下载文档原格式
一种改进的自适应中值滤波算法
自适应中值滤波(Adaptive Median Filter,AMF)，是一种优秀的图像处理技术，
它能有效地消除图像噪声，保留有效的图像信息。
但是，它受到传统中值滤波的一些局限性所影响，如对于椒盐噪声和斑点噪声无能为力，因此常常会遭受到“腐蚀”、“延拓”和“扭曲”以及“过滤”等影响，从而引发计算精度的下降。
为了改进自适应中值滤波的效果，提高处理图像噪声的能力，前人提出了许多改进的自适应中值滤波的方法，如通过不同的参数控制机制来优化算法。
其中最常用的参数有：
1. 对中值值的更新：增大更新深度，减小中值的变差程度。
2. 变量的优化：通过引入变量和权重来更新中值。
3. 显性设计参数：采用自适应算法来调节参数，以获得更好的去噪效果。
4. 噪声抑制率：建立低噪声估计模型，来抑制噪声。
5. 尝试其他结构：通过不同的结构组合来优化去噪方案，实现判决机制。
自适应中值滤波的改进使能够有效地处理椒盐噪声，斑点噪声以及其他按照特定概率分布出现的白噪声中等。
此外，它还可以有效地抑制图像中的阴影部分，从而更好地检测图像细节。
这可以使人们在去噪过程中克服常见数字图像增强技术所遇到的像素突变、图像粗化和细节丢失等问题。
目前常见的自适应算法研究与比较常见自适应滤波算法有：递推最小二乘算法，最小均方误差算法，归一化均方误差算法，快速精确最小均方误差算法，子带滤波，频域的自适应滤波等等。
其中最典型最有代表性的两类自适应算法就是递推最小二乘算法和最小均方误差算法，以下对几种较常用的算法进行介绍：1、递归最小二乘法(RLS)RLS 算法的基本方法为:K(n) 称为Kalman 增益向量,λ是一个加权因子,其取值范围0 <λ< 1 ,该算法的初始化一般令H( - 1) = 0及P( - 1) = 1/δI,其中δ是小的正数。
2、最小均方误差算法（LMS）最小均方误差算法（LMS）是一种用瞬时值估计梯度矢量的方法，即（1）按照自适应滤波器滤波系数矢量的变化与梯度矢量估计的方向之间的关系，可以写出LMS算法调整滤波器系数的公式如下所示：（2）上式中的为步长因子。
值越大，算法收敛越快，但稳态误差也越大；值越小，算法收敛越慢，但稳态误差也越小。
为保证算法稳态收敛，应使在以下范围取值：从收敛速度来看，RLS 算法明显优于LMS 算法,但RLS 算法在运算上却比LMS 算法复杂得多,为了减小计算复杂度,并保留RLS 的收敛性能,人们提出了一些改进的RLS 算法。
如RLS 格型算法,快速RLS 算法,梯度格型算法,快速横向滤波器算法等。
总的来看,这些以收敛法都是以运算速度换取运算复杂性。
于是人们研究介于两者之间的一种算法, 如共轭梯度法、自仿射投影算法等。
共轭梯度法不需要RLS 中的矩阵运算,也没有某些快速RLS 算法存在的不稳定问题,但它的缺点是稳态误差比较大。
而LMS 算法的优点是运算简便,但它只有一个可调整参数,即步长因子μ ,可以用来控制收敛速率, 由于μ的选择受系统稳定性的限制, 因此, 算法的收敛速度受到很大限制。
为了加快收敛速度人们提出许多改进的LMS 算法。
（1）块处理LMS算法（BLMS）为了对付LMS运算量大的问题，在LMS基础上提出了块处理LMS（BLMS）。
数字信号处理中的自适应滤波算法自适应滤波算法在数字信号处理领域中扮演着重要的角色。
它们能够自动地根据输入信号的特性调整滤波器参数，以达到最佳的滤波效果。
本文将介绍几种常见的自适应滤波算法及其应用。
一、最小均方（LMS）算法最小均方（Least Mean Square, LMS）算法是最简单、常用的自适应滤波算法之一。
它的基本思想是通过最小化预测误差的均方差来更新滤波器参数。
LMS算法的原理如下：1. 初始化滤波器系数向量w和适当的步长参数μ。
2. 对于每个输入信号样本x(n)，计算滤波器输出y(n)。
3. 计算预测误差e(n) = d(n) - y(n)，其中d(n)是期望输出。
4. 更新滤波器系数向量w(n+1) = w(n) + 2μe(n)x(n)。
5. 重复步骤2至4，直到达到收敛条件。
LMS算法的优点是实现简单，适用于多种信号处理问题。
然而，它对信号的统计特性敏感，收敛速度较慢。
二、最小均方归一化（NLMS）算法最小均方归一化（Normalized Least Mean Square, NLMS）算法是对LMS算法的改进，可以有效地解决LMS算法中的收敛速度慢的问题。
NLMS算法的主要改变是利用输入信号的能量对步长参数进行归一化。
其具体步骤如下：1. 初始化滤波器系数向量w和适当的步长参数μ。
