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1 0 期潘学哉等基于分形法的岩石断裂面粗糙度研究：，身：：丨图投影覆盖法示意图图钟状多重分形谱图右钩状多重分形谱图左钩状多重分形谱分形谱的宽度和最大定义、最小概率子集分形维数的差别：多重分形谱的宽度为—它在图中的宽，、窄程度定量的表征了分形曲面的各小区域中最大，、最小概率间的差别，越宽表明差别越大相反定义越窄表明差别越小，在研究岩石断面中它反映了岩石断面的各小区域中微凸体的起伏程度之间的差别最大、最小概率子集分形维数的差别为：由，当时如图的数目，，多重分形谱的图形呈现右钩状说明概率最大子集的，；数图目小于概率最小子集，相应的岩石断面的微凸体显得比较尖锐，当〉时如，多重分形谱的图形呈现左钩状说明概率最大子集的数目大于概率最小子集的数目相1 8 6 数学的实践与认识一卷应的岩石断面的微凸体状况与第几乎不可能出现；种情况相反但从试验上看该种情况在岩石断裂试验中，，，当△时如图多重分形谱的图形呈现钟状相应的岩石断面中微凸体显得较为平坦综上所述多重分形理论以概率分布的方式通过对概率用，次方进行加权求和把岩石断面内部微凸体分布的不均勻因素考虑在内因此这种刻画岩石断面粗糙度的方法显得较为精确另外多重分形谱的宽度可以定量的说明分形曲面的起伏程度即粗糖度而最，，大、最小概率子集维数的差别可以刻画岩石断面上高度最大、最小微凸体的数量之间的比例关系结论与展望本文综述了近些年来基于分形法所研究的岩石断面的理论和试验成果法、列举了盒维数小岛法分形插值法和多重分形法论述了各种方法的优缺点、，对岩石断面形貌学研究的最终，目的是通过几何分析的方法来获取岩石断裂损伤过程记，录的信息发现岩石的生长结构和缺陷进而反推岩石断裂的力学机理但是岩石的宏观结构和力学性质都表现出明显的非线性性特征岩石断面又具有相当复杂的不规则性和随机性，，因而国内外的研究工作进展得相对缓慢理论研究还不能广泛的应用于预测和指导工程实践，因此下，一步的研究工作主要在三方面：第一继续发展并完善已有方法的优点最大限度的，，克服其缺点试图挖掘岩石断裂的力学行为与形貌学之间的关系第二寻找新的方法来刻画岩石断面的形貌并试图追溯岩石断裂的力学机制第三将已有的试验成果尽可能的转化，为能够指导岩土工程实践的理论依据参考文献高讳著（岩石力学北京北京大学出版社：著社’ ，曾文曲（译分形几何的数学基础及其应用第二版（北京人民邮电出版：张亚衡周宏伟谢和平粗縫表面分形维数估算的改进立方体覆盖法，，岩石力学与工程学报，：1 0 期潘学哉等基于分形法的岩石断裂面粗糖度研究，，吴自勤王兵薄膜生长，北京科学出版社：，陈痨陈凌分形几何学，北京地震出版社：，：，冯志刚周宏伟图像的分形维数计算方法及其应用江苏理工大学学报（自然科学版，影印版司，北京世界图书出版公司北京公：齐东旭分形及其计算机生成张济忠分形北京科学出版社：，谢和平薛秀谦分形应用中的数学基础与方法北京清华大学出版社：北京科学出版社：，，孙洪泉矩形域上分形插值研究孙洪泉分形几何与分形插值，数学物理学报：，北京科学出版社应用数学与力学中国矿业大学学报，，谢和平冯志刚陈志达星积分形曲面及其维数孙洪泉谢和平分形插值曲面及其维数定理，的，，北京科学出版社辽宁工程技术大学学报孙洪泉谢和平于广明分形插值曲面的生成方法朱华姬翠翠分形理论及其应用，：：，孙洪泉分形插值曲面理论与岩石断裂表面的分形插值研究，中国矿业大学博士学位论文，，，’ 孙霞吴自勤黄胺分形原理及其应用，，，合肥中国科学技术大学出版社：，孙霞吴自勤规则表面形貌的分形和多重分形描述孙洪泉地表沉陷的分形规律研究路基工程，物理学报，，1 8 8 数学的实践与认识卷畚。
浅谈岩土工程中分形理论之应用摘要:本文详细介绍了分形理论在岩土工程中的应用并提出在岩土工程中分形方法。
