2015-2016学年海口市七年级数学下期末检测模拟试卷含答案

2014-2015学年海南省海口市七年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共42分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号的方格内. 1．（3分）若2m﹣1=3，则m等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．（3分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．﹣1+a＜﹣1+b B．＜C．2﹣a＞2﹣b D．b﹣a＜03．（3分）代数式a﹣2与1﹣2a的值相等，则a等于（）A．0 B．1 C．2 D．34．（3分）已知是方程kx+2y=5的一个解，则k的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．5．（3分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3分）一个多边形每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数为（）A．12 B．10 C．8 D．67．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为6cm、3cm，则该等腰三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．12cm或15cm D．15cm8．（3分）如图，直线AB∥CD，若∠B=24°，∠D=33°，则∠BED等于（）A．24°B．33°C．57°D．67°9．（3分）如图，△ADE≌△BDE，若△ADC的周长为12，AC的长为5，则CB 的长为（）A．8 B．7 C．6 D．510．（3分）如图，AD为△ABC的中线，E为AD的中点，若△ABE的面积为15，则△ABC的面积为（）A．45 B．50 C．60 D．7511．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，△ABE绕正方形的中心经顺时针旋转后与△DAF重合，则旋转角度是（）A．120°B．90°C．60°D．45°12．（3分）把边长相等的正五边形和正六边形按照如图的方式叠合在一起，AB 是正六边形的对角线，则∠α等于（）A．72°B．84°C．88°D．90°13．（3分）某工程队计划在10天内修路8km，前两天一共修完了2km，由于计划发生变化，准备提前两天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路（）A．1km B．0.9km C．0.8km D．0.6km14．（3分）某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000度，全年用电量15万度．如果设上半年每月平均用电x度，则所列方程正确的是（）A．6x+6（x﹣2000）=150000 B．6x+6（x+2000）=150000C．6x+6（x﹣2000）=15 D．6x+6（x+2000）=15二、填空题（每小题3分，共12分）15．（3分）由x﹣2y﹣6=0，得到用x表示y的式子为y=．16．（3分）如图是由10个相同的小长方形拼成的长方形图案，则每块小长方形的面积为cm2．17．（3分）如图，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若EF=5cm，CE=2cm，则AD的长为cm．18．（3分）已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为．三、解答题（共46分）19．（9分）（1）解方程：；（2）求不等式组的所有整数解．20．（6分）已知y=kx+b，当x=2时，y=﹣4；当x=﹣1时，y=5．（1）求k、b的值；（2）当x取何值时，y的值小于1？21．（7分）本题有两道题，请从（1）、（2）题中任选一题作答．（1）在水果店里，小李买了5kg苹果、3kg梨，老板少要1元，收了90元；老王买了12kg苹果、6kg梨，老板按九折收钱，收了189元．该店苹果和梨的单价各是多少元？（2）某商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：【信息1】甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；【信息2】甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；【信息3】按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．请根据以上信息，求甲、乙两种商品的零售单价．22．（7分）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的顶点均在格点上．（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；（2）画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于点O成中心对称；（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心．23．（8分）如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．（1）求∠ADC的度数；（2）在图中画出BC边上的高AE，并求∠DAE的度数．24．（9分）在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠E+∠F=70°．将△DEF放置在△ABC 上，使得∠D的两条边DE、DF分别经过点B、C．（1）当将△DEF如图1放置在△ABC上时，∠ABD+∠ACD=°；（2）当将△DEF如图2放置在△ABC上时．①请求出∠ABD+∠ACD的大小；②能否将△DEF摆放到某个位置，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB？直接写出结论：（填“能”或“不能”）．2014-2015学年海南省海口市七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共42分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号的方格内. 1．（3分）若2m﹣1=3，则m等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【解答】解：方程移项得：2m=3+1，合并得：2m=4，解得：m=2．故选：D．2．（3分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．﹣1+a＜﹣1+b B．＜C．2﹣a＞2﹣b D．b﹣a＜0【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时减去1，不等式仍成立，即﹣1+a＞﹣1+b，故本选项错误；B、在不等式a＞b的两边同时除以2，不等式仍成立，即＞，故本选项错误；C、在不等式a＞b的两边同时乘以﹣1然后加上2，不等式方向改变，即2﹣a＜2﹣b，故本选项错误；D、由原不等式得到：b﹣a＞0，故本选项正确．故选：D．3．（3分）代数式a﹣2与1﹣2a的值相等，则a等于（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：根据题意得：a﹣2=1﹣2a，移项合并得：3a=3，解得：a=1．故选：B．4．（3分）已知是方程kx+2y=5的一个解，则k的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：将代入方程kx+2y=5得：﹣2k+2=5，解得：k=﹣．故选：A．5．（3分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、不是轴对称图形，是中心对称图形；D、是轴对称图形，是中心对称图形．故选：D．6．（3分）一个多边形每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数为（）A．12 B．10 C．8 D．6【解答】解：360°÷36°=10，则这个多边形的边数为10，故选：B．7．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为6cm、3cm，则该等腰三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．12cm或15cm D．15cm【解答】解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6+6+3=15cm．故选：D．8．（3分）如图，直线AB∥CD，若∠B=24°，∠D=33°，则∠BED等于（）A．24°B．33°C．57°D．67°【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠BEF=∠B=24°，∠DEF=∠D=33°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=24°+33°=57°．故选：C．9．（3分）如图，△ADE≌△BDE，若△ADC的周长为12，AC的长为5，则CB 的长为（）A．8 B．7 C．6 D．5【解答】解：∵△ADE≌△BDE，∴DA=DB，△ADC的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=12，又AC=5，∴BC=7，故选：B．10．（3分）如图，AD为△ABC的中线，E为AD的中点，若△ABE的面积为15，则△ABC的面积为（）A．45 B．50 C．60 D．75【解答】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABD=S△ACD=S△ABC，∵BE是△ABD的中线，=S△DBE=S△ABD=15，∴S△ABE=30，∴S△ABD=60，∴S△ABC故选：C．11．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，△ABE绕正方形的中心经顺时针旋转后与△DAF重合，则旋转角度是（）A．120°B．90°C．60°D．45°【解答】解：如图所示：将△ABE绕正方形的中心O按顺时针方向旋转到△DAF时，A和D重合，即∠AOD是旋转角，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAO=∠ADO=45°，∴∠AOD=180°﹣45°﹣45°=90°，即旋转角是90°，故选：B．12．（3分）把边长相等的正五边形和正六边形按照如图的方式叠合在一起，AB 是正六边形的对角线，则∠α等于（）A．72°B．84°C．88°D．90°【解答】解：∵正五边形的内角=108°，正六边形的内角=120°，∵AB是正六边形的对角线，∴∠1=∠2=60°，∴∠α=360°﹣2×108°﹣120°=84°，故选：B．13．（3分）某工程队计划在10天内修路8km，前两天一共修完了2km，由于计划发生变化，准备提前两天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路（）A．1km B．0.9km C．0.8km D．0.6km【解答】解：设以后几天内平均每天至少要修路xkm．由题意：（10﹣2﹣2）x≥6，x≥1，∴以后几天内平均每天至少要修路1km．故选：A．14．（3分）某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000度，全年用电量15万度．如果设上半年每月平均用电x度，则所列方程正确的是（）A．6x+6（x﹣2000）=150000 B．6x+6（x+2000）=150000C．6x+6（x﹣2000）=15 D．6x+6（x+2000）=15【解答】解：设上半年每月平均用电x度，在下半年每月平均用电为（x﹣2000）度，由题意得，6x+6（x﹣2000）=150000．故选：A．二、填空题（每小题3分，共12分）15．（3分）由x﹣2y﹣6=0，得到用x表示y的式子为y=x﹣3．【解答】解：方程x﹣2y﹣6=0，解得：y=x﹣3，故答案为：x﹣316．（3分）如图是由10个相同的小长方形拼成的长方形图案，则每块小长方形的面积为400cm2．【解答】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，则可列方程组，解得，则一个小长方形的面积=40×10=400（cm2）．故答案为：400．17．（3分）如图，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若EF=5cm，CE=2cm，则AD的长为3cm．【解答】解：∵EF=5cm，CE=2cm，∴CF=EF﹣CE=5﹣2=3cm，∵△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，∴AD=CF=3cm．故答案为：3．18．（3分）已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为80°．【解答】解：由翻折可得∠B′=∠B=60°，∴∠A=∠B′=60°，∵∠AFD=∠GFB′，∴△ADF∽△B′GF，∴∠ADF=∠B′GF，∵∠EGC=∠FGB′，∴∠EGC=∠ADF=80°．故答案为：80°．三、解答题（共46分）19．（9分）（1）解方程：；（2）求不等式组的所有整数解．【解答】解：（1）去分母，得4（2x﹣3）﹣5（x﹣2）=﹣20，去括号，得8x﹣12﹣5x+10=﹣20，移项、合并同类项，得3x=﹣18，系数化成1得x=﹣6．（2），解不等式①，得x＜2．解不等式②，得x＞﹣3．该不等式组的解集是：﹣3＜x＜2．所有整数解为：﹣2，﹣1，0，1．20．（6分）已知y=kx+b，当x=2时，y=﹣4；当x=﹣1时，y=5．（1）求k、b的值；（2）当x取何值时，y的值小于1？