三角形,梯形的中位线

三角形和梯形中位线【知识点精要】1．三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。

它与三角形中线是不同的概念，三角形的中线有三条，其端点一个是中点，一个是顶点；三角形的中位线有三条，两个端点都是中点．2．三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．这个定理是一个题设，两个结论，表示了两线段间的位置关系（平行）与数量关系（倍分）．3．梯形的中位线连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．注意：梯形的中位线是连结两腰中点的线段．而不是连结两底的中点的线段．4．梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半，这个定理也表明了几条线段间的位置关系及数量关系．5．梯形的面积公式设梯形面积为S ，上底为a ，下底为b ，中位线长为l ，则有S =12(a + b )h = lgh ，l =12(a + b )， 即梯形的面积也等于中位线与高的乘积．【例题】例1．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AM = MB ，DN = NC ．求证：MN ∥BC ，MN =12(BC + AD )．例2．求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．例3．已知：三角形的各边分别为6cm 、8cm 和10cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．例4．如图，等腰梯形ABCD的周长是80cm，如果它的中位线EF与腰长相等，它的高是12cm．求这个梯形的面积．例5．已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，A′、B′、C′、D′分别是AO、BO、CO、DO的中点．求证：（1）四边形A′B′C′D′是梯形；（2）梯形ABCD的周长等于梯形A′B′C′D′周长的2倍．例6．如图，已知MN是梯形ABCD的中位线，AC、BD与MN交于F、E，AD = 30cm，BC = 40cm．求EF的长．例7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E是腰AD的中点，且BC = AB + DC．求证：BE⊥CE．例8．如图，在△ABC中，∠B = 2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点．求证：DM =12 AB．【练习与作业】一、选择题1．梯形ABCD中，AD∥BC，过A作AE∥DC，交BC于E，已知梯形周长为30cm，AD = 5cm，则△ABE的周长为（）A．25cm B．20cm C．15cm D．10cm2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB = 2cm，CD = 8cm，M、N分别为对角线AC、BD中点，则MN 的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．梯形D．平行四边形4．顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．梯形D．正方形5．顺次连结四边形各边中点得到一个菱形，则原四边形是（）A．菱形B．矩形C．梯形D．两条对角线相等的四边形6．一个梯形的中位线长为l，两对角线互相垂直，则这梯形的高为（）A．l B．2l C．12l D．不能确定其大小7．梯形的中位线长为20cm，高为4cm，则梯形面积为（）A．40cm2B．60cm2C．80cm2D．100cm2 8．若等腰梯形两底差等于一腰长，那长它的腰与下底的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．过Y ABCD对角线交点O，作OE∥AD，交AB于点E，则OE等于（）A．EB B．12AB C．OB D．12BC10．已知△ABC的周长为50cm，中位线DE = 8cm，EF = 10cm，则另一条中位线DF的长是（）A．5cm B．7cm C．9cm D．10cm11．已知梯形中位线长为26cm，上，下底的比为1：3，则梯形的上、下底之差是（）A．26cm B．13cm C．39cm D．19.5cm12．已知△ABC周长为16，D、E分别是AB、AC的中点，那么△ADE的周长等于（）A．1 B．2 C．4 D．8二、填空题13．梯形中位线长9cm，上底长8cm，下底长cm．14．等腰梯形的中位线长6cm，腰长4cm，它的周长是．15．等腰梯形的中位线长30cm，一底角为60°，且一条对角线平分这个角，则此梯形的周长为cm．16．等腰梯形的对角线平分锐角，又分中位线成7cm和9cm两部分，则梯形周长是．17．四边形的两条对角线长分别是12cm和10cm，顺次连结各边中点所得的四边形的周长是．18．已知等腰梯形的腰长与中位线长相等，周长是32cm，则腰长为cm．19．已知梯形中位线长80cm，下底与上底的差为40cm，则梯形上底是，下底是．20．已知梯形上、下底的比是4：5，中位线长是18cm，则梯形上底是，下底是．21．等腰梯形的腰长为5cm，高为3cm，中位线长为8cm，则上、下底的长分别是．22．梯形的下底是20cm，上底是下底的34，则中位线长是．23．△ABC的三条中位线构成三角形的周长是6cm6cm，则△ABC周长是．24．三角形的一条中位线，把三角形分成两部分，其中三角形的面积是梯形面积的倍．25．已知梯形上、下底的比是4：5，中位线长是18cm，则下底是．三、解答题26．梯形ABCD中，AD∥BC，中位线MN为10cm，过顶点B作BE∥CD交AD于E，AE = 2cm，求梯形上、下底的长．27．如图，AA′∥EE′，AB = BC = CD = DE，A′B′ = B′C′ = C′D′ = D′E′，AA′ = 28mm，EE′ = 36mm，求BB′、CC′、DD′的长．28．已知：一个等腰梯形的高是2m，它的中位线长是5m，一个底角是45°．求这个梯形的面积和上、下底边的长．29．已知等腰梯形的两底差是4，中位线长是6，腰长是4，求等腰梯形的面积．30．等腰梯形的对角线分它的中位线成两部分，长分别为8，20，腰长为24，求梯形各内角度数．31．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，MN是中位线．求证：CD = MN．32．已知M、N分别是Y ABCD的AB、CD边的中点，CM交BD于E，AN交BD于F．求证：BE = EF = FD．33．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、DC 的中点．求证：GH =12(BC – AD )．34．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC = 3AD ，E 、F 分别是对角线AC 、BD 的中点．求证：四边形ADEF 是平行四边形．35．如图，M 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、AC 、AB 的中点，AD ⊥BC 于D ．求证：四边形DEFM 为等腰梯形．36．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为E，DF⊥BC于F，垂足为F，MN是梯形中位线．求证：DF = MN．。

