九年级数学下册小专题七与圆的切线有关的计算与证明练习新版湘教版

湘教版九年级数学下册测试题测试题湘教版初中数学2.5.2 圆的切线第1课时切线的判定1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．3．下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线4．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置位置是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切5．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定6．菱形的对角线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O•与菱形其它三边的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定7．平面直角坐标系中，点A（3，4），以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能8．如图，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长．9．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；，求⊙O的直径．（2）如果CD=6，tan∠BCD=1211．如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin=1，2∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．12．已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B•点，OC=BC，AC=1OB．2（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD 的长．13．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB ⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．14．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF•与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD和FG的长度．初中生提高做题效率的方法厚薄读书法：复习课本要厚薄结合著名数学家华罗庚先生说:“书要能从薄读到厚,还要能从厚读到薄。

小专题（七）与圆的切线有关的计算与证明1. 如图，已知Rt△ ABC / ABC= 90°，以直角边AB为直径作O 0,交斜边AC于点D,连接BD.取BC的中点E,连接ED,求证：ED与O 0相切.证明：连接0D.•/ 0D= 0B•••/ 0BD=Z BD0.•/ AB是直径(已知)，•••/ ADB= 90° .•••/ ADB=Z BDC= 90 °.在Rt△ BDC中，E是BC的中点，•BE= CE= DE. DBE=Z BDE.又•••/ ABC=Z 0BDF Z DBE= 90°,•••/ 0DE=Z BD0F Z BDE= 90 °.•/ 0D是O 0的半径，•ED与O 0相切.2. 如图，四边形ABCD为菱形，△ ABD的外接圆O 0与CD相切于点D,交AC于点E.(1)判断O 0与BC的位置关系，并说明理由；⑵若CE= 2,求O 0的半径r.解：（1）O 0与BC相切.理由：连接0D 0B •••O 0与CD相切于点D,• 0DL CD, / 0DC= 90°•••四边形ABCD为菱形，••• AD- CD- CB.•/ 08 OB OC= OC CB= CD.•••△OBC^A ODC/-Z OBC=Z ODC= 90°又T OB为半径，「.O O与BC相切.(2) T AD= CD ACD=Z CAD.•/ AO= OD OAD=Z ODA.T/ COD=Z OADF Z ADO•••/ COD= 2 / ACD.又T/ COD-Z ACD= 90° ,1• / ACD= 30°. • 0D--OC• r - 2.3. 如图，已知AB是O O的直径，且AB= 12, AP是半圆的切线，点C是半圆上的一动点(不与点A, B重合)，过点C作CDL AP于点D,记/ COA= a .(1)当a - 60°时，求CD的长；⑵当a为何值时，CD与O 0相切？说明理由.解：⑴ 过点C作CEL AB于点E.在Rt△ OCE中,0E- OC" cos/ COA1=2X6- 3,贝U CD= OA- OB 6-3 - 3.⑵当/ a -90。

第2课时切线的性质基础题知识点圆的切线的性质1．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，OP＝4，∠APO＝30°，则⊙O的半径为( )A．1 B. 3 C．2 D．42．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠P＝60°，那么∠AOB等于( )A．60° B．90° C．120° D．150°3．(邵阳中考)如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A ＝30°，则∠C的大小是( )A．30° B．45° C．60° D．40°4．如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为( )A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm5．(内江中考)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD＝120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为( )A．40° B．35° C．30° D．45°6．如图所示，⊙O与AC相切于点A，且AB＝AC，BC与⊙O相交于点D，下列说法不正确的是( )A．∠C＝45° B．CD＝BDC．∠DAB＝∠DAC D．CD＝AB7．