2. 对于每个输入信号样本x(n)，计算滤波器输出y(n)。
3. 计算预测误差e(n) = d(n) - y(n)。
4. 计算输入信号能量ρ(n) = x(n)·x(n)。
5. 更新滤波器系数向量w(n+1) = w(n) + (2μ/ρ(n))e(n)x(n)。
6. 重复步骤2至5，直到达到收敛条件。
NLMS算法通过对步长参数进行归一化，使其与输入信号能量相关联。
这样一来，相对于LMS算法，它能够更快地收敛。
三、迫零（RLS）算法迫零（Recursive Least Squares, RLS）算法是一种递归算法，也是自适应滤波算法中最常用的一种。
自适应滤波算法研究与DSP 实现安 颖,侯国强(河北理工大学信息学院 河北唐山 063009)摘 要:自适应滤波算法是自适应滤波器实现过程中较为重要的环节,数字信号处理器的出现为数字信号处理算法的实现和大规模数据的实时处理提供了可能。
通过对自适应最小均方算法(L MS )及其各种改进算法的Matlab 仿真,进行分析及归纳比较,得出结论,并在此基础上,提出算法的优化方案,以DSP 为平台,用汇编语言对自适应算法进行了描述,最终以DSP 为平台完成了自适应滤波器的设计。
关键词:自适应算法;自适应滤波器;数字信号处理芯片;Matlab中图分类号:TN911 文献标识码:B 文章编号:1004373X (2007)1104202R esearch to the Algorithms of Adaptive Filter and Its DSP R ealizationAN Y ing ,HOU Guoqiang(College of Information ,Hebei Polytechnic University ,Tangshan ,063009,China )Abstract :The algorithms of adaptive filter is the very important parts of the adaptive filter ,with the appearance of Digital Signal Processor ,it is possible to realize digital signal processing algorithm and real 2time processing of great plentif ul data.By using Matlab to simulate the least 2mean square algorithm and its modified ones ,we conclude and compare the common algo 2rithms.Upon these ,the thesis advances some optimized modification ,describes the adaptive filter (basic model )by assemble language on the platform of DSP and achieve the design finally.K eywords :adaptive algorithm ;adaptive filter ;digital signal processor ;Matlab收稿日期:200610131 自适应滤波的最小均方误差(LMS)算法最小均方误差(L MS )算法是利用梯度估计值来代替梯度向量的一种快速搜索算法,因其具有计算量小、易于实现的优点在实际中被广泛采用。
自适应滤波算法解析
自适应滤波算法的核心思想是根据信号自身的统计特性来调整滤波器的参数。
通常情况下，信号的统计特性是由信号的功率谱密度或自相关函数表示的。
根据这些统计特性，可以设计滤波器的参数，从而使得滤波器能够较好地适应信号的变化。
在自适应滤波算法中，最常用的一种方法是最小均方误差（Mean Square Error，MSE）准则。
该准则的目标是通过最小化滤波器输出与期望输出之间的均方误差，来选择最佳的滤波器参数。
为了实现这个目标，通常采用梯度下降法或者最小二乘法等优化方法。
在梯度下降法中，通过计算误差函数关于滤波器参数的梯度，来不断调整滤波器的参数。
具体而言，首先随机初始化滤波器的参数，然后计算误差函数的梯度，并根据梯度的方向和大小来更新滤波器的参数。
重复这个过程直到滤波器参数收敛。
最小二乘法是另一种常用的优化方法，它的核心思想是通过最小化误差函数的二次方和，来选择最佳的滤波器参数。
与梯度下降法不同的是，最小二乘法可以通过对误差函数进行求导并令其等于零来求解滤波器的最佳参数。
