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波的能量

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波 的 能 量

波 的 能 量
• 在这方面波动与振动的情况是完全不同的。
• 对于振动系统，质元的总机械能是恒定的，总是在动能达 到最大时势能为零，反之亦然，因而不传播能量。
• 而振动能量的辐射，实际是依靠波动把能量传播出去的。
1.2 能量密度
• 波在介质中传播时，单位体积内的能量叫波的能量密度。 • 用w来表示，则介质中 x 处在 t 时刻的能量密度是
大学物理
波的能量
1.1 波的能量 1.2 能量密度 1.3 能流密度
1.1 波的能量
波在介质中传播时，质点在平衡位置附近振动， 由于各质点有振动速度，所以他们具有振动动能， 同时，该处介质发生了形变，使得波也具有了势能。 从中可以看出，初始时刻，质点没有能量， 当波传播到该处质点时，质点发生振动，才有了能量， 而能量显然来源于波源。 因此可以说，波的传播过程伴随着能量的传播，这是波动过 程的一个重要特征。 我们以棒中传播的平面简谐纵波为例，说明波传播过程中能 量的传输特性。
w
E V
A22 sin2
t
x u
在一个周期内能量密度的平均值叫平均能量密度，表示为
w
1 T
T
wdt
0
1 T
T
0
A2 2
sin2
t
x u
dt
1 2
A2 2
表明，介质中波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和、 介质密度的乘积成正比。这个公式对于横波也适用。
1.3 能流密度
能量随着波的传播在介质中流动，但是能量和能量密度没有 反映出波动传播过程中能量流动的特性，因此我们引入能 流和能流密度的概念。
1.1 波的能量
• 设有一纵波沿着固体细长棒传播，如图所示，介质密度为ρ，取一体积元为ΔV 的质元，当平面简谐波

波的能量知识

波的能量知识

A0 r0 r y= cos ω (t − ) r u
r1
式中r为离开波源的距离，A0为r = r0处的振幅。
小结： 小结： 波动能量 u 1 x 2 2 2 d dV内： Wk = ρdVA ω sin ω (t − ) 2 u dV 1 x S 2 2 2 dW p = ρdVA ω sin ω ( t − ) 2 u x 2 2 2 dW = ρdVA ω sin ω (t − ) u 不守恒 dW 1 2 2 平均能量密度： 平均能量密度： w = = ρω A dV 2 1 2 2 2 能流密度（波强）： 能流密度（波强）： I = ρ A ω u ∝ A 2
10、3 波的能量 能流密度 一 波动能量的传播 1 波的能量 波的传播是能量的传播， 波的传播是能量的传播，传播 过程中,媒质中的质点由不动到动， 过程中,媒质中的质点由不动到动， 具只动能 W K ,媒质形变具只势能 W P .
以固体棒传播纵波为例分析波动能量的传播. 固体棒传播纵波为例分析波动能量的传播 传播纵波为例分析波动能量的传播
u= E
2
Sdx = dV dy ∂y 考虑到 y 是 x 和 t 的函数，故 应是 dx ∂x ∂y ω x 1 2 ∂y 2 = A sin ω (t − ) dW P = u ρdV ( ) 而 ∂x u u 2 ∂x
ρ
E = u2ρ
1 x 2 2 2 dWP = ρdVA ω sin ω(t − ) 2 u
E 纵波 u = 固体： 固体：
ρ ρ
G 横波 u =
弹性模量
杨氏模量： 杨氏模量：
应力 F S E= = 应变 ∆L L
x d W = ρ d VA ω sin ω (t − ) u (2) 任一体积元都在不断地接收和 ) 放出能量，即不断地传播能量. 放出能量，即不断地传播能量 任一体 积元的机械能不守恒. 积元的机械能不守恒 波动是能量传递 的一种方式 .

