高中数学：2.5等比数列的前n项和(第2课时) 教案

等比数列前n项和教学设计一、教学内容与任务分析《等比数列的前n项和》的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版数学必修五第二章第五节2.5等比数列前n项和，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系。

一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”，以及生活中如储蓄、分期付款的应用作准备。

二、学生者分析学生是高中刚入学的学生，有一定的分析问题、解决问题的能力，已经学习了等比数列的概念及通项公式，学习了等差数列前n项和，对于公式推导归纳的过程有了一定的了解。

但等比数列前n项和的公式与等差数列有所差别，而学生的思维虽然活跃，但看问题可能不够严谨全面，公式中的一些注意点往往会被忽视。

三、教学重难点重点：等比数列前n项和的推导及其简单应用。

难点：等比数列前n项和的推导，推导过程中错位相减的思想的掌握四、教学目标1. 知识与技能目标（1）理解等比数列的前n项和公式的推导方法（2）能说出等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题2. 过程与方法目标（1）通过公式的推导过程，提高建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力（2）体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想3. 情感态度价值观目标（1）经历对公式的探索，激发求知欲，大胆尝试、勇于探索、从中获得成功的体验（2）体会数学的应用价值，理论联系实际的辩证思维五、教学过程一、创设情境情境：话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO ．可好景不长，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙．悟空一口答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第一天起你必须返还给我1元，第二天返还2元，第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍．”八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出1元，收入100万；第二天：支出2元，收入100万，第三天：支出4元，收入100万元；……哇，发财了……” 心里越想越美……再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？”师：假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资？又该返还给悟空多少钱？【学情预设】学生对于情境有较强的兴趣，在讨论后会给出一些答案。

2.5等比数列的前n 项和（第２课时）教案●学习目标知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.●教学重点进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式●教学难点灵活使用公式解决问题●教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②Ⅱ.讲授新课例1、在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418a =，求该数列的前10项和。

例2、等比数列{}n a 的前3项和为13，前6项和为364，求12S 。

例3、已知数列{}n a 的前n 项和215-=n n S ，求数列{}n a 的通项公式。

{}n a 是否为等比数列？若是请证明。

若不是请说明理由。

变式：若等比数列{}n a 的前n 项和a S n n +=3，则a 等于 （ ）A. 4-B. 2-C. 0D. 1-例4、数列{}n a 满足()2121,111≥+==-n a a a n n 。

（1） 若2-=n n a b ，求证{}n b 为等比数列；（2）求{}n a 的通项公式。

Ⅲ.课堂练习1、等比数列前n 项和为54，前n 2项和为60，则前n 3项和为 （ ）A. 54B. 64C. 3266D. 3260 2、一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折（沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为 （ ）A. b a 81,8 B. b a 641,64 C. b a 1281,128 D. b a 2561,256 3、已知公比为q ()1≠q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为 （ ） A. nnS q B. n n q S C. 11-n n q S D. 121-n n q a S4、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求公比q 。

等比数列前n项和公式教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的基本性质。

2. 引导学生通过观察、分析、归纳等比数列前n项和的公式。

3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 等比数列的概念及基本性质。

2. 等比数列前n项和的公式推导。

3. 等比数列前n项和公式的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列前n项和公式的推导及应用。

2. 教学难点：等比数列前n项和公式的理解与运用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等比数列前n项和的公式。

2. 运用案例分析法，让学生通过具体例子体会等比数列前n项和公式的应用。

3. 采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力。

五、教学过程1. 导入：回顾等差数列的前n项和公式，引出等比数列前n项和公式的探究。

2. 新课：介绍等比数列的概念及基本性质，引导学生观察等比数列的前n项和的特点。

3. 推导：引导学生通过观察、分析等比数列的前n项和，归纳出等比数列前n项和的公式。

4. 巩固：通过例题讲解，让学生掌握等比数列前n项和的公式的应用。

5. 拓展：引导学生思考等比数列前n项和公式的推广应用，提高学生的思维能力。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等比数列前n项和公式的关键点。

7. 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对等比数列概念和性质的理解程度，以及学生对等比数列前n项和公式的掌握情况。

2. 练习题：布置课后练习题，检验学生对等比数列前n项和公式的应用能力。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生对等比数列前n项和公式的理解深度和团队合作能力。

