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重庆一中高2014级11-12学年(下)半期试题——数学[1] 2

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秘密★启用前2012年重庆一中高2014级高一下期半期考试数 学 试 题 卷2012.4数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一：选择题（每小题5分，共50分） 1.已知平面向量(3,1)a =，则a =（ ）A ．10 D. 3 2.在等差数列{}n a 中，已知22,a =44,a =则1a 等于（ ）A.0B.1C.-1D.2 3.若a b >且c R ∈，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．22a b >B ．ac bc >C ．22ac bc > D ．a c b c ->-4. ABC ∆中，若537AB ===，AC ，BC ，则ABC ∆的最大内角的大小为（ ） A ．150B ．120C ．60D ．305. 等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，1010S =，2040S =，则30S =（ ） A ．70 B.90 C. 130 D. 1606.已知ABC 中, 1,a b ==,45B =,则A =( )A.060 B. 030150或 C. 030 D. 060120或7.已知等比数列{}n a 中，21=a ，且有5a =，则24,a a 的等比中项为（ ）A. 8±B. 8C. 4±D. 4 8.阅读右边的程序框图，则输出的结果是 （ ）A ．12B ．60C ．360D ．25209.如图所示，已知2,,,,AB BC OA a OB b OC c ====则下列等式中成立的是（ ） A.3122c b a =- B.2c b a =- C.2c a b =-D.3122c a b =- 10．（原创）设()2,4x ∈，且21440422a a x x +-+≥--恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[]3,5B ．[]1,9- C．3⎡-+⎣ D ．[]2,10-二：填空题（每小题5分，共25分）11.已知单位向量a ,b 的夹角为3π，那()a a b ∙-= ．12.如右图所示，当输出的结果为5,1m n ==时，则输入的a 为.13.若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为 ．14. ABC ∆中，若C A C B A sin sin sin sin sin 222=+-,那么角B =___________.15.（原创）数列{}n a 中，满足114(21),(2),3n n a a n n a -=+-≥=且，n s 是1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和，则19994000n s ≥的n 的最小值为_________.三：解答题（共75分）16．（13分）设(1,0)a =,(0,1)b =，已知向量AB a kb =-, 2CB a b =+, （1）求AB 的坐标；（2）若AB ⊥CB ，求k 的值。

17. （13分） 关于x 的不等式3101x +<-的解集为A ， （1）求集合A ；（2）若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集也为A ，求a b +的值。

18. （13分） 在ABC ∆中角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，R 为ABC ∆的外接圆半径，满足sin cos sin cos ,2C B B C +=且12bc = （1）求ABC ∆的面积；（2）若A 为钝角，且a =求边,b c 。

19. （12分） 已知{}n b 为等差数列，1236b b b ++=，且423b b =，数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且满足234n n S a n =-对n N +∈恒成立， （1）求n b ；（2）证明{2}n a +为等比数列并求n a 。

20. （12分） ABC ∆中角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量(sin ,cos ),(cos sin )m A B n A B ==，，（1）若//,m n 求角C ；（2）在（1）的条件下求sin sin A B +的取值范围；（3）若1cos 2b Ac =，且2222a b c +++=试求222a b c ++的最小值。

21．（12分）已知函数2()1xf x x=+，数列{}n a 中满足111(1)(2)(3)()(1)()()(),(*)23n a f f f f n f f f f n N n=++++++++∈……（1）求123,,a a a 的值；（2）3n n n b a =∙求{}n b 的前n 项和n T ；（3）若数列{}n c 满足1011c =，且12111*99 (9)(),nnn c a c c c n N ---⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦求{}n c 的通项公式。

