空间轨迹问题的三种模式及破解策略

立体几何中的轨迹问题求解策略
轨迹问题是一种有趣而又棘手的立体几何问题，它涉及寻找一条从一个点到另一个点的最短路径。

解决轨迹问题的一种策略是使用贪心算法。

贪心算法是一种迭代的搜索算法，它假定每次都可以选择最优的路径，从而最终达到最优解。

贪心算法的基本步骤是：
1. 首先，找出所有可能的路径，并计算每条路径的代价；
2. 然后，选择代价最小的路径；
3. 接下来，重复步骤2，直到达到目标点为止。

另一种策略是使用动态规划来求解轨迹问题。

动态规划是一种分析问题的技术，它通过拆分大问题，将其转换为许多小问题，从而得到最优解。

动态规划的基本步骤是：
1. 首先，对于每个状态，确定可能的动作；
2. 然后，计算每个动作的代价；
3. 接下来，选择代价最小的动作；
4. 最后，重复步骤2和3，直到达到目标点为止。

中考热点题型：最常见轨迹问题解题策略靠套路就能拿高分！对于初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧。

在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系：如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变。

因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点。

轨迹问题三部曲：猜测轨迹形状——证明轨迹形状——代入图形应用其中第二步很重要，初中证明轨迹有两种证明方法：几何法和解析法。

所谓几何法就是通过纯几何证明，抓紧不变量，得出轨迹形状，一般是圆或直线（线段）证明方法：01圆弧——圆周角法已知Rt△ABC，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm，∠ABC=90°。

半径为1cm的圆，若将圆心由点A沿ABCA的方向运动回到点A，求圆扫过的区域面积为。

02圆弧——定义法如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．(1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）；(2)当△APD是等腰三角形时，求m的值；(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图7)．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）解析此题中主动点是P，动点H是因点P的变化而变化．动点P在运动过程中始终保持不变的量是OH始终垂直ME，即日始终为垂足．而求动点H的运动轨迹，则需考虑点H是到某条直线的距离始终不变，还是到某个定点的距离始终保持不变．由于OH⊥ME，连结OM后，△AMH始终为直角三角形，而斜边OM不变，因此根据直角三角形的性质容易得到动点日到DM的中点的距离始终不变，从而可得到点H 的运动轨迹是一段圆弧。

轨迹问题的求法
一、直接法
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法"。

四、几何法
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
五、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程
例3.【2017年全国二卷文科】
六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
七、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法
.。

轨迹问题一、 直译法：解题步骤：（1）适当建立平面直角坐标系，并设曲线上任意一点M(x,y)；（2）根据若题意，写出M 具备的条件；（3）根据条件列出方程f(x ，y)=0，并化简；（4）扣除不符合条件的点。

1、动点M 与两定点A （-2，0）和B （2，0）的距离之比为2：1，求点M 的轨迹方程 2、动点M 与两定点A （-2，0）和B （2，0）的连线的夹角为45度，求点M 的轨迹方程 3、一动点M 与两定点A （2，4）的距离比到x 轴的距离大1，求点M的轨迹方程二.相关点法. 若所求轨迹的点随另一点的运动而运动, 另一点在有规律的曲线f(x ，y)=0上运动。

则设轨迹的点P （x,y ）, 有规律的点Q （x 0,y 0），利用已知关系求出⎩⎨⎧==),(),(00y x g y y x h x ，代入f(x 0，y 0)=01、∆ABC 中A （-2，0），B （3，0）。

第三个顶点C 在曲线y=2x 2-1上移动，求∆ABC 重心G 的轨迹方程2、过定点A(a,b)任意作互相垂直的直线l 1，l 2，且l 1与x 轴交于M 点，l 1与y 轴交于N 点，求线段MN 的中点P 的轨迹方程3、线段AB 的一端A 在x 轴上移动，另一端B 在y 轴上移动,点P 为AB 延长线上的一点。

若|AB|=a,|BP|=b, 求点P 的轨迹方程三、 定义法。

由已知条件得知动点的特征，判断出动点的轨迹。

适当建立平面直角坐标系，求出其方程。

1、等腰∆ABC 中，A （2，0）， B （0，2），若|AC|=|BC|，则C 点的轨迹方程是。

2、∆ABC中，A（2，0），B（0，-2）。

（1）若∆ABC的周长是10，则C点的轨迹方程是。

（2）若|AC|+|BC|=4，则C点的轨迹方程是。

3、已知圆C1：x2+(y-4)2=64; 圆C2：x2+(y+4)2= 4;A(-4,0)（1）动圆C与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆C的圆心C的轨迹方程是。

