第三章-MATLAB有限元分析与应用

等参数单元的形函数。

按几何关系式和式（其中记号有如下关系式和规则，它们与式中）求逆，得到于是按式（的元素写出为了用的显式，引入矢径及其偏导数的记号如下（（、、的偏导数。

根据复合函数求导的））））和对和分别表示，应变计算公式是个子矩阵，典型的子矩阵是单元刚度矩阵可以分成和）定义。

由式（其中常数应力的计算公式是矩阵，形函数对下面是计算单元刚度矩阵的函数，其中又调用了计算应变矩阵，坐标的导数等子程序。

为了方便阅读，这里一并列出。

等效结点力则采用体积力设单位体积力是为式中和和方向的等效结点力分量为零。

表面力上作用表面力设单元的某边界的等效结点力为的公式有的面上进行积分，按照数学分析的某个边界面上进行的。

例如，对于式中曲面积分是在单元上作用分布力，则在此面上各结点分别是高斯积分的权系数和高斯点。

另外两个高斯积分法的单元自重的等效结点力为的负方向，分阶数时，可以得到多项式积分的精确值。

设单元重力的方向为的符号运算功能得到。

但是一般可以利用高斯积分法，因为取合适的积当体积力的形式比较简单，如为多项式时，则上式能积出显式，可以利用，则移置到各结点上的等效结点力之间的关系，因此）写成和可以用）（，得到表示该曲面的外法线于是式（）可以写成这就是将原来的第一类曲面积分化为第二类曲面积分。

例如，对于的面上，由坐标变换式（，给出来表示，通过计算和归纳，可以将式（）的面上，相应的计算公式只须在上式右端对对于及和将它代入式（，设若单元的某个面上只作用着沿外法线方向荷载方向，则有同时进行轮换就可得到。

基于实际的考虑，式（）和式（）使用时并不方便，因为必须知道作用在单元的哪一个面来确定积分变量，还需要考虑正负符号。

其实根据形函数的特性，即不在某一个面上的结点的形函数在这个面上值为零，因此表面力只对作用面上的结点有贡献。

设单元的某一个曲面上作用有分布表面力，个空间结点组成，该曲面可以用参数方程写成元的形函数。

这里要注意的是，这式（结点等参数单元的形函数，即由式（个结点也必须如图等参数单元的结点顺序排列。

基于Matlab语言的有限元法及其应用
宋克志;刘智儒
【期刊名称】《鲁东大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2004(020)002
【摘要】介绍了有限元法的本质特征及用变分试函数法和残值试函数法导出有限元法的过程,给出了在Matlab语言环境下实现有限元法的步骤.利用Matlab语言中的PDE工具箱求解偏微分方程具有简便、快速、可视化程度高等优点,能满足精度要求,并以一个工程实例说明了利用有限元法求解偏微分方程从而解决实际问题的方法.
【总页数】3页(P100-102)
【作者】宋克志;刘智儒
【作者单位】烟台师范学院交通学院,山东,烟台,264025;北京交通大学隧道及地下工程试验研究中心,北京,100044;烟台师范学院交通学院,山东,烟台,264025
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82;TB115
【相关文献】
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3.基于MATLAB语言在物理教学中的应用——光栅衍射仿真实验 [J], 葛立新;陈荣;吕思斌;许永红;沈国浩;刘晓伟
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Matlab在线性立体有限元分析中的应用摘要：Matlab具有强大的运算功能，本文以线性四面体元为例，详细介绍MATLAB在刚度矩阵推导，静力结构等有限元分析中的具体应用，编写了刚度矩阵，引用边界条件以及后处理各步骤的程序，该方法可以进一步推广到其他单元甚至更复杂的结构分析中。

关键词：Matlab 有限元刚度矩阵0 引言Matlab是美国MathWork公司开发的用于数值计算，算法研究，建模仿真，实时实现的理想集成环境，因其完整的专业体系和强大的运算功能已广泛应用于工业、电子、信号处理、控制、建筑、教学等各个领域。

有限元是近代数值计算最有效方法之一．有限元法的基础是单元划分以及刚度矩阵的推导，目前，有限元分析已有一个相对固定的模式，而烦琐、复杂的矩阵运算、微分、积分是分析过程中的主要内容．通常，这种矩阵运算是由手工来完成的，工作量大，而且极易出错．利用MatLab丰富的符号运算功能，构建有限单元模型，完成刚度矩阵推导及后处理过程中的运算，不但速度快，而且准确性高。

利用Matlab编写函数M文件并在运算过程中调用，能够依据具体问题对模型进行分析运算，并能在类似问题中得到推广应用。

1 线性四面体有限元分析中的基本方程线性四面体（立体）元（liner tetrahedral(solid)element）是既有局部坐标又有总体坐标的三维有限元，用线性函数描述。

