小波变换ch4Mallat算法及二维小波

小波变换发展史传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。

在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。

小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。

小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。

1.从傅立叶分析到小波分析1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立分析。

傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反映了“整个”时间范围内信号的“全部”频谱成分，是研究信号的周期现象不可缺少的工具。

建立在傅立叶分析基础上的采样定理和FFT技术奠定了现代数字化技术的理论基础。

尽管傅立叶变换具有很强的频域局域化能力，但是它明显的缺点，那就是无法反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。

为了研究信号在局部时间范围内的频谱特征，1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT），但是STFT的窗口宽度是固定的（和频率无关），这使得它无法同时兼顾信号的低频和高频特征，在分析时变信号时也有一定的局限性。

另外，STFT的窗口函数或核函数不能提供一组离散正交基，所以给数值计算带来了不便，这也是导致STFT 没有得到广泛应用的重要原因。

从傅立叶分析演变而来的小波分析的优点恰恰可以弥补傅立叶变换中存在的不足之处。

1.2 背景知识及研究现状1.2.1 小波变换数学界和工业界在共同研究数据表示技术的过程中所发展起来的小波分析技术[1],摈弃了传统Fourier 分析所必须的前提假设——平稳性，成为分析非平稳信号的有力工具。

它的出现导致了我们从新的视角去研究信号压缩、噪声滤波等信号处理问题：一方面，由于小波基的紧支性和小波分解的多尺度结构，非线性小波逼近实质上等价于一个自适应的网格逼近，网格的分辨率在信号奇异点的邻域内被适当加细了；另一方面，由于小波基的无条件基特性，使它成为一大类信号的非线性逼近的最优基，许多信号在小波基的表示下，都可以获得稀疏的表示式。

小波分析是传统傅里叶分析发展史上的里程碑，在许多使用传统傅里叶分析的地方，均可用小波分析所取代。

小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，已经成为图像处理应用中的一个新的研究热点[2]。

小波分析方法的出现可以追溯到1910年Haar 提出Haar 规范正交基，以及1938年Littlewood-Paley 对傅里叶级数建立的L-P 理论。

1984年法国地球物理学家Morlet 引入小波的概念对石油勘探中的地震信号进行存贮和表示。

L. Carleron 使用了非常象“小波”的函数构造了Stein 和Weiss 的空间1H 的无条件基。

直到1986年，法国数学家Meyer 成功地构造出了具有一定衰减性的光滑函数ψ，它的二进伸缩与平移()(){}Z k j k t t j j k j ∈-=--,:222/,ψψ构成()R L 2的规范正交基。

Lemarie 和Battle 继Meyer 之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。

1988年Daubechies 构造了具有紧支集的正交小波基。

Coifman, Meyer 等人在1989年引入了小波包的概念。

基于样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在1990年构造出来。

1992年A Cohen, I Daubechhies 等人构造出了紧支撑双正交小波基。

遥感影像像素级融合方法概述摘要：本文介绍了6种不同的像素级遥感影像融合方法，并较为深入的探讨了几种融合方法的原理、实现过程和优缺点，并对几种融合方法进行了综合评价，得到了针对多光谱影像融合较好的方法，表明了不同传感器影像融合的潜力，同时论文也对融合影像的应用推广进行了初步的对比分析。

关键词：融合原理评价方法0 引言影像融合按照其水平和特点可以分为像素级、特征级和决策级融合[1]，本文讨论的是像素级的影像融合方法，像素级融合是对传感器的原始信息及预处理的各个阶段上产生的信息分别进行融合处理。

对不同卫星和不同传感器的遥感影像进行融合，可以取长补短，产生新的融合影像。

比较常见的影像融合是高分辨率全色影像和低分辨率多光谱影像的融合，生成的新的融合影像既具有全色影像的高分辨率，也一定程度上保持了多光谱影像的光谱信息。

目前比较成功的高分辨率商业卫星如QuickBird、IKONOS和SPOT5，都搭载有高分辨率全色和低分辨率的多光谱相机，能同时提供全色和多光谱影像，并提供两者的融合产品。