除了最小均方误差准则之外，还有一些其他的自适应滤波算法，例如最小绝对值差准则、最小二乘差准则等。
这些算法的核心思想都是通过合适的准则来选择滤波器的参数，从而实现自适应滤波。
总的来说，自适应滤波算法是一种根据信号自身的特性来调整滤波器参数的方法。
该算法通过最小化误差准则来选择最佳的滤波器参数，具有
广泛的应用价值。
在实际应用中，可以根据具体的问题选择合适的自适应滤波算法，并通过调整算法的参数来获得最佳的滤波效果。
自适应滤波算法原理与应用经典的滤波算法包括,维纳滤波，卡尔曼滤波，自适应滤波。
维纳滤波与卡尔曼滤波能够满足一些工程问题的需求，得到较好的滤波效果。
但是他们也存在局限性，对于维纳滤波来说,需要得到足够多的数据样本时，才能获得较为准确的自相关函数估计值，一旦系统设计完毕，滤波器的长度就不能再改变,这难以满足信号处理的实时性要求；对于卡尔曼滤波，需要提前对信号的噪声功率进行估计，参数估计的准确性直接影响到滤波的效果。
在实际的信号处理中,如果系统参数能够随着输入信号的变化进行自动调整，不需要提前估计信号与噪声的参数,实现对信号的自适应滤波，这样的系统就是自适应滤波系统.1。
基本自适应滤波算法自适应滤波算法的基本思想是根据输入信号的特性自适应调整滤波器的系数，实现最优滤波。
图1 自适应滤波结构框图若自适应滤波的阶数为M ，滤波器系数为W ，输入信号序列为X ，则输出为： 10()()()M m y n w m x n m -==-∑（ 1）()()()e n d n y n =-( 2）其中()d n 为期望信号，()e n 为误差信号。
11()()()M Mj i ij m i y n w m x n m y w x -===-→=∑∑（ 3） 令T T 01112[,,,],[,,,]M j j j Nj W w w w X x x x -==（ 4）则滤波器的输出可以写成矩阵形式： T Tj jj y X W W X == ( 5）T Tj j j j j jj e d y d X W d W X =-=-=- （ 6）定义代价函数：222()[][()][()]j j j T j j J j E e E d y E d W X ==-=- （ 7）当使上式中的代价函数取到最小值时,认为实现最优滤波，这样的自适应滤波成为最小均方自适应滤波（LMS)。
对于最小均方自适应滤波，需要确定使得均方误差最小的滤波器系数，一般使用梯度下降法求解这类问题。
基于深度强化学习的自适应滤波算法研究一、引言自适应滤波是指根据信号统计特征，设计出适合当前信号的滤波器。
该技术可用于信号去噪、信号特征提取、信号恢复等领域。
目前，基于深度强化学习的自适应滤波算法受到了广泛关注，并在音频处理、图像处理、控制系统等领域得到了广泛应用。
本文将介绍基于深度强化学习的自适应滤波算法的研究现状与发展方向。
二、自适应滤波的原理及分类自适应滤波是一种根据输入信号的性质调节滤波器响应的方法。
其基本原理是利用输入信号的统计性质、峰值、均值、方差等，调节滤波器的响应特性，使其更加适应当前输入信号的特征。
常用的自适应滤波算法包括最小均方算法（LMS）、归一化LMS算法（NLMS）、递推最小平方算法（RLS）等。
根据滤波器结构，自适应滤波可分为线性自适应滤波与非线性自适应滤波。
线性自适应滤波采用线性滤波器的结构，其输入信号通过滤波器后，输出信号为输入信号与滤波器系数的卷积。
非线性自适应滤波器则不限于线性滤波器的结构，它可以根据需要设计任意结构的滤波器，如模糊滤波器、小波滤波器。
三、深度强化学习及其在自适应滤波中的应用深度强化学习是深度学习与强化学习结合的一种自适应学习方法。
在深度强化学习中，智能体通过与环境的交互，学习如何在特定任务中最大化期望的长期回报。
深度强化学习在语音识别、图像处理、游戏AI、智能机器人等领域得到了广泛应用。
深度强化学习在自适应滤波中的应用主要是基于卷积神经网络（CNN）和循环神经网络（RNN）的结构。
深度强化学习网络利用无监督学习方法，从大量数据中自主学习滤波器的响应特征和滤波器系数。
由于其能够自适应地提取信号的特征，它可以更加准确地去除噪声，从而提高滤波效果。
在实践中，深度强化学习在图像去噪、语音去噪、控制系统等领域得到了广泛应用。
深度强化学习的一个优点是可以取代传统的自适应算法。
传统的自适应滤波器需要在每个时间步骤上计算估计信号，而基于深度强化学习的滤波器可以直接利用输入信号进行学习，省去了估计信号的过程，大大提高了滤波器的运算速度。