重点讲解(三角形梯形中位线)知识归纳知识结构重难点分析解题思想释疑解难学法建议知识归纳1．三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．作用：从位置关系看，可以证两直线平行；从数量关系看，可以证线段的相等或倍分．2．梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．作用：可以证明两直线平行；可以证明一条线段是另两条线段的和．3．梯形的面积等于中位线与高的积．．返回知识结构本节首先给出了中位线的概念，在中位线概念的基础上又给出三角形的中位线和梯形中位线两个概念，并对中位线的性质进行证明（运用同一法证明三角形中位线性质和添加辅助线转化成三角形中位线问题证明梯形中位线性质）以及应用．返回重难点分析本节的重点是中位线定理.三角形中位线定理和梯形中位线定理不但给出了三角形或梯形中线段的位置关系，而且给出了线段的数量关系，为平面几何中证明线段平行和线段相等提供了新的思路.本节的难点是中位线定理的证明.中位线定理的证明教材中采用了同一法，同一法学生初次接触，思维上不容易理解，而其他证明方法都需要添加2条或2条以上的辅助线，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情况对比有一定的难度.返回解题思想1．注意区别三角形中位线与中线，避免概念混淆.2．学会构造全等三角形证明三角形和梯形的中位线定理.3．灵活运用三角形中位线定理和梯形中位线定理证明求解几何问题.返回释疑解难1．三角形中位线定理的证明方法的关键三角形中位线定理的证明方法关键在于添加辅助线．其证明方法很多，除教科书上的方法以外，还可用下面的方法来证明：①如图所示，延长中位线DE至F，使，连结CF，则，有ADFC，所以FC BD，则四边形BCFD是平行四边形，DF BC，因为，所以DE．②如图所示，延长DE至F，使，连结CF、DC、AF，则四边形ADCF为平行四边形，有AD CF，所以FC BD，那么四边形BCFD为平行四边形，DF BC，因为，所以DE．③如图所示，过C作交DE的延长线于F，则，有FC AD，那么FC BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF BC，因为，所以DE ．2．怎样认识梯形中位线梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底的线段．梯形中位线定理的证明，关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化为三角形的中位线．3．怎样理解中位线定理三角形中位线定理和梯形中位线定理都有一个特点：在同一个题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用这两个定理时，不一定同时需要两个结论．4．怎样认识平行线等分线段定理与中位线定理的关系在学习了梯形、三角形中位线概念之后，可以把平行线等分线段定理的两个结论分别看成是梯形、三角形中位线的判定定理．5．怎样计算不规则的多边形面积对于不规则的多边形面积计算问题，我们可以采取作适当的辅助线把它们分割成三角形、平行四边形或梯形，然后利用这些较熟悉的面积公式来计算任意多边形的面积．返回学法建议1．学习中要注意概念间的区别．（1）三角形的中位线与三角形的中线是两条不同的线段，一条是两边中点的连线段，一条是一个顶点与对边中点间的线段．（2）梯形的中位线与梯形两底中点的连线段不是同一概念．2．在学习中要注意定理间的联系．（1）平行线等分线段定理的两个推论，可分别看成是梯形、三角形中位线的判定定理；（2）当梯形上底长为零时，梯形的中位线定理就与三角形中位线定理一致，因此三角形中位线定理可以看成是梯形中位线定理的特例.3．在学习中要注意三角形中位线定理的其余几种证法和梯形中位线定理的证法，从中学习三角形、梯形的转化思想，积累作辅助线的经验．。

