matlab实验十七__牛顿迭代法(可打印修改)

Newton迭代法Matlab程序求函数极小值点Newton迭代法Matlab程序求函数极小值点clear allclc%Newton迭代法求解极小值点%090311%===================================== %定义函数disp '函数 f(x) 为:'syms x1 x2f=(x1-2)^4+(x1-2)^2*x2^2+(x2+1)^2disp '初始点的值：'x0=[1;1]%===================================== %求函数的梯度和海色阵disp '函数f的梯度：'g=jacobian(f,[x1;x2])disp '函数f的Hesse矩阵：'G=jacobian([g(1);g(2)],[x1,x2])%===================================== %定义迭代的最大次数n=10;%===================================== %一些初始值的计算g0=subs(g,{x1,x2},{x0(1),x0(2)})';G0=subs(G,{x1,x2},{x0(1),x0(2)});f0=subs(f,{x1,x2},{x0(1),x0(2)});%===================================== %迭代点集合 x和函数值F的初始化x=zeros(2,n);F=zeros(1,n);%运用Newton方程解出下一近似值x(:,1)=x0-inv(G0)*g0; %注：用点乘有误A=x(:,1);F(1)=subs(f,{x1,x2},{A(1),A(2)});%===================================== %定义误差初始值为10deta=10;i=1;%循环用求出的近似解迭代Newton方程%求出下一个近似解，并在规定的误差范围内while deta>=1e-10&i<10A=x(:,i);gi=subs(g,{x1,x2},{A(1),A(2)})';Gi=subs(G,{x1,x2},{A(1),A(2)});i=i+1;x(:,i)=x(:,i-1)-inv(Gi)*gi;A=x(:,i);F(i)=subs(f,{x1,x2},{A(1),A(2)});deta=F(i)-F(i-1);endk=(1:n+1)';F=[f0 F]';x=[x0,x]';disp'========================================= ============' disp '迭代的各步结果如下：'disp ' k x(k) F{x(k)}'[k x F]%=====================================。

newton迭代matlab代码概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文将介绍并详细解释Newton迭代算法在MATLAB中的代码实现。

Newton 迭代算法是一种用于求解方程根和优化问题的数值迭代算法，其基本原理是通过不断逼近函数的零点或最小值点来获得解。

本文将从算法的概述、原理介绍、迭代过程以及算法适用性分析等方面对Newton迭代算法进行全面的阐述。

1.2 文章结构文章将按照以下顺序展开对Newton迭代算法的讲解和说明：- 引言：对本文的主题和内容进行简要介绍，并给出文章的结构安排。

- Newton迭代算法概述：包括原理介绍、迭代过程和算法适用性分析三个部分，对Newton迭代算法的基本概念和应用领域进行阐述。

- MATLAB代码实现解释说明：详细说明了使用MATLAB编写Newton迭代算法代码的背景信息和相关工具介绍，然后逐步解释代码实现的步骤，并通过示例与结果分析来更好地理解代码部分。

- 应用案例和拓展讨论：通过具体案例一（求解方程根）和案例二（系统优化问题求解）来展示Newton迭代算法的实际应用，并在拓展讨论部分探讨改进Newton迭代算法的研究方向和方法。

