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§4.2 离散无记忆信道
关于定义4.2.1和定义4.2.2的注解 “离散”的含义是时间离散，事件离散。即：信道的输入、 输出时刻是离散的，且输入随机变量和输出随机变量都是 离散型的随机变量。 “无记忆”的含义是信道响应没有时间延迟，当时的输出 只依赖于当时的输入。 “平稳”的含义是信道在不同时刻的响应特性是相同的。 “离散无记忆平稳信道”是最简单的信道，信道在某一时 刻u的响应特性 P(Yu=y|Xu=x)； x∈{0, 1, …, K-1}，y∈{0, 1, …, J-1}， 就能很简单地计算出信道在任意时间段的响应特性。
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§4.2 离散无记忆信道
（1）转移概率矩阵的每一行都是一个概率向量。
p(1 | 0) p( J 1 | 0) p(0 | 0) p(0 | 1) p ( 1 | 1 ) p ( J 1 | 1 ) p ( 0 | K 1 ) p ( 1 | K 1 ) p ( J 1 | K 1 )
定义4.2.3(p105) 离散无记忆信道的信道容量定义为如下的C。 达到信道容量的输入概率分布{x, q(x), x∈{0, 1, …, K-1}}称 为最佳输入分布。 其中
C
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q {q ( x ), x{0 ,1,, K 1}}跑遍所有的 K维概率向量
max
I ( X ;Y )
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§4.2 离散无记忆信道
一、有关DMC的容量定理 （所说的DMC都是离散无记忆平稳信道）
设 DMC在某个时刻输入随机变量为X，输出随机变量为Y。 信道响应特性为转移概率矩阵 [p(y|x)，x∈{0, 1, …, K-1}，y∈{0, 1, …, J-1}]， 它是一个K×J阶矩阵（其中p(y|x)=P(Y=y|X=x)）。 X的概率分布为{x, q(x), x∈{0, 1, …, K-1}}。 Y的概率分布为{y, w(y), y∈{0, 1, …, J-1}}。 以下的结论是我们已知的。
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§4.2 离散无记忆信道
定义4.2.1和定义4.2.2(p104) 如果 （1）信道的输入为随机变量序列X1, X2, X3, …，其中每个随机 变量Xu的事件集合都是{0, 1, …, K-1}， （2）信道的输出为随机变量序列Y1, Y2, Y3, …，其中每个随机 变量Yu的事件集合都是{0, 1, …, J-1}， 则称该信道为离散信道。如果更有 （3）P((Y1Y2…YN)=(y1y2…yN)|(X1X2…XN)=(x1x2…xN)) =P(Y1=y1|X1=x1)P(Y2=y2|X2=x2)…P(YN=yN|XN=xN)， 则称该信道为离散无记忆信道（DMC）。如果更有 （4）对任意x∈{0, 1, …, K-1}，y∈{0, 1, …, J-1}，任意两个时 刻u和v，还有P(Yu=y|Xu=x)=P(Yv=y|Xv=x)， 则称该信道为离散无记忆平稳信道。
对任意x，
p( y | x) P(Y {0,1,, J 1} | X x) 1
y 0
J 1
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§4.2 离散无记忆信道
（2）对任意y∈{0, 1, …, J-1}，由全概率公式有
w( y ) q( x) p( y | x)
x 0
K 1Βιβλιοθήκη ( w(0), w(1),, w( J 1)) p(1 | 0) p( J 1 | 0) p ( 0 | 0) p(0 | 1) p ( 1 | 1 ) p ( J 1 | 1 ) (q(0), q(1),, q( K 1)) p(0 | K 1) p(1 | K 1) p( J 1 | K 1)
x 0 y 0 z 0 K 1 J 1
p ( y | x)
q( z ) p( y | z )
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§4.2 离散无记忆信道
（4）设转移概率矩阵[p(y|x)，x∈{0, 1, …, K-1}，y∈{0, 1, …, J-1}]确定，希望选择概率向量{q(x), x∈{0, 1, …, K-1}}使I(X; Y) 达到最大。则见定理2.6.2。
第四章：信道及其容量
§4.1 §4.2 §4.5 §4.6 §4.7 信道分类 离散无记忆信道 信道的组合 时间离散的无记忆连续信道 波形信道
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§4.1 信道分类
信道是传输信息的媒质或通道。（输入→信道→输出） 说明 （1）信道输入是随机过程。 （2）信道响应特性是条件概率P(输出值为y|输入值为x)，又称 为转移概率。 （3）信道输出是随机过程，输出的概率分布可以由输入的概率 分布和信道的响应特性得到。（全概率公式） （4）根据信道输入、信道响应特性、信道输出的情况，可将信 道分类：离散信道（又称为数字信道）；连续信道（又称 为模拟信道）；特殊的连续信道——波形信道；恒参信道 和随参信道；无记忆信道和有记忆信道；等等。
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§4.2 离散无记忆信道
（3）I(X; Y)是概率向量{q(x), x∈{0, 1, …, K-1}}和转移概率 矩阵[p(y|x)，x∈{0, 1, …, K-1}，y∈{0, 1, …, J-1}]的函数。
K 1 J 1
p( y | x) I ( X ; Y ) P(( XY ) ( xy)) log w( y ) x 0 y 0 q( x) p( y | x) log K 1
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§4.2 离散无记忆信道
定理4.2.2(p106) （1）输入概率分布{x, q(x), x∈{0, 1, …, K-1}}是最佳输入分 布的充分必要条件为：对任何满足q(k)>0的k，
I ( X k ; Y ) p( y | k ) log K 1