解轨迹问题4种方法求轨迹方程常用的方法：（1）结合解析几何中某种曲线的定义，从定义出发寻找解决问题的方法；（2）利用几何性质，若所求的轨迹与图形的性质相关，利用三角形或圆的性质来解问题；（3）如果点P 的运动轨迹或所在曲线已知，又点Q 与点P 之间的坐标可以建立某种关系，则借助点P 的轨迹可以得到点Q 的轨迹； （4）参数法. ●点击双基1.动点P 到直线x =1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是 A.中心在原点的椭圆 B.中心在（5，0）的椭圆C.中心在原点的双曲线D.中心在（5，0）的双曲线 解析：直接法. 答案：B2.（2005年春季北京，6）已知双曲线的两个焦点为F 1（－5，0）、F 2（5，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|=2，则该双曲线的方程是A.22x －32y =1B.32x －22y =1C.42x －y 2=1D.x 2－42y =1解析：设双曲线的方程为22a x －22by =1.由题意||PF 1|－|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（25）2.又∵|PF 1|·|PF 2|=2，∴a =2，b =1.故双曲线方程为42x －y 2=1.答案：C3.已知A （0，7）、B （0，－7）、C （12，2），以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是A.y 2－482x ＝1（y ≤－1） B.y 2－482x ＝1 C.y 2－482x ＝－1 D.x 2－482y ＝1解析：由题意｜AC ｜＝13，｜BC ｜＝15，｜AB ｜＝14，又｜AF ｜＋｜AC ｜＝｜BF ｜＋｜BC ｜，∴｜AF ｜－｜BF ｜＝｜BC ｜－｜AC ｜＝2.故F 点的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c =7，a =1，b 2＝48，所以轨迹方程为y 2－482x ＝1（y ≤－1）.答案：A4.F 1、F 2为椭圆42x +32y =1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________________.解析：延长F 1D 与F 2A 交于B ，连结DO ，可知DO =21F 2B =2，∴动点D 的轨迹方程为x 2+y 2=4.答案：x 2+y 2=45.已知△ABC 中，B （1，0）、C （5，0），点A 在x 轴上方移动，且tan B +tan C =3，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为________________.解析：设A （x 0，y 0），∵tan B +tan C =3，∴100-x y －500-x y =3，点A 的轨迹方程为y 0=－43（x 02－6x 0+5）（x 0≠1且x 0≠5）.若 G （x ，y ）为△ABC 的重心，则由重心坐标公式：x =3510x ++，y =30y，∴x 0=3x －6，且y 0=3y .代入A 点轨迹方程得G 的轨迹方程为y －1=－49（x －3）2（x ≠37且x ≠311）.答案：y －1=－49（x －3）2（x ≠37且x ≠311）●典例剖析【例1】 在△PMN 中，tan ∠PMN =21，tan ∠MNP =－2，且△PMN 的面积为1，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点，且过点P 的椭圆的方程.M N剖析：如上图，以直线MN 为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则所求椭圆方程为22a x +22by =1.显然a 2、b 2是未知数，但a 2、b 2与已知条件没有直接联系，因此应寻找与已知条件和谐统一的未知元，或改造已知条件.解法一：如上图，过P 作PQ ⊥MN ，垂足为Q ，令|PQ |=m ，于是可得|MQ |=|PQ |cot ∠PMQ =2m ，|QN |=|PQ |cot ∠PNQ =21m . ∴|MN |=|MQ |－|NQ |=2m －21m =23m . 于是S △PMN =21|MN |·|PQ |=21·23m ·m =1.因而m =34，|MQ |=234，|NQ |=31，|MN |=3.|MP |=22||||PQ MQ +=34316+=3152，|NP |=22||||PQ NQ +=3431+=315.以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为22a x +22b y =1（a ＞b ＞0）.则2a =|MP |+|NP |=15，2c =|MN |=3，故所求椭圆方程为1542x +32y =1.解法二：设M （－c ，0）、N （c ，0），P （x ，y ），y ＞0，c x y + =21，cx y -=2， y ·c =1， 解之，得x =635，y =332，c =23.设椭圆方程为b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，则b 2·（635）2+a 2（332）2=a 2b 2， a 2－b 2=43， 解之，得a 2=415，b 2=3.（以下略）评述：解法一选择了与a 较接近的未知元|PM |、|PN |，但需改造已知条件，以便利用正弦定理和面积公式；解法二以条件为主，选择了与条件联系最直接的未知元x 、y 、c .本题解法较多，但最能体现方程思则想方法的、学生易于理解和接受的是这两种解法.深化拓展若把△PMN 的面积为1改为PM ·PN =38，求椭圆方程. 提示：由tan ∠PMN =21，tan ∠MNP =－2，易得sin ∠MPN =53，cos ∠MPN =54. 由PM ·PN =38，得|PM ||PN |=310.易求得|PM |=3152，|PN |=315.进而求得椭圆方程为1542x +32y =1.【例2】 （2004年福建，22）如下图，P 是抛物线C ：y =21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C交于另一点Q .若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.xyOQMTP Sl 剖析：欲求PQ 中点M 的轨迹方程，需知P 、Q 的坐标.思路一，P 、Q 是直线l 与抛物线C 的交点，故需求直线l 的方程，再与抛物线C 的方程联立，利用韦达定理、中点坐标公式可求得M 的轨迹方程；思路二，设出P 、Q 的坐标，利用P 、Q 的坐标满足抛物线C 的方程，代入抛物线C 的方程相减得PQ 的斜率，利用PQ 的斜率就是l 的斜率，可求得M 的轨迹方程.解：设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）、M （x 0，y 0），依题意知x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y =21x 2， ① 得y ′=x . ∴过点P 的切线的斜率k 切=x 1， ∴直线l 的斜率k l =－切k 1=－11x ，直线l 的方程为y －21x 12=－11x （x －x 1）. ②方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0.∵M 为PQ 的中点， x 0=221x x +=－11x ，y 0=21x 12－11x （x 0－x 1）. 消去x 1，得y 0=x 02+221x +1（x 0≠0）， ∴PQ 中点M 的轨迹方程为y =x 2+221x +1（x ≠0）. 方法二：由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +，得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21（x 1+x 2）（x 1－x 2）=x 0（x 1－x 2），则x 0=2121x x y y --=k l =－11x ，∴x 1=－01x .