2021年中考一轮复习九年级数学《图形的性质》能力提升专项训练(附答案)

2021年九年级数学中考一轮复习正方形的判定与性质中考真题演练1（附答案）1．如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（）A．（6，3）B．（3，6）C．（0，6）D．（6，6）2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（）A．（，2）B．（2，2）C．（，2）D．（4，2）3．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF ＝60°，则CF的长是（）B．A.C．﹣1D．4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论：①AN＝EN②当AE＝AF时，＝2﹣③BE+DF＝EF④存在点E、F，使得NF＞DF其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45.如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（）A．0B．4 C．6D．86．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤7．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）A．1和1B．1和2C．2和1D．2和28．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝1，有下列结论：①BE＝DE；②CE+DE ＝EF；③S△DEC＝﹣；④＝2﹣1．则其中正确的结论有（）A．①②③B．①②③④C．①②④D．①③④9．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（）A．B．C．D．10．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N 分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（）A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BCC．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC11．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（）A．由②推出③，由③推出①B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出②D．由①推出③，由③推出②12．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是．13．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为．14．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）．15．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为．16．如图，正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，若∠BEF＝∠EBC，AB ＝3AE，则下列结论：①DF＝FC；②AE+DF＝EF；③∠BFE＝∠BFC；④∠ABE+∠CBF＝45°；⑤∠DEF+∠CBF＝∠BFC；⑥DF：DE：EF＝3：4：5；⑦BF：EF＝3：5．其中结论正确的序号有．17．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是．18．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．19．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB ⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD．其中正确的序号是．参考答案1．解：∵四边形OBCD是正方形，∴OB＝BC＝CD＝OD，∠CDO＝∠CBO＝90°，∵O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），∴OD＝6，∴OB＝BC＝CD＝6，∴C（6，6）．故选：D．2．解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，∵顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0），∴AC＝6，OC＝2，OB＝7，∴BC＝9，∵四边形OCDE是正方形，∴DE＝OC＝OE＝2，∴O′E′＝O′C′＝2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°，∴E′O′∥AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴＝，∴＝，∴BO′＝3，∴OC′＝7﹣2﹣3＝2，∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，2），故选：B．3．解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：故选：D．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴∠BAE＝∠DAF，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝30°，∴∠DAF＝15°，在AD上取一点G，使∠GF A＝∠DAF＝15°，如图所示：∴AG＝FG，∠DGF＝30°，∴DF＝FG＝AG，DG＝DF，设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x，∵AG+DG＝AD，∴2x+x＝1，解得：x＝2﹣，∴DF＝2﹣，∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣）＝﹣1；故选：C．5．解：①如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴，∵∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正确；②在△ABE和△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，如图2，连接AC，交EF于O，∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE＝OF，Rt△CEF中，OC＝EF＝x，△EAF中，∠EAO＝∠F AO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，∴OE＝BE，∵AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），∴AO＝AB＝1，∴AC＝＝AO+OC，∴1+x＝，x＝2﹣，∴＝＝＝；故②不正确；③如图3，∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，∵∠ABE＝∠ABH＝90°，∴H、B、E三点共线，在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，故③正确；④△ADN中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°，∠FDN＝45°，∴DF＞FN，故不存在点E、F，使得NF＞DF，故④不正确；故选：B．6．解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，∴EC＝8，FC＝4＝AE，∵点M与点F关于BC对称∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°∴∠ACM＝90°∴EM＝＝4则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12在点H左侧，当点P与点B重合时，BF＝＝2∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF∴△ABE≌△CBF（SAS）∴BE＝BF＝2∴PE+PF＝4∴点P在BH上时，4＜PE+PF＜4∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．即共有8个点P满足PE+PF＝9，故选：D．7．解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH＝BE，∵AF＝BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠F AE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△F AE≌△EHC（SAS），∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，∵﹣＜0，∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，在Rt△AEG中，则有（x+a）2＝（a﹣x）2+（a）2，解得x＝，∴AG＝GD，故⑤正确，故选：D．8．证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°．在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，故①正确；②在EF上取一点G，使EG＝EC，连结CG，∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE．∴∠CBE＝∠CDE，∵BC＝CF，∴∠CBE＝∠F，∴∠CBE＝∠CDE＝∠F．∵∠CDE＝15°，∴∠CBE＝15°，∴∠CEG＝60°．∵CE＝GE，∴△CEG是等边三角形．∴∠CGE＝60°，CE＝GC，∴∠GCF＝45°，∴∠ECD＝GCF．在△DEC和△FGC中，，∴△DEC≌△FGC（SAS），∴DE＝GF．∵EF＝EG+GF，∴EF＝CE+ED，故②正确；③过D作DM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC＝，由面积公式得：AD×DC＝AC×DM，∴DM＝，∵∠DCA＝45°，∠AED＝60°，∴CM＝，EM＝，∴CE＝CM﹣EM＝﹣∴S△DEC＝CE×DM＝﹣，故③正确；④在Rt△DEM中，DE＝2ME＝，∵△ECG是等边三角形，∴CG＝CE＝﹣，∵∠DEF＝∠EGC＝60°，∴DE∥CG，∴△DEH∽△CGH，∴＝＝＝+1，故④错误；综上，正确的结论有①②③，故选：A．9．解：正方形ABCD中，∵BC＝4，∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，∵AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴BE＝CF＝5，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF，∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，cos∠CBE＝cos∠ECG＝，∴，CG＝，∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，故选：A．10．解：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，∴EN、NF、FM、ME分别是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，∴EN∥AB∥FM，ME∥CD∥NF，EN＝AB＝FM，ME＝CD＝NF，∴四边形EMFN为平行四边形，当AB＝CD时，EN＝FM＝ME＝NF，∴平行四边形EMFN是菱形；当AB⊥CD时，EN⊥ME，则∠MEN＝90°，∴菱形EMFN是正方形；故选：A．11．解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B，C，D错误，故选：A．12．解：方法一：正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，∴EF＝CE＝1，∴CF＝，∴BF＝﹣1，∵∠BFE＝45°，∴阴影部分的面积＝×1×1﹣×（﹣1）2＝﹣1；13．解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，在△OGM与△EOH中，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3，∴G（﹣3，2）．∴O′（﹣，）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣1，5）．故答案是：（﹣1，5）．14．解：如图，连接DH，HM．由题可得，AM＝BE，∴AB＝EM＝AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，∴EH＝AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM＝HM，故②正确；当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，∴Rt△ADM中，DM＝2AM，即DM＝2BE，故①正确；∵CD∥EM，EC∥DM，∴四边形CEMD是平行四边形，∵DM＞AD，AD＝CD，∴DM＞CD，∴四边形CEMD不可能是菱形，故③错误，∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC＝45°，∴∠CHM＞135°，故④正确；由上可得正确结论的序号为①②④．故答案为①②④．15．解：解法一：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝DO，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝90°，∵点F是AE的中点，∴DF＝AF＝EF＝AE，∴OF垂直平分AD，∴AG＝DG，∴FG＝DE＝1，∵OF＝3，∴OG＝2，∵AO＝CO，∴CD＝2OG＝4，∴AD＝CD＝4，∴AE＝＝＝2．过A作AH⊥DF于H，∴∠H＝∠ADE＝90°，∵AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAE，∴△ADH∽△EAD，∴＝，∴＝，∴AH＝，即点A到DF的距离为，解法二：在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝DO，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝90°，∵点F是AE的中点，∴DF＝AF＝EF＝AE，∴OF垂直平分AD，∴AG＝DG，∴FG＝DE＝1，∵OF＝3，∴OG＝2，∵AO＝CO，∴CD＝2OG＝4，∴AD＝CD＝4，∴DG＝2，∴DF＝＝＝，过A作AH⊥DF于H，∴∠H＝∠ADE＝90°，∴S△ADF＝DF•AH＝AD•FG，∴AH＝，故答案为：．16．解：如图，过点B作BH⊥EF于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD＝CD＝BC，AD∥CB，∴∠AEB＝∠EBC，∵∠FEB＝∠EBC，∴∠AEB＝∠BEF，∵BA⊥AE，BH⊥EF，∴AB＝BH＝BC，∵∠A＝∠BHE＝∠BHF＝∠C＝90°，BE＝BE，BF＝BF，∴Rt△ABE≌Rt△HBE（HL），Rt△BFH≌Rt△BFC（HL），∴AE＝EH，FH＝CF，∠BFE＝∠BFC，故③正确，∴AE+CF＝EH+HF＝EF，∴∠ABE＝∠HBE，∠FBH＝∠FBC，∴∠ABE+∠CBF＝45°，故④正确，∵∠DEF+∠AEH＝180°，∠AEH+∠ABH＝180°，∴∠DEF＝∠ABH，∴∠DEF+∠FBC＝∠ABH+∠FBH＝∠ABF，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFC，∴∠DEF+∠CBF＝∠BFC，故⑤正确，∵AB＝3AE，∴可以假设AE＝a，则AB＝AD＝CD＝3a，DE＝2a，设DF＝x，则FH＝CF＝3a﹣x，EF＝a+3a﹣x＝4a﹣x，∵EF2＝DE2+DF2，∴（4a﹣x）2＝（2a）2+x2解得x＝a，∴DF＝CF，故①正确，∴AE+DF＝EF，故②正确，∴DF＝a，DE＝2a，EF＝a，∴DF：DE：EF＝3：4：5，故⑥正确，∵BF＝＝＝a，∴BF：EF＝a：a＝3：5，故⑦正确．故答案为①②③④⑤⑥⑦．17．解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE＝DF＝BE＝BF，∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，由勾股定理得：DE＝＝＝2，∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×＝8，故答案为：8．18．解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；故答案为：①②③．19．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BD，AB⊥BD，∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；∵四边形ABCD是平行四边形，OB＝OC，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，又OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；故答案为：①③④。

2021年九年级数学中考一轮复习练习题图形的性质——相交线和平行线时间：100分钟满分：120分一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1. 两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有（）A.6个交点B.8个交点C.10个交点D.15个交点2. 下列说法中错误的是（）A.两条直线相交，所得的四个角中有一个角是90∘，这两条直线一定互相垂直B.两条直线的交点叫垂足C.直线AB⊥CD，也可以说成直线CD⊥ABD.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短3. 下列命题：①对顶角相等；②同位角相等；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；④等腰三角形的底角必为锐角，其中真命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠COA=30∘，则∠EOD的大小是（）A.60∘B.120∘C.130∘D.150∘5. 如图，如果直线OM⊥直线a，直线ON⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（）A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B.在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直C.两点确定一条直线D.垂线段最短6. 已知点P(3m,4−4m)为平面直角坐标系中一点，若O为原点，则线段PO的最小值为（）A.2B.2.4C.2.5D.37. 点到直线的距离是指（）A.从直线外一点到这条直线的垂线B.从直线外一点到这条直线的垂线段C.从直线外一点到这条直线的垂线的长D.从直线外一点到这条直线的垂线段的长8. 下列语句正确的有（）①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；②过一点有且只有一条直线和已知直线平行；③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c // a，且c // b；④若直线a // b，b // c，则c // a．A.4个B.3个C.2个D.1个9. 如图，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（）A.∵ ∠1=∠3，∵ AB//CD（内错角相等，两直线平行）B.∵ AD//BC，∵ ∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）C.∵ ∠BAD+∠ABC=180∘，∵ AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）D.∵ ∠DAM=∠CBM，∵ AD//BC（两直线平行，同位角相等）10. 如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a // b // c．若a与b 之间的距离是3，b与c之间的距离是5，则正方形ABCD的面积是（）A.16B.30C.34D.64二、填空题（本题共计 4 小题，每题 3 分，共计12分）11. 如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短小路，过点A作AH⊥PQ于点H，沿AH修建公路，这样做的理由是________.12. 如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示．若∠A=60∘，∠1=92∘，则∠2的度数为________.13. ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________.14. 如图，等腰△ABC中，AB=AC，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列结论：①AP⊥BC；②QP//AB；③△BPR≅△QPS；④AQ=CQ中一定正确的有________．（填写所有正确序号）三、解答题（本题共计 8 小题，共计78分）15.(9分) 如图，已知∠1=∠B，BE=CD，BF=CA．(1)求证：∠D=∠2；(2)若EF // AC，∠D=78∘，求∠BAC的度数．16.(9分) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=60∘，AB=12cm，若点P从B点出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P，Q分别从点B，A同时出发，运动时间为ts．(1)用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；(2)当t为何值时，△APQ是以PQ为底的等腰三角形？(3)当t为何值时，PQ // BC？17. （10分） 已知：如图，点E 在AC 上，且∠A =∠CED +∠D . 求证：AB//CD .18. （10分） 如图，点O 在直线AB 上，过点O 作射线OC ，OP 平分∠AOC ，ON 平分∠POB ，∠AOC =40∘，求∠CON 的大小．19.(10分) 如图，在四边形ABCD 中，连结AC ，BD 交于点O ，且OA =OC ，OB =OD +CD ．过点A 作AE//DC 交BD 于点E ．(1)求证：△AOE ≅△COD ；(2)如图2，将△ABD 沿AB 翻折得到△ABF ．求证：BF//CD .20.(10分) 如图①，已知AM//CN ，点B 为平面内一点， AB ⊥BC 于点B ，过点B 作BD ⊥AM 于点D ，设∠BCN =α.(1)若α=30∘，求∠ABD 的度数；(2)如图②，若点E ，F 在DM 上，连接BE ，BF ，CF ，使得BE 平分∠ABD ，BF 平分∠DBC ，求∠EBF 的度数；(3)如图③，在(2)问的条件下，若CF 平分∠BCH ，且∠BFC =3∠BCN ，求∠EBC 的度数．21.(10分) 如图， AB//CD ，定点E ，F 分别是在直线AB ，CD 上，平行线AB ，CD 之间有动点P ，Q ．