命题人：梁 波 审题人：王中苏2012年重庆一中高2014级高一下期半期考试（本部）数学答案2012.4一：选择题 1-5：BBDBC, 6-10：CACAB 二：填空题 11：12； 12： 2； 13： 3； 14： 3π； 15：1000 三：解答题16．解答：（1）(1,0)(0,1)(1,)AB a kb k k =-=-=-（2）易知，2(2,1)CB a b =+=AB ⊥202CB k k ⇒-=⇒=17. 解答：（1）()3241002,111x x x x ++<⇔<⇒∈--- 所以：A=()2,1-（2）根据条件20x ax b ++=的两个根分别为2,1-易知21111212a a a b b -=-+=-⇒=⎧⇒+=-⎨=-⨯=-⎩18. 解答：（1）因为sin cos sin cos sin 22C B B C A +=⇒=得到：1sin 2ABCSbc A ==（2）因为1sin cos 22A A =⇒=- 2222222cos ()a b c bc A b c bc b c bc =+-=++=+-所以：22()497b c bc a b c +=+=⇒+=7341243b c b b bc c c +===⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或19.解答：（1）123262b b b b ++=⇒=，设424362b b b d =⇒=⇒=10222n b d b n ⇒==⇒=-，（2）234n n S a n =-，()112341n n S a n --=--，（2n ≥）作差：134,(2)n n a a n -=+≥且114a S == 所以：112363(2),(2)n n n a a a n --+=+=+≥ 故：{2}n a +是以6为首项，3为公比的等比数列1263232n n n n a a -+=∙⇒=∙-20. 解答：（1）因为(sin ,cos ),(cos sin )m A B n A B ==，且//,m n由正弦定理，得cos cos sin sin cos()022B A B A A B A BC ππ⇒+=⇒+=⇒==（2）=又30,,2444A A ππππ<<∴<+<14A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭因此sin sin A B +的取值范围是((3)22211cos 222c b a b A c bc a b bc +-=⇒=⇒= 所以222222a b c a c ++=+2222a b c ac +++=即2222a b c ++=即22222222222a c a c a c +++=≤++()()22223422223a c a c +≥⇒+≥当且仅当c ==时取等21． 解答：（1）12111(1)()2,(1)()(2)()4,112a f f a f f f f =+==+++=36a =（2）2122(1)()()21111x x x f x f x x x x++=+==+++所以111(1)(2)(3)()(1)()()()223n a f f f f n f f f f n n=++++++++=……23n n b n =⨯2323412(132333+3)32132333+(1)33n n nn n T n T n n +=⨯+⨯+⨯+⨯⎡⎤=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯⎣⎦…………所以：()2341113223333+33322n n n n nT n Tn ++⎛⎫-=++++-⨯⇒=-⨯+ ⎪⎝⎭……（3）1212111111*299 (9))()99 (99)nn nn nc n c cc c c c c n N ------=∈⇒=()122n n c c c n nc ⇒++-=……+ ○1 同理有：()()1211211n n c c c n n c --++-+=-……+ (2),n ≥ ○2○1-○2得到：()1221n n n c nc n c --=-- ○3 同理有()()1122212n n n c n c n c ----=---(3),n ≥ ○4○3-○4得到：()()()122422n n n n c n c n c ---=-+-(3),n ≥得到：122n n n c c c --=+⇒{}n c 为等差数列()111212c c c ⇒-=⇒=，101111n c d c n =⇒=⇒=+。

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2014重庆一中高二下数学试卷(理科)

2014重庆一中高二下数学试卷(理科)


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Go the distance
∵ △ ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， D 为 AC 的 中 点 ， 平 面 PAC ⊥ 平 面 ABC ， 在 平 面 SAC 中 ， 过 D 作 DH ⊥ AC ， ∴ 外 接 球 的 球 心 在 DH 上 ， 设 球 心 为 O ， 则 OA=OB=OC=OS ， 设 OD=x ， 则 2 x 2 外 接 球 的 半 径 R=
2 2 2
不等式
lna ( 2 2a) a M 恒成立，则 M 的最大值是 (
ln
A、
)
40 4 9 3
ln
B、
16 2 9 3
C、 ln( 8 4 2 ) 2 2
D、 ln 8 2
【知识点】方程有解的条件；利用导数判断函数的单调性.
b c， a b c 【答案解析】D解析 ：解：由 a
2
函数值取不到，所以此极小值必是区间 ( a 1 2 ,a )上 的 最 小 值 ．
2
2 ∴ a -12 ＜ -1 ＜ a ， 解 得 -1 ＜ a ＜ 11 ，又 当 x=2 时 ， f （ 2 ） =-2 ， 故 有 a ≤ 2
故 选 ： C．
x x 3 x a 1 2 ,a )上 有 最 小 值 ， 【思路点拨】 求 函 数 f() 导数， 由于函数在区间 (
a 2 b2 c 2 4 2 因为 ，两式联立得： 2b c 2 a bຫໍສະໝຸດ 2 ，可知 a a a 2 ，即 a
2 ，又 3
2a 4 b 2a 2 4a 0 ，此方程有解，故
2 3 a 2；
2a 4
令 f (a) 解得 a
2
4 2
2a 2 4a
重庆一中高2012级11-12学年(上)第二次月考——数学理