- 结论与展望：对整篇文章进行总结回顾，并展望未来更高效、更准确的数值迭代算法发展趋势。

1.3 目的本文的目的是通过对Newton迭代算法在MATLAB中代码实现的详细解释，帮助读者更好地理解该算法的原理和应用，并提供相应的代码示例和结果分析。

同时，通过应用案例和拓展讨论，引发读者对于改进Newton迭代算法及其未来发展方向的思考。

通过阅读本文，读者可以具备一定程度上运用Newton迭代算法解决实际问题的能力，并对当前数值迭代算法领域的研究方向有一定了解。

2. Newton迭代算法概述:2.1 原理介绍:Newton迭代算法是一种用于数值逼近解的迭代方法，可以用于求解非线性方程的根、优化问题等。

该算法基于牛顿-拉弗森方法，其基本思想是通过不断逼近函数曲线上的某点来寻找函数零点或极值点。

一、牛顿—迭代法迭代程序1.M文件function [p0,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,epsilon,max1)%Input - f is the object function input as a string 'f'% - df is the derivative of f input as a string 'df'% - p0 is the initial approximation to a zero of f% - delta is the tolerance for p0% - epsilon is the tolerance for the function values y% - max1 is the maximum number of iterations%Output - p0 is the Newton-Raphson approximation to the zero% - err is the error estimate for p0% - k is the number of iterations% - y is the function value f(p0)% NUMERICAL METHODS: Matlab Programs% (c) 2004 by John H. Mathews and Kurtis D. Fink% Complementary Software to accompany the textbook:% NUMERICAL METHODS: Using Matlab, Fourth Edition% ISBN: 0-13-065248-2% Prentice-Hall Pub. Inc.% One Lake Street% Upper Saddle River, NJ 07458for k=1:max1p1=p0-feval(f,p0)/feval(df,p0);err=abs(p1-p0);relerr=2*err/(abs(p1)+delta);p0=p1;y=feval(f,p0);if (err<delta)|(relerr<delta)|(abs(y)<epsilon),break,endend应用牛顿-拉夫森迭代程序求函数3=-+的二重根p=1,这里p0=1.2。

二分法、牛頓迭代法求方程近似解在一些科學計算中常需要較為精確的數值解，本實驗基於matlab 給出常用的兩種解法。

本實驗是以解決一個方程解的問題說明兩種方法的精髓的。

具體之求解方程e^(-x)+x^2-2*x=0，精度e<10^-5;;程序文本文檔如下%%%%%%二分法求近似解cleardisp('二分法求方程的近似解')format longsyms xf=inline('exp(-x)+x^2-2*x');%原函數%通過[x,y]=fminbnd(f,x1,x2)求出極小值點和極小值，進而確定%區間端點，從而確定解區間矩陣CX=[];C=[0 1.16;1.16 2] ; %C(:,1)為解區間的左端點，C(:,2)為解區間右端點ss=length(C); %統計矩陣C的行數，即為方程解的個數for i=1:ssa=C(i,1);b=C(i,2);%f(a)>=0,f(b)<=0e1=b-a;%解一的精度e0=10^-5;%精度ya=f(a);while e1>=e0x0=1/2*(a+b);y0=f(x0);if y0*ya<=0b=x0;elsea=x0;ya=y0;ende1=b-a;endA=[a,b,e1];%解的區間和精度X=[X;A];%解與精度構成的矩陣endX%%%%%%%牛頓迭代法disp('牛頓迭代法解方程的近似解')clear %清空先前變量syms x %定義變量y=exp(-x)+x^2-2*x;%原函數f=inline(y);f1=diff(y); %一階導函數g=inline(f1);format long %由於數值的默認精度為小數點后四位，故需要定義長形X=[];C=[0 1.16;1.16 2] ; %C(:,1)為解區間的左端點，C(:,2)為解區間右端點ss=length(C); %統計矩陣C的行數，即為方程解的個數for i=1:ssa=C(i,1);b=C(i,2);%f(a)>=0,f(b)<=0e0=10^-5; %要求精度i=1; %迭代次數x0=(a+b)/2;A=[i,x0]; %迭代次數，根值的初始方程t=x0-f(x0)/g(x0); %%%%迭代函數while abs(t-x0)>=e0 %%迭代循環i=i+1;x0=t;A=[A;i,x0];t=x0-f(x0)/g(x0);endA ;B=A(i,:);%迭代次數及根值矩陣X=[X;B];endX運行結果如下如若使用matal內置函數fzero,得到如下結果由兩者求得的結果知，使用函數fzero求得的結果精度不夠。

