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《用提公因式法进行因式分解》课件 新人教版.ppt

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14.3因式分解(1)——提公因式法+课件+2023-2024学年人教版数学八年级上册

14.3因式分解(1)——提公因式法+课件+2023-2024学年人教版数学八年级上册

知识点 2 提公因式法分解因式 (1)公因式：多项式中每项都有的__因__式__； (2)一般地，如果多项式的各项有_公__因__式___，可以把这个公因式提取出 来，将多项式写成公因式与另一个因式的__乘__积__的形式，这种分解因 式的方法叫做提公因式法.
多项式2a2b3＋4ab2c的公因式是_2_a_b_2__. 多项式m(a－x)－mn(a－x)的公因式是_m__(_a_－__x_) _.
计算： 3×24＋6×24＋4×22. 解：原式＝3×24＋6×24＋24
＝(3＋6＋1)×24 ＝160.
计算： 42×20.23＋72×20.23－20.23×14. 解：原式＝(42＋72－14)×20.23
＝100×20.23 ＝2 023.
如图，长方形的长、宽分别为a，b，周长为10，面积为6， 则a2b＋ab2的值为( B ) A．60 B．30 C．15 D．16
5．确定下列多项式的公因式，并分解因式． (1)ax＋ay； 解：ax，ay的公因式为a， 原式＝a(x＋y)． (2)3mx－6nx2； 解：3mx，－6nx2的公因式为3x， 原式＝3x(m－2nx)．
(3)4a2b＋10ab－2ab2. 解：4a2b，10ab，－2ab2的公因式为2ab， 原式＝2ab(2a＋5－b)．
八年级上册 人教版数学
第十四章 整式的乘法与因式分解 因式分解(1)——提公因式法
复习导入
计算： (1)2(x＋y)＝__2_x_＋__2_y_； (2)(x＋1)(x－1)＝__x_2_－__1_； (3)(a＋b)2＝__a_2_＋__2_a_b_＋__b_2_.
新知探究
知识点 1 因式分解的概念 把一个多项式化成了几个整式的_积___的形式，像这样的式子变形叫做 这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

提公因式法ppt课件

提公因式法ppt课件
知1－练
例 1 下列变形中从左到右属于因式分解的有(
①
8xy3＝2xy·4y2；
②
x2＋1＝x

＋

)
；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
感悟新知
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
＝－5a(3＋2b－bc)；
感悟新知
知3－练
(3)x(x－y)－y(y－x)；
解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；
(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).
原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋
2b)2.
课堂小结
提公因式法
概念
感悟新知
知3－练
解法提醒：当各项含有相同(或互为相反数)的因式时，
应把它作为一个整体看成公因式中的因式，相同的直接提，
互为相反数的变成相同的再提.
感悟新知
知3－练
5－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A. x2－y
B. x2－2x
C. x2＋y2
D. x2－xy＋y2
感悟新知
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
－＝，
＝，
所以
解得
－＝－，
＝. 展开后对应项的系数相等
故另一个因式为x＋4，k的值为12.
感悟新知
知1－练
3－1. [中考·滨州] 把多项式x2＋ax＋b分解因式， 得(x＋
1)(x－3)，则a，b的值分别是( B )

人教版八年级上册数学《公式法》整式的乘法与因式分解PPT课件(第2课时)

人教版八年级上册数学《公式法》整式的乘法与因式分解PPT课件(第2课时)

因此x=-5是原分式方程的解.
随堂练习
1.下列方程是分式方程的是（ B ）
A.
一元一次方程
B.
C. x2-1=0
D. 2x+1=3x 一元二次方程
一元一次方程
2.（2020·海南中考）分式方程 的解是（
A. x=-1
B. x=1 C. x=5
x-2=3
D. x=2
x=5
） C
解分式方程时，不要忘记检验哦.
用平方差公式分解因式 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整 式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位 置，就得到了 a2-b2=(a+b)(a-b)
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这 两个数的差的积.
用完全平方公式分解因式 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到 a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数 的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
分析：将b2看成一个整体a，则原式变形为(b2)2-b2-12，
可以看作a2-b-12.
1 -4
b4-b2-12 =(b2-4)(b2+3) =(b+2)(b-2)(b2+3).
13 1×3+1×(-4)=-1
2.（2020·乐山）已知y≠0，且x2-3xy-4y2=0，则 的值是
__4_或__-_1__.
分析：因为x2-3xy-4y2=0， 即(x-4y)(x+y)=0， 可得x=4y或x=-y， 所以 =4或 =−1.