QuickBird、IKONOS和SPOT5的全色和多光谱影像分辨率之比都为1:4或1:2，而CBERS-02B星的全色和多光谱影像分辨率之比大约为1:8，虽然CBERS-02B星HR与CCD的融合影像能一定程度上保持HR的高空间分辨率和CCD的高光谱分辨率，但1:8的大比率给CBERS-02B星的全色和多光谱影像融合也带来了一些困难和问题，如全色和多光谱影像之间的配准精度难已保证、融合影像出现斑块效应等等。

1 像素级影像融合方法1.1 HSV融合方法 HSV融合方法属于一种颜色变换的融合方法，首先介绍一下HSV颜色变换，HSV颜色变换是把标准的RGB图像变换到为色度H (Hue)、饱和度S (Saturation)和亮度V (Value)图像。

HSV融合方法流程是对多光谱影像3个波段使用HSV颜色正变换为H、S和V三幅图像，然后用高分辨率影像替代H图像，最后对H、S和V图像实施HSV颜色变换的逆变换得到融合影像。

小波分析实验：实验2 二维离散小波变换(Mallat快速算法)实验目的：在理解离散小波变换原理和Mallat快速算法的基础上，通过编程对图像进行二维离散小波变换，从而加深对二维小波分解和重构的理性和感性认识，并能提高编程能力，为今后的学习和工作奠定基础。

实验工具：计算机，matlab6.5附录：（1）二维小波分解函数%二维小波分解函数function Y=mallatdec2(X,wname,level)%输入:X 载入的二维图像像数值;% level 小波分解次(级)数设定值(如果设定值超过最高可分解次数,按最高分解次数分解)% wname 小波名字wavelet name%输出：Y 多极小波分解后的小波系数矩阵[h,g]=wfilters(wname,'d'); %h,g分别为低通和高通滤波器X=double(X);hh=size(X,2);while t<=level%先进行行小波变换for row=1:hhY(row,1:hh)=mdec1(X(row,1:hh),h,g) ;end%再进行列小波变换for col=1:hhtemp=mdec1( Y(1:hh,col)',h,g);Y(1:hh,col)=temp';endt=t+1;hh=hh/2;X=Y;end%内部子函数，对一行(row)矢量进行一次小波变换，利用fft实现function y=mdec1(x,h,g)%输入：x 行数组% h为低通滤波器% g为高通滤波器%输出： y 进行一级小波分解后的系数lenx=size(x,2);lenh=size(h,2);rh=h(end:-1:1);rrh=[zeros(1,(lenx-lenh)),rh];rrh=circshift(rrh',1)';rg=g(end:-1:1);rrg=[zeros(1,(lenx-lenh)),rg];rrg=circshift(rrg',1)';r1=dyaddown(ifft(fft(x).*fft(rrh,lenx)),1); %use para 1r2=dyaddown(ifft(fft(x).*fft(rrg,lenx)),1);y=[r1,r2];（2）二维小波重构函数%二维小波重构函数function Y=mallatrec2(X,wname,level)%输入:X 载入的小波系数矩阵;% level 小波分解次(级)数设定值(如果设定值超过最高可分解次数,按最高分解次数分解)% wname 小波名字wavelet name%输出：Y 重构图像矩阵[h,g]=wfilters(wname,'d'); %h,g分别为重构低通滤波器和重构高通滤波器hz=size(X,2);h1=hz/(2^(level-1));while h1<=hz% 对列变换for col=1:h1temp=mrec1(X(1:h1,col)',h,g)';X(1:h1,col)=temp;end%再对行变换for row=1:h1temp=mrec1(X(row,1:h1),h,g);X(row,1:h1)=temp;endh1=h1*2;endY=X;%内部子函数，对一行小波系数进行重构function y=mrec1(x,h,g)%输入：x 行数组% h为低通滤波器% g为高通滤波器%输出： y 进行一级小波重构后值lenx=size(x,2);r3=dyadup(x(1,1:lenx*0.5),0); %内插零use para 0r4=dyadup(x(1,(lenx*0.5+1):lenx),0); %use para 0y=ifft(fft(r3,lenx).*fft(h,lenx))+ ifft(fft(r4,lenx).*fft(g,lenx));（3）测试函数（主函数）%测试函数（主函数）clc;clear;X=imread('E:\Libin的文档\Course\Course_wavelet\实验2要求\exp2\LENA.bmp');%路径X=double(X);A = mallatdec2(X,'sym2',3);image(abs(A));colormap(gray(255));title('多尺度分解图像');Y= mallatrec2(A,'sym2',3);Y=real(Y);figure(2);subplot(1,2,1);image(X);colormap(gray(255));title('原始图像');subplot(1,2,2);image(Y);colormap(gray(255));title('重构图像');csize=size(X);sr=csize(1);sc=csize(2);mse=sum(sum( (Y-X).^2,1))/(sr*sc);psnr=10*log(255*255/mse)/log(10)小波分析实验：实验1 连续小波变换实验目的：在理解连续小波变换原理的基础上，通过编程实现对一维信号进行连续小波变换，（实验中采用的是墨西哥帽小波），从而对连续小波变换增加了理性和感性的认识，并能提高编程能力，为今后的学习和工作奠定基础。