(湘潭中考)如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于A点，则PA＝____________.8．(永州中考)如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°.则∠B＝____________度．9．如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证：AC＝BC.10．(株洲中考)如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C.(1)求∠BAC的度数；中档题11．(嘉兴中考)如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为( ) A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.612．(枣庄中考)如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是( ) A．30° B．45° C．60° D．90°13．(益阳中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P＝40°，则∠D的度数为____________．14．(自贡中考)如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为____________cm.15．(娄底中考)如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.(1)求证：△ABD≌△CDB；若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．16．(盐城中考)已知：如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线与点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；综合题17．(菏泽中考)如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.(1)求证：∠AB C＝2∠CAF；(2)若AC＝210，CE∶EB＝1∶4，求CE的长．参考答案1．C 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.4 8.60 9．证明：∵AB 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥AB. ∵OA ＝OB ， ∴AC ＝BC.10．(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD ＝∠CBD.∵直线BC 与⊙O 相切于点B ， ∴∠ABC ＝90°. ∴∠ABD ＝45°.∴∠BAC ＝180°－90°－45°＝45°. (2)证明：∵∠BAC＝45°，∠ABC ＝90°， ∴∠C ＝45°. ∴AB ＝CB. 又∵BD⊥AC， ∴AD ＝CD.11．B 12.A 13.115° 14.3 15．(1)证明：∵AB ，CD 是直径， ∴∠ADB ＝∠CBD＝90°.在△ABD 和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，BD ＝DB ，∴Rt △ABD ≌Rt △CDB(HL)．(2)∵BE 是切线， ∴AB ⊥BE.∴∠ABE ＝90°. ∵∠DBE ＝37°， ∴∠ABD ＝53°. ∵OA ＝OD ，∴∠BAD ＝∠ODA＝90°－53°＝37°. ∴∠ADC 的度数为37°. 16．(1)∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠OCA.∴∠COD＝∠A＋∠OCA＝2∠A. ∵∠D＝2∠A， ∴∠COD ＝∠D.∵PD 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥PD ，即∠OCD＝90°. ∴∠D ＝45°.(2)由第(1)问可知△OCD 是等腰直角三角形． ∴OC ＝CD ＝2.由勾股定理，得OD ＝22＋22＝2 2. ∴BD ＝OD －OB ＝22－2. 17．(1)证明：连接BD. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠DAB＋∠ABD＝90°.∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，即∠DAB＋∠CAF＝90°.∴∠CAF＝∠ABD.∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD.∴∠ABC＝2∠CAF.(2)连接AE，则∠AEB＝90°.设CE＝x.∵CE∶EB＝1∶4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x.在Rt△ABE中，AE＝AB2－BE2＝3x.在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2，即(210)2＝x2＋(3x)2，解得x＝2. ∴CE＝2.。

第2课时切线的性质基础题知识点圆的切线的性质1．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，OP＝4，∠APO＝30°，则⊙O的半径为( )A．1 B. 3 C．2 D．42．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠P＝60°，那么∠AOB等于( )A．60° B．90° C．120° D．150°3．(邵阳中考)如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A ＝30°，则∠C的大小是( )A．30° B．45° C．60° D．40°4．如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为( )A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm5．(内江中考)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD＝120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为( )A．