波的能量

波的能量

dV
u
波函数
y A cos (t x / u)
y A sin (t x / u) 质元振动速度 v t 1 2 •动能 dEk dm v 2 1 2 2 2 ( dV ) A sin (t x / u) 2
1 2 2 2 dEk ( dV ) A sin (t x / u) 2
2 2 2
三.平均能流、波强
1.平均能流
单位时间内垂直通过介质中某一面积 的能量。 u 在介质中取体积 V体 ，
波速方向垂直于面积S 长为 u ，则能流为
V体
u
S
P wV体 T/ T wuS 单位：焦耳/秒，瓦，J•s-1，W 与功率相同
1 2 2 P wuS A uS 2
2.平均能流密度----波强
单位时间内通过垂直于波的传播方向 的单位面积上的平均能量。
1 P 2 2 I wu A u 2 S
单位：J•s1•m2 ， W •m2
2 2 2
4.波动的能量与振动能量的区别
• 振动能量中Ek、EP相互交换，系统总机 械能守恒。 •波动能量中Ek、EP同时达到最大，同时 为零，总能量随时间周期变化。
二、能量密度 1.能量密度
dE w 单位体积内的能量 dV 2 2 2 dE ( dV ) A sin (t x / u)
2.波动的势能
由于介质发生形变而具有势能，可以 证明体元内具有的势能与动能相同。
1 2 2 2 •势能 dEP ( dV ) A sin (t x / u) 2 同时达到最大 平衡位置处 Ek、EP 同时达到最小 最大位移处
3.波动的能量
dE dEk dБайду номын сангаасP

波的能量

波的能量

A r y = cos ω (t − ) r u
例 2、 一列余弦波沿直径为 0.14 m 的圆柱形玻璃管前 、 进 , 波的平均强度为 18×10-3 J s -1 m –2 , 频率为 300 × Hz , 波速为 300 m s –1 。求 波中的平均能量密度和最大能量密度； ① 波中的平均能量密度和最大能量密度； 的相邻两个截面间的能量。 ② 位相差为 2π的相邻两个截面间的能量。 的相邻两个截面间的能量 解： ① 平均能量密度
单位:贝尔(bel) 单位:贝尔(bel)
单位:分贝(db) 单位:分贝(db)
波的吸收
波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量， 波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量，因而波的 强度将逐渐减弱，这种现象叫做波的吸收 波的吸收. 强度将逐渐减弱，这种现象叫做波的吸收. A 吸 收 A+dA
吸收 ∝ dx 吸收 ∝ A
6-3 波的能量
一、波动能量的传播 1、波的能量 、 动能
x y = A cos ω t − u
dy x v= = − Aω sin ω t − dt u
1 1 x 2 2 2 2 dE k = (dm )v = ( ρdV ) A ω sin ω t − 2 2 u
二、能流与能流密度 1、能流 、 定义： 定义：单位时间内通过介 质中某一面积的能量称为 通过该面积的能流
平均能流
x P＝w uS＝uSρ A ω sin t − u
2 2 2
1 P ＝w uS＝ uSρ A 2ω 2 2
2、平均能流密度——描述能流的空间分布和方向 、平均能流密度 描述能流的空间分布和方向 定义： 定义： 通过与波的传播方向垂直的单位面积的平均 能流，称为平均能流密度，又称为波的强度 波的强度。 能流，称为平均能流密度，又称为波的强度。

波的能量

波的能量

波的叠加原理 ：
各列波在相遇区域内，任 一质元的振动是各列波单独存在 时对该质元所引起振动的合振动。
二．波的干涉
相干波源 相干波 波的干涉
1．相干波源：
1、频率相同； 两波源必须满足： 2、振动方向相同；
3、位相差恒定。
y s1 A1 cos(t 1 )
S1
r1 r2
y s2 A2 cos(t 2 )
i
S
ut
波动11
小结：
1 2 2 1、平均能量密度： w A 2
2、平 均 能 流： 3、平均能流密度：
焦 /米 3 瓦特 瓦 /米 2
P w uS
I w u
例1、机械波在弹性介质中传播时，某体积元位移 达到负最大值时，体积元中动能和势能为：【 】 D A、动能最大，势能最大； B、动能最大，势能为0；
y(m) 4 2 O -4
波动8
y(m) 2 t ( s) 4 2 O -4
波动9
2 x(m)
主要内容:
1. 波的能量与简谐振动的能量相比较, 有哪些特点? 2. 什么是波的强度? 它与波的振幅有什么关系?
一、波中“质元”的能量
波动的过程是能量传播的过程 波动方程：
x y A cos (t ) u
在空间形成强弱相间的稳定分布，这种现象
成为“波的干涉”（是波的共性）
2）干涉加强减弱的条件：
r1 y1P A1 cos[ (t ) 1 ] u r2 y2 P A2 cos[ (t ) 2 ] u
P点的合振动：
S1
r1 r2
P
S2
yP y1P y2 P A cos(t )