七、教学反思1. 教师总结：本节课结束后，教师应总结自己在教学过程中的优点和不足，如教学方法、课堂组织等。

2. 学生反馈：收集学生对等比数列前n项和公式的学习反馈，了解学生的掌握情况，为后续教学提供参考。

必修5 2.5 等比数列的前n 项和（学案） （第2 课时）【知识要点】1. 等比数列的前n 项和公式；2.等比数列的前n 项和公式的推导方法；3. 等比数列的前n 项和公式的实际问题． 【学习要求】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 2. 掌握等比数列前n 项和公式的推导方法并应用求和； 3.利用基本公式总结等比数列的和的性质．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 57 页～第 60页）．1. 数列{}n a 为等比数列，n s 前n 项和，则⋅⋅⋅--,,,232n n n n n s s s s s 成 数列．2.若某数列前n 项和为)1,0(1≠≠-=a a a s n n ，则{}n a 为 数列．3.在等比数列中，若项数为()+∈N n n 2,偶S 与奇S 分别为偶数项与奇数项的和，则偶S ÷=奇S ．4. 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则m n S + m n n s q S +（大小关系）．5. 本节数列求和的方法：拆项法、错位相减法． 【基础练习】1.数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅-,3,,3,11n 的前n 项和()．()A 13-n()B 213-n ()C 23n ()D 2131-+n ． 2.数列{}121-+n 的前n 项和为()．()A n 21+ ()B n 22+ ()C 12-+n n ()D n n 22++3. 在等比数列{}n a 中，若3321=++a a a ，1432=++a a a ，则=++543a a a ()． ()A 31 ()B 3 ()C 9 ()D 27．4. 已知数列{}n a 的通项公式为,2n n n a ⋅=求{}n a 的前n 项和．5.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台（结果保留到个位）？ 【典型例题】类型一 等比数列前n 项和的性质应用例1 （1）在等比数列{}n a 中，已知,60,482==n n s s 求.3n s（2）已知一个项数为偶数，首相为1的等比数列，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比及项数.【变式练习】.lg 2lg lg }{12++<+n n n n n S SS ，n ，S a 求证项的和是其前列是由正数组成的等比数设类型二 利用错位相减法求数列的和 类型三 等差或等比数列模型解应用题例2 （1）一个球从100高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下． ①当它第10次着地时，经过的路程共是多少？②当它第几次着地时，经过的总路程共是？m 75.293？（2）陈老师购买安居工程集资房72平方米，单价为1000元/平方米，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余额由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，在经过一年又付款一次，等等，共付10次10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算，那么每年应付款多少元？（计算结果精确到百元）（参考下列数据1.0759=1.921，1.07510=2.065，1.07511=2.221）1.在等比数列{a n }中，s 4=1,s 8=3,则a 17+a 18+a 19+a 20等于( ) .（A ） 14. （B ） 16. （C ） 18 （D ）20.2．已知线段1,A a PQ =是线段PQ 的中点，2A 是线段1QA 的中点，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点, n A 是线段12--n n A A 的中点，则n PA 的长为（ ）.()A ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙+1211n n a ()B ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙+121132n n a ()C ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙n n a 21()D ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙n n a 211323．求和：=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++n333333333().()A 32710101n n --+()B 39110n n --()C 9110--n n ()D 910n4． 设等比数列{}n a 的前n 项和为,n s 若,62,22004200520032004+==s a s a 则数列{}n a的公比为（ ）.()A 2 ()B 4 ()C 5 ()D 35．设等比数列{}n a 的前n 项和为,n s ,11121na a a Wn +⋅⋅⋅++=如果,108=a 则=1515:W s .6． 等比数列{}n a 共有n 2项，其和为,240-且奇数项的和比偶数项的和大,80则公比为 .7． 