosα＝﹣．∴cos（α﹣π）＝﹣cosα＝﹣（﹣）＝，故选：C．5．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）A．﹣2B．﹣2或﹣1C．1或﹣3D．﹣2或【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y＝的函数值．当x≤0时，由y＝（）x﹣4＝0，可得：x＝﹣2；当x＞0时，由y＝log+1＝0，可得：x＝；故选：D．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（﹣1，﹣2），验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z＝2x+y过点A（1，0）时，z最大是2，故选：B．7．（5分）（x2﹣2）（1+）5的展开式中x﹣1的系数为（）A．60B．50C．40D．20【解答】解：（x2﹣2）（1+）5＝（x2﹣2）[+•+•+•+•+•]，故展开式中x﹣1的系数为23•﹣2•2＝60，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．f（x）＝sin（x+）B．f（x）＝sin（x+）C．f（x）＝sin（x+）D．f（x）＝sin（x﹣）【解答】解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象可得0＜A＜1，T＝＞2π，求得0＜ω＜1．再根据f（2π）＜0，结合所给的选项，故选：B．9．（5分）高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为＝2，∴原直三棱柱的体积为2×4＝8．由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积＝6，由俯视图可知四棱锥的高为2，∴四棱锥的体积为＝4．∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为．故选：C．10．（5分）若x log52≥﹣1，则函数f（x）＝4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．0【解答】解：x log52≥﹣1，即为x≥﹣log25，2x≥，令t＝2x（t≥），即有y＝t2﹣2t﹣3＝（t﹣1）2﹣4，当t＝1≥，即x＝0时，取得最小值﹣4．故选：A．11．（5分）过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|P A|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为（）A．B．C．D．2【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则分别过A，B作直线x＝﹣2的垂线，垂足分别为D，E．∵|P A|＝|AB|，∴3（x1+2）＝x2+2，3y1＝y2，y12＝4x1，y22＝4x2，∴x1＝，∴点A到抛物线C的焦点的距离为1+＝．故选：A．12．（5分）若函数f（x）＝（x2﹣cx+5）e x在区间[，4]上单调递增，则实数c 的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，8]D．[﹣2，4]【解答】解：若函数f（x）＝（x2﹣cx+5）e x在区间[，4]上单调递增，则f′（x）＝[x2+（2﹣c）x+（5﹣c）]e x≥0在区间[，4]上恒成立，即x2+（2﹣c）x+（5﹣c）≥0在区间[，4]上恒成立，即c≤在区间[，4]上恒成立，令g（x）＝，则g′（x）＝，令g′（x）＝0，则x＝1，或﹣3，当x∈[，1）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；当x∈（1，4]时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；故当x＝1时，g（x）取最小值4，故c∈（﹣∞，4]，故选：B．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，的夹角为，||＝，||＝2，则•（﹣2）＝6．【解答】解：＝＝﹣2，2＝||2＝2，∴•（﹣2）＝2﹣2＝2+2×2＝6．故答案为：6．14．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱DC的中点，则D1P与BC1所在的直线所成角的余弦值等于．【解答】解：连结AD1、AP，∵AD1∥BC1，∴∠AD1P就是D1P与BC1所在的直线所成角，设AB＝2，则AP＝D1P＝，AD1＝，∴cos∠AD1P＝＝＝．∴D1P与BC1所在的直线所成角的余弦值等于．故答案为：．15．（5分）包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，则甲与乙、丙都相邻的概率为．【解答】解：包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，基本事件总数n＝，甲与乙、丙都相邻包含的基本事件个数m＝＝4，∴甲与乙、丙都相邻的概率p＝．故答案为：．16．（5分）已知三角形ABC中，三边长分别是a，b，c，面积S＝a2﹣（b﹣c）2，b+c＝8，则S的最大值是．【解答】解：∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即a2﹣b2﹣c2＝﹣2bc cos A，S△ABC＝bc sin A，∴分别代入已知等式得：bc sin A＝2bc﹣2bc cos A，即sin A＝4﹣4cos A，代入sin2A+cos2A＝1得：cos A＝，∴sin A＝，∵b+c＝8，∴c＝8﹣b，＝bc sin A＝bc＝b（8﹣b）≤•（）2＝，当且仅当b＝8∴S△ABC﹣b，即b＝4时取等号，则△ABC面积S的最大值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝a n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝2log3+1，求++…+．【解答】解：（1）∵S n＝a n﹣1（n∈N*），∴当n＝1时，﹣1，解得a1＝2．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣1﹣，化为a n＝3a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为3．∴a n＝2×3n﹣1．（2）b n＝2log3+1＝2n﹣1，∴＝＝．++…+＝++…+＝＝．18．（12分）某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计产品A，产品B为正品的概率；（2）生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元；在（1）的前提下．记X 为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由检测结果统计表，得产品A为正品的概率为：＝，产品B为正品的概率为：＝．（2）随机变量X的所有取值为180，90，60，﹣30，P（X＝180）＝＝，P（X＝90）＝＝，P（X＝60）＝＝，P（X＝﹣30）＝＝，∴X的分布列为：E（X）＝＝132．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE＝EP．（1）证明：AC⊥DE；（2）若PC＝BC，求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴PD⊥AC∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PD、BD是平面PBD内的相交直线，∴AC⊥平面PBD∵DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE（2）分别以DP、DA、DC所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示设BC＝3，则CP＝3，DP＝3，结合2BE＝EP可得D（0，0，0），A（0，3，0），C（0，0，3），P（3，0，0），E（1，2，2）∴＝（0，3，﹣3），＝（3，0，﹣3），＝（1，2，﹣1）设平面ACP的一个法向量为＝（x，y，z），可得，取x＝1得＝（1，1，1）同理求得平面ACE的一个法向量为＝（﹣1，1，1）∵cos＜，＞＝＝，∴二面角E﹣AC﹣P的余弦值等于20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得△BFM与△BFN的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知得c＝1，a＝2c＝2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴＝，∴椭圆C的方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）△BFM与△BFN的面积比值为2等价于FM与FN比值为2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当直线l斜率不存在时，FM与FN比值为1，不符合题意，舍去；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），直线l的方程代入椭圆方程，消x并整理得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2＝﹣①，y1y2＝﹣②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）由FM与FN比值为2得y1＝﹣2y2③由①②③解得k＝±，因此存在直线l：y＝±（x﹣1）使得△BFM与△BFN的面积比值为2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）21．（12分）已知函数f（x）＝+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）因为，（2分）当a＝1，，令f'（x）＝0，得x＝1，（3分）又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：所以x＝1时，f（x）的极小值为1．（5分）f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分）（II）因为，且a≠0，令f'（x）＝0，得到，若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（7分）（1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，故f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得，即（9分）（2）当a＞0时，①若，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为，显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立（11分）②若，即1＞时，则有所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．（14分）请考生在第22.23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F （不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．（1）求证：∠BAC＝∠CAG；（2）求证：AC2＝AE•AF．【解答】证明：（1）连接BC，∵AB为⊙O的直径…（2分）∴∠ACB＝90°⇒∠ECB+∠ACG＝90°…（1分）∵GC与⊙O相切于C，∴∠ECB＝∠BAC∴∠BAC+∠ACG＝90°…（4分）又∵AG⊥CG⇒∠CAG+∠ACG＝90°∴∠BAC＝∠CAG…（6分）（2）由（1）可知∠EAC＝∠CAF，连接CF∵GE与⊙O相切于C，∴∠GCF＝∠CAF＝∠BAC＝∠ECB∵∠AFC＝∠GCF+90°，∠ACE＝∠ECB+90°∴∠AFC＝∠ACE…（8分）∵∠F AC＝∠CAE∴△F AC∽△CAE…（10分）∴∴AC2＝AE•AF…（12分）选修4--4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1：ρ＝2sinθ，曲线（t为参数）（I）化C1为直角坐标方程，化C2为普通方程；（II）若M为曲线C2与x轴的交点，N为曲线C1上一动点，求|MN|的最大值．【解答】解：（I）曲线C1的极坐标化为ρ2＝2ρsinθ又x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ所以曲线C1的直角坐标方程x2+y2﹣2y＝0因为曲线C2的参数方程是，消去参数t得曲线C2的普通方程4x+3y﹣8＝0（II）因为曲线C2为直线令y＝0，得x＝2，即M点的坐标为（2，0）曲线C 1为圆，其圆心坐标为C1（0，1），半径r＝1，则∴，|MN|的最大值为选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝+ax（a＞0）在（1，+∞）上的最小值为15，函数g （x）＝|x+a|+|x+1|．（1）求实数a的值；（2）求函数g（x）的最小值．【解答】解：（1）f（x）＝+ax（a＞0，x＞1）＝a[（x﹣1）++1]≥a（2+1）＝3a，当且仅当x＝2时，取得最小值3a，由题意可得3a＝15，解得a＝5；（2）函数g（x）＝|x+a|+|x+1|＝|x+5|+|x+1|，由|x+5|+|x+1|≥|（x+5）﹣（x+1）|＝4，当且仅当（x+5）（x+1）≤0，即﹣5≤x≤﹣1时，取得等号．则g（x）的最小值为4．。
2016年广西柳州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足zi＝，则复数z的模|z|＝（）A．B．4C．D．22．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝2x2﹣（，则f（1）的值是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．33．（5分）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A ∪B），则p是q的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值＝（）A．1B．C．D．5．（5分）已知α、β为两个平面，l为直线．若α⊥β，α∩β＝l，则（）A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线I的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直6．（5分）已知等比数列{a n}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为（）A．2B．4C．8D．167．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．119．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的对称轴完全相同，则φ＝（）A．﹣B．C．D．﹣10．（5分）如图所示，A，B，C是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BF⊥AC，且||＝a，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．311．（5分）已知函数f（x）＝kx，g（x）＝，若∃x i∈[，e]，（i＝1，2）使得f（x i）＝g（x i），（i＝1，2），则实数k的取值范围是（）A．[，）B．[，]C．（0，）D．（，+∞）12．（5分）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥与其外接球的体积比是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知向量＝（x2﹣1，2+x），＝（x，1），若∥，则x＝．14．（5分）设二项式（x﹣）6的展开式中x2的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a＝．15．（5分）2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为米．16．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点（在第一象限内），若以PF为直径的圆的圆心在直线x+y＝2上，则此圆的半径为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n＝（3n﹣1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）2013年4月14日，CCTV财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？（Ⅱ）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：参考公式：k2＝．19．（12分）如图，已知平面QBC与直线P A均垂直于Rt△ABC所在平面，且P A＝AB＝AC．（1）求证：P A∥平面QBC；（2）若PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的钝二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2及椭圆的短轴端点为顶点的三角形是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1（Ⅰ）求椭圆E的方程：（Ⅱ）如图，直线l与椭圆E有且只有一个公共点M，且交于y轴于点P，过点M作垂直于l的直线交y轴于点Q，求证：F1，Q，F2，M，P五点共圆．21．