重庆一中高2012级11-12学年(上)第二次月考——数学理

2011年重庆一中高2012级高三上期第二次月考数 学 试 题 卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合∈<<=-=+x x N M x ,4221|{},1,1{1Z }，则N M = （ ）A ．{－1，1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1，0}2、系列丛书2011年共销售246万册，高中三个年级销售量刚好成等差数列，则高二年级销售量为( )A ．80B ．82C ．84D ．86 3、已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4、函数()m f x x ax =+的导函数()21f x x '=+，则数列{1()f n }(n N *∈)前n 项和是 （ ） A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n5、已知{}n a 是递增数列，对任意n N *∈都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．(－72，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D.(－3，＋∞)6、已知数列{}n a 的首项1=2a ，其前n 项和为n S ，且122n n S S +=+，n N *∈则limnn nS a →∞= ( )A.0B.12C. 1D.2 7、设()x x x f sin =，1x 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,22ππx ，且()1x f ＞()2x f ，则下列结论必成立的是（ ）A. 1x ＞2xB. 1x +2x ＞0C. 1x ＜2xD. 21x ＞22x 8、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-成中心对称图形，且满足3()()2f x f x =-+，(1)1,(0)2f f -==-，则(1)(2)(2006)f f f ++⋅⋅⋅+的值为 ( )A.1B.2C. 1-D.2- 9、函数()1)f x x =<<，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 （ ）A.18,427⎛⎫⎪⎝⎭B.(0,827)C.(13,1)D.(1,4+∞)10、若关于x 的方程24xkx x =+有四个不同的实数解，则k 的取值范围为（ ） A.（0，1） B.(14,1) C.(14,+∞) D.(1, +∞) 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11、在等比数列{}n a 中,若公比4q =,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式n a = 。

重庆市重庆一中2013-2014学年高二下学期期中考试理科数学试卷(解析版)

重庆市重庆一中2013-2014学年高二下学期期中考试理科数学试卷(解析版)

重庆市重庆一中2013-2014学年高二下学期期中考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．设i 为虚数单位,则2(1)i -=( )A.2B.1i +C.2i -D.22i - 【答案】C 【解析】试题分析：利用复数的运算法则，2(1)i -=1-2i-1=-2i ． 考点：复数的基本运算2．设0,0a b <<.则下列不等式一定成立的是( ) A.0a b -<B.2|11|(1)(1)204b a a b π+≥--≤--≤> C.||a b ab +≤D.2a b+≤【答案】D 【解析】试题分析：由0,0a b <<得不到0a b -<，故A 错误.利用基本不等式得2b aa b+≥，故B错误；令a=-1,b=-1得|11|(1)(1)--≤--，即21≤，故C 错误；02a b+<0>，故选D.考点：不等式的基本性质；基本不等式。

