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实验1：二分法和迭代法

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Ex=(k+1)( 1-0.99995^k)+ 0.99995^k=k(1-0.99995^k)+1 设 f(k)=Ex/k=1-0.99995^k+1/k 当 f(k)最小时，总共所需的化验次数最少，即 f ’(k*)=0 时，k*所需化验次数最少 f ’(k)=(-0.99995^k)*(ln0.99995)-1/(k^2) f’(100)= -5.0248e-05 f’(200)= 2.4504e-05 利用二分法，程序如下： f=@(k)(-0.99995^k)*(log(0.99995))-1/(k^2); a=100;b=200; tol=1e-12;maxit=100; my_bisection(f,a,b,tol,maxit) 结果为 1.419222563505173e+02 即 k=141 或 142 时，f(k)最小 代入得 f(141)= 0.014117580646837
四、实验结果： (1) 取有根区间为 [3, 4], 利用二分法求得的根为: 3.262983107765649 取迭代初值为 3, 利用迭代法求得的根为: 3.262983107764216(2来自 二分法和迭代法的迭代图像为:
(3) 结论: … …
任课教师：鲍亮
2017 年 3 月 19 日
(2) 迭代法的程序：
function Vx=my_iteration(phi,x0,tol,maxit) Vx=zeros(1,maxit);k=2;Vx(1)=x0; while abs(phi(x0)-x0)>tol&&k<=maxit+1 x0=phi(x0); Vx(k)=x0; k=k+1; if k>3 if abs(Vx(k-1)-Vx(k-2))>abs(Vx(k-2)-Vx(k-3)) '不收敛' break else end else end end Vx=Vx(1:k-1);
3. 试着用图像来显示迭代收敛的过程, 分析为什么称二分法是线性收敛的? （选做题） 在一个人数很多的团体中普查某种疾病， 为此要抽验 n 个人的血液， 可以用两种方法进行， （i）将每个人的血分别检验，共需 n 次 （ii）按 k 个人一组进行分组，把他们的血混在一起进行检验，如果混合血液呈阴性反应， 就说明这 k 个人的血都呈阴性反应，这样这 k 个人就只需要验一次，否则，如果呈阳性反 应，就再对这 k 个人分别进行化验，共需 k＋1 次。 假设每个人化验呈阳性的概率为 0.00005，请证明通过选取适当的 k，第 2 种方法所需的 化验次数更少，并求出最合适的 k。 x 解： p 1 0.99995^k k+1 1-0.99995^k
(3) 测试程序：
二分法测试程序 function ex_bisection
a=3;b=4; tol=1e-12;maxit=40; f=@(x)sin(x)+x^2-2*x-4; [c,Vc]=my_bisection(f,a,b,tol,maxit) testvalue=f(c) 迭代法测试程序 %以x^3-x-1为测试函数% function ex_interation x0=1.5; tol=1e-12; maxit=40; phi=@(x)(x+1)^(1/3);%测试收敛函数% con=my_interation(phi,x0,tol,maxit) phiphi=@(x)x^3-1;%测试发散函数% div=my_interation(phiphi,x0,tol,maxit)
f(142)= 0.014117284317300 f(142)<f(141) 所以 k=142 时，次数最少。 三、操作步骤： Matlab 程序如下： (1) 二分法的程序：
function [c,Vc]=my_bisection(f,a,b,tol,maxit) c=(a+b)/2;Vc=zeros(1,maxit);k=1; while abs(f(c))>tol&&k<maxit Vc(k)=abs(f(c)); k=k+1; if f(c)*f(a)>0 a=c; else b=c; end c=(a+b)/2; end
《数值逼近》实验报告：实验一
学号：10150990 实验名称：方程求根 所使用的工具软件及环境：Matlab 一、实验目的： 1． 利用 Matlab 实现求解方程的算法； 2． 利用编制的算法求解给定的方程； 二、实验内容： 1. 编制方程求根的二分法和迭代法的 Matlab 程序; 2. 利用所编制的程序, 求解 sin( x) x2 2 x 4 0 的正根, 要求精度达到 1e-12。 姓名：杜隆昆 班级：信计 150 实验地点： 成绩：

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MATLAB二分法和牛顿迭代法实验报告

MATLAB二分法和牛顿迭代法实验报告

（1）计算f(x)在有解区间[a, b]端点处的值。
（2）计算 在区间中点处的值 。
（3）判断若 ,则 即是根，否则检验：
①若 与 异号，则知道解位于区间 ，
②若 与 同号，则知道解位于区间， ，
反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：
（4）当 ，则 即为根的近似值。
Newton迭代法原理：设已知方程 的近似根 ,则在 附近 可用一阶泰勒多项式 近似代替.因此,方程 可近似地表示为 .用 表示 的根,它与 的根差异不大.
3.在MATLAB命令行窗口求解方程f(x)
4.得出计算结果
设 ,由于 满足 解得
重复这一过程,得到迭代格式
实验所用软件及版本：MATLAB R2014a
主要内容（要点）：
实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：
二分法:
1.在MATLAB编辑器中建立一个实现二分法的M文件bisect.m
2.在MATLAB命令行窗口求解方程f(x)
3.得出计算结果
数学应用软件大型实验实验报告
实验序号：日期：年月日
班级
姓名
学号
实验
名称
二分法和Newton迭代法
问题背景描述：
分别编写一个用二分法和用Newton-Raphson法求连续函数的零点通用程。
实验目的：
用以求方程x^2-3*x+exp(X)=2的正根（要求精度ε=10^-6）。
实验原理与数学模型：
二分法原理：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且已知函数在两端点的函数f（a）与f（b）取异号，即两端点函数值的乘积f(a)*f(b)<0,则函数y=f(x)在区间（a,b）内至少有一个零点，即至少存在一点c，使得f(x)=0的解。
二分法及迭代法求解非线性方程根