（12分）已知函数f（x）＝|e x﹣bx|，其中e为自然对数的底数．（1）当b＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）当b＞0时，判断函数y＝f（x）在区间（0，2）上是否存在极大值．若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF2＝F A•FB，证明：EF∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）是曲线C1上的两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．2016年广西柳州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足zi＝，则复数z的模|z|＝（）A．B．4C．D．2【解答】解：∵zi＝＝1﹣2i，∴z＝﹣2﹣i，则复数z的模|z|＝＝，故选：C．2．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝2x2﹣（，则f（1）的值是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣（2（﹣1）2﹣）＝﹣3，故选：A．3．（5分）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A ∪B），则p是q的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x∈A，且x∉（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，若x∉（A∪B，则x∉（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C．4．（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值＝（）A．1B．C．D．【解答】解：根据茎叶图，得；乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m＝3；甲的平均数是＝（27+39+33）＝33，乙的平均数是＝（20+n+32+34+38）＝33，∴n＝8；∴＝．故选：D．5．（5分）已知α、β为两个平面，l为直线．若α⊥β，α∩β＝l，则（）A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线I的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直【解答】解：由α⊥β，α∩β＝l，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；垂直于平面β的平面一定平行于直线l或垂直于直线l，故C不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D 正确．故选：D．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：设等比数列{a n}的公比是q，由a3＝2，a4a6＝16得，a1q2＝2，a1q3a1q5＝16，则a1＝1，q2＝2，∴＝＝4，故选：B．7．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品（A1）与仅第二个实习生加工一等品（A2）两种情况，则P（A）＝P（A1）+P（A2）＝，故选：B．8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．11【解答】解：模拟执行程序，可得i＝1，S＝0S＝lg3，不满足条件1＜S，执行循环体，i＝3，S＝lg3+lg＝lg5，不满足条件1＜S，执行循环体，i＝5，S＝lg5+lg＝lg7，不满足条件1＜S，执行循环体，i＝7，S＝lg5+lg＝lg9，不满足条件1＜S，执行循环体，i＝9，S＝lg9+lg＝lg11，满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．故选：B．9．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的对称轴完全相同，则φ＝（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：∵函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的对称轴完全相同，故它们的周期相同，即＝，∴ω＝2．故函数f（x）＝2sin（2x+）（ω＞0），函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）．令2x+＝kπ+，求得x＝+，可得f（x）的图象的对称轴为x＝+，k∈Z．令2x+＝kπ，求得x＝﹣，可得f（x）的图象的对称轴为x＝﹣，k∈Z．故有﹣＝，∴φ＝﹣，故选：A．10．（5分）如图所示，A，B，C是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BF⊥AC，且||＝a，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．3【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，则四边形F1BF A是矩形，由|AF|＝a，|AF1|﹣|AF|＝2a，可得|AF1|＝3a．又|AF|＝|BF1|＝a，在直角三角形BF1F中，（3a）2+a2＝4c2，解得e＝．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）＝kx，g（x）＝，若∃x i∈[，e]，（i＝1，2）使得f（x i）＝g（x i），（i＝1，2），则实数k的取值范围是（）A．[，）B．[，]C．（0，）D．（，+∞）【解答】解：由f（x）＝g（x）得，k＝，令t（x）＝，由t′（x）＝＝0得x＝，故t（x）在[，]上单调递增，在[，e]上单调递减，又t（）＝，t（）＝﹣e2，t（e）＝，故∃x i∈[，e]，（i＝1，2）使得f（x i）＝g（x i），（i＝1，2），则实数k的取值范围是[，），故选：A．12．（5分）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥与其外接球的体积比是（）A．B．C．D．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥P﹣ABCD，如图所示：由图知该棱锥是正方体的一部分，且正方体的棱长是2，∴正方体和四棱锥的外接球相同，设外接球的半径是R，则2R＝2，得R＝，＝＝4，∴外接球的体积V球∵BC＝AD＝，AB⊥AD，∴矩形ABCD的面积S＝4，∵CD⊥平面PBC，∴P到平面ABCD的距离是等腰直角△PBC斜边BC的高，为，∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝＝，锥∴此棱锥与其外接球的体积比是：＝，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知向量＝（x2﹣1，2+x），＝（x，1），若∥，则x＝．【解答】解：∵＝（x2﹣1，2+x），＝（x，1），由∥，得（x2﹣1）﹣x•（2+x）＝0，解得：．故答案为：．14．（5分）设二项式（x﹣）6的展开式中x2的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a＝﹣3．【解答】解：因为二项式（x﹣）6的展开式中x2的系数为A＝＝15a2；常数项为B＝﹣＝﹣20a3；因为B＝4A，所以﹣20a3＝4×15a2；所以a＝﹣3．故答案为：﹣3．15．（5分）2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为30米．【解答】解：设旗杆高为h米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则．在△ABC中，，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理得，，故h＝30．故答案为：3016．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点（在第一象限内），若以PF为直径的圆的圆心在直线x+y＝2上，则此圆的半径为1．【解答】解：如图，由抛物线y2＝4x，得其焦点F（1，0），设P（）（y0＞0），则PF的中点为（）＝（），由题意可知，点（）在直线x+y＝2上，∴，解得：y0＝2．∴P（1，2），则圆的半径为．故答案为：1．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n＝（3n﹣1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵S n＝（3n﹣1），∴a1＝S1＝＝3．＝（3n﹣1）﹣，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1化为：a n＝3n．当n＝1时，上式也成立．∴a n＝3n．（2）b n＝na n＝n•3n．∴数列{b n}的前n项和T n＝3+2×32+3×33+…+n•3n，∴3T n＝32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n×3n+1，上两式作差可得﹣2T n＝3+32+33+…+3n﹣n×3n+1＝﹣n×3n+1＝×3n+1﹣，∴T n＝+．18．（12分）2013年4月14日，CCTV财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？（Ⅱ）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：参考公式：k2＝．【解答】解：（Ⅰ）s＝40﹣25＝15，t＝30﹣25＝5 …（2分）假设：是否使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关，由已知数据可求得：K2＝≈7.5＞6.635因此，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关．…（6分）（Ⅱ）用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为，“混凝土耐久性不达标”的为1．“混凝土耐久性达标”的记为A1，A2，A3，A4，A5，“混凝土耐久性不达标”的记为B．从这6个样本中任取2个，共有15可能，设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件A，它的对立事件为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，包含（A1，B），（A2，B），（A3，B），（A4，B），（A5，B）共5种可能，所以P（A）＝1﹣P（）＝．则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是．…（12分）19．（12分）如图，已知平面QBC与直线P A均垂直于Rt△ABC所在平面，且P A＝AB＝AC．（1）求证：P A∥平面QBC；（2）若PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的钝二面角的余弦值．【解答】解：（I）证明：过点Q作QD⊥BC于点D，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，又∵P A⊥平面ABC，∴QD∥P A，又∵QD⊂平面QBC，P A⊄平面QBC，∴P A∥平面QBC．（Ⅱ）方法一：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB＝∠PQC＝90°，又∵PB＝PC，PQ＝PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ＝CQ．∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形P ADQ是矩形．设P A＝2a，∴，PB＝2a，∴．过Q作QR⊥PB于点R，∴QR＝＝，＝＝，取PB中点M，连接AM，取P A的中点N，连接RN，∵PR＝，，∴MA∥RN．∵P A＝AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB．∴∠QRN为二面角Q﹣PB﹣A的平面角．连接QN，则QN＝＝＝．又，∴cos∠QRN＝＝＝．即二面角Q﹣PB﹣A的余弦值为．（2）方法二：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB＝∠PQC＝90°，又∵PB＝PC，PQ＝PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ＝CQ．∴点D是BC的中点，连AD，则AD⊥BC．∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形P ADQ是矩形．∴AD⊥BC，分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设P A＝2，则Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2），设平面QPB的法向量为．∵＝（1，1，0），＝（0，2，﹣2）．∴令x＝1，则y＝z＝﹣1．又∵平面P AB的法向量为．设二面角Q﹣PB﹣A为θ，则|cosθ|＝＝＝，又∵二面角Q﹣PB﹣A是钝角，∴．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2及椭圆的短轴端点为顶点的三角形是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1（Ⅰ）求椭圆E的方程：（Ⅱ）如图，直线l与椭圆E有且只有一个公共点M，且交于y轴于点P，过点M作垂直于l的直线交y轴于点Q，求证：F1，Q，F2，M，P五点共圆．【解答】（Ⅰ）解：如图，∵△AF1F2是等边三角形，∴a＝2c，又∵椭圆的右顶点到右焦点的距离为1，∴a﹣c＝1，则a＝2，c＝1，从而b＝，故椭圆E的方程为：；（Ⅱ）证明：依题意，直线l的斜率必存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx+m，由，得（4k2+3）x2+8mkx+4m2﹣12＝0．令△＝0，即64m2k2﹣16（4k2+3）（m2﹣3）＝0，化简得：m2＝4k2+3＞0．设M（x1，y1），则，即．即M（）．又∵直线MQ⊥PM，∴直线MQ的方程为．由，得Q（0，），又由，得P（0，m）．由（Ⅰ）知，F1（﹣1，0），F2（1，0），∴，．∴，．∴PF2⊥QF2，PF1⊥QF1，又PM⊥QM，∴点F1，Q，F2，M，P都在以PQ为直径的圆上．故F1，Q，F2，M，P五点共圆．21．（12分）已知函数f（x）＝|e x﹣bx|，其中e为自然对数的底数．（1）当b＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）当b＞0时，判断函数y＝f（x）在区间（0，2）上是否存在极大值．若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围．【解答】解：（1）记g（x）＝e x﹣bx．当b＝1时，g′（x）＝e x﹣x．当x＞0时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上为增函数．又g（0）＝1＞0，所以当x∈（0，+∞）时，g（x）＞0．所以当x∈（0，+∞）时，f（x）＝|g（x）|＝g（x），所以f′（1）＝g′（1）＝e﹣1．所以曲线y＝f（x）在点（1，e﹣1）处的切线方程为：y﹣（e﹣1）＝（e﹣1）（x ﹣1），即y＝（e﹣1）x．…（6分）（2）由g′（x）＝e x﹣b＝0，得x＝lnb．当x∈（﹣∞，lnb）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．当x∈（lnb，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．所以在x＝lnb时，g（x）取极小值g（lnb）＝b﹣blnb＝b（1﹣lnb）．①当0＜b≤e时，g（lnb）＝b﹣blnb＝b（1﹣lnb）≥0，从而当x∈R时，g（x）≥0．所以f（x）＝|g（x）|＝g（x）在（﹣∞，+∞）上无极大值．因此，在x∈（0，2）上也无极大值．…（8分）②当b＞e时，g（lnb）＜0．因为g（0）＝1＞0，g（2lnb）＝b2﹣2blnb＝b（b﹣2lnb）＞0，（令k（x）＝x﹣2lnx．由k′（x）＝1﹣＝0得x＝2，从而当x∈（2，+∞）时，k（x）单调递增，又k（e）＝e﹣2＞0，所以当b＞e时，b﹣2lnb＞0．）所以存在x1∈（0，lnb），x2∈（lnb，2lnb），使得g（x1）＝g（x2）＝0．此时f（x）＝|g（x）|，所以f（x）在（﹣∞，x1）单调递减，在（x1，lnb）上单调递增，在（lnb，x2）单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．…（12分）所以在x＝lnb时，f（x）有极大值．因为x∈（0，2），所以当lnb＜2，即e＜b＜e2时，f（x）在（0，2）上有极大值；当lnb≥2，即b≥e2时，f（x）在（0，2）上不存在极大值．综上所述，在区间（0，2）上，当0＜b≤e或b≥e2时，函数y＝f（x）不存在极大值；当e＜b＜e2时，函数y＝f（x），在x＝lnb时取极大值f（lnb）＝b（lnb﹣1）．…（14分）[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF2＝F A•FB，证明：EF∥CD．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD＝∠EAB，∠EDC＝∠B∴△EDC∽△EBA，可得，∴，即∴（Ⅱ）∵EF2＝F A•FB，∴，又∵∠EF A＝∠BFE，∴△F AE∽△FEB，可得∠FEA＝∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠EBF，∴∠FEA＝∠EDC，∴EF∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）是曲线C1上的两点，求的值．（1）曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），普通方程为．【解答】解：曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点，曲线C2的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）曲线C1的极坐标方程为，所以＝+＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）＝|x﹣a|，a＜0，则f（x）+f（﹣）＝|x﹣a|+|﹣﹣a|＝|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|＝|x+|＝|x|+≥2＝2．（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）＝|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．当x≤a时，f（x）＝a﹣x+a﹣2x＝2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a＜x＜时，f（x）＝x﹣a+a﹣2x＝﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x时，f（x）＝x﹣a+2x﹣a＝3x﹣2a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞），不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围是（﹣1，0）．。