小波变换在面波去噪中的一些应用摘要：地震资料的去噪，在处理中是非常重要的内容。

随着勘探技术的进步，地球物理可以用于去噪的方法越来越多。

目前去噪效果相对较好的是小波变换法。

小波变化以其独特的时频特性被广泛的使用于地震资料的去噪中。

与以前的频率滤波相比，其优越性是可见的。

本文简要介绍了小波函数以及用于地震去噪的小波变换的一些方法，并且结合实际来对小波去噪进行了介绍。

关键词：小波变换、地震、随机干扰Abstract: Seismic data noise attenuation is a very important part of seismic data processing. With the advancement of exploration techniques,more and more geophysical methods can be used in noise attenuation. Currently the wavelet transform is relatively a better methods. Wavelet transform are widely used in seismic data noise attenuation with its unique time-frequency characteristics. Compared with the previous frequency filter, it is visible superiority.In this paper,we briefly introduces the wavelet function as well as the methods of wavelet noise attenuation,then combined with the realities of wavelet noise attenuation was introduced.Key words：the wavelet transform, Seismic, randomnoise.0引言野外地震资料中包含着有关地下构造和岩性的信息，但是由于各种因素的影响，我们所需要的信息中往往包含着各种的噪声，这些噪声的存在严重影响了我们对地震资料的解释。

基于Daubechies4小波变换地形滤波的复杂电磁环境仿真加速方法王佳;石丹;刘艳梅;高攸纲;陈亚洲【摘要】本文提出了一种基于射线追踪算法的复杂电磁环境仿真计算的加速方法，同时结合并行系统来共同加速仿真计算。