⽜顿迭代法matlab软件⽂件说明1、使⽤说明1）加载f.m⽂件⾄matlab2）⾸先在命令⾏使⽤solve函数解得⽅程x^5=-1在复平⾯上的5个根；>> solve('x^5=-1')-11/4 + (2^(1/2)*(5^(1/2) + 5)^(1/2)*i)/4 - 5^(1/2)/41/4 - (2^(1/2)*(5^(1/2) + 5)^(1/2)*i)/4 - 5^(1/2)/4(2^(1/2)*(5 - 5^(1/2))^(1/2)*i)/4 + 5^(1/2)/4 + 1/45^(1/2)/4 - (2^(1/2)*(5 - 5^(1/2))^(1/2)*i)/4 + 1/43）然后将这5个根代⼊f.m⽂件中函数f(A,B,C,D,E)中；>> f(1/4 + (2^(1/2)*(5^(1/2) + 5)^(1/2)*i)/4 - 5^(1/2)/4, 1/4 - (2^(1/2)*(5^(1/2) +5)^(1/2)*i)/4 - 5^(1/2)/4,(2^(1/2)*(5 - 5^(1/2))^(1/2)*i)/4 + 5^(1/2)/4 + 1/4, 5^(1/2)/4 -(2^(1/2)*(5 - 5^(1/2))^(1/2)*i)/4 + 1/4, -1)4）等待matlab运⾏完毕即可得到如下⽜顿初始点收敛图2、代码说明function f(A,B,C,D,E)%函数使⽤>>f(1/4 + (2^(1/2)*(5^(1/2) + 5)^(1/2)*i)/4 - 5^(1/2)/4,% 1/4 - (2^(1/2)*(5^(1/2) + 5)^(1/2)*i)/4 - 5^(1/2)/4,% (2^(1/2)*(5 - 5^(1/2))^(1/2)*i)/4 + 5^(1/2)/4 + 1/4,% 5^(1/2)/4 - (2^(1/2)*(5 - 5^(1/2))^(1/2)*i)/4 + 1/4,% -1)%在⽅程参数中带⼊求得的复平⾯的根step=0.01; %扫描步进值为0.01,总共扫描200×200个点for x=-1:step:1for y=-1:step:1z0=x+y*i; %扫描图像点阵z=newton(z0); %⽜顿迭代法计算if abs(z-A)<1.0e-6 %迭代后与根A距离绝对⼩plot(x,y,'r.'); %使⽤红⾊填充扫描的这⼀点hold onelseif abs(z-B)<1.0e-6 %迭代后与根B距离绝对⼩plot(x,y,'g.'); %使⽤绿⾊填充扫描的这⼀点hold onelseif abs(z-C)<1.0e-6 %迭代后与根C距离绝对⼩plot(x,y,'y.'); %使⽤黄⾊填充扫描的这⼀点hold onelseif abs(z-D)<1.0e-6 %迭代后与根D距离绝对⼩plot(x,y,'b.'); %使⽤蓝⾊填充扫描的这⼀点hold onelseif abs(z-E)<1.0e-6 %迭代后与根E距离绝对⼩plot(x,y,'m.'); %使⽤粉⾊填充扫描的这⼀点hold onendendendendfunction y=newton(z)if z==0 %防⽌z=0代⼊后⽆法运算y=0;return;endfor i=1:1:2000 %最多迭代2000次y=z-(z^5+1)/(5*z^4); %⽜顿迭代公式if abs(y-z)<1.0e-7 %迭代后与z根在距离绝对⼩break; %跳出循环endz=y; %递归endend3、研究领域数值分析应⽤经常使⽤polyfit将数据进⾏多项式拟合，将多项式公式通过代码写⼊计算机完成数据的映射和转换。