【解答】解：（1）由题意，得，解这个方程组，得k=﹣3，b=2；（2）由（1）得，y=﹣3x+2，∵y的值小于1，即﹣3x+2＜1，∴x＞，则当x＞时，y的值小于1．21．（7分）本题有两道题，请从（1）、（2）题中任选一题作答．（1）在水果店里，小李买了5kg苹果、3kg梨，老板少要1元，收了90元；老王买了12kg苹果、6kg梨，老板按九折收钱，收了189元．该店苹果和梨的单价各是多少元？（2）某商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：【信息1】甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；【信息2】甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；【信息3】按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．请根据以上信息，求甲、乙两种商品的零售单价．【解答】（1）设该店苹果的单价为x元，梨的单价为y元．根据题意，得解这个方程组，得答：该店苹果的单价为14元，梨的单价为7元．（2）设甲、乙两种商品的进货单价分别为x元、y元．根据题意可得：解这个方程组，得甲零售单价：1+1=2（元），乙零售单价：2×2﹣1=3（元）．答：甲、乙零售单价分别为2元和3元．22．（7分）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的顶点均在格点上．（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；（2）画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于点O成中心对称；（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心．【解答】解：（1）△A1B1C1即为所求的三角形；（2）△A2B2C2即为所求的三角形；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称，对称轴为直线EF．23．（8分）如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．（1）求∠ADC的度数；（2）在图中画出BC边上的高AE，并求∠DAE的度数．【解答】（1）∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=30°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=42°+30°=72°；（2）如图所示，过A作AE⊥BC于E，∴∠AEB=90°，∴∠DAE=180°﹣∠AED﹣∠ADE=180°﹣90°﹣72°=18°．24．（9分）在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠E+∠F=70°．将△DEF放置在△ABC 上，使得∠D的两条边DE、DF分别经过点B、C．（1）当将△DEF如图1放置在△ABC上时，∠ABD+∠ACD=210°；（2）当将△DEF如图2放置在△ABC上时．①请求出∠ABD+∠ACD的大小；②能否将△DEF摆放到某个位置，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB？直接写出结论：能（填“能”或“不能”）．【解答】（1）由题意可知：∠D=180°﹣70°=110°，∴∠DBC+∠DCB=180°﹣∠D=70°，∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∴∠ABD+∠ACD=（∠ABC+∠DBC）+（∠ACB+∠DCB）=210°（2）①在△ABC中，∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°，在△DEF中，∠E+∠F=70°，∴∠D=110°，∴∠BCD +∠CBD=180°﹣∠D=70°，∴∠ABD +∠ACD=（∠ABC +∠ACB ）﹣（∠BCD +∠CBD ）=70°②能；当BD 、CD 同时平分∠ABC 和∠ACB 时，此时，∠DBC +∠DCB=（∠ACB +∠ABC ）=（180°﹣∠A ）∠DBC +∠DCB=180°﹣∠D∴90+∠A=∠D ，满足题意．故答案为：（1）70°；（3）②能．赠送：初中数学几何模型举例 【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为 M FEB2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

海口市七年级下学期数学期末试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020七下·徐州期中) 将图中的图形形进行平移后，得到的图案是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017七上·北海期末) 下列调查中，适合用全面调查方式的是（）A . 调查北海市市民的吸烟情况B . 调查北海市电视台某节目的收视率C . 调查北海市某校某班学生对“创建卫生城市”的知晓率D . 调查北海市市民家庭日常生活支出情况3. （2分）(2020·宜兴模拟) 在平面直角坐标系中，若点M（m，n）与点Q（－2，3）关于原点对称，则点P（m－n，n）所在象限是（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分） (2017七下·台山期末) 下列各组数中，不是二元一次方程的一组解的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019七下·延庆期末) 如图中∠1、∠2不是同位角的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019七下·洛阳月考) 如果方程与下面方程组的解为那么这个方程可以是（）A .B .C .D .7. （2分）把不等式组的解集表示在数轴上，如下图，正确的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016七下·潮南期中) 如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断BD∥AE的是（）A . ∠1=∠2B . ∠D+∠ACD=180°C . ∠D=∠DCED . ∠3=∠49. （2分）下面的计算正确的是（）A . 6a﹣5a=1B . =±6C . （a2）3=a5D . 2（a+b）=2a+2b10. （2分） (2020七下·朝阳期末) 如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，图①②所示的两个天平处于平衡状态，要使第3个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（）个球．A . 5B . 6C . 7D . 8二、填空题 (共10题；共13分)11. （1分） (2016七下·大连期中) 16的平方根是________．12. （1分） (2016七上·东阳期末) 3的平方根是________；写出一个比-2小的无理数________.13. （1分）(2017·广元模拟) 若 +|b+3|=0，则（a+b）2017的值是________．14. （1分）比较18°15′________18.15°（填“＞”“＜“=”）15. （1分）某市对九年级学生进行综合素质评价，评价结果分为A，B，C，D，E五个等级．现随机抽取了500名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的统计图．已知图中从左到右的五个长方形的高之比为2∶3∶3∶1∶1，据此估算该市80 000名九年级学生中综合素质评价结果为“A”的学生约有________人．16. （1分）已知a，b为两个连续整数，且a<<b，则a+b= ________．17. （1分） (2019七上·灵石期中) a，b，c在数轴上表示的点如图所示，则化简|b|+|a+b|﹣|a﹣c|=________．18. （2分）的算术平方根是________ ；(-2)2的平方根是________19. （2分） (2019七下·九江期中) 一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使BC边与三角形ADE的一边互相平行．则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）所有可能符合条件的度数为________．20. （2分） (2017九上·重庆开学考) 如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是________．三、解答题 (共9题；共62分)21. （5分） (2019七下·东台月考) 关于x，y的方程组的解满足x+y＞ .（1）求k的取值范围；（2）化简|5k+1|﹣|4﹣5k|.22. （5分） (2019七下·通州期末) 解方程组：23. （5分） (2020八上·杭州期末) 解下列不等式(组)：（1） 4x-1<2x-3（2）24. （1分）如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1=∠2，∠3=110°，则∠4的度数为________．25. （15分） (2019七下·昭通期末) 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个比赛结束后，随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽査结果绘制的统计图的一部分根据信息解决下列问题：组别正确字数x人数A0≤x＜88B8≤x＜1612C16≤x＜2420D24≤x＜32aE32≤x＜4016（1）样本容量是________，a＝________，b＝________；（2）在扇形统计图中，“D组”所对应的圆心角的度数为________；（3）补全条形统计图；（4）该校共有1200名学生，如果听写正确的个数少于16个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数．26. （5分） (2015七下·简阳期中) 已知方程组与有相同的解，求m，n的值．27. （5分）如图,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,使点C落在点C'处,点D落在点D'处,ED'交BC于点G,已知∠EFG=50°,那么∠DEG和∠BGD'各是多少度?28. （11分） (2019八上·杨浦月考) 已知∠ABC=30°,点D在射线BC上,且到A点的距离等于线段a的长.（1）用圆规和直尺在图中作出点D:(不写作法,但须保留作图痕迹,且说明结果（2）如果AB=8,a=5.求△ABD的面积.29. （10分） (2019八下·水城期末) 端午节前夕，小东妈妈准备购买若干个粽子和咸鸭蛋（每个棕子的价格相同，每个咸鸭蛋的价格相同）.已知某超市粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵1.8元，小东妈妈发现，花30元购买粽子的个数与花12元购买的咸鸭蛋个数相同.（1）求该超市粽子与咸鸭蛋的价格各是多少元？（2）小东妈妈计划购买粽子与咸鸭蛋共18个，她的一张购物卡上还有余额40元，若只用这张购物卡，她最多能购买粽子多少个？参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共10题；共13分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共9题；共62分) 21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、25-1、25-2、25-3、25-4、26-1、27-1、28-1、28-2、29-1、29-2、第11 页共11 页。