对地形DEM数据进行Daubechies4二维离散小波变换，地形滤波在一定范围内有效降低了其复杂度。

继而搭建并行计算系统，将滤波后的地形应用到多个辐射源的仿真建模并行计算，提高复杂电磁环境仿真计算速度。

经过对该方法进行多次实验，验证了该方法可以在一定精度范围内提高复杂电磁环境计算速度。

%The paper proposes a method to improve the simulation speed of complex electromagnetic environment based on ray tracing model. Meanwhile the acceleration simulation calculation is done combined with parallel system. Do Daubechies4 two-dimensional discrete wavelet transform on the terrain DEM data to smooth the terrain to accelerate simulation. The complex of terrain filtering is reduced in a certain range. Then the parallel computing system is established; and the terrain after filtering is applied in several radiation source to simulation modelling and parallel computing. It can improve the simulating calculation speed in the complex electromagnetic environment. After a number of tests, the results show that this method can be adopted to improve the computation speed in the complex electromagnetic environment while maintaining the computation accuracy simultaneously.【期刊名称】《环境技术》【年(卷),期】2014(000)0z1【总页数】4页(P63-66)【关键词】射线追踪;Daubechies4二维离散小波变换;DEM滤波;并行计算【作者】王佳;石丹;刘艳梅;高攸纲;陈亚洲【作者单位】北京邮电大学电子工程学院，北京 100876;北京邮电大学电子工程学院，北京 100876;北京邮电大学电子工程学院，北京 100876;北京邮电大学电子工程学院，北京 100876;中国人民解放军军械工程学院，石家庄 050003【正文语种】中文【中图分类】TP391.9随着军事领域电磁应用的日趋广泛，使得时时掌握战场空间内复杂电磁环境对获得战争主动权显得至关重要[1]。

mallat算法原理Mallat算法，又称Wavelet Transform，是一种基于小波函数的数据分析和处理方法，它将信号或图像分解成一系列小波频带，然后进行变换和重构以完成特定的分析或处理任务。

这种算法的优点在于具有时间和频率上的局部性、多分辨率分析和灵活的压缩性能等。

Mallat算法基于小波函数的变换，这些小波函数是一系列的正交函数(如Haar、Daubechies、Coiflet等)，它们具有时频局部性质，可以捕捉信号的局部特征，如短暂的信号脉冲和边缘等。