matlab牛顿法代码举例使用 MATLAB 实现牛顿法的示例代码。

牛顿法（也称为牛顿-拉弗森方法）是一种在实数和复数域上求解方程的数值方法。

该方法使用函数和其导数的值来寻找函数零点的近似值。

function [root, iter] = newtonMethod(func, dfunc, x0, tol, maxIter) "%"newtonMethod 使用牛顿法求解方程"%"输入:"%"func - 目标函数"%"dfunc - 目标函数的导数"%"x0 - 初始猜测值"%"tol - 容差，求解精度"%"maxIter - 最大迭代次数"%"输出:"%"root - 方程的根"%"iter - 迭代次数x = x0;for iter = 1:maxIterfx = func(x);dfx = dfunc(x);if abs(dfx) < epserror('导数太小，无法继续迭代');endxnew = x - fx/dfx;if abs(xnew - x) < tolroot = xnew;return;endx = xnew;enderror('超过最大迭代次数');end"%"示例: 求解 x^3 - x - 2 = 0func = @(x) x^3 - x - 2;dfunc = @(x) 3*x^2 - 1;x0 = 1; "%"初始猜测值tol = 1e-6; "%"容差maxIter = 1000; "%"最大迭代次数[root, iter] = newtonMethod(func, dfunc, x0, tol, maxIter);fprintf('根是: "%"f, 在 "%"d 次迭代后找到\n', root, iter);在这个代码中，newtonMethod 函数接收一个函数 func 及其导数 dfunc，一个初始猜测值，容差和最大迭代次数 maxIter。

matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程组已知非线性方程组如下3*x1-cos(x2*x3)-1/2=0x1^2-81*(x2+^2+sin(x3)+=0exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3=0求解要求精度达到————————————————————————————————首先建立函数fun储存方程组编程如下将保存到工作路径中:function f=fun(x);%定义非线性方程组如下%变量x1 x2 x3%函数f1 f2 f3syms x1 x2 x3f1=3*x1-cos(x2*x3)-1/2;f2=x1^2-81*(x2+^2+sin(x3)+;f3=exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3;f=[f1 f2 f3]; ————————————————————————————————建立函数dfun用来求方程组的雅克比矩阵将保存到工作路径中:function df=dfun(x);%用来求解方程组的雅克比矩阵储存在dfun中f=fun(x);df=[diff(f,'x1');diff(f,'x2');diff(f,'x3')];df=conj(df');————————————————————————————————编程牛顿法求解非线性方程组将保存到工作路径中:function x=newton(x0,eps,N);con=0;%其中x0为迭代初值eps为精度要求N为最大迭代步数con用来记录结果是否收敛for i=1:N;f=subs(fun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});df=subs(dfun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});x=x0-f/df;for j=1: length(x0);il(i,j)=x(j);endif norm(x-x0)<epscon=1;break;endx0=x;end%以下是将迭代过程写入txt文档文件名为fid=fopen('','w');fprintf(fid,'iteration');for j=1:length(x0)fprintf(fid,' x%d',j);endfor j=1:ifprintf(fid,'\n%6d ',j);for k=1:length(x0)fprintf(fid,' %',il(j,k));endendif con==1fprintf(fid,'\n计算结果收敛！');endif con==0fprintf(fid,'\n迭代步数过多可能不收敛！');endfclose(fid);————————————————————————————————运行程序在matlab中输入以下内容newton([ ],,20)————————————————————————————————输出结果——————————————————————————————————————————在iteration中查看迭代过程iteration x1 x2 x3.mulStablePoint用不动点迭代法求非线性方程组的一个根function [r,n]=mulStablePoint(F,x0,eps)%非线性方程组：f%初始解：a%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：nif nargin==2eps=;endx0 = transpose(x0);n=1;tol=1;while tol>epsr= subs(F,findsym(F),x0);%迭代公式tol=norm(r-x0); %注意矩阵的误差求法，norm为矩阵的欧几里德范数n=n+1;x0=r;if(n>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendx0=[0 0 0];[r,n,data]=budong(x0);disp('不动点计算结果为')x1=[1 1 1];x2=[2 2 2];[x,n,data]=new_ton(x0);disp(’初始值为0，牛顿法计算结果为：’)[x,n,data]=new_ton(x1);disp('初始值为1，牛顿法计算结果为：')[x,n,data]=new_ton(x2);disp ('初始值为2，牛顿法计算结果为：')function[r,n,data]=budong(x0, tol)if nargin=-1tol=1e-3：endx1=budong fun(x0)；n=1;while(norm(x1-x0))tol)&(n500)x0=x1;x1=budong_fun(x0)；n=n+1：data(:,n)=x1；endr=x1：function [x,n,data]=new_ton(x0, tol)if nargin=-1tol=1e-8；endx1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);n=1;while (norm(x1-x0))tol)x0=x1;x1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);n=n+1;data(:,n)=x1;endx=x1;function f=budong_fun(x)f(1)=3* x(1)-cos(x(2)*x(3))-1/2;f(2)=x(1)^2-81*(x(2)+^2+sin(x(3))+;f(3)=exp(-x(1)*x(2))+20* x(3)+10* pi/3-1; f=[f(1)*f(2)*f(3)]；function f=df1(x)f=[3sin(x(2)*x(3))*x(3) sin(x(2)*x(3))*x(2)2* x(1)-162*(x(2)+cos(x(3))exp(-x(1)*x(2))*(-x(2))exp(-x(1)*x(2))*(-x(1))20]; 结果：不动点计算结果为r=+012*NaN -Inf初始值为0，牛顿法计算结果为：x=初始值为1，牛顿法计算结果为：x=初始值为2，牛顿法计算结果为：x=。