关键词:岩土工程;分形;应用Pick to: this paper introduces the fractal theory in the application of geotechnical engineering and put forward in geotechnical engineering of fractal method.Keywords: geotechnical engineering; Fractal; application1分形的研究方法1.1分形的实验测定对于一些结构(物体)或实验结果所表现的非规则性和粗糙性,人们直观地认为它们具有统计自相似性,进而由覆盖法或由图像处理和计算机模拟等技术测定出结构的分维,再去寻找分维与物理本征量之间的关系,以揭示某些新的规律。
分形的特点是由分维来描述,从不同的观点可以给出分形集合不同的维数。
在欧氏几何中,认为点是0维的、线是1维的、平面图形是2维的、空间图形是3维的。
对于海岸线或Koch曲线(其分形维数为1. 262),用维数为1的直尺去量,当标尺趋于0时,量值为无穷大,只有用“1. 262维的尺子”来量度,才会有确定的“长度”,这种长度不是欧氏意义下的普通长度,而是从长度推广来的一种测度。
分形维的测定方法有以下几种。
(1)相似维数。
假定某客体由N个局部组成,每个局部以相似比β与整体相似,则此客体的相似维数Ds定义为:(2)Hausdorff维数。
如果U为n维欧氏空间Rr中的任何非空子集,则Hausdorff 维数DH定义为:式中N(δ)表示直径为δ的δ覆盖{Ui}的个数。
(3)信息维数。
在Hausdorff维数DH的定义中,只考虑了所需δ———覆盖个数N(δ),而不考虑每个覆盖Ui中所含分形集元素的多少。
设Pi为分形集的元素属于覆盖Ui中的概率,则信息维数为:(4)关联维数。
岩石断裂表面的分形模拟
孙洪泉;谢和平
【期刊名称】《岩土力学》
【年(卷),期】2008(29)2
【摘要】根据岩石断裂表面粗糙度所具有的统计自仿射分形的特征,提出了改进的自仿射分形插值的概念。
运用改进的自仿射分形插值方法,根据实测岩石断裂表面
粗糙度数据,对岩石断裂表面粗糙形态进行了分形模拟,给出了二元分形插值数学模型。
将以不同数量的观测数据模拟出的插值曲面与实际测量的岩石断裂表面相比较,得出了不同数量信息点的模拟精度,它们之间的关系曲线显示为幂函数关系的规律。
这就意味着不仅可以得到模拟结果,还可以得到模拟结果的估计精度。
运用少量已
知数据值,模拟出未知曲面,给出了由局部模拟整体的方法这对于根据少量数据研究、模拟和直观显示复杂物体的几何形态,如地形地貌、断层表面和材料裂隙表面,具有
重要的应用意义。
【总页数】6页(P347-352)
【关键词】分形插值;岩石断裂表面;粗糙度;分形模拟
【作者】孙洪泉;谢和平
【作者单位】苏州科技学院,苏州215011;四川大学,成都610065
【正文语种】中文
【中图分类】TU412
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3.断裂韧性与断裂表面分形维数的相关性研究 [J], 苏燕
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曼德勃罗分形
曼德勃罗分形：岩石分形理论将分形几何、物理学和固体力学相结合，从欧氏空间拓展到分形空间考察岩石力学行为的本质特征，通过理论分析、科学实验和计算机模拟，对各种尺度下岩石变形破坏过程中的不规则性、非线性和随机性进行定量描述，建立更为准确、真实的力学概念和力学理论，并用于指导水利工程实践。
分形几何，为法国数学家曼德勃罗创建的研究复杂性科学的新的数学方法，用于描述极其复杂、极不规则的几何形体、结构或功能。