三角形梯形中位线知识点：1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形的中位线有三条，它们把三角形分成四个全等三角形。

（2）三角形的中位线与三角形的中线不同 （3）三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

定理符号语言表达：在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 的中点， ；。

2．梯形中位线：1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

定理符号语言表达：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∵ ；∴ 。

注：在同一条件下，有两个结论，一个是位置关系，另一个数量关系；3）归纳总结出梯形的又一个面积公式：我们知道：S 梯=21(a+b)h 设中位线长为l ,则l = , 故 S= 梯形面积等于中位线与高的积3、中点四边形：1）顺次连接任意四边形、平行四边形各边中点所得的四边形是 ——— 平行四边形； 2）顺次连接矩形、等腰梯形及对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 —— 菱形； 3）顺次连接菱形、对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 ——— 矩形； 4）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 ————正方形；总结：中点四边形取决与原四边形的对角线；1）当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形。

2）当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形。

3）当原四边形的对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形。

ED BCAEBD A CF图2试一试：1．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．2．一个三角形的中位线有_________条．3.如图△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿，线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿4、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm（2）如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm，中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿5．等腰梯形的腰长为8，中位线长为9，则梯形的周长为；6．已知梯形的中位线长为6，上底长为3，则下底长为；7．已知梯形的高为5，中位线长为6，则梯形面积为；8．已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是。

