高中数学 第二章小结与复习教案 新人教A版必修1

【新教材】人教统编版高中数学必修一A版第二章教案教学设计2.1《等式性质与不等式性质》教案教材分析：等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.教学目标与核心素养：课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

教学重难点：重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、 两个实数比较大小的方法 作差法 {a −b >0⟺a >ba −b =0⟺a =b a −b <0⟺a <b作商法{ ab >1⟺a >b ab =1⟺a =b ab <1⟺a <b2.不等式的基本性质3.重要不等式四、典例分析、举一反三 题型一 不等式性质应用 例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）×解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ； （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ； （3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2 （4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二 比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知a >b >0,c >0,求ca >cb 。

第三教时教材：定义域目的：要求学生掌握分式函数、根式函数定义域的求法，同时掌握表示法。

过程：一、复习：1．函数的定义（近代定义） 2．函数的三要素今天研究的课题是函数的定义域—自变量x 取值的集合（或者说：原象的集合A ）叫做函数y =f (x )的定义域。

二、认定：给定函数时要指明函数的定义域。

对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。

例一、（P 54例二）求下列函数的定义域：1．21)(-=x x f 2。

23)(+=x x f 解：要使函数有意义，必须： 解：要使函数有意义，必须： 02≠-x 3x +2≥0即 x ≠ 2 即 x ≥32-∴函数21)(-=x x f 的定义域是： ∴函数23)(+=x x f 的定义域是：{}2|≠x x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥32|x x 3。

xx x f -++=211)( 解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x ∴函数23)(+=x x f 的定义域是： {}21|≠-≥x x x 且例二、求下列函数的定义域：1．14)(2--=x x f 2．2143)(2-+--=x x x x f解：要使函数有意义，必须： 解：要使函数有意义，必须：142≥-x ⎩⎨⎧≠-≠-≤-≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--131********x x x x x x x 且或 即： 33≤≤-x 4133≥-≤<-->⇒x x x 或或 ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： ∴函数2143)(2-+--=x x x x f 的定义域为：{x |33≤≤-x } { x |4133≥-≤<-->x x x 或或} 3．=)(x f x 11111++ 解：要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠xx x ⇒ 2110-≠-≠≠x x x ∴函数的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≠∈21,1,0|x R x x 且 4．x x x x f -+=0)1()(解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x ∴函数x x x x f -+=0)1()(的定义域为：{}011|<<--<x x x 或5。