数字信号处理中的自适应滤波算法优化随着数码通信技术和智能采集设备的快速发展，大量的信息数据被海量地传输和记录，但是在数据传输和处理的过程中，存在多种干扰和噪声信号，严重影响数据的准确度和有效性。
在这种背景下，自适应滤波算法逐渐成为数字信号处理领域中的研究热点。
自适应滤波算法是一种能够自动调整滤波器系数的数字信号处理技术。
其基本原理是通过逐步调整滤波器的复杂系数，实现对输出信号的最小均方误差优化。
因此，在数字信号的预处理和恢复过程中，自适应滤波算法不仅可以降低噪声和干扰信号的影响，还能提高信号的质量和准确度。
目前，自适应滤波算法已成为数字信号处理的核心技术，被广泛应用于多个领域，包括通信、音频、图像、生物医学等。
但是，在实际应用中，自适应滤波算法仍然面临很多的挑战和问题，主要表现在如下几个方面：1. 学习速率和收敛速度问题自适应滤波算法的关键在于滤波器的系数和权重的自适应调整，而调整的速率和效果直接影响了算法的性能和实用性。
因此，如何优化算法的学习和收敛速度是自适应滤波算法研究的重点之一。
目前，常用的优化方法包括改进的学习率、自适应学习率、最小均方差迭代算法等。
2. 滤波器结构和特征提取问题自适应滤波器的性能和适用范围直接受制于其结构和特征提取算法。
因此，在算法设计和优化中，需要考虑严密的理论基础和科学的特征提取方法。
例如，基于波束形成和空间滤波算法的自适应多元相干成像技术已成功应用于医学诊断和遥感图像分析中。
3. 功耗和系统实现问题在实际应用中，自适应滤波算法不仅需要在计算和存储方面满足功耗和资源限制，而且还需要满足实时性和可重复性等多种要求。
如何优化算法的结构和实现方式，提高算法的效率和可靠性，是当前自适应滤波算法设计的主要问题之一。
为了克服以上问题和挑战，当前研究中主要从以下几个方面进行自适应滤波算法的优化和改进：1. 基于统计模型和机器学习的滤波器结构和调整方法，例如L1正则化方法和基于深度学习的自适应滤波算法。
控制系统中的自适应滤波算法研究自适应滤波算法是控制系统中一种常用的信号处理技术，用于减小噪声干扰并提高系统的性能。
本文将着重研究控制系统中的自适应滤波算法，并探讨其在实际应用中的优势和挑战。
首先，我们将介绍自适应滤波算法的基本原理和主要功能。
自适应滤波算法通过对输入信号进行实时分析和处理，自动调整滤波器的参数，以适应不同的环境和信号特征。
这种算法能够降低噪声干扰的影响，提高系统的稳定性和鲁棒性。
常见的自适应滤波算法包括最小均方误差（LMS）算法、最小均值误差（NLMS）算法和递归最小二乘（RLS）算法等。
接下来，我们将重点讨论自适应滤波算法在控制系统中的应用。
首先是在自适应控制方面的应用。
自适应滤波算法可以用于根据系统的实时反馈信息，实时调整滤波器的参数，以优化控制系统的性能。
例如，在自适应PID控制中，可以利用自适应滤波算法对输入和输出信号进行滤波处理，以减小噪声干扰和提高控制系统的响应速度和稳定性。
其次，自适应滤波算法在信号处理方面也有广泛的应用。
在传感器信号处理中，由于环境的变化和传感器本身的噪声等因素，采集到的信号经常受到噪声的干扰。
自适应滤波算法可以根据实际采集到的信号动态调整滤波器的参数，以滤除噪声并提取有效信号，从而提高信号处理的准确性。
另外，自适应滤波算法在通信系统中也有重要的应用。
在数字通信中，接收到的信号常常受到信道中的多径效应、干扰和噪声等的影响。
自适应滤波算法可以通过实时估计信号的通道特性，自适应地调整滤波器的参数，以减小信号畸变和噪声干扰，提高通信系统的性能和传输质量。
自适应滤波算法的应用具有很多优势，但也存在一些挑战和限制。
首先，自适应滤波算法的计算复杂度较高，对硬件和软件的要求较高。
其次，自适应滤波算法需要大量的实时数据进行训练和参数调整，因此对于实时性要求较高的系统，存在一定的滞后性。
此外，自适应滤波算法对信号的统计特性和环境的先验信息要求较高，如果这些信息无法准确获取，可能导致滤波器参数调整不准确，影响滤波效果。
随机信号处理中的自适应滤波算法研究自适应滤波是一种在随机信号处理中常用的方法，可以有效地去除信号中的噪声，提升信号质量。
自适应滤波算法根据输入信号的特点自动调整滤波器的参数，使得滤波器能够适应不同噪声环境并进行有效的滤波。
在自适应滤波算法中，最常用的算法之一是最小均方差（Least Mean Squares，LMS）算法。
LMS算法通过对滤波器系数的迭代更新，使得均方误差最小化。
具体来说，LMS算法的基本步骤如下：1.初始化滤波器系数。
通常可以将滤波器初始系数设置为0或者一个较小的随机数。
2.通过输入信号和滤波器的输出信号计算估计误差。
估计误差为输入信号减去滤波器的输出信号。
3.根据指定的步长参数，更新滤波器系数。