A BF CED 第31课时：三角形、梯形的中位线班级 姓名 学号一、中考考点：1、 叫做三角形的中位线．三角形的中位线平行于第三边并且等于它的 ．2、 叫做梯形的中位线.梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 ．3、解决梯形问题，添加辅助线的常见方法. 二、问题探索： (一)基础问题探索：1．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm ，则原三角形的周长为 cm ． 2．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝3.6，AD ⊥BC 于点D ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，则EF ＝ ，DE ＝ ，DF ＝ ．3．⑴已知梯形中位线长是5cm ，高是4cm ，则梯形的面积是 . ⑵等腰梯形的腰长是6cm ，中位线是5cm ，则梯形的周长是 . ⑶梯形上底与中位线之比是2：5，则梯形下底与中位线之比是 .(4)若一个等腰梯形的周长是80cm ，高是12cm ，并且腰长与中位线相等，则这个梯形的面积为 ． 4．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，判断AD+BC 与AB+CD 的大小关系： . (二)典型问题探索：1．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、、DA 的中点．四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？若四边形EFGH 是特殊的平行四边形，四边形ABCD 应满足什么条件.2．如图，梯子各横木间互相平行，且A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5，B 1B 2＝B 2B3＝B 3B 4＝B 4B 5，已知横木A 5B 5＝10cm ，A 4B 4＝15cm ，求横木A 3B 3，A 2B 2，A 1B 1的长．3．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，E 、F 、M 、N 分别是AD 、BC 、BD 、AC 的中点.试说明：EF 与MN 互相垂直平分．4．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，E 是梯形外一点，且AE ＝BE ，F 是CD 的中点.试说明：EF ∥BC ．5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是两条对角线BD 、AC 的中点， 试说明：MN ∥BC 且MN ＝21(BC －AD )．6．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝5cm ，BD ＝12cm ，求该梯形的中位线长.7．如图，已知AE 、BD 相交于点C ，AC ＝AD ，BC ＝BE ，F 、G 、H 分别是DC 、CE 、AB 的中点. 试说明：(1)HF ＝HG ；(2)∠FHG ＝∠DAC8．如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F .(1)试探索CD 与AB 的位置关系并说明理由； (2)试说明：△BDE ≌△ACE ；(3)若O 为AB 中点，试探索OF 与BE 的数量关系并说明理由.A 1A 2 A 3 A 4 A 5B 5 B 4 B 3 B 2 B 1MD CBA N初三数学一轮复习DCBA三、课后作业：１．已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是cm. 2．若等腰梯形的腰长等于中位线的长，周长为48cm，则中位线长为cm.3．梯形的高是4，面积是32，上底长为4，则梯形的中位线长为，下底长为. 4．已知直角梯形的一条对角线把梯形分成一个直角三角形和一个边长为8cm的等边三角形，则此梯形的中位线长为cm.5．梯形的上底长为6，下底长为10，则由中位线所分得的两个梯形的面积之比为 . 6．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．以上都不对7．如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线( )A．互相平分B．互相垂直C．相等D．相等且互相平分8．顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是( )A．等腰梯形B．矩形C．平行四边形D．菱形或对角线互相垂直的四边形9．若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是正方形，那么这个四边形的对角线( )A.互相垂直B.相等C.互相平分D.互相垂直且相等10．已知：如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．试说明：四边形DEFG是平行四边形．11．已知：如图矩形ABCD的对角线相交于点O，E、F分别是OA、OD的中点．试说明：四边形CBEF是等腰梯形．12．如图，AD是△ABC的中线，E、G分别是AB、AC的中点，GF∥AD交ED的延长线于点F. 猜想：EF与AC有怎样的关系？试证明你的猜想. 13．已知：如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AC、BD相交于点O，点P、Q、R分别为AO、BO、CD的中点，且∠AOD＝60°.试判断ΔPQR的形状，并说明理由？14．已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE＝BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交BC 所在的直线于点H、G，(1)如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG＋FH＝AC；(2)如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是；(3)如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是；对(1)(2)(3)三种情况的结论，请任选一个给予证明．15．操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形.根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB.若AB＝5，CF＝1，求DF的长度.DCACGEFHB图1ACEGBHF图2EGACBHF图3AOBDQPRPNMQO图①。

第22章 四边形第三节 梯形§22.6三角形、梯形的中位线知识概要1.三角形的中位线 联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

2.梯形的中位线线联结梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线。

梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

经典题型精析(一)三角形中位线定理例1.(1)如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，E 和F 分别是AC BD ,的中点，若10=BC ，6=AD ，则线段EF 的长为 ( )A .8B .5C .3D .2(2)如图，ABC ∆周长为26，点E D 、都在边BC 上，ABC ∠的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，ACB ∠平分线垂直于AD ，垂足为P ，若10=BC ，则PQ 的长为( )A .3B .4C .25D .23例2.如图，点H G F E 、、、分别是四边形ABCD 的四条边DA CD BC AB 、、、的中点，那么四边形EFGH 是什么形状的?请说明你的理由。