40° B．35° C．30° D．45°6．如图所示，⊙O与AC相切于点A，且AB＝AC，BC与⊙O相交于点D，下列说法不正确的是( )A．∠C＝45° B．CD＝BDC．∠DAB＝∠DA C D．CD＝AB7．(湘潭中考)如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于A点，则PA＝____________. 8．(永州中考)如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°.则∠B＝____________度．9．如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证：AC＝BC.10．(株洲中考)如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C.(1)求∠BAC的度数；中档题11．(嘉兴中考)如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则⊙C 的半径为( )A ．2.3B ．2.4C ．2.5D ．2.612．(枣庄中考)如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB ＝AB ，点P 是⊙O 上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°13．(益阳中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，若∠P＝40°，则∠D 的度数为____________．14．(自贡中考)如图，一个边长为4 cm 的等边三角形ABC 的高与⊙O 的直径相等，⊙O 与BC 相切于点C ，与AC 相交于点E ，则CE 的长为____________cm.15．(娄底中考)如图，在⊙O 中，AB ，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD ，BC ，BD.(1)求证：△ABD≌△CDB；若∠DBE＝37°，求∠ADC 的度数．16．(盐城中考)已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线与点D ，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D 的度数；综合题17．(菏泽中考)如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F.(1)求证：∠ABC＝2∠CAF；(2)若AC ＝210，CE ∶EB ＝1∶4，求CE 的长．参考答案1．C 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.4 8.609．证明：∵AB 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥AB.∵OA ＝OB ，∴AC ＝BC.10．(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD ＝∠CBD.∵直线BC 与⊙O 相切于点B ，∴∠ABC ＝90°.∴∠ABD ＝45°.∴∠BAC ＝180°－90°－45°＝45°.(2)证明：∵∠BAC＝45°，∠ABC ＝90°，∴∠C ＝45°.∴AB ＝CB.又∵BD⊥AC，∴AD ＝CD.11．B 12.A 13.115° 14.315．(1)证明：∵AB ，CD 是直径，∴∠ADB ＝∠CBD＝90°.在△ABD 和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，BD ＝DB ， ∴Rt △ABD ≌Rt △CDB(HL)．(2)∵BE 是切线，∴AB ⊥BE.∴∠ABE ＝90°.∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝53°.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA＝90°－53°＝37°.∴∠ADC的度数为37°.16．(1)∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.∴∠COD＝∠A＋∠OCA＝2∠A.∵∠D＝2∠A，∴∠COD＝∠D.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°.∴∠D＝45°.(2)由第(1)问可知△OCD是等腰直角三角形．∴OC＝CD＝2.由勾股定理，得OD＝22＋22＝2 2.∴BD＝OD－OB＝22－2.17．(1)证明：连接BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠DAB＋∠ABD＝90°.∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，即∠DAB＋∠CAF＝90°.∴∠CAF＝∠ABD.∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD.∴∠ABC＝2∠CAF.(2)连接AE，则∠AEB＝90°.设CE＝x.∵CE∶EB＝1∶4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x.在Rt△ABE中，AE＝AB2－BE2＝3x.在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2，即(210)2＝x2＋(3x)2，解得x＝2. ∴CE＝2.。