自相似性是分形集的本质特征。
在分形几何中，维数可以是分数，分形维数是描述分形集不规则程度的一种特征量。
常用的分形维数有豪斯道夫维数、盒维数、信息维数等。
分形几何主要包括分形维数的估计与算法、分形集的生成与局部结构、分形插值方法、随机分形和多重分形等内容。
曼德勃罗分形，岩石中裂纹扩展速度取决于岩石晶控尺寸，裂纹扩展步长和裂纹扩展路径的分维或粗糙度，裂纹扩展速度随裂纹扩展路径分维的增加而增大，裂纹局部扩展速度远大于裂纹表观扩展速度，实验测定的裂纹扩展速度明显低于瑞利(Rayleigh) 被速的现象是裂纹分形扩展效应所致。
裂纹分岔是岩石材料断裂的主要形式，各种尺度下岩石裂纹分岔具有音遍自相似性，分维定量表征了裂纹分岔的不规则性，分岔将使材料断裂韧件增大。
分岔角越大，能量耗散越多，因此岩石断裂韧性随裂纹分岔角的增大而提高。
1。
浅谈岩石损伤力学岩石是一种典型的脆性材料，表现出与金属、合金和聚合物不同的特性，根本原因就是它是一种内部含有许多微裂隙的多孔介质。
当外界对其施加能量或者荷载时，其裂纹的扩展、汇合将会严重影响到岩石的宏观力学效能，对工程应用带来重大困难。
而岩石损伤力学就是针对这一问题从微裂纹萌生、扩展、演化到宏观裂纹形成、断裂、破坏的全过程进行研究，旨在通过建立岩土损伤本构模型和损伤演化方程，评价岩土体的损伤程度，进而评估其稳定性。
伴随着大规模的岩石工程建设，损伤力学理论取得了丰硕成果，本文仅对损伤力学在国内外研究现状做一个简要综述。
在矿山、水利、交通、国防、能源、人防等众多的岩体工程中，如何评价岩体的稳定性，进行合理的支护决策，以保证工程的安全建设和营运，是岩土力学领域的一个重要课题。
而岩体工程的失稳大多是由断层和裂隙扩展促成的，在岩土工程中随处可见，例如在地下工程中由于开采引起顶板上覆盖层破坏、围岩松动、里层的形成都是岩体中的微裂隙扩展造成的。
然而岩石是自然界的产物，是由多种矿物晶粒、孔隙和胶结物组成的混杂体。
经过亿万年的地质演变和多期复杂的构造运动，使岩石含有不同阶次随机分布的微观孔隙和裂纹。
在宏观尺度上天然岩体又为多种地质构造面（节理、断层和弱面等）所切割。
这些重要特征表征岩石是一种很特殊很复杂的材料，它不是离散介质（因为它是结晶材料），也不是连续介质，因存在着宏、细、微观的不连续性。
岩石材料实质上是似连续又非完全连续，似破断又非完全破断的介质。
所以岩石材料是极其复杂的非连续和非均质体，它的力学属性具有非线性、各向异性及随时间变化的流变特性。
岩石的变形和破坏特性不但和岩石的复杂结构相关，而且还受温度、围压、孔隙水等环境因素的影响。
然而如何才能将岩石的微裂隙影响和细观断裂机理与岩石宏观力学宏观结合起来，把强度和断裂理论建立于微裂纹演化的细观动力学基础上，从而导出宏观的力学量，更好的解决岩石的稳定和强度问题？成为啦广大岩土工作者必须急待解决的课题，从而岩土理论也取得啦前所未有的发展，通过对岩土介质从微裂纹萌生、扩展、演化到宏观裂纹形成、断裂、破坏的全过程进行研究，通过建立岩土损伤本构模型和损伤演化方程，评价岩土体的损伤程度，进而评估其稳定性。
岩石力学中的分形几何
徐永福
【期刊名称】《水利水电科技进展》
【年(卷),期】1995(000)006
【摘要】本文综述了分形几何在研究岩石断裂分布，岩石断裂面的粗糙度，岩石
微破裂过程和地震，以及岩石碎屑等方面的成果，分形几何很好地描述了岩石力学中的不规则性和不确定性，并已得到广泛的应用，分数组具有实实在在的物理意义，是一个真实的物理量，文中对分数维的物理意义进行了讨论。
【总页数】1页(P15)
【作者】徐永福
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】TU45