设等比数列{}n a 的公比为q （q>0)，它的前n 项和为40,前2n 项和为3280,且前n 项中数值最大项为27,求数列的第2n 项．8．数列{}n a 中，⎩⎨⎧-=为偶数）（为奇数n n n an n3)(12，求其前n 项和.9．已知数列{}n a 中，,51=a 且当1>n 时，,121-+⋅⋅⋅++=n n a a a a 求数列{}n a 的通项公式.10．已知数列{},,,,,,:321⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n a a a a a 构成一个新数列：,),(,),(),(,123121⋅⋅⋅-⋅⋅⋅---n n a a a a a a a 此数列是首项为1，公比31的等比数列. （1） 求数列{}n a 的通项；（2）求数列{}n a 的前n 项和n s .1． (2008，江西)等差数列{an}的各项均为正数，,31=a 前n 项和为Sn,{bn} 为等比数列，,11=b 且,6422=⋅s b .96033=⋅s b.bn a n 与求必修5 2.5 等比数列的前n 项和（教案）（第2 课时）【教学目标】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 2. 掌握等比数列前n 项和公式的推导方法并应用求和； 3. 利用基本公式总结等比数列的和的性质． 【重点】1．掌握等比数列的前n 项和公式的推导方法及和的性质应用． 【难点】1. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧． 2．利用基本公式总结等比数列的和的性质并应用． 3. 数列应用题的建模能力的培养．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 57 页～第 60 页）． 1. 数列{}n a 为等比数列，n s 前n 项和，则⋅⋅⋅--,,,232n n n n n s s s s s 成 等比 数列． 2.若某数列前n 项和为)1,0(1≠≠-=a a a s n n ，则{}n a 为 等比 数列．3.在等比数列中，若项数为()+∈N n n 2,偶S 与奇S 分别为偶数项与奇数项的和，则偶S ÷=奇S q ．4. 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则m n S + = .m n n s q S +5. 本节数列求和的方法：拆项法、错位相减法． 【基础练习】1.数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅-,3,,3,11n 的前n 项和()B ．()A 13-n()B 213-n ()C 23n ()D 2131-+n ．2.数列{}121-+n 的前n 项和为()C ．()A n 21+ ()B n 22+ ()C 12-+n n ()D n n 22++3. 在等比数列{}n a 中，若3321=++a a a ，1432=++a a a ，则=++543a a a ()A ．()A 31 ()B 3 ()C 9 ()D 27．4. 已知数列{}n a 的通项公式为,2n n n a ⋅=求{}n a 的前n 项和．解：因为,2n n n a ⋅=所以{}n a 是一个等差数列{}n 与等比数列{}n 2对应项的积构成的新数列，故可以用错位相减法求解．,22222n n n s ⋅+⋅⋅⋅+⋅+=,22)1(2222132+⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+=n n n n n s两式相减得：,2)222(12+⋅-+⋅⋅⋅++=-n n n n s 故.22)1(1+-=+n n n s5.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台（结果保留到个位）？解：由题意得，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所有从今年起每年的销售量组成一个等比数列{}n a ，其中.30000,1.1%101,50001==+==n s q a得,300001.11)1.11(5000=--n 得6.11.1=n ，两边取对数得.6.1.6.1lg 1.1lg ==n 故.51.1lg 6.1lg ≈=n 答：大约5年可以使总销量达到30000台． 【典型例题】类型一 等比数列前n 项和的性质应用例1 （1）在等比数列{}n a 中，已知,60,482==n n s s 求.3n s（2）已知一个项数为偶数，首相为1的等比数列，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比及项数.【审题要津】数列公式的应用在于抓住基本量和基本公式联立方程组的通法求解，也要注意结合常见的性质规律思考．解：（1）法1：,1,22≠∴≠q s s n n由已知得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--60114811211qq a q q a nn， 两式相除得451=+nq ，即41=nq ，代入上式得,6411=-qa ().6341164113313=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=∴q q a s n n法2： {}n a 成等比数列，n n n n n s s s s s 232,,--∴也成等比数列，),()(2322n n n n n s s s s s -=-∴.633=∴n s（2）设原等比数列的公比为,q 项数为)(2*N n n ∈.