matlab牛顿法求根程序1、引言牛顿法求解方程的数值解是非常常用的一种方法，也是收敛速度很快的一种方法。

在Matlab中，可以使用fzero函数实现牛顿法求根。

本篇文章将介绍如何使用Matlab实现牛顿法求根。

2、牛顿法求根的原理牛顿法求根实际上是一种迭代法，迭代公式为：x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}其中，x_n 是第n次迭代的数值解，f(x_n)是方程在x_n处的函数值，f'(x_n)是方程在x_n处的导数值。

3、使用Matlab实现牛顿法求根在Matlab中，我们可以使用fzero函数实现牛顿法求根。

该函数的基本用法为：x=fzero(fun,x0,options)其中，fun是一个函数句柄，x0是初始迭代值，options是一个选项结构体，用于设置迭代精度等参数。

例如，我们想求解方程x^2-2=0在x=1附近的解，可以写出如下Matlab程序：fun=@(x)x^2-2;x0=1;options=optimset('TolX',1e-8,'Display','iter');x=fzero(fun,x0,options)其中，optimset函数可以设置迭代精度等参数，‘TolX’表示迭代停止条件，‘Display’表示是否输出迭代过程。

程序的运行结果如下：Func-count x f(x) Procedure1 1 -1 initial2 1.5000 0.2500 search3 1.4167 0.0069 search4 1.4142 0.0000 search即求得方程的解为1.4142。

4、代码实现除了使用fzero函数外，我们也可以自己实现牛顿法求根的代码。

以下是一个简单的例子：function x=newton(fun,x0,tol)while abs(fun(x0))>tolx0=x0-fun(x0)/diff(fun,x0);endx=x0;end其中，fun是函数句柄，x0是初始迭代值，tol是迭代停止条件。

matlab牛顿法程序以下是使用Matlab编写的牛顿法程序：```matlabfunction [x, iterations] = newton_method(f, df, x0, tol,max_iterations)x = x0;iterations = 0;while abs(f(x)) > tol && iterations < max_iterations x = x - f(x) / df(x);iterations = iterations + 1;endif abs(f(x)) > toldisp('The method did not converge');elsedisp('The method converged');endend```使用该程序，您需要提供以下输入参数：- `f`：要求解根的函数，可以是匿名函数或函数句柄。