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分形岩石力学在油气井工程中的应用
闫铁;李玮
【期刊名称】《东北石油大学学报》
【年(卷),期】2010(034)005
【摘要】分析岩石力学的非线性特征,阐述分形岩石力学的发展过程及研究内容,论述油气井工程中分形岩石力学的研究进展情况,探讨分形岩石力学在油气井工程中的发展方向.分形岩石力学已经成为一门极具发展潜力的实用性岩石力学分支,其与油气井工程结合必将为解决油气井工程中的非线性问题提供一条可行的途径.【总页数】5页(P60-64)
【作者】闫铁;李玮
【作者单位】东北石油大学,石油工程学院,黑龙江,大庆,163318;东北石油大学,石油工程学院,黑龙江,大庆,163318
【正文语种】中文
【中图分类】TE21
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分形理论在岩石力学中的应用研究动态
曹国金
【期刊名称】《建筑技术开发》
【年(卷),期】2005(032)005
【摘要】分形几何用于定量描述复杂的自然现象和不规则事物已有许多成功范例,它较好地描述了岩石力学中的不规则性和不确定性,并在岩石力学中得到较好的应用.综述分形几何在岩石损伤、岩石微破裂过程、岩石断裂分布、岩体裂隙分布及岩石受力分析等多方面的最新研究成果.
【总页数】5页(P40-44)
【作者】曹国金
【作者单位】广州市珠江堤岸防护工程建设办公室,广州,510640
【正文语种】中文
【中图分类】TU452
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分形岩石力学背景：随着经济全球化和信息技术的高速发展，特别对于发展中国家的来说，经济建设成为重中之重，当然经济建设活动中很多都是以岩石工程为对象的经济建设。
所以我们对矿产资源勘探、能源消耗方面及力学研究方面的要求越来越高，人们对岩石力学提出更多更高的要求。
发展和提高岩石力学的理论和方法的研究水平已变得非常重要。
所以把非线性学科引入岩石力学的研究中句很重要的现实意义。
实践表明，分形几何是研究岩石力学的有力工具，首先岩石力学是一个随机、多变、不稳定以及许多不确定因素影响的一个复杂的非线性系统。
由于地址的演化，不同平尺度的地质现象很具有相似性，一些较小尺度的地质现象往往重演着大尺度的地质现象的演化过程，所以把分形理论引入到岩石力学的研究当中去是非常适合的和正确的。
结合分形理论我们能够比较精确的刻画出岩体结构的复杂程度，定量表征岩石的完整性和节理岩体的质量。
这些都给岩石力学的研究带来了极大的便宜。
一、分形的概念和定义分形的英文词fractal来源于拉丁文fractus，由Mandelbrot1975年引入国内对fractal的翻译方法有“碎片”、“碎形”、“分数维”和“分维”等等。
近年来人们开始一致使用“分形”这一译法。
定义一：是由Mandelbrot第一个给出的-----设集合F⊂R n的Hausdorff的维数是D。
如果F的Hausdorff维数D严格大于它的拓扑维数D T=n，即D>D T，我们称集合F为分形集，简称为分形。
即：F={D:D>D T}定义二：局部与整体以某种方式相似的形叫分形。
定义二强调了自相似的特性，反应了自然界中很广泛的一类物质的基本属性：局部与局域，局部与整体在形态、功能、信息、时间与空间等方面具有统计意义上的自相似性。
但是相比定义一，定义二缺乏了不具有自相似但却满足D>D T的这一类集合。
Falconer对分形提出了一个新的认识，即把分形看成是具有某些性质的集合，而不去寻找精确的定义，因为严格的定义几乎总要排除一些特殊的东西。