(1)如图1，当点P 在EF 的左侧时， ∠AEP ，∠EPF ，∠PFC 满足数量关系为________；如图2，当点P 在EF 的右侧时，∠AEP ，∠EPF ，∠PFC 满足数量关系为________；(2)如图3，若点P ，Q 都在EF 的的左侧，且EP ，FP 分别平分∠AEQ,∠CFQ ，则∠EPF 和∠EQF 的数量关系为________；(3)如图4，若点P 在EF 的左侧，点Q 在EF 的右侧且EP ，FP 分别平分∠AEQ,∠CFQ ，则∠EPF 和∠EQF 有怎样的数量关系？请说明理由．22.(10分) 综合与探究.【问题情景】(1)如图1，已知AB//CD，∠PBA=120∘，∠PCD=150∘，求∠BPC的度数．小宇同学的思路：过点P作PG//AB，进而PG//CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得∠BPC的度数为________；【问题迁移】(2)图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB=90∘，DF//CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED=∠α，∠PAC=∠β.①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请判断∠APE与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由；②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系；【拓展应用】(3)如图4，AB//CD，EF//CG，若∠A=38∘，∠C=32∘，请求出∠E的度数．参考答案一、选择题1.A2.B3.C4.B【解答】解：∵ 直线AB，CD相交于点O，∵ ∠COA=∠BOD=30∘.∵ EO⊥AB，∵ ∠EOB=90∘，∵ ∠EOD=∠EOB+∠BOD=90∘+30∘=120∘.故选B.5.A6.B【解答】解：点P(3m,4−4m)可以看成直线y=−43x+4上的一动点，如图，直线y=−43x+4与x轴的交点为B(3,0)，与y轴的交点为A(0,4)，当PO⊥AB时，线段PO最短，根据勾股定理得，AB2=32+42=25，AB=5，S△AOB=12×3×4=12×AB×PO，解得PO=2.4.故选B.7.D【解答】解：A，垂线是直线，没有长度，不能表示距离，故A错误；B，垂线段是一个图形，距离是指垂线段的长度，故B错误；C，垂线是直线，没有长度，不能表示距离，故C错误；D，符合点到直线的距离的定义，故D正确．故选D．8.D【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，还有重合，说法错误；②过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误；③若直线a，b相交，则c不平行于b，说法错误；④若直线a // b，b // c，则c // a，说法正确.故选D．9.D【解答】解：A，∵ ∠1=∠3，∵ AB//CD（内错角相等，两直线平行），故A正确；B，∵ AD//BC，∵ ∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），故B正确；C，∵ ∠BAD+∠ABC=180∘，∵ AD//BC（同旁内角互补，两直线平行），故C正确；D，∵ ∠DAM=∠CBM，∵ AD//BC（同位角相等，两直线平行），故D错误．故选D．10.C【解答】作AE⊥直线b于点E，作CF⊥直线b于点F，∵ 四边形ABCD是正方形，∵ AD＝DC，∠ADC＝90∘，∵ ∠ADE+∠CDF＝90∘，∵ AE⊥直线b，CF⊥直线b，∵ ∠AED＝∠DFC＝90∘，∵ ∠ADE+∠DAE＝90∘，∵ ∠DAE＝∠CDF，在△AED和△DFC中，{∠AED=∠DFC ∠DAE=∠CDFAD=DC，∵ △AED≅△DFC(AAS)，∵ AE＝DF，∵ AE＝3，CF＝5，∠CFD＝90∘，∵ DF＝3，∵ CD=√CF2+DF2=√52+32=√34，∵ 正方形ABCD的面积是：√34×√34=34，二、填空题11.垂线段最短12.28∘【解答】解：∵∠A=60∘，∴∠AEF+∠AFE=180∘−60∘=120∘，∴∠FEB+∠EFC=360∘−120∘=240∘，又由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240∘，∴∠1+∠2=240∘−120∘=120∘，∵∠1=92∘，∴∠2=120∘−92∘=28∘.故答案为：28∘.13.360∘【解答】解：由图知：∠E+∠F=180∘−∠1，∠A+∠B=180∘−∠2，∠C+∠D=180∘−∠3，∠1+∠2+∠3=180∘，∵ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180∘+180∘+180∘−(∠1+∠2+∠3)=360∘.故答案为：360∘.14.①②④【解答】解：由等腰三角形ABC，AB=AC，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，得AP是∠ABC 的平分线，所以得AP⊥BC，故①正确；由AQ=PQ，得∠PAQ=∠APQ=∠BAP，所以得QP//AB故②正确；若△BPR≅△QPS成立，则有∠PQS=∠B=∠BAC，则必有△ABC为等边三角形，与题目条件矛盾，故③错误；由P是BC中点，PQ//AB，所以PQ是△ABC的中位线，所以AQ=CQ，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题15.(1)证明：在△BEF和△CDA中，{BE=CD，∠B=∠1，BF=CA，∵ △BEF=△CDA(SAS)，∵ ∠D=∠2．(2)解：∵∠D=2，∠D=78∘，∵ ∠2=∠D=78∘．∵ EF//AC，∵ ∠BAC=∠2=78∘．16.解：(1)∵ Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=60∘，∵ ∠B=30∘．又∵ AB=12cm，∵ AC=6cm，BP=2t，AP=AB−BP=(12−2t)cm，AQ=tcm．(2)∵ △APQ是以PQ为底的等腰三角形，∵ AP=AQ，即12−2t=t，解得t=4，即当t=4s时，△APQ是以PQ为底的等腰三角形．(3)∵ PQ//BC，∵ ∠AQP=∠C=90∘，∠APQ=90∘−∠A=30∘,∵ AQ=12AP，即t=12(12−2t)，解得t=3，∵ 当t=3s时，PQ//BC.17.证明：∵ 在△DEC中，180−∠C=∠CED+∠D，又∵ ∠A=∠CED+∠D，∵ 180−∠C=∠A，即∠A+∠C=180，∵ AB//CD.18.解：∵ OP平分∠AOC，∠AOC=40∘，∵ ∠AOP=∠COP=12∠AOC=12×40∘=20∘，∵ ∠BOP=180∘−∠AOP=180∘−20∘=160∘．∵ ON平分∠POB，∵ ∠PON=12∠BOP=12×160∘=80∘，∵ ∠CON=∠PON−∠COP=80∘−20∘=60∘．19.证明：(1)∵AE//DC，∴∠EAC=∠ACD，∠AEO=∠CDO.在△AOE和△COD中，{∠OAE=∠OCD,∠AEO=∠CDO,OA=OC,∵ △AOE≅△COD(AAS).(2)由(1)可得：△AOE≅△COD，∴AE=CD，OE=OD.又∵OB=OD+CD=OE+BE，∴CD=BE，∴AE=BE，∴∠BAE=∠ABE.又由翻折可得：∠ABF=∠ABE，∴∠ABF=∠BAE，∴BF//AE，∴BF//CD.20.解：(1)过点B作BG//DM，∵ BD⊥AM，∵ DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90∘.又∵ AB⊥BC，∵ ∠CBG+∠ABG=90∘，∵ ∠ABD=∠CBG.∵ AM//CN，BG//DM，∵ BG//CN，∵ ∠BCN=∠CBG=α，∵ ∠ABD=∠BCN=30∘.(2)过点B作BG//DM，∵ BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∵ ∠DBF=∠CBF=12∠DBC，∠DBE=∠ABE=12∠DBA.由(1)可得∠ABD=α，∵ ∠DBE=12α.∵ BG//DM，AM//CN，∵ AM//BG//CN，∵ ∠DBC=∠D+∠BCN=90∘+α，∵ ∠DBF=12(90∘+α)，∵ ∠EBF=∠DBF−∠DBE=12(90∘+α)−12α=45∘.(3)∵ AM//CN，∵ ∠DFC+∠FCN=180∘，即∠DFB+∠BFC+∠FCB+∠BCN=180∘.∵ ∠DFB=90∘−12(90∘+α)=45∘−12α，又∵ CF平分∠BCH，∵ ∠FCB=180∘−α2=90∘−12α.∵ ∠BFC=3α，∠BCN=α，∵ (45∘−12α)+3α+(90∘−12α)+α=180∘，∵ α=15∘，∵ ∠ABE=7.5∘，∵ ∠EBC=∠ABC+∠ABE=97.5∘.21.解：(1)过点P作PQ//AB，∵ PQ//AB，AB//CD，∵ PQ//CD，∵ ∠AEP=∠EPQ，∠QPF=∠PFC，∵ ∠EPF=∠EPQ+∠QPF，∵ ∠EPF=∠AEP+∠PFC.过点P作PQ′//AB，同理AB//PQ′//CD，∵ ∠AEP+∠Q′PE=180∘，∠Q′PF+∠PFC=180∘，∵ ∠AEP+∠EPF+∠PFC=∠AEP+∠EPQ′+∠Q′PF+∠PFC =360∘.故答案为：∠EPF=∠AEP+∠PFC；∠AEP+∠EPF+∠PFC=360∘.(2)由(1)得∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠EQF=∠AEQ+∠QFC.∵ EP，FP分别平分∠AEQ，∠CFQ，∵ ∠AEQ=2∠AEP，∠QFC=2∠PFC，∵ ∠EQF=2∠AEP+2∠PFC=2∠EPF.故答案为：∠EPF=12∠EQF.(3)2∠EPF+∠EQF=360∘.理由：由(1)易知∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，∵ EP，FP分别平分∠AEQ,∠CFQ，∵ ∠AEP=∠PEQ,∠CFP=∠PFQ，∵ ∠AEP+∠PEQ+∠BEQ=180∘，∠CFP+∠PFQ+∠DFQ=180∘，∵ 2∠AEP+∠BEQ=180∘，2∠CFP+∠DFQ=180∘，∵ 2∠EPF+∠EQF=360∘.22.解：(1)过点P作PG//AB，则PG//CD，由平行线的性质可得：∠B+∠BPG=180∘，∠C+∠CPG=180∘.又∵ ∠PBA=120∘，∠PCD=150∘，∵ ∠BPG=180∘−∠B=180∘−120∘=60∘，∠CPG=180∘−∠C=180∘−150∘=30∘，∵ ∠BPC=∠BPG+∠CPG=60∘+30∘=90∘.故答案为：90∘.(2)①∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为：∠APE=∠a+∠β，理由如下：过P作PQ//DF，∵ DF//CG，∵ PQ//CG，∵ ∠β=∠QPA，∠α=∠QPE，∵ ∠APE=∠APQ+∠EPQ=∠α+∠β.②∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为：∠APE=∠β−∠α，理由如下：过P作PQ//DF，∵ DF//CG，∵ PQ//CG，∵ ∠β=∠QPA，∠α=∠QPE，∵ ∠APE=∠APQ−∠EPQ=∠β−∠α.(3)延长CD交EF于点N，则AB//CN，过点E作EM//AB，则EM//CN.∵ EM//AB，∵ ∠A=∠AEM=38∘.∵ EM//CN，∵ ∠ENC=∠NEM.又∵ EF//CG，∵ ∠ENC=∠C=32∘，∵ ∠NEM=∠ENC=32∘，∵ ∠AEF=∠AEM+∠FEM=38∘+32∘=70∘.。

2021年九年级数学中考一轮复习正方形的判定与性质中考真题演练2（附答案）1．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），请你直接写出BM、DN和MN的数量关系：__________．（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请写出直接写出结论．2．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．3．已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．4．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．5．如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．6．如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．7．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF＝CE．（1）求证：DE＝DF；（2）当∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论．8．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=22，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．9．如图（1），已知四边形ABCD的四条边相等，四个内角都等于90°，点E是CD边上一点，F是BC边上一点，且∠EAF=45°．（1）求证：BF+DE=EF；（2）若AB=6，设BF=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）过点A作AH⊥FE于点H，如图（2），当FH=2，EH=1时，求△AFE的面积．10．取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：如图1，先把正方形ABCD对折，折痕为MN．第二步：点G在线段 MD上，将△GCD沿GC翻折，点D恰好落在MN上，记为点P，连接BP．（1）判断△PBC的形状，并说明理由；（2）作点C关于直线AP的对称点C′，连接PC′、DC′．①在图2中补全图形，并求出∠APC′的度数；②猜想∠PC′D的度数，并加以证明；（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接AC′、CC′，研究图形中特殊的三角形）11．问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明；问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．12．综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AB 延长线上一点，且BE=AB ，连接DE ，交BC 于点M ，以DE 为一边在DE 的左下方作正方形DEFG ，连接AM ．试判断线段AM 与DE 的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM 垂直平分DE ，并展示了如下的证明方法：证明：∵BE=AB ，∴AE=2AB ．∵AD=2AB ，∴AD=AE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ． ∴EM EB DM AB=．（依据1） ∵BE=AB ，∴1EM DM =．∴EM=DM ． 即AM 是△ADE 的DE 边上的中线，又∵AD=AE ，∴AM ⊥DE ．（依据2）∴AM 垂直平分DE ．反思交流：（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A 是否在线段GF 的垂直平分线上，请直接回答，不必证明； （2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE ，以CE 为一边在CE 的左下方作正方形CEFG ，发现点G 在线段BC 的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：（3）如图3，连接CE ，以CE 为一边在CE 的右上方作正方形CEFG ，可以发现点C ，点B 都在线段AE 的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD 和正方形CEFG 的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．参考答案1.解：（1）BM+DN=MN．理由如下：如图4，把△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，则由题意可得：点C、B、F三点共线，∴由旋转的性质可得：BF=DN，AF=AN，∠BAF=∠DAN，∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠BAF+∠BAM=45°=∠MAF=∠MAN，又∵AM=AM，∴△AMF≌△AMN，∴MF=MN，又∵MF=BM+BF，BF=DN，∴MN=BM+DN；（2）成立，理由如下：如图5，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可得E、B、M三点共线．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，AE=AN，BE=DN，又∵∠NAM=45°，∴∠EAM=∠NAM，∴在△AEM与△ANM中，，∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（3）DN-BM=MN．理由如下：如图6，在DC上截取DE=BM，连接AE，∵∠ADE=∠ABM=90°，AD=AB，∴△ADE≌△ABM，∴AE=AM，∠DAE=∠BAM，∵∠BAM+∠BAN=∠MAN=45°，∴∠DAE+∠BAN=45°，∴∠EAN=90°-∠DAE-∠BAN=45°=∠MAN，又∵AN=AN，∴△EAN≌△MAN，∴EN=MN，又∵DN-DE=EN，∴DN-BM=MN.2．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠BFA＝90°＝∠AED，∴AE＝BF，∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形BFDE不可能是平行四边形．3．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE＝DF．4．解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE＝1﹣a，∵S1＝S2，∴a2＝1×（1﹣a），解得，（舍去），，即线段CE的长是；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，∴CH＝0.5，∴DH＝＝，∵CH＝0.5，CG＝，∴HG＝，∴HD＝HG．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．或：∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．6．（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴2∠COD+2∠COF＝180°，∴∠COD+∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．7．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在Rt△BDF和Rt△CDE中，∵，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴DE＝DF；（2）答：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A＝90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF＝DE，∴四边形AFDE是正方形．22.解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，∴四边形EMCN为正方形．∵四边形DEFG是矩形，∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，∴∠DEN=∠MEF，又∠DNE=∠FME=90°．在△DEN和△FEM中，∵∠DNE=∠FME，EN=EM，∠DEN=∠FEM，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED=EF，∴矩形DEFG为正方形，②CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°．∵四边形ABCD是正方形，∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDG．在△ADE和△CDG中，∵AD=CD，∠ADE=∠CDG，DE=DG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG，∴AC=AE+CE=2AB=2×22=4，∴CE+CG=4 是定值．解:（1）如图1中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAF+∠BAH=∠BAF+∠DAE=45°，∴∠FAH=∠FAE=45°，∵AF=AF，AH=AE，∴△AFH≌△AFE（SAS），∴EF=FH，∵FH=BH+BF=DE+BF，∴EF=BF+DE；（2）∵AB=BC=CD=6，BF=x，DE=y，∴EF=x+y，FC=6=﹣x，EC=6﹣y，在Rt△ECF中，∵EF2=CF2+EC2，∴（x+y）2=（6﹣x）2+（6﹣y）2，∴y=3662+6xx（0≤x≤6）；（3）如图2中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM．由（1）可知△AFM≌△AFH，∵AB⊥FM，AH⊥EF，∴AB=AH，设AB=BC=CD=AD=x，∵∠ABF=∠AHF=90°，∵AF=AF．AB=AH，∴Rt△AFB≌Rt△AFH（HL），∴BF=FH=2，同理可证：DE=EH=1，∴CF=x﹣2，EC=x﹣1，在Rt△ECF中，∵EF2=CF2+EC2，∴32=（x﹣2）2+（x﹣1）2，∴x=317 +或317-（舍弃），∴S△AEF=12•EF•AH=12317+9317+8.解：（1）△PBC是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABC=90°，由折叠的性质得：BN=NC=12BC=12PC，MN⊥BC，∴PB=PC，∠PNC=90°，在Rt△PNC中，sin∠NPC=12NCPC=，∴∠NPC=30°，∴∠PCB=60°，∴△PBC是等边三角形；（2）①补全图形如图2所示：由①得：∠PCB=∠PBC=∠BPC=60°，PB=PC=BC，∵∠ABC=90°，∴∠ABP=90°﹣60°=30°，∵AB=BC，∴AB=PB，∴∠BAP=∠BPA=12(180°-∠PBC)=75°，∴∠APC=∠BPA+∠BPC=75°+60°=135°，∵C关于直线AP的对称点为C′，∴∠APC'=∠APC=135°；②连接AC'，CC'，如图3所示：由对称的性质得：AC=AC'，∠CAP=∠C'AP=30°，∴∠CAC'=60°，∴△CAC'是等边三角形，∴AC'=CC'，∠AC'C=60°，在△AC'D 和△CC'D 中，{AC CC AD CDC D C D=='='''， ∴△AC'D ≌△CC'D （SSS ），∴∠AC'D=∠CC'D=12∠AC'C=30°， ∵∠AC'P=∠ACP=15°，∴∠PC'D=15°．9.解：(1)如图1，过点P 作PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，垂足分别为M ，N ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD ＝90°，AC 平分∠BCD ，∵PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，∴四边形PMCN 为正方形，PM ＝PN ，∵∠BPE ＝90°，∠BCD ＝90°，∴∠PBC ＋∠CEP ＝180°，而∠CEP ＋∠PEN ＝180°，∴∠PBM ＝∠PEN ，在△PBM 和△PEN 中， { PBM PEN PMB PNE PM PN∠=∠∠=∠= ∴△PBM ≌△PEN(AAS)，∴PB ＝PE(2)如图2，PB ＝PE 还成立．理由如下：过点P 作PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，垂足分别为M ，N ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD ＝90°，AC 平分∠BCD ，∵PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，∴四边形PMCN 为正方形，PM ＝PN ，∴∠MPN ＝90°，∵∠BPE ＝90°，∠BCD ＝90°，∴∠BPM ＋∠MPE ＝90°，而∠MPE ＋∠EPN ＝90°，∴∠BPM ＝∠EPN ，在△PBM 和△PEN 中， { PMB PNE PM PN BPM EPN∠=∠=∠=∠∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE (3)如图3，PB＝PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC交BC 的延长线于点M，PN⊥CD的延长线于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC 平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠BPN＝90°，而∠BPN＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中，{PMB PNEPM PNBPM EPN∠=∠=∠=∠∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE12．解：由问题情景知，AM⊥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴DE∥FG，∴点A在线段GF的垂直平分线上．（2）证明：过点G作GH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°，∴∠BCE+∠BEC=90°．∵四边形CEFG为正方形，∴CG=CE，∠GCE=90°，∴∠BCE+∠BCG=90°．∴∠2BEC=∠BCG．∴△GHC≌△CBE．∴HC=BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC．∵AD=2AB，BE=AB，∴BC=2BE=2HC，∴HC=BH．∴GH垂直平分BC．∴点G在BC的垂直平分线上．（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）．过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N．∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°．∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE=∠ABC=90°，∴四边形BENM为矩形．∴BM=EN，∠BEN=90°．∴∠1+∠2=90°．∵四边形CEFG为正方形，∴EF=EC，∠CEF=90°．∴∠2+∠3=90°．∴∠1=∠3．∵∠CBE=∠ENF=90°，∴△ENF≌△EBC．∴NE=BE．∴BM=BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC．∵AD=2AB，AB=BE．∴BC=2BM．∴BM=MC．∴FM垂直平分BC．∴点F在BC边的垂直平分线上。