波的能量(新)

波的能量(新)
§10-3 波的能量
一 、媒质元的能量 波动是状态的传播过程，也是能量的传播过程。 波动是状态的传播过程，也是能量的传播过程。 以棒的纵波为例， 有一行波在棒中传播： 以棒的纵波为例，设有一行波在棒中传播： 设棒的密度为ρ; 截面积为S,距原点为 处取长为dx的 距原点为x处取长为 设棒的密度为ρ; 截面积为 距原点为 处取长为 的媒质元：
A sin(ϕ1 − 1
2πr1
) + A2 sin(ϕ2 −
2πr2
)
A=
2 2 A1 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos ∆ϕ
A与时间无关，与 ∆ϕ 有关 与时间无关， 与时间无关
∆ ϕ = (ϕ 2 − ϕ 1 ) − 2π
振源相差
r2 − r1
当两相干波源为同相波源时 当两相干波源为同相波源时 ，即 同相波源
∆ϕ = 2π (r1 − r2 )
λ
δ = 2π λ
ϕ 2 = ϕ1
δ = ± kλ
3)
k = 0 ,1, 2 , L
振动始终加强
A = A1 + A2
δ = ± (k + 1 2)λ
A = A1 − A2
k = 0 ,1, 2 , L
A r y = cos ω (t − ) r u
1 球面波的强度与半径的平方成反比 I ∝ 2 r
§10-4 惠更斯原理 波的衍射 10一、惠更斯原理(C.Huygens，1678年) 惠更斯原理( ， 年
表述： 表述： 媒质中波动传播到的各点都可以视为是发射 子波的新波源，而其后任意时刻， 子波的新波源，而其后任意时刻，这些子波的包 络面就是新的波阵面。 络面就是新的波阵面。