3．某人将英语单词“apple ”记错字母顺序，他可能犯的错误次数最多是(假定错误不重犯)( )A.60B.59C.58D.57 【答案】B 【解析】试题分析：任意5个不相同的字母可排列成A 55个不同顺序的词，由于本题中出现两个p ，所以总个数应除以2，∴错误个数是12（5×4×3×2×1）-1=59个．故选B ． 考点：排列组合及简单的计数问题4．若一几何体的正视图与侧视图均为边长为1的正方形,且其体积为12.则该几何体的俯视图可以是( )ABCD【答案】C 【解析】试题分析：若俯视图为A ，则V=1；若俯视图为B ，则V=π；若俯视图为C ，则V=12； 若俯视图为D ，则V=4π，根据几何体的体积为12，∴C 正确．故选C ． 考点：简单空间图形的三视图 5．设1212min{,,...,},max{||,||,...,||}(3)n n m x x x M x x x n ==≥,其中(1,2i x R i n ∈=.那么“12...n x x x ===”是“m M =”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】B 【解析】试题分析：令12...n x x x ====-1，则m=-1,M=1，所以12...nx x x ===¿m M =，而m M =，则12...n x x x ===.故选B.考点：充要条件的判断方法.6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为340x y +=,则双曲线离心率e =( )A.54 B.53 C.43 D.45【答案】A 【解析】试题分析：：∵双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y=±b x a ，又∵渐近线方程为y=34x -，∴34b a =∴22916b a = ∵222b c a =-，联立得：222916a c a =-，化简得e=54.故选A考点：双曲线的性质及其方程;渐近线方程;离心率 7．若曲线12y x-=在点12(,)a a -处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为18.则a =( )A.64B.32C.16D.8 【答案】A 【解析】试题分析：求导数可得3'212y x -=-，所以在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为：31221322y a x a --=-+，令x=0，得y ＝1232a -；令y=0，得x=3a ．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积 S ＝1122139318224a a a -⨯⨯==，解得a=64故选A ．考点：导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程.8．设点,A P 为椭圆2212x y +=上两点.点A 关于x 轴对称点为B (异于点P ).若直线,AP BP 分别与x 轴交于点,M N , 则OM ON ⋅=( )【答案】D 【解析】试题分析：如图，取特殊值，令椭圆的上顶点为A ，下顶点为B ，左端点为P ，则A （0，1），B （0，-1），P)，M)，N)，∴()2,0OM ON ==,2OM ON ⋅=,故选：D ．考点：椭圆中向量的数量积的求法，椭圆的简单性质．9．若27270127(1)(2)(2)...(2)x x a a x a x a x ++=+++++++.则2a =( ) A.20 B.19 C.20- D.19- 【答案】C 【解析】试题分析：设t=x+2，则x=t-2，则多项式等价为2723 70123721t t a a t a t a t a t -+-=++++⋯+（）（），则2a 为左边展开式中2t 的系数．由r 1=r n r r n T C a b -+，左边展开式中2t 的系数为1+()5571C -=1-21=20-.故选：C ．考点：二项式定理的应用．二项式定理系数的性质; 利用换元法将多项式转化思想的应用.10．有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有( )625321A.4320B.2880C.1440D.720 【答案】A【解析】试题分析：第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第六个区域有4种不同的涂色方法，第五个区域有3种不同的涂色方法，根据乘法原理6543344320⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：A ．考点：乘法原理.二、填空题11．设随机变量2~(10,)5B ξ,则D ξ= . 【答案】125【解析】试题分析：：∵随机变量ξ服从二项分布，且2~(10,)5B ξ，∴D ξ=10×25×（1-25）=125,故答案为：125考点：二项分布的方差，二项分布与n 次独立重复试验的模型． 12．已知正态分布密度曲线22()2()x p x μσ--=,且max ()(20)p x p ==,则方差为 . 