将上式代入②并整理，得y 0=x 02+221x +1（x 0≠0）， ∴∴PQ 中点M 的轨迹方程为y =x 2+221x+1（x ≠0）. 评述：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法.本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题.深化拓展当点P 在抛物线C 上移动时，求点M 到x 轴的最短距离. 提示：∵x ≠0，x 2>0，∴y =x 2+221x +1≥221+1=2+1，当且仅当x 2=221x ，x =±214时等号成立，即点M 到x 轴的最短距离为2+1.【例3】 （2000年春季全国）已知抛物线y 2＝4px （p ＞0），O 为顶点，A 、B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于M 点，求点M 的轨迹方程.剖析：点M 是OM 与AB 的交点，点M 随着A 、B 两点的变化而变化，而A 、B 为抛物线上的动点，点M 与A 、B 的直接关系不明显，因此需引入参数.解法一：设M （x 0，y 0），则k OM =00x y ，k AB =－00y x ，直线AB 方程是y =－00y x（x －x 0）+y 0. 由y 2=4px 可得x =py 42，将其代入上式，整理，得x 0y 2－（4py 0）y －4py 02－4px 02=0. ①此方程的两根y 1、y 2分别是A 、B 两点的纵坐标，∴A （p y 421，y 1）、B （py422，y 2）.∵OA ⊥OB ，∴k OA ·k OB =－1.∴14y p ·24y p=－1.∴y 1y 2=－16p 2. 根据根与系数的关系，由①可得y 1·y 2=02020)(4x y x p +-，∴02020)(4x y x p +-=16p 2.化简，得x 02+y 02－4px 0=0，即x 2+y 2－4px =0（除去原点）为所求.∴点M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点. 解法二：设A 、B 两点坐标为A （pt 12，2pt 1）、B （pt 22，2pt 2）. ∴k OA =12t ，k OB =22t ，k AB =212t t +.∵OA ⊥OB ，∴t 1·t 2=－4.∴AB 方程是y －2pt 1=212t t +（x －pt 12）， ① 直线OM 的方程是y =－221t t +x . ② ①×②，得（px ）t 12+2pyt 1－（x 2+y 2）=0. ③ ∴直线AB 的方程还可写为 y －2pt 2=212t t +（x －pt 22）. ④ 由②×④，得（px ）t 22+（2py ）t 2－（x 2+y 2）=0. ⑤由③⑤可知t 1、t 2是方程（px ）t 2+（2py ）t 2－（x 2+y 2）=0的两根.由根与系数的关系可得t 1t 2=pxy x )(22+-.又t 1·t 2=－4，∴x 2+y 2－4px =0（原点除外）为所求点M 的轨迹方程.故M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点. 解法三：设M （x ，y ），直线AB 方程为y =kx +b ，由OM ⊥AB 得k =－yx. 由y 2=4px 及y =kx +b 消去y ，得k 2x 2+x （2kb －4p ）+b 2=0.所以x 1x 2=22k b .消去x ，得ky 2－4py +4pb =0.所以y 1y 2=k pb4.由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2，所以k pk4=－22kb ，b =－4kp .故y =kx +b =k （x －4p ）.用k =－yx代入，得x 2+y 2－4px =0（x ≠0）. 解法四：设点M 的坐标为（x ，y ），直线OA 的方程为y =kx ，显然k ≠0，则直线OB 的方程为y =－k1x . y =kx ， y 2=4px ， 类似地可得B 点的坐标为（4pk 2，－4pk ）， 从而知当k ≠±1时，yxABM Ok AB =)1(4)1(422k kp k k p -+=kk -11.故得直线AB 的方程为y +4pk =k k-11（x －4pk 2），即（k1－k ）y +4p =x ， ① 直线OM 的方程为y =－（k1－k ）x . ② 可知M 点的坐标同时满足①②，由①及②消去k 便得4px =x 2+y 2，即（x －2p ）2+y 2=4p 2，但x ≠0，当k =±1时，容易验证M 点的坐标仍适合上述方程. 故点M 的轨迹方程为（x －2p ）2+y 2=4p 2（x ≠0）， 它表示以点（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆.评述：本题考查了交轨法、参数法求轨迹方程，涉及了类比、分类讨论等数学方法，消参时又用到了整体思想法，对含字母的式子的运算能力有较高的要求，同时还需要注意轨迹的“完备性和纯粹性”.此题是综合考查学生能力的一道好题.深化拓展本题中直线AB 恒过定点（4p ，0），读者不妨探究一番. ●闯关训练由 解得A 点的坐标为（24k p ，kp4），夯实基础1.已知M （－2，0）、N （2，0），｜PM ｜－｜PN ｜＝4，则动点P 的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.一条射线 D.双曲线右边一支 解析：利用几何性质.答案：C2.（2003年河南）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线y =x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为－32，则此双曲线的方程是 A.32x －42y =1 B.42x －32y =1 C.52x －22y =1 D.22x －52y =1解析：设双曲线方程为22a x －22b y =1.将y =x －1代入22a x －22b y =1，整理得（b 2－a 2）x 2+2a 2x －a 2－a 2b 2=0.由韦达定理得x 1+x 2=2222b a a -，221x x +=222ba a -=－32.由c 2=a 2+b 2求得a 2=2，b 2=5.答案：D 3.曲线x 2＋4y 2＝4关于点M （3，5）对称的曲线方程为____________.解析：代入法（或相关点法）.答案：（x －6）2+4（y －10）2=44.与圆x 2+y 2－4x =0外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________.解析：若动圆在y 轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x =－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y 轴左侧，则动圆圆心轨迹是x 负半轴.答案：y 2=8x （x >0）或y =0（x <0）5.自抛物线y 2＝2x 上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连结顶点O 与P 的直线和连结焦点F 与Q 的直线交于R 点，求R 点的轨迹方程.解：设P （x 1，y 1）、R （x ，y ），则Q （－21，y 1）、F （21，0）， ∴OP 的方程为y =11x y x ， ① FQ 的方程为y =－y 1（x －21）. ② 由①②得x 1＝x x212-，y 1＝xy 212-，代入y 2＝2x ，可得y 2＝－2x 2+x . 6.求经过定点A （1，2），以x 轴为准线，离心率为21的椭圆下方的顶点的轨迹方程.解：设椭圆下方的焦点F （x 0，y 0），由定义2||AF =21，∴|AF |=1，即点F 的轨迹方程为（x 0－1）2+（y 0－2）2=1. 又设椭圆下方顶点为P （x ，y ），则x 0=x ，y 0=23y ， ∴点P 的轨迹方程是（x －1）2+（23y －2）2=1. 培养能力7.AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜＝2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜＝｜MN ｜，求点P 的轨迹.