波的能量公式

波的能量公式波是运动性物体，它是由能量和物质的共同运动而产生的一种物理现象。

波的能量公式可以用来衡量波的能量，并用于计算物理学中波的性质和行为。

波的能量公式是：E = mc2，其中，E表示波的能量，m表示波的质量，c表示光速。

从这一公式可以看出，波的能量随着质量和光速的增大而增大，因此，如果想让波具有更大的能量，可以改变其质量或者以更大的光速来发出波。

由于波的能量受到质量和光速的影响，所以波的振动频率也受到相同的影响。

由于质量比光速大的多，所以改变波的质量更能明显改变波的振动频率。

例如，如果质量增大，波的振动频率也会随之增大，反之，如果质量减小，波的振动频率会随之减小。

另外，光速也会影响波的振动频率，但其影响不会像质量的影响一样明显。

另外，光速本身是一个恒定的值，并且随着距离的增加而减小，因此，光速对波的振动频率的影响也是一个“减弱”过程，也就是随着距离的增加，波的振动频率会逐步减小。

此外，波的能量公式还可以用于计算波的总能量。

例如，假设一个波可以被分解为多个独立的小波，那么这个波的总能量就可以通过将每个小波的能量加总得到。

也就是说，总能量=小波的能量之和。

最后，波的能量公式还可以用来计算波的机械能。

就是说，波的机械能=波的能量×波的振动频率。

由此可见，波的机械能主要取决于波的能量以及波的振动频率，而这两者又与波的质量以及光速有关，因此，波的机械能也受到质量和光速的影响。

综上所述，波的能量公式不仅可以用来衡量波的能量，而且还可以用来计算波的振动频率、总能量以及机械能，它同时还受到质量和光速的影响。

因此，运用波的能量公式，可以更深入的了解波的性质，从而有助于我们更好的使用它们。

波的能量


式中的I0 和I 分别为x=0 和x=x 处的波的强度。
第三节 波的能量
I I 0e
x

1 2 I 0 uA0 2 2 1 1 2 2 2 2 I uA uA0 e 2 2
x
A A0e
x / 2
A0为x = 0 处的振幅。
W x 2 2 2 w A sin t V u
能量密度在一个周期内的平均值，称为平均能 量密度 w ：
1 2 2 w A 2
(因为正弦函数的平方在一个周期里的平均值为 1/2)
第三节 波的能量
注意： 波动到达的任意一个体积元时，则： 1、它的动能和势能以及机械能都随时间而发生变化， 并且均为周期性函数。
2、它在任意时刻所具有的势能和动能虽然均相等，
但该体积元的机械能不守恒。
第三节 波的能量
2.波的强度
能流 —— 在介质中垂直于波速方向取一面积S ，在单 位时间内通过S 的能量。
u
d W wSu d t P wSu dt dt
2 2 2
S
uSA sin (t x u)
第三节 波的能量
具体讨论波的吸收衰减
设平面简谐波在均匀介质中沿x轴正方向传播， 在x＝0处，I＝I0，在x处波的强度衰减为I，通过厚度 为dx的一层介质时，由于介质的吸收，波的强度减 弱了－dI，实验表明：
dI Id x
---介质的吸收系数。
代入边界条件求解得：
I I 0e
x
第三节
主要内容：
掌握
波的能量
理解 了解
一、波的能量和强度 二、波的衰减
第三节 波的能量

大学物理-波的能量

若波在各向异性或不均匀介质中传播时，同样能 应用惠更斯原理找出波前，确定波的传播方向。但是， 此时波前的几何形状和传播方向都可能发生变化。
二、波的衍射 衍射（绕射）--波动在传播过程中遇到障碍物时
能绕过障碍物的边缘继续前进的现象
能够衍射的条件：缝宽（对缝而言）
a 或障碍物的线度 a
三、波的反射和折射
在波动过程中，任一介质元将在平衡位置附近振动，故具 有动能；同时，弹性介质元在波动过程中因发生形变而具有弹 性势能。因此，波的机械能是由动能和弹性势能之和组成的，
下面就讨论波的能量问题
以平面余弦弹性纵波在棒中传播的情形为例，对能
量的传播作简单说明。
y Acos
(t
x
)
u
波动媒质中一体积元 V中的能量
E EK EP
VA2 2 sin 2 (t x )
二、能流和能流密度（波强）
u
为了精确地描述波的能量分布，引入能量密度
1、能量密度---介质中单位体积中的波动能量
w E A2 2 sin 2 (t x )
V
u
能量密度描述了介质中各点能量（即振动能量）的分布
由间上t 而式周可期知变—w化—的波。的A能2量2 密sin度2是随(t介质ux的) 空间坐标 x 和时
1、反射定律：波在媒质介面上传播时，入射角等于反射
角，入射线反射线及介面的法线均在同 一平面内。
介面 i i' i i'
i
“1”
r “2”
2、折射定律：波经过两种媒质介面进行折射（媒质“1”
进入媒质“2”）时，入射角的正弦与折射角的正弦之比等
到于波在第一种媒质中的波速与在第二种媒质中的波速之
比