七年级下册海口数学期末试卷复习练习(Word 版 含答案) 一、选择题 1．9的值是（）A ．﹣3B ．3C ．±3D ．﹣92．下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是 ( )A ．B ．C ．D ． 3．点()5,4A --在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．下列四个命题：①9的平方根是3±；②5是5的算术平方根；③经过一点有且只有一条直线与这条直线平行；④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．其中真命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．如图，C 为AOB ∠的边OA 上一点，过点C 作//CD OB 交AOB ∠的平分线OE 于点F ，作CH OB ⊥交BO 的延长线于点H ，若EFD α∠=，现有以下结论：①COF α∠=；②1802AOH α∠=︒-；③CH CD ⊥；④290OCH α∠=-︒．结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如果32.37≈1.333，323.7≈2.872，那么32370约等于（ ）A ．28.72B ．0.2872C ．13.3D ．0.1333 7．如图，直线a ∥b ，直角三角板ABC 的直角顶点C 在直线b 上，若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）A ．36°B ．44°C ．46°D ．54°8．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P x y ，我们把点(1,1)P y x -++叫做点P 的伴随点，已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…，这样依次得点A 1，A 2，A 3，…，n A ，…，若点1A 的坐标为(3)1，，则点A 2021的坐标为（ ） A ．(0,2)- B ．(0)4， C ．(3)1， D ．(3,1)-二、填空题9．算术平方根等于本身的实数是__________.10．在平面直角坐标系中，点P(-2,3)关于直线y=x-1对称的点的坐标是_______． 11．如图，BD 、CE 为△ABC 的两条角平分线，则图中∠1、∠2、∠A 之间的关系为___________．12．如图，点D 、E 分别在AB 、BC 上，DE ∥AC ，AF ∥BC ，∠1＝70°，则∠2＝_____°．13．将一张长方形纸条折成如图的形状，已知1110∠=︒，则2∠=___________°．14．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示-1的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点A ，B 两点，则点A ，B 表示的数分别为__________．15．已知ABC ∆的面积为16，其中两个顶点的坐标分别是()()7,0,1,0A B -，顶点C 在y 轴上，那么点C 的坐标为 ____________16．在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA 1→A 1A 2→A 2A 3→A 3A 4→A 4A 5…”的路线运动，设第n 秒运动到点P n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是______．三、解答题17．计算：（1）利用平方根意义求x 值：()2136x -=（2）()235832-----18．求下列各式中x 的值：（1）225x =；（2）2810x -=；（3）22536x =．19．如图，点F 在线段AB 上，点E 、G 在线段CD 上，AB ∥CD ．（1）若BC 平分∠ABD ，∠D ＝100°，求∠ABC 的度数；解：∵AB ∥CD （已知），∴∠ABD +∠D ＝180°（ ）．∵∠D ＝100°（已知），∴∠ABD ＝80°．又∵BC 平分∠ABD ，（已知），∴∠ABC ＝12∠ABD ＝ °（ ）．（2）若∠1＝∠2，求证：AE ∥FG （不用写依据）．20．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A 处出发去看望B 、C 、D 处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A 到B 记为：A →B （＋1，＋4），从B 到A 记为：A →B （﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中（1）A →C （ ， ），B →D （ ， ），C → （＋1， ）；（2）若这只甲虫从A 处去甲虫P 处的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋1，﹣1），（﹣2，＋3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P 的位置．21．已知某正数的两个不同的平方根是3a ﹣14和a +2；b +11的立方根为﹣3；c 是6的整数部分；（1）求a +b +c 的值；（2）求3a ﹣b +c 的平方根．二十二、解答题22．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的400m 2的正方形场地改建成300m 2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．（1）求原来正方形场地的周长；（2）如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．二十三、解答题23．如图，//MN PQ ，直线AD 与MN 、PQ 分别交于点A 、D ，点B 在直线PQ 上，过点B 作BG AD ⊥，垂足为点G ．（1）如图1，求证：90MAG PBG ∠+∠=︒；（2）若点C 在线段AD 上（不与A 、D 、G 重合），连接BC ，MAG ∠和PBC ∠的平分线交于点H 请在图2中补全图形，猜想并证明CBG ∠与AHB ∠的数量关系；24．综合与探究（问题情境）王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．（1）如图1，EF ∥MN ，点A 、B 分别为直线EF 、MN 上的一点，点P 为平行线间一点，请直接写出∠PAF 、∠PBN 和∠APB 之间的数量关系；（问题迁移）（2）如图2，射线OM 与射线ON 交于点O ，直线m ∥n ，直线m 分别交OM 、ON 于点A 、D ，直线n 分别交OM 、ON 于点B 、C ，点P 在射线OM 上运动．①当点P 在A 、B （不与A 、B 重合）两点之间运动时，设∠ADP ＝∠α，∠BCP ＝∠β．则∠CPD ，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；②若点P 不在线段AB 上运动时（点P 与点A 、B 、O 三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD ，∠α，∠β之间的数量关系．25．如果三角形的两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形是“准互余三角形”．（1）如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，求证：ABD △是“准互余三角形”；（2）关于“准互余三角形”，有下列说法：①在ABC 中，若100A ∠=︒，70B ∠=︒，10C ∠=︒，则ABC 是“准互余三角形”； ②若ABC 是“准互余三角形”，90C ∠>︒，60A ∠=︒，则20B ∠=︒；③“准互余三角形”一定是钝角三角形．其中正确的结论是___________（填写所有正确说法的序号）；（3）如图2，B ，C 为直线l 上两点，点A 在直线l 外，且50ABC ∠=︒．若P 是直线l 上一点，且ABP △是“准互余三角形”，请直接写出APB ∠的度数．26．已知AB //CD ，点E 是平面内一点，∠CDE 的角平分线与∠ABE 的角平分线交于点F ． （1）若点E 的位置如图1所示．①若∠ABE =60°，∠CDE =80°，则∠F = °；②探究∠F 与∠BED 的数量关系并证明你的结论；（2）若点E 的位置如图2所示，∠F 与∠BED 满足的数量关系式是 ．（3）若点E 的位置如图3所示，∠CDE 为锐角，且1452E F ∠≥∠+︒，设∠F =α，则α的取值范围为 ．【参考答案】一、选择题1．B解析：B【分析】99的算术平方根，而9的算术平方根是3，进而得出答案．【详解】解：因为32=9，9，故选：B ．【点睛】本题考查了算术平方根，理解算术平方根的意义是正确解答的前提．2．A【分析】根据平移的性质，结合图形对选项进行一一分析，选出正确答案．【详解】解：A 、图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到； B 、图形由轴对称得到，不属于平移得到，不属于平移解析：A【分析】根据平移的性质，结合图形对选项进行一一分析，选出正确答案．【详解】解：A 、图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到；B 、图形由轴对称得到，不属于平移得到，不属于平移得到；C 、图形由旋转变换得到，不符合平移的性质，不属于平移得到；D 、图形的大小发生变化，不属于平移得到；故选：A ．【点睛】本题考查平移的基本性质，平移不改变图形的形状、大小和方向．掌握平移的性质是解题的关键．3．C【分析】根据平面直角坐标系象限的符合特点可直接进行排除选项．【详解】解：在平面直角坐标系中，第一象限的符合为“+、+”，第二象限的符合为“-、+”；第三象限的符合为“-、-”，第四象限的符合为“+、-”，由此可得点()5,4A --在第三象限； 故选C ．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中象限的符合特点，熟练掌握平面直角坐标系中象限的符合特点是解题的关键．4．B【分析】根据算术平方根的概念、平方根的概念、平行公理、平行线的性质判断即可．【详解】解：3=，3的平方根是5的算术平方根，正确，是真命题，符合题意；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；④两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意．真命题只有②，故选：B ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．D【分析】根据平行线的性质可得EOB EFD α∠=∠=，结合角平分线的定义可判断①；再由平角的定义可判断②；由平行线的性质可判断③；由余角及补角的定义可判断④．【详解】解：//CD OB ，EFD α∠=，EOB EFD α∴∠=∠=， OE 平分AOB ∠，COF EOB α∴∠=∠=，故①正确；2AOB α∠=，180AOB AOH ∠+∠=︒，∴∠=︒-，故②正确；AOHα1802CD OB，CH OB//⊥，∴⊥，故③正确；CH CDAOB HOC∠+∠=︒，∴∠+∠=︒，180HCO HOC90OCHα∴∠=-︒，故④正确．290正确为①②③④，故选:D．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．6．C【分析】根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．【详解】解：∵32.37≈1.333，∴3332370= 2.3710=1.33310=13.3313.3⨯⨯≈，故选：C．【点睛】本题考查了立方根，如果一个数扩大1000倍，它的立方根就扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍．7．A【分析】根据直角三角形可求出∠3的度数，再根据平行线的性质∠2=∠3即可得出答案．【详解】解：如图所示：∵直角三角形ABC，∠C=90°，∠1=54°，∴∠3=90°-∠1=36°，∵a∥b，∴∠2=∠3=36°．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，求出∠3的度数是解题的关键． 8．C【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，得出每4个点为一个循环组依次循环，用2021除以4，根据余数的情况确定点A2021的坐标即可．【详解】解：∵点的坐标为，∴点的伴随点的坐标为，即解析：C【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，得出每4个点为一个循环组依次循环，用2021除以4，根据余数的情况确定点A 2021的坐标即可．【详解】解：∵点1A 的坐标为(3)1，， ∴点1A 的伴随点2A 的坐标为(11,31)-++，即(0,4) ，同理得：345(3,1),(0,2),(3,1),A A A --∴每4个点为一个循环组依次循环，∵202145051÷=，∴A 2021的坐标与1A 的坐标相同，即A 2021的坐标为(3)1，， 故选：C ．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中探索点的变化规律问题，解题关键是读懂题目，理解“伴随点”的定义，并能够得出每4个点为一个循环组依次循环．二、填空题9．0或1【详解】根据负数没有算术平方根，一个正数的算术平方根只有一个，1和0的算术平方根等于本身，即可得出答案．解：1和0的算术平方根等于本身.故答案为1和0“点睛”本题考查了算术平方根的知解析：0或1【详解】根据负数没有算术平方根，一个正数的算术平方根只有一个，1和0的算术平方根等于本身，即可得出答案．解：1和0的算术平方根等于本身.故答案为1和0“点睛”本题考查了算术平方根的知识，注意掌握1和0的算术平方根等于本身． 10．【分析】如图，设点P 关于直线y=x －1的对称点是点Q ，过点P 作PA ∥x 轴交直线y=x －1于点A ，连接AQ ，先由直线y=x －1与两坐标轴的交点坐标确定△OBC 是等腰直角三角形，然后根据平行线的性质解析：()4,3-【分析】如图，设点P 关于直线y=x －1的对称点是点Q ，过点P 作PA ∥x 轴交直线y=x －1于点A ，连接AQ ，先由直线y=x －1与两坐标轴的交点坐标确定△OBC 是等腰直角三角形，然后根据平行线的性质和轴对称的性质可得AP=AQ ，∠PAQ =90°，由于点P 坐标已知，故可求出点A 的坐标，进而可求出点Q 坐标．【详解】解：如图，设点P 关于直线y=x －1的对称点是点Q ，过点P 作PA ∥x 轴交直线y=x －1于点A ，连接AQ ，设直线y=x －1交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，则点B （1，0）、点C （0，﹣1）， ∴OB=OC =1，∴∠OBC =45°，∴∠PAB=45°，∵P 、Q 关于直线y=x －1对称，∴AP=AQ ，∠PAB =∠QAB =45°，∴∠PAQ =90°，∴AQ ⊥x 轴，∵P （﹣2，3），且当y =3时，3=x ﹣1，解得x =4，∴A （4，3），∴AD =3，PA =6=AQ ，∴DQ =3，∴点Q 的坐标是（4，﹣3）．故答案为：（4，﹣3）．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，考查了直线上点的坐标特点、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点和轴对称的性质是解题关键． 11．∠1+∠2-∠A=90°【分析】先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，写出∠1+∠2与∠A的关系，再根据三角形内角和等于180°，求出∠1+∠2与∠A的度数关系．【详解】∵BD、C解析：∠1+∠2-32∠A=90°【分析】先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，写出∠1+∠2与∠A的关系，再根据三角形内角和等于180°，求出∠1+∠2与∠A的度数关系．