新教材高中数学新人教B 版选择性必修第二册：第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质【素养目标】1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模)3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)【学法解读】在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．第1课时不等关系与比较大小必备知识·探新知基础知识知识点1 不等式与不等关系不等式的定义所含的两个要点．(1)不等符号<，>，______，______或≠.(2)所表示的关系是____________.思考1：不等式“a b ≤”的含义是什么？只有当“a b <”与“a b =”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a b ≤应读作“a 小于或者等于b ”，其含义是指“a b <或者a b =”，等价于“a 不大于b ”，即若a b <或a b =之中有一个正确，则a b ≤正确．知识点2 比较两实数a ，b 大小的依据000a b a b a b ->⎧⎪-<⎨⎪-=⎩如果依据如果如果比较两实数a ，b 的大小⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧ 如果a －b>0，那么________如果a －b<0，那么________如果a －b ＝0，那么________结论：确定任意两个实数a ，b 的大小关系，只 需确定它们的差a －b 与0的大小关系思考2：(1)在比较两实数a ，b 大小的依据中，a ，b 两数是任意实数吗？(2)若“0b a ->”，则a ，b 的大小关系是怎样的？提示：(1)是 (2)b a >基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)不等式2x ≥的含义是指x 不小于2.( )(2)若20x ＝，则0x ≥.( )(3)若10x -≤，则1x <.( )(4)两个实数a ，b 之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种．( )[解析] (1)不等式2x ≥表示2x >或2x ＝，即x 不小于2.(2)若20x =，则0x =，所以0x ≥成立．(3)若10x -≤，则1x <或者1x =，即1x ≤.(4)任意两数之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种，没有其他大小关系．2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．40T <B ．40T >C ．40T ≤D ．40T ≥3．已知1x <，则22x +与3x 的大小关系为_____________.关键能力·攻重难题型探究题型一 用不等式(组)表示不等关系例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[分析] 由“这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润，由“每天的利润不低于300元”确定不等关系，即可列出不等式．[解析] 若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少10101x -⨯件，因此，每天的利润为810010()[)]0(1x x ---元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为810010()[(10300)]x x ---≥⋅.[归纳提升] 将不等关系表示成不等式的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接．例2 某矿山车队有4辆载重为10t 的甲型卡车和7辆载重为6t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[分析] 首先用变量x ，y 分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量．再将不等关系用含未知数的不等式表示出来，要注意变量的取值范围．[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则9106683600407,x y x y x y x y N +≤⎧⎪⨯+⨯≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩即954300407,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩ [归纳提升] 用不等式组表示不等关系的方法首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围．【对点练习】❶用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，要求菜园的面积不小于2110m ，靠墙的一边长为xm ，试用不等式表示其中的不等关系．[解析] 由于矩形菜园靠墙的一边长为xm ，而墙长为18m ，所以018x <≤， 这时菜园的另一条边长为30(15)()22x x m -=-．因此菜园面积(15)2x S x =⋅-，依题意有110S ≥， 即(15)1102xx -≥， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为018(15)1102x x x <≤⎧≥⎪⎨-⎪⎩ 题型二 比较实数的大小例3 已知a ，b[解析] 方法一(作差法)：-=+===. ∵a ，b0>，20≥，∴0≥≥方法二(作商法)===11==+≥.∵0>0>+≥方法三(平方后作差)：∵222a b b a =+，2a b =++∴222()()a b a bab +--=. ∵0a >，0b >，∴2()()0a b a b ab+-≥.又0+>0>+≥[归纳提升] 比较大小的方法1．作差法的依据：0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<. 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．2．作商法的依据：()0b ><时，1()a a b b >⇔><；1a a b b =⇔=；1()a a b b<⇔<>. 步骤：作商——变形——判断商与1的大小——得出结论．注意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少．3．介值比较法：(1)介值比较法的理论根据：若a b >，b c >，则a c >，其中b 是a 与c 的中介值．(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值．【对点练习】❷当1x ≤时，比较33x 与231x x -+的大小．[解析] 3232()()()331331x x x x x x --+--=+ 231()()1x x x +=--231()()1x x =+-．因为1x ≤，所以10x ≤－， 而2310x +>.所以2()(10)31x x +-≤，所以32331x x x ≤-+.第2课时 不等式性质必备知识·探新知基础知识知识点1不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性)性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性)性质3 a b >⇒ ______________；(同加保序性)推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则)性质4 a b >，0c >⇒ __________，(乘正保序性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性)性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向相加保序性)性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(正数同向相乘保序性)性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(非负乘方保序性)思考：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？(3)使用性质6,7时，要注意什么条件？提示：(1)移项法则．