步长参数决定了更新的速度，过大的步长可能会导致不稳定的结果，而过小的步长会使得收敛速度过慢。
4.重复步骤2和步骤3，直到估计误差趋于稳定或收敛。
另一个常用的自适应滤波算法是最小均方误差（Recursive Least Squares，RLS）算法。
相比于LMS算法，RLS算法通过递归的方式更新滤波器系数，从而在增量计算的基础上提高了计算效率。
RLS算法的基本步骤如下：1.初始化滤波器系数和协方差矩阵。
通常可以将滤波器初始系数设置为0，并假设协方差矩阵为一个较大的数或者单位矩阵。
2.通过输入信号和滤波器的输出信号计算估计误差。
3.根据更新矩阵和估计误差，更新滤波器系数和协方差矩阵。
4.重复步骤2和步骤3，直到估计误差趋于稳定或收敛。
自适应滤波算法在实际应用中具有很高的性能和灵活性。
它可以适应不同的噪声环境，并且能够在线更新滤波器系数，以适应信号的变化。
自适应滤波算法在消除信号中的噪声、降低误差和提高信号-to-noiseratio (SNR)等方面有着广泛的应用。
总的来说，自适应滤波算法是一种强大的信号处理工具，可以提高信号质量，去除噪声，适应不同的噪声环境。
无论是LMS算法还是RLS算法，它们都是基于迭代更新滤波器系数的原理，通过不断优化滤波器的参数来达到自适应滤波的目的。
自适应滤波LMS算法及RLS算法及其仿真1.引言2.自适应滤波LMS算法LMS（Least Mean Square）算法是一种最小均方误差准则的自适应滤波算法。
其基本原理是通过不断调整滤波器的权值，使得输出信号的均方误差最小化。
LMS算法的迭代公式可以表示为：w(n+1)=w(n)+μ*e(n)*x(n)其中，w(n)为滤波器的权值向量，μ为步长因子，e(n)为误差信号，x(n)为输入信号。
通过迭代更新权值，LMS算法逐渐收敛，实现了自适应滤波。
3.RLS算法RLS（Recursive Least Square）算法是一种递归最小二乘法的自适应滤波算法。
相比于LMS算法，RLS算法具有更好的收敛性能和适应性。
RLS算法基于最小二乘准则，通过递归式地计算滤波器权值矩阵，不断优化滤波器的性能。
迭代公式可以表示为：P(n)=(P(n-1)-P(n-1)*x(n)*x(n)'*P(n-1)/(λ+x(n)'*P(n-1)*x(n))) K(n)=P(n)*x(n)/(λ+x(n)'*P(n)*x(n))w(n+1)=w(n)+K(n)*e(n)其中，P(n)为滤波器的协方差矩阵，K(n)为最优权值，λ为遗忘因子（用于控制算法的收敛速度），e(n)为误差信号。
4.仿真实验为了验证LMS算法和RLS算法的性能，我们进行了一组仿真实验。
假设输入信号为一个正弦信号，噪声为高斯白噪声。
我们分别使用LMS和RLS算法对输入信号进行自适应滤波，比较其输出信号和原始信号的均方误差。
在仿真中，我们设置了相同的滤波器长度和步长因子，比较LMS和RLS算法的收敛速度和输出质量。
实验结果表明，相对于LMS算法，RLS 算法在相同条件下具有更快的收敛速度和更低的均方误差。
这验证了RLS 算法在自适应滤波中的优越性。
5.结论本文介绍了自适应滤波LMS算法和RLS算法的原理及其在仿真中的应用。
实验结果表明，相对于LMS算法，RLS算法具有更好的收敛性能和适应性。
第14卷第5期2000年10月 华 东 船 舶 工 业 学 院 学 报Journal of East China Shipbuilding Institute Vol 114No 15Oct.2000文章编号:1006-1088(2000)05-0018-04一种自适应LM S 滤波的改进算法刘怀国, 吴 越, 张尤赛(华东船舶工业学院电子与信息系,江苏 镇江 212003)摘 要:在传统的LM S(L east M ean Square)算法中,固定步长选取影响收敛速度与稳态误差,而且两者不可兼得。
为此,本文提出了一种改进的LM S 算法。
在计算机仿真自适应信道均衡中,该算法的性能明显优于传统的L M S 算法,而计算量增加甚少。
理论分析与计算机模拟证实了该算法的优越性。
关键词:自适应滤波;L M S 算法;信道均衡中图分类号:T N92915 文献标识码:A0 引 言自B.Widrow 等人1967年提出自适应滤波以来,因其计算量小,易于实现等优点,这30多年来发展极为迅速。
目前,已广泛地应用于通信、系统辩识、信号处理和自适应控制等领域。
具体的例子包括神经网络的学习过程、噪声背景下的信号检测、天线旁瓣干扰的自适应对消、电话线路中的回波消除、通信系统中的信道均衡、雷达和声纳的波束形成等。