他提出一个分形可以描述为：定义三：F是分形，如果F具有如下典型性质：①具有精细的结构，具有任意小的比例细节；②具有不规则性，它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述；③一般具有近似的或统计意义的部分与整体之间的自相似性；④通常以某种方式定义的“分形维数”大于它的拓扑维数；⑤可以通过令人感兴趣的递归、迭代等简单的方法生成。
类似地Edgar给出了一个分形的粗滤定义：定义四：分形集合就是比在经典集合考虑的集合更不规则的集合。
这个集合无论被放大多少倍，越来越小的细节仍能看到。
定义三与定义四虽然不严密，但是却易于理解，粗略的说，分形就是不规则形状的几何，但是这种不规则性（粗糙性）具有层次性，即在不同层次（尺度）下均能观察到。
分形目前还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。
粗略的说，分形是没有明确特征标度大自然本身描绘的曲线，如海岸线、布朗粒子运动轨迹等都有两个共同的特点。
首先，它们不像数学家设计的曲线那样纯粹。
它们的自相似性是通过大量的统计而抽象出来的其次，它们的自相似性只存在于“无标度区间”，一旦逾越这个区间，自相似性就不复存在，就更谈不上分形了。
通常人们把这曲线称为无规则分形曲线。
所谓无标度性是指论测量单位如何改变，所研究的客的性质均不发生变化，而“无标度区间”可以说是客体具有的自相似性区间。
因此，自然界的无规则分形是具有上下端限制的，或者说是不完全规则的事物。
Mandelbrot引入统计自相似性概念作为自然界景物的更一般和更逼真的模型。
在一个“统计自相似性”的景物中，组成景物的各部分具有和整体相似的一般结构，只是根据某个比例缩小或某个局部改变的复制品。
二、分形维数的定义及计算方法维数：是指定量描述分形系统的参数。
分形几何是研究被经典数学家称之为“病态”的不规则集合，这些不规则集合一般来说是不光滑的，定量地表述这种不规则性是分形维数。
所有分形都具有一个重要特征，可通过一个特征数，即分形维数测定其不平度，复杂性和卷积度。
维数的计算方法：比如要测量挪威海岸线的长度如图1，当选取不同的长度单位进行测量时，我们得到的结果将会差别很大。
当尺寸选择比较大的时候，海岸线的港湾就容易被忽略；当选择长度单位比较小时，小的港湾也可能被忽略；常年的海水冲刷，海岸线非常的曲折，所以无论怎样选取测量单位总会有一些细节测量不到，测量单位越小结果越大。
有图2我们可以得到Lε=L0ε1−D其中L是海岸线长度，ε未测量长度单位，D为维数，L0为常数。
对于挪威海岸线D=1.5.人们考察了许多自然曲线，如断层迹长、英国海岸线等等，均存在以上关系并且1<D<2。
Feder(1988)提出可以把上式作为分形曲线的一中定义：曲线长度尺码ε的变化关系如上式，则该曲线是分形曲线。
D为曲线的分维。
一般地对于分形曲线D>1，则lim ε→∞Lε=L0limε→∞ε1−D=∞表明曲线的长度随尺码趋于零而趋于无穷。
如ε并不趋于零，则表明Lε岁尺码ε的减小而增大。
图1图2 Hausdorff维数：ℋ(x)D=limδ→0ℋδ(X)D=limδ→0[inf U i D∞i=1]=sup U j D∞j分维D可以表示为：D=log(N i+1i)/log(δii+1)其中，δ为盒子的码尺，N为覆盖一个分形集合所需的盒子数目。
但是这个分维计算公式仅适应于严格自相似分形，这样只知道任意两步的码尺及对应的“盒子”数目，就可以直接计算分维。
容量维：若N(ε)是能够覆盖住一个点集的直径为ε的小球（称ε球）的最小数目，则点集的容量维定义为D0=−limε→0log N(ε)/logε信息维：在容量维定义中，只考虑了所需的ε球的个数，而对每个球所覆盖的点数的多少却没加区别，于是提出了信息维的定义：D1=−limε→0P i ln(1/P i)/lnεNi=1式中Pi是一个点落在第i个球中的概率。