【详解】∵BD、CE为△ABC的两条角平分线，∴∠ABD=12∠ABC，∠ACE=12∠ACB，∵∠1=∠ACE+∠A，∠2=∠ABD+∠A ∴∠1+∠2=∠ACE+∠A+∠ABD+∠A=1 2∠ABC+12∠ACB+12∠A+32∠A＝12（∠ABC+∠ACB+∠A）+32∠A=90°+32∠A故答案为∠1+∠2-32∠A=90°．【点睛】考查了三角形的内角和等于180°、外角与内角关系及角平分线的性质，是基础题．三角形的外角与内角间的关系：三角形的外角与它相邻的内角互补，等于与它不相邻的两个内角的和．12．70【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠C=∠1，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C．【详解】∵DE∥AC，∴∠C＝∠1＝70°，∵AF∥BC，∴∠2＝∠C＝70°．故答解析：70【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠C=∠1，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C．【详解】∵DE∥AC，∴∠C＝∠1＝70°，∵AF∥BC，∴∠2＝∠C＝70°．故答案为70．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．13．55【分析】依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠2的度数．【详解】解：如图所示，∵ABCD，∴∠1＝∠BAD＝110°，由折叠可得，∠2＝∠BAD＝×110°＝55°，故答案为：解析：55【分析】依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠2的度数．【详解】解：如图所示，∵AB//CD，∴∠1＝∠BAD＝110°，由折叠可得，∠2＝12∠BAD＝12×110°＝55°，故答案为：55°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．14．，【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可．【详解】解：∵正方形的面积为5，∴圆的半径为，∴点A 表示的数为，点Ｂ表示的数为．故答案为：，．【点睛】本题考查了实数与数轴，熟解析：1-，1-【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可．【详解】解：∵正方形的面积为5，∴∴点A 表示的数为1-1-+．故答案为：1-1-【点睛】本题考查了实数与数轴，熟记算术平方根的定义是解答本题的关键．15．或【分析】已知，可知AB=8，已知的面积为，即可求出OC 长，得到C 点坐标．【详解】∵∴AB=8∵的面积为∴=16∴OC=4∴点的坐标为(0,4)或(0,-4)故答案为：(0,4)解析：(0,4)或(0,4) -【分析】已知()()7,0,1,0A B -，可知AB=8，已知ABC ∆的面积为16，即可求出OC 长，得到C 点坐标．【详解】∵()()7,0,1,0A B -∴AB=8∵ABC ∆的面积为16 ∴12AB OC ⨯⨯=16 ∴OC=4∴点C 的坐标为(0,4)或(0,-4)故答案为：(0,4)或(0,-4)【点睛】本题考查了直角坐标系中坐标的性质，已知两点坐标可得出两点间距离长度，如果此两点在坐标轴上，求解距离很简单，如果不在坐标轴上，可通过两点间距离公式求解． 16．【分析】先分别求出点的坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．【详解】解：由题意得：点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，归纳类推得：点的坐标是，其中为正整数，因为解析：(1010,0)【分析】先分别求出点2468,,,P P P P 的坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．【详解】解：由题意得：点2P 的坐标是2(1,0)P ，点4P 的坐标是4(2,0)P ，点6P 的坐标是6(3,0)P ，点8P 的坐标是8(4,0)P ，归纳类推得：点2n P 的坐标是2(,0)n P n ，其中n 为正整数，因为202021010=⨯，所以点2020P 的坐标是2020(1010,0)P ，故答案为：(1010,0)．【点睛】本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．三、解答题17．（1）或 （2）【分析】（1）由平方根的定义可得答案，（2）先化简二次根式，求解立方根与绝对值，再合并即可得到答案．【详解】解：（1） ，是的平方根，或（2）【点睛解析：（1）7x =或 5.x =- （2）5【分析】（1）由平方根的定义可得答案，（2）先化简二次根式，求解立方根与绝对值，再合并即可得到答案．【详解】解：（1） ()2136x -=， 1x ∴-是36的平方根，16,16,x x ∴-=-=-7x ∴=或 5.x =-（225(2)2=--522=+-5=【点睛】本题考查的是平方根的定义，实数的运算，求解算术平方根，立方根，绝对值的化简，掌握以上知识是解题的关键．18．（1）；（2）；（3）【分析】直接根据平方根的定义逐个解答即可．【详解】解：（1）∵，∴；（2）∵，∴，∴；（3）∵，∴，∴．【点睛】此题主要考查了平方根的定义，熟练掌握平解析：（1）x=5±；（2）x=9±；（3）x=6 5±【分析】直接根据平方根的定义逐个解答即可．【详解】解：（1）∵225x=，∴5x=±；（2）∵2810x-=，∴281x=，∴9x=±；（3）∵22536x=，∴23625x=，∴65x=±．【点睛】此题主要考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题关键．19．（1）两直线平行，同旁内角互补；40；角平分线的定义；（2）见解析【分析】（1）根据平行线的性质求出∠ABD=80°，再根据角平分线的定义求解即可；（2）根据平行线的性质得到∠1=∠FGC，等解析：（1）两直线平行，同旁内角互补；40；角平分线的定义；（2）见解析【分析】（1）根据平行线的性质求出∠ABD=80°，再根据角平分线的定义求解即可；（2）根据平行线的性质得到∠1=∠FGC，等量代换得到∠2=∠FGC，即可判定AE∥FG．【详解】（1）∵AB∥CD（已知），∴∠ABD+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠D＝100°（已知），∴∠ABD＝80°，又∵BC平分∠ABD（已知），∴∠ABC＝12∠ABD＝40°（角平分线的定义）．故答案为：两直线平行，同旁内角互补；40；角平分线的定义；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠1＝∠FGC，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠FGC，∴AE∥FG．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”、“两直线平行，内错角相等”、“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．20．（1）3，4，3，﹣2，D，﹣2；（2）见解析【分析】（1）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案；（2）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案．【详解】解：（1）A→C（ 3解析：（1）3，4，3，﹣2，D，﹣2；（2）见解析【分析】（1）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案；（2）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案．【详解】解：（1）A→C（ 3，4），B→D（3﹣2），C→D（＋1，﹣2）；故答案为3，4；3，﹣2；D，﹣2；（2）这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋1，﹣1），（﹣2，＋3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置，如图【点睛】本题主要考查了用有序实数对表示路线．读懂题目信息，正确理解行走路线的记录方法是解题的关键．21．（1）-33；（2）【分析】（1）由平方根的性质知3a-14和a+2互为相反数，可列式，解之可得a=3，根据立方根定义可得b的值，根据可得c的值；（2）分别将a，b，c的值代入3a-b+c，可±解析：（1）-33；（2）7【分析】（1）由平方根的性质知3a-14和a+2互为相反数，可列式，解之可得a=3，根据立方根定义可得b的值，根据23<<可得c的值；（2）分别将a，b，c的值代入3a-b+c，可解答．【详解】解：（1）∵某正数的两个平方根分别是3a-14和a+2，∴（3a-14）+（a+2）=0，∴a=3，又∵b+11的立方根为-3，∴b+11=(-3)3=-27，∴b=-38，<<，又∵469∴23<，又∵c的整数部分，∴c=2；∴a+b+c=3+(-38)+2=-33；（2）当a=3，b=-38，c=2时，3a-b+c=3×3-(-38)+2=49，∴3a-b+c的平方根是±7．【点睛】本题主要考查了立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．二十二、解答题22．（1）原来正方形场地的周长为80m；（2）这些铁栅栏够用．【分析】（1）正方形边长=面积的算术平方根，周长=边长×4，由此解答即可；（2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3am，则长为解析：（1）原来正方形场地的周长为80m；（2）这些铁栅栏够用．【分析】（1）正方形边长=面积的算术平方根，周长=边长×4，由此解答即可；（2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3am，则长为5am，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．【详解】解：（1）400=20（m ），4×20=80（m ），答：原来正方形场地的周长为80m ；（2）设这个长方形场地宽为3am ，则长为5am ．由题意有：3a ×5a =300，解得：a =±20，∵3a 表示长度，∴a ＞0，∴a =20，∴这个长方形场地的周长为 2(3a +5a )=16a =1620（m ），∵80=16×5=16×25＞1620，∴这些铁栅栏够用．【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出长方形和正方形的周长．二十三、解答题23．（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点在上时，；当点在上时，．【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；（2）分两种情况：当点在上，当点在上，再过点作即可求解．【详解】（1）证明：解析：（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点C 在AG 上时，290AHB CBG ∠-∠=︒；当点C 在DG 上时，290AHB CBG ∠+∠=︒．【分析】（1）过点G 作//GE MN ，根据平行线的性质即可求解；（2）分两种情况：当点C 在AG 上，当点C 在DG 上，再过点H 作//HF MN 即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点G 作//GE MN ，∴MAG AGE ∠=∠，∵//MN PQ ，∴//GE PQ ．∴PBG BGE ∠=∠．∵BG AD ⊥，∴90AGB ∠=︒，∴90MAG PBG AGE BGE AGB ∠+∠=∠+∠=∠=︒．（2）补全图形如图2、图3，猜想：290AHB CBG ∠-∠=︒或290AHB CBG ∠+∠=︒．证明：过点H 作//HF MN ．∴1AHF ∠=∠．∵//MN PQ ，∴//HF PQ∴2BHF ∠=∠，∴12AHB AHF BHF ∠=∠+∠=∠+∠．∵AH 平分MAG ∠，∴21MAG ∠=∠．如图3，当点C 在AG 上时，∵BH 平分PBC ∠，∴22PBC PBG CBG ∠=∠+∠=∠，∵//MN PQ ，∴MAG GDB ∠=∠，2212290AHB MAG PBG CBGGDB PBG CBG CBG∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+∠即290AHB CBG ∠-∠=︒．如图2，当点C 在DG 上时，∵BH 平分PBC ∠，∴22PBC PBG CBG ∠=∠-∠=∠．∴2212290AHB MAG PBG CBG CBG ∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒-∠．即290AHB CBG ∠+∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及角的运算，解题的关键是准确作出平行线，找出角与角之间的数量关系．24．（1）∠PAF ＋∠PBN ＋∠APB ＝360°；（2）①，见解析；②或【分析】（1）作PC ∥EF ，如图1，由PC ∥EF ，EF ∥MN 得到PC ∥MN ，根据平行线的性质得∠PAF ＋∠APC ＝180°，∠解析：（1）∠PAF ＋∠PBN ＋∠APB ＝360°；（2）①CPD αβ∠=∠+∠，见解析；②CPD βα∠=∠-∠或CPD αβ∠=∠-∠【分析】（1）作PC ∥EF ，如图1，由PC ∥EF ，EF ∥MN 得到PC ∥MN ，根据平行线的性质得∠PAF ＋∠APC ＝180°，∠PBN ＋∠CPB ＝180°，即有∠PAF ＋∠PBN ＋∠APB ＝360°； （2）①过P 作PE ∥AD 交ON 于E ，根据平行线的性质，可得到EPD α∠=∠，CPE β∠=∠，于是CPD αβ∠=∠+∠；②分两种情况：当P 在OB 之间时；当P 在OA 的延长线上时，仿照①的方法即可解答．