2021年九年级数学中考一轮复习专项突破训练：二次函数的图象性质（附答案）1．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m＝﹣1B．m＝3C．m≤﹣1D．m≥﹣12．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤4．对于二次函数y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x＝2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）D．图象与x轴有两个交点5．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（）A．（1，﹣5）B．（3，﹣13）C．（2，﹣8）D．（4，﹣20）6．若二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2+mx＝7的解为（）A．x1＝0，x2＝6B．x1＝1，x2＝7C．x1＝1，x2＝﹣7D．x1＝﹣1，x2＝7 7．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2C．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是2D．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是28．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x＝﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点9．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＝3B．m＞3C．m≥3D．m≤310．已知抛物线y＝x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y＝x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）A．3B．4C．5D．611．下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的12．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或﹣2B．或C．D．113．二次函数y＝x2﹣2x+3图象的顶点坐标为．14．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是．15．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是．16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．17．如图，若抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x＝1对称，则Q 点的坐标为．18．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．19．已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y＝﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是．20．如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝．21．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为．22．对于实数p，q，且（p≠q），我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此，min{﹣，﹣}＝；若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝．23．二次函数y＝﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是．24．已知函数y＝﹣x2﹣2x，当时，函数值y随x的增大而增大．25．已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1．（1）求证：2a+b＝0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．26．如图，已知二次函数y＝a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？27．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．28．如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．29．已知：二次函数为y＝x2﹣x+m，（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方；（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB＝4时，求此二次函数的解析式．30．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．31．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．32．已知函数y＝﹣（x﹣4）2﹣1（1）指出函数图象的开口方向是，对称轴是，顶点坐标为（2）当x时，y随x的增大而减小（3）怎样移动抛物线y＝﹣x2就可以得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2﹣133．小东根据学习函数的经验，对函数y＝图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；（2）如表是y与x的几组对应值．x…﹣2﹣1﹣01234…y…242m…表中m的值为；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数y＝的大致图象；（4）结合函数图象，请写出函数y＝的一条性质：（5）解决问题：如果函数y＝与直线y＝a的交点有2个，那么a的取值范围是．34．设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a＝﹣c，b＝2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．（1）请写出二次函数y＝x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；（2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝nx2+x，函数y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍顶二次函数”，求n．参考答案1．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，由图象可知：﹣≤1，解得m≥﹣1．故选：D．2．解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选：D．3．解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2a+b×（﹣1）+c＝0，∴a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，c＝b﹣a，∵对称轴为直线x＝1∴＝1，即b＝﹣2a，∴c＝b﹣a＝（﹣2a）﹣a＝﹣3a，∴4ac﹣b2＝4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2＝﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．4．解：∵二次函数y＝﹣+x﹣4可化为y＝﹣（x﹣2）2﹣3，又∵a＝﹣＜0∴当x＝2时，二次函数y＝﹣x2+x﹣4的最大值为﹣3．故选：B．5．解：y＝x2﹣2mx﹣4＝x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4＝（x﹣m）2﹣m2﹣4．∴点M（m，﹣m2﹣4）．∴点M′（﹣m，m2+4）．∴m2+2m2﹣4＝m2+4．解得m＝±2．∵m＞0，∴m＝2．∴M（2，﹣8）．故选：C．6．解：∵二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3，∴﹣＝3，解得m＝﹣6，∴关于x的方程x2+mx＝7可化为x2﹣6x﹣7＝0，即（x+1）（x﹣7）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝7．故选：D．7．解：由抛物线的解析式：y＝﹣（x﹣1）2+2，可知：对称轴x＝1，开口方向向下，所以有最大值y＝2，故选：B．8．解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x ＝1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．9．解：∵二次函数的解析式y＝（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1，∴该二次函数的开口方向是向上；又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1），∴该二次函数图象在[﹣∞，m]上是减函数，即y随x的增大而减小；而已知中当x≤3时，y随x的增大而减小，∴x≤3，∴x﹣m≤0，∴m≥3．故选：C．10．解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y＝x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，∵F（0，2）、M（，3），∴ME＝3，FM＝＝2，∴△PMF周长的最小值＝ME+FM＝3+2＝5．故选：C．11．解：A、∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；B、∵﹣＝，∴抛物线的对称轴为直线x＝，选项B不正确；C、当x＝0时，y＝x2﹣x＝0，∴抛物线经过原点，选项C正确；D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．故选：C．12．解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x＝1时，y＝a+2a+3a2+3＝9，∴3a2+3a﹣6＝0，∴a＝1，或a＝﹣2（不合题意舍去）．故选：D．13．解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．14．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为：m≥﹣2．15．解：当x≥1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣7x，图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），当x＜1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6，顶点坐标为（，﹣），∴当b＝﹣6或b＝﹣时，两图象恰有三个交点．故本题答案为：﹣6，﹣．16．解：∵D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，∴设D（x，﹣x2+6x），∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC＝＝5，∵四边形OABC是菱形，∴BC＝OC＝5，BC∥x轴，∴S△BCD＝×5×（﹣x2+6x﹣3）＝﹣（x﹣3）2+15，∵﹣＜0，∴S△BCD有最大值，最大值为15，故答案为15．17．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x＝1对称，∴P，Q两点到对称轴x＝1的距离相等，∴Q点的坐标为：（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．18．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴≤1，解得：m≥﹣1．故答案为：m≥﹣1．19．解：∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y＝﹣x2+bx+c上两点，∴代入得：，解得：b＝2，c＝3，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．20．解：，解得，或，∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），∴AB＝＝3，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△P AB的周长最小，点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝，即点P的坐标为（0，），将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，∴△P AB的面积是：＝，故答案为：．21．解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，∴这两点一定关于对称轴对称，∴对称轴是：x＝＝2．故答案为：直线x＝2．22．解：min{﹣，﹣}＝﹣，∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，当x＝0.5时，x2＝（x﹣1）2，不可能得出，最小值为1，∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，则（x﹣1）2＝1，x﹣1＝±1，x﹣1＝1，x﹣1＝﹣1，解得：x1＝2，x2＝0（不合题意，舍去），当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，则x2＝1，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣1，综上所述：x的值为：2或﹣1．故答案为：；2或﹣1．23．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+1）﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣2，故顶点的坐标是（1，﹣2）．故答案为（1，﹣2）．24．解：∵y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故答案为：x＜﹣1．25．（1）证明：∵对称轴是直线x＝1＝﹣，∴2a+b＝0；（2）解：∵ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，∴16a+4b﹣8＝0，∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∴16a﹣8a﹣8＝0，解得：a＝1，则b＝﹣2，∴ax2+bx﹣8＝0为：x2﹣2x﹣8＝0，则（x﹣4）（x+2）＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．26．解：（1）∵二次函数y＝a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．解得：h＝1，a＝﹣，∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′＝OA＝2，∠A′OA＝60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B＝30°，∴OB＝OA′＝1，∴A′B＝OB＝，∴A′点的坐标为（1，），∴点A′为抛物线y＝﹣（x﹣1）2+的顶点．27．解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），∴﹣2＝（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，解得，m＝﹣1，∴抛物线F的表达式是：y＝x2+2x﹣1；（2）当x＝﹣2时，y p＝4+4m+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，∴当m＝﹣2时，y p取得最小值，最小值是﹣2，此时抛物线F的表达式是：y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2；（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），∴或或，解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．28．解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，∴a＝2，∴y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴顶点坐标为（﹣1，2）；（2）①当m＝2时，n＝11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，∴2≤n＜11；29．解：（1）∵a＝1＞0，∴抛物线开口方向向上；对称轴为直线x＝﹣＝；＝，顶点坐标为（，）；（2）顶点在x轴上方时，＞0，解得m＞；（3）令x＝0，则y＝m，所以，点A（0，m），∵AB∥x轴，∴点A、B关于对称轴直线x＝对称，∴AB＝×2＝1，∴S△AOB＝|m|×1＝4，解得m＝±8，所以，二次函数解析式为y＝x2﹣x+8或y＝x2﹣x﹣8．30．解：（1）当x＝0时，y＝﹣2，∴A（0，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴B（1，0）；（2）易得A点关于对称轴直线x＝1的对称点A′（2，﹣2），则直线l经过A′、B，设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线l的解析式为y＝﹣2x+2；（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，在﹣1＜x＜0这一段位于直线l的下方，∴抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+2＝4，所以，抛物线过点（﹣1，4），当x＝﹣1时，m+2m﹣2＝4，解得m＝2，∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣4x﹣2．31．解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2＝（x﹣m）2﹣m+2，∴D（m，﹣m+2）；（2）∵抛物线经过点B（1，m），∴m＝1﹣2m+m2﹣m+2，解得：m＝3或m＝1；（3）根据题意：∵A（﹣3，m），B（1，m），∴线段AB：y＝m（﹣3≤x≤1），与y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2联立得：x2﹣2mx+m2﹣2m+2＝0，令y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+2，若抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+2与线段AB只有1个公共点，即函数y在﹣3≤x≤1范围内只有一个交点，当x＝﹣3时，y＝m2+4m+11＞0，∵△＞0，∴此种情况不存在，当x＝1时，y＝m2﹣4m+3≤0，解得1≤m≤3．解法二：由题意或，解得1≤m≤3．32．解：（1）∵函数y＝﹣（x﹣4）2﹣1，∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是（4，﹣1），故答案为：向下，直线x＝4，（4，﹣1）；（2）∵函数y＝﹣（x﹣4）2﹣1，∴当x＞4时，y随x的增大而减小，故答案为：x＞4；（3）将抛物线y＝﹣x2向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度就可以得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2﹣1．33．解：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是：全体实数，故答案为：全体实数；（2）把x＝4代入y＝得，y＝＝，∴m＝，故答案为：；（3）如图所示：（4）①图象位于一二象限，②当x＝1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的政大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．故答案：①图象位于一二象限，②当x＝1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x 的增大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．（5）由图象，得0＜a＜4．故答案为：0＜a＜4．34．解：（1）∵y＝x2+x+1，∴y＝，∴二次函数y＝x2+x+1的顶点坐标为（﹣，），∴二次函数y＝x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（，），∴反倍顶二次函数的解析式为y＝x2﹣x+；（2）y1+y2＝x2+nx+nx2+x＝（n+1）x2+（n+1）x，y1+y2＝（n+1）（x2+x+）﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），y1﹣y2＝x2+nx﹣nx2﹣x＝（1﹣n）x2+（n﹣1）x，y1﹣y2＝（1﹣n）（x2﹣x+）﹣，顶点坐标为（，﹣），由于函数y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍顶二次函数”，则﹣2×＝﹣，解得n＝。