线性四面体元的系数有弹性模量E 和泊松比ν，每个线性四面体与元有四个节点并且每个节点有三个自由度，如图1所示。

这四个节点的总体坐标用111x （,y ,z ）、222x （,y ,z ）、333x （,y ,z ）、444x （,y ,z ）表示。

单元刚度矩阵给定如下：[][][][]T k V B D B = （1.1）式中V 是单元的体积，由下式给出：11122233344411611x y z x y z V x y z x y z =（1.2）图1 线性四面体（立体）元 矩阵[]B 由下式（1.3）确定：[]312431243124331122443311224431122000000000000000000000000000000000x x x x y y y y z z z z y x y x y x y x z y z y z y z y zxzxN N N N N N N N N N N N B N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂3440zxzx N N N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦在方程（1.3）中，形函数由下式给出：111111()6N x y z V αβγδ=+++222221()6N x y z V αβγδ=+++333331()6N x y z Vαβγδ=+++444441()6N x y z Vαβγδ=+++ （1.4）在方程（1.1）中，矩阵[]D 由下式（1.5）确定：[]10001000100012000002(1)(12)120000021200002E D νννννννννννννν-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2 建立的Matlab 函数TetrahedronElementV olume(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4),该函数根据给出的第一个节点坐标111(,,)x y z ，第二个节点坐标222(,,)x y z ，第三个节点坐标333(,,)x y z 和第四个节点坐标444(,,)x y z 返回单元的体积。

第三章MATLAB有限元分析与应用有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）是一种工程计算方法，用于解决结构力学和流体力学等问题。

它将一个复杂的结构分割成多个简单的离散单元，通过建立数学模型和求解方程组，得到结构的力学、热力学和流体力学等性能参数。

MATLAB是一种功能强大的数学计算软件，具有直观的用户界面和丰富的工具箱，可以方便地进行有限元分析。

本章将介绍在MATLAB中进行有限元分析的基本步骤和方法，以及一些常见的应用例子。

首先，进行有限元分析需要将结构进行离散化。

常用的离散化方法有节点法和单元法。

节点法是将结构的几何形状划分为小的节点，并在节点上进行计算。

单元法是将结构划分为多个小的单元，并在每个单元内进行计算。

在MATLAB中，可以通过创建节点和单元的矩阵来描述结构和单元的关系。

例如，创建一个2D结构形式的节点矩阵：nodes = [0 0; 1 0; 0 1; 1 1];然后，通过创建描述节点连接关系的矩阵，来定义结构的单元：elements = [1 2 3; 2 4 3];这里的每一行代表一个单元，数字表示节点的编号。

接下来，需要定义材料的力学参数和边界条件。

材料的力学参数包括弹性模量、泊松比等。

边界条件包括支座约束和加载条件。

在MATLAB中，可以通过定义力学参数和边界条件的向量来描述。

例如，定义弹性模量和泊松比的向量：E=[200e9200e9];%弹性模量nu = [0.3 0.3]; % 泊松比定义支座约束的向量（1表示固定，0表示自由）：constraints = [1 1; 0 0; 0 1; 0 1];定义加载条件的向量（包括点力和面力）：最后，通过求解方程组得到结构的应力和位移等结果。

在MATLAB中，可以利用有限元分析工具箱中的函数进行计算。

例如，可以使用“assem”函数将节点和单元的信息组装成方程组，并使用“solveq”函数求解方程组。

有限元数值解法在MATLAB中的实现及可视化摘要：偏微分方程的数值解法在数值分析中占有很重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题。

在学习初等函数时，总是先画出它们的图形，因为图形能帮助我们了解函数的性质。

而对于偏微分方程，画出它们的图形并不容易，尤其是没有解析解的偏微分方程，画图就显得更加不容易了。

为了从偏微分方程的数学表达式中看出其所表达的图形、函数值与自变量之间的关系，通过MATLAB编程，用有限元数值解法求解了偏微分方程，并将其结果可视化。

关键词：偏微分方程；MATLAB；有限元法；可视化1 引言（Introduction）偏微分方程的数值解法在数值分析中占有很重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题。

近三十多年来，它的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。

例如，核武器的研制要有理论设计和核试验。

但核反应和核爆炸的过程是在高温高压的条件下进行的，而且巨大的能量在极短的时间内释放出来，核装置内部的细致反应过程及各个物理量的变化是根本不能用仪器测量出来的，核试验只是提供综合的数据。