2015-2016学年广西来宾市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 复数z= （3- 2i）i，则z-2一=（）A .- 2 - 9iB .- 2+9i C. 2 - 9i D. 2+9i22. 已知集合A={y|y=x } , B={x|y=lg （1 - x）}，则A Q B=（）A. [ 0, 1] B . [0, 1）C. （-a, 1）D. （-a, 1]3. 某市8所中学生参加比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（）8S 79 1 7 4 2 0 3A. 91 5.5B. 91 5C. 92 5.5D. 92 54. 在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）5. 设函数f （x）JF:*〈，则不等式f （x）< 2的解集为（）1 - lo g2X,A . （0，1] U（2，+a）B . [ 0，+a）C . [0，1]D . （0，+a）6. （x< ）（2x - ）5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（）A . - 40B . - 20C . 20D . 407. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形,A . 2cm2B . 9 ? cm3C . 37 F em3D . 3cm3则这个几何体的体积是（）&函数y=Asin （w x+ ^）（A>0, w>0, 0v X n）的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（）左视囹第1页（共20页）K 3Hy=3sin (——x+ ) 4 4 n 37TD • y=3sin (p x+)则该程序运行后输出的k 值是(A . 5B . 6C . 7D . 810.已知P 是直线；3x+4y+13=0的动点，PA 是圆C : x 2+y 2- 2x - 2y - 2=0的一条切线，A 是切点，那么△ PAC 的面积的最小值是（ ）A . 5 二B . 4 二C . 3=D . 2 二_11. 已知 A , B , C , D 均在球 O 的球面上，AB=BC=1 , AC=.，若三棱锥 D - ABC 体积的最大值是•则球O 的表面积为（）4■- n B 12. 设函数f' (x )是奇函数f(x ) (x €R )的导函数，f (- 1) =0,当x >0时，xf'(x )-f (X )v 0,则使得f (x )> 0成立的x 的取值范围是( )A . (-s,- 1 )U( 0, 1)B . (- 1 , 0)U( 1, +s)C . (-s,- 1)U (- 1 ,0) D . (0, 1)U( 1, +s)二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.13. 已知向量；=（2, 1）, fc = （x , - 1）,且；-1与I 共线，则x 的值为 _________________ . 14. 若数列a n ｝的前n 项和为S n ,对任意正整数n 都有S n =2a n - 1,则S e 等于 _________________\-y>015. 设变量x , y 满足约束条件"玄+応1，则目标函数z=5x+y 的最大值为 _____________________L x+2y>l16•已知双曲线：’-'=1 (a > 0, b >0)的两条渐近线与抛物线 y 2=2px ( p >0)的准线 a Z b 2 分别交于A 、B 两点，0为坐标原点，若双曲线的离心率为2 ,△ AOB 的面积为 二，则该抛物线的标准方程是 ______________ • 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤n nC . y=3sin (=x+ .) 9 •某程序框图如图所示,16厂n D17.在△ ABC 中，角A , B, C 的对边分别为a, b, c,且满足ccosB= (2a+b) cos ( n- C).(1)求角C的大小；(2)若c=4,A ABC的面积为.—，求a+b的值.18•进入冬季以来，我国北方地区的雾霾天气持续出现，极大的影响了人们的健康和出行，我市环保局对该市2015年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为(5, 15] , (15, 25] , (25, 35], (35 , 45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1 )求a的值；(2)如果空气质量指数不超过15,就认定空气质量为特优等级”则从今年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到特优等级”的天数为X •求X的分布列和数学期望.19. 如图，已知三棱柱A1B1C1 - ABC中，侧棱与底面垂直，AB=BC=AA 1,/ ABC=90 ° M是BC 的中点.(1)求证：A1B //平面AMC 1；(2)求平面A1B1M与平面AMC 1所成角的锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆C：一 - =1 (a>b>0)过点A、，离心率为丄亍，点F1,F2分别为其左右焦点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P, Q, 且「厂「.工？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.21. 已知函数f (x) =e x- ax，其中e为自然对数的底数，a为常数.(1 )若对函数f (x)存在极小值，且极小值为0，求a的值；请在22、23、24题中任选一题作答.［选修4-1:几何证明选讲］22•如图，在厶ABC 中，CD 是/ ACB 的平分线，△ ACD 的外接圆交BC 于点E , AB=2AC , (1) 求证：BE=2AD ;(2) 求函数 AC=1 , BC=2时，求AD 的长.［选修4-4 :坐标系与参数方程］(n)求曲线 C 上的点到直线I 的距离的最大值. ［选修4-5 :不等式选讲］424.设函数 f (x ) =| x - |+| x+m| ( m >0) tn (1) 证明：f (x )> 4;(2) 若f (2 )> 5，求m 的取值范围.(2)若对任意x € ［0,，不等式f (x )> e x (1 - sinx )恒成立，求a 的取值范围.23•已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 标方程为：:. -一.，曲线C 的参数方程为:6 2(I )写出直线I 的直角坐标方程； x 轴的正半轴重合，直线I 的极坐^=2+2cosa y=2sinCt(a 为参数).2015-2016学年广西来宾市高三(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 复数z= (3- 2i) i，则z-2一=( )A .- 2 - 9iB .- 2+9i C. 2 - 9i D. 2+9i【考点】复数代数形式的混合运算；复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.【解答】解：•••复数z= (3 - 2i) i=3i +2,则z- 2一= ( 2+3i)- 2 ( 2 - 3i) =2+3i - 4+6i= - 2+9i, 故选：B.22. 已知集合A={y|y=x } ,B={x|y=lg (1 - x) }，则A Q B=( )A. [ 0, 1] B . [0, 1) C. (-a, 1) D. (-a, 1]【考点】交集及其运算.【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B,找出A与B的交集即可. 【解答】解：由A中y=x2》0,得到A= [ 0, +a),由 B 中y=lg (1 - x),得到 1 - x> 0,即x v 1,• •• B= (- a, 1 ),则 A QB=[0, 1),故选：B.3. 某市8所中学生参加比赛的得分用茎叶图表示(如图)其中茎为十位数，叶为个位数, 则这组数据的平均数和方差分别是( )88 79 1 7 斗2 0 $A. 91 5.5B. 91 5C. 92 5.5D. 92 5【考点】茎叶图.【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的平均数与方差即可.【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；=91.5,87、88、90、91、92、93、94、97；•••平均数是二(87+88+90+91 +92+93+94+97) g2 i 2 2 2 2S2= [ (87 - 91.5) 2+ ( 88- 91, 5) 2+ ( 90 - 91.5) '+••+( 97 - 91.5) 2] =5,8故选：A.4. 在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是( )1 12 2A- 土B 土C-二D —•二•二 '':-【考点】等差数列的通项公式.【分析】由通项公式和求和公式可得a i和d的方程组，解方程组可得•【解答】解：设等差数列｛a/的公差为d,T a7=8，前7 项和S7=42,••• a i+6d=8, 7a i+ | d=42,2解得a i =4, d=—故选：Dx<l5•设函数f (x) =j 、则不等式f (x)w 2的解集为( )1 ~ 1口呂尹，xAlA • (0, 1] U( 2, +s)B • [0, +s)C • [0, 1]D • ( 0, +s)【考点】分段函数的应用•【分析】分x< 1和x > 1两种情况列出不等式解出.【解答】解：(1)当X W 1时，21-x< 2，解得x > 0,.・.0W x w 1 •(2)当x> 1 时，1 - log2x w 2,解得x >—,• x > 1 •综上，不等式f (x)w 2的解集是[0, 1] U( 1, +8) =[0, +8) •故选B •6• (x+卫)(2x - ) 5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( ) K KA • - 40B • - 20C • 20D • 40【考点】二项式系数的性质•【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2,故可以令x=1，建立a的方程，解出a 的值，然后再由规律求出常数项•【解答】解：令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为(x+ ) (2x- ) 5X I故其常数项为-22X C53+23C52=40 •故选：D •7•若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( )2厂 3 厂 3 3A . 2cmB .■- cm C . 3 cm D . 3cm【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积.【解答】 解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为二的四棱锥,故这个几何体的体积是一 X [ 一 （1+2）x 2] X ~=二（cm 3）.故选：B .【考点】由y=Asin （3X+0）的部分图象确定其解析式. 【分析】首先根据函数的图象确定函数的最值， 进一步求出函数的周期及3,再根据函数的最值确定©,最后求出函数的解析式.【解答】 解：根据函数的图象，得知： A=3 ,Ox+O） （ A > 0, 3> 0, O v ©V n ）的图象的一部分如图所示，则此函数的 H H C . y=3sin (——x+ ) H 3开y=3sin (——x+ ) it 3开 D . y=3sin (——x+ )M 1川I左视囹其中直角梯形两底长分别为8.函数 y=AsinT=2 (5 - 1) =8,所以： 2兀 TT 3 一— 一8 4 当x=1 时，f (1) =3, 0V ©V n,解得：n忙，9 •某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 值是（ ）A • 5B • 6C . 7D • 8 【考点】程序框图.【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的 V 100,输出K 的值为7.【解答】解：执行程序框图，有k=1, S=0 满足条件 S V 100, S=2, K=2 ; 满足条件 S V 100, S=6, K=3 ; 满足条件 S V 100, S=14, K=4 ; 满足条件 S V 100, S=30, K=5 ; 满足条件 S V 100, S=62, K=6 ; 满足条件 S V 100,S=126, K=7 ;不满足条件S V 100,输出K 的值为7. 故选：C .10. 已知P 是直线；3x+4y+13=0的动点，PA 是圆C : x 2+y 2-2x - 2y - 2=0的一条切线，A 是切点，那么△ PAC 的面积的最小值是（ ）A . 5=B . 4 二C . 3=D . 2 二 【考点】 直线与圆的位置关系.【分析】求出圆的标准方程， 以及三角形的面积， 将面积的最值问题转化为点到直线的距离 问题是所以函数的解析式: 故选：A H TT f (x ) =3sin (「)S , k 的值，当S=126, K=7时不满足条件 S解决本题的关键.【解答】解：圆的标准方程为（x - 1）2+ （y - 1）2=4, 则圆心坐标为C （1 , 1）,半径R=2,第11页（共20页）则厶 PAC 的面积 S= _：=PA ,2•••要使△ PAC 的面积的最小，贝U PA 最小， 即PC 最小即可，此时最小值为圆心 C 到直线的距离d 」「”=4,<9+16即 PC=d=4， 此时 PA=r 「L 』=2'，即厶PAC 的面积的最小值为 S=2二, 故选：D . 11. 已知 A , B , C , D 均在球 0的球面上，AB=BC=1 , AC=.一，若三棱锥 D -ABC 体积 的最大值是.则球0的表面积为（）4 4816A . .一 nB ... n C . n D . 6 n【考点】 球的体积和表面积.【分析】 设厶ABC 的外接圆的半径为r ，由已知求出r=1，由已知得D 到平面ABC 的最大 距离为 二设球0的半径为R ,则:-'LL-,-：,由此能求出R ，从而能求出球 0 的表面积.【解答】 解：设△ ABC 的外接圆的半径为 •/AB=BC=1 , AC= =,•••/ ABC=120 ° •••三棱锥D - ABC 体积的最大值是 ，A , B , C , D 均在球O 的球面上, • D 到平面ABC 的最大距离为 一, 设球O 的半径为R 」「•,第9页（共20页）r , • 2r=sinl209 =2，解得 r=1 ,解得R = \ •••球0的表面积为S=4 T R 2=4 L3故选：C . 12.设函数f' (x )是奇函数f (x ) (x € R )的导函数，f (- 1) =0，当x >0时，xf' (x )- f (x )v 0,则使得f (x )> 0成立的x 的取值范围是( )A . (- m ，- 1 )U( 0, 1)B . (- 1 , 0)U( 1, +s)C . (- a,- 1)U (- 1 ,0) D . (0, 1)U( 1, +a)【考点】函数的单调性与导数的关系.【分析】由已知当x > 0时总有xf' (x )- f (x )v 0成立，可判断函数 g (x ) = _—为减X函数，由已知f (x )是定义在 R 上的奇函数，可证明 g (x )为(-a, 0 )U( 0, +a) 上 的偶函数，根据函数 g ( x )在(0, +a) 上的单调性和奇偶性，模拟 g (X )的图象，而不 等式f ( x )> 0等价于x?g ( x )> 0,数形结合解不等式组即可.【解答】解：设g (x ) =「一，则g (X )的导数为:X■/当 x > 0 时总有 xf '(x )v f (x )成立, 即当x > 0时，g' (x )恒小于0,•••当x > 0时，函数g (x )==为减函数,•函数g (x )为定义域上的偶函数f (- 1)又••• g (- 1) =一—一=0, •函数g ( x )的图象性质类似如图:数形结合可得，不等式 f ( x )> 0? x?g (x )> 0x>0 (x<0呂(x)〉cr [ g(Wcr ? 