解：以圆心O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如下图），则⊙O 的方程为x 2＋y 2＝a 2，设点P 坐标为（x ，y ），并设圆与y 轴交于C 、D 两点，作PQ ⊥AB 于Q ，则有||||OM OP ＝||||MN PQ .∵｜OP ｜＝｜MN ｜，∴｜OP ｜2＝｜OM ｜·｜PQ ｜. ∴x 2+y 2＝a ｜y ｜，即 x 2＋（y ±2a ）2＝（2a）2. 轨迹是分别以CO 、OD 为直径的两个圆.8.过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.求△AOB 的重心G 的轨迹C 的方程.解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l 不垂直于x 轴时，设方程为y =k （x －1），代入y 2=4x ， 得k 2x 2－x （2k 2+4）+k 2=0.设l 方程与抛物线相交于两点， ∴k ≠0.设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），根据韦达定理，有x 1+x 2=22)2(2kk +，从而y 1+y 2=k （x 1+x 2－2）=k 4. 设△AOB 的重心为G （x ，y ），x =3021x x ++=32+234k，y =3021y y ++=k34，∴y 2=34x －98.当l 垂直于x 轴时，A 、B 的坐标分别为（1，2）和（1，－2），△AOB 的重心G （32，0），也适合y 2=34x －98，因此所求轨迹C 的方程为y 2=34x －98.探究创新9.（2004年春季安徽）已知k ＞0，直线l 1：y =kx ，l 2：y =－kx .（1）证明：到l 1、l 2的距离的平方和为定值a （a ＞0）的点的轨迹是圆或椭圆； （2）求到l 1、l 2的距离之和为定值c （c ＞0）的点的轨迹. （1）证明：设点P （x ，y ）为动点，则221||k kx y +-+221||kkx y ++=a ，整理得2222)1(k a k x ++2)1(22a k y +=1. 因此，当k =1时，动点的轨迹为圆；当k ≠1时，动点的轨迹为椭圆. （2）解：设点P （x ，y ）为动点，则|y －kx |+|y +kx |=c 21k +.当y ≥k |x |时，y －kx +y +kx =c 21k +，即y =21c 21k +； 当y ≤－k |x |时，kx －y －y －kx =c 21k +，即y =－21c 21k +；当－k |x |＜y ＜k |x |，x ＞0时，kx －y +y +kx =c 21k +，即x =k21c 21k +；则消去k ，得x =32+34（43y ）2，当－k |x |＜y ＜k |x |，x ＜0时，y －kx －y －kx =c 21k +，即x =－k21c 21k +. 综上，动点的轨迹为矩形. ●思悟小结1.求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、代入、化简、检验.检验就是要检验点的轨迹的纯粹性和完备性.2.如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法.3.如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法.4.如果轨迹动点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程.此法称为代入法.5.如果轨迹动点P （x ，y ）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x 、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.6.注意参数的取值范围对方程的影响. 教学点睛1.已知曲线求方程或已知方程画曲线是解析几何中的两个基本问题.如何探求动点的轨迹方程呢？①从定义出发，还本索源.在探求动点的轨迹方程时，如能结合解析几何中某种曲线的定义，也就能寻找到解决问题的钥匙；②利用平面几何的性质.动点的轨迹与图形的性质相关，若某些轨迹与直线或圆有关，则可以利用三角形或圆的性质来帮助分析；③伴随曲线的思想和方法.如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立起某种关系，则借助于点P 的运动轨迹，我们便可以得到点Q 的运动轨迹，这便是伴随曲线的思想方法.2.在探求轨迹的过程中，需要注意的是轨迹的“完备性”和“纯粹性”，也就是说既不能多，也不能少，因此，在求得轨迹方程之后，要深入地再思考一下：①是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？②在所求得的轨迹方程中，x 、y 的取值范围是否有什么限制?拓展题例【例1】 是否存在同时满足下列条件的抛物线？若存在，求出它的方程；若不存在，请说明理由． （1）准线是y 轴； （2）顶点在x 轴上；（3）点A （3，0）到此抛物线上动点P 的距离最小值是2. 解：假设存在这样的抛物线，顶点为（a ，0），则方程为y 2＝4a （x －a ）（a ≠0）， 设P （x 0，y 0），则y 02＝4a （x 0－a ），｜AP ｜2＝（x 0－3）2＋y 02 ＝［x 0－（3－2a ）］2＋12a －8a 2，令f （a ）＝｜AP ｜2， ①当a ＞0时，有x 0≥a ，当3－2a ≥a 即a ∈（0，1］时，｜AP ｜2＝f （3－2a ），∴a ＝1或a ＝21；抛物线方程为y 2＝4（x －1）或y 2＝2（x －21）. 当3－2a ＜a 即a ＞1时，｜AP ｜2＝f （a ）.∴a ＝5或a ＝1（舍），抛物线方程为y 2＝20（x －5）.②当a ＜0时，显然与已知矛盾，∴所求抛物线方程为y 2＝4（x －1）或y 2＝2（x －21）或y 2＝20（x －5）． 【例2】 （2003年太原市模拟题）已知椭圆的焦点为F 1（－1，0）、F 2（1，0），直线x =4是它的一条准线.（1）求椭圆的方程；（2）设A 1、A 2分别是椭圆的左顶点和右顶点，P 是椭圆上满足|P A 1|－|P A 2|=2的一点，求tan ∠A 1P A 2的值；（3）若过点（1，0）的直线与以原点为顶点、A 2为焦点的抛物线相交于点M 、N ，求MN 中点Q 的轨迹方程.解：（1）设椭圆方程为22a x +22by =1（a ＞b ＞0）.c =1，ca 2=4，c =1， a =2，所求椭圆方程为42x +32y =1.（2）由题设知，点P 在以A 1、A 2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上.由（1）知A 1（－2，0），A 2（2，0），设双曲线方程为22mx －22n y =1（m ＞0，n ＞0）.2m =2， m =1，m 2+n 2=4， n =3.∴双曲线方程为x 2－32y =1.由42x +32y =1， x 2－32y =1，解得P 点的坐标为（5102，553）或（5102，－553）.当P 点坐标为（5102，553）时，tan∠A 1P A 2=12121PA PA PA PA k k k k +-=－45.同理当P 点坐标为（5102，－353）时，tan ∠A 1P A 2=－45. 故tan ∠A 1P A 2=－45.（3）由题设知，抛物线方程为y 2=8x .设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），MN 的中点Q （x ，y ）， 当x 1≠x 2时，有y 12=8x 1， ① y 22=8x 2， ②x =221x x +， ③ y =221y y +， ④2121x x y y --=1-x y. ⑤①－②，得2121x x y y --（y 1+y 2）=8，将④⑤代入上式，有1-x y·2y =8，即y 2=4（x －1）（x ≠1）.当x 1=x 2时，MN 的中点为（1，0），仍满足上式.故所求点Q 的轨迹方程为y 2=4（x －1）.由题设有解得 ∴b 2=3.则解得。