而描述核反应和爆炸物理过程的数学模型是一个很复杂的非线性偏微分方程组，也根本没有办法得到这个方程组理论上的精确解。

所以发展核武器的国家都在计算机上对核反应过程进行数值模拟，这也称为“数值核实验”，它可以大大减少核试验的次数，节约大量的经费，缩短研制的周期[1]。

在学习初等函数时，总是先画出它们的图形，因为图形能帮助我们了解函数的性质。

而对于偏微分方程，画出它们的图形并不容易，尤其是没有解析解的偏微分方程，画图就显得更加不容易了。

所以本文主要研究如何用MATLAB数值求解偏微分方程，并将其数值解绘制成三维图形的形式，从而可以从复杂的数学表达式中看出其所表达的图像、函数值与自变量之间的关系[2]。

2 有限元法（Finite element method）2.1 有限元法概述有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。

有限元在ANSYS和MATLAB中的应用工程学院摘要: 文章简述了有限元分析的基本理论及其求解问题的基本步骤, 介绍了ANSYS 软件的应用,介绍了Matlab 语言特点，给出了Matlab 环境下实现有限元的步骤。

说明如何使用Matlab 进行有限元分析,使用该方法进行分析具有精度高、简便、快速及可视化等诸多优点，具有较强的使用价值。

关键词: 有限元分析; ANSYS 软件; 用Matlab 进行有限元分析的优点1 有限元分析基本理论有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。

它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成, 对每一单元假定一个合适的近似解,然后推导求解这个域的满足条件, 从而得到问题的解。

这个解不是准确解,而是近似解, 因为实际问题被较简单的问题所代替。

由于大多数实际问题难以得到准确解,而有限元不仅计算精度高, 而且能适应各种复杂形状, 因而成为行之有效的工程分析手段。

有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元[1]。

有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用, 例如用多边形逼近圆来求得圆的周长, 但作为一种方法而被提出, 则是最近的事。

有限元法最初被称为矩阵近似方法, 应用于航空器的结构强度计算, 并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。

经过短短数十年的努力, 随着计算机技术的快速发展和普及, 有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域, 成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。

有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。

1.1有限元求解问题的分析过程第一步, 问题及求解域定义: 根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。

第二步, 求解域离散化: 将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域, 习惯上称为有限元网络划分。

MATLAB有限元分析与应用有限元分析是一种基于数值方法的结构分析技术，广泛应用于工程领域中各种结构的设计与优化。

MATLAB作为一种强大的计算软件，提供了丰富的数值计算、数据可视化和编程功能，成为了进行有限元分析与应用的首选工具之一MATLAB的有限元分析工具箱（FEA）提供了一系列函数和工具，用于构建、求解和分析有限元模型。

用户可以根据实际问题构建有限元模型，包括定义几何形状、材料属性、边界条件和加载情况等。

利用有限元分析工具箱提供的函数，用户可以生成刚度矩阵和负载向量，并求解有限元方程组，得到结构的位移、应力和应变等信息。

此外，MATLAB还提供了可视化工具，可以将计算结果以图形的形式展示出来，方便用户进行结果的分析和评估。

1.结构力学：有限元分析可用于评估结构的强度和刚度，进行结构的静力和动力响应分析。

例如，在设计建筑物和桥梁时，可以通过有限元分析评估结构的变形、应力和疲劳寿命，确保结构的安全性和稳定性。

2.流体力学：有限元分析可用于求解流体介质中的运动方程和温度分布，分析流体流动的特性。

例如，在航空航天领域中，可以使用有限元分析来计算飞机机翼的气动性能，并优化机翼的设计。

3.电磁场：有限元分析可用于求解电磁场的分布和场强，以及电磁场对物体的影响。

例如，在电力系统中，可以使用有限元分析来评估导线和电力设备的电磁场分布，预测设备的电磁辐射水平，以及优化电磁屏蔽设计。

4.热传导：有限元分析可用于求解热传导方程，分析物体的温度分布和热流量分布。

例如，在热管理领域中，可以使用有限元分析来优化散热器的设计，提高散热效率。

5.多物理场耦合：有限元分析可用于求解多个物理场的耦合问题，分析各个物理场之间的相互影响。

例如，在电动汽车的电池设计中，可以使用有限元分析来研究电池的温升、电动力学响应和热耦合效应。

总之，MATLAB的有限元分析与应用广泛应用于工程领域中各种结构的设计与优化。

它提供了方便的数值计算、数据可视化和编程功能，可用于求解各种结构的力学、热力学、电磁学等问题。

有限元的MATLAB解法1.打开MATLAB。

2.输入“pdetool”再回车，会跳出PDE Toolbox的窗口（PDE意为偏微分方程，是partial differential equations的缩写），需要的话可点击Options菜单下Grid命令，打开栅格。