例如：`f = @(x) x^2 - 4`。

- `df`：`f`的导数，同样可以是匿名函数或函数句柄。

例如：`df = @(x) 2*x`。

- `x0`：初始猜测值。

- `tol`：收敛容限。

- `max_iterations`：最大迭代次数。

程序会返回：- `x`：计算得到的方程的根。

- `iterations`：迭代次数。

您可以按照以下步骤使用该程序进行求解：1. 在命令窗口或脚本文件中定义函数`f`和它的导数`df`。

2. 设置初始猜测值`x0`、收敛容限`tol`和最大迭代次数`max_iterations`。

3. 调用`newton_method`函数并传入所需参数，将返回的结果保存在变量中。

4. 检查结果并使用根进行进一步计算或分析。

注意：该程序只能求解单变量方程的根。

如果需要求解多变量方程的根，需要对程序进行适当修改。

matlab迭代法求方程的根
MATLAB迭代法求方程的根
一、matlab中的迭代法求根
1、牛顿法求方程根
MATLAB中的牛顿法求根函数主要是fzero函数，该函数的用法如下：
>> x=fzero('func',x0)
其中，func是给定的函数名，x0是初始猜测值。

例如，求解f(x)=2*x^3+4*x^2-2*x-3=0
首先写出函数func：
function y=func(x)
y=2*x^3+4*x^2-2*x-3;
现在给出一个初始猜测值x0=2，输入MATLAB指令
x=fzero('func',2)
运行完毕后，MATLAB显示x=1.809，该值就是满足f(x)=0的根。

2、二分法求方程根
MATLAB中二分法求方程根函数主要是bisect函数，该函数的用法如下：
>> x=bisect('func',x1,x2)
其中，func是给定的函数名，x1和x2是给定的两个端点值。

例如，求解f(x)=2*x^3+4*x^2-2*x-3=0
首先写出函数func：
function y=func(x)
y=2*x^3+4*x^2-2*x-3;
现在给定两个端点值x1=2，x2=3，输入MATLAB指令
x=bisect('func',2,3)
运行完毕后，MATLAB显示x=1.8087，该值就是满足f(x)=0的根。

牛顿迭代法目录产生背景牛顿迭代公式C语言代码C++代码matlab代码产生背景牛顿迭代公式C语言代码C++代码matlab代码展开编辑本段产生背景牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。

牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。

另外该方法广泛用于计算机编程中。

编辑本段牛顿迭代公式设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。

过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。

重复以上过程，得r 的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。

把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。

),....,(,.0],;,[0),()(),()(),(0),()(),()(),(,.**,0],;,[),()()(),()()(,0),(),(),(])()[(),(),(),(),(),(])()[(),(),(2,),(])()[(21),(])()[(),(),()(2)(''))((')()(:11001n 1n 11010101010000000000000000000000000020000000000000000y x y x g f g f fg g f y y g f g f g f fg x x g g f f y x g y y y x g x x y x g y x f y y y x f x x y x f y x y x y x g f g f fg g f y y g f g f g f fg x x g f g f fg g f y y g f g f g f fg x x g g f f y x g y x g y y y x g x x y x f y x f y y y x f x x y x g y x f y x g y y y x x x y x g y x g y x f y x g y x f y y y x x x y x f y x f y x y x f y y y x x x y x f y y y x x x y x f y x f x x f x x x f x f x f x y y x xx n n x y y x y y y x y x n n y n n n x n n n n n y n n n x n n n n n x y y x xx x y y x y y x y y x x x x y y x y y y x y x y x y x y y x x y y x x y x y y x x ），由此可得到迭代序列（，则其解可记为：的行列式不为若系数矩阵：附近的线性化方程组为在一元方程牛顿迭代法，类似，的新近似值于是就得到了根，则可得解：的行列式不为若系数矩阵），（），（），（），（则两式构成方程组：令可得：构成二元方程组，同样与若另有一方程：阶小项，得到线性方程忽略在方程根附近取值时，当二元函数的展开为：开类似一元函数的泰勒展⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+=-+-+=⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=-+-+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+=-+-+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=--+-=-⎪⎩⎪⎨⎧-=-+--=-+-==∂∂-+∂∂-+=∂∂-+∂∂-+=∂∂-+∂∂-+∂∂-+∂∂-+=-+-+=++========ηξξ举例，给定方程组为：4)exp(),(1)4arctan(),(222331-+=--+=--y x y x g y x y x f先用matlab 自带函数solve 解此方程组，确定牛顿迭代时的初值范围，得到根为：⎩⎨⎧==8493476.0848937.108y x 作图验证：此组值确为方程的根。