由已知,1,11≠=q a 具有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--170118511222qq q q q nn，相除得,2=q .4,2564,854141=∴==--∴n n n故公比为2，项数为8.【方法总结】运用性质时要注意的是⋅⋅⋅--,,,232n n n n n s s s s s 成等比数列，而不是⋅⋅⋅,,,32n n n s s s 成等比数列.【变式练习】.lg 2lg lg }{12++<+n n n n n S S S ，n ，S a 求证项的和是其前列是由正数组成的等比数设)()()(.,0,}{:111111111111121211211<-=-=--+=+-+=-∴+=+=>++++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a S S a S qS S a S qS S a S qS a qS a S S S S qS a S qS a S ，q q a 则且的公比为设证明 类型二 等差或等比数列模型解应用题例2 （1）一个球从100高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下． ①当它第10次着地时，经过的路程共是多少？②当它第几次着地时，经过的总路程共是？m 75.293？【审题要津】本题为应用题，认真审题后将实际问题转化到等比数列的数学问题来解决．解：（1）第10次着地时，经过的路程共是)222(1002100)21002550(21009219----+⋅⋅⋅++⨯+=⨯+⋅⋅⋅+++)m (61.29921)21(2200100191≈--⨯+=--- （2）设第n 次着地时，经过的路程为)m (75.293，则75.29321)21(2200100)222(10021001)1(1)1(21=--⨯+=+⋅⋅⋅++⨯+--------n n 所有,75.29322003001=⨯--n 解得,03125.021=-n 所以,51-=-n 则.6=n【方法总结】本题的数学模型是等比数列，弄清已知什么，求什么，转化为等比数列中知三求二问题．（2）陈老师购买安居工程集资房72平方米，单价为1000元/平方米，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余额由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，在经过一年又付款一次等等，共付10次10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算，那么每年应付款多少元？（计算结果精确到百元）（参考下列数据1.0759=1.921，1.07510=2.065，1.07511=2.221） 【审题要津】类比于以前解决应用题的办法加强审题，明确转化的数列的类型和已知、所求，这里要特别注意从题意中理解分期付款的含义.解：设每年应付款x 元，那么到最后一次付款时（即购房10年后），第1年付款及所生利息之和为x×9元， 第2年付款及所生利息之和为x×1.0758……，第9年付款及所生利息之和为x×1.075元，第10年付款为x 元，而所购房余款的现价及其利息之和为 ［1000×72-（28800+14400）］×1.07510=28800×1.07510元， ∴x(1+1.075+1.0752+……+1.0759)=28800×1.07510∴x=28800×2.065×0.070≈4200. 故每年需付款4200元.【方法总结】解决数列应用题的步骤：1.认真审题，准确理解题意，明确是等差还是等比数列，弄清已知什么，求什么；2.抓住数量关系，联想数学知识和方法，将数量关系用数学式子表示；3.将数学问题转化为实际问题.1.在等比数列{}n a 中，s 4=1,s 8=3,则a 17+a 18+a 19+a 20等于( B ) .（A ） 14. （B ） 16. （C ） 18 （D ）20.2．已知线段1,A a PQ =是线段PQ 的中点，2A 是线段1QA 的中点，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点, n A 是线段12--n n A A 的中点，则n PA 的长为（B ）.()A ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙+1211n n a ()B ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙+121132n n a ()C ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙n n a 21()D ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙n n a 211323．求和：=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++n 333333333()A .()A 32710101n n --+()B 39110n n --()C 9110--n n ()D 910n4． 设等比数列{}n a 的前n 项和为,n s 若,62,22004200520032004+==s a s a 则数列{}n a 的公比为（A ）.()A 2 ()B 4 ()C 5 ()D 35．设等比数列{}n a 的前n 项和为,n s ,11121na a a Wn +⋅⋅⋅++=如果,108=a 则1515:W s 1:100 .6． 等比数列{}n a 共有n 2项，其和为,240-且奇数项的和比偶数项的和大,80则公比为 2 .7． 设等比数列{}n a 的公比为q （q>0)，它的前n 项和为40,前2n 项和为3280,且前n 项中数值最大项为27,求数列的第2n 项。