这些小波函数都是由一个母小波函数通过平移、缩放、反转等操作得到的。

Mallat算法的基本过程分为分解、重构和逆变换三个步骤。

1. 分解：将原始信号或图像分解成一系列小波频带。

这个过程是由多层的低通和高通滤波器完成的，其中低通滤波器用于提取信号的低频成分，高通滤波器则用于提取信号的高频成分。

在每一层分解过程中，低频部分进一步分解，高频部分则用作下一层分解的输入。

这样就得到了一系列不同频段的小波系数，代表了原始信号或图像的局部特征。

2. 重构：将得到的小波系数重构成原始信号或图像。

这个过程是由多个逆滤波器和逆上采样操作完成的，逆滤波器用于将小波系数进行逆变换，同时逆上采样操作将分辨率恢复到原来的大小。

通过这种方式，可以从分解后的小波系数重构出与原始信号或图像相似的结果。

Mallat算法的应用范围很广，可以应用到信号和图像处理、数据压缩、模式识别、图像分割等领域。

其核心在于通过小波分析将信号和图像分解成不同频段的小波系数，通过对这些小波系数的变换和重构完成特定的分析或处理任务。

一个多分辨率信号分解理论：小波表示摘要：多分辨率表示对于分析图像信号内容十分有效，我们研究了在一给定分辨率下逼近信号算子的性能。

显示出在分辨率12+j 和j 2下逼近信号的信息不同，通过在小波标准正交基2L 上分解这一信号可以将其提取。

小波标准正交基是一系列函数，它由扩大和转化唯一函数）（x ψ来构建。

这一分解定义了一个正交多尺度表示叫做小波表示。

它由金字塔算法来计算，其基于正交镜像滤波器的卷积。

对于图像，小波表示区分了几种空间定位。

我们研究这一表示在数据压缩，图像编码，结构辨别及分形分析上的应用。

关键词-编码，分形，多分辨率金字塔，正交镜像滤波器，结构辨别，小波变换 1. 引言在计算机视觉方面，很难由图像像素的灰度强度来直接分析一个图像的信息内容。

的确，这一数值依赖于照明条件。

更为重要的是图像强度的局部变化。

邻居的大小即对比计算处必须被采用于我们要分析的物体大小。

这一尺寸为测量图像局部变化定义了参考分辨率。

总的来说，我们想要识别的结构具有差异很大的尺寸。

因此，定义分析图像的优先或最优分辨率是不可能的。

一些研究人员发明了图像比对算法用来处理不同分辨率下的图像。

为这一目的，一种算法可以识别图像信息至一系列在不同分辨率下显现的细节。

给定一个提高分辨率的序列j r ，在分辨率j r 下的图像细节被定义为它的分辨率j r 下逼近与低分辨率1-j r 下逼近之间的信息差别。

多分辨率分解使得我们可以获得图像的尺度不变性演绎。

图像尺度随着场景与相机光学中心间的距离而变化。

当图像尺寸修改时，我们对于图像的演绎不应该变化。

多分辨率分解可以满足局部尺度不变性如果分辨率参量j r 的序列以指数形式变化。

我们假设存在分辨率一步R ∈α对于所有整数j ，j j r α=。

如果相机靠近场景时间为α，则每一物体被投影到一个2α的区域比相机焦平面更大。

即每一物体以α倍大的分辨率度量。

因此，新图片在分辨率j α下细节与先前在分辨率1+j α下图像细节相一致。

第五章 小波变换 Wavelet Transform小波理论是20世纪80年代后期发展起来的一门新兴应用数学分支，在法国学者莫列特（J.morlet ）马莱特（S.Mallat ）杜比垂丝（I.Daubechies ）努力下，小波理论及其在工程中的应用迅猛发展，打破了积分变换领域长期以来付氏变换一统天下的格局，开创了一个划时代的局面。

小波变换被认为是信号分析工具和方法上的重大突破。

由于小波变换可看成是傅氏变换的发展，所以与傅氏变换一样具有极广的应用面。

目前，在通信、图像、语言、地震、雷达、声纳、机械振动分析、信号检测、特征提取、故障诊断、滤波、数据压缩等多方面都得到了应用。

小波变换的应用研究正方兴未艾。

小波变换之所以有如此好的局面，源于它具有的多分辨特性——多尺度特征，可以把小波变换看成是一组品质因数相同具有良好选频特性的带通滤波器，通过适当地选择尺度因子和平移因子和基本小波，可以得到一个伸缩窗使得小波变换在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力——称为数学显微镜本章不对小波变换进行完整的数学讲述。

只从信号处理的角度对小波变换的基本理论和方法作一简单的介绍。

突出其定性的概念，建立起对小波的一点概念和兴趣，为今后的应用研究打下基础。

主要讲：连续小波变换、多分辨分析、Mallat 算法、小波包分析。

5.1 傅立叶变换到小波变换5.1.1傅立叶变换的局限性傅立叶变换： ()()j t x j x t e dt ωω∞--∞=⎰ （5-1） ()()12j t x t x e d ωωωπ∞-∞=⎰ （5-2）一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式1.揭示了时间函数与频谱函数之间的内在联系（时域 频域）2.反映了信号在“整个”时间范围内的“全部”频谱成分。

注解：(1)积分区间都是无穷的，所以傅氏变换是对无穷区间函数的分析。

注解：(2)用傅氏变换的方法是提取信号频谱时，需要利用信号的全部时域信号。

小波变换的发展简史从时频分析方法发展的角度出发（对比每种方法的优缺点），简述了小波变换的发展历史。

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。

幸运的是，1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。

与Fourier变换、窗口Fourier变换相比，它是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展，势必取代傅立叶分析的位置。

1．小波分析的3个特点：小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。

有利于分析确定时间发生的现象。

（傅里叶变换只具有频率分析的性质）小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。

信号长度为M 时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：2. 小波基表示发生的时间和频率：傅里叶变换（Fourier）基小波基时间采样基“时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较4.信号的时频分析：信号时频分析的重要性：时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。

信号的时域和频域之间具有紧密的联系。

信号时频分析的主要方法：3. 傅里叶变换（一）傅里叶变换伟大贡献及其局限性：傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。