2.5.2圆的切线第1课时切线的判定基础题知识点圆的切线的判定1．下列直线中，能判定为圆的切线的是( )A．与圆有公共点的直线B．过圆的半径的外端点的直线C．垂直于圆的半径的直线D．经过直径的一个端点，且垂直于这条直径的直线2．如图，A是圆O上一点，AO＝5，PO＝13，AP＝12，则PA与圆O的位置关系是( )A．无法确定B．相交C．相切D．相离3．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为____________．4．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于____________度时，AC才能成为⊙O的切线．5．如图，延长⊙O的半径OA，使OA＝AB，过点A作弦AC，使AC＝OA.求证：BC是⊙P的切线．6．(梅州中考)如图，在△ABO中，OA＝OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C.(1)求证：AB与⊙O相切；若∠AOB＝120°，AB＝43，求⊙O的面积．7．如图，已知两条射线CA、CB.试画一圆，使此圆与两射线相切．中档题8．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，要使DE 是⊙O 的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )A ．DE ＝DOB ．AB ＝ACC ．CD ＝DBD ．AC ∥OD9．(随州中考)如图，⊙O 中，点C 为AB ︵的中点，∠ACB ＝120°，OC 的延长线与AD 交于点D ，且∠D ＝∠B.求证：AD 与⊙O 相切．10．(宿迁中考)如图，AB 是⊙O 的弦，OP ⊥OA 交AB 于点P ，过点B 的直线交OP 的延长线于点C ，且CP ＝CB.(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若⊙O的半径为5，OP＝1，求BC的长．综合题11．(常德中考)如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA.(1)求证：ED是⊙O的切线；(2)当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．参考答案1．D 2.C 3.AB ⊥BC 4.605．证明：∵AC ＝OA ＝OC,∴∠OCA ＝∠OAC ＝60°.又OA ＝AB ，∴AC ＝AB.∴∠ACB ＝12∠OAC ＝30°. ∴∠OCB ＝∠OCA ＋∠ACB ＝90°.∴BC 是⊙P 的切线．6．(1)证明：连接CO.∵AO ＝BO ，∴△AOB 是等腰三角形．∵C 是边AB 的中点，∴OC ⊥AB.∵OC 是⊙O 的半径，∴AB 与⊙O 相切．(2)在等腰△AOB 中，∠AOB ＝120°，∴∠A ＝∠B ＝30°.∵C 是边AB 的中点，AB ＝43，∴AC ＝2 3.在Rt △ACO 中，∠ACO ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝23，∴OC ＝33AC ＝2， ∴S ＝π×22＝4π.7．作法：(1)作∠ACB 的平分线CE ；(2)在CE 上任取一点O ；(3)作OD ⊥CA 于点D ；(4)以点O 为圆心，以OD 为半径作圆，则⊙O 即为所求．8．A9．证明：连接OA.∵CA ︵＝CB ︵，∴CA ＝CB.又∵∠ACB ＝120°，∴∠B ＝30°.∴∠O ＝2∠B ＝60°.∵∠D ＝∠B ＝30°，∴∠OAD ＝180°－(∠O ＋∠D)＝90°.∴AD 与⊙O 相切．10．(1)证明：连接OB.∵OP ⊥OA ，∴∠A ＋∠OPA ＝90°.∵CP ＝CB ，∴∠CPB ＝∠CBP.又∵∠APO ＝∠CPB ，∴∠APO ＝∠CBP.∵OA ＝OB ，∴∠OAP ＝∠OBP.∴∠OBA ＋∠PBC ＝90°，即∠OBC ＝90°.∴OB ⊥BC.∴BC 是⊙O 的切线．(2)设CP ＝CB ＝x ，在Rt △OBC 中，(5)2＋x 2＝(x ＋1)2，解得x ＝2. ∴BC ＝2.11．(1)证明：连接OD.∵AC ⊥AB ，∴∠BAC ＝90°，即∠OAE ＝90°.在△AOE 与△DOE 中，⎩⎨⎧OA ＝OD ，AE ＝DE ，OE ＝OE ，∴△AOE ≌△DOE(SSS)．∴∠OAE ＝∠ODE ＝90°，即OD ⊥ED.又∵OD 是⊙O 的半径，∴ED 是⊙O 的切线．(2)∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°.∴∠ADC ＝90°.∴∠ADE ＋∠CDE ＝90°，∠DAE ＋∠ACD ＝90°. ∵AE ＝DE ，∴∠ADE ＝∠DAE.∴∠CDE ＝∠ACD.∴DE ＝CE.又AE ＝DE ，∴AE ＝CE.∴AC ＝2AE ＝8.∵OA ＝3，∴AB ＝6.在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝62＋82＝10. ∴BC 的长度是10.。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题2.5.2 圆的切线第2课时切线的性质知|识|目|标1．通过回顾互逆命题和反证法，探索圆的切线的性质定理．2．通过对切线的性质的了解，能运用切线的性质进行计算或证明.目标一理解切线的性质定理例1 教材补充例题下列说法不正确的是( )A．过圆心且垂直于切线的直线必经过切点B．圆的切线到圆心的距离等于这个圆的半径C．圆的切线垂直于圆的半径D．过切点且垂直于切线的直线必过圆心【归纳总结】圆的切线的三条性质：理解与识记圆的切线的性质可以从三个方面进行：(1)公共点的个数：圆的切线与圆有且只有一个公共点；(2)圆心到直线的距离：圆的切线到圆心的距离等于该圆的半径；(3)与过切点的半径的位置关系：圆的切线只垂直于过切点的半径．目标二能利用圆的切线的性质定理进行计算或证明例2 教材补充例题如图2－5－11所示，AB是⊙O的直径，DC切⊙O于点C，连接CA，CB，AB＝12 cm，∠ACD＝30°，求AC的长．图2－5－11【归纳总结】切线性质的应用及辅助线的作法：(1)如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．(2)辅助线的作法：连切点、圆心，得垂直关系．例3 教材例3针对训练如图2－5－12，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC，BC.(1)求证：BC平分∠ABE；(2)若∠A＝60°，OA＝4，求CE的长．图2－5－12知识点一过圆上一点作圆的切线作法：(1)过该点作已知圆的半径；(2)过该点作与该半径垂直的直线即为已知圆的切线．知识点二切线的性质定理圆的切线垂直于______________．[注意] (1)此定理不能省去“过切点”三个字．(2)到目前为止，我们学习了切线的如下性质：①切线与圆有唯一公共点；②圆心到切线的距离等于这个圆的半径；③切线垂直于过切点的半径．判断：圆的切线垂直于半径．