(2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向．(3)各个数均为正数．基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)若a b >，则22ac bc >.( )(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( )(3)设a ，b R ∈，且a b >，则33a b >.( )(4)若a c b d >＋＋，则a b >，c d >.( )[解析] (1)由不等式的性质，22ac bc a b >⇒>；反之，0c =时，a b >22ac bc >.(2)相乘需要看是否00a b c d >>⎧⎨>>⎩，而相加与正、负和零均无关系．(3)符合不等式的可乘方性．(4)取4a =，5c =，6b =，2d =，满足a c b d >＋＋，但不满足a b >，故此说法错误．2．设b a <，d c <，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a c b d ->-B ．ac bd >C ．a c b d >＋＋D ．a d b c >＋＋3．已知0a <，10b -<<，那么下列不等式成立的是( )A ．2a ab ab >>B ．2ab ab a >>C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>[解析] 由10b -<<，可得21b b <<，又0a <，∴2ab ab a >>，故选D ．4．用不等号“>”或“<”填空：(1)如果a b >，c d <，那么a c -______b d -；(2)如果0a b >>，0c d <<，那么ac ______bd ；(3)如果0a b >>，那么21a ______21b ； (4)如果0a b c >>>，那么c a ______c b . [解析] (1)∵cd ->-，∴c d ->-，∵a b >，∴a c b d ->-.(2)∵0c d <<，∴0c d ->->.∵0a b >>，∴ac bd ->-，∴ac bd <.(3)∵0a b >>，∴0ab >，10ab >，∴110a b ab ab>>， ∴110b a >>，∴2211()()b a >，即2211a b<. (4)∵0a b >>，所以10ab >，10ab >.于是11a b ab ab ⋅>⋅，即11b a >，即11a b <.∵0c >，∴c c a b<. 关键能力·攻重难题型探究例1 若0a b <<，则下列结论正确的是( )A ．22a b <B ．2ab b <C ．11a b> D ．22ac bc > [分析] 通过赋值可以排除A ，D ，根据不等式的性质可判断B ，C 正误．[解析] 若0a b <<，对于A 选项，当2a =-，1b =-时，不成立；对于B 选项，等价于a b >，故不成立；对于C 选项，110b a<<，故选项正确；对于D 选项，当0c =时，不正确． [归纳提升] 判断关于不等式的命题真假的两种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．【对点练习】❶设a ，b 是非零实数，若a b <，则下列不等式成立的是( )A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b a a b< [解析] 当0a <，0b >时，22a b <不一定成立，故A 错．因为22()ab a b ab b a =--，0b a ->，ab 符号不确定，故B 错.2222110a b ab a b a b --=<，所以2211ab a b <，故C 正确．D 中b a 与a b的大小不能确定． 题型二 利用不等式的性质证明不等式例2设a b c >>，求证：111>0a b b c c a++---. [分析] 不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立．[证明] 因为a b c >>，所以c b ->-.所以0a c a b ->->，所以11>>0a b a c--. 所以110a b c a+>--.又0b c ->， 所以10b c >-.所以1110a b b c c a ++>---. [归纳提升] 利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【对点练习】❷若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：22>()()e e a c b d --. [证明] 因为0c d <<，所以0c d ->->.又因为0a b >>，所以0a c b d ->->.所以22()()0a c b d ->->.所以22110()()a c b d <>--. 又因为0e <，所以22>()()e e a c b d --. 题型三 利用不等式的性质求范围例3 已知14x -<<,23y <<.(1)求x y -的取值范围．(2)求32x y ＋的取值范围．[解析] (1)因为14x -<<,23y <<，所以32y -<-<-，所以42x y -<-<.(2)由14x -<<,23y <<，得3312x -<<,426y <<，所以13218x y <<＋.[归纳提升] 利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【对点练习】❸已知1025m <<，3015n -<<-，求m n -与m n的取值范围． [解析] 因为3015n -<<-，所以1530n <-<，所以 10152530m n <-<＋＋，即2555m n <-<.因为3015n -<<-，所以1111530n -<-<，所以1113015n <-<，又111<<3015n ， 所以10253015m n <-<，即1533m n <-<. 所以5133m n -<<-. 误区警示错用同向不等式性质例4 已知1260a <<,1536b <<，a b的取值范围是_____________. [错解] ∵1260a <<,1536b <<，∴1260<<1536a b ， ∴45<<53a b .故填45<<53a b . [错因分析] 把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误．[正解] ∵1536b <<，∴1113615b <<，又1260a <<，∴12603615a b <<，∴ 143a b <<，故填143a b<<. [方法点拨] 若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．学科素养不等关系的实际应用不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容．例5 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：2m )分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/2m )分别为a ，b ，c ，且a b c <<.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++[分析] 本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小．[解析] 方法一：因为x y z <<，a b c <<，所以0()()()()()ax by cz az by cx a x z c z x x z a c ++-++--=--=>＋，故ax by cz az by cx ++>++；同理，0()()()()()ay bz cx ay bx cz b z x c x z x z c b ++-++--=--=<＋，故ay bz cx ay bx cz ++<++.又0()()()()()az by cx ay bz cx a z y b y z a b z y ++-++--=--+<=，故az by cx ay bz cx ++<++.综上可得，最低的总费用为az by cx ++.方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若1x =，2y =，3z =，1a =，2b =，3c =，则14ax by cz ++＝，10az by cx ++＝，11ay bz cx ++＝，13ay bx cz ++＝.由此可知最低的总费用是az by cx ++.[归纳提升] 对于不等关系判断问题的求解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判断时，特殊值法是一种非常值得推广的简便方法．。