0 V x V 1 或 x V- 1 . 故选：A .二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.xf ；(X )- f (X )g ( x )=又T g (- x )-fCx) f(x )=g (x ),13•已知向量；=(2, 1), 1= (x, - 1),且I与I共线，则x的值为 -2 【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】求出向量■-；,然后利用向量与「共线，列出方程求解即可.【解答】解：向量；=(2, 1), i = (x,- 1),-=(2 -x, 2),又--「与「共线，可得2x= - 2+x,解得x= - 2.故答案为：-2.14•若数列a n｝的前n项和为S n,对任意正整数n都有S n=2a n - 1，则S&等于63 【考点】数列的求和.【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出.【解答】解：T S n=2a n - 1,二当n=1 时，a1=2a1 - 1,解得a〔=1 ；当n A 2 时，a n=S n - S n- 1= ( 2a n - 1) -( 2a n-1 - 1),化为a n=2a n-1,•••数列｛a n｝是等比数列，首项为1，公比为2.则S6= — =63.2-1故答案为：63.15.设变量x, y满足约束条件｛上，则目标函数z=5x+y的最大值为 _ j .| x+2y^l【考点】简单线性规划的应用.【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=5x+y过点A (1, 0)时，z最大值即可.【解答】解：根据约束条件画出可行域直线z=5x+y过点A (1, 0)时，z最大值5,即目标函数z=5x+y的最大值为5, 故答案为5.16•已知双曲线' =1 (a> 0, b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px ( p>0)的准线a2b2分别交于A、B两点，0为坐标原点，若双曲线的离心率为2, △ AOB的面积为二，则该抛物线的标准方程是y2=4x .【考点】双曲线的简单性质.【分析】把x=-亠代入■.■■■ n ,解得y，可得| AB | =^—，禾1」用厶AOB的面积为◎■:,可得丄、工-—=一，再利用:-: =2，解得I •即可得出p.2 2a 2 V a a【解答】解：把x=- 一代入r-± —；-,解得y= 土」.Z 3.Z3L•••|AB| = ；：,a•••△ AOB的面积为•丄' ¥' 4=:-,由L- , i 1- !丄I：=2，解得丄=二.解得p=2 .•••该抛物线的标准方程是y2=4x .2故答案为：y =4x.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在△ ABC 中，角A , B, C 的对边分别为a, b, c,且满足ccosB= (2a+b) cos ( n- C).(1) 求角C 的大小；(2) 若c=4,A ABC 的面积为 「，求a+b 的值. 【考点】 正弦定理；余弦定理.【分析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 cosC=- ，由特殊角的三角函数值即可得解.(2)利用三角形面积公式可求 ab=4,由余弦定理即可解得 a+B 的值.【解答】(本题满分为12分)解：(1 )•.• ccosB= (2a+b ) cos ( n- C ). sinCcosB= (- 2sinA — sinB ) cosC , /• sin (B+C ) = — 2sinAcosC , ..cosC=—,2.C='….ab=4,.由余弦定理可得： c 2=a 2+b 2+ab= (a+b ) 2— ab=16.•••解得：a+B=2 !… 18•进入冬季以来，我国北方地区的雾霾天气持续出现，极大的影响了人们的健康和出行，我市环保局对该市 2015年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中 随机抽取50个作为样本进行分析报告， 样本数据分组区间为 (5, 15] , (15, 25] , (25, 35],(35 , 45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1 )求a 的值；(2)如果空气质量指数不超过15,就认定空气质量为特优等级”则从今年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到 特优等级”的天数为X •求X 的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列. 【分析】(1)由频率分布直方图中小矩形面积之和为 1，由此能求出a . (2 )由已知得X 的取值为0, 1, 2, 3，且X 〜B (3, g ),由此能求出X 的分布列和EX . D 【解答】解：(1)由频率分布直方图中小矩形面积之和为 1, 得：(0.02+0.032+a+0.018)x 10=1, 解得 a=0.03.(2)利用样本估计总体，该年度空所质量指数在( 5, 15]内为 特优等级”(2)••• ABC=_T absinC= ,且指数达到 特优等级”的概率为0.2, 则X 的取值为0, 1 , 2, 3,且X 〜B (3,=),5P ( x=0) = - =| 二，••• X 的分布列为: X 0 1 23P64 48 M2 1 125125125 125••• EX=° _「+1 < +2JU19. 如图，已知二棱柱 A i B i C i - ABC 中，侧棱与底面垂直， AB=BC=AA 1，/ ABC=90 ° M 是BC 的中点.(1) 求证：A i B //平面 AMC 1；(2) 求平面A 1B 1M 与平面AMC 1所成角的锐二面角的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定.【分析】(1)连结A 1C ，交AC 1于点0,连结0M ，则A 1B // 0M ,由此能证明 A 1B //平面 AMC 1. (2)以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量 法能求出平面 A 1B 1M 与平面AMC 1所成角的锐二面角的余弦值. 【解答】证明：(1)连结A 1C ，交AC 1于点0,连结0M , ABC - A 1B 1C 1是直三棱柱，•四边形ACC 1A 1为矩形，0为A 1C 的中点， 又••• M 为BC 中点，• 0M A 1BC 中位线， • A 1B // 0M ,•••0M?平面 AMC 1, A 1B?平面 AMC 1, •- A 1B // 平面 AMC 1.解：(2)•••三棱柱 A 1B 1C 1- ABC 中，侧棱与底面垂直， AB=BC=AA 1,Z ABC=90 ° M 是 BC 的中点，•••以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设 BA=2，则 B (0, 0, 0), C (2, 0, 2), A 1 (0, 2, 2), 则'1= (1，- 2, 0),|= (2,— 2, 2),第14页(共20页)尸P (X=1) P (X=3)【解答】解：(1)由题意得: c _V2a _ 2 ，得b=c ,因为a2A]B]= (o,- 2, o), B』=(1, o,- 2),A】B[= (0,- 2,0), BjH= (1, 0,- 2),设平面AMC 1的法向量为'=(x, y, z),•乔K厂2尸0 -则・______ _，取y=i，得u = (2, 1, - 1),叶肌产乃- 2y+2z=0设平面A1B1M的法向量■■= (a , b , c),I "in* A7B~F- 2V=0 则一^ ,取c=1 ,得-■= (2 , 0 , 1),[二巴-2c=0m p n 4 _ 1. V30COS V 门『r > = ■= =.I ・•••平面A1B1M与平面AMC 1所成角的锐二面角的余弦值为斗20. 已知椭圆C: 一 - =1 (a> b > 0)过点A ：二••亍1,离心率为丄二，点F1 ,a b 占占上F2分别为其左右焦点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P , Q , 且乔［丘?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系.【分析】(1)由离心率，推出b=c ,禾U用椭圆经过的点的坐标，代入椭圆方程，求出a、b , 即可得到椭圆C方程.(2)假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2(0v r v 1),当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+b ,联立方程组，令P (X1 , y1), Q (x? , y?),利用韦达定理，结合x1X2+y1y2=0 .推出3b2=2k2+2 ,利用直线PQ与圆相切，求出圆的半径，得到圆的方程，判断当直线PQ的斜率不存在时的圆的方程，即可得到结果.2得c=1,所以a 2=2,2所以椭圆C 方程为(2)假设满足条件的圆存在，其方程为： x 2+y 2=r 2 (O v r v 1) 当直线PQ 的斜率存在时，设直线方程为y=kx+b ，:V=kx+b2 2 2由 '2 口 得(1+2k 2) x 2+4bkx+2b 2-2=0 ,三-+丫 二i令P (x i , y i ), Q (X 2, y 2), • •- - I1-F2k 2l+2k 」2 2••• 3b 2=2k 2+2.…因为直线PQ 与圆相切，•—-一^ =.1+k 2 3所以存在圆； ■/ 一]当直线PQ 的斜率不存在时，也适合 x 2+y 2= 1 . 综上所述，存在圆心在原点的圆 x 2+y 2=]满足题意.21. 已知函数f (x ) =e x - ax ，其中e 为自然对数的底数，a 为常数. (1 )若对函数f (x )存在极小值，且极小值为0，求a 的值；,0. x(2)若对任意x € [0,..]，不等式f (x )> e x (1 - sinx )恒成立，求a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)求导函数，对a 讨论，确定函数的单调性，利用函数 f (x )存在极小值，且极小值为0，可求a 的值；(2)对任意x € [0,..]，不等式f(x )》e x ( 1-sin x )恒成立，等价于对任意x € [0,..],x不等式e sinx - ax > 0恒成立，构造新函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求 a 的取值范围.【解答】解: (1)： f (x ) =e x - ax ,. f' (x ) =e x - a ,当a w 0时，f'( x )> 0，函数在R 上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；当a > 0时，由f '(x )> 0,可得x > In a ,由f' (x )v 0，可得x v lna , • x=l na 为函数的极 小值点，4bk ■.-，2b 2-22~ l+2k 2OP±OG ， 二 x i x 2+y i y 2=0.由已知，f (Ina) =0,即Ina=1, • a=e；x x(2)不等式f (x) > e (1 - sinx),即e sinx - ax> 0,设g (x) =e x sinx - ax,贝U g'(x) =e x(sinx+cosx)- a, g" (x) =2e x cosx,x€ ［ 0,——］时，g" (x) > 0,则g' (x)在x € ［0，——］时为增函数，二g' (x) =g ' (0) =1 -a.①1- a>0，即a w 1 时，g' (x) > 0, g (x)在x€ ［ 0, —］时为增函数，二g (x) min=g(0) =0,此时g (x)> 0恒成立；②1- a v 0，即a> 1 时，存在x o€ ［0，一］，使得g' (x°)v 0，从而x€( 0, x°)时，g(x) v 0,「. g (x)在［0, x o］上是减函数，••• x €( 0, X。
水秀中华水秀中华水秀中华水秀中华2016年广西省高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x |（x ﹣2）（x ﹣3）≥0}，T={x |x ＞0}，则S ∩T=（ ） A ．[2，3]B ．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C ．[3，+∞）D ．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i ，则=（ ）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（℃，下面叙述不正确的是（ ）A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个 5．（5分）若tanα=，则cos 2α+2sin2α=（ ）A ．B ．C ．1D ．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．（5分）在△ABC 中，B=，BC 边上的高等于BC ，则cosA 等于（等于（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．18+36B ．54+18C ．90D ．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，AA 1=3，则V 的最大值是（的最大值是（ ） A ．4πB ．C ．6πD ．11．（5分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．（5分）定义“规范01数列”{a n }如下：如下：{{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（共有（ ）A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x ，y 满足约束条件，则z=x +y 的最大值为的最大值为． 14．（5分）函数y=sinx ﹣cosx 的图象可由函数y=sinx +cosx 的图象至少向右平移平移个单位长度得到． 15．（5分）已知f （x ）为偶函数，当x ＜0时，f （x ）=ln （﹣x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，﹣3）处的切线方程是）处的切线方程是． 16．（5分）已知直线l ：mx +y +3m ﹣=0与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则||CD|= ．两点，若||AB|=2，则三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列分）已知数列{{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．）证明{{a n}是等比数列，并求其通项公式；（1）证明（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记，记||f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求fʹ（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：||fʹ（x）|≤2A．（Ⅲ）证明：请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点． （1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求上，求||PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年广西省高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（ ） A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞） C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（ ）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C ．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A ：平面向量及应用． 【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos ∠ABC 的值，根据∠ABC 的范围便可得出∠ABC 的值． 【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC ≤180°； ∴∠ABC=30°． 故选：A ．【点评】考查向量数量积的坐标运算，考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，根据向量坐标求向量长度的方法，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（℃，下面叙述不正确的是（ ）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可． 【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确 B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（ ）A． B． C．1 D．【考点】GF ：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R ：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos 2α+sin 2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos 2α+2sin2α====．