波的能量与强度

波的能量与强度波是一种在空间中传播的物理现象，具有一定的能量和强度。

波的能量与强度是我们研究波动现象的重要指标，它们在多个学科领域中具有广泛的应用。

本文将探讨波的能量与强度的概念、计算方法以及相关的实际应用。

一、波的能量波的能量是指波传播过程中所携带的能量。

根据波的性质和媒介不同，波的能量可以有不同的形式，例如：机械波的能量主要由波动介质的运动能量组成，电磁波的能量则是由电场和磁场的能量共同构成。

波的能量与波的振幅密切相关。

以机械波为例，机械波的传播需要介质的参与，介质中的微观粒子以一定频率和振幅进行振动，从而传递能量。

波的振幅越大，介质微观粒子的振动范围越大，所携带的能量也越大。

波的能量与波速和波长有关。

波的速度指的是波的传播速度，而波长则是波的周期性重复的最短距离。

波的能量与波速和波长正相关，即波速越大、波长越小，波的能量也越大。

二、波的强度波的强度是指波通过单位面积传播或到达某一点的能量。

强度反映了波的能流密度，即单位时间内通过单位面积的能量。

波的强度与波的能量和传播面积有关。

对于机械波，强度与波的能量和波的传播面积呈正比。

以电磁波为例，波的强度与波的能量和电磁波的传播面积呈正比，而与传播距离无关。

三、波的能量和强度的计算波的能量和强度的计算可以根据波动方程和相关参数进行推导。

对于机械波，能量密度（单位体积的能量）可以表示为能量与体积的比值。

波的强度可以表示为能量密度与波速的乘积。

具体计算公式如下：能量密度= (1/2) * ρ * v^2 * A^2其中，ρ是介质的密度，v是波速，A是波的振幅。

波的强度 I = 能量密度 * v对于电磁波，能量密度可以表示为能量与电磁波的传播体积的比值。

波的强度可以表示为能量密度与光速的乘积。

具体计算公式如下：能量密度= (1/2) * ε₀ * E^2波的强度 I = 能量密度 * c其中，ε₀是真空中的电介质常数，E是电场的振幅，c是光速。

四、波的能量与强度的应用1. 医学领域中的超声波技术利用声波的能量和强度，可以检测和治疗疾病。

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I S u I 2 2 A2 2u
通常
I 2 2 zA2 2
I 1 A2 2u
2
z u 是表征介质特性的一个常量，
——称为介质的特性阻抗
说明：
S u I 2 2 A2 2u
上式根据平面简谐波得到的结论， 但是波的强度与波的振幅、波的频率的 平方成正比的结论对任何弹性波都成立. 波的能量密度表征媒质中某点质元的
一．有波传播时媒质质元的能量
（以平面纵波在固体细长棒中的传播为例）
设有一截面积为 S ，密度为 ρ 的固体细棒，
一平面纵波沿棒长方向传播。
a
b u
o●●
S
x●
●
x
x x
选棒长的方向为 x 轴，在棒上距 o 点 x 处附近 取一长为 Δx 质元 ab ，
a
b u
o●●
S
x●
x
x x

a
W 1 mv2 K2
1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
2

0
1）求势能：
a
b u
o●●

x●
d
●
x
x x
t
a
b u
时
o●
刻
y●
●
y y
x
当有纵波传播时，在应力作用下质元 ab 发生线变,
设 t 时刻质元 ab 正被拉长，
由图上几何关系，质元 ab 长度变化为 Δy
能量的大小. 能流密度表征媒质中某点， 能量传播的多少和快慢.
例:波动的能量与那些物理量有关?比较波动的能量与 简谐运动的能量.
答: 1 V 2 A2
2
W
P
o
W K
1 KA2 2
yt
o
E P
E K
x
E E
K
P
t
从波的能量密度公式可知 W 2 A2 sin2 (t 2 x )
2 2 A2 2
通过面积 ΔS 的平均能流 P Su
P 2 2 A2 2Su
2. 能流密度
通过垂直波传播方向的单位面积的能流 ——称作能流密度
S P u S
记作 S
2. 能流密度
S P u S
平均能流密度又称波的强度
2 2 A2 2 记作 I 2
y 2 Asin( t 2 x )
x

a
WP

1 ESx( 2
2

)2 A2 sin2 (t
2
x 0)
2 ，T
T
u
2 u
u
E

E u2 V Sx
所以 t 时刻质元 ab 的弹性势能
WP

1 2
ESx( 2 )2 A2 sin2 (t
1 V 2 A2
2
W
P
o
W K y
弹簧振子的动能和势能振动曲线
1 KA2 2
o
E P
E K
x
t
E E
K
P
t
1 V 2 A2
2
W
P
o
W K yt
1 KA2 2
o
E P
E K
x
E E
K
P
t
讨论题 质元的动能和势能为何同时达最大同时达最小？
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
●
●
o
x
S
x
在媒质中垂直波传播方向距离原点 x 处
取一面积 ΔS ，考虑 dt 时间通过面积 ΔS 的能量
●
●
o
x
u
S
x
udt
在面积 ΔS 后做一方体，侧面积为 ΔS，宽为 udt dt时间通过面积 ΔS 的能量就等于方体中的能量 设能量密度为 Ω，方体的体积为 Δsudt 方体中的能量 ΩΔSudt， 所以 dt 时间通过面积 ΔS 的能量 ΩΔSudt
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
K2

0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
P2

0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
K2

0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )

0
表明：质元的总能量随时间作周期性变化， 时而达到最大值，时而为零
意味着：在波传播的细棒中有能量在传播
把这样的波称作行波 ——既传播振动形式又传播振动能量
当媒质中有机械波传播时，媒质的质元具有机械能
为了描述媒质中能量分布状况引入——能量密度
二．能量密度
波传播时 ，媒质中单位体积内的能量 ——称作波的能量密度
(t

2
x )dt 0
1 A 2 2
2
2 2 A2 2 2
此式表明： 平均能量密度和媒质密度、 波的振幅、波的频率的 平方成正比。
2 2 A2 2
这一公式是从平面简谐纵波的特殊情况得到的， 平均能量密度和波的振幅、波的频率的平方成正 比的结论，对各种弹性波都成立。
A2 2
能量密度表示某一时刻质元所具有的机械能的大小， 但并没有反映能量是如何传播的， 为此引入能流密度来说明能量在媒质中的传播。
三．能流密度
1. 能流 当媒质中有波传播时，任取一截面， 单位时间通过该截面的能量 ——称作通过该面积的能流
能流的计算
记作 P
能流的计算
以平面简谐波为例
设一平面简谐波沿 x 方向传播，如图 u
x
Δy 为 质元 ab 长度变化 ES / x 为常数
与弹簧比较 f弹簧 Kx
弹簧的弹性势能
W弹簧P

1 2
Kx 2
所以时刻质元 ab
的弹性势能
WP

1 2
ES x
(y)2
（对比而得的）
所以 t 时刻质元 ab
的弹性势能
WP

1 2
ES x
(y)2
y y x y t y x 考虑 t 时刻
P2

0
质元的动能和势能都随时间作简谐振动，
而且它们具有相同的振幅、角频率、相位。
1 V 2 A2
2
W P
W K
o
y
t
1 V 2 A2
2
W P
W K
o t
y
意味着，质元经过平衡位置时， 具有最大的振动速度，同时其形变也最大。
这一点与孤立的振动系统显著不同，作一比较
质元的动能和势能的振动曲线
x t x
所以 t 0
WP

1 2
ES x
( y x
x)2

1 2
ESx( y )2 x
y Acos( t 2 x )

a
y 2 Asin( t 2 x )
x

a
所以 t 时刻质元 ab
的弹性势能
WP

1 2
ESx( y )2 x
V

0
波动的能量不但与体积有关,且与,A,,u.
波动的能量与简谐运动的能量有显著的不同,在简谐 振动系统中,动能和势能有/2的相位差,系统的机械 能是守恒的.在波动中,动能和势能的变化是同相位 的,对任何体积元来说,系统的机械能是不守恒的.
记作 Ω
W 2 A2 sin2 (t 2 x )
V

0
在一个周期内能量密度的平均值称作平均能量密度
W 2 A2 sin2 (t 2 x )
V

0
在一个周期内能量密度的平均值称作平均能量密度

1 T
T
0

2
A2
sin 2
a
b u
o●●

x●
d
●
x
x x
t
时 刻
o●
a
b
y●
●
y y
u x
质元 ab 长度变化为 Δy
质元 ab 的应变为 y x
质元 ab 的原长 Δx
a
b u
o●●

x●
d
●
x
x x
t
时 刻
o●
a
b
y●
●
y y
u x
y x
由胡克定律
E y
质元 ab 所受应力
x
E 杨氏模量。
a
b uoLeabharlann ●x● d
●
x
x x
t
时 刻
o●
a
b
y●
●
y y
u x
E y
x
质元 ab
所受弹性力
f S ES y
x
Δy 为 质元 ab 长度变化 ES / x 为常数
t 时刻质元 ab
所受弹性力
f S ES y
●
●
o
x
u
S
x
udt
2 A2 sin2 (t 2 x )

0
dt 时间通过面积 ΔS 的能量 ΩΔSudt
单位时间通过面积 ΔS 的能量——能流
显然， P 和 Ω 一样， P Sudt Su
是随时间周期性地变化
dt
P Sudt Su dt
2
x 0)
2 u