数字信号处理中的小波变换方法在数字信号处理领域，小波变换（Wavelet Transform）被广泛应用于信号的分析和处理。

它是一种非平稳信号分析的有效工具，具有时频局部化特性和多分辨率分析能力。

本文将介绍小波变换的原理、常用方法以及在数字信号处理中的应用。

一、小波变换的原理小波变换是一种基于小波函数的信号分析方法，通过在时间和频率上对信号进行多尺度分解，将信号分解为不同频率成分。

小波函数是一组具有特定性质的函数，可以用于描述信号的时频特征。

小波变换的数学表达式为：$$ \psi_{a,b}(t) = \frac{1}{\sqrt{a}}\psi\left(\frac{t-b}{a}\right) $$其中，$\psi(t)$为小波函数，$a$和$b$为尺度参数和平移参数，$\psi_{a,b}(t)$表示对信号进行尺度为$a$、平移为$b$的小波变换。

二、常用的小波变换方法1. 连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）连续小波变换是小波变换最基本的形式，它对信号进行连续尺度的分解，能够提取信号在不同频率下的时域特征。

连续小波变换具有良好的时频局部化性质，但计算复杂度较高。

2. 离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）离散小波变换是对连续小波变换的离散化处理，通过有限个尺度和平移参数对信号进行分解。

离散小波变换可以通过滤波器组实现，具有快速计算和多分辨率特性。

常用的离散小波变换方法有基于Mallat 算法的一维和二维离散小波变换。

3. 快速小波变换（Fast Wavelet Transform，FWT）快速小波变换是对离散小波变换的改进，利用滤波器组的特殊性质实现高效的计算。

快速小波变换可以通过嵌套的低通和高通滤波器实现信号的分解和重构，大大减少计算复杂度。

三、小波变换在数字信号处理中的应用1. 信号压缩小波变换能够提取信号的局部特征，并且通过选择合适的小波系数进行信号重构，可以实现信号的压缩。

第十二章小波变换目录11引言22连续小波变换33二进小波变换3.1 3.1Haar变换44离散小波变换4.1 4.1多分辨率分析4.2 4.2快速小波变换算法4.3 4.3离散小波变换的设计4.4 4.4二维离散小波变换4.5 4.5双正交小波变换55Gabor变换作业1.1.引言小波变换是近年来在图象处理中受到十分重视的新技术，面向图象压缩、特征检测以及纹理分析的许多新方法，如多分辨率分析、时频域分析、金字塔算法等，都最终归于小波变换（wavelet transforms）的范畴中。

线性系统理论中的傅立叶变换是以在两个方向上都无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数的。

对于瞬态信号或高度局部化的信号（例如边缘），由于这些成分并不类似于任何一个傅立叶基函数，它们的变换系数（频谱）不是紧凑的，频谱上呈现出一幅相当混乱的构成。

这种情况下，傅立叶变换是通过复杂的安排，以抵消一些正弦波的方式构造出在大部分区间都为零的函数而实现的。

为了克服上述缺陷，使用有限宽度基函数的变换方法逐步发展起来了。

这些基函数不仅在频率上而且在位置上是变化的，它们是有限宽度的波并被称为小波（wavelet）。

基于它们的变换就是小波变换。

2.2.连续小波变换（CWT）所有小波是通过对基本小波进行尺度伸缩和位移得到的。

基本小波是一具有特殊性质的实值函数，它是震荡衰减的，而且通常衰减得很快，在数学上满足积分为零的条件：即基本小波在频域也具有好的衰减性质。

有些基本小波实际上在某个区间外是零，这是一类衰减最快的小波。

一组小波基函数是通过尺度因子和位移因子由基本小波来产生： 连续小波变换定义为：连续小波变换也称为积分小波变换。

连续小波逆变换为： 二维连续小波定义为：二维连续小波变换是：二维连续小波逆变换为：∞<ψ==⎰⎰∞∞-∞∞-ds ss C dt t 2)(0)(ψψ而且其频谱满足条件：)(1)(,a bx ax b a -=ψψdx abx x f adx x x f x f b a W b a b a f )()(1)()()(,),(,,-=>==<⎰⎰∞∞-∞∞-ψψψ2,0)(),(1)(a dadbx b a W C x f b a f ψψ⎰⎰∞∞-∞=),(1),(,,ab y a b x a y x y x b b a yx--=ψψdxdy y x y x f b b a W y x b b a y x f ),(),(),,(,,ψ⎰⎰∞∞-∞∞-=3,,0),(),,(1),(a dadb db y x b b a W C y x f y x b b a y x f y x ψψ⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞=2.1 滤波器族解释这里将小波变换与一族带通线性（卷积）滤波器相联系，作为小波变换的一种解释。