【答案】2 【解析】试题分析：正态分布密度曲线22()2()x p x μσ--=可知对称轴为μ=20,所以函数的最大值是(20)p =所以=，即σ2. 考点：正态分布曲线的特点; 正态分布曲线所表示的意义.13．在61(2)x x-展开式中,常数项等于 .【答案】160-【解析】试题分析：由通项公式r 1=r n r rn T C a b -+：设第r+1项为常数，则()6r 161=2rrr T C x x -+⎛⎫- ⎪⎝⎭=()()()66612rr r rrC x x ---，所以6-r=r,即r=3;那么常数项为()()333621160C -=-，故答案为160-.考点：二项式定理系数的性质;二项式定理的应用．14．一大学生毕业找工作,在面试考核中,他共有三次答题机会(每次问题不同).假设他能正确回答每题的概率均为23,规定有两次回答正确即通过面试,那么该生“通过面试”的概率为 . 【答案】2027【解析】试题分析：有已知条件可知分为三类情况：第一次第一次答对的概率为224339⨯=； 第一次答对第二次答错第三次答对的概率为212433327⨯⨯=； 第一次答错第二次答对第三次答对的概率为122433327⨯⨯=；那么该生“通过面试”的概率为444202727927++=，故答案为2027. 考点：相互独立事件的概率. 15．若,(0,1)m n ∈.则(1)()(1)(1)mn m n m n m n --+--的最大值是 .【答案】18【解析】试题分析：只要考虑0＜m ，n ＜1，m+n ＜1的情形即可． 令x=m ，y=n ，z=1-m-n ，则x+y+z=1．(1)()(1)(1)mn m n m n m n --+--=()()()222xyz xyz xy yz xz x y y z x z ≤⋅⋅++⋅=+18 考点：基本不等式；换元法.三、解答题16．已知()|||1|f x x x =-+. (1)求不等式()0f x ≤的解集A;(2)若不等式10mx m +->对任何x A ∈恒成立,求m 的取值范围. 【答案】(1)1[,)2A =-+∞ (2)(2,)+∞ 【解析】试题分析：(1)把不等式()0f x ≤转化为22(1)x x ≤+即可. (2)1,102x mx m ∀≥-+->恒成立转化为11m x >+,即max 1()21m x >=+. (1)22|||1|(1)x x x x ≤+⇔≤+12x ⇔≥-∴1[,)2A =-+∞ (2)1,102x mx m ∀≥-+->恒成立11m x ⇔>+对12x ≥-恒成立.max 1()21m x ⇔>=+∴m 取值范围是(2,)+∞考点：绝对值不等式的解法；简单的不等式恒成立的问题.17．(13分)已知函数2()()4ln(1)f x x t x =+++的图象在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (1)求实数t 的值; (2)求()f x 的极值.【答案】(1)t=-2 (2)极大值为4极小值14ln 2+ 【解析】试题分析：(1)先求'()f x ，然后利用'(1)0f =即可； (2)由（1）知2(1)()(1)1x x f x x x -'=>-+，然后找出极值点，判断出单调区间，进而求出极值.(1)4()2(),1f x x t x '=+++ 由(1)02f t '=⇒=-. (2)∵2(1)()(1)1x x f x x x -'=>-+ 显见10x -<<时, ()0f x '>, 01x <<时, ()0f x '<. 1x >时,()0f x '> ∴()(0)4f x f ==极大值. ()(1)14ln 2f x f ==+极小值.考点：导数的几何意义;函数的单调性与极值. 18．某电视台“挑战60秒”活动规定上台演唱(I)连续达到60秒可转动转盘(转盘为八等分圆盘)一次进行抽奖,达到90秒可转两次,达到120秒可转三次(奖金累加).（2）转盘指针落在I 、II 、III 区依次为一等奖(500元)、二等奖(200元)、三等奖(100元),落在其它区域不奖励.（3）演唱时间从开始到三位评委中至少1人呜啰为止,现有一演唱者演唱时间为100秒. ①求此人中一等奖的概率;②设此人所得奖金为ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ.【答案】(1) 1564(2)200 【解析】试题分析：(1)由题意可知转一次奖获得一等奖的概率是18，分成三类情况：①两次都中中一等奖②第一次中一等奖，第二次未中；③第一次未中一等奖，第二次中； (2)分别计算出奖金为ξ每一种情况的概率，然后列出分布列，再计算出期望值即可.解 ①1117711588888864P =⨯+⨯+⨯= ②故12810020064E p ξξ=⋅=⨯=∑ 考点：相互独立事件的概率；离散型随机变量的分布列和数学期望19．如图,四棱柱1111ABCD A BC D -中,1DD ABCD ⊥底面.ABCD 为平行四边形,60DAB ∠=︒, 12 2.3AB AD DD ===, ,EF 分别是AB 与1D E 的中点.C 1CA 1(1)求证CE DF ⊥;(2)求二面角A EF C --的平面角的余弦值. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：(1) 先证明△ADE 为正△，再利用余弦定理可求CE ，然后证明出CE ⊥DE ，CE ⊥DD 1 ，最后得到CE ⊥平面DD 1E, 即可证明出CE ⊥DF. (2)先建立以直线AB, AA 1分别为x 轴,z 轴建立空间直角坐标系,然后根据点坐标求出法向量(0,m =-，(3,n =-，再利用夹角公式求出二面角A EF C --的平面角的余弦值cos θ=. (1)AD=AE, ∠DAB=60° ∴△ADE 为正△ 在△CDE 中,由余弦定理可求又22212+=.由勾股定理逆定理知CE ⊥DE又DD 1⊥平面ABCD, CE ⊂平面ABCD. ∴CE ⊥DD 1 ∴CE ⊥平面DD 1E, 又DF ⊂平面DD 1E. ∴CE ⊥DF.(2)以直线AB, AA 1分别为x 轴,z 轴建立空间直角坐标系,由题设A(0,0,0), E(1,0,0),D 1(1,22), C 5(,,0)22可求平面AEF 的一个法向量为(0,m =-平面CEF 的一个法向量为(3,n =- ∴平面角θ满足||130|cos |13||||m n m n θ⋅==又θ为纯角 ∴cos 13θ=-注本题(1)也可建坐标直接证明.(2)的坐标系建法不唯一.考点：余弦定理；勾股定理逆定理；线面垂直的性质与判定定理；法向量；夹角公式. 20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为12.过点0(,0)A x 01()8x ≥ 作直线l 交抛物线C 与,P Q 两点(P 在第一象限内). (1)若A 与焦点F 重合,且||2PQ =.求直线l 的方程;(2)设Q 关于x 轴的对称点为M .直线PM 交x 轴于B . 且BP BQ ⊥.求点B 到直线l 的距离的取值范围.【答案】(1) 4410x y --=或4410x y +-= ；(2) 1)2d ∈ 【解析】试题分析：(1) 首先求出抛物线2:C y x = 再与1:()4l y k x =- 联立得到关于x 的一元二次方程，最后利用焦半径公式求出斜率即可.(2)先求出1PB k =，进而转换为21212()41y y y y +-=，再由l 与C 联立得200y my x --=，借助于根与系数的关系求出m 的取值范围，然后由点到直线的距离公式得到d 的表达式，最后根据基本不等式求出范围. 由题2:C y x =(1)A 与下重合,则1(,0)4A 设222221:()(1)04216l y k x k k k x x y x ⎫=-⎪⇒-++=⎬⎪=⎭又由焦半径公式有12121||22PQ x x p x x =++=++= 可求21k = ∴1k =±.所求直线l 为4410x y --=或4410x y +-=(2)可求0(,0)B x -.故△BQM 为等腰直角三角形,设1122(,),(,)P x y Q x y1PB k =. 即2121212121211()41y y y y y y y y x x +=⇒-=⇒+-=-.设0202:0l x x my y my x y x -=⎫⇒--=⎬=⎭ ∴201212040m x y y m y y x⎧=+>⎪+=⎨⎪⋅=-⎩ 从而2041m x +=, 即20140m x =->, 又018x ≥. ∴2102m <≤. 点0(,0)B x -到直线0:0l x my x --=的距离为2d ====∴1[)122d ∈ 考点：抛物线的性质；焦半径公式；根与系数的关系；点到直线的距离公式；基本不等式. 21．给定数列{n a (1)判断2a 是否为有理数,证明你的结论;(2)是否存在常数0M >.使n a M <对*n N ∈都成立? 若存在,找出M 的一个值, 并加以证明; 若不存在,说明理由.【答案】(1) 2a 是无理数 (2) 3M =(或4M =等).则对*n N ∀∈,均有3n a <成立.证明略.【解析】试题分析：(1) 设2a 是无理数, 利用反证法推出矛盾即可；(2)先设(1,2,...,)k b n k ==然后得到2n b n =，用放缩法证出1b 12341 (24822)n n n n -+≤+++++，再借助错位相减法得1b <3,即对*n N ∀∈,均有3n a <成立.解(1)2a 是无理数, 若不然,r Q =∈.则21r =21r =-必为有理数,.(2)设1,2,...,)k b k ==则2211, (1,2,...,1),n k k n b a b k b k n b n +==+=-=. 于是21221111222222b b b b ++≤=+=+ 23212123222244b b +≤+⋅=++ 234123123424422488b b +≤++⋅=+++ 523452481616b ≤++++ ...≤11234 (24822)n n n b n --≤+++++ 21112341 (248222)n n n b n --+≤+++++⋅ 12341 (24822)n n n n -+=+++++ 令12341 (24822)n n n n n S -+=+++++. 则3332n n n S +=-<. 从而可取3M =(或4M =等).则对*n N ∀∈,均有3n a <成立.考点：反证法；错位相减法；放缩法.。