随堂练习：已知：如图，在ABC ∆中，C B ∠=∠2，BC AD ⊥于点D ，M 为BC 中点。

求证：AB DM 21=。

例3.已知：如图，在四边形ABCD 中，BD AC =，点N M 、分别是边BC AD 、的中点。

联结MN 分别交BD AC 、于点G F 、，BD AC 、交于点E 。

随堂练习：已知：如图，在ABC ∆中，G D 、分别是边AC AB 、上的点，且CG BD =，点N M 、分别是CD BG 、的中点，过N M 、的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q 。

求证：AQ AP =。

例4.如图：正方形ABCD 两条对角线相交于点O ，CAB ∠的平分线AE 交BO 于点E ，交BC 于点F 。

若24=EO ，求FC 的长度。

随堂练习：如图，BD 平分ABC ∠，BD AC ⊥于点D ，点E 在BC 的延长线上，点F 是AE 的中点。

平行线等分线段定理，三角形、梯形的中位线重点与难点：三角形、梯形中位线的综合运用 一、知识点（1）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截取的线段也相等。

推论1：经过梯形一腰与底平行的直线，必平分另一腰。

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边。

（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

（3）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

二、例题：例1、下列图形是不是中心对称图形？若是，请指出对称中心。

（1）线段；（2）直线；（3）平行四边形；（4）圆解： （1）线段是中心对称图形，对称中心是线段的中点；（2）直线是中心对称图形，对称中心是直线上的任意一点；（3）平行四边形（当然也就包括了矩形、菱形、正方形）是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；（4）圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

例2、判断下列说法是否正确：（1）矩形的对边关于对角线交点对称。

（ ） （2）圆上任意两点关于圆心对称。

（ ）（3）两个全等三角形必关于某一点中心对称。

（ ） （4）成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等。

（ ） 解：（1）（4）正确（2）（3）错误例3、在下列图形中既是轴对称图菜，又是中心对称图形的是（ ）①任意平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤正三角形；⑥等腰直角三角形 解：①②③例4、下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） ①平行四边形；②一条线段；③一个角；④圆 解：①＊例5、在△ABC 中，∠A≠90°，作既是轴对称又是中心对称的四边形ADEF ，使D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 上，这样的四边形可以作（ ）个D C FEBDCF B A3DCEB A21DCF B A解：如图：因为四边形ADEF 是中心对称图形， 所以它一定是平行四边形； 因为四边形ADEF 是轴对称图形， 所以它的对角线互相垂直。

三角形、梯形的中位线【知识要点】1． 三角形中位线：连结三角形两边中点的线段。

注意：三角形的中位线有3条。

2．梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段。

注意：（1）不是连结两底中点 （2）梯形的中位线是唯一的3．（1）三角形的中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。

（2）梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

推论：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。

（ ） （ ） 【典型例题】例1．求证：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

例2．如图，在△ABC 中，BD 、CE 为AC 、AB 边上的中线，M 、N 是BG 、CG 的中点。

求证：（1）ME ∥ND ；（2）ME=ND例3．已知：如图所示，正方形ABCD 的对角线交于O ，∠BAC 的平分线交BO 于E ，交BC 于F ，A BC D E A D E F B C ABEDCM NGMN求证：OE=12FC 。

例4．如图，已知在口ABCD 中，BD=2AD ，E 、F 、G 分别是AO 、BO 、CD 的中点。

求证：EF=EG 。

例5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=24cm ，BC=26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边向B 以3cm/s 的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s ，问t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形；等腰梯形？【练习与拓展】1．梯形的中位线长为8cm ，高为4cm ，则梯形的面积为 。