高二数学组集体备课教案（第七周10月17日）课题：2.5等比数列的前n 项和(两个课时)教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题；（2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想；（3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质；教学重点：（1）等比数列的前n 项和公式；（2）等比数列的前n 项和公式的应用；教学难点：等比数列的前n 项和公式的推导；教学方法：问题探索法及启发式讲授法教 具：多媒体教学过程：一、复习提问回顾等比数列定义，通项公式（1）等比数列定义：q a a n n =-1（2n ≥，)0≠q（2）等比数列通项公式：)0,(111≠=-q a q a a n n （3）等差数列前n 项和公式的推导方法：倒序相加法。

二、问题引入：阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。

问题:如何计算引出课题:等比数列的前n 项和。

三、问题探讨：问题：如何求等比数列{}n a 的前n 项和公式=n S 123n a a a a ++++22111111--=+++++n n a a q a q a q a q23636412222S =+++++倒序相加法。

等差数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321 根据等差数列的定义1+-=n n a a d[]1111()(2)（n-1)=+++++++n S a a d a d a d （1）[]()(2)-（n-1)=+-+-++n n n n n S a a d a d a d （2） （1）+（2）得：12()=+n n S n a a 1()2+=n n n a a S 探究：等比数列的前n 项和公式是否能用倒序相加法推导？=n S 123n a a a a ++++ 22111111--=+++++n n a a q a q a q a q 221--=+++++n n n n n n n n a a a a S a q q q q 学生讨论分析，得出等比数列的前n 项和公式不能用倒序相加法推导。

§2.5等比数列前n项和教学设计永吉四中数学郎苗一、教材分析1、教学内容：《等比数列的前n项和》是高中数学人教A版《必修5》第一章《数列》第5节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．2、教材分析：《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析1、知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.2、认知水平与能力：高二学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．3、任教班级学生特点：我班学生基础知识还行、思维较活跃，应该能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题．三、目标分析教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.知识与技能理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能简单的应用公式.2．过程与方法在推导公式的过程中渗透类比，方程，特殊到一般的数学思想、方法，优化学生思维品质．3.情感态度与价值观通过故事引入，学生自主探索公式，激发他们的求知欲，体验错位相减法所折射出的数学方法美及学好数学的必要性.教学重、难点1.重点：等比数列的前n项和公式的推导和公式的简单应用．2.难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式四、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究—发现—应用”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法引导．学生的学法：突出探究、发现与应用五、教学过程设计数列。

等比数列的前n 项和（第二课时）一 教学内容分析：1． 《等比数列的前n 项和》（第二课时）是数列这一章中的一个重要内容,在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式应用过程中所渗透的化归、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和q 公比的各种情况的讨论。

3. 公式的灵活应用三 教学目标:1.知识与技能目标:能运用等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题；理解分期付款中的有关规定，掌握分期付款中的有关计算．能运用等差、等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题。

2过程与方法目标：通过对公式的应用提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想。

3.情感与态度目标：通过公式的应用，激发学生求知欲。

四 教学重点与难点:教学重点：进一步熟悉掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式的理解、推导及应用．教学难点：将实际问题转化为数学问题（数学建模）．五 教学过程：(一)．复习旧知：问题1:等比数列的通项公式；问题2:等比数列的求和公式;(二)问题情境：某厂去年的产值记为1，计划在今后的五年内每年的产值比上一年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为多少？问题3：从今年起的五年内这个厂的逐年产值有什么特征？利用什么公式求总产值？由于每年的产值比上一年增长10%，所以从今年起的五年内这个厂的逐年产值组成等比数列记为{}n a ，其中1 1.1a =，110%q =+，可利用等比数列的前n 项求和公式求总产值5S ．5515(1)11(1.11)1a q S q-==--． (三) 公式应用例1.教科书第56面例2(四)课堂练习教科书第58面第3题(五) 巩固提高例2．在等比数列{}na 中，已知510=S ，1520=S ，求30S 。

(六)形成规律S n 为等比数列的前n 项和, 0≠n S ，则),(,,*232N k S S S S S k k k k k ∈--是等比数列．解：设等比数列{}n a 首项是1a ，公比为q,①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列. ∵此时，k k k k k S S S S S 232-=-= =0.(例如：数列1,－1,1,－1,…是公比为－1的等比数列，46242S S S S S -=-=S 2=0 ) ②当q ≠－1或k 为奇数时，k S ＝k a a a a +++3210≠k k S S -2＝)(321k k a a a a q +++0≠k k S S 23-＝)(3212k k a a a a q +++0≠⇒k k k k k S S S S S 232,,--（+∈N k ）成等比数列． 评述：①注意公比q 的各种取值情况的讨论，②不要忽视等比数列的各项都不为0的前提条件．(七)课堂练习1.教科书第58面第2题2．设等比数列{}n a 的前n 项和a S n n+=3，求常数a 的值。