2014年重庆一中高2014级高三下期第三次月考数学(理科)试题

2014年重庆一中高2014级高三下期第三次月考数学(理科)试题

2014年重庆一中高2014级高三下期第三次月考数学（理科）试题2014.5数学试题共4页，共21个小题。

满分150分。

考试时间120分钟． 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一、选择题.(共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合2{1},{1}M x y x N y y x ==+==+，则M N =I （ ） A. {(0,1)} B. {1}x x ≥- C. {0}x x ≥ D. {1}x x ≥2.设复数z 满足()(1)1,(z i i i i ++=-是虚数单位），则z =（ ）A. 1B.2C.3D. 4 3.命题“若1,x >则22x >”的否定是（ ）A.21,2x x ∀>≤B.21,2x x ∃>>C.21,2x x ∃>≤D.21,2x x ∃≤>4.双曲线2213y x -=上一点P 到左焦点的距离为4，则点P 到右准线的距离为（ ）A. 1B.2C.3D. 1或35.一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下图，则余下部分的几何体的体积为( )A. 169πB. 162393π+C. 8393π+D. 16233π+（第5题图） 0T = 2I = while I < T T I =+ 2I I =+ Endwhile Pr int T6.根据上面的程序框图，若输出的结果600=T ，则图中横线上应填（ ）A. 48B.50C. 52D.547.对于集合A ，若满足：,a A ∈且1,1a A a A -∉+∉，则称a 为集合A 的“孤立元素”，则集合}10,,3,2,1{Λ=M 的无．“孤立元素”的含4个元素的子集个数共有（ ） A. 28 B.36 C.49 D. 175 8.已知圆O 的半径为1，四边形ABCD 为其内接正方形，EF 为圆O 的一条直径，M 为正方形ABCD 边界上一动点，则⋅的最小值为（ ）A.34-B.12-C.14- D.09.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2222014,a b c +=则tan tan tan tan C CA B+=（ ）A.22013B. 12013C.22014D.1201410.设,,1,a b R a b +∈+=+的最小值为（ ）．A. 2+B. .C 3D.二．填空题.(本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分)11.某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品，它们的数量之比分别为2:3:4，现采用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中甲种商品有12件，则此样本容量n = ；12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对R x ∈∀恒有)2()1()1(f x f x f --=+，且当)2,1(∈x 时，2()31,f x x x =-+则1()2f = ；13.等差数列{}n a 的前n 项和为n S，若123,3S S 成公比为q 的等比数列，则q = ；特别提醒：14~16题，考生只能从中选做两题；若三道题都做的，则只计前两题的得分． 14.已知ABC ∆的中线,AD BE 交于,K AB =且,,,K D C E 四点共圆，则CK = ； 15.在直角坐标系y O x --中，极点与直角坐标系原点重合，极轴与x 轴非负半轴重合建立极坐标系，若曲线2sin ,(sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）与曲线sin a ρθ=有两个公共点，则实数a 的取值范围是 ；MNCDABS16.若关于x 的不等式232|2|4x x x ax +-≥-在[]10,1∈x 内恒成立,则实数a 的取值范围是 ． 三．解答题.(共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 17.（13分）已知()2sin cos(),(0,)f x x x ωωϕωπϕπ=+>-<<的单増区间为5[,],()1212k k k Z ππππ-+∈．（1）求,ωϕ的值；（2）在ABC ∆中，若()3,f A <求角A 的取值范围．18.（13分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为32，且1234,,,T T T T ，已知每个元件正常工作的概率均为各元件相互独立．（1）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（2）记随机变量ξ表示1234,,,T T T T 这四个元件中正常工作的元件个数，求ξ的分布列及数学期望．19.（13分）如图，多面体ABCDS 中，四边形ABCD 为矩形，,,SD AD SD AB ⊥⊥且22,,AB AD M N ==分别为,AB CD 中点．（1）求异面直线,SM AN 所成的角；（2）若二面角A SC D --大小为ο60，求SD 的长．20.（12分）在数列{}n a 中，n n S a ,0>为其前n 项和，向量2(,),(1,1)n n AB S p a CD p =-=-u u u r u u u r ，且,//CD AB 其中0>p 且1≠p ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12p =，数列{}n b 满足对任意n N *∈，都有12111 (212)n n n n b a b a b a n -+++=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21.