2．△ABC 的面积为16cm 2，则三条中位线组成的三角形面积为。

3．梯形的中位线长为6，上下底之差等于3，则此梯形上下底长分别为 。

4．顺次连结四边形各边中点所得的四边形常称为中四边形。

梯形、三角形中位线知识要点：1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。

推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。

2.三角形中位线：（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（2）三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

3.梯形中位线：（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。

（2）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

例题分析第一阶梯[例1]在直角梯形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,若△ABC为等边三角形,其边长为a.求:此梯形的中位线及高.提示：（1）梯形的中位线与梯形的哪些元素有什么样的关系？（2）在图形中，梯形的高是哪条线段？为什么？DC、AB的长通过哪些知识可以求出来？是多少？（3）若求出S△ADC∶S△ABC∶S梯形ABCD的值，你发现面积间的内在联系吗？请总结一下规律.参考答案：说明：若在直角梯形中，有一等边三角形那么梯形的高线对角线与边可以构成三个全等的三角形，则其面积应是相等的.[例2]如图M、E、F分别为△ABC的边BC、AC、AB的中点，AD⊥BC于D.求证：四边形DEFM为等腰梯形.提示：（1）在图形中有几条中位线？它们分别是什么图形的中位线？在数量与位置上分别有什么关系？为什么？（2）要想证明一个四边形是等腰梯形，首先要证什么？然后再证什么？在证明过程中，要注意与什么特殊四边形的判定.在哪有区别？（3）请总结一下此题的证明都用到了哪些知识？参考答案：说明：（1）证明梯形时，可通过一组对边平行，另一组对边不平行，或平行的一组对边不相等，来证，要注意与平行四边形的一组，对边平行且相等的条件相区别.（2）在应用三角形中位线定理时，对结论的选择要由具体情况而定.第二阶梯[例1]已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=12cm，E、F分别是AB、BD的中点，连结EF并延长交DC于G，EF=4cm，FG=10cm.求∠ABC的度数.提示：（1）∠ABC与图形中的哪个角相等，为什么？一般求角的度数，可考虑把这个角放在什么样的图形中？（2）根据条件，可添加什么样的辅助线把条件和结论有机的结合起来，构造特殊的三角形？（3）梯形的高，除了用常规方法求；还有别的方法吗？参考答案：解：在梯形ABCD中∵AD∥BC E、F分别是AB、BD的中点.∴EF∥AD 又E、F、G三点在同一直线上.∴G是DC的中点，EG∥BC ∴AD∥EG∥BC.∵AB=DC ∴∠ABC=∠C作DM⊥BC交BC于M.∵EF=4 FG=10 ∴AD=8 BC=20∴MC∵在Rt△DMC中，DC=12 MC=6 ∴∠C=60°说明：（1）等腰梯形具有对称性，所以MC的长度是上、下底差的一半（2）G是DC的中点，要证明，不能默认，EF∥AD利用了中位线的定义及中位线定理，FG ∥BC利用了平行线等分线段定理的推论.[例2]求证：连结梯形两条对角线的中点的线段平行于两底，并且等于两底差的一半.已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为对角成AC、BD的中点.求证：(1)MN∥AB∥DC (2)MN=(AB-CD)提示：（1）如何添加辅助线，使MN是某个三角形的中位线？（2）AB与CD的差，可以通过构造什么样的特殊图形表示在AB线段上？点M或点N是否在构造的图形边上？（3）此题还有别的方法吗？请试一试.参考答案：证明：（1）连结CN并延长交AB于E，在梯形ABCD中，AB∥CD∴∠1=∠2 ∠CND=∠ENB BN=ND∴△CDN≌△EBN（ASA）∴CN=EN BE=CD.∴N是CE的中点在△CEA中，M是AC的中点.∴MN∥AE 即MN∥AB ∴MN∥AB∥DC.（2）由（1）可知AB-AE=BE=CD.∴AB-CD=AE 又MN=AE∴.方法二：取AC的中点F，连结NF交AD于M′，梯形ABCD中，AB∥DC∵N为BC的中点，在△ABC中.NF∥AB NF=AB ∴NF∥AB∥DC（三角形的中位线平行于第三边且等于它的一半）∴M′是AD的中点（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，在其它的直线上截得的线段也相等）又M是AD的中点∴M与M′重合，即点M在NF上.∴NF=AB MF=DC.∵MN=NF-MF=AB-DC=(AB-DC)∴说明：说明一、（1） N是CE的中点，必须要进行证明.（2）请注意辅助线的作法，是连结CN并延长交AB于E，并不是过C（或N）作DA的平行线，若作平行线，要证过N点.（3）此题还可用同一法证明：即取DA的中点F，连结NF交AC于M′，证明M与M′重合，此法易出错，要特别注意.说明二、（1）菱形常用的判定方法：①从四边形考虑：）四条边相等的四边形）对角线互相垂直平分的四边形②从平行四边形考虑：）一组邻边相等的平行四边形；）对角线相垂直的平行四边形。