【详解】解：（1）∠PAF ＋∠PBN ＋∠APB ＝360°，理由如下：作PC ∥EF ，如图1，∵PC ∥EF ，EF ∥MN ，∴PC ∥MN ，∴∠PAF ＋∠APC ＝180°，∠PBN ＋∠CPB ＝180°，∴∠PAF ＋∠APC +∠PBN ＋∠CPB ＝360°,∴∠PAF ＋∠PBN ＋∠APB ＝360°；（2）①CPD αβ∠=∠+∠，理由如下：如答图，过P 作PE ∥AD 交ON 于E ，∵AD ∥BC ，∴PE ∥BC ，∴EPD α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD αβ∠=∠+∠②当P 在OB 之间时，CPD αβ∠=∠-∠，理由如下：如备用图1，过P 作PE ∥AD 交ON 于E ，∵AD ∥BC ，∴PE ∥BC ，∴EPD α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD αβ∠=∠-∠；当P 在OA 的延长线上时，CPD βα∠=∠-∠，理由如下：如备用图2，过P 作PE ∥AD 交ON 于E ，∵AD ∥BC ，∴PE ∥BC ，∴EPD α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD βα∠=∠-∠；综上所述，∠CPD ，∠α，∠β之间的数量关系是CPD βα∠=∠-∠或CPD αβ∠=∠-∠.【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．难点是分类讨论作平行辅助线．25．（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°【分析】（1）由和是的角平分线，证明即可；（2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；（3）根据“准互余三角解析：（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°【分析】（1）由90ABC A ∠+∠=︒和BD 是ABC 的角平分线，证明290ABD A ∠+∠=︒即可； （2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；（3）根据“准互余三角形”的定义，分类讨论：①2∠A +∠ABC =90°；②∠A +2∠APB =90°；③2∠APB +∠ABC =90°；④2∠A +∠APB =90°，由三角形内角和定理和外角的性质结合“准互余三角形”的定义，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，∴90ABC A ∠+∠=︒，∵BD 是ABC ∠的角平分线，∴2ABC ABD ∠=∠，∴290ABD A ∠+∠=︒，∴ABD △是“准互余三角形”；（2）①∵70,10B C ∠=︒∠=︒，∴290B C ∠+∠=︒，∴ABC 是“准互余三角形”，故①正确；②∵60A ∠=︒， 20B ∠=︒，∴210090A B ∠+∠=︒≠︒，∴ABC 不是“准互余三角形”，故②错误；③设三角形的三个内角分别为,,αβγ，且αβγ<<，∵三角形是“准互余三角形”，∴290αβ+=︒或290αβ+=︒，∴90αβ+<︒，∴180()90γαβ=︒-+>︒，∴“准互余三角形”一定是钝角三角形，故③正确；综上所述，①③正确，故答案为：①③；（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°；如图①，当2∠A +∠ABC =90°时，△ABP 是“准直角三角形”，∵∠ABC =50°，∴∠A =20°，∴∠APB =110°；如图②，当∠A +2∠APB =90°时，△ABP 是“准直角三角形”，∵∠ABC =50°，∴∠A +∠APB =50°，∴∠APB =40°；如图③，当2∠APB +∠ABC =90°时，△ABP 是“准直角三角形”，∵∠ABC =50°，∴∠APB =20°；如图④，当2∠A +∠APB =90°时，△ABP 是“准直角三角形”，∵∠ABC =50°，∴∠A +∠APB =50°，所以∠A =40°，所以∠APB =10°；综上，∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°时，ABP △是“准互余三角形”．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题关键是理解题意，根据三角形内角和定理和三角形的外角的性质，结合新定义进行求解． 26．（1）①70；②∠F=∠BED ，证明见解析；（2）2∠F+∠BED=360°；（3）【分析】（1）①过F 作FG//AB ，利用平行线的判定和性质定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠A解析：（1）①70；②∠F =12∠BED ，证明见解析；（2）2∠F+∠BED =360°；（3）3045α︒≤<︒ 【分析】（1）①过F 作FG//AB ，利用平行线的判定和性质定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF ，利用角平分线的定义得到∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF ），求得∠ABF+∠CDF=70︒，即可求解； ②分别过E 、F 作EN//AB ，FM//AB ，利用平行线的判定和性质得到∠BED=∠ABE+∠CDE ，利用角平分线的定义得到∠BED=2（∠ABF+∠CDF ），同理得到∠F=∠ABF+∠CDF ，即可求解；（2）根据∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线相交于点F ，过点E 作EG ∥AB ，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB ∥CD ，EG ∥AB ，所以CD ∥EG ，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合①的结论即可说明∠BED 与∠BFD 之间的数量关系；（3）通过对1452E F ∠≥∠+︒的计算求得30α≥︒，利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求得45α<︒，即可求得3045α︒≤<︒．【详解】（1）①过F 作FG//AB ，如图：∵AB ∥CD ，FG ∥AB ，∴CD ∥FG ，∴∠ABF=∠BFG ，∠CDF=∠DFG ，∴∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF ，∵BF 平分∠ABE ，∴∠ABE=2∠ABF ，∵DF 平分∠CDE ，∴∠CDE=2∠CDF ，∴∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF ）=60︒+80︒=140︒，∴∠ABF+∠CDF=70︒，∴∠DFB=∠ABF+∠CDF=70︒，故答案为：70；②∠F=12∠BED ，理由是：分别过E 、F 作EN//AB ，FM//AB ，∵EN//AB ，∴∠BEN=∠ABE ，∠DEN=∠CDE ，∴∠BED=∠ABE+∠CDE ，∵DF 、BF 分别是∠CDE 的角平分线与∠ABE 的角平分线，∴∠ABE=2∠ABF ，∠CDE=2∠CDF ，即∠BED=2（∠ABF+∠CDF ）；同理，由FM//AB ，可得∠F=∠ABF+∠CDF ，∴∠F=12∠BED ；（3）2∠F+∠BED=360°．如图，过点E 作EG ∥AB ，则∠BEG+∠ABE=180°，∵AB ∥CD ，EG ∥AB ，∴CD ∥EG ，∴∠DEG+∠CDE=180°，∴∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE ），即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE ），∵BF 平分∠ABE ，∴∠ABE=2∠ABF ，∵DF 平分∠CDE ，∴∠CDE=2∠CDF ，∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF ），由①得：∠BFD=∠ABF+∠CDF ，∴∠BED=360°-2∠BFD ，即2∠F+∠BED=360°；（3）∵1452E F ∠≥∠+︒，∠F =α，∴2452αα≥+︒， 解得：30α≥︒，如图，∵∠CDE 为锐角，DF 是∠CDE 的角平分线，∴∠CDH=∠DHB 190452<⨯︒=︒， ∴∠F <∠DHB 45<︒，即45α<︒，∴3045α︒≤<︒，故答案为：3045α︒≤<︒．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角性质的应用，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出平行线求解．。

一、解答题1．如图，在下面直角坐标系中，已知()0,A a ，(),0B b ，(),C b c 三点，其中a ，b ，c 满足关系式()22340a b c -+-+-=．（1）求a ，b ，c 的值；（2）如果在第二象限内有一点1,2P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．解析：（1）a=2，b=3，c=4；（2）S 四边形ABOP = 3-m ；（3）存在，P （-3，12）． 【分析】（1）根据非负数的性质，即可解答；（2）四边形ABOP 的面积=△APO 的面积+△AOB 的面积，即可解答；（3）存在，根据面积相等求出m 的值，即可解答．【详解】解：（1）由已知()22340a b c ---=可得：a-2=0，b-3=0，c-4=0，解得：a=2，b=3，c=4；（2）∵a=2，b=3，c=4，∴A （0，2），B （3，0），C （3，4），∴OA=2，OB=3，∵S △ABO =12×2×3=3，S △APO =12×2×（-m ）=-m ，∴S 四边形ABOP =S △ABO +S △APO =3+（-m ）=3-m（3）存在，∵S △ABC =12×4×3=6，若S 四边形ABOP =S △ABC =3-m=6，则m=-3，∴存在点P （-3，12）使S 四边形ABOP =S △ABC ． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是根据非负数的性质求出a，b，c．2．直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP，CP．（1）如图①，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数；（2）如图②，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，点P在直线CD下方，当∠BAK＝23∠BAP，∠DCK＝23∠DCP时，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．解析：（1）80°；（2）∠AKC＝12∠APC，理由见解析；（3）∠AKC＝23∠APC，理由见解析【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝12∠BAP+12∠DCP＝12（∠BAP+∠DCP）＝12∠APC，进而得到∠AKC＝12∠APC；（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据已知得出∠BAK﹣∠DCK＝23∠BAP﹣23∠DCP＝23∠APC，进而得到∠BAK﹣∠DCK＝23∠APC．【详解】（1）如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；（2）∠AKC ＝12∠APC ． 理由：如图2，过K 作KE ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴KE ∥AB ∥CD ，∴∠AKE ＝∠BAK ，∠CKE ＝∠DCK ，∴∠AKC ＝∠AKE +∠CKE ＝∠BAK +∠DCK ，过P 作PF ∥AB ，同理可得，∠APC ＝∠BAP +∠DCP ，∵∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，∴∠BAK +∠DCK ＝12∠BAP +12∠DCP ＝12（∠BAP +∠DCP ）＝12∠APC ，∴∠AKC ＝12∠APC ；（3）∠AKC ＝23∠APC 理由：如图3，过K 作KE ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴KE ∥AB ∥CD ，∴∠BAK ＝∠AKE ，∠DCK ＝∠CKE ，∴∠AKC ＝∠AKE ﹣∠CKE ＝∠BAK ﹣∠DCK ，过P 作PF ∥AB ，同理可得，∠APC ＝∠BAP ﹣∠DCP ，∵∠BAK ＝23∠BAP ，∠DCK ＝23∠DCP ， ∴∠BAK ﹣∠DCK ＝23∠BAP ﹣23∠DCP ＝23（∠BAP ﹣∠DCP ）＝23∠APC ， ∴∠AKC ＝23∠APC ．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算．3．已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC 于B ．（1）如图1，求证：90A C ∠+∠=︒；（2）如图2，过点B 作BD MA ⊥的延长线于点D ，求证：ABD C ∠=∠；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，且BF 平分DBC ∠，BE 平分ABD ∠，若AFC BCF ∠=∠，3BFC DBE ∠=∠，求EBC ∠的度数． 解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）︒=∠105EBC ．