ʏ陈 婷立体几何中的轨迹问题,是立体几何与解析几何的知识交汇点㊂这类问题,立意新颖,重视不同知识的交叉与渗透,重视对数学知识与数学能力的考查与应用,是培养同学们数学核心素养的好素材㊂一㊁直接法直接法就是直接利用立体几何的相关知识,合理分析和研究问题中各个元素之间的关系,或者直接利用轨迹定义进行求解的方法㊂例1 如图1,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,P 是侧面B C C 1B 1上的一个动点,若点P 到直线B C 与直线C 1D 1的距离相等,则动点P 的轨迹是下列哪种线的一部分( )㊂图1A.直线 B .圆C .双曲线 D .抛物线分析:根据题设条件,利用空间点线面的位置关系,直接得到动点P 到直线B C 与到点C 1的距离相等,再结合解析几何中抛物线的定义,可得对应的答案㊂解:根据正方体的性质,可知C 1D 1ʅ平面B C C 1B 1,所以动点P 到直线C 1D 1的距离与到点C 1的距离相等㊂又动点P 到直线B C 与到直线C 1D 1的距离相等,所以动点P 到直线B C 与到点C 1的距离相等㊂根据抛物线的定义,可得动点P 的轨迹是一条抛物线的一部分㊂应选D ㊂二㊁转化法转化法就是将立体几何问题转化为平面几何问题,进行合理 降维 处理,进而应用平面几何㊁解析几何等相关知识来分析与求解的方法㊂例2 (2022年高考北京卷)已知正三棱锥P -A B C 的六条棱长均为6,S 是әA B C 及其内部的点构成的集合㊂设集合T ={Q ɪS |P Q ɤ5},则T 表示的区域的面积为( )㊂A .3π4B .πC .2πD .3π分析:根据题设条件,结合正三棱锥的性质,合理构建点P 在底面әA B C 内的射影点O ,结合集合的创新设置进行合理转化,将空间中的距离问题转化为平面上的距离问题加以分析与求解㊂解:设点P 在底面әA B C 内的射影为点O ㊂依题意知әA B C 是边长为6的正三角形,所以A O =B O =C O =23㊂因为P A =P B =P C =6,所以P O =62-(23)2=26㊂若P Q =5,则O Q =P Q 2-P O 2=1,可知动点Q 的轨迹是在底面әA B C 内,以O 为圆心,半径为r =1的圆及其内部,其对应的面积为πr 2=π㊂应选B ㊂三㊁解析法解析法就是利用解析几何在研究轨迹方面的一整套比较完整的理论体系,通过坐标法进行代数运算与逻辑推理的一种求轨迹的方法㊂解析法是解决立体几何图形的二维轨迹问题的常用方法之一㊂例3 (多选题)如图2所示,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,E 是C C 1的中点,点P 在底面A B C D 内运动,若P D 1,P E 与底面A B C D 所成的角相等,则动点P 的轨迹是( )㊂71知识结构与拓展高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.图2A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.经过线段B C靠近B的三等分点D.经过线段C D靠近C的三等分点分析:根据题意得D P=2P C,以点D为坐标原点,建立平面直角坐标系,通过坐标法进行讨论求解㊂解:由正方体的性质得D D1ʅ平面A B C D,E Cʅ平面A B C D,所以øD P D1,øC P E分别为P D1,P E与底面A B C D所成的角,所以øD P D1=øC P E㊂因为t a nøD P D1=D D1D P,t a nøC P E= C EP C,又D D1=2C E,所以D P=2P C㊂在平面A B C D中,以D为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图3所示㊂图3设正方体的边长为a,点P(x,y),xȡ0,yȡ0,则点D(0,0),C(a,0),所以D P2= x2+y2,P C2=(x-a)2+y2,所以x2+y2= 4(x-a)2+4y2,整理得3x2+3y2-8a x+ 4a2=0,显然3x2+3y2-8a x+4a2=0表示圆的方程,所以动点P的轨迹是圆的一部分,A正确,B错误㊂线段B C靠近B的三等分点的坐标为a,23a,线段C D靠近C的三等分点的坐标为23a,0,分别代入方程3x2+3y2-8a x+4a2=0,可得3a2+3ˑ23a2-8a2+4a2=13a2ʂ0,3ˑ23a2+ 3ˑ02-8aˑ23a+4a2=0,所以23a,0在圆3x2+3y2-8a x+4a2=0上,a,23a不在圆3x2+3y2-8a x+4a2=0上,C错误,D 正确㊂应选A D㊂四㊁性质法性质法就是利用轨迹的相关知识来解决立体几何中轨迹问题的一种基本方法㊂有些空间图形的轨迹不一定是二维的,转化为平面问题比较困难,这时可借助性质法来处理㊂例4已知棱长为3的正方体A B C D-A1B1C1D1中,长为2的线段M N的一个端点M在D D1上运动,另一个端点N在底面A B-C D上运动,则线段M N的中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为㊂分析:不论әMD N如何变化,点P到点D的距离始终等于1㊂从而点P的轨迹是一个以点D为球心,半径为1的球的18,由此可求出体积㊂解:如图4所示,端点N在正方形A B C D内运动㊂图4因为әMD N为直角三角形,P为斜边MN的中点,所以不论әMD N如何变化,点P到点D的距离始终等于1㊂利用立体几何的性质,可知动点P的轨迹是一个以点D为球心,半径为1的球的18,所以所求体积V= 18ˑ43ˑπˑ13=π6㊂作者单位:江苏省海安高级中学(责任编辑郭正华)8 1知识结构与拓展高一数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

