九年极数学-第22章--二次根式复习-华东师大版
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第21章二次根式【知识梳理】1. 本章知识提练整理2. 学习本章的几个注意点（1）抓对比，明确概念本章概念多，容易混淆。
学习时要抓住它们各自的特点进行对比，搞清概念间的联系和区别，如画出网络图建立二次根式与同类二次根式的联系和区别；这是获得知识、训练能力的有效方法。
（2）抓类比，发展联想美国数学教育学家波利亚说：“类比就是一种相似，相似的对象在某个方面彼此一致，类比的对象则其相应部分在某些关系上相似。
”学习二次根式时可以同算术平方根的符号、性质类比，这样学习数学就能逐步提高思维能力。
（3）抓审题，提高素质由于前面分析过的难点，就使得学习时容易出现错误，特别在解题时，如不仔细审题，就容易用错概念，或挖掘不出隐含在题意或符号、算式中的关系和条件，所以在审题时要细心观察，善于联想，去伪存真，巧妙转化；再有，二次根式运算的题目往往比较繁杂，计算时要学会调控自己的情绪，沉着冷静，切忌浮躁，养成“审题、检查、反思”的学习习惯，培养良好的心理素质，提高自身综合素质。
（4）抓“化简”，落实双基本章学习要抓住二次根式的运算这条主线，而二次根式的化简又是运算的表现形式，因此，要通过“化简”把算术平方根和二次根式的概念、性质，以至多项式的运算、多项式的壹贰因式分解等等知识有机地结合起来，并通过“化简”做到“明白算理，运算熟练，结果正确。
”【典型例题】例1.如果2y ，则2x y +=_______.分析：a 必须是非负数，即a ≥0，可以是单项式，也可以是多项式.所以由已知条件，得23x -≥0且32x -≥0.解：由题意得23x -≥0且32x -≥0，∴32x =，y =2，∴2x y +=5.例2. 已知数a ，b－a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b解析：此题是二次根式|a －b|=b －a ，根据绝对值的意义，可得a －b ≤0，所以有a≤b ，故选D.例3.=成立时，a 的取值范围是___________. 分析：=a ≥0，b ＞0，不能与二次根式有意义的条件混淆.解：由a ≥0和2－a ＞0得0≤a ＜2.例4.若|1|a b -+=+2004)b a (_______。
解析：|1|a b -+ 互为相反数，1|0|1|0a b a b ∴|-+=-+≥≥而⎩⎨⎧=++=+-∴04b 2a ,01b a ⎩⎨⎧-=-=∴1b 2a 20042004200420043)3()12()b a (=-=--=+∴点评：绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数。
即：0|a |≥，0a ，0a 2≥≥。
非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零。
即：0b ,0a 0b |a |==⇒=+；0c ,0a 0c |a |2==⇒=+；0c ,0b 0c b 2==⇒=+；叁0c ,0b ,0a 0c b |a |2===⇒=++.例5.将根号外的a 移到根号内，得 ( )A.B.C.D.分析：字母从根号外移到根号内，应特别注意其正负情况，是正数则可以平方后直接移到根号内，与根号内的被开方数相乘，是负数则应整理后再做移动.此题隐含了条件a ＜0，所以绝不可直接平方后移动.解：由已知得a ＜0，所以－(－a故选B.例6. 在实数范围内分解因式。
（1）3x 42-；（2）4y 94-解：（1）原式)3x 2)(3x 2(-+=（2）原式)2y 3)(2y 3)(2y 3()2y 3)(2y 3(222-++=-+=例7. 比较下列数值的大小。
（2001） （1） 3.4554与；（2）225103++与分析：为了比较两个数的大小，本题要用乘法运算的逆向思维法解决。
解：（1）由8580<，得4.3554< （2）30213103213)103(2+=⋅+=+ 40213225213)225(2+=⋅+=+由4021330213+<+，得225103+<+ 考点：无理数大小比较的常用方法。
例8.6的整数部分是_________，小数部分是________。
分析：因为6是无理数，即无限不循环小数，所以把6分成整数部分a 和小数部分b ，其中a 是小于6且最靠近6的整数，而1b 0<≤，这样就可以从1a 60<-≤中先求出a ，再求出b 。
肆解：964<< ，即22362<<，362<<∴，即1260<-<又6 是无限不循环小数。
6∴的整数部分是2，小数部分是26-。
例9. 计算：（1）10)21()2006(|3|12-+---+； （2）3|3|)15(201--+-+-； （3）2818)212(2--+⨯；（4）02)36(|221|8)3(----+--； （5）计算：0)13(8121-+-+；（6）计算：21122-++（7）计算：)3223)(3223(1313+---+；（8）计算：211)223(23822+--+⨯-（9）计算：11322572767311145+-----++- （10）计算：32aa 9a 3a--+ 分析： 这类二次根式的混合运算计算题一直是中考的重点，要求在计算时，注意题目的特点，确定运算顺序，根据二次根式的性质化简二次根式，特别是正确地进行分母有理化，使运算合理、正确、简便。