#include #include #include float f(float x)...{ return 2*x*x*x-4*x*x+3*x-6; } float fd(float x) ...{ return 6*x*x-8*x+3; } int main(void) ...{ float x0=1.5,x=1.5;

do...{ x0=x; x=x0-f(x0)/fd(x0);//迭代公式求近似根； }while(fabs(x-x0)>1e-4);

printf("the asymtomatic root is %f ",x0); getch(); return 0; }

/**//*2.000005*/ 二分法： #include #include #include float f(float x) ...{ return 2*x*x*x-4*x*x+3*x-6; } int main(void) ...{ float l=-10,r=10,root,mid;

while(fabs(l-r)>1e-4)...{ mid=(l+r)/2; if(!f(mid))...{ root=mid; break; }if(f(l)*f(mid)<0) r=mid; else l=mid; } root=mid; printf("the only one root is %f ",root); getch(); return 0; 算法： 用迭代法的结构，增设4个工作单元F0, F0’, F1, F1’，并把用作终止迭代的误差控制改为两个|x1-x0|1. 准备：选定初始值x0, 计算F0=f(x0); F0’=f’(x0), 如果F0’=0，则输出“方法失败”并结束。 2. 迭代：对k=1,2,…,N，做： 1) x1=x0-F0/F0’ ， 2) 计算F1=f(x1); F1’=f’(x1) 3) 若F1’=0，则输出“方法失败”并结束。 3. 控制：若|x1-x0|否则，x0=x1; F0=F1; F0’=F1’。 4. k>N时输出“经N次迭代无满足要求的近似解”结束。

matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程组已知非线性方程组如下3*x1-cos(x2*x3)-1/2=0x1^2-81*(x2+^2+sin(x3)+=0exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3=0求解要求精度达到————————————————————————————————首先建立函数fun储存方程组编程如下将保存到工作路径中:function f=fun(x);%定义非线性方程组如下%变量x1 x2 x3%函数f1 f2 f3syms x1 x2 x3f1=3*x1-cos(x2*x3)-1/2;f2=x1^2-81*(x2+^2+sin(x3)+;f3=exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3;f=[f1 f2 f3]; ————————————————————————————————建立函数dfun用来求方程组的雅克比矩阵将保存到工作路径中:function df=dfun(x);%用来求解方程组的雅克比矩阵储存在dfun中f=fun(x);df=[diff(f,'x1');diff(f,'x2');diff(f,'x3')];df=conj(df');————————————————————————————————编程牛顿法求解非线性方程组将保存到工作路径中:function x=newton(x0,eps,N);con=0;%其中x0为迭代初值eps为精度要求N为最大迭代步数con用来记录结果是否收敛for i=1:N;f=subs(fun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});df=subs(dfun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});x=x0-f/df;for j=1: length(x0);il(i,j)=x(j);endif norm(x-x0)<eps< p="">con=1;break;endx0=x;end%以下是将迭代过程写入txt文档文件名为fid=fopen('','w');fprintf(fid,'iteration');for j=1:length(x0)fprintf(fid,' x%d',j);endfor j=1:ifprintf(fid,'\n%6d ',j);for k=1:length(x0)fprintf(fid,' %',il(j,k));endendif con==1fprintf(fid,'\n计算结果收敛！');endif con==0fprintf(fid,'\n迭代步数过多可能不收敛！');fclose(fid);————————————————————————————————运行程序在matlab中输入以下内容newton([ ],,20)————————————————————————————————输出结果——————————————————————————————————————————在iteration中查看迭代过程iteration x1 x2 x3.mulStablePoint用不动点迭代法求非线性方程组的一个根function [r,n]=mulStablePoint(F,x0,eps)%非线性方程组：f%初始解：a%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：nif nargin==2eps=;endx0 = transpose(x0);n=1;tol=1;while tol>epsr= subs(F,findsym(F),x0);%迭代公式tol=norm(r-x0); %注意矩阵的误差求法，norm为矩阵的欧几里德范数n=n+1;if(n>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendx0=[0 0 0];[r,n,data]=budong(x0);disp('不动点计算结果为')x1=[1 1 1];x2=[2 2 2];[x,n,data]=new_ton(x0);disp(’初始值为0，牛顿法计算结果为：’) [x,n,data]=new_ton(x1);disp('初始值为1，牛顿法计算结果为：') [x,n,data]=new_ton(x2);disp ('初始值为2，牛顿法计算结果为：')function[r,n,data]=budong(x0, tol)if nargin=-1tol=1e-3：endx1=budong fun(x0)；n=1;while(norm(x1-x0))tol)&(n500)x0=x1;x1=budong_fun(x0)；n=n+1：data(:,n)=x1；endr=x1：function [x,n,data]=new_ton(x0, tol)if nargin=-1tol=1e-8；endx1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);n=1;while (norm(x1-x0))tol)x0=x1;x1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);n=n+1;data(:,n)=x1;endx=x1;function f=budong_fun(x)f(1)=3* x(1)-cos(x(2)*x(3))-1/2;f(2)=x(1)^2-81*(x(2)+^2+sin(x(3))+;f(3)=exp(-x(1)*x(2))+20* x(3)+10* pi/3-1;f=[f(1)*f(2)*f(3)]；function f=df1(x)f=[3sin(x(2)*x(3))*x(3) sin(x(2)*x(3))*x(2)2* x(1)-162*(x(2)+cos(x(3))exp(-x(1)*x(2))*(-x(2))exp(-x(1)*x(2))*(-x(1))20]; 结果：不动点计算结果为r=+012*NaN -Inf初始值为0，牛顿法计算结果为：x=初始值为1，牛顿法计算结果为：x=初始值为2，牛顿法计算结果为：x=</eps<>。

matlab 牛顿法
牛顿法（Newton'smethod）是一种数值最优化算法，它可以帮助
在多维空间中 zoudi定最小值或最大值问题，是当前广泛应用的求解
非线性方程组和最优化问题的一种技术。

牛顿法主要基于梯度下降法，其中求解最优解的过程包括一定的
估计、权衡和选择。

其基本思想是：定义一个函数f(x)，其中x是未
知变量，牛顿法先从给定的任意初始值x0开始，然后以迭代的方式，
求出满足要求的xn，它满足特定条件f'(xn)=0。

牛顿法比较有效，具有以下特点：首先，它可以快速收敛到问题解；其次，它不受几何结构的影响；最后，它只需要使用较少的迭代
次数就能够找到最优解。

牛顿法也有缺点，特别是当函数存在多个最小值时，它很容易陷
入局部最优解，导致错误的结果。

此外，由于它优先朝向最小值收敛，所以它会被耗费更长的时间，明显慢于梯度下降法。

因此，在使用牛顿法的时候，我们应该综合计算的次数、运算的
复杂度以及当前情况，来看是否合适使用。

如果遇到极大极小值问题，可以考虑使用该方法。

牛顿法体系结构也可以用于做很多分析，比如
计算函数局部敏感性，以及复杂空间里的最小值等。