第五教时教材： 函数的解析式；《教学与测试》第17、18课目的： 要求学生学会利用换元法、定义法、待定系数法等方法求函数解析式。

过程：一、复习：函数的三种常用表示方法。

提问：1、已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x 则：1)]}1([{)0(;0)1(;2)1(+=-==-=ππf f f f f f2、已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )] 解：f [g (x )]=（1+x ）2-1=x +2x 二、提出问题：已知复合函数如何求 例一、（《教学与测试》P 37 例一） 1．若)21(x x x f +=+,求f (x )。

解法一（换元法）：令t =1+x 则x =t 2-1, t ≥1代入原式有1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f ∴1)(2-=x x f （x ≥1） 解法二（定义法）：1)1(22-+=+x x x ∴1)1()1(2-+=+x x f1+x ≥1 ∴f (x )=x 2-1 (x ≥1)2．若xx x f -=1)1( 求f (x )解： 令x t 1= 则t x 1= (t ≠0) 则11111)(-=-=t tt t f∴f (x )=11-x (x ≠0且x ≠1)例二、已知f (x )=ax +b ,且af (x )+b =ax +8 求f (x )解：（待定系数法）∵af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2x +ab +b ∴⎩⎨⎧=+=892b ab a解之⎩⎨⎧==23b a 或⎩⎨⎧-=-=43b a ∴f (x )=3x +2或f (x )=-3x -4 例三、已知f (x )是一次函数, 且f [f (x )]=4x -1, 求f (x )的解析式。

解：（待定系数法）设f (x )=kx +b 则 k (kx +b )+b =4x -1则⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=3121)1(42b k b k k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k ∴312)(-=x x f 或12)(+-=x x f例四、[]221)(,21)(xx x g f x x g -=-= (x ≠0) 求)21(f 解一：令x t 21-= 则 21t x -= ∴222221234)1(4)1(1)(tt t t t t t f +--+=---= ∴1541114113)21(=+--+=f 解二：令 2121=-x 则 41=x ∴15)41()41(1)21(22=-=f 三、应用题：《教学与测试》思考题例五、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A 。

第十五教时教材： 指数（1）目的：要求学生掌握根式和分数指数幂的概念，进而掌握有理指数幂的概念及运算法则，并能具体应用于计算中。

过程：一、复习初中已学过的整数指数幂的概念。

1．概念：*)(N n a a a a a n ∈⋅⋅=Λn 个a)0(10≠=a a *),0(1N n a aa n n ∈≠=-2． 运算性质：)()(),()(),(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+3． 两点解释：① n m a a ÷可看作n m a a -⋅ ∴n m a a ÷=n m a a -⋅=n m a -② n b a )(可看作nn b a -⋅ ∴n b a )(=n n b a -⋅=n n ba二、根式：1． 定义：若),1(+∈>=N n n a x n 则x 叫做a 的n 次方根。

2．求法：当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作： n a x = 例（略）当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）记作： n a x ±= 负数没有偶次方根 0的任何次方根为03． 名称：n a 叫做根式 n 叫做根指数 a 叫做被开方数 4．公式： a a n n =)( 当n 为奇数时a a nn =当n 为偶数时⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a a nn5． 例一 （见P71 例1）三、分数指数幂1．概念：导入：)0()0()0()0()0(454521323231243125102510>=>=>=⇒>==>==c c c b b b a a a a a a a a a a a 推广事实上，kn n k a a =)( 若设a >0,*),1(N n n nmk ∈>= 则m n nm nk a a a ==)()(由n 次根式定义, n a a mnm 的是次方根，即：n m nm a a =同样规定：)1*,,0(1>∈>=-n N n m a aanm nm 且2． 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