14.3因式分解 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

14.3因式分解 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
(1) (x+2)(x-2)=x2-4 (2) x2-4=(x+2)(x-2) (3) x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
(4) 2ax2+6ax+4a (4) 2ax2+6ax+4a=2a(x2+3x+2) =2a(x+1)(x+2)
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
请直接口答计算结果：
1.(x+2)(x+1)= x2+3x+2 2.(x+2)(x-1)= x2+x-2
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
对于x2+px+q （1）当q＞0时，a、b﹍同号﹍，且a、b的符号与p的符号﹍相﹍同。 （2）当q＜0时，a、b﹍异号﹍，且﹍a、﹍b中﹍绝﹍对﹍值﹍较﹍大的﹍因﹍数与p的符号相同。
例２：试将x2 6x 16 分解因式
解： x2 6x 16
x2 6x 16
∴
x x
8 2
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
独立练习：把下列各式分解因式
x2 2x 15 x2 13x 12

人教版初中数学《因式分解》_PPT

人教版初中数学《因式分解》_PPT

【获奖课件ppt】人教版初中数学《因 式分解 》_ppt 1-课件 分析下 载
∴
x1
－1 2
，x2
1 2
【获奖课件ppt】人教版初中数学《因 式分解 》_ppt 1-课件 分析下 载
【获奖课件ppt】人教版初中数学《因 式分解 》_ppt 1-课件 分析下 载
典题精讲
例2 用适当的方法解下列方程：
（1）3x²+x-1=0
解： a=3，b=1，c=-1，
∴Δ=b²-4ac=1－4×3×（-1）
【获奖课件ppt】人教版初中数学《因 式分解 》_ppt 1-课件 分析下 载
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典题精讲
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
解：原方程整理为4x²-1=0
因式分解，得（2x+1）（2x-1）=0
∴2x+1=0或2x-1=0
典题精讲
（3）（3x-2）²=4（3-x）²
解：移项，得（3x-2）²-[2（3-x）]²=0
因式分解，得
[（3x-2）+2（3-x）][（3x-2）-2（3-x）]=0
即（x+4）（5x-8）=0
∴x+4=0或5x-8=0
∴x1=-4，x2
8 5
【获奖课件ppt】人教版初中数学《因 式分解 》_ppt 1-课件 分析下 载
【获奖课件ppt】人教版初中数学《因 式分解 》_ppt 1-课件 分析下 载
典题精讲
（4）（x-1）（x+2）=-2
解：方程整理为x²+x=0 因式分解，得x（x+1）=0 ∴x1=0，x2=-1

用提取公因式分解因式PPT教学课件

用提取公因式分解因式PPT教学课件
这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
把下列各式分解因式： (1)ma+mb (2)5y3-20y2 (3)a2x2y-axy2 (4)8m2n+2mn
把下列各式分解因式：
(1)-4kx-8ky =-4k(x+2y) (2)-4x+2x2 =-2x(2-x) (3)-8m2 n-2mn =-2mn(4m+1)
2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么 可以把该公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方 法叫做提取公因式法。
3、四种类型多项式的分解因式。
1、方法规律： 一个多项式各项的公因式必须由三部分组成： (1)、各项整数系数的最大公约数； (2)、各项相同的字母； (3)、相同因式的指数取最低。
代表作有：两部著名的学术论著 《谈艺录》和《管锥编》，散文集 《写在人生边上》，短篇小说 《人·鬼·兽》和长篇小说《围城》。
读后感
导入
从两类人、两种关系入 手
借《伊索寓言》
读后感 （4—12段）里九个故事联类
引申，表达作者 独到之见。
总结 （13段） 全文总结
蝙蝠的故事
原意:讽刺没有独立人格的
人，他们附炎趋势，仰人 鼻息，毫无原则可言。
叫做这个多项式的公因式。
3、填空 3x+6=3( x+2 ) 7x2-21=7x( x-3 ) 24x3+12x2 -28x=4x( 6x2+3x-7 )
-8a3b2+12ab3c-ab=-ab( 8a2b-12b2c+1)
提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该
公因式提取出来进行因式分解。
“真的,我们就是下去以后,眼睛 还是向上看的。”这里“眼睛 向上”是什么意思？