2021年九年级数学中考复习《图形的变化》能力提升专项训练（附答案）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，连接AD，BE⊥AD于点E，连接CE，∠DEC＝∠BAC，若，则tan∠BAE的值为．2．如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于．3．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC的面积等于15，那么△FEC的面积等于．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O 上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M为AD的中点，点N为AB上一点，连接MN，CN，将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，则CN的长为．6．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD＝3，若∠ABC＝∠CAD，BC交AD于点E，则CE•BC为．7．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，BC是建筑物底端的一个平台，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：0.75，坡长为10米，DE为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），则平台距地面的高度为．8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝22021，AC＝22020，点D1，D3，D5，…D2n﹣1在AB边上，点D2，D4，D6，…D2n在AC边上，若∠B＝∠ACD1＝∠AD1D2＝∠AD2D3＝…＝∠AD n D n+1，则D2020D2021＝．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点F，联结AB'．当△AB'F是直角三角形时，BE的长为．10．如图，在△ABC中，点D，E在AC边上，且AE＝ED＝DC．点F，M在AB边上，且FE∥MD∥BC，延长FD交BC的延长线于点N，则的值＝．11．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD 中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tan B＝，那么边AD的长为．12．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE，则CE的最大值为．13．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2020个正方形的面积为．14．如图，在直角坐标系xOy中，点P的坐标为（4，3），PQ⊥x轴于Q，M，N分别为OQ，OP上的动点，则QN+MN的最小值为．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝20，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC ＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为．17．如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC ＝10．则BE的长等于．18．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是BC上的一点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，AN的延长线交DC于点M，当AB ＝2CF时，则NM的长为．19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝130°，∠D＝∠B＝90°，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为．20．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在边AB上，AM＝3，过点M作直线MN与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM 的最大值是．22．如图，在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC于点D，点E、F分别是BC、DC上的动点，沿EF所在直线折叠△CEF，使点C落在BD上的点C′处，若△BEC′是直角三角形，则BC′的值为．23．如图，花丛中有一路灯AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE＝3m，沿BD方向行走至G点，DG＝4m，此时大华的影长GH＝4.5m，如果大华的身高为1.5m，则路灯AB 的高度为m．24．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝120°，AB＝6，AD＝4，点E在线段AD上（点E与点A，D不重合），点F在直线CD上，若∠BEF＝120°，AE＝1，则DF值为．25．如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边上一点，且满足AM＝2DM，点N为AB边上任意一点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则线段A′C长度的最小值是．参考答案1．解：在AD上截取AM＝CE，连接BM，如图：∵∠DEC＝∠CAE+∠ECA，∠BAC＝∠CAE+∠MAB，又∵∠DEC＝∠BAC，∴∠MAB＝∠ECA，在△MAB和△ECA中，，∴△MAB≌△ECA（SAS），∴BM＝AE，∵，∴设CE＝4a，则BM＝AE＝7a，∴AM＝CE＝4a，∴ME＝AE﹣AM＝3a，∵BE⊥AD，∴△BEM为直角三角形，由勾股定理得：BE＝＝＝2a，∴tan∠BAE＝＝＝．故答案为：．2．解：由折叠得：CE⊥BD，CG＝EG，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠FDG＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADG+∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠DFG，∵∠CDF＝∠BCD＝90°，∴△CDF∽△BCD，∴，∵AB＝4，DF＝1，∴，∴CD＝2，由勾股定理得：CF＝＝，BD＝＝2，同理得：△CDG∽△BDC，∴＝，∴＝，∴CG＝，∴CE＝2CG＝，∴EF＝CE﹣CF＝﹣＝，∵＝，＝＝，且∠EDF＝∠AED，∴△EFD∽△AED，∴，即，∴AE＝．故答案为：．3．解：在▱ABCD中，AD∥CE，AD＝BC∴△ADF∽△CEF，∴＝＝，∵CE＝2EB，∴CE＝BC＝AD，∴＝＝＝，∴＝（）2＝，∵S△ABC＝S△ADC＝15，∴S△ACD＝S△AFD+S△CFD＝15，∵＝，∴＝＝，∴S△AFD＝9，S△CFD＝6，∴S△FEC＝4．故答案为：4．4．解：连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N，如图所示：∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC＝OB＝2，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，2为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′，∵直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（8，0），E（0，﹣6），∴OD＝8，OE＝6，∴DM＝OD﹣OM＝8﹣2＝6，DE＝＝＝10，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE＝90°，∴△DNM∽△DOE，∴＝，即＝，∴MN＝，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值＝×10×（﹣2）＝8，故答案为8．5．解：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，∠D＝90°，连接CM，∵将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，∴AM＝PM，∠MPN＝∠A＝90°，∠AMN＝∠PMN，∴∠CPM＝90°，∵点M为AD的中点，∴AM＝DM＝AD＝2，∴PM＝AM＝DM＝2，在Rt△CPM与Rt△CDM中，，∴Rt△CPM与Rt△CDM（HL），∴CP＝CD＝3，∠CMP＝∠CMD，∴∠NMC＝∠NMP+∠CMP＝90°，∴CM＝＝＝，∵∠CMN＝∠CPM＝90°，∠MCP＝∠MCP，∴△CMP∽△CNM，∴＝，∴＝，∴CN＝，故答案为：．6．解：∵∠ABC＝∠CAD，∠ABC＝∠D，∴∠D＝∠CAD，∴CA＝CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CA2+CD2＝AD2，∵AD＝3，CA＝CD，∴2CA2＝18，解得：CA＝3．∵∠ABC＝∠CAD，∠ACB＝∠ECA，∴△ACB∽△ECA，∴BC：AC＝AC：CE，∴CE•BC＝AC•AC＝9．故答案为：9．7．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，过C作CG⊥EF于G，则BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝＝1：0.75＝，CD＝10米，设CG＝4x米，则DG＝3x米，由勾股定理得：（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2，∴CG＝8（米），GD＝6（米），∴BF＝CG＝8米，即平台距地面的高度为8米，故答案为：8米．8．解：∵∠A＝90°，∠B＝∠ACD1＝∠AD1D2＝∠AD2D3＝…＝∠AD n D n+1，∴＝＝＝＝＝＝…＝，∴AD1＝AC＝22019，AD2＝AD1＝22018，AD3＝AD2＝22017，AD4＝AD3＝22016，……AD2020＝AD2019＝20＝1，AD2021＝AD2020＝2﹣1＝，在Rt△AD2020D2021中，AD2020D2021＝＝，故答案为：．9．解：①如图1，当∠AFB′＝90°时．在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵D是BC的中点，∴BD＝CD＝BC＝4，∵∠AFB'＝∠BFD＝90°，∠ACB＝90°，∴∠DFB＝∠ACB，又∵∠DBF＝∠ABC，∴△BDF∽△BAC，∴，即，解得：BF＝，设BE＝B'E＝x，则EF＝﹣x，∵∠B＝∠FB'E，∴sin∠B＝sin∠FB'E，∴，∴，解得x＝2．∴BE＝2．②如图2中，当∠AB′F＝90°时，连接AD，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．∵AD＝AD，CD＝DB′，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），∴AC＝AB′＝6，∵将△BDE沿直线DE翻折，∴∠B＝∠DB'E，∵AB'⊥DB'，EH⊥AH，∴DB'∥EH，∴∠DB'E＝∠B'EH，∴∠B＝∠B'EH，∴sin∠B＝sin∠B'EH，设BE＝x，则B'H＝x，EH＝x，在Rt△AEH中，AH2+EH2＝AE2，∴，解得x＝，∴BE＝．则BE的长为2或．故答案为：2或．10．解：∵EF∥DM∥BC，AE＝DE＝CD，∴，在△EFD与△CND中，，∴△EFD≌△CND（AAS），∴EF＝CN，∵CN：BC＝1：3，∴CN：BN＝1：4，∴，故答案为．11．解：如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．在Rt△ABH中，tan B＝＝，∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10，∴k＝2，∴AH＝6，BH＝8，∵BC＝12，∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠B，在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，∵CD＝5，∴DE＝3，CE＝4，∴AE＝＝＝6，∴AD＝AE+DE＝9．故答案为：9．12．解：取AB的中点M，连接CM，EM，∴当CE＝CM+EM时，CE的值最大，∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，∴AC′＝AC＝2，∵E为BC′的中点，∴EM＝AC′＝1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∴CM＝AB＝，∴CE＝CM+EM＝+1，故答案为：．13．解：∵正方形ABCD的点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），∴OA＝1，OD＝2，AD＝，，延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，∴△AA1B∽△DAO，∴，∵AD＝AB＝，∴A1B＝，∴第1个正方形的面积为：S1＝A1C2＝（+）2＝5•（）2；同理可得，A2C2＝（+）2第2个正方形的面积为：S2＝5•（）4…∴第2020个正方形的面积为：S2020＝5•（）4038．故答案为：5•（）4038．14．解：作Q关于OP的对称点P′，连接P′Q交OP于E，则QE⊥OP，过P′作P′M⊥OQ于M交OP于N，则此时，QN+MN的值最小，且QN+MN的最小值＝P′M的长度，∵PQ⊥x轴于Q，点P的坐标为（4，3），∴OQ＝4，PQ＝3，∴OP＝＝5，∴QP′＝2EQ＝2＝2×＝，∵∠P′MQ＝∠P′MO＝∠P′EN＝90°，∠P′NE＝∠MNO，∴∠P′＝∠POQ，∴△MP′Q∽△QOP，∴＝，∴＝，∴P′M＝，∴QN+MN的最小值为，故答案为：．15．解：∵AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝20，AD⊥BC于点D，∴AD＝8，∵EF垂直平分AB，∴点A，B关于直线EF对称，∴EF与AD的交点即为P的，如图，连接PB，此时P A＝PB，PB+PD＝P A+PD＝AD，AD＝PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值为8，故答案为：8．16．解：∵∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，∴AC＝＝＝4，∵D为AB的中点，∴AD＝AB＝4，∴以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，①若△ADE∽△ABC，则＝，即＝，解得AE＝2，②若△AED∽△ABC，则＝，即＝，解得AE＝，综上所述，AE的长为2或．故答案为：2或．17．解：∵AD＝DC＝5，AB＝10，∠A＝90°，∴BD＝＝5，∵∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠E＝90°，∴△ABD∽△ECD，∴＝，∴＝，∴DE＝，∴BE＝BD+DE＝6，故答案为6．18．解：∵△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，∴AN＝AB＝8，∠BAE＝∠NAE，∵正方形对边AB∥CD，∴∠BAE＝∠F，∴∠NAE＝∠F，∴AM＝FM，设CM＝x，∵AB＝2CF＝8，∴CF＝4，∴DM＝8﹣x，AM＝FM＝4+x，在Rt△ADM中，由勾股定理得，AM2＝AD2+DM2，即（4+x）2＝82+（8﹣x）2，解得x＝4，所以，AM＝4+4＝8，所以，NM＝AM﹣AN＝8﹣8＝．故答案为：19．解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点N、M，∵∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠130°＝50°，由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AN，∠A″＝∠A″AM，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°．故答案为：100°20．解：∵△AMN和△ABC相似，∴①如图1，△AMN∽△ABC，∴，∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，AB＝9，∴，MN＝4．②如图2，△AMN∽△ACB，∴，∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，∴，MN＝6，综上MN为4或6．故答案为：4或6．21．解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为：3．22．解：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠DBC＝30°，由折叠可得CE＝C'E，分两种情况：①若∠BEC'＝90°，如图所示：∵∠C'BE＝30°，∴BE＝C'E，BC'＝2C'E，又∵BE+CE＝BC＝6，∴CE+CE＝6，∴CE＝＝3﹣3＝C'E，∴BC'＝﹣6；②若∠BC'E＝90°，如图所示：∵∠C'BE＝30°，∴BE＝2C'E，BC'＝C'E，又∵BE+CE＝BC＝6，∴3CE＝6，∴CE＝2＝C'E，∴BC'＝，综上所述，BC′的长为﹣6或，故答案为：﹣6或．23．解：∵CD∥AB，∴△EAB∽△ECD，∴＝，即＝①，∵FG∥AB，∴△HFG∽△HAB，∴＝，即＝②，由①②得＝，解得BD＝8，∴＝，解得：AB＝5.5．故答案为：5.5．24．解：∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝4﹣1＝3，∵∠A＝∠D＝120°，∴∠AEB+∠ABE＝180°﹣120°＝60°，∵∠BEF＝120°，∴∠AEB+∠DEF＝180°﹣120°＝60°，∴∠AEB+∠ABE＝∠AEB+∠DEF，∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF，∴＝，即＝，∴DF＝，故答案为：．25．解：在菱形ABCD中，AD＝3，∠A＝60°，∵AB∥CD，∴∠ADC＝120°，由折叠知，A'M＝AM，∵AM＝2DM，AD＝3，∴A'M＝AM＝2MD＝2，DM＝1，∴当点A'在CM上时，A'C的长度取得最小值，过点M作MH⊥CD于H，在Rt△MDH中，∠HDM＝60°，DM＝1，∴∠HMD＝30°，∴DH＝DM＝，∴MH＝DH＝，CH＝CD+DH＝3+＝，在Rt△CHM中，根据勾股定理，得CM＝＝＝＝，∴A'C＝CM﹣A'M＝﹣2．故答案为：﹣2．。

2021年九年级数学中考一轮复习图形的几何变换专题培优提升训练（附答案）1．等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E是AD上的一点，连接CE，将线段EC 绕点E顺时针旋转一定的角度，使得点C落在了点F处，且满足∠CEF＝∠CAB，连接BF（1）如图1，若∠BAC＝60°，则线段AE与BF的数量关系为；（2）如图2，若∠BAC＝90°，求证：BF＝AE：（写出证明过程）（3）如图3．在（2）的条件下，连接FD并延长分别交CE、CA于点M，N，BC＝8，FD＝DE，求△DCN的面积2．观察猜想（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D与点C重合，点E 在斜边AB上，连接DE，且DE＝AE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接EF，则＝，sin∠ADE＝，探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿CA方向移动，使CD＝AC，其余条件不变，如图2，上述结论是否保持不变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由拓展延伸（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，点D在边AC的延长线上，E是AB上任意一点，连接DE．ED＝nAE，将线段DE绕着点D顺时针旋转90°至点F，连接EF．求和sin∠ADE的值分别是多少？（请用含有n，a的式子表示）3．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．（1）如图①，当点E落在边BA的延长线上时，∠EDC＝度（直接填空）；（2）如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD＝EC；（3）当AB＝2，且点E到AC的距离等于﹣1时，直接写出tan∠CAE的值．4．已知：如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDE＝90°，点F是AE的中点，连接DF，CF．（1）如图1，点D，E分别在AB，BC边上，填空：CF与DF的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转45°得到图2，请判断（1）中CF与DF的数量关系和位置关系是否仍然成立，如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转90°得到图3，如果BD＝2，AC＝3，请直接写出CF的长．5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，D是AB中点，一个以点D为顶点的60°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究三条线段AC，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；②若CE＝9，CF＝4，求CN的长．6．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在直线AB上，连接CD，并把CD绕点C逆时针旋转90°到CE．（1）如图1，点D在AB边上，线段BD、BE、CD的数量关系为．（2）如图2，点D在点B右侧，请猜想线段BD、BE、CD的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，点D在点A左侧，BC＝，AD＝BE＝1，请直接写出线段EC的长．7．如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．8．在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，作∠ABC的平分线交AC于点D，∠MDN＝135°，将∠MDN绕点D旋转，使∠MDN的两边交直线BA于点E，交直线BC于点F．