三角形、梯形的中位线【知识聚焦】1．三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2．三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

3．梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

4.梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

【知识应用】例1．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、、DA 的中点。

四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？例2．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、DO 的中点，四边形EFGH 是矩形吗？为什么？例3．已知：如图，AD 是△ABC 的中线，E 、G 分别是AB 、AC 的中点，GF ∥AD 交ED 的延长线于点F 。

⑴猜想：EF 与AC 有怎样的关系？ ⑵试证明你的猜想。

例4．等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 为中位线，EF=18，AC ⊥AB ，∠B=60°，求梯形ABCD 的周长及面积。

例5．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，E 是梯形外一点，且AE=BE ，F 是CD 的中点。

试说明：EF ∥BC 。

HG FE oDC BA【基础演练】1．顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（ ）.A ．等腰梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．菱形或对角线互相垂直的四边形2．已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（ ）. A ．3cm B ．26cm C ．24cm D ．65cm3．已知梯形的面积是12cm 2，底边上的高线长是4cm ，则该梯形中位线长是_____ cm. 4．如图，在菱形ABCD 中，∠A=110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于 点P ，则∠FPC=（ ） A ．35° B ．45° C ．50° D ．55° 5．(1)顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。

三角形、梯形的中位线<补充内容>①Ⅰ三角形的中位线一、定义连续三角形两边中点的线段．．叫做三角形的中位线。

强调：三角形的中位线和三角形的中线不同二、三角形的中位线具有的性质，如图：△ABC中AD＝DB、AE＝EC你能说明DE和BC有怎样的关系吗？结论：_____________________________________________________________。

三、应用训练1、已知：三角形各边长分别是6cm、8cm和10cm，则连续这个三角形各边中点所成三角形的周长______________cm。

2、已知△ABC的三边长为a、b、c，三条中位线组成一个新三角形，新三角形析三条中位线又组成一个三角形，以此类推，第四次组成的三角形边长分别是______________________。

3、已知△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点，求证：①∠FDE＝A②四边形AFDE的周长等于AB+BC 4、已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点。

求证：AF＝12FC。

5、在△ABC中，如果AB＝30cm，BC＝24cm，CA＝27cm，AE＝EF＝FB，EG∥FD∥BC，FM∥EN ∥AC，求阴影部分三个三角形周长的和。

6、已知，如图在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？利用第6题的方法说明：<1>顺次连结矩形四边中点的所得的四边形是菱形<2>顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形<3>顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形三角形、梯形的中位线<补充内容>②Ⅱ三角形的中位线一、定义：连结梯形两腰中点的线段．．叫做梯形的中位线二、梯形中位线具有的性质已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AM＝MB，DN＝NC，试说明：①MN∥BC②MN＝12（AD+BC）三、应用训练1、①梯形的上底为8cm，下底长为9cm，该梯形的中位线长______________cm。