3.完成平面几何模型：在PDE Toolbox的窗口中，点击工具栏下的矩形几何模型进行制作模型，可画矩形R，椭圆E，圆C，然后在Set formula栏进行编辑并（如双脊波导R1+R2+R3改为RI-R2-R3,设定a、b、s/a、d/b的值从而方便下步设定坐标）用算术运算符将图形对象名称连接起来，若还需要，可进行储存，形成M文件。

4.用左键双击矩形进行坐标设置：将大的矩形left和bottom都设为0，width是矩形波导的X轴的长度，height是矩形波导的y轴的长度，以大的矩形左下角点为原点坐标为参考设置其他矩形坐标。

5.进行边界设置：点击“Boundary”中的“Boundary Mode”,再点击“Boundary”中的“Specify Boundary Conditions”,选择符合的边界条件，Neumann为诺曼条件,Dirichlet为狄利克雷条件，边界颜色显示为红色。

6.进入PDE模式：点击"PDE"菜单下“PDE Mode”命令，进入PDE 模式，单击“PDE Specification”,设置方程类型，“Elliptic”为椭圆型，“Parabolic”为抛物型，“Hyperbolic”为双曲型，“Eigenmodes”为特征值问题。

7.对模型进行剖分：点击“Mesh”中“Initialize Mesh”进行初次剖分，若要剖的更细，再点击“Refine Mesh”进行网格加密。

8.进行计算：点击“Solve”中“Solve PDE”,解偏微分方程并显示图形解，u值即为Hz或者Ez。

9.单击“Plot”菜单下“Parameters”选项，打开“Plot Selection”对话框。

有限元课程设计matlab一、课程目标知识目标：1. 学生能理解有限元分析的基本原理，掌握运用MATLAB进行有限元建模和求解的基本步骤。

2. 学生能够运用MATLAB软件进行简单物理场的有限元模拟，并解释模拟结果。

3. 学生掌握如何将实际问题抽象为有限元模型，并能够运用MATLAB进行模型参数的设定和调整。

技能目标：1. 学生能够独立操作MATLAB软件，进行有限元模型的构建和求解。

2. 学生能够通过MATLAB编程实现有限元模型的自动化处理，包括前处理、求解和后处理。

3. 学生通过解决实际问题，提高数值分析能力和计算机应用能力。

情感态度价值观目标：1. 学生培养对科学研究的兴趣，特别是在工程计算和仿真领域。

2. 学生通过解决实际问题，体会数学和工程结合的美，增强对工程问题的探究欲望。

3. 学生通过团队合作解决问题，培养协作精神和解决问题的能力。

本课程针对高年级本科生或研究生，他们具备一定的数学基础和编程能力。

课程性质偏重实践，旨在通过MATLAB这一工具将有限元理论应用于具体问题的求解。

课程目标旨在使学生不仅掌握理论知识，而且能够实际操作，将理论知识转化为解决实际问题的技能。

通过课程学习，学生应能够将所学知识应用于未来的学术研究或工程实践中。

二、教学内容1. 有限元方法基本原理回顾：包括有限元离散化、单元划分、形函数、刚度矩阵和载荷向量等概念。

- 教材章节：第二章 有限元方法基础2. MATLAB编程基础：介绍MATLAB的基本操作、数据结构、流程控制、函数编写等。

- 教材章节：第三章 MATLAB编程基础3. MATLAB中的有限元工具箱使用：学习如何使用MATLAB内置的有限元工具箱进行建模和求解。

- 教材章节：第四章 MATLAB有限元工具箱介绍4. 有限元模型构建与求解：结合实际问题，学习如何构建有限元模型，并进行求解。

- 教材章节：第五章 有限元模型构建与求解5. 实例分析与上机操作：通过案例分析，让学生实际操作MATLAB软件，解决具体的有限元问题。

收稿日期:2003-08-11作者简介:宋建辉(1968-),女,浙江余姚人,广东湛江卫生学校电教中心讲师,从事计算机应用和教学研究. 2003年12月第24卷第6期湛江师范学院学报JOURNAL OF ZHANJI ANG NOR MAL COLLEGE Dec 1,2003Vol 124 No 16Matlab 语言及其在有限元编程中的应用宋建辉1,涂志刚2.3(11广东湛江卫生学校电教中心,广东湛江524037;21中山大学化学与化学工程学院,广东广州510275;31广东湛江包装材料企业有限公司,广东湛江524022)摘 要:通过运用Matlab 语言进行聚合物异型材口模挤出的三维流动计算机模拟,详细比较了Matlab 语言与其它高级语言进行有限元编程的优缺点,并讨论了用Matlab 语言进行有限元编程的方法及技巧,实践证明,Matlab 是进行有限元工程计算编程的高效编程工具.