ʏ江苏省苏州外国语学校 陈建圣解析几何中轨迹方程的求解一直是该知识模块中一个最基本的问题㊂在新教材㊁新课程㊁新高考的 三新 背景下,解析几何中轨迹问题的求解也呈现出一些新的变化与创新㊂解析几何中轨迹方程的求解是新高考中的一个基本考点,结合轨迹方程的破解策略,从不同方法与技巧入手,通过实例剖析新高考轨迹方程求解的一些创新与变化,引领并指导数学学习与复习备考㊂1.直译法直接通过题目条件加以直译,抓住破解的基本策略,即通过建系㊁设点㊁列式㊁代换㊁证明这五个步骤来构建关系与确定轨迹㊂例1 在平面直角坐标系中,әA B C的两个顶点A ,B 的坐标分别为(-1,0),(1,0),平面内两点G ,M 同时满足以下三个条件:①G 是әA B C 三条边中线的交点;②M 是әA B C 的外心;③G M ʊA B ㊂(1)求әA B C 的顶点C 的轨迹方程;(2)若点P (2,0)与(1)中轨迹上的点E ,F 三点共线,求|P E |㊃|P F |的取值范围㊂解析:(1)设C (x ,y )(y ʂ0),G (x 0,y 0),M (x M ,y M )㊂因为M 是әA B C 的外心,所以M 在线段A B 的中垂线上,可得x M =0㊂因为G M ʊA B ,所以y M =y 0㊂又G 是әA B C 三条边中线的交点,所以G 是әA B C 的重心,可得x 0=-1+1+x3=x 3,y 0=0+0+y 3=y 3,所以y M =y 0=y 3㊂又因为|M A |=|M C |,所以(0+1)2+y 3-02=(0-x )2+y 3-y2,化简整理得x 2+y 23=1(y ʂ0),即әA B C 的顶点C 的轨迹方程为x 2+y 23=1(y ʂ0)㊂(2)因为P ,E ,F 三点共线,所以P ,E ,F 三点所在直线斜率存在且不为0㊂设所在直线的方程为y =k (x -2),E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),联立y =k (x -2),x 2+y 23=1,消去参数y 并整理得(3+k 2)x 2-4k 2x +4k 2-3=0,所以x 1+x 2=4k 23+k 2,x 1x 2=4k 2-33+k2㊂由Δ=(-4k 2)2-4(3+k 2)(4k 2-3)>0,解得k 2<1㊂所以|P E |㊃|P F |=1+k 2|2-x 1|㊃1+k 2|2-x 2|=(1+k 2)|4-2(x 1+x 2)+x 1x 2|=(1+k 2)㊃93+k 2=9-183+k 2㊂又因为0<k 2<1,所以3<3+k 2<4,则知3<|P E |㊃|P F |<92㊂故|P E |㊃|P F |的取值范围为3,92㊂点评:此题借助动点C 所对应的әA B C的相关几何特征,从更高的视角㊁间接条件并融合多个信息加以巧妙设置,难度中等,但信息量大,对同学们的基础知识与基本技能的要求更高,这也是新高考命题关注数学素养与能力方面的创新点之一㊂2.定义法根据题目条件确定动点的轨迹是某种已知曲线(如圆㊁椭圆㊁双曲线或抛物线),结合对应曲线的定义来探求对应动点的轨迹方程㊂例2 如图1,在一张纸上有一圆C :(x +3)2+y 2=8,定点M (3,0),折叠纸片22 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年11月使圆C 上某一点M 1恰好与点M 重合,这样每次折叠都会留下一条折痕E F ,设折痕E F与直线M 1C 的交点为T㊂图2(1)求证:||T C |-|T M ||为定值,并求出点T 的轨迹Г的方程㊂(2)已知点A (2,1),直线l 交轨迹Г于P ,Q 两点,直线A P ,A Q 的斜率之和为0㊂若t a n øP A Q =22,求әP A Q 的面积㊂解析:(1)由题意得圆C 的圆心C (-3,0),半径为22,|T M |=|T M 1|,则||T C |-|T M ||=||T C |-|T M 1||=|C M 1|=22<23,根据双曲线的定义,可知点T 的轨迹是以C ,M 为焦点的双曲线㊂设该双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1,则2a =22,c =3,所以a =2,b =c 2-a 2=1㊂所以双曲线Г的方程为x 22-y 2=1㊂(2)由(1)知点A (2,1)在双曲线Г的右支上,因为直线A P ,A Q 的斜率之和为0,不妨设k A P >0,则k A Q <0㊂设直线A P ,A Q 的倾斜角为α,β,则α<π2<β,且α+β=π㊂设øP A Q =2θɪ0,π2 ,故θɪ0,π4,则t a n 2θ=22,即2t a n θ1-t a n 2θ=22,解得t a n θ=22或-2(舍去),故此时直线A P 的斜率为t a n θ=22(与渐近线斜率相同,舍去)或1t a n θ=2㊂由于双曲线Г的渐近线方程为y =ʃ22x ,而2>22,故直线A P 与双曲线的左支没有交点,所以P ,Q 两点均在双曲线的右支上,且k A P =2,k A Q =-2㊂故直线A P 的方程为y -1=2(x -2),即y =2x +1-22,与x 22-y 2=1联立,消去参数y 整理得32x 2+(22-8)x +10-42=0,因为该方程有一个根为2,所以2x P=20-823,解得x P =10-423,则y P =2x P +1-22=42-53㊂同理可得x Q =10+423,y Q =-42-53㊂利用两点间的距离公式可得|P Q |=163,且直线P Q 的方程为x +y -53=0㊂所以点A 到直线P Q :x +y -53=0的距离为d =2+1-531+1=223㊂故S әP A Q =12ˑ163ˑ223=1629㊂点评:此题巧妙地设置 ||T C |-|T M ||为定值 的证明,这也是问题的切入点,合理设置 台阶 指引同学们思考并加以探究,并有效结合圆锥曲线的定义,利用定义法来确定对应的轨迹问题,从而有效降低难度,这也是新高考在命制试题时关注试题的梯度性与可操作性的一个重要体现㊂3.代入法(或相关点法)利用动点P (x ,y )依赖于另一动点Q (a ,b )(该动点在某已知曲线上)的变化而变化,进而通过构建参数之间的关系,将参数a ㊁b 代入已知曲线的方程而得到所求动点的轨迹方程㊂例3 已知直线x -2y +1=0与圆C :x 2+y 2-4x +2y -a =0交于A ,B 两点,C A ʅC B ㊂(1)求实数a 的值;(2)若点P 在圆C 上运动,O 为坐标原点,动点M 满足O P ң=2C M ң,求动点M 的轨迹方程㊂解析:将圆C 化成标准方程为(x -2)2+(y +1)2=a +5,a +5>0,则圆心C (2,32解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年11月-1),半径r =a +5㊂记d 为圆心C 到直线A B 的距离,而C A ʅC B ,则d =22r ㊂又因为d =|2+2+1|1+4=5,所以5=22ˑa +5,解得a =5㊂(2)设M (x ,y ),P (x 0,y 0),因为O P ң=2C M ң,即(x 0,y 0)=2(x -2,y +1),解得x 0=2x -4,y 0=2y +2,又点P 在圆C 上,则(x 0-2)2+(y 0+1)2=10,通过代入可得(2x -6)2+(2y +3)2=10,即(x -3)2+y +322=52,所以动点M 的轨迹方程为(x -3)2+y +322=52㊂点评:此题借助平面向量这一基本数学工具,构建动点与相关点之间的坐标关系,为轨迹的确定与方程的求解构建联系㊂此类问题经常通过线段长度的比较关系来设置,利用向量知识的引入或向量法的应用,这是命题人关注试题的交汇性与应用性的一种手段㊂4.交轨法当问题涉及两动曲线的交点的轨迹问题时,往往通过解方程组的方法确定交点(含参数)的坐标,借助消参数求得对应的轨迹方程㊂交轨法往往与参数法综合起来应用㊂例4 已知抛物线C :x2=4y ,过其焦点F 的直线与C 相交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点作C 的切线,相交于点P ㊂(1)求点P 的轨迹方程;(2)若P A ,P B 与x 轴分别交于Q ,R 两点,令әP A B 的面积为S 1,四边形P R F Q 的面积为S 2,求S 1S 2的最小值㊂解析:(1)抛物线C :x 2=4y 的焦点为F (0,1),设A x 1,x 214,B x 2,x 224㊂设直线A B 的方程为y =k x +1,与抛物线的方程联立,消去参数y 并整理可得x 2-4k x -4=0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4㊂对y =x 24求导可得y '=12x ,所以点A 处的切线方程为y -x 214=12x 1(x -x 1),即x 1x =2y +x 214㊂①同理可得点B 处的切线方程为x 2x =2y +x 224㊂②联立①②可得Px 1+x 22,x 1x 24,即为(2k ,-1),故点P 的轨迹方程为y =-1㊂(2)因为|A B |=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 2㊃(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 2㊃16+16k 2=4(1+k 2),而点P 到直线A B 的距离为d =|2k 2+1+1|1+k2=21+k 2,所以S 1=12d |A B |=4(1+k 2)1+k 2㊂又因为Qx 12,0 ,R x 22,0,所以|R Q |=|x 1-x 2|2=41+k 22=21+k 2,所以S 2=12ˑ21+k 2ˑ(1+1)=21+k 2㊂所以S 1S 2=4(1+k 2)1+k 221+k2=2(1+k 2)ȡ2,当且仅当k =0时等号成立,故S 1S 2的最小值为2㊂点评:此题其实是抛物线方程的一个 二级结论 :过抛物线的焦点弦的两端点的切线方程的交点在抛物线的准线上,是一个定值问题㊂涉及圆锥曲线的一些定值(定点㊁定直线㊁定曲线等)问题,这也是新高考在命制试题时创新设置的基本类型之一,以 二级结论 的形式来考查基础知识与基本能力等㊂在 三新 (新教材㊁新课程㊁新高考)背景下,进一步落实 双减 政策与新课改理念,积极贯彻‘总体方案“要求,解析几何中轨迹问题的求解成为该知识模块中落实 四基 的常见方式,探究基础,挖掘本质,尝试创新,着力能力,进而坚持开放创新与核心素养导向,更加注重数学的创新意识与创新应用㊂(责任编辑 王福华)42 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年11月。