在各种自适应滤波中,其中Widrow -Hoff 的LMS (Least M ean Square)算法以其计算量小,稳定性好且易于实现而得到广泛应用。
但这种算法中的固定步长因子L 对算法的性能有决定性的影响。
L 太小,算法收敛慢,为得到满意的结果所需要的采样数据很多,但稳态失调误差较小。
L 太大(在保证收敛的情况下),该算法收敛速度快,但稳态失调误差变大。
收敛速度与稳态失调噪声是不可兼得的两个指标。
为此本文提出了一种改进算法,使其在收敛速度与稳态失调误差之间作出折衷的处理。
1 传统的LMS 自适应滤波算法介绍如图1,传统的LM S 滤波算法[1,2]为:图1 自适应滤波器原理图Fig 11 T he principle diagr am of adaptive filtery (n )=6N-1i=0X i (n)x (n -i)e(n)=d (n )-y (n)X i (n +1)=X i (n )+2L e(n)x (n -i)(i =0,1,,,N -1)写成矩阵的形式为:y (n )=W (n)T X (n)e(n)=d (n )-y (n)W (n +1)=W (n )+2L e(n)X (n)收稿日期:1999-12-28基金项目:院青年基金课题(院编99305)作者简介:刘怀国(1976-),男,江苏海安人,华东船舶工业学院硕士研究生。
自适应滤波第1章绪论 01．1自适应滤波理论发展过程 01．2自适应滤波发展前景 (2)1．2．1小波变换与自适应滤波 (2)1．2．2模糊神经网络与自适应滤波 (3)第2章线性自适应滤波理论 (5)2．1最小均方自适应滤波器 (5)2．1．1最速下降算法 (5)2．1．2最小均方算法 (8)2．2递归最小二乘自适应滤波器 (10)第3章仿真 (16)3.1基于LMS算法的MATLAB仿真 (16)3。
2基于RLS算法的MATLAB仿真 (19)组别：第二小组组员:黄亚明李存龙杨振第1章绪论从连续的（或离散的）输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波.相应的装置称为滤波器。
实际上，一个滤波器可以看成是一个系统，这个系统的目的是为了从含有噪声的数据中提取人们感兴趣的、或者希望得到的有用信号，即期望信号。
滤波器可分为线性滤波器和非线性滤波器两种.当滤波器的输出为输入的线性函数时，该滤波器称为线性滤波器，当滤波器的输出为输入的非线性函数时，该滤波器就称为非线性滤波器。
自适应滤波器是在不知道输入过程的统计特性时,或是输入过程的统计特性发生变化时，能够自动调整自己的参数，以满足某种最佳准则要求的滤波器.1．1自适应滤波理论发展过程自适应技术与最优化理论有着密切的系。
自适应算法中的最速下降算法以及最小二乘算法最初都是用来解决有／无约束条件的极值优化问题的。
1942年维纳(Wiener)研究了基于最小均方误差(MMSE）准则的在可加性噪声中信号的最佳滤波问题。
并利用Wiener．Hopf方程给出了对连续信号情况的最佳解。
基于这～准则的最佳滤波器称为维纳滤波器。
20世纪60年代初，卡尔曼(Kalman)突破和发展了经典滤波理论，在时间域上提出了状态空间方法，提出了一套便于在计算机上实现的递推滤波算法，并且适用于非平稳过程的滤波和多变量系统的滤波，克服了维纳(Wiener）滤波理论的局限性，并获得了广泛的应用.这种基于MMSE准则的对于动态系统的离散形式递推算法即卡尔曼滤波算法。
第三章 几种横向自适应滤波算法及其改进研究3.1 自适应横向滤波器的定义及其性能函数3.1.1 横向自适应滤波器横向自适应滤波器是一类基本的自适应滤波器形式[8]。
所谓自适应实现是指：M 阶滤波器的抽头权系数01,...,M w w -，可以根据估计误差()e n 的大小自动调节，使得某个代价函数最小。
令()W n 表示图2.1中的滤波系数矢量，011()[(),(),...,()]M W n w n w n w n -=，滤波器抽头输入信号矢量()[(),(1),...,(1)]U n u n u n u n M T =--+，显然，输出信号()y n 为10()()()()M i i y n wu n i W n U n -T ==-=∑ (3-1)式中T 表示转置。
利用图2.5中的输出信号和输入信号之间的关系，误差序列()()()()e n d n W n U n H =- (3-2)显然，自适应滤波器的控制机理是用误差序列()e n 按照某种准则和算法对其系数()W n 进行控制的，最终使自适应滤波的目标（代价）函数最小化，达到最佳滤波效果。