解：（1）原式12=+伍1=（2）原式2333121=-++=（3）原式2222312--+=3312==-=； （4）原式9111222291=-+-+=； （5）0)13(8121-+-+212212-=+--=（6）21122-++1122212122=--+=--+=（7）)3223)(3223(1313+---+])32()23[(2)13(222--+=)1218(32--+= 43-=；（8）211)223(23822+--+⨯-2112928)12(1229224--+-=---+⨯-=11-=；（9）11322572767311145+-----++-陆)311(2527)27(2273114--+-+--++= 737-=（10）由所给算式知0a >a 3a 2a 3a 3aaa )32(a 3aa3a 32aa 9a 3a 2⋅--+=+-+=--+∴a 3a a 3-+= a =例10. 观察下列各式及其验证过程：=验证：===；=====（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程.分析：这是一道规律探索题，探索某些特殊的二次根式，可以将根号外面的数直接移到根号内与被开方数相加.通过观察不难发现，这类特殊的二次根式其根号外面的数与根号内的数的分子相同，根号内的数的分母是根号外的数的平方与1的差.其验证过程也给我们提供了解题思路.解：（1）= 验证略（2）=，且是整数). 验证：===柒例11. 已知15a21231321211-=+++++++，则a =_________ 分析：把已知式的前三项分母有理化后，解出a 。
解：已知式化为15a21322312-=++-+-+- 25a21-=+∴251a 2-=+，25a 2+=+， 5a =∴点评：因a21+之前的各项分母有理化后，“环环相扣，前后相消”，仅留2，就好求a 了。
进一步看到，若把2看成4，则514a =+=。
发展：已知1101a10110991231321211-=+++⋯++++++，则a =______。
（答案：a 101=）.例12.2.分析：很多同学由于对分母有理化比较熟悉，把分子和分母都乘以(a ，从而得到结果为a 对此题而言却是错误的!因为这里不能保证a 0，所以正确的解法应该是用约分的方法对其化简.解：2=a【模拟试题】一、选择题： 1.m 的取值范围是（ ）。
A. m ≥2B. m>2C. m ≤2D. m<22.，则x 的取值范围是（ ）。
A. x=0B. －1≤x≤2C. x≥2D. x≤－13.的大小关系是（）。
A.5B.<5C.5D.54. 下列式子中，正确的是（）。
A.3））=2 B. 5C. 21 D. （2（2=－25.=a的取值范围是（）。
A. a≠3B. a≥12，且a≠3 C. a>3 D. a≥126. 下列各组二次根式（a>0）中，属于同类二次根式的是（）。
A. BC. D7. 当0<x<2时，化简2xxx2442-+的结果是（）。
A. B C D8.时，分别作了如下变形：===()abbabaabbaabbaba=--=-⋅-⋅。
其中，（）。
A. 甲、乙都正确B. 甲、乙都不正确C. 只有甲正确D. 只有乙正确二、填空题：9. 已知a、b在数轴上的位置如图所示，b－a│的化简结果是_______。
ab10. 若x≠0，y≠0=-__________。
11. 已知m是小于10m可取的值有_______。
12. 如果x－1，那么（x+1）（y－1）的值为________。
捌13. 已知，x=________。
14. 若a<－2的化简结果是________。
三、计算题：15. 13)0,0(6141222>>÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅yxyxxyyx。
16. 。
17. （（a>0，b>0）。
18. （22（+2）（－2。
19. 已知x=12，y=12，求y xx y+的值。
20. 已知a、b、c||0,abaab===c。
||a c-21. 观察下列各式及其验证过程：①=验证：====②=验证：====（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n表示的等式，其中n为自然数，且n≥2，•并进行证明。
玖【试题答案】1. D2. B3. C4. D5. C6. D7. B8. A9. –b 10. x<0，y<0 11. 7•和1 •12. －13.9214. －1215.16.17. （a－b18. 0xy=12，y xx y+=2()2x y xyxy+-=1220. a<0，b<•0，c≥0，原式=b21. （1）验证：==；（2）=。
证明：====。
壹拾。
