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数值计算方法在流体力学中的应用流体力学是研究流体的运动和变形规律的科学。
在工程和科学领域中，流体力学的应用非常广泛，涉及到许多实际问题的解决。
为了解决这些问题，数值计算方法在流体力学中得到了广泛应用。
本文将介绍数值计算方法在流体力学中的应用，并深入探讨其中的一些具体方法。
一、有限差分方法有限差分方法是一种常用的数值计算方法，在流体力学中被广泛运用。
该方法通过将偏导数转化为有限差分的形式，将微分方程转化为代数方程，从而进行数值求解。
在流体力学中，有限差分方法可以用来求解流体的速度场、温度场、压力场等物理量的分布情况。
采用有限差分方法进行数值计算时，我们需要将流体区域分割成离散网格，然后根据有限差分格式求解离散方程组。
通过不断迭代，可以得到流体在各个时刻的分布情况。
二、有限体积方法有限体积方法是另一种常见的数值计算方法，在流体力学中被广泛应用。
该方法通过将控制体积内的流体守恒方程进行积分，将偏导数转化为有限体积的形式，从而得到离散的代数方程。
有限体积方法在流体力学中的应用很广泛，例如用于计算流体的边界层、湍流等复杂流动现象。
相比于有限差分方法，有限体积方法具有更好的保守性和稳定性，可以较好地处理流体力学中的守恒方程。
三、有限元方法有限元方法是一种广义的数值计算方法，可以应用于各个领域，包括流体力学。
在流体力学中，有限元方法主要用于求解流体力学中的边界值问题。
例如，我们可以使用有限元方法来计算流体的压力、速度、温度等物理量在复杂边界条件下的分布情况。
有限元方法的基本思想是将流体区域离散为许多小的单元，通过求解每个单元的代数方程，最终得到整个流体区域的分布情况。
四、流体-结构相互作用数值模拟在工程实践中，流体和结构之间的相互作用是一个重要的问题。
例如，在飞行器、汽车、建筑物等工程中，流体的作用会引起结构的变形和振动。
为了解决这个问题，数值模拟可以起到重要的作用。
数值模拟可以通过将流体和结构分别离散化，然后采用耦合求解的方法，得到流体作用下的结构响应。
有限单元法原理与应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、热传导等问题的求解。
它将复杂的结构或物理现象分割成有限数量的简单单元，通过对每个单元进行数学建模和分析，最终得出整个系统的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和其在工程领域中的应用。
有限单元法的基本原理是将连续的物理现象离散化为有限数量的单元，每个单元都可以通过简单的数学方程来描述。
这些单元相互连接，形成一个整体的系统，通过对每个单元的行为进行分析，最终得出整个系统的行为。
有限单元法的核心思想是将复杂的问题简化为简单的数学模型，通过数值计算方法求解这些模型，从而得到系统的行为。
有限单元法在工程领域有着广泛的应用。
在结构分析中，可以用有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机机翼等，通过对结构的受力、变形等进行分析，来评估结构的安全性和稳定性。
在流体力学中，有限单元法可以用来模拟流体的流动行为，如水流、气流等，通过对流体的速度、压力等进行分析，来优化流体系统的设计。
在热传导问题中，有限单元法可以用来模拟物体的温度分布和传热行为，如热传导、对流、辐射等，通过对热场的分析，来优化热传导系统的设计。
有限单元法的应用还不仅限于工程领域，它也被广泛应用于地质勘探、医学图像处理、材料科学等领域。
在地质勘探中，有限单元法可以用来模拟地下岩层的力学行为，来评估地下资源的分布和开采方案。
在医学图像处理中，有限单元法可以用来模拟人体组织的力学行为，来辅助医学诊断和手术设计。
在材料科学中，有限单元法可以用来模拟材料的力学性能和热物理性能，来指导新材料的设计和制备。
总的来说，有限单元法作为一种数值计算方法，具有广泛的应用前景和重要的理论意义。
通过对有限单元法的深入理解和应用，可以更好地解决工程领域中的复杂问题，推动工程技术的发展和进步。
希望本文对有限单元法的原理和应用有所帮助，也希望读者能够进一步深入研究和应用有限单元法，为工程领域的发展做出更大的贡献。
CAD模型的有限元分析与计算流体力学技术应用有限元分析和计算流体力学是工程领域中常用的数值模拟技术，广泛应用于机械、建筑、汽车、航空等行业。
本文将介绍如何在CAD模型上应用有限元分析和计算流体力学技术，以提高产品设计和工程分析的准确性和效率。
一、有限元分析（Finite Element Analysis，简称FEA）有限元分析是一种以有限单元为基础的数值分析方法，广泛应用于物理力学、结构力学、流体力学等领域。
1. 准备CAD模型首先，我们需要准备一个CAD模型。
CAD模型通常由三维建模软件，如SolidWorks、AutoCAD等创建。
确保模型的几何形状和尺寸符合实际设计要求。
2. 网格划分在完成CAD模型后，我们需要对模型进行网格划分。
网格划分是将CAD模型离散化成一系列小单元的过程，这些单元称为网格。
网格的划分直接影响到有限元分析结果的准确性和计算效率。
常见的网格类型包括三角形网格、四边形网格和六面体网格。
网格划分可以通过专业有限元软件（如ANSYS、ABAQUS）完成。
在网格划分过程中，需要根据实际需要合理选择网格密度和单元类型。
3. 材料属性和边界条件设定在进行有限元分析之前，需要为模型设定材料属性和边界条件。
材料属性包括弹性模量、泊松比、密度等，边界条件包括约束条件和加载条件。
在设定材料属性和边界条件时，需要参考实际工程要求和材料性质。
这些参数的准确性将直接影响到有限元分析结果的准确性。
4. 有限元分析求解有限元分析求解是指通过数值计算方法，解决模型在给定边界条件下的力学问题。
这一步需要使用有限元分析软件完成。
常见的有限元分析软件包括ANSYS、ABAQUS、COMSOL等。
求解过程中，软件将自动解算各个网格单元的位移、应力、应变等参数，并生成模型的变形、应力云图等分析结果。
5. 结果分析和优化设计求解完成后，我们可以根据有限元分析结果进行结果分析和优化设计。
可以通过可视化工具查看不同部位的应力分布情况，进而评估设计的合理性。
流体力学的数值模拟及其应用流体力学是研究流体运动规律与性质的科学，广泛应用于物理学、工程学、地球科学等领域。
随着计算机技术的飞速发展，数值模拟成为研究流体力学的重要手段之一。
本文将探讨流体力学的数值模拟方法和其在工程与科学中的应用。
一、数值模拟方法数值模拟是利用数学方法将连续的流体力学问题离散化，通过计算机迭代求解离散的数学模型，从而模拟出流体的运动过程。
在流体力学的数值模拟中，常用的方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
有限差分法是一种将空间和时间分割成离散网格的方法，通过近似替代偏微分方程中的微分项，以差分代替，进而转化为代数方程组。
有限差分法简单易行，适用于求解一维和二维流体问题。
有限元法是一种将求解域划分成单元的方法，通过逼近流体问题的解函数，将偏微分方程转化为代数方程组。
有限元法适用于复杂的流体力学问题，可以处理非线性和非稳态问题。
边界元法是一种基于边界上的积分表示来求解流体问题的方法，将边界分成多个小区域，并通过计算边界的形状函数和权函数的积分来求解问题。
边界元法适用于求解与边界有关的问题，例如边界层流动和流体-固体相互作用等。
二、数值模拟在工程中的应用1. 污水处理污水处理是一个涉及多相流、化学反应与传质的复杂过程。
利用数值模拟方法，可以优化处理设备的设计，提高处理效率，减少能源消耗和废物排放。
2. 水资源管理水资源是人类生存与发展的基础，合理管理水资源对社会经济的可持续发展至关重要。
数值模拟方法可用于模拟水流、沉积与水质变化，为水资源管理决策提供科学依据。
3. 海洋工程海洋工程涉及到海洋的波浪、流动、沉积等问题。
通过数值模拟，可以预测海洋环境对工程建设的影响，为海洋工程的设计、建设与维护提供指导。
4. 气象预报数值模拟在气象领域也有广泛应用。
基于数值模型的气象预报可预测天气变化趋势，并提供决策依据，如风能资源评估、灾害预警和空气质量预报等。
三、数值模拟在科学研究中的应用1. 宇宙物理学数值模拟在宇宙物理学中扮演着重要角色，可用于研究星系形成、恒星演化、宇宙扩展等问题。
有限元法在工程力学中的应用研究工程力学是一门研究物体运动和力学性质的学科，广泛应用于工程设计、结构分析和材料力学等领域。
而有限元法则是一种数值计算方法，通过将连续问题离散化为有限个小单元，再对每个小单元进行数值计算，最终得到整个问题的近似解。
有限元法的应用在工程力学中具有重要的意义。
有限元法最早是由美国工程师Richard Courant于1943年提出的，其基本思想是将一个复杂的连续问题分割成许多简单的小单元，通过对每个小单元进行计算，再将结果组合起来得到整个问题的解。
这种方法的优点是能够处理各种复杂的几何形状和边界条件，而且计算效率较高。
因此，有限元法被广泛应用于工程力学中的结构分析、流体力学、热传导等问题的求解。
在工程力学中，有限元法的应用非常广泛。
例如，在结构分析中，有限元法可以用于计算结构的应力、应变分布，以及结构的振动特性。
通过建立结构的有限元模型，可以对结构进行静力分析、动力分析和稳定性分析，从而评估结构的安全性和可靠性。
在工程设计中，有限元法可以用于优化结构形状和尺寸，以满足特定的强度和刚度要求。
此外，有限元法还可以用于预测结构在不同工况下的响应，对结构进行疲劳和断裂分析。
在流体力学中，有限元法可以用于求解流体的速度、压力和温度分布。
通过建立流体的有限元模型，可以模拟流体在管道、河流和湖泊等复杂几何形状中的流动行为。
有限元法可以考虑流体的非线性、不可压缩性和湍流等特性，从而得到更准确的结果。
在热传导中，有限元法可以用于计算材料的温度分布和热传导速率。
通过建立材料的有限元模型，可以研究材料的热响应和热应力，对材料的热稳定性进行评估。
除了结构分析、流体力学和热传导外，有限元法在工程力学中还有其他许多应用。
例如，在电磁场分析中，有限元法可以用于计算电磁场的分布和电磁力的作用。
在声学分析中，有限元法可以用于计算声场的传播和声压级的分布。
在地震工程中，有限元法可以用于模拟地震波的传播和结构的动力响应。
有限元方法在力学问题求解中的应用引言：力学问题的求解一直是科学研究和工程实践中的重要课题。
而有限元方法作为一种数值计算方法，已经成为力学问题求解的重要工具。
本文将介绍有限元方法在力学问题求解中的应用，包括其基本原理、优势和限制，以及一些典型的应用案例。
一、有限元方法的基本原理有限元方法是一种将连续问题离散化为有限个小单元的方法，通过对每个小单元进行数值计算，最终得到整个问题的近似解。
其基本原理可以概括为以下几个步骤：1. 离散化：将连续问题划分为有限个小单元，如三角形、四边形或立方体等。
每个小单元内部的物理量可以用一些基函数来近似表示。
2. 建立方程：根据物理规律和边界条件，建立离散化后的小单元之间的关系，并得到一个整体的方程组。
3. 求解方程：利用数值计算方法，求解得到方程组的近似解。
4. 后处理：通过对近似解的处理，得到问题的数值解，并进行分析和评估。
二、有限元方法的优势有限元方法在力学问题求解中具有许多优势，使其成为广泛应用的数值计算方法。
1. 适用性广泛：有限元方法适用于各种复杂的力学问题，如结构力学、流体力学、热传导等。
无论是线性问题还是非线性问题，都可以通过有限元方法求解。
2. 精度可控：有限元方法可以根据需要选择不同精度的近似解。
通过增加小单元的数量或提高基函数的阶数，可以提高数值解的精度。
3. 灵活性强：有限元方法对于复杂几何形状和边界条件的处理比较灵活。
通过合适的网格划分和适当的边界条件处理，可以有效地模拟实际问题。
4. 可并行计算：有限元方法可以通过并行计算的方式提高计算效率。
通过将问题划分为多个小单元，可以同时进行计算，减少计算时间。
三、有限元方法的限制虽然有限元方法具有许多优势，但也存在一些限制，需要在实际应用中注意。
1. 网格依赖性：有限元方法的数值解依赖于网格的划分。
不合理的网格划分可能导致数值解的误差增大或者无法收敛。
2. 模型简化：有限元方法通常需要对实际问题进行适当的简化和假设，以便进行数值计算。
流体仿真知识点总结流体仿真是指利用计算机模拟流体力学问题，通过数值方法研究流体的运动规律和流场性质。
它是一种重要的科学计算手段，广泛应用于航空航天、水利工程、环境工程、汽车工程、海洋工程等领域。
本文将对流体仿真的基本概念、数值方法、常见模型以及实际应用进行总结，以帮助读者全面了解流体仿真的知识体系。
一、基本概念1. 流体的基本性质流体是一种特殊的物质状态，具有不固定的形状和容易流动的特性。
其主要物理性质包括密度、压力、温度、速度、粘度等。
在流体力学中，通常将流体分为不可压缩流体和可压缩流体两种类型，分别对应于马赫数小于0.3和大于0.3的情况。
2. 流体力学基本方程流体力学基本方程包括连续方程、动量方程和能量方程。
其中连续方程描述了流体的质量守恒，动量方程描述了流体的动量守恒，能量方程描述了流体的能量守恒。
这些方程是描述流体运动规律的基础，也是流体仿真的数学模型基础。
3. 边界条件和初值条件流体力学问题的边界条件和初值条件对解的精度和稳定性有着重要影响。
边界条件指流场与固体边界的交界处的物理条件，通常包括速度、压力、温度等。
初值条件指初始时刻各物理量的数值分布。
确定合适的边界条件和初值条件是流体仿真的关键步骤之一。
二、数值方法1. 有限差分法有限差分法是一种基本的离散数值方法，它将求解区域分割成有限个离散点，通过差分逼近连续微分方程，将微分方程转化为代数方程组进而进行数值求解。
有限差分法在流体力学中得到了广泛应用，如Navier-Stokes方程、能量方程和扩散方程等都可以通过有限差分法进行离散求解。
2. 有限体积法有限体积法是将求解区域分割成有限个控制体，通过对控制体内部进行积分得到平均值，进而将微分方程转化为代数方程组。
有限体积法在流体力学中得到了广泛应用，特别适用于非结构网格和复杂流场的数值模拟。
3. 有限元法有限元法是一种通过拟合局部基函数的方法，将微分方程转化为代数方程组进而进行数值求解。
有限元法的发展现状及应用1. 引言有限元法是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构力学、流体力学、热传导等问题的求解。
它通过将复杂的连续介质问题离散化为有限个简单的子域，然后利用数值方法求解这些子域上的方程，最终得到整个问题的近似解。
自从有限元法在20世纪60年代初被提出以来，它得到了迅猛发展，并在各个领域中得到了广泛应用。
2. 有限元法的发展历程2.1 早期发展有限元法最早是由Courant于1943年提出，并在20世纪50年代由Turner等人进一步发展。
最初，有限元法主要应用于结构力学领域中简单结构的分析计算。
2.2 理论基础完善20世纪60年代以后，随着计算机技术和数值方法理论的进步，有限元法得到了进一步发展。
Galerkin方法、变分原理和能量原理等理论基础被广泛应用于有限元法中，为其提供了坚实的理论基础。
2.3 算法改进和扩展在20世纪70年代和80年代，有限元法的算法得到了进一步改进和扩展。
有限元法的自适应网格技术和自适应加密技术的引入，使得有限元法能够更加高效地处理复杂问题。
同时，有限元法也逐渐扩展到了流体力学、热传导、电磁场等领域。
3. 有限元法在结构力学中的应用3.1 静力分析有限元法在结构力学中最常见的应用是进行静力分析。
通过将结构离散化为有限个单元，然后利用数值方法求解每个单元上的平衡方程，最终得到整个结构的受力情况。
3.2 动力分析除了静力分析外，有限元法还可以进行动态分析。
通过求解结构振动问题，可以得到结构在外部激励下的响应情况。
这对于地震工程、机械振动等领域非常重要。
3.3 疲劳寿命预测疲劳寿命预测是工程中一个重要问题。
通过将材料疲劳损伤模型与有限元方法相结合，可以对材料在复杂载荷下的疲劳寿命进行预测，从而指导工程设计和使用。
4. 有限元法在流体力学中的应用4.1 流体流动分析有限元法在流体力学中的应用主要集中在流体流动分析。
通过将连续介质分割为有限个单元，然后求解每个单元上的Navier-Stokes方程，可以得到整个流场的解。
《有限体积—有限元方法在油藏数值模拟中的原理和应用》篇一一、引言随着科技的发展和计算机技术的进步，油藏数值模拟技术已成为现代石油工业中不可或缺的一部分。
在油藏开发过程中，有限体积和有限元方法作为两种重要的数值模拟方法，被广泛应用于油藏工程中。
本文将详细探讨有限体积和有限元方法在油藏数值模拟中的原理和应用。
二、有限体积方法原理及应用1. 原理有限体积方法（Finite Volume Method，FVM）是一种基于积分守恒原理的数值方法，它将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并通过对每个控制体积进行积分来求解偏微分方程。
这种方法适用于流体力学中的许多问题，特别是油藏流体流动和传质问题的模拟。
2. 应用在油藏数值模拟中，有限体积方法被广泛应用于解决地下流体流动、物质传递等实际问题。
该方法通过对空间进行离散化处理，将复杂的油藏系统划分为一系列的有限体积单元，然后根据质量守恒、能量守恒等基本原理建立数学模型，并利用计算机进行求解。
通过这种方法，可以有效地模拟油藏的动态变化过程，为油田开发提供科学依据。
三、有限元方法原理及应用1. 原理有限元方法（Finite Element Method，FEM）是一种求解偏微分方程的数值技术。
它将问题的求解域划分为一系列相互连接的单元（有限元），并在每个单元上定义一个近似解。
通过这些近似解来推导整个问题的解。
该方法特别适合处理复杂形状和复杂材料属性的问题。
2. 应用在油藏数值模拟中，有限元方法主要用于处理地质模型的复杂边界、异质性及复杂的渗流规律等问题。
通过对空间和时间进行离散化处理，建立相应的数学模型，利用计算机进行求解。
通过这种方法，可以更准确地模拟油藏的动态变化过程，提高预测精度和开发效率。
四、有限体积与有限元方法的结合应用在实际的油藏数值模拟中，有限体积方法和有限元方法往往需要结合使用。
这是因为两种方法各有优缺点，有限体积方法在处理流体流动和传质问题上具有较高的精度和效率，而有限元方法在处理复杂地质模型和复杂渗流规律上具有独特的优势。
2-5有限元法在流体力学中的应用第五章有限元法在流体力学中的应用本章介绍有限元法在求解理想流体在粘性流体运动中的应用。
讨论了绕圆柱体、翼型和轴对称物体的势流，分析了求解粘性流动的流函数—涡度法流函数法和速度—压力法，同时导出粘性不可压流体的虚功原理。
§1 不可压无粘流动真实流体是有粘性和可压缩的，理想不可压流体模型使数学问题简化，又能较好地反映许多流动现象。
1. 圆柱绕流本节详细讨论有限无法的解题步骤。
考虑两平板间的圆柱绕流．如图5—1所示。
为了减小计算工作量，根据流动的对称性可取左上方的l／4流动区域作为计算区域。
选用流函数方法，则流函数 应满足以下Laplace方程和边界条件22220(,)0(,)2(,)(,)0(,)x y x y x y aec x y bd y x y ab x y cd nψψψψ⎧∂∂+=-∈Ω⎪∂∂⎪⎪-----∈⎧⎪⎪=-----∈⎨⎨⎪⎪-----∈⎩⎪⎪∂=-----∈⎪∂⎩流线流线流线流线 (5-1)将计算区域划分成10个三角形单元。
单元序号、总体结点号和局部结点号都按规律编排．如图5—2所示。
从剖分图上所表示的总体结点号与单元结点号的关系，可以建立联缀表于下 元素序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总体结点 号 n11 4 4 42 2 6 6 5 5 n2 4 5 9 8 6 5 7 10 10 9 n322593637810表5-1各结点的坐标值可在图5—2上读出。
如果要输入计算机运算必须列表。
本质边界结点号与该点的流函数值列于下表表5-2选用平面线性三角形元素，插值函数为(3—15)式。
对二维Laplace 方程进行元素分析，得到了单元系数矩阵计算公式(3—19)和输入向量计算公式(3—20)。
现在对全部元素逐个计算系数矩阵。
例如元素1，其结点坐标为1x =0, 1y =2; 2x =0, 2y =1; 3x =2.5, 3y =2. 由(3—15)式可得132 2.5a x x =-=; 213 2.5a x x =-=- 3210a x x =-=,1231b y y =-=-; 2310b y y =-=;3121b y y =-=; 0 1.25A =从(3—19)式可计算出1K1 1.45 1.250.21.2500.2K ⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎝⎭--对称依次可计算出全部子矩阵20.20.201.45 1.251.25K ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭--30.200.21.25 1.251.45K⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭--41.25 1.2501.450.20.2K⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭--50.50.5000.50.5K⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭--60.500.50.50.51K⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭--70.50.5010.50.5K⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭--80.500.50.50.51K⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭--90.500.50.50.51K⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭--1010.50.50.500.5K⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭--根据联缀表把元素矩阵组合成总体系数矩阵A=1.450.20 1.252.4500 1.25 1.01000.50.52.90.400 1.254.9100 1.750.54.01000.52000.51.450.201.9501.5--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0对称矩阵中零元素没有一一写出，下三角部分与上三角部分对称。
从(3—20)式计算元素输入向量，由于流函数满足齐次的自然边界条件0n q n ψ∂==∂,所以输入向量为零，总体输入向量也为零，这样就得了总体有限元方程.N A B ψ=式中:[]1210,,,TN ψψψψ=[]0,0,,0TB =用缩减方程的重新编号修正方法施加边界条件，本质边界结点的函数值是已知的。
把它们代入方程，修正右端项，再减去相应的方程，整理得5674.910 2.914130121ψψψ-⎡⎤⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥--= ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 解方程得到5ψ＝0.845，6ψ=1.241，7ψ=1.121这样求出了全部结点上的流函数。
为了求出每个单元形心处的速度，可以由单元的流函数近似表达式求导计算。
对元素e 来 说，有T Iyψψ=Φ[]11232031,,2T I T I y u a a a A y A ψψψψψψ⎡⎤∂⎢⎥==Φ==⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦[]1231,,2T II T I x b b b B x Aψνψψψ∂-=-=-Φ==-∂ 例如单元1ψ=2, 2ψ=1, 3ψ=3，这样计算得到的速度为u=1,ν＝0。
二维绕圆柱流动还可以用势函数求解，则定解问题可写成 ω表示势函数，为了使数值解唯一必须在部分边界上给定本质边界条件。
势函数边界同样标记在图5—l 上。
势因数满足Laplace 方程和相应的边界条件，与流函数不同仅在于有非齐次的自然边界条件。
采用与流函数方法完全一样的网格划分，可知计算得到的单元系数矩阵是完全一样的，总体矩阵也是完全一样的。
元素1和4具有非齐次自然边界条件．应该用(3—20)式计算输入向量。
元素l, 111,,022TP ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
元素4, 411,,022TP ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
总体合成得到110010000022TB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，这样就得到方程组22220(,)001x y xy cd aec bd n ab nωωωωω⎧∂∂+=-∈Ω⎪∂∂⎪⎪=------⎪⎨∂=-----⎪∂⎪⎪∂=------⎪∂⎩边界上边界及上边界上N A B ω=巳知37100ωωω===，消去相应的三个方程得到一个7×7的 代数方程组，解得1233.787, 1.204,0ωωω=== 4563.841, 1.261,0.616ωωω=== 759100, 3.827, 1.491,0.ωωωω==== 单元形心处的速度可以用下列公式计算T I T I xu B xωωω∂==Φ=∂ T I T Iy A yωνωω∂==Φ=∂ 式中I ω是单元的结点势函数向量[]123,,ωωω。
对于元素1来说，1233.787, 3.841, 1.204ωωω===,这样计算得到u=1.033，v=-0.05。
这结果与流函数方法得到的结果近似相等。
如果加密网格，就可以得到更好的结果。
2. 升力问题考虑图5—3(a)所示的机翼绕流。
均匀来流u ∞平行于x 轴，机翼边界为1Γ，后缘尖点为T ，流场外边界1Γ取在离机翼足够远处。
流函数ψ 满足以下方程和边界条件。
201020310a hu a yu a b ψψψψψ∞∞⎧∇=-----Ω⎪=------Γ⎪⎪=+---Γ⎨⎪=+---Γ⎪⎪=-------Γ⎩在内在上在上在上在上(5-3) 其中a,b 是特定系数，h 是上下边界之间的距离。
机翼绕流的后驻点应位于后缘尖点处，在后缘T 点满足Kutta 条件0u y ψ∂==∂；0v xψ∂=-=∂； （5-4） 由于方程和边界条件是线性的,可用叠加原理求解，令012a b ψψψψ=++ （5-5）其中0ψ，1ψ和2ψ：分别是下列问题的解20010000yu ψψψ∞⎧∇=-----Ω⎪=-------Γ⎨⎪=------Γ⎩在内在上在上211110001ψψψ⎧∇=-----Ω⎪=-------Γ⎨⎪=--------Γ⎩在内在上在上222120010ψψψ⎧∇=-----Ω⎪=-------Γ⎨⎪=--------Γ⎩在内在上在上用有限元方法分别解以上三个问题，得到各结点的0ψ、1ψ和2ψ，代入(5—5)式得到叠加解。
显然它满足问题(5—3)的全部方程和边界条件，特定常数a,b 可利用Kutta 条件(5—4)定出。
首先由流函数0ψ、1ψ和2ψ分别求出各个结点上的速度0,)u v 0(，1,)u v 1(和2,)u v 2(，然后在后缘点T 处利用Kutta 条件，应有012012u u au bu v v av bv =++⎧⎨=++⎩解之可得到a 和b 。
图5—3(b)上给出了NACA4412具型以8攻角置于均匀流场中所引起的流动图案，计算中采用了三角形单元。
与无升力体绕流一样，机具绕流也可以采用速度势函数求解. 3．轴对称问题考虑圆管内绕轴对称物体的无旋流动，如图5—4(a)所示。
采用柱坐标系(r ，θ,z)，其势函数满足Laplace 方程。
12222222121SSr r r zSq Snϕϕϕϕϕϕ⎧∂∂∂⎪+--+=----Ω∂∂∂⎪⎪=--------------⎨⎪∂⎪=-------------⎪∂⎩在内在上在上(5-6)写出与微分问题相应的伽辽金积分表达2222221dr r r zϕϕϕδϕΩ∂∂∂++Ω∂∂∂⎰（）=2Sq dsnϕδϕ∂-∂⎰（）分部积分上式的左边并整理得到弱解积分形式2)rdrdzr r z zϕδϕϕδϕπ∂∂∂∂+∂∂∂∂⎰⎰（=2L q rdlπδϕ⎰式中L是元素的边长，L绕轴旋转一周形成元素的边界面。
采用图5—4(b)所示轴对称的环形线性元素，它是将平面线性三角形元素绕对称轴旋转一周形成的环形体。
采用斜坐标系，那么插值函数可写成{}123,,T ξξξΦ=元素结点上势函数向量为{}123(),,I T ϕϕϕϕ=则逼近函数为112233T I ϕϕξϕξϕξϕ=Φ=++总体坐标和斜坐标系的关系为T IT I r r z z ⎧=Φ⎪⎨=Φ⎪⎩式中{}123(),,I Trr r r =。
{}123(),,I T z z z z =，是元素结点总体坐标向量。
将逼近函数表达式代入伽辽金公式，推导出元素有限元方程I K P Φ=式中影响系数矩阵和输入向量分别为K=2)T T r z rdrdz πΦΦ+ΦΦ⎰⎰r z （P=02Lq dl πΦ⎰r求出插值函数向量的偏导数r Φ和z Φ，代入上式得影响系数矩阵K=22111212131********232302233()6a b a a b b a a b b r r r a b a a b b A a b π⎛⎫+++++ ⎪++⎪ ⎪+⎝⎭（5-7） 式中 i k j a r r =-；i j k b z z =- i ＝1，2，3时J=2，3，1;k ＝3．1，2。
012212A b a b a =- ， 0A 三角形元素面积。
假设元素的“l 一2”边落在自然边界上且q 为常数，则可得转入向量计算公式1212122230r r qL P r r π+⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5-8） 式中 12L ：是“l 一2”边的边长。