二分法及迭代法求解非线性方程根

二分法及迭代法求解非线性方程根班级：姓名：方学号：日期：一、实验目的1、熟悉二分法及迭代法求解非线性方程根的数值算法；2、用matlab软件实现二分法及迭代法，掌握迭代法的收敛性和收敛速度问题及其加速方法；二、基本理论及背景1、牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。

这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方，但是选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果，再者，牛顿迭代法计算量比较大。

因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。

2、牛顿迭代理论推导：设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y =f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。

过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。

重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值；3、参考《二分法求非线性方程根》，实现二分算法，完成下面的题目：求方程○1的根，精度至少达到10-6；比较迭代下列迭代法求解○1中方程根的收敛性：○2,；用牛顿法设计迭代函数求解○1中方程的根（精度至少达到10-6），并与○2中收敛的迭代法比较收敛的速度。

三、算法设计及实现1、设计：方程○1function f=fun1(x)f=exp(x)-x-3;；○2function y=Exp2(x)y=exp(x)-3;function y=Exp3(x)y=log(x+3);牛顿迭代：function df=Exp4(x)df=exp(x)-1。

四、实验步骤1、○1打开matlab软件，新建ErFen_Root.m文件,在窗口中编辑二分法数值积分函数程序代码,并保存在指定的文件夹下,在Current Directory窗口右边点击《Browse For Folder》按钮指向ErFen_Root.m文件；○2在Command Window中编辑相应要计算的题目的数值函数及相应的题目的表达式。

数值分析求解非线性方程根的二分法简单迭代法和牛顿迭代法

数值分析求解非线性方程根的二分法简单迭代法和牛顿迭代法

实验报告一：实验题目一、 实验目的掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法，并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。

二、 实验内容1、编写二分法、并使用这两个程序计算02)(=-+=x e x x f 在[0, 1]区间的解，要求误差小于 410- ，比较两种方法收敛速度。

2、在利率问题中，若贷款额为20万元，月还款额为2160元，还期为10年，则年利率为多少？请使用牛顿迭代法求解。

3、由中子迁移理论，燃料棒的临界长度为下面方程的根，用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。

4、用牛顿法求方程的根，精确至8位有效数字。

比较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。

第1题：02)(=-+=x e x x f 区间[0,1] 函数画图可得函数零点约为0.5。

画图函数：function Test1()% f(x) 示意图, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0r = 0:0.01:1;y = r + exp(r) - 2plot(r, y);grid on 二分法程序：计算调用函数：[c,num]=bisect(0,1,1e-4)function [c,num]=bisect(a,b,delta)%Input –a,b 是取值区间范围% -delta 是允许误差%Output -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num 是迭代次数ya = a + exp(a) - 2;yb = b + exp(b) - 2;if ya * yb>0return;endfor k=1:100c=(a+b)/2;yc= c + exp(c) - 2;if abs(yc)<=deltaa=c;b=c;elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;endif abs(b-a)<deltanum=k; %num为迭代次数break;endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc = c + exp(c) - 2;牛顿迭代法程序：计算调用函数：[c,num]=newton(@func1,0.5,1e-4) 调用函数：function [y] = func1(x)y = x + exp(x) - 2;end迭代算法：function[c,num]=newton(func,p0,delta)%Input -func是运算公式% -p0是零点值% -delta是允许误差%Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num是迭代次数num=-1;for k=1:1000y0=func(p0);dy0=diff(func([p0 p0+1e-8]))/1e-8;p1=p0-y0/dy0;err=abs(p1-p0);p0=p1;if(err<delta)num=k;%num为迭代次数break;endendc=p0;第2题：由题意得到算式：计算调用函数：[c,num]=newton(@func2,0.02,1e-8)程序：先用画图法估计出大概零点位置在0.02附近。

数值分析课程实验报告-二分法和牛顿迭代法

数值分析课程实验报告-二分法和牛顿迭代法

《数值分析》课程实验报告
用二分法和牛顿迭代法求方程的根
算法名称用二分法和牛顿迭代法求方程的根
学科专业机械工程
作者姓名xxxxxx
作者学号xxxBiblioteka xx作者班级xxxxxxxx
xx大学
二〇一五年十二月
《数值分析》课程实验报告
实验名称
用二分法和牛顿迭代法求方程的根
成绩
一、问题背景
在科学研究与工程计算中，常遇到方程（组）求根问题。若干个世纪以来，工程师和数学家花了大量时用于探索求解方程（组），研究各种各样的方程求解方法。对于方程f(x)=0，当f(x)为线性函数时，称f(x)=0为线性方程；当f(x）为非线性函数时，称式f(x)=0为非线性方程。对于线性方程（组）的求解，理论与数值求法的成果丰富；对于非线性方程的求解，由于f(x）的多样性，尚无一般的解析解法。当f(x)为非线性函数时，若f(x)=0无解析解，但如果对任意的精度要求，设计迭代方程，数值计算出方程的近似解，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能够满足实际要求。
fx=subs(ff,x,xk);
fa=subs(ff,x,a);
k=k+1;
iffx==0
y(k)=xk;
break;
elseiffa*fx<0
b=xk;
else
a=xk;
end
y(k)=xk;
end
plot(y,'.-');
gridon
（2）牛顿迭代法程序：
functionx=newton(xx,n)
对二分法和牛顿迭代法的观察和分析我们可以知道，二分法的优点是方法比较简单，编程比较容易，只是二分法只能用于求方程的近似根，不能用于求方程的复根，且收敛速度慢。而牛顿迭代法的收敛速度明显大于二分法的速度。