( )答案：√以上答案正确吗？若不正确，请说明理由．教师详解详析【目标突破】例1 [解析] C 一个圆有无数条半径，圆的切线只垂直于过切点的半径．例2 解：连接OC.因为DC 是⊙O 的切线，所以OC ⊥DC ，而∠ACD ＝30°.所以∠ACO ＝60°.又因为OA ＝OC ，所以△AOC 是等边三角形，所以AC ＝OA ＝12AB ＝12×12＝6(cm )． 例3 解：(1)证明：∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥DE ，而BE ⊥DE ，∴OC ∥BE ，∴∠OCB ＝∠CBE ，而OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OBC ＝∠CBE ，即BC 平分∠ABE.(2)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠A ＝60°，∴△OAC 为等边三角形，AC ＝OA ＝4，而AB ＝2OA ＝8，∴BC ＝AB 2－AC 2＝4 3.∵∠OBC ＝∠CBE ＝30°，∴在Rt △CBE 中，CE ＝12BC ＝2 3. 【总结反思】[小结] 知识点二 过切点的半径[反思] 判断不正确．理由：圆的切线垂直于过切点的半径．反思：易忽视圆的切线的性质“垂直于过切点的半径”的条件．。

2.5.2 圆的切线第1课时切线的判定知|识|目|标1．通过回顾圆的切线的概念和直线与圆的位置关系，理解切线的判定定理．2．通过切线的判定定理，掌握圆的切线的作法．目标一理解切线的判定定理(1)直线与圆有公共点时证明直线是圆的切线例1 教材例2针对训练已知：如图2－5－4，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC 于点D，过点D作DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线．图2－5－4【归纳总结】判定圆的切线的三种方法：(1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)若圆心到直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)直线与圆位置关系不明时证明圆的切线例2 教材补充例题已知：如图2－5－5所示，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：AC与⊙O相切．图2－5－5【归纳总结】判定圆的切线的常用辅助线的选择：(1)如果已知直线过圆上一点，那么连接这点和圆心，得到半径，证明这条半径垂直于已知直线即可，可记为：有交点，作半径，证垂直；(2)如果已知直线与圆没有明确是否有公共点，那么过圆心作已知直线的垂线段，证明垂线段等于半径即可，可记为：无交点，作垂线，证半径．目标二掌握圆的切线的作法请回答：小涵的作图依据是________________________________________．【归纳总结】圆的切线的作法：(1)过圆外一点作圆的切线的方法：①连接圆外的点与圆心；②以连接得到的线段长为直径作圆，与已知圆交于两点；③连接圆外的点与交点，即得到过圆外一点所作的已知圆的两条切线．(2)圆的切线的作法是以圆的切线的判定定理为依据，将作切线转化为作垂线来实现，所作的直线必须满足两个基本特征：①经过半径的外端；②垂直于这条半径．知识点一切线的判定定理切线的判定定理：经过半径的______并且________________的直线是圆的切线．[注意] (1)圆的切线必须同时满足两个条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径．二者缺一不可．(2)“垂直于这条半径”不要省去了“这条”两个字，如图2－5－8，直线l过半径OA的外端，垂直于半径OB，但直线l不是⊙O的切线．图2－5－8(3)切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②圆心到直线的距离等于半径；③切线的判定定理．知识点二 过圆上一点作圆的切线步骤：(1)根据题意在圆周上取一点A ； (2)连接圆心O 与点A ；(3)过点A 作一条直线垂直于OA ，则这条直线就是所求作的圆的切线．如图2－5－9，OP 是∠AOB 的平分线，以点P 为圆心的⊙P 与OA 相切于点C.求证：⊙P 与OB 相切．图2－5－9证明：如图2－5－10，设⊙P 与OB 的公共点为D ，连接PC ，PD.图2－5－10∵OA 与⊙P 相切于点C ， ∴PC ⊥OA.又OP 平分∠AOB ， ∴∠COP ＝∠DOP. 在△COP 与△DOP 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠PCO ＝∠PDO ，∠COP ＝∠DOP ，OP ＝OP ，∴△COP ≌△DOP ， ∴PC ＝PD ，∴⊙P 与OB 相切．上述证明过程有无错误？若有错误，请指出错误的原因，并改正．教师详解详析【目标突破】例1 [解析] 若要证DE是⊙O的切线，只需DE满足两个条件：①DE过半径的外端点；②DE 垂直于这条半径．所以只需连接OD，则满足条件①，故只需证明DE⊥OD即可，而DE⊥AC，则只需证OD∥AC.证明：如图，连接OD，则∠OBD＝∠ODB.又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD.又∵DE过半径OD的外端点，∴DE是⊙O的切线．例2 [解析] 要证AC是⊙O的切线，题目没有点明AC与⊙O的交点，即没有点明切点，因此，过点O作AC的垂线，垂足为E；而⊙O与AB相切于点D，所以⊙O的半径即是OD，只要证明OE＝OD问题即得解．证明：如图，连接OA，过点O作OE⊥AC，垂足为E.∵AB＝AC，O是BC的中点，∴∠BAO＝∠CAO.又∵ OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，∴ OE＝OD，∴ AC与⊙O相切．例3 直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【总结反思】[小结] 知识点一外端垂直于这条半径[反思]有错误，错误原因有两个：①条件中没有给出“⊙P与OB有公共点”；②∠PCO＝∠PDO缺乏依据．正确解答：连接PC，过点P作PD⊥OB于点D.∵OA与⊙P相切于点C，∴PC ⊥OA.又OP平分∠AOB，∴PC＝PD，∴⊙P与OB相切．。