二维小波变换原理引言在信号处理和图像处理领域，小波变换是一种重要的数学工具。

而二维小波变换在图像处理中具有广泛的应用，例如图像压缩、边缘检测、图像增强等。

本文将介绍二维小波变换的原理和基本概念，并探讨其在图像处理中的应用。

一维小波变换回顾在介绍二维小波变换之前，我们先来回顾一下一维小波变换的原理。

一维小波变换是将一个一维信号通过特定的小波函数进行变换，从而得到一组小波系数。

其中，小波系数表示了信号在不同频率上的成分。

在一维小波变换中，我们使用一个小波函数（基函数）进行卷积，从而得到小波系数。

常用的小波函数有Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。

一维小波变换的过程可以表示为：Ck = ∑(2^(j/2) * Φ(t - k * 2^j) * f(t)) (k ∈ Z, j ∈ Z)其中，Ck表示第k个小波系数，Φ(t)表示小波函数，f(t)表示输入信号。

二维小波变换原理二维小波变换是一种将二维信号（例如图像）进行频域分析的方法。

在二维小波变换中，我们使用二维小波函数对图像进行卷积，从而得到一组二维小波系数。

与一维小波变换类似，二维小波变换也可以用于提取图像的不同频率成分。

二维小波变换的过程可以表示为：C(k,l) = ∑(2^(j/2) * Φ(x - k * 2^j, y - l * 2^j) * f(x, y)) (k, l ∈ Z, j ∈ Z)其中，C(k,l)表示第(k,l)个二维小波系数，Φ(x, y)表示二维小波函数，f(x, y)表示输入图像。