轨迹问题的解法举例【问题1】．已知B 为圆122=+y x 上的一个动点，A （2，0），△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形（A ，B ，C 按顺时针排列），如图，求点C 的轨迹方程。

分析：根据求轨迹方程的一般步骤，求C 设C （y x ,），B 是所谓的相关点，设为（11,y x ）AC 和|AB|＝|AC|和12121=+y x 解：设C （y x ,），B （11,y x ），则12121=+y x ，∵△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形， ∴12211-=-⨯-x y x y ① ∴222121)2()2(y x y x +-=+- ②由①得yx x y )2)(2(11---= ③ 把③代入②得221)2(y x =-，∵0,21><y x ，∴y x -=-21，21+-=y x ，把21+-=y x 代入①得21-=x y ，从而所求的轨迹方程为1)2()2(22=-+-y x ． 解题过程看上去不太麻烦，12121=+y x ，得出1x ，这种方法虽然可行，算量比较大。

上述方法是把1y 和21-x 一种基本方法，考试中可能最先想到它，要是计算、变形能力差，中途放弃也有可能，但无论如何是我们必须掌握的一种方法。

请看下面的解法： 解法2：如图2，作PA ⊥x 轴于A ，且|PA|＝2，连结OB ，则|OA|＝|PA|， 由∠BAC ＝∠PAO ＝900，得∠PAC ＝∠OAB ，又|BA|＝|CA|，于是△OAB ≌△PAC ，从而|PC|＝|OB|＝1，故C 点轨迹是以P 为圆心，1为半径的圆，由于P 点坐标为（2，2），因此点C 的轨迹方程为1)2()2(22=-+-y x ．这种方法显然简单！ 这是有一点，这种方法是如何想到的呢？实际上，有了第一种方法的结论，我们会根据结论去寻找方法，解法2就是这样产生的！因此我们说，解法1是根本，解法2具有启发性。

课例研究一、定义法如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以用曲线写出方程，这种方法称为定义法。

例1：1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引一焦点12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，求Q 的轨迹。

解：设(,)Q x y ，延长垂线1FQ 交2F P 延长线于点A ，则1APF ∆是等腰三角形1PF AP ∴=，从而有22122AF AP PF PF PF a =+=+=O 是12F F 的中点，O 是1AF 的中点。

212OQ AF a==即222x y a +=故Q 点的轨迹是以原点O 为圆心半径为a 的圆。

二、直译法如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以利用平面几何知识推出等量关系，这种解题方法叫直译法。

例2：已知点(2,0)Q 和圆22:1C x y +=。

动点M 到圆的切线长m与MQ 的比等于常数λ，求点M 的轨迹方程。

思路分析：用M 的坐标去替换m 。

MQ =λ即可。

为此有m 22222(1)()4410x y x λ−+−λ+λ+=为所求评述：上述过程实质上就是将动点的几何形式直接化规为代数形式（方程），它是求动点轨迹方程的最基本方法。

三、参数法如果轨迹动点(,)P x y 的坐标之间的关系不易找到，也不有相关点可用时，可以先考虑将x 、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得出轨迹方程，此法称为参数法。

例：设有一动直线过定点(2,0)A 且与抛物线22y x =+交于两点B 和C ，点B 、C 在x 轴上的射影分别为B ′、C ′，P 是线段BC 上的点，适合关系BP BB BC CC ′=′，求POA ∆的重心Q 的轨迹方程。

思路分析：此题主要从求交点，即解方程组入手，然后进行参数转移，但需要注意，只要在直线和抛物线相交的条件下，就可求得轨迹方程。

解：设点001122(,),(,),(,)P x y B x y C x y POA ∆的重心(,)Q x y 则0x 、1y 、2y 均大于0，设12y y =λ，则121201221y y y y y y y +λ==+λ+设L 方程为(2)y k x =−0,)k k R ≠∈（1）2(2)2y k x y x =− =+消去x 得222(4)60y k k y k +−+= （2）21221246y y k k y y k+=− ∴ = 则120122124y y ky y y k ==+− （3）又002y k x =− 0044x y ∴−=（4）又00233x x y y +==所以00323x x y y =− = （5）将（5）代入（4）12340x y −−=得 （6）由条件（2）有两异实根，故0∆>即44k k <−>+（7）由（3）、（4）、（5）、（6）、（7）知1644y k =+−而y在(,4(4)k ∈−∞−+∞及上均为单调递减44y 0y ∴<≠所以POA ∆的重心Q 的轨迹为直线12340x y −−=介于(44间的一段，除去3(,4)4点。

轨迹问题一、什么是轨迹？轨迹就是目标点的横纵坐标之间的一个等量关系二、求轨迹的一般方法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。