按照均方误差（MSE ）准则所定义的目标函数是：22()(){|()|}{|()()|}defJ n n E e n E d n W U n ξH ===- (3-3) 将式（3-1）代入式（3-3），目标函数可以重新写为2[()]2[()()()][()()()()]E d n E d n W n U n E W n U n U n W n ξH H H =-+ (3-4) 当滤波器的系数固定时，目标函数可以写为2[()]2E d n W P W RW ξT T =-+ (3-5)其中，[()()]R E U n U n T =是输入信号的自相关矩阵，[()()]P E d n U n =是期望信号和输入信号的互相关矢量。
3.1.2 自适应滤波器的性能函数习惯上称均方误差2[|()|]E e n 为自适应滤波器的性能函数，并记为ξ、J 或者MSE ，即2[|()|]J MSE E e n ξ=== (3-6)由式(3-5)知，当输入信号()u n 与期望信号()d n 为平稳随机过程时，性能函数ξ为权矢量W 的二次函数。
二次均方误差函数的曲面形式为一碗状抛物面，当权矢量的维数大于2时，性能函数为一抛物面形式，且其抛物面上有唯一的全局最优点。
当自相关矩阵为正定的，超抛物面向上凹起（即碗口朝上），表示均方误差函数有唯一的最小值，该最小值所对应的权系数矢量为自适应滤波器的最佳权系数opt w ，即等于维纳滤波器的权矢量。
3.1.3 二次型性能表面的搜索在性能表面上搜索的目的是找出性能函数的最小值，并由此得到最小值所对应的最佳权矢量。
这样，二次型性能表面搜索最小值的问题，在数学上就转化为求取曲线和曲面的机制问题。
常用的性能表面搜索的方法为梯度下降的迭代算法，例如牛顿法和最速下降法[9]。
1. 最速下降法最速下降法是一种古老而又非常有用的通过迭代寻找极值的方法。
从几何意义上讲，迭代调整权矢量的结果是使系统的均方误差延梯度的反方向下降，并最终达到最小均方误差min ξ。
在最小均方误差实现时，权矢量变为最佳权矢量opt w 。
它的优点是简单，但需要大量的迭代，才能使算法收敛于充分接近最优解的点。
2. 牛顿法牛顿法是一种通过迭代寻找函数()f x 的过零点的数学方法，即求()0f x =的解。
假定()f x 为变量x 的一元函数，牛顿法的求解过程为：由初始估值0x 开始，利用()f x 的一阶导数在0x 点的值'0()f x 来计算新值1x ，即010'0()()f x x x f x =- (3-7) 然后，再利用1x 的导数'0()f x 和()f x 来计算下一步的估值2x ，其一般的迭代公式为1'()()k k k k f x x x f x +=-，0,1,k= (3-8) 而'11()()()k k k k k f x f x f x x x ---=-这样牛顿法可以表示为111()()()k k k k k k k x x x x f x f x f x -+--=--，0,1,k= (3-9)要注意的是牛顿法的收敛对一大类函数是相当快的，但它的缺点是计算量大。
3.2 最小均方算法3.2.1 最小均方算法最小均方（LMS ）算法是一种梯度最速下降算法，它以期望响应()d n 和滤波器输出信号*()()()y n u n w w u n T H ==之间误差的均方值2[|()|]E e n 最小为准则，依据输入信号在迭代过程中估计梯度矢量，并更新权系数达到最优的自适应迭代算法。
令()()()e n d n w x n H =- (3-10)LMS 算法进行梯度估值的方法是以误差信号每一次迭代的瞬时平方值代替均方值，并以此来估计梯度，即22201()()()()[,,,]()()()M e n e n e n n w n w n w n Λ∂∂∂∇=∂∂∂ (3-11) 若写成矢量形式，有2()()()e n n w n Λ∂∇=∂ (3-12) 将式（3-10）代入式(3-11)得到()()2()2()()()e n n e n e n x n w n Λ∂∇==-∂ (3-13) 用梯度估值()n Λ∇来代替最速下降法中的梯度真值()n ∇，有(1)()(())()2()()w n w n n w n e n x n μμΛ+=+-∇=+ (3-14) 式中，μ为自适应滤波器的收敛因子。
上式即为著名的LMS 算法滤波器权矢量迭代公式。
可以看出，自适应迭代下一时刻的权系数矢量可以由当前时刻的权系数矢量加上以误差函数为比例因子的输入矢量得到。
图3.1给出了实现LMS 算法的流程图。