二维小波函数通常由水平平移、垂直平移和尺度变换组成。

平移操作控制小波函数在图像中的位置，尺度变换控制小波函数的大小。

通过将不同尺度和位置的小波函数卷积到输入图像中，我们可以得到不同频率的小波系数。

二维小波变换的应用图像压缩二维小波变换在图像压缩中得到了广泛的应用。

通过对图像进行二维小波变换，我们可以将图像在频域中的高频成分和低频成分分离开来。

二维离散小波变换公式
二维离散小波变换公式是一种数学工具，常用于图像和信号处理领域。

它可以
将输入的二维图像或信号分解为不同尺度上的近似系数和细节系数。

这种变换通过应用高通和低通滤波器来完成。

二维离散小波变换公式可以表示为：
X = H * Y * H^T
其中，X是输入图像或信号，H是称为小波分析矩阵的变换矩阵，Y是变换后
的结果。

具体步骤如下：
1. 将输入的二维图像或信号进行行变换：Y = H * X
这一步通过将每一行的数据与变换矩阵相乘，得到变换后的结果Y。

2. 将变换后的结果进行列变换：X = Y * H^T
这一步通过将每一列的数据与变换矩阵的转置相乘，得到最终的变换结果X。

在进行行变换和列变换之前，通常会将输入的图像或信号进行补零操作，以保
证变换结果的尺寸与输入相同。

二维离散小波变换具有多尺度分析的特点，可以将图像或信号分解为不同尺度
上的近似系数和细节系数。

近似系数反映了图像或信号的低频成分，而细节系数则反映了高频成分。

通过选择适当的小波基函数和变换矩阵，可以在不同应用中获得所需的信号特征。

总的来说，二维离散小波变换公式是一种强大的工具，可用于图像和信号处理，具有多尺度特性，能够提取出图像或信号的频域信息，对于许多应用具有重要意义。

高等教育自学考试毕业论文（设计）题目：二维离散小波分解的C语言实现摘要小波变换用于图像处理是小波变换应用效果比较突出的领域之一。

由于图像是二维信号，因此首先需要把小波变换由一维推广到二维。

本文在一维离散Mallat算法的基础上，用C语言实现了二维图像的离散小波变换。

这种二维变换是行列可分离的变换方式，即二维分解可以通过行和列依次作一维分解实现。

对图像作二维离散小波分解后得到一个低频子带和一系列高频子带，分别反映图像的基本信息和细节信息。

用这些子带也可以实现图像的重构。

目录第一章绪论 (1)1. 1小波理论与应用技术的发展概况 (1)1. 2图像技术的发展历程及面临的问题 (2)1. 3小波的特点及其在图像处理中的应用 (2)第二章Mallat算法由一维到二维的推广 (4)2. 1小波级数 (4)2. 2 Mallat算法 (5)2. 3二维离散小波变换 (7)2. 4二维离散小波变换后的系数分布 (8)第三章二维Mallat算法的C语言实现 (10)3. 1基本模块 (10)3．2 单层分解与重构 (10)3．3金字塔结构的多层分解和重构 (11)3．4小波系数的数据结构 (14)3．5 结果与分析 (14)参考文献 (19)致谢 (20)第一章绪论1. 1小波理论与应用技术的发展概况小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。

现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。

电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图像和信号处理。

现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构(或恢复)。

从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理(图像可以看作是二维信号)，在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。

基于二维小波亚像素图像处理的螺纹尺寸测量龚立雄【摘要】针对传统微分算子图像处理方法的不足,提出一种基于二维小波降噪的亚像素图像处理方法.首先对获取的图像进行灰度值处理,通过二维小波变换消除图像噪声、重构图像、边缘检测,得到螺纹像素级的边缘图像及灰度二维矩阵.然后采用最小二乘算法拟合,得到亚像素级精度图像直线和中心标定位置及矩阵,计算螺纹大、小径尺寸,解决人工测量和传统图像处理算法精度不足的问题.最后,设计螺纹尺寸测量系统,实现尺寸测量的可视化和应用化,满足测量精度要求.【期刊名称】《计算机应用与软件》【年(卷),期】2014(031)008【总页数】5页(P136-140)【关键词】小波变换;亚像素;边缘检测;最小二乘【作者】龚立雄【作者单位】重庆理工大学机械工程学院重庆400054【正文语种】中文【中图分类】TP391螺纹主要用于连接和传动，使得零部件配合紧密，广泛应用于汽车摩托车生产线装配。

螺纹的尺寸误差、缺陷将会影响产品的质量。

因此，在装配前需要对螺纹进行检测。

然而，大多数螺纹生产厂家对螺纹尺寸参数的检测是利用螺纹量规进行接触式测量或利用万工显进行人工测量，不仅效率低下，而且产生很多误判，影响测量精度[1-3]。

随着相机分辨率和成像速度的不断提高，基于图像处理的理论和测量系统得到了长足的发展，如美国的NI(National Instruments)、Cognex、PROIMAGE公司以及瑞士的BOBST公司、德国的VMT公司、加拿大的Matrox公司、日本欧姆龙公司等均能提供产品几何尺寸和表面缺陷的方案，取得了较大成功[4-6]。

Riby Abraham等分析了傅里叶变换、自动中值滤波、图像回旋、单步阈值法等不同图像算法，比较其性能，将图像算法应用于环状产品的缺陷检测中，提高了机器视觉处理的质量和精度[7]；Olmedo Eric研究灰度、亮度、暗色化状态阈值的变化，提出并行计算点对点的数字图像处理方法，并运用并行程序CUDA工具获得图像最佳中心[8]；毛成军等针对任意运动引起图像模糊时点扩散函数建模难题，将模糊过程看作线性移不变系统建立点扩散模型，利用多帧图像估计参数[9]，但只适用于静态和光照充分的场合。