当Pi=1/N时，D1=D0，可见信息维是容量维的一个推广。
关联维数：D2=−limε→0log C(ε)/logε其中C(ε)为系统的一个解序列。
C(ε)也称为相关整数。
如果给定一组实测数据序列x1, x2, x3, …, x i, …, x N则C(ε)可以定义为C(ε)=limN→∞12[θ ε− x i−x jNi,j=1]这里的θ(x)为Heaviside函数。
假定具有尺度ε的一些球的象空间的一个分割，并定义Pi(ε)为一个点落在第i个球上的概率，Renyi引入广义熵Kq(ε)（对于q=0,1,2，…,n）为：K q(ε)=log P i qNi=1/(1−q)从而广义维定义为：D3=−limε→0K q(ε)/logε显然当q=0,1,2时Dq分别等于分数维D0（容量维），信息维D1。
自相似维数：D s=−log Nlog r N=log N/log(1/r)维数的测定方法一般总结为一下五种：a)根据相关函数求维数；b)根据频谱求维数；c)改变观察尺度求维数；d)根据分布函数求维数；e)根据关系求维数。
三、分形在岩爆方面的应用岩爆的物理过程可以用近年来发展的损伤力学来描述。
由于岩石内部存在自然损伤，在外力作用下，岩体内部将形成局部损伤拉应力状态，这将导致岩石的局部微破裂。
随着开采诱发的应力逐渐增加，局部破裂也在增长。
岩石形成的微破裂区集聚，我们称之为“集聚区”或严重损伤区。
加上可能处于地质构造弱面，随着诱发的拉应力增加，严重损伤区进一步演化为岩爆的震心，此时会发生岩爆现象。
虽然岩爆的过程复杂，但在数学上我们可认为它是一个分形的过程微地震事件几乎均匀的分布在高应力区，对应着高的分形维数值，岩爆发生时，微地震事件集聚式爆发，对应较低的分形维数，这就是岩爆分形几何的机理。
在二维情况下，一个微地震事件对应一个裂纹表面单元A i形成这样一个断裂所需要的应变能耗散至少是E i=γs A i其中γs是表面自由能。
根据测得的微地震事件或断裂事件分布的分形，于是得到A i∝γ2，面积大于A i的断裂面表面单元或裂纹岛的数目n满足分形分布n=n0A i−D/2式中n0为非分形分布时的裂纹岛数目。
当断裂事件趋近于一个集聚时，n0→1。
根据损伤力学分析，一个岩爆实际上等效于岩体断裂事件的一个集聚和汇合。
这样岩爆所释放的能量为E t=γs A i n=γs A i1−D/2上式的分形维Dϵ[0,2] 。
由于我们考虑的问题是矿山这样中等尺寸的的对象，A i 的尺度是m2的量级。
所以对于三维情况，有如下公式E t/∝V i1−D/3再根据地震学中的不同，其累积频度满足如下关系log N=a−bM分形维数值D=2bSato等发现水力开采引起的微地震活动也满足方程。
图3应变能释放与分形维数的定性相关曲线图4地震能量释放与分形维数的相关曲线对图3和图4做回归分析可以得到D=C1exp[−C2E]式中C1和C2中随区域和测量尺寸而变化的常数，分形数D∈[0,3],E为释放能。
上述方程从分形和物理机理上做出了理论解释，说明了为什么低的分形数对应于矿山中的岩爆和地震学中的大地震。
岩爆所经历的物理过程就是一个有断裂到突发的宏观中等尺度断裂的过程。
这个空间分布是集聚分形，其分维随岩石微断裂的演化发展而减小，而最低分形维数值则出现在临近主岩爆发生之时。
事实上，一次岩爆可以看成岩体内破裂的一个分形集聚现象。
并且方程给出了岩体破裂的分形集聚的分形维数与能量释放的负指数相关关系。
这一结果从理论上结识了在地震和矿山岩爆中一个低分维值对应一个强破坏的产生这样一个分形自然现象，更重要的是：这个研究可以用来预测微地震事件位置分布的降维现象可以预测、预报矿山中岩爆的放生和发展。