4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。

可以说是参数法的一种变种。

6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

三、注意事项：1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。

2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。

在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。

3．求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

四、例题分析：（一）、直接法题型：1、在平面直角坐标系中，点、，动点满足．求点的轨迹的方程．2、（2009湖南）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和，求点P的轨迹C；3、（2009海南）已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆的方程‘（2）若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

立体几何中的轨迹问题高考数学有一类学科内的综合题，它们的新颖性、综合性，值得我们重视，在知识网络交汇点处设计试题是高考命题改革的一个方向，以空间问题为为背景的轨迹问题作为解析几何与立体几何的交汇点，由于知识点多，数学思想和方法考查充分，求解比较困难。

通常要求学生有较强的空间想象能力，以及能够把空间问题转化到平面上，再结合解析几何方法求解，以下精选几个问题来对这一问题进行探讨，旨在探索题型规律，揭示解题方法。

一、用空间运动的观点来得到点的轨迹。

例1：直线PA 是平面M 的一条斜线，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 垂直，且交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹。

解：先探讨直线PB 的运动轨迹，由于直线PB 始终与PA 垂直，可知PB 的运动轨迹应是直线PA 的垂直平面N 。

再结合点B 一定在平面M 内，所以点B 的轨迹应该是两个平面的交线，所以点B 的轨迹是一条直线。

针对以上解法，我们对这一问题作一深层次的探讨：若直线PA 与平面M 成α角，直线PB 始终与直线PA 成β角，再来求点B 的轨迹。

由上述解法可知，我们只要得到直线PB 的空间轨迹，再来考察该轨迹与平面M 的交线即可。

由简单的模型模拟即可知，直线PB 的轨迹是一个圆锥面，再用一个平面截圆锥面，这一知识在平面解析几何中圆锥曲线的来历中有提到，即所得曲线可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线。

因此，我们在以下命题：直线PA 是平面M 的一条斜线，且与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 成β角，交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹。

结论： （1）若α=90°，β≠90°，则动点B 的轨迹是一个圆； （2）若α≠90°，β=90°，动点B 的轨迹是一条直线；（3）若α≠90°，β≠90°，则①若90°>α>β，则轨迹是椭圆； ②若α=β，则轨迹是抛物线； ③若α<β，则轨迹是双曲线。

*曲线运动“轨迹”问题的破解—’11备考综合热身辅导系列高级物理教师 魏德田近几年，涉及曲线运动“轨迹”一类问题，不断的出现在高中物理的阶段测试、历届高考中。

及时、有效的破解此类问题，实乃备战11年高考的当务之急。

本文拟就此做一探究。

一、破解的依据破解此类问题，应用以下几条“依据”：㈠判断物体的运动曲线轨迹的产生，根据“合速度与合外力（或合加速度）不共线”，即物体做曲线运动的条件。

㈡判断运动快慢程度改变的方式，若合速度与合外力（或合加速度）成“锐角”，为“加速”曲线运动，力对物体做正功；“恒成直角”，为“匀速率”圆周运动，力对物体不做功；成“钝角”，则为“减速”曲线运动，力对物体做负功。

反映物体速度大小的变化，属于合外力的切向加速效果。

㈢判断曲线的曲率改变，根据向“合外力（或合加速度）一侧”弯曲。

反映物体速度方向的变化，属于合外力的法向加速效果；㈣轨迹的性质（即抛物线、圆、双曲线等），可利用数学知识去证明等等。

至于物体速度的方向沿着某点切线的方向；物体的合速度指实际速度，求合速度、合加速度、合外力，常用运动（矢量）合成的知识；求物体能量的变化，应用“动能定理”、“功能关系或能量守恒”；求物体动量的变化，应用动量定理、动量守恒等等。

在原则上与解答诸类其他问题毫无二致。

二、解题示例[例题1]（’03上海）如图—1所示，质量为m 的飞机以水平速度v 0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不含升力）。

今测得当飞机在水平方向的位移为l 时，它的上升高度为h 。

求：⑴飞机受到的升力大小；⑵从起飞到上升至h 高度的过程中升力所做的功及在高度h 处飞机的动能。

[解析]⑴已知飞机受重力mg 和竖直向上的升力N 等恒力作用，合外力F 合必为恒力。

由牛二定律，可得①ma mg N -----=-由“依据“㈢知，合外力方向是竖直向上的。

已知飞机在水平速度保持不变，再结合“依据”㈡,可知飞机做“类平抛”运动。

空间等距离轨迹的探索永康众所周知，在新教材下，立体几何与平面几何将作为同一模块让学生学习和研究。

而几何学是研究现实世界中的物体的形状，大小与位置关系的数学分支，一般采用直观感知，操作确认，思维辨证，度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。

三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，是高中阶段对学生的基本的要求。

而解析几何是充分体现数形结合的思想，其中有一类是等距离的轨迹问题。

纯粹的解析几何中的等距离轨迹似乎不是难题，但是若把它与立体几何相结合，即把这性质的推广到空间，有时的轨迹并非是简单。

在近一两年的模拟高考中有不少的出现，若学生能把这类问题弄清楚，相信对他的空间想像也是一种完善， 对综合能力也是一种提高。

为此把它进行整理和论证。

在立体几何中，载体虽然有各种各样，但点，线，面依然是我们研究的主要对象（元素），下面就以它们分类讨论(注：等距离是距离相等且非零)。

第一类：到单元素等距离的点的轨迹。

1． 在同一个平面内，到定点等距离的点的轨迹是——一个圆。

2． 在空间，到定点等距离的点的轨迹是——一个球面。

2．在同一个平面内，到定直线等距离的点的轨迹是——两条平行线。

在空间，到定直线等距离的点的轨迹是——一个以此线为轴的圆柱面。

3． 到某一定平面等距离的点的轨迹是——两个平行的平面。

a图1图2图3第二类：到两个同元素等距离的点的轨迹。

1． 在同一平面内，到两定点的距离相等的点的轨迹是——以这两点为线段端点的中垂线。

在空间，到两定点的距离相等的点的轨迹是——这两点的中垂面（过这两点的中点且与这线段垂直的平面）。

2．在同一平面内，到两平行线的距离相等的点的轨迹是——这两线的中分线。

图4在空间，到两平行线的距离相等的点的轨迹是——这两线的中分面（过中分线且与这两线的平面垂直的平面）。

ABAB图1图2a b a b3．在同一平面内，到两相交直线的距离相等的点的轨迹是——这两线所成的角的两条角平分线。