（1）当∠MDN绕点D旋转到如图①的位置时，请直接写出三条线段AE，CF，AD的数量关系；（2）当∠MDN绕点D旋转到如图②的位置时，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）若BC＝2+，当∠CDF＝15°时，请直接写出线段CF的长度．9．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D 点旋转，它的两边分别交AC和CB（或它们的延长线）于E，F．（1）当DE⊥AC于E时（如图1），可得S△DEF+S△CEF＝S△ABC；（2）当DE与AC不垂直时（如图2），第（1）小题得到的结论成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请直接给出S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系．（3）当点E在AC延长线上时（如图3），第（1）小题得到的结论成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请直接给出的关系S△DEF，S△CEF，S△ABC的关系．10．如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．11．【问题探究】（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．①请探究AD与BD之间的位置关系：；②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，则线段AD的长为；【拓展延伸】（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD 为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．12．（1）【问题解决】已知点P在∠AOB内，过点P分别作关于OA、OB的对称点P1、P2．①如图1，若∠AOB＝25°，请直接写出∠P1OP2＝；②如图2连接P1P2分别交OA、OB于C、D，若∠CPD＝98°，求∠AOB的度数；③在②的条件下若∠CPD＝α度（90＜a＜180），请直接写出∠AOB度．（用含α的代数式表示）（2）【拓展延伸】利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3在△ABC中，∠BAC＝30°，点P是△ABC内部一定点，AP＝8，点E、F 分别在边AB、AC上，请你在图3中画出使△PEF周长最小的点E、F的位置（不写画法），并直接写出△PEF周长的最小值．13．如图1，已知点A（﹣2，0）．点D在y轴上，连接AD并将它沿x轴向右平移至BC的位置，且点B坐标为（4，0），连接CD，OD＝AB．（1）线段CD的长为，点C的坐标为；（2）如图2，若点M从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿着x轴向左运动，同时点N从原点O出发，以相同的速度沿折线OD→DC运动（当N到达点C时，两点均停止运动）．假设运动时间为t秒．①t为何值时，MN∥y轴；②求t为何值时，S△BCM＝2S△ADN．14．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．15．阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题如图1，△ABC≌△ADE，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝AD＝DE＝2，此时，点C与点E重合，操作探究1（1）小凡将图1中的两个全等的△ABC和△ADE按图2方式摆放，点B落在AE上，CB所在直线交DE所在直线于点M，连结AM，求证：BM＝DM．操作探究2（2）小彬将图1中的△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度a（0°＜a＜90°），然后，分别延长BC，DE，它们相交于点F．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：①a＝30°时，求证：△CEF为等边三角形；②当a＝时，AC∥FE．（直接回答即可）操作探究3（3）小颖将图1中的△ABC绕点A按顺时针方向旋转角度β（0°＜β＜90°），线段BC 和DE相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：①如图4，当β＝60°时，直接写出线段CE的长为；②如图5，当旋转到点F是边DE的中点时，直接写出线段CE的长为．16．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB＝4，D、E分别是AB、AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0°＜α≤180°），记直线BD1与CE1，的交点为P．（1）如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1；（3）设BC的中点为M，则线段PM的长为（直接填写结果）．17．如图1，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，且∠ABC＝∠DBE＝90°，D点在AB上，连接AE与CD的延长线交于点F，（1）直接写出线段AE与CD的数量关系．（2）若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中的线段AE、CD之间有怎样的数量和位置关系？（3）拓展：若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，将“∠ABC＝∠DBE＝90°”改为“∠ABC＝∠DBE＝α（α为锐角）”，其他条件均不变，如图3所示，问：线段AE、CD所在直线的夹角大小是否随着图形的旋转而发生变化？若不变，其值多少？18．综合与实践已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF 绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于点E，F．（1）【问题发现】如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图1），①证明：△ADE≌△BDF；②猜想：S△DEF+S△CEF＝S△ABC．（2）【类比探究】如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断S△DEF+S△CEF与S△ABC的关系，并给予证明．（3）【拓展延伸】如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明）19．在Rt△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，∠A＝90°，∠MON＝α，分别交直线AB、AC于点M、N．（1）如图1，当α＝90°时，求证：AM＝CN；（2）如图2，当α＝45°时，问线段BM、MN、AN之间有何数量关系，并证明；（3）如图3，当α＝45°时，旋转∠MON，问线段之间BM、MN、AN有何数量关系？并证明．20．已知△ABC是等边三角形，点D在直线BC上，且DE＝EC，将△BEC绕点C的顺时针旋转至△ACF，连接EF．（1）如图1，若点E在线段AB上，求证：AB＝DB+AF；（2）如图2，若点E在线段AB的延长线上，线段AB，DB，AF之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如果点E在线段BA的延长线上，请在图3的基础上将图形补充完整，写出AB，DB，AF之间的数量关系，并证明．参考答案1．解：（1）连接CF，当∠BAC＝60°时，由AB＝AC，可得△ABC是等边三角形，∵∠CEF＝∠CAB＝60°，CE＝FE，∴△CEF是等边三角形，∴∠ACB＝∠ECF＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF；（2）连接CF，当∠BAC＝90°时，由AB＝AC，可得△ABC是等腰直角三角形，∴，∵∠CEF＝∠CAB＝90°，CE＝FE，∴△CEF是等腰直角三角形，∴，且∠ACB＝∠ECF＝45°，∴，∠ACE＝∠BCF，∴△ACE∽△BCF，∴，即BF＝AE；（3）过点F作FG⊥BC于G，连接GE，由（2）可得∠FBC＝∠EAC＝45°，∴△BGF是等腰直角三角形，∴BG＝FG，且BF＝BG，又∵BF＝AE，∴BG＝AE，∵等腰直角三角形ABC中，AD＝BD＝BC＝4，∴DG＝DE，∵FD＝DE，∴FD＝DG，设DG＝x，则GF＝GB＝4﹣x，DF＝x，∴Rt△DGF中，x2+（4﹣x）2＝（x）2，解得x1＝1，x2＝﹣（舍去），∴DG＝DE＝1，∴AD＝BG＝FG＝4﹣1＝3，∴BF＝＝3，由∠FBC＝∠ACD＝45°，BD＝CD，∠BDF＝∠CDN，可得△BDF≌△CDN（ASA），∴BF＝CN＝3，∵Rt△ACD中，AC＝＝4，∴AN＝，∴△DCN的面积＝×△ACD的面积＝×8＝6，2．解：（1）如图1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°．又CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BEC是等边三角形，∴BE＝CE．∴AE＝CE＝BE．∴AD＝AB＝CE．又由旋转的性质知：FC＝EC，∠FCE＝90°，∴EF＝CE，∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．故答案是：；；（2）不变，理由：如图2，过点D作DG∥BC交AB于点G，则△ADG是直角三角形．∵∠DAG＝30°，DE＝AE，设DG＝x，∴∠AED＝120°，AD＝x，∠DEG＝∠DGE＝60°．∴DE＝DF＝x，sin∠ADE＝．∵∠EDF＝90°，∴EF＝x．∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．（3）过点E作EG⊥AD于点G，设AE＝x，则DE＝nx．∵∠CAB＝a，∴AG＝cosα•x，EG＝sinα•x．∴DG＝＝•x．∴AD＝cosα•x+•x．∵∠EDF＝90°，DE＝DF，∴EF＝DE＝nx．∴＝＝，sin∠ADE＝＝＝．3．解：（1）如图1中，∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠B＝∠BED＝45°，∴∠EDC＝90°，故答案为90．（2）如图2中，作P A⊥AB交BC于P，连接PE．∵∠DAE＝∠BAP＝90°，∴∠BAD＝∠P AE，∵∠B＝45°，∴∠B＝∠APB＝45°，∴AB＝AP，∵AD＝AE，∴△BAD≌△P AE（SAS），∴BD＝PE，∠APE＝∠B＝45°，∴∠EPD＝∠EPC＝90°，∵∠C＝30°，∴EC＝2PE＝2BD．（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，P A⊥AB交BC 于P，连接PE．设PH＝x，在Rt△EPH中，∵∠EPH＝90°，∠EHP＝60°，∴EP＝x，EH＝2PH＝2x，∴FH＝2x+﹣1，CF＝FH＝2x+3﹣，∵△BAD≌△P AE，∴BD＝EP＝x，AE＝AD，在Rt△ABG中，∵AB＝2，∴AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，∵AE2＝AD2＝AF2+EF2，∴22+（2﹣x）2＝（﹣1）2+（4﹣2x﹣3+）2，整理得：9x2﹣12x＝0，解得x＝（舍弃）或0∴PH＝0，此时E，P，H共点，∴AF＝1+，∴tan∠EAF＝＝＝2﹣．根据对称性可知当点E在AC的上方时，同法可得tan∠EAC＝．4．解：（1）结论：CF＝DF，CF⊥DF．理由：如图1中，∵∠ACE＝ADE＝90°，AF＝FE，∴CF＝AF＝FE＝AE，DF＝AF＝FE＝AE，∴CF＝DF，∴∠F AC＝∠FCA，∠F AD＝∠FDA，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠CFE＝∠F AC+∠FCA＝2∠F AC，∠EFD＝∠F AD+∠FDA＝2∠F AD，∴∠CFD＝∠CFE+∠EFD＝2（∠F AC+∠F AD）＝2∠CAD＝90°，∴CF⊥DF．故答案为：CF＝DF，CF⊥DF．（2）成立．理由：如图2中，延长DF交AC于H．∵∠ACD＝∠BDE＝∠CDE＝90°，∴AC∥DE，∴∠FED＝∠F AH，∵∠AFH＝∠EFD，F A＝FE，∴△AFH≌△EFD（ASA），∴DF＝FH，∵∠HCD＝90°，∴CF＝FH＝FD，CF⊥DF．（3）如图3中，延长DF交AB于H，连接CH，CD．∵∠ABD＝∠CDE＝90°，∴DE∥AB，∴∠FED＝∠F AH，∵∠AFH＝∠EFD，F A＝FE，∴△AFH≌△EFD（ASA），∴DF＝FH，AH＝DE＝DB，∵∠CAH＝∠CBA＝∠CBD＝45°，CA＝CB，∴△CAH≌△CBD（SAS），∴CH＝CD，∠ACH＝∠BCD，∴∠HCD＝∠ACB＝90°，∵FH＝FD，∴CF⊥DF，CF＝FH＝DF．∵AC＝CB＝3，∴AB＝AC＝6，∵AH＝BD＝2，∴BH＝6﹣2＝4，在Rt△BDH中，DH＝＝2，∴CF＝DF＝FH＝．5．解：（1）证明：如图1中，连接CD．∵∠ACB＝120°，AC＝BC，AD＝BD，∴∠BCD＝∠ACD＝60°，∠BCE＝∠ACF＝60°．∴∠DCE＝∠DCF＝120°．又∵CE＝CF，CD＝CD，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴DE＝DF；（2）①如图2中，连接CD．∵∠DCF＝∠DCE＝120°，∴∠CDF+∠F＝180°﹣120°＝60°．又∵∠CDF+∠CDE＝60°，∴∠F＝∠CDE．∴△CDF∽△CED，∴＝，即CD2＝CE•CF．∵∠ACB＝120°，AC＝BC，AD＝BD，∴CD＝AC．∴AC2＝4CE•CF．②作DK∥AE交BC于K．∵AC2＝4CE•CF＝144，∴AC＝BC＝12，∵AD＝BD．DK∥AC，∴CK＝KB＝6，∴DK＝AC＝6，∵＝＝＝，∴CN＝CK＝．6．解：（1）结论：BE2+BD2＝2CD2．理由：如图1中，连接DE．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABE＝90°，∴DE2＝BD2＝BE2，∵DE＝CD，∴BE2+BD2＝2CD2．（2）结论：BE2+BD2＝2CD2．理由：如图2中，连接DE．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABE＝∠EBD＝90°，∴DE2＝BD2＝BE2，∵DE＝CD，∴BE2+BD2＝2CD2．（3）如图3中，连接DE．∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，∴AB＝BC＝2，∴AD＝BE＝1，∴BD＝3，由（2）可知：BD2+BE2＝2EC2，∴9+1＝2EC2，∴EC＝．7．证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°∴△ADE是等边三角形∵△ABC为等边三角形∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠DAB＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE∴△ADB≌△AEC（SAS）∴BD＝CE（2）如图，过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，∵∠ADB＝90°，∠ADE＝60°∴∠BDG＝30°∵CG∥BP∴∠G＝∠BDG＝30°，∵△ADB≌△AEC∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90°∴∠GEC＝∠AEC﹣∠AED＝30°∴∠G＝∠GEC＝30°∴GC＝CE，∴CG＝BD，且∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC∴△BFD≌△CFG（AAS）∴BF＝FC∴点F是BC中点（3）如图，连接AF，∵△ABC是等边三角形，BF＝FC∴AF⊥BC∴∠AFC＝90°∴∠AFC＝∠AEC＝90°∴点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，∴EF最大为直径，即最大值为18．解：（1）结论：AE+CF＝AD．理由：如图1中，作DH⊥BC于H．∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∵∠A＝∠DHB＝90°，∴∠ADH＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，∵∠EDF＝135°，∴∠ADH＝∠EDF，∴∠ADE＝∠HDF，∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DH⊥BC，∴DA＝DH，∴△DAE≌△DHF（ASA），∴AE＝HF，∵∠C＝∠HDC＝45°，∴DH＝CH＝AD，∴AE+CF＝HF+CF＝CH＝AD．（2）不成立应为CF﹣AE＝AD．理由如下：如图②中，作DG⊥BC于点G，∵∠BAC＝90°，∴DA⊥BA，∵AC平分∠ABC，∴DA＝DG，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ADG＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，∵∠MDN＝135°，∴∠ADE＝∠GDF＝135°﹣∠ADF，又∵∠DAE＝∠DGF＝90°，∴△DAE≌△DGF（ASA），∴AE＝FG，∵∠DCG＝45°，∠DGC＝90°，∴∠DCG＝∠GDC＝45°，∴GC＝DG＝AD，∵FC﹣FG＝GC，∴FC﹣AE＝AD．（3）①如图③﹣1中，作DH⊥BC于H．由（1）可知：DA＝DH＝CH，设DA＝DH＝HC＝a，则CD＝a，AB＝AC＝BH＝a+a，∴2a+a＝2+，∴a＝1，∴AD＝1，∵∠CDF＝15°，∴∠ADE＝180°﹣135°﹣15°＝30°，∴AE＝，∵AE+CF＝AD，∴CF＝1﹣②如图③﹣2中，当∠CDF＝15°时，作DH⊥BC于H，∵AD＝DH＝CH＝1，∠CFD＝30°，∴FH＝DH＝，∴CF＝FH﹣CH＝﹣1综上所述，满足条件的CF的值为或．9．解：（1）如图1中，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形．设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a．∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；故答案为．（2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠1＝∠2，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF＝S△ABC；（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°∴S△DEF＝S五边形DBFEC，＝S△CFE+S△DBC，＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．10．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．11．解：【问题探究】（1）∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ABC＝∠DEC＝45°＝∠CDE∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，CE＝CD∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC＝∠BEC＝45°∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°∴AD⊥BD故答案为：AD⊥BD②如图，过点C作CF⊥AD于点F，∵∠ADC＝45°，CF⊥AD，CD＝∴DF＝CF＝1∴AF＝＝3∴AD＝AF+DF＝4故答案为：4【拓展延伸】（2）若点D在BC右侧，如图，过点C作CF⊥AD于点F，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE∴∠ADC＝∠BEC，∵CD＝，CE＝1∴DE＝＝2∵∠ADC＝∠BEC，∠DCE＝∠CFD＝90°∴△DCE∽△CFD，∴即∴CF＝，DF＝∴AF＝＝∴AD＝DF+AF＝3若点D在BC左侧，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE∴∠ADC＝∠BEC，∴∠CED＝∠CDF∵CD＝，CE＝1∴DE＝＝2∵∠CED＝∠CDF，∠DCE＝∠CFD＝90°∴△DCE∽△CFD，∴即∴CF＝，DF＝∴AF＝＝∴AD＝AF﹣DF＝212．解：（1）①如图1，连接OP，由轴对称的性质可知∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝50°；故答案为：50°；②如图2，∵∠CPD＝98°，∴∠1+∠2＝82°，由轴对称的性质得，∠P1＝∠3，∠P2＝∠4，∵∠2＝∠P1+∠3＝2∠3，∠1＝∠P2+∠4＝2∠4，∴∠3+∠4＝（∠1+∠2）＝41°，∴∠MPN＝∠3+∠CPD+∠4＝98°+41°＝139°，由轴对称的性质得，∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四边形OMPN中，∠AOB＝360°﹣∠PMO﹣∠PNO﹣∠MPN＝41°；③∠AOB＝90°﹣°．理由如下：∵∠CPD＝α°，∴∠1+∠2＝180°﹣α°，由轴对称的性质得，∠P1＝∠3，∠P2＝∠4，∵∠2＝∠P1+∠3＝2∠3，∠1＝∠P2+∠4＝2∠4，∴∠3+∠4＝（∠1+∠2）＝90°﹣α°，∴∠MPN＝∠3+∠CPD+∠4＝90°﹣α°+α＝90°+°，由轴对称的性质得，∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四边形OMPN中，∠AOB＝360°﹣∠PMO﹣∠PNO﹣∠MPN＝90°﹣°；（2）△PEF周长最小值为8．如图3，过点P分别作关于AB、AC的对称点G、H．连接GE，FH，则PE＝GE，PF＝HF，∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝GE+HF+EF，∴当G，E，F，H在同一直线上时，△PEF的周长最小值等于GH的长．此时，∵AB垂直平分GP，∴AG＝AP，∴△AGE≌△APE（SSS），∴∠GAE＝∠P AE，同理可得∠HAF＝∠P AF，∴∠GAH＝2∠BAC＝60°，又∵AG＝AP＝AH，∴△AGH是等边三角形，∴GH＝AG＝AP＝8，即△PEF的周长最小值等于8．13．解：（1）∵点A（﹣2，0），点B坐标为（4，0），∴AB＝6∵将AD沿x轴向右平移至BC的位置，∴AD∥BC，AD＝BC∴四边形ABCD是平行四边形∴CD＝AB＝6，CD∥AB∵OD＝AB．∴OD＝3，且CD∥AB∴点C（6，3）故答案为：6，（6，3）；（2）∵MN∥y轴，∴点N在CD上，∴4﹣t＝t﹣3∴t＝∴当t＝s时，MN∥y轴；（3）当点N在OD上时，∵S△BCM＝2S△ADN．∴×3×t＝2××2×（3﹣t）解得：t＝当点N在CD上时，∵S△BCM＝2S△ADN．∴×3×t＝2××3×（t﹣3）解得：t＝6综上所述：t＝6或时，S△BCM＝2S△ADN．14．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠P A1Q，∴∠QA1B1＝∠P A1N，∵A1Q＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△P A1N（SAS），∴B1Q＝PN，∴当PN的值最小时，QB1的值最小，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，∴A1M＝A1B1•sin60°＝4，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A1C1＝4，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝4﹣8，在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，∴NH＝4﹣4，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，∴QB1的最小值为4﹣4．