【分析】（1）先根据平行线的性质得到C BDA ∠=∠,然后结合AB BC ⊥即可证明；（2）过B 作//BH DM ，先说明ABD CBH ∠=∠，然后再说明//BH NC 得到CBH C ∠=∠，最后运用等量代换解答即可；（3）设∠DBE =a ，则∠BFC =3a ，根据角平分线的定义可得∠ABD =∠C =2a ，∠FBC =12∠DBC =a +45°，根据三角形内角和可得∠BFC +∠FBC +∠BCF =180°，可得∠AFC =∠BCF 的度数表达式，再根据平行的性质可得∠AFC +∠NCF =180°，代入即可算出a 的度数，进而完成解答．【详解】（1）证明：∵//AM CN ，∴C BDA ∠=∠，∵AB BC ⊥于B ，∴90B ∠=︒，∴90A BDA ∠+∠=︒，∴90A C ∠+∠=︒；（2）证明：过B 作//BH DM ，∵BD MA ⊥，∴90ABD ABH ∠+∠=︒，又∵AB BC ⊥，∴90ABH CBH ∠+∠=︒，∴ABD CBH ∠=∠，∵//BH DM ，//AM CN∴//BH NC ，∴CBH C ∠=∠，∴ABD C ∠=∠；（3）设∠DBE=a，则∠BFC=3a，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=∠C=2a，又∵AB⊥BC，BF平分∠DBC，∠DBC=a+45°∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=2a+90，即：∠FBC=12又∵∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°，即：3a+a+45°+∠BCF=180°∴∠BCF=135°-4a，∴∠AFC=∠BCF=135°-4a，又∵AM//CN，∴∠AFC+∠NCF=180°，即：∠AFC+∠BCN+∠BCF=180°，∴135°-4a+135°-4a+2a=180，解得a=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角平分线的性质是解答本题的关键．4．已知：如图，直线AB//CD，直线EF交AB，CD于P，Q两点，点M，点N分别是直线CD，EF上一点（不与P，Q重合），连接PM，MN．（1）点M，N分别在射线QC，QF上（不与点Q重合），当∠APM+∠QMN=90°时，①试判断PM与MN的位置关系，并说明理由；②若PA平分∠EPM，∠MNQ=20°，求∠EPB的度数．（提示：过N点作AB的平行线）（2）点M，N分别在直线CD，EF上时，请你在备用图中画出满足PM⊥MN条件的图形，并直接写出此时∠APM与∠QMN的关系．（注：此题说理时不能使用没有学过的定理）解析：（1）①PM⊥MN，理由见解析；②∠EPB的度数为125°；（2）∠APM+∠QMN=90°或∠APM -∠QMN=90°．【分析】（1）①利用平行线的性质得到∠APM=∠PMQ，再根据已知条件可得到PM⊥MN；②过点N作NH∥CD，利用角平分线的定义以及平行线的性质求得∠MNH=35°，即可求解；（2）分三种情况讨论，利用平行线的性质即可解决．【详解】解：（1）①PM⊥MN，理由见解析：∵AB//CD，∴∠APM=∠PMQ，∵∠APM+∠QMN=90°，∴∠PMQ +∠QMN=90°，∴PM⊥MN；②过点N作NH∥CD，∵AB//CD，∴AB// NH∥CD，∴∠QMN=∠MNH，∠EPA=∠ENH，∵PA平分∠EPM，∴∠EPA=∠MPA，∵∠APM+∠QMN=90°，∴∠EPA +∠MNH=90°，即∠ENH +∠MNH=90°，∴∠MNQ +∠MNH +∠MNH=90°，∵∠MNQ=20°，∴∠MNH=35°，∴∠EPA=∠ENH=∠MNQ +∠MNH=55°，∴∠EPB=180°-55°=125°，∴∠EPB的度数为125°；（2）当点M，N分别在射线QC，QF上时，如图：∵PM⊥MN，AB//CD，∴∠PMQ +∠QMN=90°，∠APM=∠PMQ，∴∠APM +∠QMN=90°；当点M，N分别在射线QC，线段PQ上时，如图：∵PM⊥MN，AB//CD，∴∠PMN=90°，∠APM=∠PMQ，∴∠PMQ -∠QMN=90°，∴∠APM -∠QMN=90°；当点M，N分别在射线QD，QF上时，如图：∵PM⊥MN，AB//CD，∴∠PMQ +∠QMN=90°，∠APM+∠PMQ=180°，∴∠APM+90°-∠QMN=180°，∴∠APM -∠QMN=90°；综上，∠APM +∠QMN=90°或∠APM -∠QMN=90°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等等知识是解题的关键．5．已知直线AB//CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按逆时针方向以每秒12°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按逆时针方向每秒3°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间10秒时，PB'与QC'的位置关系为；（2）若射线QC先转15秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为多少秒时，PB′//QC′．解析：（1）PB′⊥QC′；（2）当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′【分析】（1）求出旋转10秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，设PB′与QC′交于O，过O作OE∥AB，根据平行线的性质求得∠POE和∠QOE的度数，进而得结论；（2）分三种情况：①当0＜t≤15时，②当15＜t≤30时，③当30＜t＜45时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．【详解】解：（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝10°×12＝120°，∠CQC′＝3°×10=30°，过O作OE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OE∥CD，∴∠POE＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QOE＝∠CQC′＝30°，∴∠POQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案为：PB′⊥QC′；（2）①当0＜t≤15时，如图，则∠BPB′＝12t°，∠CQC′＝45°+3t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即12t＝45+3t，解得，t＝5；②当15＜t≤30时，如图，则∠APB′＝12t﹣180°，∠CQC'＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，即12t﹣180＝45+3t，解得，t＝25；③当30＜t≤45时，如图，则∠BPB′＝12t﹣360°，∠CQC′＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，即12t﹣360＝45+3t，解得，t＝45；综上，当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．6．（1）如图①，若∠B+∠D=∠E，则直线AB与CD有什么位置关系？请证明（不需要注明理由）．（2）如图②中，AB//CD，又能得出什么结论？请直接写出结论．（3）如图③，已知AB//CD，则∠1+∠2+…+∠n-1+∠n的度数为．解析：（1）AB//CD，证明见解析；（2）∠E1+∠E2+…∠E n=∠B+∠F1+∠F2+…∠F n-1+∠D；（3）(n-1)•180°【分析】（1）过点E作EF//AB，利用平行线的性质则可得出∠B=∠BEF，再由已知及平行线的判定即可得出AB∥CD；（2）如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥AB，根据探究（1）的证明过程及方法，可推出∠E+∠G=∠B+∠F+∠D，则可由此得出规律，并得出∠E1+∠E2+…∠E n=∠B+∠F1+∠F2+…∠F n-1+∠D；（3）如图，过点M作EF∥AB，过点N作GH∥AB，则可由平行线的性质得出∠1+∠2+∠MNG =180°×2，依此即可得出此题结论．【详解】解：（1）过点E作EF//AB，∴∠B=∠BEF．∵∠BEF+∠FED=∠BED，∴∠B+∠FED=∠BED．∵∠B+∠D=∠E（已知），∴∠FED=∠D．∴CD//EF（内错角相等，两直线平行）．∴AB//CD．（2）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD，∴∠B=∠BEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGH，∠HGD=∠D，∴∠BEF+∠FGD=∠BEM+∠MEF+∠FGH+∠HGD=∠B+∠EFN+∠NFG+∠D=∠B+∠EFG+∠D，即∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．由此可得：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等，∴∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠F n-1+∠D．故答案为：∠E1+∠E2+…∠E n=∠B+∠F1+∠F2+…∠F n-1+∠D．（3）如图，过点M作EF∥AB，过点N作GH∥AB，∴∠APM+∠PME=180°，∵EF∥AB，GH∥AB，∴EF∥GH，∴∠EMN+∠MNG=180°，∴∠1+∠2+∠MNG =180°×2，依次类推：∠1+∠2+…+∠n-1+∠n=(n-1)•180°．故答案为：(n-1)•180°．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，属于基础题，关键是过E点作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．7．已知：AB//CD．点E在CD上，点F，H在AB上，点G在AB，CD之间，连接FG，EH，GE，∠GFB＝∠CEH．（1）如图1，求证：GF//EH；（2）如图2，若∠GEH ＝α，FM 平分∠AFG ，EM 平分∠GEC ，试问∠M 与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M ）？请写出你的猜想，并加以证明．解析：（1）见解析；（2）902FME α∠=︒-，证明见解析． 【分析】（1）由平行线的性质得到CEH EHB ∠=∠，等量代换得出GFB EHB ∠=∠，即可根据“同位角相等，两直线平行”得解；（2）过点M 作//MQ AB ，过点G 作//GP AB ，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．【详解】（1）证明：//AB CD ，CEH EHB ∴∠=∠，GFB CEH ∠=∠，GFB EHB ∴∠=∠，//GF EH ∴；（2）解：902FME α∠=︒-，理由如下：如图2，过点M 作//MQ AB ，过点G 作//GP AB ，//AB CD ，//MQ CD ∴，AFM FMQ ∴∠=∠，QME MEC ∠=∠，FME FMQ QME AFM MEC ∴∠=∠+∠=∠+∠，同理，FGE FGP PGE AFG GEC ∠=∠+∠=∠+∠，FM 平分AFG ∠，EM 平分GEC ∠，2AFG AFM ∴∠=∠，2GEC MEC ∠=∠，2FGE FME ∴∠=∠，由（1）知，//GF EH ，180FGE GEH ∴∠+∠=︒，GEH α∠=，180FGE α∴∠=︒-，2180FME α∴∠=︒-，902FME α∴∠=︒-．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键．8．如图所示，A （1，0），点B 在y 轴上，将三角形OAB 沿x 轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC ，点C 的坐标为（﹣3，2）．（1）直接写出点E 的坐标 ；（2）在四边形ABCD 中，点P 从点O 出发，沿OB →BC →CD 移动，若点P 的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒，请解决以下问题；①当t 为多少秒时，点P 的横坐标与纵坐标互为相反数；②当t 为多少秒时，三角形PEA 的面积为2，求此时P 的坐标解析：（1）（-2，0）；（2）①4秒；②（0，43）或（-3，43） 【分析】（1）根据BC =AE =3，OA =1，推出OE =2，可得结论．（2）①判断出PB =CD ，即可得出结论；②根据△PEA 的面积以及AE 求出点P 到AE 的距离，结合点P 的路线可得坐标．【详解】解：（1）∵C （-3，2），A （1，0），∴BC =3，OA =1，∵BC =AE =3，∴OE =AE -AO =2，∴E （-2，0）；（2）①∵点C 的坐标为（-3，2）∴BC =3，CD =2，∵点P 的横坐标与纵坐标互为相反数；∴点P 在线段BC 上，∴PB =CD =2，即t =（2+2）÷1=4；∴当t =4秒时，点P 的横坐标与纵坐标互为相反数；②∵△PEA 的面积为2，A （1，0），E （-2，0），∴AE =3，设点P 到AE 的距离为h∴1322h ⨯⨯=，∴h =43， 即点P 到AE 的距离为43， ∴点P 的坐标为（0，43）或（-3，43）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，三角形的面积等知识，解本题的关键是由线段和部分点的坐标，得出其它点的坐标．9．如图，直线//PQ MN ，一副直角三角板,ABC DEF ∆∆中，90,45,30,60ACB EDF ABC BAC DFE DEF ︒︒︒︒∠=∠=∠=∠=∠=∠=．（1）若DEF ∆如图1摆放，当ED 平分PEF ∠时，证明：FD 平分EFM ∠．