第二十一教时教材：积、商、幂、方根的对数目的：要求学生掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程， 从而能较熟练地运用这些法则解决问题。

过程：一、 复习：1︒对数的定义 b N a =log 其中 a 与 N 的取值范围。

2︒指数式与对数式的互化，及几个重要公式。

3︒指数运算法则 （积、商、幂、方根）二、 积、商、幂、方根的对数如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 有：3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1Nlog M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 证明：1、 3 （略）见 P82证明：2 设log a M = p, log a n = q , 则q p a NM -= ( ∴ a p = M , a q = N ) ∴ q p N M log a -= 即 ：N log M log NM log a a -= 1︒语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达——记忆用） 2︒注意有时必须逆向运算：如 11025101010==+log log log3︒注意定义域： )(log )(log ))((log 5353222-+-=-- 是不成立的)(log )(log 1021010210-=-是不成立的 4︒当心记忆错误：N log M log )MN (log a a a ⋅≠N log M log )N M (log a a a ±≠±三、 例题： P82—83 例三、例四 （略）补充例题：1． 计算：)223(log 29log 2log 3777+-解：原式 01log 9)223(2log 7237==⨯=2． 1︒已知 3 a = 2 用 a 表示 log 3 4 - log 3 6解：∵ 3 a = 2 ∴ a = log 3 2∴ log 3 4 - log 3 6 = 112log 32log 33-=-=a2︒已知 log 3 2 = a , 3 b = 5 用 a , b 表示 30log 3 解： ∵3b =5 ∴b=log 35 又∵log 32=a ∴30log 3=()())1(215log 3log 2log 21532log 213333++=++=⨯⨯b a 3．计算：log 155log 1545+(log 153)2解一：原式 = log 155(log 153+1)+(log 153)2=log 155+log 153(log 155+log 153) =log 155+log 153⋅log 1515=log 155+ log 153= log 1515 解二：原式 = 2151515)3(log )315(log 315log +⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛ =(1-log 153)(1+log 153)+(log 153)2=1-(log 153)2+(log 153)2=14． 作为机动（有时间可处理）：《课课练》P.81 例三中2,3,4,7四、 小结：运算法则，注意正反两方面用五、 作业： P.83练习 P.84/3,4,5,6 及 《课课练》P.81—P.82。

新教材】人教统编版高中数学必修一A 版第二章教案教学设计2.1 《等式性质与不等式性质》教案教材分析：等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义. 同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.教学目标与核心素养：课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

数学学科素养1. 数学抽象：不等式的基本性质；2. 逻辑推理：不等式的证明；3. 数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4. 数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘. （将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5. 数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

教学重难点：重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等. 举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察. 研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42 页，思考并完成以下问题1. 不等式的基本性质是？2. 比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3. 重要不等式是？4. 等式的基本性质？5. 类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题三、新知探究1、两个实数比较大小的方法??-??>0???>??作差法{??-??=0???=?? ??-??<0???<?? ??>1???>????作商法????=1???=?? ??{ ??<1???<??2. 不等式的基本性质3. 重要不等式四、典例分析、举一反三 题型一 不等式性质应用 例 1 判断下列命题是否正确解题技巧：（不等式性质应用） 可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证 跟踪训练一1、用不等号“ >”或“ <”填空：1）如果 a>b ， c<d ，那么 a-c ___ b-d ； 2）如果 a>b>0， c<d<0，那么 ac __ bd ； 13）如果 a>b>0，那么 a 12ac4）如果 a>b>c>0，那么 ca题型二 比较大小 例 2 (1). 比较 (x+2)(x+3) 和(x+1)(x+4) 的大小cc（2）. 已知a> b > 0,c> 0,求c> c 。