15．（1）证明：如图2中，∵∠ABM＝∠D＝90°，AM＝AM，AB＝AD，∴Rt△AMB≌Rt△AMD（HL），∴BM＝DM．（2）①证明：如图3中，∵CA＝AE，∠CAE＝30°，∴∠ACE＝∠AEC＝75°，∵AB＝BC＝AD＝DE，∠B＝∠D＝90°∴∠ACB＝∠AED＝45°，∴∠BCE＝∠CDE＝120°，∴∠FCE＝∠FEC＝60°，∴△EFC是等边三角形．②解：∵AC∥EF，∴∠CAE＝∠AED＝45°，∴当α＝45°时，AC∥EF．故答案为45°．（3）①解：如图4中，连接EC．∵∠EAC＝β＝60°，AE＝AC，∴△AEC是等边三角形，∵AD＝DE＝2，∠ADE＝90°，∴AE＝＝＝2，∴EC＝AE＝2．故答案为2．②解：如图5中，连接AF，BD交于点O．∵∠ABF＝∠ADF＝90°，AF＝AF，AB＝AD，∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL），∴BF＝DF，∵DF＝EF＝1，∴BF＝DF＝1，∵BC＝2，∴BF＝CF＝1，∵BF＝CF＝DF＝EF，∠BFD＝∠CFE，∴△BFD≌△CFE（SAS），∴EC＝BD．∵AB＝AD，FB＝FD，∴AF垂直平分线段BD，∴OB＝OD，在Rt△ABF中，∵∠ABF＝90°，AB＝2，BF＝1，∴AF＝＝＝，∵S△ABF＝•AB•BF＝•OB•AF，∴OB＝＝，∴BD＝2OB＝，∴EC＝BD＝．故答案为．16．解：（1）∵∠CAB＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点，∴AE＝AD＝2，∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），∴当α＝90°时，AE1＝2，∠E1AE＝90°，∴BD1＝＝＝2，E1C＝＝＝2；故答案为：2，2；（2）证明：当α＝135°时，如图2，∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，∴AD1＝AE1，∠D1AB＝∠E1AC＝135°，在△D1AB和△E1AC中，∴△D1AB≌△E1AC（SAS），∴BD1＝CE1，且∠D1BA＝∠E1CA，记直线BD1与AC交于点F，∴∠BF A＝∠CFP，∴∠CPF＝∠F AB＝90°，∴BD1⊥CE1；（3）解：如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∴BC＝AB＝4，∵∠CPB＝∠CAB＝90°，BC的中点为M，∴PM＝BC＝4＝2故答案为：217．解：（1）结论：AE＝CD．理由：如图1中，在△AEB和△CDB中，，∴△AEB≌△CDB（SAS）∴AE＝CD．（2）结论：AE＝CD，AE⊥CD，理由：如图2中，设AB交CD于O．∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠DBC，在△AEB和△CDB中，，∴△AEB≌△CDB（SAS），∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB，∵∠DCB+∠COB＝90°，∠AOF＝∠COB，∴∠FOA+∠F AO＝90°，∴∠AFC＝90°，∴AE⊥CD．（3）线段AE、CD所在直线的夹角大小不变，∠AFC＝α．理由：如图3中，设AB交CD于O．∵∠DBE＝∠ABC＝α，∴∠ABE＝∠DBC，在△AEB和△CDB中，，∴△AEB≌△CDB（SAS），∴∠EAB＝∠DCB，∵∠AOF＝∠COB，∴∠AFO＝∠ABC＝α．18．解：（1）①∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠BDF＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∴∠A＝∠BDF，∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（SAS）；②如图1中，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形．设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a．∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；故答案为．（2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF＝S△ABC；（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°∴S△DEF＝S五边形DBFEC，＝S△CFE+S△DBC，＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．19．证明：（1）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠MON＝∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠CON，且AO＝CO，∠BAO＝∠ACO＝45°，∴△AOM≌△CON（ASA）∴AM＝CN；（2）BM＝AN+MN，理由如下：如图2，在BA上截取BG＝AN，连接GO，AO，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∵BG＝AN，∠ABO＝∠NAO＝45°，AO＝BO，∴△BGO≌△AON（SAS）∴OG＝ON，∠BOG＝∠AON，∵∠MON＝45°＝∠AOM+∠AON，∴∠AOM+∠BOG＝45°，且∠AOB＝90°，∴∠MOG＝∠MON＝45°，且MO＝MO，GO＝NO，∴△GMO≌△NMO（SAS）∴GM＝MN，∴BM＝BG+GM＝AN+MN；（3）MN＝AN+BM，理由如下：如图3，过点O作OG⊥ON，连接AO，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠GBO＝∠NAO＝135°，∵MO⊥GO，∴∠NOG＝90°＝∠AOB，∴∠BOG＝∠AON，且AO＝BO，∠NAO＝∠GBO，∴△NAO≌△GBO（ASA）∴AN＝GB，GO＝ON，∵MO＝MO，∠MON＝∠GOM＝45°，GO＝NO，∴△MON≌△MOG（SAS）∴MN＝MG，∵MG＝MB+BG，∴MN＝AN+BM．20．（1）证明：如图1中，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF＝60°，∠BCA＝60°，BE＝AF，EC＝CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝EC，∠CEF＝60°，又∵ED＝EC，∴ED＝EF，∵△ABC是等腰三角形，∠BCA＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAF＝∠CBA＝60°，∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝120°，∠DBE＝120°，∠EAF＝∠DBE，∵∠CAF＝∠CEF＝60°，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠AEF＝∠ACF，又∵ED＝EC，∴∠D＝∠BCE，∠BCE＝∠ACF，∴∠D＝∠AEF，在△EDB和△FEA中，，∴△EDB≌△FEA（AAS），∴DB＝AE，BE＝AF，∵AB＝AE+BE，∴AB＝DB+AF．（2）解：结论：AB＝BD﹣AF；理由：延长EF、CA交于点G，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF＝60°，BE＝AF，EC＝CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝EC，又∵ED＝EC，∴ED＝EF，∠EFC＝∠BAC＝60°，∵∠EFC＝∠FGC+∠FCG，∠BAC＝∠FGC+∠FEA，∴∠FCG＝∠FEA，又∵∠FCG＝∠ECD，∠D＝∠ECD，∴∠D＝∠FEA，由旋转的性质，可得∠CBE＝∠CAF＝120°，∴∠DBE＝∠F AE＝60°，在△EDB和△FEA中，，∴△EDB≌△FEA（AAS），∴BD＝AE，EB＝AF，∴BD＝F A+AB，即AB＝BD﹣AF．（3）如图3中，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF＝60°，BE＝AF，EC＝CF，BC＝AC，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝EC，又∵ED＝EC，∴ED＝EF，∵AB＝AC，BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，又∵∠CBE＝∠CAF，∴∠CAF＝60°，∴∠EAF＝180°﹣∠CAF﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣60°＝60°∴∠DBE＝∠EAF；∵ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠BDE＝∠ECD+∠DEC＝∠EDC+∠DEC，又∵∠EDC＝∠EBC+∠BED，∴∠BDE＝∠EBC+∠BED+∠DEC＝60°+∠BEC，∵∠AEF＝∠CEF+∠BEC＝60°+∠BEC，∴∠BDE＝∠AEF，在△EDB和△FEA中，，∴△EDB≌△FEA（AAS），∴BD＝AE，EB＝AF，∵BE＝AB+AE，∴AF＝AB+BD，即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF＝AB+BD。

2021年九年级数学中考一轮复习《图形的性质》培优提升专项训练（附答案）1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．B．2C．D．2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为劣弧上一点，P A交BD于点M，PB交AC于点N，记∠PBD＝θ．若MN⊥PB，则2cos2θ﹣tanθ的值（）A．B．1C．D．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（）A．6B．﹣6C．12D．﹣124．如图，在半径为5的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB＝8，CD＝8，垂足为E．则tan∠OEA的值是（）A．1B．C．D．5．正方形ABCD的边长为4，E为正方形外一动点，∠AED＝45°，AP＝1，线段PE的最大值是（）A．5B．+2C．2+2D．+26．如图，AB是O的直径，AB＝8，点M在O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P 是直径AB上的一动点，若MN＝a，则△PMN周长的最小值为（）A．4B．4+a C．2+a D．3+a7．如图，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C交AB的延长线于点E．设点D是弦AC上任意一点（不含端点），若∠CEA＝30°，BE＝4，则CD+2OD的最小值为（）A．2B．C．4D．48．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（）A．6B．3C．3D．6﹣69．如图，正方形ABCD的面积为16cm2，△AEF为等腰直角三角形，∠E＝90°，AE和BC 交于点G，AF和CD交于点H，则△CGH的周长（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm10．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF等于（）A．B．C．D．11．（I）圆中最长的弦是；（Ⅱ）如图①，AB是⊙O的弦，AB＝8，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长度的最大值是；（Ⅲ）如图②，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．AC的垂直平分线交BC于F，交AC于E，交BA的延长线于G，若EG＝3，则BF的长是．13．如图，在⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条直径，点E在上，CF⊥AE于点F，若点F四等分弦AE，且AE＝8，则⊙O的面积为．14．如图，已知点B（5，2），⊙P经过原点O，交y轴正半轴于点A，点B在⊙P上，∠BAO＝45°，圆心P的坐标为．15．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣，）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接P A，PB，则P A2+PB2的最小值是．16．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在CB上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE＝∠ABD，若点F为CD中点，AF交BE于点G，∠CBE＝15°，AG＝3，则BC的长为．17．如图，在△ABC中，BD为△ABC的中线，F为BD上一点，连接AF并延长，交BC 于点E，BE：EC＝1：2，连接CF，当FD＝4，AF＝6，CF＝10时，△ABC的面积为．18．△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝∠D＝90°，BM＝CD，AC＝CM，△AME 的面积为3，则FM＝．19．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D在AB上，AD＝8，BD＝4，点E在CD 上，∠AEB＝135°，则CE＝．20．已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于B、C两点，A点在抛物线上，且以BC为直径的圆经过点A，A在x轴上方，则点A的横坐标为．21．如图，已知Rt△ABC的直角边AC＝8，斜边AB＝10，一个以点P为圆心，半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是．22．平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，AO＝BO，△ABO的面积为8．（1）求点A的坐标；（2）点C、D分别在x轴负半轴、y轴正半轴上（D在B点上方），AB⊥CD于E，设点D纵坐标为t，△BCE的面积为S，求S与t的函数关系；（3）在（2）的条件下，点F为BE中点，连接OF交BC于G，当∠FOB+∠DAE＝45°时，求点E坐标．23．等边三角形ABC内接于⊙O，点D在弧AC上，连接AD、CD、BD．（1）如图1，求证BD平分∠ADC；（2）如图2，若∠DBC＝15°，求证：AD：AC＝：；（3）如图3，若AC、BD交于点E，连接OE，且OE＝2，若BD＝3CD，求AD的长．24．如图1，在正方形ABCD中，E是DC边上一动点（与C，D不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，作GH⊥AG，交AE的延长线于点H，连接CH．（1）求证：CH平分∠DCM；（2）如图2，过点H作HP∥BC交EG于点P；在点E运动过程中，四边形CHPG能否为菱形？若能，请求出∠DAE的度数；若不能，无需证明．（3）连接CF，若AB＝1，请直接写出CF长度的最小值．25．如图，四边形ABCD中，AC＝AD，∠BAC＝90°，∠BDC＝45°．（1）求∠ABC的度数；（2）把△BCD沿BC翻折得到△BCE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，求证：BE＝2AF；（3）在（2）的条件下，连接DE，若四边形ABCD的面积为45，BC＝10，求DE的长．26．如图，点O是△ABC中AB边上一点，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O恰好经过点C，且与边BC，AB分别交于E，F两点．连接AE，过点E作⊙O的切线，交线段BF于点M，交AC的延长线于点N，且EM＝BM，EB＝AO．（1）求∠EAM的度数；（2）求证：AC2＝2BM•OB；（3）若OA＝，求△CNE的面积．参考答案1．解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠P AB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故选：B．2．解：设⊙O的半径为1，则BD＝2．连结PD，则∠BPD＝90°．在Rt△BPD中，PB＝BD•cosθ＝2cosθ．在Rt△BON中，BN＝＝，在Rt△BMN中，MN＝BN•tanθ＝，在Rt△PMN中，∵∠MPN＝∠APB＝∠ADB＝45°，∴PN＝MN＝．∵BN+PN＝PB，∴+＝2cosθ，∴1+tanθ＝2cos2θ，∴2cos2θ﹣tanθ＝1．故选：B．3．解：过点C作CE⊥x轴于点E，∵顶点C的坐标为（m，3），∴OE＝﹣m，CE＝3，∴OC＝＝6，∵菱形ABOC中，∠BOC＝60°，∴OB＝OC＝6，∠BOD＝∠BOC＝30°，∵DB⊥x轴，∴DB＝OB•tan30°＝6×＝2，∴点D的坐标为：（﹣6，2），∵反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交D点，∴k＝xy＝﹣12．故选：D．4．解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，由垂径定理得：BM＝AM＝AB＝4，DN＝CN＝CD＝4，由勾股定理得：OM＝＝＝3，同理：ON＝3，∵弦AB、CD互相垂直，OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠MEN＝∠OME＝∠ONE＝90°，∴四边形MONE是矩形，∴ME＝ON＝3，∴tan∠OEA＝＝1，故选：A．5．解：①当点E在AD下方时，如图，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，EC，PE，作OH⊥AB于H．∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，∴∠ACE＝∠AED，∴A，C，E，D四点共圆，∵正方形ABCD的边长为4，∴OE＝OD＝BD＝2，在Rt△POH中，∵OH＝2，PH＝1，∴OP＝＝＝∵PE≤OP+OE＝+2，∴当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE＝+2，即线段PE的最大值为+2，②当点E在AD上方时，如图所示，点E是以点O'为圆心，2为半径的圆，同①的方法得，线段PE的最大值为PM＝+2，即线段PE的最大值为+2．6．解：如图，作点M关于AB的对称点K，连接AK，OK，PK，OM，ON，NK．则∠MAB＝∠KAB＝20°，∵OA＝OM＝OK，∴∠AMO﹣∠OAM＝∠OAK＝∠OKA＝20°，∴∠MOB＝∠A+∠OMA＝40°，∠BOK＝∠OAK+∠OKA＝40°，∵＝，∴∠MON＝∠NOB＝20°，∴∠KON＝60°，∵ON＝OK，∴△NKO是等边三角形，∴NK＝ON＝4，∵M，K关于AB对称，∴PM＝PK，∴PN+PM＝PN+PK≥NK＝4，∴PM+PN的最小值为4，∴△PMN的周长的最小值＝PM+PN+MN＝4+a，7．解：如图，作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，∵CE切⊙O于点C，∴∠OCE＝90°，又∵∠CEA＝30°，∴∠AOC＝120°，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．∵BE＝4，∴2OC＝OB+BE，即2OC＝OC+4，则OC＝4，即圆的半径为4，∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴CD+OD＝DH+FD．根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时CD+2OD＝2（DH+FD），∵FH＝OF•sin∠FOH＝OF＝2，∴CD+2OD＝2（DH+FD）＝2FH＝4，故选：D．8．解：如图作B′H⊥AD于H交BC于M．∵∠B′HD＝∠HDF＝∠DFB′＝90°，∴四边形DFB′H是矩形，∵FD＝FB′，∴四边形DFB′H是正方形，设边长为x，则AH＝6﹣x，HB′＝x，在Rt△AHB′中，∵AB′2＝AH2+HB′2，∴62＝（6﹣x）2+x2，解得x＝3，∴B′M＝CF＝6﹣3，∵△AHB′∽△B′ME，∴＝，∴＝，∴EB′＝6﹣6，∴BE＝B′E＝6﹣6，故选：D．9．解：延长CB至M，使BM＝DH，连接AM；如图所示：∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的面积为16cm2，∴AB＝BC＝CD＝4cm，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABM＝90°，在△ABM和△ADH中，，∴△ABM≌△ADH（SAS），∴AM＝AH，∠BAM＝∠DAH，∵△AEF是等腰直角三角形，∴∠HAG＝45°，∴∠BAG+∠DAH＝45°，∴∠MAG＝45°，在△AMG和△AHG中，，∴△AMG≌△AHG（SAS），∴GM＝GH，∴△CGH的周长＝GH+CG+CH＝GM+CG+CH＝BM+BG+CG+CH＝DH+BG+CG+CH＝BC+CD＝8．故选：C．10．解：连接PO，∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，∴PE+PF＝，故选：C．11．解：（Ⅰ）直径是圆中最长的弦，故答案为：直径；（Ⅱ）如图1，∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN＝BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′＝90°．∵∠ACB＝45°，AB＝8，∴∠AC′B＝45°，∴BC′＝，∴MN最大＝4．故答案为：4；（Ⅲ）由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图2，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝×＝，由垂径定理可知EF＝2EH＝．故答案为：．12．解：∵AC的垂直平分线FG，∴AE＝EC，∠AEG＝∠AEF＝90°，∵∠BAC＝120°，∴∠G＝∠BAC﹣∠AEG＝120°﹣90°＝30°，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，∴∠B＝∠G，∴BF＝FG，∵在Rt△AEG中，∠G＝30°，EG＝3，∴AG＝2AE，即（2AE）2＝AE2+32，∴AE＝（负数舍去），即CE＝，同理在Rt△CEF中，∠C＝30°，CF＝2EF，（2EF）2＝EF2+（）2，∴EF＝1（负数舍去），∴BF＝GF＝EF+CE＝1+3＝4，故答案为：4．13．解：如图，连接AC，EC．∵AB、CD是互相垂直的两条直径，∴∠AOC＝90°，∴∠AEC＝∠AOC＝45°，∵CF⊥AE，∴∠CFE＝90°，∴∠FCE＝∠FEC＝45°，∴EF＝CF，∵点F四等分弦AE，且AE＝8，∴EF＝AE＝2，∴CF＝2，AF＝6，∴AC＝＝2，∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴OA＝OC＝2，∴⊙O的面积为π•（2）2＝20π，故答案为20π．14．解：连接OP，OB，PB，延长BP交⊙P于E，作EF⊥OA于F，BH⊥x轴于H．∵∠BPO＝2∠BAO，∠BAO＝45°，∴∠BPO＝90°，∵PO＝OB，∴△PBO是等腰直角三角形，∵BE是直径，∴∠BOE＝90°，∴∠OBE＝∠OEB＝45°，∴OE＝OB，∵∠EOB＝∠AOH＝90°，∴∠EOF＝∠BOH，∵∠EFO＝∠BHO＝90°，∴△EFO≌△BHO（AAS），∴OF＝OH＝5，BF＝BH＝2，∴E（﹣2，5），∵PE＝PB，∴P（，）．故答案为（，）．15．