（2）若,ABC DEF ∆∆如图2摆放时，则PDE ∠=（3）若图2中ABC ∆固定，将DEF ∆沿着AC 方向平移，边DF 与直线PQ 相交于点G ，作FGQ ∠和GFA ∠的角平分线GH FH 、相交于点H （如图3），求GHF ∠的度数．（4）若图2中DEF ∆的周长35,5cm AF cm =，现将ABC ∆固定，将DEF ∆沿着CA 方向平移至点F 与A 重合，平移后的得到''D E A ∆，点D E 、的对应点分别是''D E 、，请直接写出四边形'DEAD 的周长．∆绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转（5）若图2中DEF∆固定，（如图4）将ABC至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与DEF∆的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．解析：（1）见详解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm；（5）10s或30s或40s【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；（2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得答案；（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；（4）根据平移性质可得D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，再结合DE＋EF＋DF＝35cm，可得出答案；（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．【详解】（1）如图1，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，∵ED平分∠PEF，∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，∵PQ∥MN，∴∠MFE＝180°−∠PEF＝180°−120°＝60°，∴∠MFD＝∠MFE−∠DFE＝60°−30°＝30°，∴∠MFD＝∠DFE，∴FD平分∠EFM；（2）如图2，过点E作EK∥MN，∵∠BAC＝45°，∴∠KEA＝∠BAC＝45°，∵PQ∥MN，EK∥MN，∴PQ∥EK，∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF−∠KEA，又∵∠DEF＝60°．∴∠PDE＝60°−45°＝15°，故答案为：15°；（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，∴FL∥PQ∥HR，∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA，∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，∴∠QGH＝12∠FGQ，∠HFA＝12∠GFA，∵∠DFE＝30°，∴∠GFA＝180°−∠DFE＝150°，∴∠HFA＝12∠GFA＝75°，∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA＝75°−45°＝30°，∴∠GFL＝∠GFA−∠LFA＝150°−45°＝105°，∴∠RHG＝∠QGH＝12∠FGQ＝12（180°−105°）＝37.5°，∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°；（4）如图4，∵将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△D′E′A，∴D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，∵DE＋EF＋DF＝35cm，∴DE＋EF＋D′A＋AF＋DD′＝35＋10＝45（cm），即四边形DEAD′的周长为45cm；（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：BC∥DE时，如图5，此时AC∥DF，∴∠CAE＝∠DFE＝30°，∴3t＝30，解得：t＝10；BC∥EF时，如图6，∵BC∥EF，∴∠BAE＝∠B＝45°，∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°，∴3t＝90，解得：t＝30；BC∥DF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，∵∠DRM＝∠EAM＋∠DFE＝45°＋30°＝75°，∴∠BKA＝∠DRM＝75°，∵∠ACK＝180°−∠ACB＝90°，∴∠CAK＝90°−∠BKA＝15°，∴∠CAE＝180°−∠EAM−∠CAK＝180°−45°−15°＝120°，∴3t＝120，解得：t＝40，综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与△DEF的一条边平行．【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．10．如图所示，A（1，0）、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为（﹣3，2）．（1）直接写出点E的坐标；（2）在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“BC→CD”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：①当t=秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；②求点P在运动过程中的坐标，（用含t的式子表示，写出过程）；③当点P运动到CD上时，设∠CBP=x°，∠PAD=y°，∠BPA=z°，试问 x，y，z之间的数量关系能否确定？若能，请用含x，y的式子表示z，写出过程；若不能，说明理由．解析：（1）（-2，0）；（2）①t=2；②当点P在线段BC上时，点P的坐标（-t，2），当点P在线段CD上时，点P的坐标（-3，5-t）；③能确定，z=x+y．【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论；（2）①由点C的坐标为（-3，2）．得到BC=3，CD=2，由于点P的横坐标与纵坐标互为相反数；于是确定点P在线段BC上，有PB=CD，即可得到结果；②当点P在线段BC上时，点P的坐标（-t，2），当点P在线段CD上时，点P的坐标（-3，5-t）；③如图，过P作PF∥BC交AB于F，则PF∥AD，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：（1）根据题意，可得三角形OAB沿x轴负方向平移3个单位得到三角形DEC，∵点A的坐标是（1，0），∴点E的坐标是（-2，0）；故答案为：（-2，0）；（2）①∵点C的坐标为（-3，2）∴BC=3，CD=2，∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数；∴点P在线段BC上，∴PB=CD，即t=2；∴当t=2秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；故答案为：2；②当点P在线段BC上时，点P的坐标（-t，2），当点P在线段CD上时，点P的坐标（-3，5-t）；③能确定，如图，过P作PF∥BC交AB于F，则PF∥AD，∠1=∠CBP=x°，∠2=∠DAP=y°，∴∠BPA=∠1+∠2=x°+y°=z°，∴z=x+y．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，坐标与图形的变化-平移，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．某水果店到水果批发市场采购苹果，师傅看中了甲、乙两家某种品质一样的苹果，零售价都为8元/千克，批发价各不相同，甲家规定：批发数量不超过100千克，全部按零价的九折优惠；批发数量超过100千克全部按零售价的八五折优惠，乙家的规定如下表：（1）如果师傅要批发240千克苹果选择哪家批发更优惠？x ），问师傅应怎样选择两家批发商所花费用更少？（2）设批发x千克苹果（100解析：（1）在乙家批发更优惠；（2）当x=200时他选择任何一家批发所花费用一样多；当100＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少；当x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少．【分析】（1）分别求出在甲、乙两家批发240千克苹果所需费用，比较后即可得出结论；（2）分两种情况：①若100<x≤150时，②若x>150时，分别用含x的代数式表示出在甲、乙两家批发x千克苹果所需费用，再比较大小，列出不等式，求出x的范围，即可得到结论．【详解】（1）在甲家批发所需费用为：240×8×85%=1632（元），在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(150−50)×8×85%+(240−150)×8×75%=1600（元），∵1632>1600，∴在乙家批发更优惠；（2）①若100<x≤150时，在甲家批发所需费用为：8×85%x=6.8x，在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(x−50)×8×85%=6.8x+40，∵6.8x＜6.8x+40，∴师傅应选择甲家批发商所花费用更少；②若x>150时，在甲家批发所需费用为：8×85%x=6.8x，在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(150−50)×8×85%+(x−150)×8×75%=6x+160，当6.8x=6x+160时，即x=200时，师傅选择两家批发商所花费用一样多，当6.8x＞6x+160时，即x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少，当6.8x＜6x+160时，即150＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少．综上所得：当x=200时他选择任何一家批发所花费用一样多；当100＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少；当x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少．【点睛】本题主要考查代数式，一元一次方程，一元一次不等式的综合实际应用，理清数量关系，列出代数式，不等式或方程，是解题的关键．12．判断下面方程组325231x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②的解法是否正确，如果全部正确，判断即可；如果有错误，请写出正确的解题过程．解：①×2-②×3，得52y =，解得25y =， 把25y =代入方程①，得23255x -⨯=，解得2915x =． ∴原方程组的解为291525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解析：11x y =⎧⎨=-⎩【分析】用加减消元法解二元一次方程组，在两个方程作差时符号出错了，正确为①2⨯-②3⨯，得1313y -=，再求解即可．【详解】解：上述解法不正确．正确解题过程如下：①2⨯-②3⨯，得1313y -=，解得1y =-，把1y =-代入方程①，得32(1)5x -⨯-=，解得1x =．∴原方程组的解为11x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组． 13．某工厂接受了20天内生产1200台GH 型电子产品的总任务．已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G 型装置或3个H 型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G 、H 型装置数量正好全部配套组成GH 型产品．（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH 型电子产品？请列出二元一次方程组解答此问题．（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4个G 型装置．设原来每天安排x 名工人生产G 型装置，后来补充m 名新工人，求x 的值（用含m 的代数式表示）解析：（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成48套GH 型电子产品；（2）x ＝16025m -. 【解析】【分析】（1）设x 人加工G 型装置，y 人加工H 型装置，由题意可得：80{3643x y x y+⨯⨯＝＝，解方程组，再由G 配件总数除以4可得总套数； （2）由题意可知：3（6x+4m ）=3（80-x ）×4，再用含m 的式子表示x.【详解】解：（1）设x 人加工G 型装置，y 人加工H 型装置，由题意可得：80{3643x y x y+⨯⨯＝＝ 解得： 32{48x y ＝＝，6×32÷4=48（套），答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成48套GH 型电子产品．（2）由题意可知：3（6x+4m ）=3（80-x ）×4，解得：x ＝16025m -， 【点睛】本题考核知识点：列方程组解应用题. 解题关键点：找出相等关系，列出方程. 14．已知：用3辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A 型车和3辆B 型车载满货物一次可运货l8吨，某物流公刊现有35吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.