关键词:Matlab;有限元;编程中图分类号:O48415 文献标识码:A 文章编号:1006-4702(2003)06-0101-05Matlab 是美国Mathworks 公司推出的一种以矩阵为基本单位的高效数值计算语言,直观易学,其代码非常符合人们的思维习惯,被称为/演算纸式0编程语言.近年来,Matlab 在国内许多设计单位和科研机构特别是高校得到了广泛的应用,它主要应用于自动控制系统、数字信号处理、时间系列分析等方面.本文根据笔者运用Matlab 语言进行聚合物异型材口模挤出的三维流动计算机模拟研究的实践探索,从有限元工程计算方面讨论了用Matlab 语言编制程序的优缺点,并提供了有限元程序设计的方法及技巧.1 聚合物异型材口模挤出的三维罚有限元方法由于聚合物异型材挤出口模内高分子熔体流动状态的复杂性,在其流变学分析过程中,根据熔体的特点,作如下假设:稳态层流、壁面粘附、惯性力和重力不计,等温流动、熔体不可压缩.从上述假设可以得到高分子熔体在口模内流动的控制方程为[1,2]连续方程 ¨#U =0或div U =0(1)动量方程 -¨P +¨#S =0(2)式中U -速度矢量(m P s),S -应力张量(Pa),P-压力(Pa).¨-是一个微分算子,¨=D 199x +D 299y +D 399z,D i (i=1,2,3)-单位矢量;div 表示散度.研究中采用广义牛顿流体模型,其应力-应变关系如下S =2G (C #)C#(3)式中G -粘度(Pa #S),C #-形变速率张量.在这种情况下,对高分子熔体流动场进行流变学研究,实质上就是要求解式(1)~(3)组成的方程组.2 Matlab 应用于有限元程序设计的优缺点有限元方法是利用计算机求解数学物理或工程实际中的微分方程问题或偏微分方程问题的一种系统化的数值计算方法,有限元方法的一个显著特点是在迭代求解过程中涉及大量的矩阵计算.对于一个完善的有限元软件,它包括的基本模块有前置处理、求解器、后置处理,若用其它高级语言开发,如C 、C ++、Fortran 等,编程的工作量十分浩大,开发的周期很长,而利用Matlab 进行有限元设计有以下优点.2.1 语言简洁紧凑、使用方便灵活、库函数极其丰富,几乎包括有限元编程中的所有基础程序Matlab 是一个强大的数值计算软件,在数值计算方面,除了包括基本的数学函数、基本矩阵和数组运算函数以及多种插值函数之外,而且具有矩阵的求逆、LU 分解、QR 分解、矩阵指数运算等几乎所有的矩阵函数及矩阵分析函数;另外它还包括强大的稀疏矩阵的存储、初等变换、分解、特征值和奇异值的求解等功能,以及提供了系数阵为稀疏矩阵的线性方程组的各种解法.Matlab 提供的所有这些数值计算方面的功能,对有限元编程中的数据存储、单元刚度矩阵的生成、刚度矩阵的集成、线性方程组的求解等方面大有益处,根本无需编程人员去编制有限元中的基础程序,大大减少了工作量及提高了编程效率.2.2 可视化及强大的图形功能Matlab 可以给出数据的二维、三维、乃至四维等数据表现以及绘制一般科技绘图软件所能绘制的几乎所有图形,如曲线图、网格图、等直线图、表面图等,Matlab 这些功能为有限元模拟结果的可视化提供充分的表现力度,这往往是有限元数据处理中最为困难的事.除此之外,Matlab 具有较强的应用程序界面编制功能,而且提供了专门的界面编制工具(GUI Layout Tool),利用它可以编制理想的用户界面.2.3 含有多种学科的工具箱(ToolB ox)以及程序代码的公开性Matlab 提供的学科性工具箱可以使用户无需编写自己学科范围内的基础程序,大大节约编程时间.例如,Matlab 工具箱中的偏微分方程工具箱(PDE)就是利用Matlab 编制的有限元基础程序库.另外,Matlab 具有有限元中网格生成的计算几何学的各种基础程序,而且偏微分方程工具箱(PDE)中已具备三节点三角形网格生成功能.值得指出的是,现在很多大学及研究机构已开发出了各种工具箱,如伯明翰大学开发的GB T(Geometric Bounding Toolbox),它可以进行3D 或3D 以上的几何模型数据处理;康乃尔大学计算机科学部开发的含有二维和三维几何建模、网格生成以及有限元求解等功能的软件;所有这些基于Matlab 语言编制的工具箱软件,它的原代码几乎是全部公开的,任何编程用户都可以通过对原代码文件进行修改并加入自己的文件构成新的工具箱.2.4 程序可移植性好Matlab 几乎可以在各种机型和操作系统上运行,所以在可移植性和可扩充性上,Matlab 远远优于其它的高级编程语言.