解：设P（x，y），∵P A2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2，∴P A2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2，∵OP2＝x2+y2，∴P A2+PB2＝2OP2+2，当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值，∴OP的最小值为CO﹣CP＝﹣1，∴P A2+PB2最小值为14﹣4．故答案为：14﹣4．16．解：∵∠BAC＝90°，EA⊥AD，∴∠BAD＝∠CAE＝α，∵∠ACE＝∠ABD，AB＝AC，∴△ABD≌△AEC，（AAS），∴AD＝AE，∴∠ECA＝∠ABC＝45°，而∠ACB＝45°，∴∠ECB＝90°，延长AF到M使AF＝FM，∵DF＝FC，而∠CFM＝∠AFD，∴△AFD≌△MCF，（SAS），∴∠MCF＝∠ADF＝α+∠ABC＝45°+α，∴∠ACM＝45°+∠MCF＝90°+α，而∠BAE＝90°+α，∴∠ACM＝∠BAE，而CM＝AE，CA＝AB，∴△AEB≌△CAM，∴F AC＝∠ABE＝45°﹣15°＝30°，而∠AHB＝90°﹣30°＝60°，∴∠AGH＝90°，在Rt△AGH中，AG＝3，则：AH＝2，在Rt△ABH中，AH＝2，∠ABH＝30°，AB＝6，则BC＝12，故答案是12．17．解：延长FD到K，使得DK＝DF，连接AK，CK，作DH∥AE交BC于点H．∵AD＝DC，DF＝DK，∴四边形AFCK是平行四边形，∴CK＝AF＝6，∵FK＝8，CF＝10，∴CF2＝CK2+FK2，∴∠FKC＝90°，∴S△ADF＝S△DFC＝×4×6＝12，∵DH∥AEAD＝DC，∴EH＝CH，∵BE：CE＝1：2，∴BE＝EH，∵EF∥DH，∴BF＝DF，∴S△ABF＝S△ADF＝12，∴S△ABD＝24，∵AD＝DC，∴S△ABC＝2S△ABD＝48，故答案为48．18．解：过点A作AP⊥BD于点P，连接PC交AF于点Q．FH⊥BM交BM于点H，设FH＝x，如图所示：∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，又∵在Rt△ABC中，∠ABE+∠EBC+∠ACB＝90°，在Rt△DBC中，∠DCE+∠EBC+∠ACB＝90°，∴∠ABE＝∠DCE，在△ABM和△ACD中，∴△ABM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，又∵∠BAM+∠MAE＝90°，∴∠MAD＝90°，∴∠AMD＝∠ADM＝45°，又∵AP⊥BD，∴AP＝MP＝PD，∴∠AMP＝∠APM＝45°，在△MPC和△APC中，∴△MPC≌△APC（SSS），∴∠MCP＝∠ACP，∴CQ⊥AM，∴∠MQP＝90°，∴∠QPM＝45°，又∵∠QPM＝∠CPD，∴∠CPD＝45°，又∵∠CPD+∠PCD＝90°，∴∠PCD＝45°，∴PD＝DC，∴BM＝MP＝PD＝CD＝AP，在△APE和△CDE中，∴△APE≌△CDE（AAS），∴PE＝DE＝PD，∴AP＝MP＝2PE，又∵，ME＝MP+PE，∴PE＝1，AP＝2，∴BM＝CD＝2，BD＝6，∴tan∠DBC＝，又∵tan∠HBF＝，FH＝x，∴BH＝3x，又∵在Rt△FHM中，∠HMF＝∠AMP＝45°，∴HM＝x，又∵BM＝BH+HM＝2，∴3x+x＝2，解得：x＝，在Rt△FHM中，由勾股定理得：FM＝．故答案为．19．解：如图作AE′⊥CD于E′，交BC于G，连接BE′，DK⊥BC于K，作BM⊥AE′交AE′于M，连接MC．∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠DBK＝∠KDB＝45°，∴DK＝KB，∵DK∥AC，∴＝＝，∴＝，∵∠ACE′+∠DCB＝90′，∠DCB+∠CDK＝90°，∴∠ACE′＝∠CDK，∵∠ACG＝∠CKD＝90°，∴△ACG∽△CKD，∴＝，∴＝＝2，∴AC＝2CG＝BC，∴CG＝BG，在△CGE′和△BGM中，，∴△CGE′≌△BGM（AAS），∴CE′＝BM，∵CE′∥BM，∴四边形CMBE′是平行四边形，∴CM∥BE′，∴∠CME′＝∠BE′M，∵∠ACG＝∠BMG，∴A、C、M、B四点共圆，∴∠CMA＝∠CBA＝45°，∴∠ME′B＝45°，∴∠AE′B＝135°，∵∠AEB＝135°，∴E、E′是同一个点．∵AB＝12，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC＝6，CG＝3，AG＝＝3，∵CE′•AG＝•AC•CG，∴CE＝．故答案为：．20．解：对于抛物线y＝﹣x2+2x+8，令y＝0，得到x2﹣2x﹣8＝0，解得x＝﹣2或4，不妨设B（﹣2，0），C（4，0），A（m，﹣m2+2m+8），由题意（m﹣1）2+（﹣m2+2m+8）2＝9，∴（m﹣1）2﹣32+（m+2）2•（m﹣4）2＝0，∴（m﹣4）（m+2）+（m+2）2•（m﹣4）2＝0，∴（m+2）（m﹣4）[1+（m+2）（m﹣4）]＝0，∴（m+2）（m﹣4）（m2﹣2m﹣7）＝0，解得m＝﹣2或4或1±2，∵点A在x轴的上方，∴点A的横坐标为1±2．21．解：如图，点P的运动轨迹是图中△P1P2P3，AP1，CP2，BP3交于点O，点O是内心，作OM⊥AB于M，OH⊥BC于H，ON⊥AC于N．则OM＝OH＝ON，在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∵•AC•BC＝•OH•（AB+BC+AC），∴OH＝2，∵p3E＝1，P3E∥OH，∴BP3：OB＝P3E：OH＝1：2，∴OP3：OB＝1：2，∵P2P3∥BC，∴△OP2P3∽△OBC，∴＝＝，∵△P1P2P3∽ACB，∴＝，∴△P1P2P3的周长为12，∴点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度为12．故答案为12．22．解：（1）如图1中，由题意：S△AOB＝×OA×OB＝•OA2＝8，∴OA2＝16，∵OA＞0，∴OA＝OB＝4，∴A（4，0），B（0，4）；（2）如图2中，过点E作EH⊥AC于H．∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠BAO＝45°，∵AB⊥CD，∴∠ACE＝∠BAO＝45°，∵∠COD＝90°，∴∠CDO＝∠DCO＝45°，∴OC＝OD，∴OC＝OD＝t，∵∠ACE＝∠BAO＝45°，∴∠CEA＝90°，CE＝AE，∴△CEA是等腰直角三角形，∵EH⊥AC，∴EH＝CH＝AH＝（4+t）＝2+t，AC＝4+t，∴S＝S△AEC﹣S△ABC＝（4+t）×（2+t）﹣×（4+t）×4＝t2﹣4；（3）如图3，连接AD，过点E作EH⊥AC于H．∵点F为BE中点，∴BE＝2BF，∵∠CDO＝45°，∠DEB＝90°，∴∠CDO＝∠DBE＝45°，∴DE＝BE，∴BD＝DE＝2BF，∵∠FOB+∠DAE＝45°，∠ABO＝∠DAE+∠ADB＝45°，∴∠FOB＝∠ADO，∴AD∥FO，∴△BFO∽△BAD，∴，∴＝，∴BF＝2，∴AE＝AB+BE＝4+4＝8，由（1）可知△CEA是等腰直角三角形，∴AC＝16，AH＝EH＝8，∴HO＝4，∴点E（﹣4，8）．23．解：（1）∵△ABC为等边三角形，则∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵∠BDC＝∠BAC＝60°，∠ADC＝∠ACB＝60°＝∠BDC，∴BD平分∠ADC；（2）过点A作AH⊥BD于点H，在Rt△AHD中，∠ADH＝60°，设AD＝2a，则AH＝a，HD＝a，∵∠ABC＝60°，∠DBC＝15°，∴∠ABH＝60°﹣15°＝45°，∴△为等腰直角三角形，则AB＝AH＝a＝AC，∴AD：AC＝：；（3）设CD＝m，在DB上截取DF＝CD，连接CF，∵∠BDC＝60°，故△CDF为等边三角形，则CD＝DF＝CF＝m，∠DFC＝60°，则BD＝3CD＝3m，则BF＝2m，∵∠BFC＝180°﹣∠DFC＝120°＝∠ADC，∵FC＝CD，∠FBC＝∠CAD，∴△BFC≌△ADC（AAS），∴AD＝BF＝2m，∵∠DFC＝∠ADB＝60°，∴FC∥AD，∴△AED∽△CEF，故＝2，设EC＝2t，则AE＝4t，AC＝6t，SG＝CG＝3t，故GE＝t，连接AO，过点O作OG⊥AC于点G，∵△ABC为等边三角形，则∠OAG＝30°，在Rt△AOG中，OG＝AG tan∠OAG＝3t×＝t，在Rt△OGE中，OG＝t，GE＝t，OE＝2，由勾股定理得：（t）2+t2＝（2）2，解得t＝，则AC＝6；过点A作CD的垂线交CD的延长线于点K，在Rt△ADK中，∠ADK＝180°﹣∠ADC＝60°，AD＝2m，则DK＝m，AK＝m，在Rt△AKC中，AK＝m，KC＝KD+CD＝m+m＝2m，AC＝6，由勾股定理得：（m）2+（2m）2＝（6）2，解得m＝6，则AD＝2m＝12．24．（1）证明：在AB上截取AN＝CG，连接NG，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠B＝∠BCD＝∠DCM＝90°，AB＝BC＝AD，∴∠NAG+∠AGB＝90°，∵AN＝CG，∴BN＝BG，∴△BNG是等腰直角三角形，∴∠BNG＝45°，∴∠ANG＝135°，由折叠的性质得：△ADE≌△AFE，∴∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，AD＝AF，∠DAE＝∠F AE，∴AF＝AB，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∠BAG＝∠F AG，∠AGB＝∠AGF，∴∠GAF+∠EAF＝×90°＝45°，即∠GAH＝45°，∵GH⊥AG，∴△AGH为等腰直角三角形，∴AG＝GH，∵GH⊥AG，∴∠AGH＝90°，∴∠AGB+∠CGH＝90°，∴∠NAG＝∠CGH，在△ANG和△GCH中，，∴△ANG≌△GCH（SAS），∴∠GCH＝∠ANG＝135°，∴∠DCH＝135°﹣90°＝45°，∴∠HCM＝∠DCH＝45°，∴CH平分∠DCM；（2）解：四边形CHPG能为菱形，理由如下：当EG∥HC时，∠PGC＝∠HCM＝45°，∵HP∥BC，∴四边形CHPG为平行四边形，∠HGC＝∠GHP，由（1）得：∠BAG＝∠F AG，∠AGB＝∠AGF，∵∠AGH＝90°，∴∠AGF+∠F AG＝∠AGB+∠HGC＝∠AGB+∠BAG＝90°，∴∠HGC＝∠HGE，∴∠GHP＝∠HGE，∴PH＝PG，∴四边形CHPG为菱形，∴∠PHC＝∠PGC＝45°，∠PHG＝∠PHC＝22.5°，∵∠AHG＝45°，∴∠EHP＝45°﹣22.5°＝22.5°，∵AD∥BC，HP∥BC，∴AD∥HP，∴∠DAE＝∠EHP＝22.5°；（3）解：如图2所示：∵BC＝AB＝1，∠B＝90°，∴AC＝＝＝，由（1）得：AF＝AB＝1，当A、F、C三点共线时，CF最短，则CF长度的最小值＝AC﹣AF＝﹣1．25．（1）解：以A为圆心，AC长为半径作圆A，如图所示：∵∠BAC＝90°，∠BDC＝45°，∴∠BAC＝2∠BDC，∴点B必在圆A上，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°；（2）证明：作AG⊥BD于G，如图所示：则∠AGB＝90°，由（1）得：∠ABC＝45°，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，BG＝DG＝BD，由折叠的性质得：BE＝BD，CE＝CD，∠CBE＝∠CBD，设∠CBE＝∠CBD＝x，则∠ABG＝45°﹣x，∠ABF＝45°+x，∵AF⊥BE，∴∠BF A＝90°，∠BAF＝90°﹣∠ABF＝90°﹣（45°+x）＝45°﹣x，∴∠ABG＝∠BAF，在△ABF和△BAG中，，∴△ABF≌△BAG（AAS），∴AF＝BG，∴BE＝2AF；（3）解：作BM作AD于M，CN⊥AD于N，延长BC交DE于H，如图所示：则CH⊥DE，∵CE＝CD，∴DH＝EH，∵△ABC是等腰直角三角形，BC＝10，AD＝AB＝AC＝BC＝5，∴△ABC的面积＝AB×AC＝×5×5＝25，∵四边形ABCD的面积为45，∴△ACD的面积＝AD×CN＝45﹣25＝20，∴×5×CN＝20，∴CN＝4，∴AN＝＝＝3，∵∠BAC＝90°，∴∠BAM+∠ABM＝∠BAM+∠CAN＝90°，∴∠ABM＝∠CAN，在△ABM和△CAN中，，∴△ABM≌△CAN（AAS），∴BM＝AN＝3，∴△ABD的面积＝AD×BM＝×5×3＝15，∴△BCD的面积＝45﹣15＝30＝BC×DH，即×10×DH＝30，∴DH＝6，∴DE＝2DH＝12．26．解：（1）连接OE，∵直线MN与⊙O相切于点E，∴OE⊥MN，∴∠OEM＝90°，∴∠EOM+∠EMO＝90°，∵EM＝BM，∴∠B＝∠BEM，∵在⊙O中，AO＝EO，EB＝AO，∴EB＝EO，∴∠B＝∠EOM，∵∠EMO＝∠B+∠BEM＝2∠B，∴∠EOM+∠EMO＝∠B+2∠B＝3∠B，∴3∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴∠EOM＝∠B＝30°，∴在⊙O中，∠EAM＝∠EOM＝×30°＝15°；（2）证明：连接CO，在⊙O中，CO＝EO，∵∠CEO＝∠EOM+∠B＝2∠B＝60°，∴△CEO是等边三角形，∴EO＝CO＝CE，∠COE＝60°，∴∠COB＝∠EOM+∠COE＝30°+60°＝90°，∴∠COA＝90°，∵在⊙O中，OA＝OC，∴在RtAOC中，AC＝OA，∴AC2＝2OA2，由（1）可知，∠B＝∠BEM＝∠EOM，∠B＝∠B，∴△BEM∽△BOE，∴＝，∴BE2＝BM•BO，∵EB＝AO，∴AO2＝BM•BO，∵AC2＝2AO2，∴AC2＝2BM•OB；（3）解：过点N作NP⊥CE于点P，∵在Rt△OEM中，OE＝OA＝，∠EOM＝30°，∴EM＝BM＝1，OM＝2，由（2）可知，△AOC为等腰直角三角形，∴∠NAF＝45°，∵在△ANM中∠ANM＝180°﹣∠NAF﹣∠NMA＝180°﹣45°﹣30°＝75°，∴∠NCE＝∠NAF+∠B＝45°+30°＝75°，∴∠NCE＝∠ANM，∴NE＝CE，由（2）可知，△CEO是等边三角形，∴NE＝CE＝OE＝OA＝，∵∠NEC＝∠BEM＝30°，∴在Rt△NPE中，NP＝sin∠NEC•NE＝sin30°•＝，∴S△CNE＝CE•NP＝××＝．。

2021年九年级数学中考一轮复习练习题图形的性质——命题、定理、推理与证明时间：100分钟满分：100分一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1. 下列对于命题“有两组边和一组角对应相等的两个三角形全等”的判断不正确的是（）A.该命题的条件是两个三角形有两组边和一组角对应相等B.该命题的逆命题的条件是两个三角形全等C.该命题的逆命题为“全等的两个三角形有两组边和一组角对应相等”D.该命题和它的逆命题都是真命题2. 把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，正确的是（）A.如果同角，那么相等B.如果同角，那么余角相等C.如果同角的余角，那么相等D.如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等3. 下列语句中，不是命题的是（）A.所有的平角都相等B.锐角小于90∘C.两点确定一条直线D.过一点作已知直线的平行线4. 下列命题错误的是（）A. 所有的实数都可用数轴上的点表示B. 等腰三角形底边上的高，中线及顶角平分线互相重合C. 无理数包括正无理数，0，负无理数D. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上5. 下列命题中，属于真命题的是（）A.一个三角形至少有两个内角是锐角B.一个角的补角大于这个角C.内错角相等D.相等的角是对顶角6. 下列命题中：①三角形外角和是360∘，②相等的角是对顶角，③三角形中最多只有两个锐角，④面积相等的两个三角形全等．是假命题的有几个？（）A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知命题“如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数”，则关于该命题和它的逆命题，下列说法正确的是（）A.该命题和它的逆命题都是真命题B.该命题是真命题，它的逆命题是假命题C.该命题是假命题，它的逆命题是真命题D.该命题和它的逆命题都是假命题8. 下列几个命题中正确的个数为（）①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为必然事件（骰子上各面点数依次为1，2，3，4，5，6）；②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们的平均分为95，众数为92；③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中乙较甲更稳定；④某部门15名员工个人年创利润统计表如下，其中有一栏被污渍弄脏看不清数据，所以对于“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”的说法无法判断对错.A.1个B.2个C.3个D.4个9. 图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词A i出现在书B j中时，元素a ij＝1，否则a ij＝0（i，j为正整数）．例如：当关键词A1出现在书B4中时，a14＝1，否则a14＝0．根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A2，A5，A6”的书，则下列相关表述错误的是（）A.当a21+a51+a61＝3时，选择B1这本书B.当a22+a52+a62<3时，不选择B2这本书C.当a2j，a5j，a6j全是1时，选择B j这本书D.只有当a2j+a5j+a6j＝0时，才不能选择B j这本书10. 给出下列六个命题：①互补的两个角必不相等；②三角形的三条高交于一点；③等边三角形有三条对称轴，分别是三个内角的平分线；④“对顶角相等”的逆命题为真命题；⑤“等边对等角”与“等角对等边”是互逆定理；⑥用反证法证明“三角形的三个内角中至多有一个角是钝角”的第一步是“假设三角形的三个内角中至少有一个角是钝角”．其中真命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分）11. 把“三角形全等，对应边相等”写成“如果……那么……”形式________.12. “若xy=1，则x，y互为倒数．”的逆命题是________，是________命题（选填“真”或“假”）．13. 写出命题“对顶角相等”的逆命题：________．14. 描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间（单位：小时）如下：则完成这三件原料的描金工作最少需要________小时．15. 如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，…，依此规律，第n个图案有2019个黑棋子，则n=________．三、解答题（本题共计 6 小题，共计55分）16.(9分) 如图所示，△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D，E，F，C在同一条直线上，有如下三个关系式：①AD=BC；②DE=CF；③BE // AF.(1)请你用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个你认为正确的命题；（用序号写出命题的书写形式，如：如果⊗⊗，那么⊗）(2)证明你写的命题的正确性．17.(9分) 如图，现有以下3个论断：①BD//EC；②∠D=∠C；③∠A=∠F．(1)请以其中两个为条件，另一个为结论构造一个真命题，写成“如果⋯⋯那么⋯⋯”的形式；(2)请你对(1)中构造的真命题进行说理．18.（9分）请判断命题“若三条线段a、b、c满足a+b>c，则这三条线段a、b、c能够组成三角形”的真假性．若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举反例说明．19.(9分) 命题“绝对值相等的两个数互为相反数”．(1)将这一命题改写成“如果⋯⋯，那么⋯⋯”的形式．(2)写出这一命题的题设和结论．(3)判断该命题的真假．20. （9分）判断一个命题是假命题，只要举出一个反例就可以了．例如要判断命题“若|a|=|b|，则a=b”是假命题，可以举如下反例：因为|2|=|−2|，但2≠−2，所以命题“若|a|=|b|，则a=b”是假命题．请你举出一个反例说明命题“如果两个角有一条公共边且和为180∘，那么这两个角互为邻补角”是假命题．（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）21.(10分) 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做神奇四边形．顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．(1)判断：①在平行四边形、矩形、菱形中，一定是神奇四边形的是________；②命题：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，则四边形ABCD是神奇四边形．此命题是________（填“真”或“假”）命题；③神奇四边形的中点四边形是________；(2)如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是神奇四边形；②若AC=2，AB=√5，求GE的长；(3)如图3，四边形ABCD是神奇四边形，若AB=6，CD=√5，AD，BC分别是方程x2−(k+4)x+4k=0的两根，求k的值．参考答案一、选择题1.D【解答】解：由命题的定义可得，该命题的逆命题为“全等的两个三角形有两组边和一组角对应相等”则A,B,C不符合题意，且有两组边和一组角对应相等的两个三角形不一定全等，则D符合题意.故选D.2.D【解答】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．故选D．3.D【解答】解：D不是可以判断真假的陈述句，不是命题；A，B，C均是用语言表达的、可以判断真假的陈述句，都是命题．故选D.4.C【解答】解：A．所有的实数都可用数轴上的点表示，故命题正确；B．等腰三角形底边上的高，中线及顶角平分线互相重合，故命题正确；C．无理数包括正无理数，负无理数，故命题错误；D．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，故命题正确.故选C．5.A【解答】解：A，因为一个三角形如果有两个角不是锐角，三角形的内角和就会超过180∘，所以“一个三角形至少有两个内角是锐角”是真命题，故A正确；B，因为当∠α=120∘时，∠α的补角等于60∘，60∘<120∘，所以“一个角的补角大于这个角”是假命题，故B错误；C，因为只有两直线平行时，内错角才相等，所以“内错角相等”是假命题，故C错误；D，因为对顶角相等，而相等的角不一定符合对顶角的定义，所以“相等的角是对顶角”是假命题，故D错误.故选A.6.C【解答】解：①三角形外角和是360∘，命题是真命题；②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；③锐角三角形中最多有三个锐角，原命题是假命题；④△ABC的中线AD分△ABD和△ACD面积相等，但不一定全等，原命题是假命题.综上所述，②③④是假命题，共有3个．故选C．7.A【解答】解：命题“如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数”为真命题；其逆命题“如果一个数为负数，那么这个数的立方根为负数”也为真命题.故选A.8.A【解答】①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为不可能事件（骰子上各面点数依次为1，2，3，4.5.6），故此选项错误；Q5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们平均分为95，众数为92，故此选项正确；③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中甲较乙更稳定，故此选项错误；④根据某部门15名员工个人年创利润数据，第7个与第8个数据平均数是中位数，故“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”，故此选项错误，故正确的有1个．故选；A．