因式分解提公因式法ppt

因式分解提公因式法ppt
发展
提公因式法在数学中不断发展完善，现在已经成为中学数学 中的一个重要内容，也是数学竞赛中的常考点之一
02
提公因式法的原理
提公因式法的数学原理
公式解释
提公因式法是因式分解的一种常用方法，其基本思想是将一个多项式中的公 共因子提取出来，形成新的因子，从而将原多项式分解为多个因式的乘积。
数学原理
通过将多项式中所有项的公因式提取出来，并将其放在一个新的因子中，再 用这个公因式将原多项式进行因式分解。
3
提公因式法可以应用于各种不同的多项式中， 例如：二次三项式、高次多项式、分式等。
提公因式法的反思
01
提公因式法的应用有一定的局限性，因为有时候多项式没有公 因式可以提取。
02
在提公因式的过程中，需要注意不要漏掉任何一个公因式，同
时要避免将不是公因式的项也提取出来。
提取出来的公因式有时候可能并不是最简单的形式，需要进一
在分数的加减法中，提公因式法可以用来简化分数，从而更 容易进行加减运算。
数据的分析
在进行数据的分析时，提公因式法可以用来对数据进行分类 和整理，从而更好地理解数据的分布和特征。
对未来数学学习的建议
深入理解提公因式法的本质
提公因式法是一种重要的数学方法，需要深入理解其本质和原理，以便更好 地掌握和使用。
对余下的多项式继续进行因式分 解
提公因式法步骤的应用示例
例子1
将$2x^3+3x^2y-5x-3y$分解因式
例子2
将$3x^3-6x^2y+4xy^2-2y^3$分解因式
提公因式法步骤的注意事项
注意项中公因式的系数，有时候不是所有项系数的最大公约数 注意各项符号，有时候会出现负号，需要特别注意

《提公因式法》分解因式PPT课件3

《提公因式法》分解因式PPT课件3
(5) a(a+1)(a-1)=
____
根据左面的算式填空:
(1) 3x2-3x=_______ (2) ma+mb+mc=______ (3) m2-16=_________ (4) x2-6x+9=________ (5) a3-a=______
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是 什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与 它有什么不同?
从 数字系数 和 字母及其指分数别进行考虑。
1.定系数:公因式的系数应取各项系数的最大公约数。 2.定字母:公因式中的字母取各项相同的字母， 3.定指数: 相同字母的指数取其次数最低的。
例: 找 3x2y2– 6xy3 的公因式。
因为
系数：最大公约数 3
字母：相同字母 指数：最低次幂
xy2
所以， 3x2y2– 6xy3的公因式是 3xy2
看你能否过关？
把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2 (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
3a2 3a a 9ab 3a 3b
用提公因式法分解因式的步骤： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ；
第三步， 将多项式化成两个 因式 乘积的形式。
例2 把9x2－6xy+3xz分解因式.
解：9x2 – 6 x y + 3x z = 3x·3x - 3x·2y + 3x·z = 3x (3x-2y+z)
方法叫做提公因式法。
例1: 把下列各式分解因式
(1) 8a3b2 + 12ab3c
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)

人教版八年级数学上册 14.3.1 因式分解(提取公因式) 课件(共15张PPT)

人教版八年级数学上册 14.3.1 因式分解(提取公因式) 课件(共15张PPT)

例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解:2a(b+c) – 3(b+c) =(b+c)(2a-3).
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy (3) (5a－1)2=25a2－10a+ ；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2421:56:4021:56:40August 24, 2021 • 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午9时56分40秒21:56:4021.8.24 • 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月下午9时56分21.8.2421:56August 24, 2021 • 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年8月24日星期二9时56分40秒21:56:4024 August 2021 • 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。下午9时56分40秒下午9时56分21:56:4021.8.24
(3)5y3+20y2 ； 5y2
(4)a2b－2ab2+ab . ab
注意：各项系数都是整数时，因式的 系数应取各项系数的最大公约数；字母取 各项的相同的字母，而且各字母的指数取 次数最低的.
练习:

《提公因式法》整式的乘法与因式分解PPT课件

《提公因式法》整式的乘法与因式分解PPT课件

把一个多项式化成几个整式积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解， 也叫把这个多项式分解因式．
思考
因式分解与整式乘法有何关系呢？ 因式分解
整式乘法
因式分解与整式乘法是方向相反的变形 因式分解的结果是整式的乘积 整式乘法的结果是单项式的和
因式分解的概念
1．什么是因式分解？ 2．怎么判断一个式子是不是因式分解？
解：原式=a2 ·a3 ·(－8b3)－4a2b2 ·(－27a3)b =－8a5b3＋108a5b3 = 100a5b3
3.计算：3x3y·(—2y)2— (—4xy)2·(—xy) —xy3·(—4x)2
解：原式=3x3y ·4y2-16x2y2·(-xy) -xy3·16x2 =12x3y3+16x3y3-16x3y3 =12x3y3
以上解法错误的原因是什么？请你改正过来．
解：错因：单项式乘单项式时，有积的乘方时要先算乘方，再算乘法，不能 忽视积的乘方运算的优先性． 正解：－12x5y2·(－4x2y)2＝－12x5y2·16x4y2＝[－12×16]·(x5·x4)·(y2·y2)＝－8x9y4.
练习 因式分解：
（1）-4a b +6a b-2ab （2）-9a b -12ab +15ab （3）-4x y+2x y +xy （4） -x y -2x y-xy
练习 1．把下列各式分解因式：
练习 2.先分解因式，再求值
答案：970
练习 答案：810
判断能否整除 2004 +2004能被2005整除吗?
提公因式法 说出下列多项式各项的公因式：
(1)ma + mb ；
m
(2)4kx - 8ky ；