《2.5 等比数列前n项和》教学案3教学目标1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；2.探索并掌握等比数列前n项和公式；3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.教学重点1.等比数列前n项和公式的推导；2.等比数列前n项和公式的应用.教学难点等比数列前n项和公式的推导.教学过程导入新课问题国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？问题“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.问题假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？问题这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：1+2+22+…+263=？问题我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前6 4项的和.现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：S=1+2+22+23+…+263，①2S=2+22+23+…+263+264，②②-①得2S-S=2 64-1.264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g ，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.问题 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.推进新课 ［合作探究］问题 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q 2+…+q n =？ 问题 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.问题 若将上式左边的每一项乘以公比q ，就出现了什么样的结果呢？如果记S n =1+q+q 2+…+q n ，那么qS n =q+q 2+…+q n +q n +1.要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =1-q n .问题 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值.如果q≠1，则有q q S n--=11.问题 当然，我们还要考虑一下如果q ＝1问题是什么样的结果.如果q ＝1，那么S n =n .问题 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示：a 1+a 2+a 3+…+a n =？［教问题精讲］问题 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.问题 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ，那么qS n =a 1q+a 2q+a 3q+…+a n q ，要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a n q.问题 再次提醒学生注意q 的取值.如果q ≠1，则有q q a a S n n --=11.问题 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1，那么qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n ，要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a 1q n .如果q≠1，则有q q a S n n --=1)1(1.问题 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”. 形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1， q ，a n ，S n ，n 中a 1，q ，a n ，S n 四个；后者出现的是a 1，q ，S n ，n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地.值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.问题 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q ＝1问题是什么样的结果呢？ 问题 完全正确.如果q ＝1，那么S n =na n .正确吗？怎么解释？问题 等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下： ［合作探究］思路一：根据等比数列的定义，我们有：q a a a a a a a a n n =====-1342312...， 再由合比定理，则得qa a a a a a a a n n=++++++++-1321432......， 即qa S a S n n n =--1， 从而就有(1-q)S n =a 1-a n q.(以下从略)思路二：由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得S n =a 1+a 1q+a 2q+…+a n -1q=a 1+q(a 1+a 2+…+a n -1)=a 1+q(S n -a n )，从而得(1-q)S n =a 1-a n q.(以下从略) 问题 探究中我们们应该发现，S n -S n -1=a n 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n 的取值应该满足什么条件？问题 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n -S n -1=a n ，n ＞ 1.问题 综合上面的探究过程，我们得出： ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,1,1,11≠⎪⎩⎪⎨⎧--=q q q a a q na n［例题剖析］ 【例题1】 求下列等比数列的前8项的和：(1)21，41，81，…；(2)a 1=27，a 9=2431，q ＜0.［合作探究］问题生共同分析：由(1)所给条件，可得211=a ，21=q ，求n ＝8时的和，直接用公式即可.由(2)所给条件，需要从24319=a 中获取求和的条件，才能进一步求n ＝8时的和.而a 9=a 1q 8，所以由条件可得q 8=19a a =272431⨯，再由q ＜0，可得31-=q ，将所得的值代入公式就可以了.【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？ 问题 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S n =30 000求n 的问题.解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5 000，q=1+10%=1.1，S n =30 000.于是得到300001.11)1.11(5000=--n ，整理得1.1n =1.6，两边取对数，得n lg1.1=lg1.6，用计算器算得1.1lg 6.1lg n ≈041.02.0≈5(年).答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.。

等比数列的前n项和教案等比数列的前n项和教案1教学准备教学目标熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

教学重难点熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

教学过程【复习要求】熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

【方法规律】应用数列知识界实际应用问题的关键是通过对实际问题的综合分析，确定其数学模型是等差数列，还是等比数列，并确定其首项，公差或公比等基本元素，然后设计合理的计算方案，即数学建模是解答数列应用题的关键。

一、基础训练1、某种细菌在培养过程中，每20分钟__一次一个__为两个，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成A、511B、512C、1023D、10242、若一工厂的生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为A、B、C、D、二、典型例题例1：某人每期期初到银行存入一定金额A，每期利率为p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的`利息是n—1Ap……，第n期即最后一期的利息是Ap，问到第n期期末的本金和是多少？评析：此例来自一种常见的存款叫做零存整取。

存款的方式为每月的某日存入一定的金额，这是零存，一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取。

计算本利和就是本例所用的有穷等差数列求和的方法。

用实际问题列出就是：本利和=每期存入的金额[存期+1/2存期存期+1利率]例2：某人从1999到20__年间，每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若每年利率q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到20__年6月1日，此人到银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是多少元？例3、某地区位于沙漠边缘，人与自然进行长期顽强的斗争，到1999年底全地区的绿化率已达到30%，从20__年开始，每年将出现以下的变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠。