函数模型的应用实例福建省厦门一中特级教师荆绍武PPT课件
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高中新教材数学人课件必修第一册第章函数模型的应用
建立数学模型
将问题中的文字语言转化为数学 语言，利用数学知识建立相应的 数学模型。
选择合适的函数类型进行拟合或插值处理
拟合处理
根据数据特点选择合适的函数类型， 通过最小二乘法等方法进行拟合处理 ，得到函数表达式。
插值处理
在已知数据点之间插入新的数据点， 通过插值方法得到新的函数表达式。
利用已知条件求解未知参数，得到具体表达式
单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1, x2，当x1 < x2时都有f(x1) < f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。
奇偶性
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶 函数。如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇 函数。
距离测量
在物理、地理等领域中，经常需要测量两点之间的距离。如 果两点之间的路径是直线，那么距离就是两点坐标之差的绝 对值，即距离 = |x2 - x1| 或 |y2 - y1|。这也是线性函数模型 的应用之一。
指数函数模型：复利计算、人口增长等
复利计算
在金融领域，复利是一种重要的计算方式，用于计算投资或借款在一段时间内的 累计收益或还款金额。复利计算通常采用指数函数模型，即本息和 = 本金 × (1 + 利率)^时间。
函数模型的应用实例分析
通过具体案例，如经济、物理、化学 等领域的问题，深入理解函数模型的 应用。
拓展延伸
多元函数模型
研究多个自变量与因变量之间 的函数关系，如多元线性回归
模型等。
非线性函数模型
探索非线性关系的函数模型， 如神经网络模型等。
将问题中的文字语言转化为数学 语言，利用数学知识建立相应的 数学模型。
选择合适的函数类型进行拟合或插值处理
拟合处理
根据数据特点选择合适的函数类型， 通过最小二乘法等方法进行拟合处理 ，得到函数表达式。
插值处理
在已知数据点之间插入新的数据点， 通过插值方法得到新的函数表达式。
利用已知条件求解未知参数，得到具体表达式
单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1, x2，当x1 < x2时都有f(x1) < f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。
奇偶性
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶 函数。如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇 函数。
距离测量
在物理、地理等领域中，经常需要测量两点之间的距离。如 果两点之间的路径是直线，那么距离就是两点坐标之差的绝 对值，即距离 = |x2 - x1| 或 |y2 - y1|。这也是线性函数模型 的应用之一。
指数函数模型：复利计算、人口增长等
复利计算
在金融领域，复利是一种重要的计算方式，用于计算投资或借款在一段时间内的 累计收益或还款金额。复利计算通常采用指数函数模型，即本息和 = 本金 × (1 + 利率)^时间。
函数模型的应用实例分析
通过具体案例，如经济、物理、化学 等领域的问题，深入理解函数模型的 应用。
拓展延伸
多元函数模型
研究多个自变量与因变量之间 的函数关系，如多元线性回归
模型等。
非线性函数模型
探索非线性关系的函数模型， 如神经网络模型等。
函数的应用课件ppt课件ppt
然后根据复合函数的解析式确定图像的变换方式。
03
复合函数的性质
复合函数具有一些特殊的性质，如周期性、奇偶性、单调性等。这些性
质可以通过分析复合函数的解析式和基本初等函数的性质来得出。
03
函数在实际问题中应用
经济学中函数应用
需求分析
通过构建需求函数，描述 商品价格与需求量之间的 关系，帮助企业预测市场 变化。
不等式在解决实际问题中的应用
通过建立不等量关系式，即不等式，来求解实际问题中的范围或最优解。例如，求解经 济中的最优化问题、工程中的约束条件问题等。
方程和不等式在解决实际问题中的综合应用
有些问题既需要建立等量关系又需要建立不等量关系，这时就需要综合运用方程和不等 式来求解。例如，求解金融中的投资组合问题、物流中的运输优化问题等。
分析和设计。
04
微分学在函数研究中应用
微分学基本概念与性质
微分定义
微分是函数局部变化率的线性近似，描述了函数 在某一点附近的变化趋势。
微分性质
微分具有线性性、可加性、乘法法则等基本性质 ，这些性质在解决复杂问题时非常有用。
高阶微分
高阶微分描述函数更高层次的变化率，如加速度 、加加速度等。
微分法在函数研究中应用
函数与方程关系探讨
函数与方程的联系
方程是函数值为零的特殊情况，函数图像与x轴的交点即为方程的 解。
函数与方程的区别
函数表示一种对应关系，而方程则表示一种等量关系。
函数思想在解方程中的应用
通过构造函数，利用函数的性质（如单调性、连续性等）来求解方 程。
函数与不等式关系探讨
函数与不等式的联系
不等式可以看作是函数值大于或小于零的情况，函数图像在x轴上 方的部分对应不等式大于零的解集，下方的部分对应小于零的解
4.5.3函数模型的应用课件(人教版)
16
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要 将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已 知函数解析式求函数值或自变量的值.
17
1．某种商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)和时间 t(天)的函数关 系为：
P＝t－＋t2＋0100<0t<2255≤，t≤30. (t∈N*) 设该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系为 Q＝40－ t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金 额最大是第几天？
31
2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
/cm
体重 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
/kg
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
第3课时 函数模型的应用
2
学习目标
核心素养
1.会利用已知函数模型解决实际问
题．(重点) 通过本节内容的学习，使学生认识函
2．能建立函数模型解决实际问 数模型的作用，提高学生数学建模、
题．(重点、难点) 数据分析的素养.
3．了解拟合函数模型并解决实际问
车有营运利润的时间不超过
解 y≥0，得 6－ 11≤x≤6＋
________年．
11，所以有营运利润的时间为 2 11.
又 6<2 11<7，所以有营运利润的时
间不超过 7 年．]
12
合作探究 提素养
13
人教版高中数学《函数模型的应用实例》ppt课件1
P64 【示例】如图所示，圆弧型声波 DFE 从坐标原点 O 向外传播. 若 D 是 DFE 与 x 轴的交点，设 OD＝t(0≤t≤a)，圆弧型声波 DFE 在 传播过程中扫过菱形 OABC 的面积为 S(图中阴影部分)，则函数 S＝f(t) 的图象大致是( )
【正解】从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到 A，C 点 之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快；当离开 A， C 点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢.所以函数图象刚开始应 是下凹的，然后是上凸的.故选 A． 【警示】函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质，其一般规律是： 上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增 得越来越慢.下凹函数图象正好相反.
当 x 4 0 0 时 ， 有 y m a x 0 . 5 4 0 0 6 2 5 8 2 5 ( 元 ) 答 ： 每 天 进 4 0 0 份 报 纸 ， 可 使 得 每 月 利 润 最 大 为 8 2 5 元 .
➢分段函数模型 例3 一辆汽车在某段路程中 的行驶速率与时间关系如图 所示 (1)求图中阴影部分的面积， 说明所求面积的实际含义；
3kb3.6
5kb6
解
得
k 1.2 b0
O
3
5 t / 分钟
y1.2t (t3)
人教版高中数学《函数模型的应用实 例》ppt 课件1
➢二次函数模型 人教版高中数学《函数模型的应用实例》ppt课件1
例 2 将 进 货 单 价 为 8 元 的 商 品 按 1 0 元 一 个 出 售 ， 则 每 天 可 出 售 1 0 0 个 ， 若 每 个 涨 价 1 元 ， 则 日 销 售 量 减 少 1 0 个 ， 为 获 得 最 大 利 润 ， 应 将 单 价 定 为 _______元 。
【正解】从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到 A，C 点 之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快；当离开 A， C 点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢.所以函数图象刚开始应 是下凹的，然后是上凸的.故选 A． 【警示】函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质，其一般规律是： 上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增 得越来越慢.下凹函数图象正好相反.
当 x 4 0 0 时 ， 有 y m a x 0 . 5 4 0 0 6 2 5 8 2 5 ( 元 ) 答 ： 每 天 进 4 0 0 份 报 纸 ， 可 使 得 每 月 利 润 最 大 为 8 2 5 元 .
➢分段函数模型 例3 一辆汽车在某段路程中 的行驶速率与时间关系如图 所示 (1)求图中阴影部分的面积， 说明所求面积的实际含义；
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解
得
k 1.2 b0
O
3
5 t / 分钟
y1.2t (t3)
人教版高中数学《函数模型的应用实 例》ppt 课件1
➢二次函数模型 人教版高中数学《函数模型的应用实例》ppt课件1
例 2 将 进 货 单 价 为 8 元 的 商 品 按 1 0 元 一 个 出 售 ， 则 每 天 可 出 售 1 0 0 个 ， 若 每 个 涨 价 1 元 ， 则 日 销 售 量 减 少 1 0 个 ， 为 获 得 最 大 利 润 ， 应 将 单 价 定 为 _______元 。
函数的应用课件(共20张PPT)
解 设提高x个2元，则将有10x辆电瓶车空出，且租金 总收人为
y=(20+2x)(300-10x) =-20x2+600x-200x+6000 =-20(x2-20x+100-100）十6000 =-20(x-10)2+8000.(x∈N且x≤30)
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
2=a(0-6)2+5，
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
解 如果x∈[0,180]，则 f(x)=5x；如果x∈(180,260]，
按照题意有
f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360.
因此
f
x
7
x
5x , x 0 360 , x
2. 北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水 价制度、其中年用水量不超过180m3的部分，综合用水 单价为5元/m3；超过180m3但不超过 260m3的部分，综合用水单价为7元/m3． 如果北京市一居民年用水量为xm3，其要 缴纳的水费为f(x)元。假设0≤x≤260， 试写出f(x)的解析式，并作出f(x)的图象．
由此得到，当x=10时，ymax=8000，即每辆电瓶车 的租金为
20+10×2=40 元时，毎天租金的总收人最高，为8000元.
ห้องสมุดไป่ตู้
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
y=(20+2x)(300-10x) =-20x2+600x-200x+6000 =-20(x2-20x+100-100）十6000 =-20(x-10)2+8000.(x∈N且x≤30)
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
2=a(0-6)2+5，
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
解 如果x∈[0,180]，则 f(x)=5x；如果x∈(180,260]，
按照题意有
f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360.
因此
f
x
7
x
5x , x 0 360 , x
2. 北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水 价制度、其中年用水量不超过180m3的部分，综合用水 单价为5元/m3；超过180m3但不超过 260m3的部分，综合用水单价为7元/m3． 如果北京市一居民年用水量为xm3，其要 缴纳的水费为f(x)元。假设0≤x≤260， 试写出f(x)的解析式，并作出f(x)的图象．
由此得到，当x=10时，ymax=8000，即每辆电瓶车 的租金为
20+10×2=40 元时，毎天租金的总收人最高，为8000元.
ห้องสมุดไป่ตู้
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
高三数学：函数模型及其应用
解：设y＝kx＋b(k、b为常数)， 由题意知当x＝100时，y＝0.55，即0.55＝100k＋b； 当x＝300时，y＝0.65，即0.65＝300k＋b. ∴kb＝＝00..050. 0 5 ， ∴y＝0.000 5x＋0.5(0≤x≤600)． 当x＝0时，y＝0.5. ∴当弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是0.5 m，而 当受力为700 N时，此弹簧已受破坏.
3．(2021·梅州模拟)某电器公司生产A种型号的家庭电 脑，2021年平均每台电脑生产本钱为5 000元，并以纯 利润20%标定出厂价.2021年开场，公司更新设备，加 强管理，逐步推行股份制，从而使生产本钱逐年降 低．预计2021 年每台A种型号的家庭电脑的出厂价仅 是2021年的出厂价的80%，实现了纯利润为50%的高 效益．
D．解f(析x)：>h由(x图)>象g知(x，) 当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到
小依次为g(x)>f(x)>h(x)．
答案：B
2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了以下一组
实验数据．现准备用以下四个函数中的一个近似地表示
这些数据的规律，其中最接近的一个是 ( )
x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超 过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过局 部每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，甲、乙 两户该月用水量分别为5x,3x(吨)． (1)求y关于x的函数； (2)假设甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、 乙两户该月的用水量和水费．
解析：设矩形的长为 x m，宽为2004－x m，则 S＝ x·2004－x＝14(－x2＋200x)．当 x＝100 时，Smax＝2 500 m2.
高中函数的应用ppt课件ppt课件ppt
在生物学中，二次函数可以用于描述 种群增长、生物繁殖和生态平衡等现 象。
物理学
在物理学中，二次函数可以用于描述 物体的运动轨迹、振动和波动等现象 。
二次函数与其他数学知识的结合
与导数结合
通过求导数，可以研究二次函数的单调性、极值 和拐点等性质。
与三角函数结合
通过与三角函数的结合，可以研究一些周期性和 对称性问题。
的交叉也将越来越深入。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，
函数都有广泛的应用。
02
数学建模的普及
随着数学建模的普及，函数作为数学建模的重要工具之一，其应用也将
越来越广泛。通过数学建模，学生能够更好地理解现实世界中的问题，
并运用数学方法来解决这些问题。
03
新函数类型的出现
随着数学的发展，新的函数类型也将不断出现。例如，分形函数、混沌
分式函数在交通工程中的应用
在交通工程中，分式函数可以用来描述车辆行驶的速度和时 间之间的关系，以及道路通行能力与车辆数量之间的关系。 通过分式函数的分析，可以优化交通流量的分配和管理。
分式函数与其他数学知识的结合
分式函数与导数的结合
分式函数的导数可以用来研究函数的单调性、极值和拐点等问题。通过导数的计 算和分析，可以更好地理解分式函数的性质和变化规律。
度、长度、面积和体积等。
三角函数在解析几何中的应用
02
通过三角函数，可以将几何问题转化为代数问题，从而利用代
数方法求解。
三角函数在复数中的应用
03
复数中的三角函数可以用于解决与周期性、波动性和旋转相关
的问题。
三角函数在实际生活中的应用
航海和航空中的应用
通过三角函数，可以计算航行路线、飞行轨迹和高度等。
4,5,3 函数模型的应用(PPT) (人教A版2019 必修第一册)
（二）常见的函数模型
常见的函数模型 ：
(1)一次函数模型
常 (2)二次函数模型 用 函 (3)指数函数模型 数 模 (4)对数函数模型 型 (5)幂函数模型
(6)分段函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
（四）函数模型的应用
3.根据拟合效果选择恰当的函数模型解决实际问题
【解】(1)∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函 数，不满足题意，
（四）函数模型的应用
3.根据拟合效果选择恰当的函数模型解决实际问题 例3. 某纪念章从2019年1月6日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价
y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
上市时间x天
4 10 36
市场价y元
90 51 90
(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y
，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1 000元，每期的利 率为2.25%.
【想一想】 五期后的本利和是多少？
解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式 就可得到五年期的本利和.
（一）新知导入
探索交流、解决问题 【问题1】 解决上述问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关 系式就可得到五年期的本利和.
福建省邵武七中高中数学课件 必修一：32 函数模型及其应用实例
r9≈0.0184
第八页，编辑于星期日：十九点 五十一分。
于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为
r=（r1+r2+···+r9）÷9≈0.0221 令y0=55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为
y 55196e0.0221t , t N
y
根据表3-8中的数据作出散点图，
大家首先来看一个例子Fra bibliotek邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元， 超过5千克的超出部分按每千克3元收费，邮费与邮寄包 裹重量的函数关系式为____．
5x (x 5)
f（x）＝ 25 3(x 5)
( x＞5)
从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联系， 有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实例来感 受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实际问题中 建立函数模型呢？
解：将 y=130000代入
y 55196e0.0221t , t N
由计算器可得
t≈38.76
所以，如果按表3-8的增长趋势，那么大约在1950年
后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿。 由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口
自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。
第十页，编辑于星期日：十九点 五十一分。
第十五页，编辑于星期日：十九点 五十一分。
解函数的应用问题，一般地可按以下四步进行： 第一步：阅读理解，认真审题
第二步：引进数学符号，建立数学模型 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题
（即数学模型）予以解答，求得结果
第四步：再转移成具体问题作出解答
第十六页，编辑于星期日：十九点 五十一分。
1.通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应
第八页，编辑于星期日：十九点 五十一分。
于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为
r=（r1+r2+···+r9）÷9≈0.0221 令y0=55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为
y 55196e0.0221t , t N
y
根据表3-8中的数据作出散点图，
大家首先来看一个例子Fra bibliotek邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元， 超过5千克的超出部分按每千克3元收费，邮费与邮寄包 裹重量的函数关系式为____．
5x (x 5)
f（x）＝ 25 3(x 5)
( x＞5)
从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联系， 有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实例来感 受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实际问题中 建立函数模型呢？
解：将 y=130000代入
y 55196e0.0221t , t N
由计算器可得
t≈38.76
所以，如果按表3-8的增长趋势，那么大约在1950年
后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿。 由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口
自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。
第十页，编辑于星期日：十九点 五十一分。
第十五页，编辑于星期日：十九点 五十一分。
解函数的应用问题，一般地可按以下四步进行： 第一步：阅读理解，认真审题
第二步：引进数学符号，建立数学模型 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题
（即数学模型）予以解答，求得结果
第四步：再转移成具体问题作出解答
第十六页，编辑于星期日：十九点 五十一分。
1.通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应
《函数的应用》课件
02
未来函数的发展趋势可能包括 更加复杂的函数类型、更加深 入的函数性质研究以及更加广 泛的实际应用。
03
未来的研究方向可能包括探索 新的函数类型、研究函数的性 质和特征、以及将函数应用于 更多的实际问题中。
THANKS
感谢观看
系也可以用线性函数来描述。
指数函数的应用实例
总结词
指数函数在描述增长和衰减现象时非常 有用，如人口增长、复利计算等。
VS
详细描述
指数函数是一种特殊的函数形式，它描述 了变量以固定比率变化的关系。在现实生 活中，很多问题都可以通过指数函数来描 述和解决。例如，在生物学中，人口增长 可以用指数函数来描述；在金融学中，复 利计算也可以用指数函数来表示。
义。
04
函数在数学中还被用于描述和解决一些实际问题，如 概率分布、统计推断等问题。
函数在物理中的应用
01
函数在物理学中也有着广泛的应用，它是描述物理现象和规律的重要 工具。
02
在物理学中，函数被用于描述各种物理量之间的关系，如力、速度、 加速度等。
03
通过函数，我们可以更好地理解和分析物理现象和规律，并利用这些 规律解决实际问题。
对数函数的应用实例
总结词
对数函数在科学计算、统计学和经济学等领 域有着广泛的应用。
详细描述
对数函数是一种特殊的函数形式，它描述了 变量之间对数比例变化的关系。在现实生活 中，很多问题都可以通过对数函数来描述和 解决。例如，在物理学中，声音的传播可以 用对数函数来描述；在统计学中，数据的分 布可以用对数函数来拟合；在经济学中，复
函数的表示方法
总结词
列举函数的表示方法
详细描述
函数可以通过解析式、表格、图象等方式来表示，这些表示方法各有优缺点，适用于不同的情况。
函数模型的应用实例福建省厦门一中特级教师荆绍武PPT课件
Ａ
１５０ｋｍ
Ｂ
7
汽车与A地的距离x与从A地出发时 开始 经过的时间t（小时）的函数解析式
x
150
100
50
60t,0 t 2.5,
012 3 4 567 t
x 150,2.5 t 3.5,
150 50(t 3.5),3.5 t 6.5, 8
501001501502535150503535651如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率精确到0000尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型并检验所得模型与实际人口数据是否相符
1
实例１：
一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时 间的关系如图所示: V /(km h1)
90
(1)求图中阴影部分的 80 面积,并说明所求面积 70
的实际含义;
60
50
(2)试建立汽车行驶路 40
程 S km与时间t h的函
30 20
数解析式，并作出相 10
应的图象
o
2
1 2 3 4 5 t/h
s
400 300
● ●
●
200
100
● ●
o
1
2345
t
3
思维发散 想一想？
(3)、假设这辆汽车的里程表 在汽车行驶这段路程前的 读数为2004km,此时汽车 里程表读数s km与时间 t 的函数解析式,与（２）的 结论有何关系？
于是，1951 ~ 1959年期间，我国人口的年均增长率为
r (r1 r2 r9 ) 9 0.0221
令 y0 55196,则我国在1951 ~ 1959年期间的
人口增长模型为 y 55196e0.0221t , t N
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t 12
2020/1/10
13
深一层应用
(2)如果按右表的增长趋势,
y 55196e0.0221t , t N
大约在哪一年我国的人口 达到13亿?
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人
55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
1953 1954 1955
58796 60266 61456
尔萨斯人口增长模型建
1956
62828
立我国在这一时期的具
1957
64563
体人口增长模型,并检 验所得模型与实际人口 数据是否相符;
1958 1959
65994 67207
10
解：（1）设1951 ~ 1959年的人口增长率分别为r1, r2, r9。
r (r1 r2 r9 ) 9 0.0221
令 y0 55196,则我国在1951 ~ 1959年期间的
人口增长模型为 y 55196e0.0221t , t N
11
y 验证其准确性
70000
●
65000
●
●
60000
● ●
●
●
●
55000 ●
●
50000
o
1 23456789
动态
实例4:
已知1650年世界人口为５亿，当时 人口的年增长率为0.3%；1970年 世界人口为36亿,当时人口的年增 长率为2.1%. （1）用马尔萨斯人口模型计算,什 么时候世界人口是1650年的2倍？
(10 5e0.003t t 231),1881年
（2）用马尔萨斯人口模型计算什么 时候世界人口是1970年的 2倍?
s
400 300
● ●
●
200
100
● ●
o
1
2345
t
3
思维发散 想一想？
(3)、假设这辆汽车的里程表 在汽车行驶这段路程前的 读数为2004km,此时汽车 里程表读数s km与时间 t 的函数解析式,与（２）的 结论有何关系？
4
里程表读数s与时间t 的函数关系式
50t 2004(0 t 1)
x
150
100
50
60t,0 t 2.5,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
012 3 4 567 t
x 150,2.5 t 3.5,
150 50(t 3.5),3.5 t 6.5, 8
实例3：
人口问题是当今世界各国普遍关注的问 题.认识人口数量的变化规律，可以为 有效控制人口增长提供依据.早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自 然状态下的人口增长模型：
20
4、建立（确定）函数模型的基本步骤：
第一步：审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领 悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解题中所给 的图形、表格的现实意义，进而把握住新信息，确定相 关变量的关系。
实例2：某人开汽车以60km/h的速率从A地到
150km远处的 B 地，在B地停留1小时 后，再以50km/h的速率返回A 地。把 汽车与A地的距离x表示为从A地出发 时 开始经过的时间t（小时）的函数， 并画出函数的图像。
Ａ
１５０ｋｍ
Ｂ
7
汽车与A地的距离x与从A地出发时 开始 经过的时间t（小时）的函数解析式
14
(2) 将 y 130000 代入 y 55196e0.0221t
得 130000 55196e0.0221t
两边取e为底 的对数：ln130000=ln55196e0.0221t
ln130000-ln55196=0.0221t
由计算器计算可得 t 38.76
所以，如果按表中的 增长趋势，那么大约 在1950年后的第39 年----1989年我国 人口将达到13亿。
由5519（6 1 r1） 56300 可得1951年的人口增长率r1 0.0200
r2 0.0210, r3 0.0229, r4 0.0250, r5 0.0197, r6 0.0223, r7 0.0276, r8 0.0222, r9 0.0184
于是，1951 ~ 1959年期间，我国人口的年均增长率为
(72 36e0.021t t 33), 2003年
17
实际上,1850年以 前世界人口就超 过了10亿;而 2003年世界人口 还没有达到72亿. 你对同样的模型 得出的两个结果 有何看法?
18
总结一下
本节课你的收获 是什么？
19
总结：本节重点是： 1、体验函数模型是描述客观世界变化 规律的 基本数学模型； 2、建立分段函数的函数模型时，要注 意“不重、不漏”的原则； 3、利用函数模型既能解决现实问题， 也可预 测未来走向。但要注意实 际条件与得出 模 型条件有所不同。 因此，要时时调整模型 条件才可。
80(t 1) 2054(1 t 2)
S
90(t
2)
2134(2
t
3)
75(t
3)
2224(3
t
4)
65(t 4) 2299(4 t 5)
5
s
2400
●
2300
●
2200
2100 2000
● ●
o
12345
t
6
巩固训练
想一想
我国实际人口那一 年达到13亿？ 说明什么？
15
继续探讨
依据表中增长趋势， 你算一算
我国２００４年的 人口数？
和２０５０年的人 口数？
想一想
我国为什么实行 计划生育政策？
我国2004年人口 是18.2亿。
2050年人口 是52.3亿
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广泛研 究
根据马尔萨 斯人口增长 模型你算一 算世界人口
1
实例１：
一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时 间的关系如图所示: V /(km h1)
90
(1)求图中阴影部分的 80 面积,并说明所求面积 70
的实际含义;
60
50
(2)试建立汽车行驶路 40
程 S km与时间t h的函
30 20
数解析式，并作出相 10
应的图象
o
2
1 2 3 4 5 t/h
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y yoert
1950~1959年我国的人口数据资
其中t表示经过的时间, 料: 年份
人数/万人
yo表示t 0时的人口数,
1950 1951
r表示人口的年平均增长率 1952
55196 56300 57482
(1)如果以各年人口增长 率的平均值作为我国这 一时期的人口增长率 (精确到0.000 1)用马