然而和其他的高级语言相比,由于Matlab 的程序不用编译等预处理,程序的执行速度比较慢,但如果能将Matlab 编制的程序生成可执行程序(*.dll 或*.exe),这一点将得到改观.Matlab 102湛江师范学院学报(自然科学) 第24卷除了本身自带的编译器(mcc v2.0)外,也能用其他的各种高级语言(如C,C ++,Fortran)编译器编译,另外已有很多商业化的Matlab 语言编译器,其中最为推崇的要数Matools 公司利用Matcom 技术编写了Mideva 工具软件,它可以借助于C++编译器将Matlab 下的m-文件转换成为可以被Visual C ++、Visual Basic 、E xecel 、Delphi 等调用的DLL(动态连接库)或者脱离Matlab 的独立的可执行文件,这大大提高了程序的执行速度和节约了计算机内存,同时也保证了程序代码的保密性.3 Matlab 有限元程序设计方法在开始进行有限元程序设计时,可以先打开Matlab 的程序编辑器(同时又是调试器)编写有限元的程序模块,Matlab 的编制函数形式为:function [outpar1,outpar2,,]=AdaptMesh(inpar1,inpar2,,)function-定义一个函数;[outpar1,ooutpar2,,]-函数的输出参数;AdaptMesh()-函数名;inpar1,inpar2-函数输入参数;函数的调试可以在Matlab 命令窗口或其调试器[medit.exe]中进行,调试方法包括设置断点、清除断点、运行当前行、变量检查等多种方法,其调试非常方便,而且它可以以报表(profile 命令)的形式提供程序中每条语句的运行所需时间,便于程序设计人员对程序优化,删除不必要的运算,采用省时的算法.而且Matlab 具有结构化的控制语句(如for 循环、while 循环、break 语句和if 语句),又有面向对象编程的特征(类和对象),同时它提供了Fortran 、C 和C++高级语言的接口,对于熟悉Fortran 、C 和C ++高级语言的工程人员可以采用混合编程的方法,为编程提供了广阔的空间,同时可以重复利用以前已编制好的Fortran 、C 和C++高级语言的源程序,减少重复性工作.Matlab 与其它高级语言的接口可参阅文献[3-5].由于Matlab 的基本数据为矩阵和向量,所以编程时,应尽量对向量和矩阵编程,而不是像其它高级语言编程对矩阵每个元素编程,通过向量化对Matlab 编程程序优化可以大大提高运算速度,节约内存[3].4 Matlab 有限元编程实例有限元方法最显著的特征是矩阵推导及运算,最后求解归结于对系数阵为稀疏矩阵的线性方程组的求解,下例是笔者开发的聚合物口模挤出有限元模拟系统中的一段程序,旨在说明Mat -lab 对有限元中数据存储及求解系数阵为稀疏矩阵的线性方程组方面的优势.function Result=SolveTC oeff(node,elem,bc ond)%node 为有限元中离散网格节点坐标(x ,y ,z );%ele m 为有限元中单元节点编号103第6期 宋建辉等:Matlab 语言及其在有限元编程中的应用%bcond 为有限元求解中的边界条件node num=length(node)P 3;%利用函数length 计算节点个数[TCoeffA,TcoeffB]=AssemElemCoeff(node,elem,bcond);%组装单元刚度矩阵%TC oeffA,TcoeffB 为函数返回的总体系数阵TCoeffA =sparse(TC oeffA);%把总体系数阵TCoeffA 转化为稀疏阵TCoeffB=sparse(TC oeffB);%把总体系数阵TCoeffB 转化为稀疏阵Result=TC oeffA \TCoeffB;%Matlab 根据TC oeffA 情况,采用最优化方法(Matlab%提供了4种高斯消去法或其变种,另外还提供了6个迭代法求解函数)求解系数阵为%稀疏矩阵的线性方程组从上面例子可以看出,Matlab 编程非常简洁紧凑,它不像高级语言C 、C ++牵涉复杂的指针问题,在对矩阵进行稀疏存储及运算时,若用高级语言C 或Fortran 编程,稀疏矩阵存储至少需要几十行语句.最麻烦的是对系数阵为稀疏矩阵的线性方程组求解,它需要对矩阵中的每个元素循环,而且要考虑算法的稳定性,其代码的调试更是不容易.而在Matlab 中,这些功能函数都是本领域的专家编写,用户不必担心函数的可靠性,直接利用方便简单,效率高.又比如聚合物口模挤出有限元模拟系统中其中一个后置处理模块的一段程序,它的主要功能是挤出口模内任一截面上速度分布处理,虽然语句不到20行,但实现了对有限元数据等值线,三维网格图可视化处理;在Matlab 中还有很多其它的函数,例如等值线色彩图(contourf)、表面图(surf)、矢量图(quiver 、quiver3)、流线图(Streamline)等,它们对有限元数据的可视化处理都很有用,如果这些函数都由研究工作者自己开发,工作量之大是可想而知,也很没有必要.以上两个例子只说明Matlab 在有限元编程中矩阵运算和后置处理方面的优势,其实Matlab 在有限元几何建模、网格离散、计算求解、后置处理等各个方面都有其它高级语言无法相比的优势.另外Matlab 具有动画制作功能,利用它可以把有限元计算结果动画显示.在聚合物口模挤出有限元模拟系统中,笔者利用Matlab 此项功能实现了动态观察聚合物熔体在异型材挤出口模中的流动过程.图1 聚合物熔体在异型材口模中的流动过程图Figure 1Fl ow of Polymer Melts in Profile Dies5 结束语Matlab 是以矩阵和向量为基本数据单位,集科学计算、图像处理、声音处理于一体的高度集成系统,程序可读性及编程效率远远超过其他的高级语言;而且提供了多种高级语言的编程接口,具有能和其他高级语言进行混合编程,强大的图像处理及可视化功能等优点而成为当今最为流行的科技数值计算软件.笔者结合聚合物口模挤出三维有限元模拟系统的开发,研究了Matlab 语言在有限元编程中的应用,并着重从Matlab 强大的矩阵运算及可视化处理两方面说明Matlab 在有限元编程中的巨大优越性.因此,利用Matlab 进行工程数值计算有限元编程或和其它高级语言混合编程,将是有限元编程工程人员的一个最好的选择.104湛江师范学院学报(自然科学) 第24卷参考文献:[1] 涂志刚1聚合物口模挤出三维流动研究[D]1南昌:南昌大学机电学院,2001.[2] 柳和生1罚有限元法在聚合物成型加工研究中的应用[J]1青岛化工学院学报,1995,16(4):376-381.[3] 肖志权1在VB5.0中使用和操作Matlab[J]1微型电脑应用,2000,(4):13-16.[4] 段晓君1Matab 函数转换为VB 可用的DLL[J]1微型机与应用,2000,(5):7-10.Matlab Language and Its Applicationin Finite Element ProgrammingSONG Jian-hui 1,TU Zhi-gang 2,3(11Center of Educati on Tec hnology,Zhanjiang Medical School,Zhanjiang,Guangdong 524037,Chi na;21School of Che mical and Chemical Engineering,SunYat-sen University,G uangzhou,Guangdong 510275,China;31Zhanjiang Packagi ng M ateri al Enterprises Ltd.,Zhanjiang,Guangdong 524022,Chi na)Abstract :This paper presents the advantages and disadvantages of Matlab for progra mming finite ele -ments in comparison with other advanced languages,and discusses the methods and techniques of Matlab langua ge including computer modeling of three-dimensional flow for polymer melts extrusion from profile dies.It is showed that Matlab language is the best tool for programming in engineering calculation with finite ele ment method.Key words :matlab;finite ele ment method;progra mming 105第6期宋建辉等:Matlab 语言及其在有限元编程中的应用。