根据以上信息，解答下列问题：(1)l 辆A 型车和l 辆B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若A 型车每辆需租金200元／次，B 型车每辆需租金240元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．解析：(1) A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货3吨、4吨;(2) 最省钱的租车方案是方案一：A 型车8辆，B 型车2辆，最少租车费为2080元.【分析】（1）设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨，根据题目中的等量关系：用3辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A 型车和3辆B 型车载满货物一次可运货l8吨，列方程组求解即可；（2）由题意得出3a+4b=35，然后由a 、b 为整数解，得到三中租车方案；（3）根据（2）中的所求方案，利用A 型车每辆需租金200元／次，B 型车每辆需租金240元／次，分别求出租车费用即可.【详解】解：（1）设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨，依题意列方程组为：32172318x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得34x y =⎧⎨=⎩答：1辆A 型车辆装满货物一次可运3吨，1辆B 型车装满货物一次可运4吨.（2）结合题意，和（1）可得3a+4b=35∴a=3543b - ∵a 、b 都是整数∴92a b =⎧⎨=⎩或55a b =⎧⎨=⎩或18a b =⎧⎨=⎩ 答：有3种租车方案：方案一：A 型车9辆，B 型车2辆；方案二：A 型车5辆，B 型车5辆；方案三：A 型车1辆，B 型车8辆．（3）∵A 型车每辆需租金200元/次，B 型车每辆需租金240元/次，∴方案一需租金：9×200+2×240=2280（元）方案二需租金：5×200+5×240=2200（元）方案三需租金：1×200+8×240=2120（元）∵2280＞2200＞2120∴最省钱的租车方案是方案一：A 型车1辆，B 型车8辆，最少租车费为2120元.【点睛】此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的解法，关键是明确二元一次方程有无数解，但在解与实际问题有关的二元一次方程组时，要结合未知数的实际意义求解. 15．如图，//CD EF ，AE 是CAB ∠的平分线，α∠和β∠的度数满足方程组2250(1)3100(2)αβαβ∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩，（1）求α∠和β∠的度数；（2）求证：//AB CD .（3）求C ∠的度数.解析：（1）α∠和β∠的度数分别为70︒和110︒；（2）见解析；（3）40C ∠=︒【分析】根据2250(1)3100(2)αβαβ∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩，解二元一次方程组，求出α∠和β∠的度数；根据平行线判定定理，判定//AB CD ；由“AE 是CAB ∠的平分线”：2CAB α∴∠=∠，再根据平行线判定定理，求出C ∠的度数.【详解】解：（1）①+②，得5350α∠=︒，70α∴∠=︒，代入①得110β∠=︒α∴∠和β∠的度数分别为70︒和110︒.（2）180αβ∠+∠=︒//AB EF ∴//CD EF ，//AB CD ∴（3）AE ∵是CAB ∠的平分线2140CAB α∴∠=∠=︒//AB CD ，180C CAB ∴∠+∠=︒40C ∴∠=︒【点睛】本题运用二元一次方程组给出已知条件，熟练掌握二元一次方程组的解法以及平行线相关定理是解题的关键.16．若关于x 的方程ax +b ＝0（a ≠0）的解与关于y 的方程cy +d ＝0（c ≠0）的解满足﹣1≤x ﹣y ≤1，则称方程ax +b ＝0（a ≠0）与方程cy +d ＝0（c ≠0）是“友好方程”．例如：方程2x ﹣1＝0的解是x ＝0.5，方程y ﹣1＝0的解是y ＝1，因为﹣1≤x ﹣y ≤1，方程2x ﹣1＝0与方程y ﹣1＝0是“友好方程”．（1）请通过计算判断方程2x ﹣9＝5x ﹣2与方程5（y ﹣1）﹣2（1﹣y ）＝﹣34﹣2y 是不是“友好方程”．（2）若关于x 的方程3x ﹣3+4（x ﹣1）＝0与关于y 的方程32y k ++y ＝2k +1是“友好方程”，请你求出k 的最大值和最小值．解析：（1）是；（2）k 的最小值为﹣23，最大值为83 【分析】（1）分别解出两个方程，得到x ﹣y 的值，即可确定两个方程是“友好方程”；（2）分别解两个方程为x ＝1，325k y +=，再由已知可得﹣1≤3215k +-≤1，求出k 的取值范围为即可求解．【详解】解：（1）由2x ﹣9＝5x ﹣2，解得x ＝73-， 由5（y ﹣1）﹣2（1﹣y ）＝﹣34﹣2y ，解得y ＝﹣3，∴x ﹣y ＝23，∴﹣1≤x ﹣y ≤1，∴方程2x ﹣9＝5x ﹣2与方程5（y ﹣1）﹣2（1﹣y ）＝﹣34﹣2y 是“友好方程”； （2）由3x ﹣3+4（x ﹣1）＝0，解得x ＝1， 由3212y k y k ++=+，解得325k y +=， ∵两个方程是“友好方程”，∴﹣1≤x ﹣y ≤1，∴﹣1≤3215k +-≤1， ∴2833k -≤≤ ∴k 的最小值为﹣23，最大值为83． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.17．在平面直角坐标系中，点(),1A a ，(),6B b ，(),3C c ，且a ，b ，c 满足231321b c a a c b +=+⎧⎨+=+⎩．（1）请用含a 的式子分别表示B ，C 两点的坐标；（2）当实数a 变化时，判断ABC 的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围；（3）如图，已知线段AB 与y 轴相交于点E ，直线AC 与直线OB 交于点P ，若2PA PC ≤，求实数a 的取值范围．解析：（1）()3,6B a +，()7,3C a +；（2）不变，值为14.5；（3）27013a -≤≤ 【分析】（1）先解方程组，用含a 的式子表示b 、c 的值，进而可得点A ，B ，C 的坐标． （2）根据S △ABC ＝S 梯形AFGB ＋S 梯形BGHC −S 梯形AFHC 代入数据计算即可．（3）先解方程组用含a 的代数式表示出b ，c ，根据线段AB 在与y 轴相交于点E 可得关于a 的不等式组，解即可得a 的一个取值范围，再由2PA ≤PC 可得2S △AOB ≤△S △BOC ，然后用含a 的代数式表示出2S △AOB 与△S △BOC ，进而可得关于a 的不等式，解不等式可得a 的一另个取值范围，从而可得结果．【详解】解：（1）解方程组231321b c a a c b +=+⎧⎨+=+⎩，得37b ac a =+⎧⎨=+⎩， (,1)A a ，()3,6B a +，()7,3C a +（2）ABC 的面积不变，值为14.5如图，过点A ，B ，C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，H ，∵(),1A a ，()3,6B a +，()7,3C a +，∴1AF =，6BG =，3CH =，3FG =，4GH =，7FH =，∴ABC AFGB BGHC AFHC S S S S =+-△梯形梯形梯形 ()()()11116336431714.5222=+⨯++⨯-+⨯=； （3）连接AO ，CO ，∵(),1A a ，()3,6B a +，()7,3C a +，又∵线段AB 在与y 轴相交于点E ，∴0a ≤，30a +≥，∴30a -≤≤，∵2PA PC ≤，∴2ABP BPC S S ≤△△，2AOP OCP S S ≤△△，∴2AOB BOC S S ≤△△，如图，过点A ，B ，C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，K ，∵AOB AOM BON AMNB S S S S =--梯形△△，()()()()111163136222a a a a =⨯+⨯+---⨯-+⨯ 5322a =-+， BOC BON K BN OC KC S S S S =+-梯形△△△()()()()()11136733673222a a a a =⨯+⨯+-+++⨯-+⨯⎡⎤⎣⎦22∴5333322222a a ⎛⎫-+≤+ ⎪⎝⎭，解得2713a ≥-， ∴实数a 的取值范围是27013a -≤≤． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查三角形的面积，解二元一次方程组，坐标与图形的性质，平移的性质等知识，涉及的知识点多，综合性强，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．18．阅读材料：如果x 是一个有理数，我们把不超过x 的最大整数记作[]x ．例如，[]3.23=，[]55=，[]2.13-=-，那么，[]x x a =+，其中01a ≤<．例如，[]3.2 3.20.2=+，[]550=+，[]2.1 2.10.9-=-+．请你解决下列问题：（1）[]4.8=__________，[]6.5-=__________；（2）如果[]5x =，那么x 的取值范围是__________；（3）如果[]5231x x -=+，那么x 的值是__________；（4）如果[]x x a =+，其中01a ≤<，且[]41a x =+，求x 的值．解析：（1）4，-7；（2）56x ≤<；（3）53；（4）1x =-或14或112或324 【分析】（1）根据[]x 表示不超过x 的最大整数的定义及例子直接求解即可；（2）根据[]x 表示不超过x 的最大整数的定义及例子直接求解即可；（3）由材料中“[]x x a =+，其中01a ≤<”得出315232x x x +-<+，解不等式，再根据3x +1为整数，即可计算出具体的值；（4）由材料中的条件[]41a x =+可得[]14x a +=，由01a <，可求得[]x 的范围，根据[]x 为整数，分情况讨论即可求得x 的值．【详解】（1）[]4.84=，[]6.57-=-．故答案为：4，-7．（2）如果[]5x =． 那么x 的取值范围是56x <．故答案为：56x <．（3）如果[]5231x x -=+，那么315232x x x +-<+． 解得：322x < ∵31x +是整数．3故答案为：53． （4）∵[]x x a =+，其中01a <，∴[]x x a =-，∵[]41a x =+，∴[]14x a +=． ∵01a <，∴[]1014x +<， ∴[]13x -<，∴[]1x =-，0，1，2．当[]1x =-时，0a =，1x =-；当[]0x =时，14a =，14x =； 当[]1x =时，12a =，112x =； 当[]2x =时，34a =，324x =； ∴1x =-或14或112或324． 【点睛】本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中[]x 的意义，列出不等式求解；最后一问要注意不要漏了情况．19．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A 、B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润 = 销售收入-进货成本）（1）求A 、B 两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．解析：（1）A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；（2）超市最多采购A 种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；（3）超市不能实现利润1400元的目标；【分析】（1）根据第一周和第二周的销售量和销售收入，可列写2个等式方程，再求解二元一次方程组即可；（2）利用不多于5400元这个量，列写不等式，得到A 型电风扇a 台的一个取值范围，从而得出a 的最大值；（3）将B 型电风扇用(30-a)表示出来，列写A 、B 两型电风扇利润为1400的等式方程，可求得a 的值，最后在判断求解的值是否满足（2）中a 的取值范围即可【详解】解：（1）设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元，依题意得：3518004103100x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：250210x y =⎧⎨=⎩， 答：A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元．（2）设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇（30-a ）台．依题意得：200a+170（30-a ）≤5400，解得：a≤10．答：超市最多采购A 种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；（3）依题意有：（250-200）a+（210-170）（30-a ）=1400，解得：a=20，∵a≤10，∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．【点睛】本题是二元一次方程和一元一次不等式应用题的综合考查，解题关键是依据题意，找出等量关系式(不等关系式)，然后按照题目要求相应求解20．在平面直角坐标系xOy 中，如图正方形ABCD 的顶点A ，B 坐标分别为()1,0A -，()3,0B ，点E ，F 坐标分别为(),0E m ，()3,0F m ，且12m -<≤，以EF 为边作正方形EFGH .设正方形EFGH 与正方形ABCD 重叠部分面积为S .（1）①当点F 与点B 重合时，m 的值为______；②当点F 与点A 重合时，m 的值为______.（2）请用含m 的式子表示S ，并直接写出m 的取值范围.。