（12分）已知函数)ln 1()(x x x f +⋅=． （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若121212,0,,0,1x x p p p p >>+=，求证：)()()(22112211x p x p f x f p x f p +≥+．22.（12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且椭圆C 经过点M ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 的任意两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹方程；（3）设（2）中的两切点分别为B A ,，求点P 到直线AB 的距离的最大值和最小值．命题人：陶成海 审题人：黄 哥2014年重庆一中高2014级高三下期第三次月考数学试题参考答案（理科） 2014.5一、选择题：CBCDB BABAD17.（13分）（1）()2sin (cos cos sin sin )sin 2cos (1cos 2)sin f x x x x x x ωωϕωϕωϕωϕ=-=-- =sin(2)sin x ωϕϕ+-，由已知可得，, 1.T πω=∴=即()sin(2)sin .f x x ϕϕ=+- 又当512x k ππ=+时，()f x 取最大值，即52()2,(,)122k m k m Z πππϕπ++=+∈ 解得2,()3n n Z πϕπ=-+∈，由于,.3ππϕπϕ-<<∴=-故1,.3πωϕ==-（2）()sin(2)3f x x π=-由()f A <得sin(2)3A π-< 而52,333A πππ-<-<由正弦函数图象得，252(,)(,),(0,)(,).3333332A A ππππππππ-∈-∴∈U U 18.（13分）解：(1) 记事件i A 为“元件i T 正常工作”，4,3,2,1=i ，事件B 表示“电流能在M 与N 之间通过”，则32)(=i A P ， 由于4321,,,A A A A 相互独立，所以32142144A A A A A A A A B ++=，法一：)()()()()(3214214432142144A A A A P A A A P A P A A A A A A A A P B P ++=++=81703232313132323132=⋅⋅⋅+⋅⋅+=； 法二：从反面考虑：[]))(1()(1)(1)(2134A A P A P A P B P -⋅-⋅-=817081111))31(1(3213112=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-⋅-=；A(2)由题ξ～)32,4(B ，4,0,)31()32()(44===-k C k P k k kξ，易得ξ的分布列如右，期望38)(=ξE .19.（13分）法一（几何法）:（1）,,SD AD SD AB SD ABCD ⊥⊥∴⊥Q 面则由已知,AMND 为正方形,连,DM 则,DM AN ⊥又DM 是SM 在面ABCD 影,由三垂线定理得,SM AN ⊥.所以直线SM 与AN 所成的角为090.(2) ,,AD CD AD SD AD ⊥⊥∴⊥Q 面SCD ,过D 作DE SC ⊥于E , 连AE,则AED ∠为所求二面角A SC D --的平面角060.则在ADERt ∆中易得DE =设SDa =，在SDC Rt ∆中，DE SD a ==∴==法二: （向量法）(1) 以D 为原点，分别以,,DS DA DC 为,,x y z 轴建系，则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,0,2)A N M C ，设)0,0,(a S ，则(0,1,1),(,1,1),AN SM a =-=-u u u r u u u r0=⋅，故SM 与AN 成ο90角；(2) 设平面ASC 的一个法向量为1(,,),(,1,0),(0,1,2)n x y z AS a AC ==-=-u r u u u r u u u r, 由),2,2(0111a a n n AS n =⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,又显然平面SDC 的一个法向量为2(0,1,0)n =u u r , 由题有：012cos 60cos ,n n SD a ====u r u u r20.（12分）解：（1）2//(1).n n AB CD p S p a ⇒-=-u u u r u u u r 由21111,(1),n p a p a a p =-=-∴=又由2211(1)(1)n nn n p S p a p S p a ++⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，两式相减得：1111(1),.n n n n n p a a a a a p +++-=-∴=所以数列{}n a 是以首项为p ，公比为1p 的等比数列，21(),().n n a n N p-*=∈ （2）法一：当21=p 时，*2,2N n a n n ∈=-， 在12111...212n n n n b a b a b a n -+++=--中，令1,n =则111111121,, 1.222b a a b =--==∴=Q因为1211211 (212)n n n n n b a b a b a b a n --++++=--， ()a所以11122221111...2,(2)22n n n n n b a b a b a b a n n -----++++=--≥，将上式两边同乘公比12p=得，12112...21,(2)n n n n b a b a b a n n --+++=--≥， ()b ()a 减去()b 得，1,.(2)2n n nb a b n n =∴=≥，又11,b =所以)(,*N n n b n ∈= 所以{}n b 的前n 项和2)1(+=n n T n 。