故选：A ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【考点】4Y ：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想；4R ：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a ，b ，c ，进而得到答案． 【解答】解：∵a==，b=， c==，综上可得：b ＜a ＜c ， 故选：A ．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，幂函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，【分析】模拟执行程序，模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a ，b ，s 的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC 中，B=，BC 边上的高等于BC ，则cosA 等于（等于（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣【考点】HT ：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC 中角A 、B 、C 、对应的边分别为a 、b 、c ，AD ⊥BC 于D ，令∠DAC=θ，∵在△ABC 中，B=，BC 边上的高AD=h=BC=a ，∴BD=AD=a ，CD=a ，在Rt △ADC 中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos （+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C ．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（视图，则该多面体的表面积为（ ）A．18+36 B．54+18 C．90 D．81【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．该几何体是一个以主视图为底面的直四棱【解答】解：由已知中的三视图可得：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（的最大值是（ ）A．4π B． C．6π D．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F ：空间位置关系与距离；5Q ：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB ⊥BC ，AB=6，BC=8， ∴AC=10．故三角形ABC 的内切圆半径r==2，又由AA 1=3，故直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的内切球半径为，此时V 的最大值=，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，根据已知求出球的半径，根据已知求出球的半径，是解答是解答的关键．11．（5分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意可得F ，A ，B 的坐标，设出直线AE 的方程为y=k （x +a ），分别令x=﹣c ，x=0，可得M ，E 的坐标，再由中点坐标公式可得H 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值． 【解答】解：由题意可设F （﹣c ，0），A （﹣a ，0），B （a ，0），设直线AE 的方程为y=k （x +a ），令x=﹣c ，可得M （﹣c ，k （a ﹣c ）），令x=0，可得E （0，ka ）， 设OE 的中点为H ，可得H （0，）， 由B ，H ，M 三点共线，可得k BH =k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c ，可得e==．另解：由△AMF ∽△AEO ， 可得=，由△BOH ∽△BFM ， 可得==， 即有=即a=3c ，可得e==． 故选：A ．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，注意运用椭圆的方程和性质，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：如下：{{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（共有（ ） A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个【考点】8B ：数列的应用．【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B ：试验法．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m 项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1； 0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1； 0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为的最大值为 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx ﹣cosx 的图象可由函数y=sinx +cosx 的图象至少向右平移平移个单位长度得到．【考点】HJ ：函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；4R ：转化法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】令f （x ）=sinx +cosx=2sin （x +），则f （x ﹣φ）=2sin （x +﹣φ），依题意可得2sin （x +﹣φ）=2sin （x ﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k ∈Z ），可得答案．【解答】解：∵y=f （x ）=sinx +cosx=2sin （x +），y=sinx ﹣cosx=2sin （x ﹣），∴f （x ﹣φ）=2sin （x +﹣φ）（φ＞0），令2sin （x +﹣φ）=2sin （x ﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k ∈Z ），即φ=﹣2kπ（k ∈Z ），当k=0时，正数φmin =，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx 的图象变换得到y=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k ∈Z ）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f （x ）为偶函数，当x ＜0时，f （x ）=ln （﹣x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，﹣3）处的切线方程是）处的切线方程是 2x +y +1=0 ．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用． 【分析】由偶函数的定义，可得f （﹣x ）=f （x ），即有x ＞0时，f （x ）=lnx ﹣3x ，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程． 【解答】解：f （x ）为偶函数，可得f （﹣x ）=f （x ）， 当x ＜0时，f （x ）=ln （﹣x ）+3x ，即有 x ＞0时，f （x ）=lnx ﹣3x ，fʹ（x ）=﹣3， 可得f （1）=ln1﹣3=﹣3，fʹ（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f （x ）在点（1，﹣3）处的切线方程为y ﹣（﹣3）=﹣2（x ﹣1）， 即为2x +y +1=0． 故答案为：2x +y +1=0．【点评】本题考查导数的运用：本题考查导数的运用：求切线的方程，求切线的方程，求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l ：mx +y +3m ﹣=0与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若两点，若||AB |=2，则，则||CD |= 4 ．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B ：直线与圆．【分析】先求出m ，可得直线l 的倾斜角为30°，再利用三角函数求出再利用三角函数求出||CD |即可．解：由题意，||AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，【解答】解：由题意，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列分）已知数列{{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．）证明{{a n}是等比数列，并求其通项公式；（1）证明（2）若S5=，求λ．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．项和公式之间的关系进行递推，结合等比结合等比【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知P A⊥底面ABCD，可得P A∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==， ∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由P A ⊥底面ABCD ，得P A ⊥AC ，又NE ⊥AC ，∴NE ∥P A ，则NE ∥平面PAB ． ∵NE ∩EM=E ，∴平面NEM ∥平面PAB ，则MN ∥平面PAB ；（2）解：在△AMC 中，由AM=2，AC=3，cos ∠MAC=，得CM 2=AC 2+AM 2﹣2AC•AM•cos ∠MAC=．∴AM 2+MC 2=AC 2，则AM ⊥MC ， ∵P A ⊥底面ABCD ，P A ⊂平面PAD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ∩平面PAD=AD ， ∴CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF ⊥PM ，交PM 于F ，连接NF ，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角． 在Rt △PAC 中，由N 是PC 的中点，得AN==，在Rt △PAM 中，由PA•AM=PM•AF ，得AF=，∴sin ．∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面所成角的求法，考查考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），x=﹣，F（，0），准线为，准线为S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S=|FN||y1﹣y2|，△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记，记||f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求fʹ（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：||fʹ（x）|≤2A．（Ⅲ）证明：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求fʹ（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：，结合绝对值不等式的性质即可证明：||fʹ（x）|≤2A．【解答】（I）解：fʹ（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|+（（a﹣1）|时，||f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），（cosx+1）|≤a|cos2x|+|+（因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1， 令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．）内无极值点，||g（﹣1）|=a，|g（1）|=2①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．）可得：||fʹ（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|， （III）证明：由（I）可得：时，||fʹ（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当0＜a≤时，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|fʹ（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，时，||fʹ（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：||fʹ（x）|≤2A．综上：【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，求函数的导数，求函数的导数，以及换以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，⊙O 中的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点．（1）若∠PFB=2∠PCD ，求∠PCD 的大小；（2）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明：OG ⊥CD ．【考点】NC ：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想；49：综合法；5M ：推理和证明．【分析】（1）连接P A ，PB ，BC ，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E ，C ，D ，F 共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD 的度数；（2）运用圆的定义和E ，C ，D ，F 共圆，可得G 为圆心，G 在CD 的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB ，BC ， 设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3， ∠PBA=∠4，∠PAB=∠5， 由⊙O 中的中点为P ，可得∠4=∠5，在△EBC 中，∠1=∠2+∠3， 又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；上，求||PQ|的最小值及此时P的直角坐标． （2）设点P在C1上，点Q在C2上，求【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程； （2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，可得||PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐求得t，再由平行线的距离公式，可得标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，时，||PQ|取得最小值，显然t=﹣2时，即有||PQ|==，即有此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P （cosα，sinα），由P 到直线的距离为d==， 当sin （α+）=1时，时，||PQ |的最小值为，此时可取α=，即有P （，）． 【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，极坐标和直角坐标的互化，极坐标和直角坐标的互化，同时同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|2x ﹣a |+a ．（1）当a=2时，求不等式f （x ）≤6的解集；（2）设函数g （x ）=|2x ﹣1|，当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求a 的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时，由已知得时，由已知得||2x ﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f （x ）≤6的解集．（2）由f （x ）+g （x ）=|2x ﹣1|+|2x ﹣a |+a ≥3，得，得||x ﹣|+|x ﹣|≥，由此能求出a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f （x ）=|2x ﹣2|+2，∵f （x ）≤6，∴，∴||2x ﹣2|+2≤6，|2x ﹣2|≤4，|x ﹣1|≤2，∴﹣2≤x ﹣1≤2，解得﹣1≤x ≤3，∴不等式f （x ）≤6的解集为的解集为{{x |﹣1≤x ≤3}．（2）∵g （x ）=|2x ﹣1|，。
绝密★启封并使用完毕前2016广西高考理科数学真题及答案注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S=S={x P(x-2)(x-3)≥0},T={x I x>0}，则S I T=(A)[2，3](B)（-∞，2]U[3,+∞）(C)[3,+∞）(D)（0，2]U[3,+∞）（2）若z=1+2i，则4izz-1=(A)1(B)-1(C)i(D)-i（3）已知向量(A)300(B)450(C)600(D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。
下面叙述不正确的是学.科.网(A)各月的平均最低气温都在00C以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大，BC 边上的高等于 BC ,则 cos A =（B ） （C ） - （D ） -(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于 200C 的月份有 5 个（5）若 tan α =3，则 cos 2α + 2sin 2α =464 48 16 (A)(B)(C) 1(D)2525254 3 1（6）已知 a = 23 ，b = 44 ，c = 253 ，则（A ） b < a < c （B ） a < b < c （C ） b < c < a （D ） c < a < b（7）执行下图的程序框图，如果输入的 a =4，b =6，那么输出的 n =（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6（8）在 △ABC 中， B =π 14 3（A ）3 10 10 10 3 1010 10 10 10(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，学.科.网则该多面体的表面积为2（C ）6π3（B ）12（C ）23（D ） 3m a（A ）18 + 36 5（B ） 54 + 18 5（C ）90（D ）81(10) 在封闭的直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 内有一个体积为 V 的球，若 AB ⊥ BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则 V 的最大值 是（A ）4π（B ） 9π（D ）32π3（11）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C ： x 2 y 2 +a 2b 2= 1(a > b > 0) 的左焦点，学科&网 A ，B 分别为 C 的左，右顶点.P 为 C 上一点，且 PF ⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E .若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 （A ）14（12）定义“规范 01 数列”{a n }如下：{a n }共有 2m 项，其中 m 项为 0， 项为 1，且对任意 k ≤ 2m ， 1, a 2 ,L , a k中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m =4，则不同的“规范 01 数列”共有（A ）18 个 （B ）16 个 （C ）14 个 （D ）12 个第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若 x ，y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数位长度得到。
2016年广西桂林市、崇左市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|（x+1）（3﹣x）＞0}，集合B={x|1﹣x＞0}，则A∩B等于（）A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）2．在复平面内，复数﹣2i2对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知双曲线﹣=1（b＞0）的离心率等于b，则该双曲线的焦距为（）A．2 B．2C．6 D．84．已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A．B．C． D．5．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）A．﹣2 B．﹣2或﹣1 C．1或﹣3 D．﹣2或6．已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（x2﹣2）（1+）5的展开式中x﹣1的系数为（）A．60 B．50 C．40 D．208．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．f（x）=sin（x+）B．f（x）=sin（x+）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）9．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．10．若xlog52≥﹣1，则函数f（x）=4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．011．过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为（）A．B．C．D．212．若函数f（x）=（x2﹣cx+5）e x在区间[，4]上单调递增，则实数c的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，8]D．[﹣2，4]二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，的夹角为，||=，||=2，则•（﹣2）=．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱DC的中点，则D1P与BC1所在的直线所成角的余弦值等于．15．包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，则甲与乙、丙都相邻的概率为．16．已知三角形ABC中，三边长分别是a，b，c，面积S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则S的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=a n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2log3+1，求++…+．18．某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小鱼82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计产品A，产品B为正品的概率；（2）生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元；在（1）的前提下．记X为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE=EP．（1）证明：AC⊥DE；（2）若PC=BC，求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得△BFM与△BFN的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．请考生在第22.23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，选修4-1：几何证明选讲22．已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F（不与B重合），直线l与⊙O 相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．（1）求证：∠BAC=∠CAG；（2）求证：AC2=AE•AF．选修4--4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1：ρ=2sinθ，曲线（t为参数）（I）化C1为直角坐标方程，化C2为普通方程；（II）若M为曲线C2与x轴的交点，N为曲线C1上一动点，求|MN|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=+ax（a＞0）在（1，+∞）上的最小值为15，函数g（x）=|x+a|+|x+1|．（1）求实数a的值；（2）求函数g（x）的最小值．2016年广西桂林市、崇左市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|（x+1）（3﹣x）＞0}，集合B={x|1﹣x＞0}，则A∩B等于（）A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法．【分析】求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|（x+1）（3﹣x）＞0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）．故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合的等价条件是解决本题的关键．2．在复平面内，复数﹣2i2对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数﹣2i2=+2=3+i，对应的点（3，1）位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知双曲线﹣=1（b＞0）的离心率等于b，则该双曲线的焦距为（）A．2B．2C．6 D．8【考点】双曲线的简单性质．【专题】数形结合；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线﹣=1（b＞0）的焦距为2c，根据双曲线的几何性质求出c的值即可得焦距．【解答】解：设双曲线﹣=1（b＞0）的焦距为2c，由已知得，a=2；又离心率e==b，且c2=4+b2，解得c=4；所以该双曲线的焦距为2c=8．故选：D．【点评】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质的应用问题，是基础题目．4．已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A．B．C． D．【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件求得sinα和cosα的值，再根据cos（α﹣π）=﹣cosα求得结果．【解答】解：∵＜α＜π，3sin2α=2cosα，∴sinα=，cosα=﹣．∴cos（α﹣π）=﹣cosα=﹣（﹣）=，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．5．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）A．﹣2 B．﹣2或﹣1 C．1或﹣3 D．﹣2或【考点】程序框图．【专题】探究型；分类讨论；数学模型法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．当x≤0时，由y=（）x﹣4=0，可得：x=﹣2；当x＞0时，由y=log+1=0，可得：x=；故选：D．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．6．已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（﹣1，﹣2），验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z=2x+y过点A（1，0）时，z最大是2，故选B．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．（x2﹣2）（1+）5的展开式中x﹣1的系数为（）A．60 B．50 C．40 D．20【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】把（1+）5按照二项式定理展开，可得（x2﹣2）（1+）5的展开式中x﹣1的系数．【解答】解：（x2﹣2）（1+）5=（x2﹣2）[+•+•+•+•+•]，故展开式中x﹣1的系数为23•﹣2•2=60，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．f（x）=sin（x+）B．f（x）=sin（x+）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】函数的图象的顶点坐标求出A的范围，由周期求出ω的范围，根据f（2π）＜0，结合所给的选项得出结论．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得0＜A＜1，T=＞2π，求得0＜ω＜1．再根据f（2π）＜0，结合所给的选项，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的图象特征，属于基础题．9．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积．【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为=2，∴原直三棱柱的体积为2×4=8．由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积=6，由俯视图可知四棱锥的高为2，∴四棱锥的体积为=4．∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为．故选C．【点评】本题考查了几何体的三视图与体积计算，属于中档题．10．若xlog52≥﹣1，则函数f（x）=4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由条件求得x≥﹣log25，令t=2x（t≥），即有y=t2﹣2t﹣3，由二次函数的最值求法，即可得到最小值．【解答】解：xlog52≥﹣1，即为x≥﹣log25，2x≥，令t=2x（t≥），即有y=t2﹣2t﹣3=（t﹣1）2﹣4，当t=1≥，即x=0时，取得最小值﹣4．故选A．【点评】本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．11．过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为（）A．B．C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，求出A的横坐标，即可求出点A到抛物线C的焦点的距离．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则分别过A，B作直线x=﹣2的垂线，垂足分别为D，E．∵|PA|=|AB|，∴3（x1+2）=x2+2，3y1=y2，∴x1=，∴点A到抛物线C的焦点的距离为1+=．故选：A．【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定A的横坐标．12．若函数f（x）=（x2﹣cx+5）e x在区间[，4]上单调递增，则实数c的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，8]D．[﹣2，4]【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】若函数f（x）=（x2﹣cx+5）e x在区间[，4]上单调递增，则f′（x）=[x2+（2﹣c）x+（5﹣c）]e x≥0在区间[，4]上恒成立，即c≤在区间[，4]上恒成立，令g（x）=，利用导数法求出函数的最小值，可得答案．【解答】解：若函数f（x）=（x2﹣cx+5）e x在区间[，4]上单调递增，则f′（x）=[x2+（2﹣c）x+（5﹣c）]e x≥0在区间[，4]上恒成立，即x2+（2﹣c）x+（5﹣c）≥0在区间[，4]上恒成立，即c≤在区间[，4]上恒成立，令g（x）=，则g′（x）=，令g′（x）=0，则x=1，或﹣3，当x∈[，1）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；当x∈（1，4]时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；故当x=1时，g（x）取最小值4，故c∈（﹣∞，4]，故选：B【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，恒成立问题，难度中档．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，的夹角为，||=，||=2，则•（﹣2）=6．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出2和，将•（﹣2）展开得出答案．【解答】解：==﹣2，2=||2=2，∴•（﹣2）=2﹣2=2+2×2=6．故答案为：6．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱DC的中点，则D1P与BC1所在的直线所成角的余弦值等于．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】连结AD1、AP，由AD1∥BC1，得∠AD1P就是D1P与BC1所在的直线所成角，由此能求出D1P 与BC1所在的直线所成角的余弦值．【解答】解：连结AD1、AP，∵AD1∥BC1，∴∠AD1P就是D1P与BC1所在的直线所成角，设AB=2，则AP=D1P=，AD1=，∴cos∠AD1P===．∴D1P与BC1所在的直线所成角的余弦值等于．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．15．包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，则甲与乙、丙都相邻的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，再求出甲与乙、丙都相邻包含的基本事件个数，由此能示出甲与乙、丙都相邻的概率．【解答】解：包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，基本事件总数n=，甲与乙、丙都相邻包含的基本事件个数m==4，∴甲与乙、丙都相邻的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．16．已知三角形ABC中，三边长分别是a，b，c，面积S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则S的最大值是．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】利用三角形面积公式变形出S，利用余弦定理列出关系式，代入已知等式计算即可求出S的最大值．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即a2﹣b2﹣c2=﹣2bccosA，S△ABC=bcsinA，∴分别代入已知等式得：bcsinA=2bc﹣2bccosA，即sinA=4﹣4cosA，代入sin2A+cos2A=1得：cosA=，∴sinA=，∵b+c=8， ∴c=8﹣b ， ∴S △ABC =bcsinA=bc=b （8﹣b ）≤•（）2=，当且仅当b=8﹣b ，即b=4时取等号，则△ABC 面积S 的最大值为．故答案为：．【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =a n ﹣1（n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =2log 3+1，求++…+．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】（1）由S n =a n ﹣1（n ∈N *），可得当n=1时，﹣1，解得a 1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1．再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =2log 3+1=2n ﹣1，可得==．即可得出．【解答】解：（1）∵S n =a n ﹣1（n ∈N *），∴当n=1时，﹣1，解得a 1=2．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣1﹣，化为a n =3a n ﹣1，∴数列{a n }是等比数列，首项为2，公比为3． ∴a n =2×3n ﹣1． （2）b n =2log 3+1=2n ﹣1，∴==．++…+=++…+==．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小鱼82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计产品A，产品B为正品的概率；（2）生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元；在（1）的前提下．记X为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）由检测结果统计表，利用等可能事件概率计算公式能估计产品A，产品B为正品的概率．（2）随机变量X的所有取值为180，90，60，﹣30，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E （X）．【解答】解：（1）由检测结果统计表，得产品A为正品的概率为：=，产品B为正品的概率为：=．（2）随机变量X的所有取值为180，90，60，﹣30，P（X=180）==，P（X=90）==，P（X=60）==，P（X=﹣30）==，∴X的分布列为：E（X）==132．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE=EP．（1）证明：AC⊥DE；（2）若PC=BC，求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．【专题】计算题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由线面垂直的定义，得到PD⊥AC，在正方形ABCD中，证出BD⊥AC，根据线面垂直判定定理证出AC⊥平面PBD，从而得到AC⊥DE；（2）建立空间直角坐标系，如图所示．得D、A、C、P、E的坐标，从而得到、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出=（1，1，1）是平面ACP的一个法向量，=（﹣1，1，1）是平面ACE的一个法向量，利用空间向量的夹角公式即可算出二面角E﹣AC﹣P的余弦值．【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴PD⊥AC∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PD、BD是平面PBD内的相交直线，∴AC⊥平面PBD∵DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE（2）分别以DP、DA、DC所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示设BC=3，则CP=3，DP=3，结合2BE=EP可得D（0，0，0），A（0，3，0），C（0，0，3），P（3，0，0），E（1，2，2）∴=（0，3，﹣3），=（3，0，﹣3），=（1，2，﹣1）设平面ACP的一个法向量为=（x，y，z），可得，取x=1得=（1，1，1）同理求得平面ACE的一个法向量为=（﹣1，1，1）∵cos＜，＞==，∴二面角E﹣AC﹣P的余弦值等于【点评】本题在特殊四棱锥中求证线面垂直，并求二面角的大小．着重考查了空间线面垂直的定义与判定、空间向量的夹角公式和利用空间坐标系研究二面角的大小等知识，属于中档题．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得△BFM与△BFN的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，求出几何量，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）△BFM与△BFN的面积比值为2等价于FM与FN比值为2，分类讨论，设直线l的方程为y=k（x ﹣1），代入椭圆方程，消x并整理，利用韦达定理，根据FM与FN比值为2，即可求得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知得c=1，a=2c=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴=，∴椭圆C的方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）△BFM与△BFN的面积比值为2等价于FM与FN比值为2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当直线l斜率不存在时，FM与FN比值为1，不符合题意，舍去；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），直线l的方程代入椭圆方程，消x并整理得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=﹣①，y1y2=﹣②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由FM与FN比值为2得y1=﹣2y2③由①②③解得k=±，因此存在直线l：y=±（x﹣1）使得△BFM与△BFN的面积比值为2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，△BFM与△BFN的面积比值为2等价于FM与FN比值为2是关键．21．已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；分类讨论；转化思想．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值；（II）若在区间（0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区间[1，e]上的最小值，先求出导函数f'（x），然后讨论研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．【解答】解：（I）因为，当a=1，，令f'（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：所以x=1时，f（x）的极小值为1．f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（II）因为，且a≠0，令f'（x）=0，得到，若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，故f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得，即（2）当a＞0时，①若，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为，显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立②若，即1＞时，则有所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的计算能力．请考生在第22.23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，选修4-1：几何证明选讲22．已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F（不与B重合），直线l与⊙O 相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．（1）求证：∠BAC=∠CAG；（2）求证：AC2=AE•AF．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题；立体几何．【分析】（1）连接BC，根据AB为⊙O的直径得到∠ECB与∠ACG互余，根据弦切角得到∠ECB=∠BAC，得到∠BAC与∠ACG互余，再根据∠CAG与∠ACG互余，得到∠BAC=∠CAG；（2）连接CF，利用弦切角结合（1）的结论，可得∠GCF=∠ECB，再用外角进行等量代换，得到∠AFC=∠ACE，结合∠FAC=∠CAE得到△FAC∽△CAE，从而得到AC是AE、AF的比例中项，从而得到AC2=AE•AF．【解答】证明：（1）连接BC，∵AB为⊙O的直径…∴∠ACB=90°⇒∠ECB+∠ACG=90°…∵GC与⊙O相切于C，∴∠ECB=∠BAC∴∠BAC+∠ACG=90°…又∵AG⊥CG⇒∠CAG+∠ACG=90°∴∠BAC=∠CAG…（2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，连接CF∵GE与⊙O相切于C，∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90°∴∠AFC=∠ACE…∵∠FAC=∠CAE∴△FAC∽△CAE…∴∴AC2=AE•AF…【点评】本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．解题时要注意充分利用互余的角和弦切角进行等量代换，方可得到相似三角形．选修4--4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1：ρ=2sinθ，曲线（t为参数）（I）化C1为直角坐标方程，化C2为普通方程；（II）若M为曲线C2与x轴的交点，N为曲线C1上一动点，求|MN|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．【专题】计算题．【分析】（I）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得C1为直角坐标方程；消去参数t得曲线C2的普通方程．（II）先在直角坐标系中算出曲线C2与x轴的交点的坐标，再利用直角坐标中结合圆的几何性质即可求|MN|的最大值．【解答】解：（I）曲线C1的极坐标化为ρ2=2ρsinθ又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ所以曲线C1的直角坐标方程x2+y2﹣2y=0因为曲线C2的参数方程是，消去参数t得曲线C2的普通方程4x+3y﹣8=0（II）因为曲线C2为直线令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）曲线C1为圆，其圆心坐标为C1（0，1），半径r=1，则∴，|MN|的最大值为【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化及参数方程与普通方程的互化，能在直角坐标系中利用圆的几何性质求出最值，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=+ax（a＞0）在（1，+∞）上的最小值为15，函数g（x）=|x+a|+|x+1|．（1）求实数a的值；（2）求函数g（x）的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由f（x）=+ax=a[（x﹣1）++1]，运用基本不等式可得最小值，解方程可得a的值；（2）运用|x+5|+|x+1|≥|（x+5）﹣（x+1）|=4，即可得到所求的最小值．【解答】解：（1）f（x）=+ax（a＞0，x＞1）=a[（x﹣1）++1]≥a（2+1）=3a，当且仅当x=2时，取得最小值3a，由题意可得3a=15，解得a=5；（2）函数g（x）=|x+a|+|x+1|=|x+5|+|x+1|，由|x+5|+|x+1|≥|（x+5）﹣（x+1）|=4，当且仅当（x+5）（x+1）≤0，即﹣5≤x≤﹣1时，取得等号．则g（x）的最小值为4．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。
2016届高三六校第一次联考理科数学试题2015，9，7一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、复数3ii-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3、已知cos cos tan sin sin ααααα+=+则的值为 （ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．12D ．24．直线sin 20x α+=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．),0[πB ．),43[]4,0[πππ⋃C ．]4,0[π D ．),2(]4,0[πππ⋃5、右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A. 10i >B. 10i <C. 20i >D. 20i <6、将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ）A ．43π B ．0 C ．4πD ．4π- 7、求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是 （ ）A ．12()S x x dx =-⎰B ．12()S x x dx =-⎰C ．12()S y y dy =-⎰D ．1(S y dy =-⎰8、设n m l ,,为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）①若α⊥l ，则l 与α相交②若，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα则α⊥l ③若l ||m ，m ||n ，α⊥l ，则α⊥n ④若l ||m ，α⊥m ，α⊥n ，则l ||nA ．1B ．2C ．3D ．49、如图，已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=，点C 在线段AB 上，且AOC ∠=030，设(),OC mOA nOB m n R =+∈,则mn等于（ ） A ．13B ．3 C10、已知曲线22:x y C =，点(0,2)A -及点(3,)B a ，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．（4，＋∞） B.（－∞，4） C.（10，＋∞） D.（－∞，10） 11、 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长 为2的等腰直角三角形,左视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( ) A ．B ． 4 C．D ．12. 设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若(6)()1860f m f m m ---+≥，则实数m 的取值范围为（ ）A ． [3,3]-B ． [3,)+∞C ． [2,)+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13、 已知关于x 的二项式n xax )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数a 的值为14、变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为15、∆ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等比数列，若sin B =513，cos B =12ac，则a c +的值为 ．16、()f x 是定义在R 上的函数，且(3)()3f x f x +≤+，(2)()2f x f x +≥+，(0)0f =，则(2016)f =．三、解答题（17—21为必做题）俯视图左视图17、（本小题满分12分）若公比为q 的等比数列{}n a 的首项11a =，且满足n a =122n n a a --+，（3,4,5n =…） （1）求q 的值；（2）设n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前项和n S18、（本小题满分12分）甲、乙、丙三人射击同一目标，各射击一次，已知甲击中目标的概率为35，乙与丙击中目标的概率分别为,m n ()m n >，每人是否击中目标是相互独立的．记目标被击中的次数为ξ，且ξ的分布列如下表： （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）求ξ的数学期望．19、（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP m=. （Ⅰ）试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为（Ⅱ）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 垂直于AP ，并证明你的结论.20、（12分）已知直线10x y -+=经过椭圆S ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S 的方程；（2）如图，M ，N 分别是椭圆S 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ．①若直线PA 平分线段MN ，求k 的值；②对任意0k >，求证：PA PB ⊥．21、（本小题满分12分）设定义在区间],[21x x 上的函数)(x f y =的图像为C ，点A 、B 的坐标分别为))(()),(,(2211x f x x f x 且))(,(x f x M 为图像C 上的任意一点，O 为坐标原点，当实数λ满足21)1(x x x λλ-+=时，记向量k MN OB OA ON ≤-+=||.)1(若λλ恒成立，则称函数)(x f y =在区间],[21x x 上可在标准k 下线性近似，其中k 是一个确定的正数。
1．已知全集,集合,则（）A．B．C．D．2．设复数满足,则（）A．3 B．C．D．3．等差数列中,,,则公差（）A．B．C．2D．4．若函数为奇函数,则（）A．B．0 C．1 D．或15．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表,甲被选中的概率是（）A．B．C．D．6．已知,则（）A．B．C．D．7．如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图,侧视图也称左视图）,其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成,俯视图是直径等于4的圆,该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．已知如图所示的程序框图,那么输出的（）A．45 B．35 C．21 D．159．已知四棱锥的顶点都在球上,底面是矩形,平面平面,为正三角形,,则球的表面积为（）A．B．C．D．10．已知向量与的夹角为,且,,若,且,则实数的值为（）A．B．13 C．6D．11．设点是双曲线与圆在第一象限的交点,分别是双曲线的左、右焦点,且,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数对定义域内的任意都有,且当时,导函数满足．若,则（）A．B．C．D．13．的展开式中的常数项为______．14．已知实数满足不等式组则的最小值为______．15．已知、为正实数,向量,若,则的最小值为______．16．若数列满足,则数列的通项公式是______．17．在中,内角、、对应的边长分别为、、,已知．（1）求角；（2）若,求的取值范围．18．某市教育部门规定,高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段,,,,（单位：小时）进行统计,其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生,记为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量的分布列和数学期望．19．在如图所示的多面体中,平面,平面,,,．（1）在线段上取一点,作平面,（只需指出的位置,不需证明）；（2）对（1）中,求直线与平面所成角的正弦值．20．已知圆,若椭圆的右顶点为圆的圆心,离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若存在直线,使得直线与椭圆分别交于、两点,与圆分别交于、两点,点在线段上,且,求圆的半径的取值范围．21．已知函数．（1）当时,求函数在点处的切线方程；（2）设,若函数在定义域内存在两个零点,求实数的取值范围．22．如图,四边形是的内接四边形,延长和相交于点,,．（1）求的值；（2）若为的直径,且,求的长．23．已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是（为（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于、两点,且,求直线的倾斜角的值．24．已知,不等式的解集为．（1）求；（2）当时,证明：参考答案 1．A【解析】试题分析：由及可得,所以,故选A.考点：集合的交集与补集运算.2．C【解析】试题分析：由得,,故选C.考点：复数的四则运算.3．A【解析】试题分析：由得,所以考点：等差数列的性质.4．C【解析】试题分析：因为为奇函数,所以,所以故选C.考点：函数奇偶性。
2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列集合中，是集合{}2|5A x x x =<的真子集的是（ ） A ．{}2,5 B ．(6,)+∞C ．(0,5)D ．(1,5)2.复数37iz i+=的实部与虚部分别为（ ） A ．7，3- B ．7，3i -C ．7-,3D ．7-,3i3.设2log 5a =，2log 6b =，129c =，则（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a b c >>4.设向量(1,2)a =r ，(3,5)b =-r ，(4,)c x =r，若a b c λ+=r r r （R λ∈），则x λ+的值为（ ）A ．112-B ．112C ．292- D ．2925.已知tan 3α=，则2sin cos sin 3cos αααα-+等于（ ）A ．13B ．56C ．23D ．26.设x ，y 满足约束条件270,20,20,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩则y x 的最大值为（ ）A ．32B ．2C ．13D ．07.将函数cos(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位后，得到()f x 的图象，则（ ）A ．()sin 2f x x =-B ．()f x 的图象关于3x π=-对称C ．71()32f π=D ．()f x 的图象关于(,0)12π对称8.执行如图所示的程序框图，若输入的2x =，4n =，则输出的s 等于（ ） A ．94B ．99C ．45D ．2039.直线2y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左支、右支分别交于B 、C 两点，A 为右顶点，O 为坐标原点，若AOC BOC ∠=∠，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D 10.2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[]10,14，[]15,19，[]20,24，[]25,29，[]30,34的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，%t ．现用这5个年龄段的中间值x 代表年龄段，如12代表[]10,14，17代表[]15,19，根据前四个数据求得x 关于爱看比例y 的线性回归方程为$( 4.68)%y kx =-，由此可推测t 的值为（ ） A ．33B ．35C ．37D ．3911.某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．1683π+ B ．3283π+ C ．168π+ D ．16163π+ 12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，若不等式(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(2,)eB ．1[,)e+∞C ．1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12ln 3,3e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.7(1)x -的展开式中2x 的系数为 ．14.已知曲线C 由抛物线28y x =及其准线组成，则曲线C 与圆22(3)16x y ++=的交点的个数为 ．15.若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O 的球面上，则球O 表面积的最小值为 ．16.我国南宋着名数学家秦九昭在他的着作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为 平方千米．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记n a 表示第n 排的座位数． （1）确定此看台共有多少个座位；（2）求数列{}2n n a ⋅的前20项和20S ，求2202log log 20S -的值． 18. （本小题满分12分）已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为2532，45，45，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售． （1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，11160ACC CC B ∠=∠=︒，AC = （1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB =11A C 的中点为1D ，求二面角11C AB D --的余弦值． 20. （本小题满分12分）如图，1F ，2F 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，D ，E 是椭圆的两个顶点，12||F F =，||DE =，若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭点”．直线l 与椭圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试探讨AOB ∆的面积S 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．21. （本小题满分12分） 已知函数21()4f x x a x=+-，()()g x f x b =+，其中a ，b 为常数． （1）若1x =是函数()y xf x =的一个极值点，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有2个零点，(())f g x 有6个零点，求a b +的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22((1)9x y ++=，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线OP ：6πθ=（R ρ∈）与圆C 交于点M 、N ，求线段MN 的长．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()|2||21|f x x x =+--，M 为不等式()0f x >的解集． （1）求M ；（2）求证：当x ，y M ∈时，||15x y xy ++<．2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷（文科）答案 一、选择题1-5:DAACB 6-10:ABADB 11、12：AD 二、填空题13.21- 14.4 15.18π 16.21 三、解答题17.解：（1）由题可知数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列， ∴211n a n n =+-=+（120n ≤≤）． ∴此看台的座位数为(221)202302+⨯=． （2）∵1220202232212S =⨯+⨯++⨯…，∴23212022232212S =⨯+⨯++⨯…，∴2320212121204222212424212S -=++++-⨯=+--⨯…， ∴2120202S =⨯，∴2122022log log 20log 221S -==．18.解：（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A ， 则25441()(1)32558P A =⨯⨯-=． （2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为2544132552⨯⨯=． 由题意可得X 可取0，1，2，3，则有311(0)(1)28P X ==-=，123113(1)(1)228P X C ==⨯⨯-=，223113(2)()(1)228P X C ==⨯⨯-=，311(3)()28P X ===，所以X 的分布列为：故()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或322⨯=）．19.（1）证明：连接1AC ，1CB ，则1ACC ∆和11B CC ∆皆为正三角形．取1CC 中点O ，连接OA ，1OB ，则1CC OA ⊥，11CC OB ⊥，从而1CC ⊥平面1OAB ，11CC AB ⊥． （2）解：由（1）知，13OA OB ==，又1AB =22211OA OB AB +=，所以1OA OB ⊥，OA ⊥平面11B C C ．如图所示，分别以1OB ，1OC ，OA 为正方向建立空间直角坐标系， 则(0,C ，1(3,0,0)B ，(0,0,3)A ，1C，1(0,A ，13)2D ， 设平面1CAB 的法向量为(,,)m x y z =u r ，因为1(3,0,3)AB =-u u u r ，(0,3)AC =-u u u r，所以330,30,x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩取(1,m =u r ．设平面11AB D 的法向量为n r，因为13)2AD =-u u u u r，113()2B D =-u u u u r ，同理可取n =r．则cos ,||||m n m n m n ⋅<>===⋅u r ru r r u r r ，因为二面角11C AB D --为钝角， 所以二面角11C AB D --的余弦值为 20.解：（1）由题可知2222,c a b c =⎪=⎨⎪-=⎪⎩解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)2x P y ，22(,)2xQ y ． 由OP OQ ⊥，即121204x x y y +=．（*） ①当直线AB 的斜率不存在时，1121||||12S x y y =⨯-=；②当直线AB 的斜率存在时，设其直线为y kx m =+（0m ≠），联立22,44,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=， 则2216(41)k m ∆=+-，21224441m x x k -=+，同理22122441m k y y k -=+，代入（*），整理得22412k m +=． 此时2160m ∆=>，12||||AB x x =-=，h =，∴1S =．综上，ABC ∆的面积为定值1．21.解：（1）∵()y xf x =341x ax =+-，∴2'12y x a =-，∴120a -=，即12a =． 又21'()8f x x x=-，∴'(1)7f =，∵(1)57f a =-=-， ∴所求切线方程为77(1)y x +=-，即714y x =-．（2）若函数()f x 存在2个零点，则方程214a x x =+有2个不同的实根，设21()4h x x x =+，则21'()8h x x x =-3281x x -=，令'()0h x >，得12x >； 令'()0h x <，得0x <，102x <<，∴()h x 的极小值为1()2h ． ∵1()32h =，∴由()h x 的图象可知3a =．∵1(1)()32h h -==，∴令(())0f g x =，得1()2g x =或()1g x =-，即1()2f x b =-或()1f x b =--，而(())f g x 有6个零点，故方程1()2f x b =-与()1f x b =--都有三个不同的解， ∴102b ->且10b -->，∴1b <-，∴2a b +<． 22.解：（1）22((1)9x y ++=可化为22250x y y +-+-=，故其极坐标方程为2cos 2sin 50ρθρθ-+-=． （2）将6πθ=代入2cos 2sin 50ρθρθ-+-=，得2250ρρ--=，∴122ρρ+=，125ρρ=-，∴12||||MN ρρ=-==．23.解：（1）3,2,1()31,2,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩当2x <-时，由30x ->，得3x >，舍去；当1122x -≤≤时，由310x +>，得13x >-，即1132x -<≤；当12x >时，由30x -+>，得3x <，即132x <<．综上，1(,3)3M =-．（2）因为x ，y M ∈，∴||3x <，||3y <，<++⨯=．所以||||||||||||||||||||x y xy x y xy x y xy x y x y++≤++≤++=++⋅333315。