人教版数学八年级上册14.3.1因式分解-提取公因式 课件

人教版数学八年级上册14.3.1因式分解-提取公因式 课件

针对训练：
（1）-x2y+yx-xy2 (2)-4x2+8ax+2x （3）-3ab+6abx-9aby
例2 、因式分解 2(a-b)2 -a+b =2(a-b)2-(a-b) =(a-b)[2(a-b)-1] =(a-b)(2a-2b-1)
点拨：提公因式时，将因式改变符号后，才能看出公因式。 针对训练:
提公因式法： 其中一个因式是各项的公因式m另一个因式 (a+b+c)是m(a+b+c)除以m所得的商．像这 种分解因式的方法叫做提公因式。 归纳：如果多项式各项都有公因式，可以把 这个公因式提出来，将多项式写成积的形式， 这就叫做提公因式分解因式。
指出下列各多项式中各项的公因式
⑴5xy-10x ⑵9y2+12y ⑶7x3y2-42x2y3 ⑷7(a-3)-b(a-3) 注意：1.公因式系数为各项系数的最 大公约数。 2.取各项相同的字母。 3.找出相同字母的最低次幂。
14.3 因式分解 14.3.1 提公因式
• 1.了解公因式的概念和因式分解的意义，培 养逆向思维的能力；
• 2.通过独立思考、小组交流，探究整式乘法 与因式分解的区别和联系；
• 3.掌握如何用提公因式来分解因式。
运用已学过的知识填空:
⑴ x(x-2)= X2-2x ;
⑵ (x+2)(x-2)= x2-4 ;
(1) a(x-y)-x+y (2) 7(x-3)-x(3-x) (3) (a-2)2-2a(2-a) (4)(x+y-z)(x-y+z)-(y+z-x)(z-x-y)
归纳总结: 分解因式的一般步骤：
1. 找出，找出应提取的公因式。 2. 除以，用多项式去除以公因式。 3. 整理，把多项式写成因式积的
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（5分钟）
展示内容 地点 展示小组 展示要求：
公因式的概念 前黑板
（1）书写认真规
提公因式法因 前黑板 式分解的概念
例1
后黑板Leabharlann 归纳总结 后黑板例2
后黑板
范，灵活使用双色 笔。
（2）脱稿展示， 可以组内合作完成。
（3）注重规律方 法的总结。
归纳总结 后黑板
点评质疑，分享小组的硕果！
（20分钟）
点评内容 公因式的概念
将多项式-5a2+3ab提出公因式-a后，另一个因 式为__________________
答案： 5a-3b
要求： 1.认真改正导学案，整理基础知识 。 2. 将错题整理到典型题集。 3.思考数形结合与类比的数学思想的应用。
一路下来，我们学习了很 多知识，也有了很多的新想法。 你能谈谈自己的收获吗？说一 说，让大家一起来分享。
也不能带括号。 （4）公因式全提走，留下1把家守 （5）因式分解与整式的乘法是互逆的，所以可以用整
式的乘法运算检验因式分解的正确性。
谁最聪明，谁最幸运
下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ）
①(x+1)(x-2)=x2-x-2；
②ax-ay-a=a(x-y)-a
③6x2y3=2x2·3y3；
④9a3-6a2+3a=3a(3a2-2a+1)
【归纳总结】 公因式的确定方法： 确公定因多式项的式系的数公：因应式取：各项系数的最大公约数； （公1）因公式因的式字是母单：项要式取：各按项照中系的数相、同相字同母字；母、字母的 公因指式数中三各个字层母次的，指逐数个：考相察同多字项母式，的取各最项低；次数。
（2）公因式中含有多项式：可以把这个多项式因式看 作一个整体，完全按照处理单项式因式的原则进
A. (a 2)(m2 m)
B. (a 2)(m2 m)
C.m(a-2)(m-1)
D.m(a-2)(m+1)
. . ）
课堂评价
学科班长：1.回扣目标 总结收获 2.评出优秀小组和个人
谢谢老师们的聆听！ 谢谢同学们的支持！
再见
因式分解与整式的乘法是互逆的过程. 因式分解是把多项式化成几个整式乘积的形式，而 整式的乘法是把整式的乘积化成几个单项式的和的 形式.
【总结归纳】 提公因式法进行因式分解需要注意的问题： （1）多项式第一项为负时，提出负号，各项都变号。 （2）确定一个多项式的公因式时，不能漏项！ （3）分解的最后结果中，每个因式中不能有同类项，
❖ 1.了解公因式的概念和因式分解的意义，会 用提公因式法进行因式分解，培养逆向思维 的能力；
❖ 2.通过独立思考、小组交流，探究整式乘法 与因式分解的区别和联系；
❖ 3.激情投入，全力以赴，养成科学严谨的数 学思维品质.
预习情况反馈
❖ 1.确定公因式时字母的次数取高还是取低； ❖ 2.提公因式提不彻底，运算过程中出现漏项 ❖ 等错误； ❖ 3.因式分解与整式的乘法混淆
提公因式法因 式分解的概念
例1 归纳总结
例2
地点
前黑板 前黑板
后黑板 后黑板 后黑板
点评小组
点评要求： 1.面向同学， 语言简洁， 思路清晰； 2.只点评思路 方法，注意 总结规律方 法。
归纳总结 后黑板
找出下列各多项跟式的踪公练因习式 1
①x2+4x :____________________． ②7x2–21x :____________________． ③2x2y+4xy2–2xy :_________________． ④4(a+b)-2a(a+b) :_________________． ⑤ a2(x-5)+4(5-x) :_________________．
合作探究，大声说出你的智慧！ （8分钟）
内容：1.预习过程中的疑问和导学案中的错误； 2. 如何确定一个多项式的公因式？ 3.用提公因式法进行因式分解的步骤。
方式：1.先一对一讨论，再组内互相交流，疑问用 红笔标出。 2.小组长控制好讨论节奏，注意总结题目的 解题规律、方法和易错点。
拿起粉笔，书写数学的精彩！
行，并直接提公因式；
（3）公因式隐含时：要把多项式中的某些项改变符号， 或进行适当的变形，直到可确定公因式为止。
【总结归纳】
提公因式法分解因式的依据是分配律； 提公因式法分解因式的关键是找出各项的公因式 提公因式法分解因式的步骤： （1）确定公因式； （2）确定提公因式后的另一个因式
【总结归纳】
知识： （1）了解因式分解的意义和公因式的概念 （2）会用提公因式法进行因式分解 能力： （1）运算能力 （2）逆向思维能力 数学思想方法：整体思想、换元法
当堂检测
1．因式分解：（1）3xy2–6xy–3x =
（2） 4a3b2 10a2b3 =
2．把多项式 m2 (a 2) m(2 a) 分解因式等于（
课前准备：课本、导学案、练习本 ，双色笔
还有你的激情与目标！相信自己！
课前赠言： 1.我的课堂，你做主。 2.你是独一无二的，相信自己！ 3.提出问题比解决问题更重要。
新课引入
比一比，看谁算得快： 已知x=5，a-b=3，求ax2-bx2的值。 说一下你是如何快速算出的。 ax2-bx2 =x2（ a-b ）=75 这是对ax2-bx2做了什么变形呢？
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：B
分解因式：3a2b(2x-y)-6ab2(y-2x)
答案： 3ab(2x-y)(a+2b)
(2)2010 (2)2011 的结果为（
）
A 2 2010
B C D 22011
22010
22011
答案：C
恭喜你，直接加2分
恭喜你，获得两根棒棒糖