matlab用有限元法求解偏微分方程组使用有限元法求解偏微分方程组是一种常见的数值计算方法，它在工程领域和科学研究中广泛应用。

本文将介绍如何利用MATLAB软件进行有限元法求解偏微分方程组的基本步骤和注意事项。

我们需要了解有限元法的基本原理。

有限元法是一种将连续问题离散化为有限个小区域，通过在每个小区域内建立适当的数学模型，然后将这些小区域连接起来形成整个问题的数学模型的方法。

在有限元法中，我们通常将问题的域分割成许多小的有限元，每个有限元都具有简单的几何形状，如线段、三角形或四边形。

然后，在每个有限元上建立适当的近似函数，通过对这些函数的系数进行求解，我们可以得到问题的近似解。

在MATLAB中，有限元法的求解过程可以分为以下几个步骤：1. 离散化域：根据问题的几何形状，将问题的域进行离散化处理。

离散化可以采用三角剖分法或四边形剖分法，将域分割成许多小的有限元。

2. 建立数学模型：在每个有限元上建立适当的数学模型。

这通常涉及选择适当的近似函数，并在每个有限元上求解这些函数的系数。

3. 组装方程：将每个有限元上的数学模型组装成整个问题的数学模型。

这涉及到将有限元之间的边界条件进行匹配，并建立整个问题的刚度矩阵和载荷向量。

4. 求解方程：利用线性代数求解方法，求解得到问题的近似解。

MATLAB提供了各种求解线性方程组的函数，如“\”运算符、LU 分解和共轭梯度法等。

5. 后处理：对求解结果进行后处理，包括绘制解的图形、计算问题的误差等。

在进行有限元法求解偏微分方程组时，需要注意以下几点：1. 网格剖分的合理性：网格剖分的精细程度对结果的精确性有很大影响。

网格过于粗糙可能导致结果的不准确，而网格过于细小则会增加计算的复杂性。

因此，需要根据问题的特点和计算资源的限制选择合适的网格剖分。

2. 近似函数的选择：近似函数的选择直接影响到结果的准确性和计算的效率。

一般情况下，近似函数的阶数越高，结果的准确性越高，但计算的复杂性也越大。

一、概述Matlab是一种常用的数学软件，它提供了丰富的工具和函数，可用于解决各种数学问题。

其中，有限元法是一种常用的数值求解方法，它可用于求解微分方程的本征值问题。

本文将探讨如何使用Matlab进行有限元求解微分方程的本征值问题。

二、有限元法简介有限元法是一种数值分析方法，它通过将连续的物理问题离散化为有限数量的单元或网格，然后利用线性代数方法求解离散问题，从而得到原始的连续问题的近似解。

在微分方程的求解中，有限元法可用于求解微分方程的本征值问题，即确定微分方程的本征值和本征函数。

三、使用Matlab进行有限元求解微分方程的本征值问题1. 离散化微分方程需要将微分方程离散化为有限元形式。

这通常涉及将微分方程转化为一个矩阵形式的代数方程组。

对于一维问题，可以将区域离散化为一系列节点，并将微分方程表示为每个节点上的代数方程。

对于二维或三维问题，可以将区域离散化为网格或单元，并在每个单元中求解微分方程。

2. 构建刚度矩阵和质量矩阵一旦微分方程被离散化，就可以构建刚度矩阵和质量矩阵。

刚度矩阵描述了系统的刚度和连接性，质量矩阵描述了系统的质量和惯性。

这两个矩阵可以通过有限元方法和数值积分计算得到。

3. 求解本征值问题一旦刚度矩阵和质量矩阵被构建，就可以通过求解本征值问题来得到微分方程的本征值和本征函数。

这通常涉及求解特征值问题，即寻找一个非零向量，使得矩阵乘以该向量等于特征值乘以该向量。

4. 使用Matlab进行求解Matlab提供了丰富的工具和函数，可用于构建刚度矩阵和质量矩阵，并求解本征值问题。

使用Matlab的有限元工具箱或相关函数，可以方便地进行有限元求解微分方程的本征值问题。

四、案例分析下面通过一个简单的例子来说明如何使用Matlab进行有限元求解微分方程的本征值问题。

考虑一维弦的振动问题，其微分方程为：$$\frac{d^2u}{dx^2} +\omega^2u = 0$$其中$u$为弦的位移，$x$为弦的位置，$\omega$为本征频率。

为了使用matlab进行有限元分析，我们必须首先学习MATLAB 的基本操作以及使用MATLAB进行有限元分析的基本操作。

复习：最后一课分析弹簧系统，得出系统刚度矩阵matlab有限元分析20140226 matlab有限元分析20140226为了使用matlab进行有限元分析，我们首先必须学习MATLAB的基本操作，还要学习使用matlab进行有限元分析的基本操作。

1.回顾：最后一堂课分析了弹簧系统并推导出系统刚度矩阵。

2.为了使用matlab进行有限元分析，我们应该首先学习MATLAB的基本操作，然后再学习使用MATLAB进行有限元分析的基本操作。

Matlab有限元分析20140226为了使用Matlab进行有限元分析，首先必须学习MATLAB的基本操作以及使用MATLAB进行有限元分析的基本操作。

1.回顾：在上一课中对弹簧系统进行了分析，并得出了系统刚度矩阵。

2. MATLAB有限元分析的基本运算单位划分（选择哪个单位和划分多少个元素）分为两部分：单位选择和单位数回顾：最后一课分析了运算的基础MATLAB弹簧系统有限元分析matlab有限元分析20140226为了使用matlab进行有限元分析，我们首先应该学习MATLAB的基本操作，也要学会使用matlab进行有限元分析的基本操作。

1.回顾：最后一堂课分析了弹簧系统并推导出系统刚度矩阵。

2. Matlab导出系统刚度矩阵。

Matlab有限元分析的操作基础Matlab有限元分析20140226为了使用MATLAB进行有限元分析，首先必须学习MATLAB的基本操作，还必须学会使用Matlab 进行有限元分析的基本操作。