【配套K12】2018版高中数学第一章空间几何体1.1空间几何体的结构第1课时学案新人教A版必修2

1.1 空间几何体的结构第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征目标定位 1.理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征，能够识别和区分这些几何体. 2.了解棱柱、棱锥、棱台的底面、侧棱、侧面、顶点的意义.自 主 预 习1.空间几何体(1)概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体. (2)多面体与旋转体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2.几种常见的多面体1.判断题(1)棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形.(√) (2)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体.(×) (3)正棱锥的侧面是等边三角形.(×)(4)用一个平面去截棱锥；棱锥底面和截面之间的部分是棱台.(×)提示 (1)由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形. (2)上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体. (3)正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形. (4)该平面不一定平行于底面. 2.下列说法中正确的是()A.棱柱仅有一个底面B.棱柱的顶点至少有6个C.棱柱的侧棱至少有4条D.棱柱的棱至少有4条答案 B3.下列棱锥有6个面的是( ) A.三棱锥 B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥答案 C4.一个棱柱至少有________个面，面数最少的一个棱锥有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱.解析 面数最少的棱柱为三棱柱，有5个面；面数最少的棱锥为三棱锥，有4个面；顶点最少的棱台为三棱台，有3条侧棱. 答案 5 4 3类型一 棱柱的结构特征 【例1】 下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确说法的序号是________.解析(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4). 答案(3)(4)规律方法棱柱的结构特征：(1)两个面互相平行；(2)其余各面是四边形；(3)相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.【训练1】下列关于棱柱的说法错误的是( )A.所有的棱柱两个底面都平行B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱D.棱柱至少有五个面解析对于A，B，D显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱.答案 C类型二棱锥、棱台的结构特征【例2】下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.解析(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.答案(2)(3)(4)规律方法判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. (2)直接法：A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱长都相等D.侧棱延长后相交于一点解析由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等.答案 C类型三多面体的表面展开图(互动探究)【例3】画出如图所示的几何体的表面展开图.[思路探究]探究点一(1)中如何展开？提示可沿一侧棱如CC1，上下底面的对边CA、C1A1、CB、C1B1剪开展平.探究点二(2)中如何展开？提示可沿四条侧棱AC、AB、AD、AE剪开展平.解表面展开图如图所示：规律方法多面体表面展开图问题的解题策略：(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.【训练3】一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.解析将平面图形翻折，折成空间图形，如图.答案60°[课堂小结]1.棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).2.(1)各种棱柱之间的关系①棱柱的分类棱柱⎩⎪⎨⎪⎧直棱柱⎩⎪⎨⎪⎧正棱柱一般的直棱柱斜棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：1.棱柱的侧面都是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.矩形解析由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形.答案 B2.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )A.①③B.②④C.③④D.①②解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.答案 C3.下列几何体中，________是棱柱，______是棱锥，________是棱台(仅填相应序号).解析结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.答案①③④⑥⑤4.某多面体的面中有梯形和三角形，试画一个具有该特征的几何体.解如图(1)所示(或如图(2)所示，还有其他可能，答案不唯一).基础过关1.三棱锥的四个面中可以作为底面的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析由于三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.答案 D2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点解析四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得).答案 C3.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )A.①是棱柱B.②不是棱锥C.③不是棱锥D.④是棱台解析结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误.答案 B4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________.解析由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.答案四棱柱5.下列说法正确的有________(填序号).①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面.解析棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对.棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对.棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对.⑤显然正确.因而正确的有①②④⑤.答案①②④⑤6.如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？解这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体.有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱.7.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？解(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝S 正方形ABCD －S △PEF －S △DPF －S △DPE ＝(2a )2－12a 2－a 2－a 2＝32a 2.能 力 提 升8.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )解析 两个☆不能并列相邻，B 、D 错误；两个※不能并列相邻，C 错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定. 答案 A9.在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( ) A.20B.15C.12D.10解析 正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D. 答案 D10.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种空间图形的4个顶点，这些空间图形是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体. 解析 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种空间图形的4个顶点，这些空间图形是：①矩形，如四边形ACC 1A 1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A －A 1BD ；④每个面都是等边三角形的四面体，如A －CB 1D 1； ⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A －A 1DC ，所以填①③④⑤.小初高试卷教案类K12小学初中高中 答案 ①③④⑤11.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)中，AB ＝3，BC ＝4，A 1A ＝5，现有一甲壳虫从A 出发沿长方体表面爬行到C 1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值.解 把长方体的部分面展开，如图所示.对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC 1的长分别为90、74、80，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB 1A 1内由A 到E ，再在长方形BCC 1B 1内由E 到C 1，也可以先在长方形AA 1D 1D 内由A 到F ，再在长方形DCC 1D 1内由F 到C 1，其最短路程为74.探 究 创 新12.如图，在4×3的纸上用线条勾画出一个图形，使每一格作为一个面，能折成一个正方体.你能画出4个这样的图形吗？解。