图3.1 LMS 算法的流程图[9]3.2.2 LMS 算法性能分析1. LMS 算法的收敛性式（3-14）中的收敛因子μ应满足以下收敛条件max 10μλ<< (3-15)式中，max λ为自相关矩阵R 的最大特征值。
由于max ()tr R λ≤，因此，上式可以改写为10()tr R μ<<(3-16) 或者10(1)inM P μ<<+ (3-17) 式中，in P 为输入信号的功率。
通常式(3-17)比式(3-16)常用。
因为输入信号的功率比其自相关矩阵的特征值更容易估计。
2. 自适应学习曲线若将代价函数式(3-5)中权向量作代换，即opt V W W =- (3-18)并称它为权偏差向量。
于是2()[()][][]2[]H opt opt opt V E d n V W R V W P V W ξT =+++-+2[()][]2H H opt opt opt E d n P W V R V W W RV P V T T =-+++-min H V RV ξ=+ (3-19)自适应权值的调整过程对系统的输出有影响，假定ξ就表示权固定在k w 时的输出均方误差，则由上式知：2min ()k opt w w ξξλ=+- (3-20)通常把权值迭代索引器的均方误差由初值0ξ到最小值min ξ的弛豫过程称为自适应系统的“学习”过程，而把由此产生的均方误差瞬时值变化曲线称为“学习曲线”，它表明了迭代过程中均方误差减小并趋于最小值的变化情况。
LMS 自适应滤波器自问世以来，受到人们普遍的重视，得到了广泛的应用。
这种滤波器的主要优点是收敛性能稳定，且算法比较简单。
然而，作为梯度算法的一种，LMS 算法有其固有的缺点，首先，这种算法一般来说不能从任意初始点通过最短的路径到达极值点；其次，当输入信号自相关阵R 的特性值在数值上分散性较大时，这种方法的性能趋于恶化。
3.3 关于LMS 算法性能的仿真验证我们结合自适应滤波器的应用来对LMS 算法的性能进行仿真验证。
仿真（一）：我们使用一阶自回归过程来研究实时数据集平均对LMS 算法瞬态特征的影响。
考虑一阶AR 过程，其差分方程为()(1)()u n au n v n =--+ (3-21) 这里a 是这个过程的参数，()v n 是零均值方差为2v δ的白噪声。
为了估计参数a ，我们使用图3.2的一阶自适应预测器，预测器抽头权值的LMS 自适应算法形式表示如下(1)()(1)()w n w n u n f n μ∧∧+=+- (3-22)其中()()()(1)f n u n w n u n ∧=-- (3-23)是预测误差图3.2一阶自适应预测器实验条件为：1）AR 参数：a =-0.99；2）AR 过程()u n 的方差：2v δ=0.93627。
图3.3为均方预测误差2()f n与迭代次数n的关系图，其中μ=0.05。
由图3.1可见，LMS算法单一实现的学习曲线呈现严重噪声的形式。
这幅图也包括100次独立实验后集平均得到的2[()]E f n的相应图形。
LMS算法学习曲线集平均的平滑效应体现的一清二楚。
图3.3 LMS算法的学习曲线图3.4是在变步长参数μ[所用的μ为0.01、0.05、0.1]的情况下，LMS算法的学习曲线的图形。
而且，集平均在100次独立试验后完成。
图3.4 不同步长对LMS算法收敛特性的影响从图3.4可看到如下结果：(1) 当步长参数μ减小时，LMS算法的收敛率响应减小。
(2) 步长参数μ减小也影响学习曲线的变化。
仿真（二）：自适应均衡。
用于研究LMS算法性能的自适应均衡系统仿真模型如图2.9所示。
仿真时，信道采用升余弦脉冲响应来模拟[6]：20.51cos (2)1,2,30()n n W h n π+-==⎧⎧⎫⎡⎤⎪⎨⎬⎢⎥⎨⎣⎦⎩⎭⎪⎩其他 (3-24) 该脉冲响应关于2=n 对称。
参数W 是一个可调参数，调整W 可以改变信道性。
表3.1给出了自适应均衡器为11抽头,不同W 对应的特征值分散。
信道失真增大，特征值扩散度变大。
表3.1 W 值与特征值分散的对应关系1 信道失真参数W （特征值扩散度）对系统的收敛性和稳态性的影响。
步长参数固定为μ=0.075。
选择这个值的根据是：μ必须小于max 1λ，其中max λ表示相关矩阵R 的最大特征值。
对于每一个特征值扩散度，经过200次独立实验，通过瞬时均方误差2()e n 与n 的关系曲线平均，可获得自适应滤波器集平均学习曲线。
这个计算结果如图3.5所示。
平均M S E 迭代次数特征值扩散度的影响图3.5 不同特征值扩散度对应的LMS 算法的学习曲线由图3.5可见，特征值扩散度变化范围的扩大降低了均衡器的收敛速率，同时也提高了平均平方误差的稳态值。