9.D【解答】根据题意a ij的值要么为1，要么为0，A、a21+a51+a61＝3，说明a21＝1，a51＝1，a61＝1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书B1中，而读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A2，A5，A6”的书，故A表述正确；B、当a22+a52+a62<3时，则a22、a52、a62时必有值为0的，即关键词“A2，A5，A6”不同时具有，从而不选择B2这本书，故B表述正确；C、当a2j，a5j，a6j全是1时，则a2j＝1，a5j＝1，a6j＝1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书B j中，则选择B j这本书，故C表述正确；D、根据前述分析可知，只有当a2j+a5j+a6j＝3时，才能选择B j这本书，而a2j+a5j+a6j的值可能为0、1、2、3，故D表述错误，符合题意．10.A【解答】解：①互补的两个角也可以相等，只要两角都等于90∘即可，故①错误；②三角形的三条高所在的直线相交于一点，故②错误；③等边三角形有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线，故③错误；④“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，故④错误；⑤“等边对等角”与“等角对等边”是互逆定理，故⑤正确；⑥用反证法证明“三角形的三个内角中至多有一个角是钝角”的第一步是“假设三角形的三个内角中至少有两个角是钝角”，故⑥错误．综上所述，正确的命题有⑤．故选A．二、填空题11.如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等【解答】解：“三角形全等，对应边相等”改写成“如果……那么……”为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等．故答案为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等．12.若x，y互为倒数，则xy=1,真【解答】解：“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy=1”，是真命题.故答案为：若x，y互为倒数，则xy=1；真.13.“相等的角是对顶角“（或“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”）.【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角“（或“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”）.故答案为：“相等的角是对顶角“（或“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”）.14.54【解答】解：经分析，甲按A、C、B的顺序，完成这三件原料的描金工作用时最少，需要10+15+12+8=47小时.故答案为：47.15.404【解答】解：观察图1有5×1−1=4个黑棋子；图2有5×2−9个黑棋子；图3有5×3−14个黑棋子；图4有5×4−19个黑棋子；图n有5n−1个黑棋子，当5n−1=2019解得：n=404故答案：404.三、解答题16.解：(1)如果①，③，那么②；如果②，③，那么①.(2)对于命题“如果①，③，那么②”证明如下：∵ BE // AF，∵ ∠AFD=∠BEC．∵ AD=BC，∠A=∠B，∵ △ADF≅△BCE(AAS)，∵ DF=CE．∵ DF−EF=CE−EF，即DE=CF；对于命题“如果②，③，那么①”证明如下：∵ BE // AF，∵ ∠AFD=∠BEC．∵ DE=CF，∵ DE+EF=CF+EF，即DF=CE．∵ ∠A=∠B，∵ △ADF≅△BCE(AAS)，∵ AD=BC．17.解：(1)①如果BD//EC，∠D=∠C，那么∠A=∠F；②如果BD//EC，∠A=∠F，那么∠D=∠C；③如果∠A=∠F，∠D=∠C，那么BD//EC；(2)①如果BD//EC，∠D=∠C，那么∠A=∠F，是真命题.理由：∵BD//EC，∴∠ABD=∠C．∵∠D=∠C，∴∠ABD=∠D，∴AC//DF，∴∠A=∠F；②如果BD//EC，∠A=∠F，那么∠D=∠C，是真命题.理由：∵BD//EC，∴∠ABD=∠C．∵∠A=∠F，∴AC//DF，∴∠D=∠ABD，∴∠D=∠C；③如果∠A=∠F，∠D=∠C，那么BD//EC，是真命题.理由：∵∠A=∠F，∴AC//DF，∴∠D=∠ABD．∵∠D=∠C，∴∠ABD=∠C，∴BD//EC．18.解：是假命题，例如：当a=2，b=1，c=1时，满足a+b>c即2+1>1，但a−b=1，且c=1，则不能构成三角形，所以是假命题.19.解：(1)将这个命题改写成“如果⋯⋯，那么⋯⋯”的形式为：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数.(2)题设是两个数的绝对值相等；结论是这两个数互为相反数.(3)该命题是假命题，如：|2|=|2|，而2与2不是互为相反数.20.解：如图所示：∠CAB=60∘，∠DAB=120∘，∠CAB+∠DAB=180∘，且有公共边AB，但∠CAB和∠DAB不是邻补角，所以命题“如果两个角有一条公共边且和为180∘，那么这两个角互为邻补角”是假命题．21.解：(1)①∵菱形的对角线互相垂直，∴菱形是神奇四边形.②∵AB=AD，CB=CD，∴AC是BD的垂直平分线，∴四边形ABCD是神奇四边形.③已知：四边形ABCD是神奇四边形，点E，点F，点G，点H分别是AD，DC，BC，AB的中点，∴EF//AC//HG，BD//EH//FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵ 四边形ABCD是神奇四边形，∴AC⊥BD，又∵EF//AC//HG，BD//EH//FG，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形.故答案为：菱形；真；矩形．(2)①证明：连结CE，BG交于点N，CE交AB于M，∵四边形ACFG是正方形，四边形ABDE是正方形，∴AB=AE，AC=AG，∠CAG=∠BAE=90∘，∴∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，{AB=AE，∠GAB=∠CAE，AC=AG，∴△GAB≅△CAE(SAS)，∴∠AEC=∠ABG.∵∠AEM+AME=90∘，∴∠ABG+∠BMN=90∘，∴∠BNM=90∘，∴CE⊥BG，∴四边形BCGE是神奇四边形；②∵AC=2，AB=√5，∵ BC=√AB2−AC2=1.∵四边形ACFG是正方形，四边形ABDE是正方形，∴CG=2√2，BE=√10.∵GC2=CN2+GN2，BE2=BN2+NE2，BC2=CN2+BN2，GE2=GN2+NE2，∴CG2+BE2=BC2+GE2，∴GE=√17．(3)∵四边形ABCD是神奇四边形，∴同(2)中②的证明方法，可得AD2+BC2=AB2+CD2.∵AB=6，CD=√5，∴AD2+BC2=41.∵AD，BC分别是方程x2−(k+4)x+4k=0的两根，∴AD+BC=k+4，AD⋅BC=4k，∵AD2+BC2=41=(AD+BC)2−2AD⋅BC，∴(k+4)2−8k=41，∴k1=5，k2=−5（不合题意舍去），∴k=5．。

处，∠MO′N绕点，且=时，直接写出线段3、(2017奉贤.中考模拟) 已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，cot∠BAC= ，点D在边BC上（不与点B、C 重合），点E在边BC的延长线上，∠DAE=∠BAC，点F在线段AE上，∠ACF=∠B．设BD=x．（1）若点F恰好是AE的中点，求线段BD的长；（2）若y= ，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△ADE是以AD为腰的等腰三角形时，求线段BD的长．4、(2017全椒.中考模拟) 如图，在正方形ABCD中，点E是AB上一动点（不与点A，B重合），点F在AD上，过点E作EG ⊥EF交BC于点G，连接FG．（1）当BE=AF时，求证：EF=EG（2）若AB=4，AF=1，且设AE=n，①当FG∥AB时，求n的值；5、(2019广州.中考模拟) 如图1，已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在轴负半轴上，直线与轴、轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为平行四边形，且AC=BC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP且∠APB=90°．（1） 求证：∠PAC=∠PBC ；（2） 如图2，点E 在线段BP 上，点F 在线段AP 上，且AF=BE ，∠AEF=45°，求的值；（3） 在（2）的条件下，当PE=BE 时，求点P 的坐标．6、(2019贵港.中考模拟) 如图，两个全等的△ABC 和△DEF 重叠在一起，固定△ABC ，将△DEF 进行如下变换:（1） 如图①，△DEF 沿直线CB 向右平移(即点F 在线段CB 上移动)，连接AF ，AD ，BD ，请直接写出S 与S 的关系.（2） 如图②，当点F 平移到线段BC 的中点时，若四边形AFBD 为正方形，那么△ABC 应满足什么条件?请给出证明.（3） 在(2)的条件下，将△DEF 沿DF 折叠，点E 落在FA 的延长线上的点G 处，连接CG ，请你画出图形，并求出sin ∠CGF 的值.7、(2011南宁.中考真卷)如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，并且BF=CE ，∠B=∠E ．（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使得△ABC ≌△DEF ．（2）添加了条件后，证明△ABC ≌△DEF ．8、(2020西宁.中考模拟) 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 边上的中点，且△ABM ≌△DCM ；E 、F 分别是线段BM 、CM 的中点．（1） 求证：平行四边形ABCD 是矩形．（2）求证：EF 与MN 互相垂直．9、(2020福建.中考真卷) 如图，与 相切于点B ， 交 于点C ， 的延长线交 于点D ， 是 上不与 重合的点， ．△A BC 四边形A FBD（1）求的大小；（2）若的半径为3，点F在的延长线上，且，求证：与相切．10、(2020重庆.中考真卷) 如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；（2）求证：BE＝DF.11、(2020广州.中考真卷) 如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．（1）求证：是的平分线；（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．12、(2020绥化.中考真卷) 如图，在正方形中，，点G在边上，连接，作于点E，于点F，连接、，设，，．（1）求证：；（2）求证：；（3）若点G从点B沿边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边围成的图形的面积．13、(2020株洲.中考真卷) 如图所示，的顶点A在反比例函数的图像上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且．（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；（2）若为等腰直角三角形，，其面积小于3．①求证：；②把称为，两点间的“ZJ距离”，记为，求的值．14、(2020湖南.中考真卷) 如图（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是________；（2）探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．（3）探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．（4）实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．15、(2020哈尔滨.中考真卷) 已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为，过点C作轴，垂足为．（1）如图1，求直线的解析式；（2）如图2，点N在线段上，连接ON，点P在线段ON上，过P点作轴，垂足为D，交OC于点E，若，求的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若，求点P的坐标．备考2021中考数学复习专题：图形的性质_三角形_全等三角形的性质，综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

2021年九年级数学中考一轮复习《图形的性质》能力提升专项训练（附答案）1．如图，△ABC中，D为BC的中点，点E为BA延长线上一点，DF⊥DE交射线AC于点F，连接EF，则BE+CF与EF的大小关系为（）A．BE+CF＜EF B．BE+CF＝EFC．BE+CF＞EF D．以上都有可能2．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，则下列结论错误的是（）A．GF＝AD B．EF＝AC C．GE＝BC D．GE＝GF3．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（）A．小正方形面积为4B．x2+y2＝5C．x2﹣y2＝7D．xy＝244．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE ⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（）A．3B．5C．D．65．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△ADE≌△CDF；④BE+CF＝AE+AF，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④6．如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ 切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（）A．1B．2C．D．7．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当t＝（）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．1或2B．2C．2或3D．2或48．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（）A．169B．196C．392D．5889．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．5B．2.5C．4.8D．2.410．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（）A．2B．4C．4或D．2或11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G 三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为．12．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当＝时，四边形ADFE是平行四边形．13．已知△ABC，AB＝AC，AD⊥BC，点F在AC上，作EF⊥AB，直线EF交AB于E，交BC延长线于G，连接ED，∠GFC＝2∠EDA，DH＝CG＝2，则AF的长为．14．如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，DF⊥AE交AB于点F，交AC于点G，若EG∥AB，且BF＝1，则AF＝．15．在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，与此同时点Q从点C出发，以acm/秒的速度沿CD向点D运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，当a＝时，△ABP与△PQC 全等．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D，E分别在BC，AC上（点D 不与点B重合），且∠ADE＝45°，若△ABD是等腰三角形，则AE＝．17．如图，四边形ABDC为⊙O内接四边形．AB＝AC＝5，CD＝3，BD＝8，则AD＝．18．如图，在线段AB上取一点C，分别以AC，BC为边长作菱形BCFG和菱形ACDE，使点D在边CF上，连接EG，H是EG的中点，且CH＝4，则EG的长是．19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，D是BC边上一动点（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADF，使∠ADF＝∠B，DF交AC于点E．当△CDE为等腰三角形时，则BD的长为．20．如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的面积是cm2．21．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，连接AE、CE．（l）求证：AE＝CE；（2）若AC＝8，BD＝10，求△ACE的面积．22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．（1）求证：∠FGC＝∠AGD．（2）当DG平分∠AGC，∠ADG＝45°，AF＝，求弦DC的长．23．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点．连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD＝AE，∠DAE＝90°．解答下列问题：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，求证：BD＝CE，BD⊥CE．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外），请直接写出你的猜想．24．已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．（1）如图1，求证：HG⊥HE；（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．25．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD．（1）若BC＝AB，求出AD，CD，AB之间的数量关系；（2）若BC＝AB，当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD；（3）若mBC＝AB，∠A＝60°，BC＝2，直接写出AD的长度（用含m的代数式表示）．26．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB．（1）连接AC、BD，求证：AC＝BD；（2）如图2，连接OC、AD相交于点E，求证：∠AEC＝3∠ADC；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，若BE＝2，CE＝3，求⊙O的半径．参考答案1．解：如图，延长ED到T，使得DT＝DE，连接CT，TF．∵DE＝DT，DF⊥ET，∴EF＝TF，在△EDB和△TDC中，，∴△EDB≌△TDC（SAS），∴BE＝CT，∵CT+CF＞FT，∴BE+CF＞EF，故选：C．2．解：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴，，，故选项A，C正确，∵AD＝BC，∴GE＝GF，故选项D正确，∵EF不一定等于AG，故选项B不正确；故选：B．3．解：根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误，∵（x+y）2＝49，∴2xy＝24，故D错误，∴（x﹣y）2＝1，故A错误，∴x2﹣y2＝7，故C正确；故选：C．4．解：连接DE，如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD＝AC＝6，AF⊥CD，∴DF＝CF，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝4，在△ADE和△ACE中，，∴△ADE≌△ACE（SSS），∴∠ADE＝∠ACE＝90°，∴∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3；∴CE＝3；∴BE＝8﹣3＝5．故选：B．5．解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∵∠C＝∠DAE＝45°，在△ADE和△CDF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），故③正确，∴BE＝AF，DE＝DF，∴AE＝CF，△DEF是等腰直角三角形，故①②正确，∴BE+CF＝BE+AE＝AB，AE+AF＝CF+AF＝AC，∵AB＝AC，∴BE+CF＝AE+AF，故④正确，故选：D．6．解：连接PQ、OP，如图，∵直线OQ切⊙P于点Q，∴PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，OQ＝＝，当OP最小时，OQ最小，当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，∴OQ的最小值为＝．故选：C．7．解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，则CF＝BC﹣BF＝（8﹣3t）cm，∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝8﹣3t，解得：t＝2；当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，则CF＝BF﹣BC＝（3t﹣8）cm，∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝3t﹣8，解得：t＝4；综上可得：当t＝2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，故选：D．8．解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，∴小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF2＝142+142＝392，故选：C．9．解：连接AP，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF与AP互相平分，∵M是EF的中点，∴M为AP的中点，∴PM＝AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，∴AP最短时，AP＝4.8，∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．故选：D．10．解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA＝PB时，△APE≌△BQP（SAS），∵AB＝10cm，AE＝6cm，∴BP＝AE＝6cm，AP＝4cm，∴BQ＝AP＝4cm；∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，∴点P和点Q的运动时间为：4÷2＝2s，∴v的值为：4÷2＝2cm/s；②当AP＝BP时，△AEP≌△BQP（SAS），∵AB＝10cm，AE＝6cm，∴AP＝BP＝5cm，BQ＝AE＝6cm，∵5÷2＝2.5s，∴2.5v＝6，∴v＝．故选：D．11．解：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3，∵DM是⊙O的切线，∴DN＝DE＝3，MN＝MG，∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，在R t△DMC中，DM2＝CD2+CM2，∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，∴NM＝，∴DM＝3+＝．故答案为．12．解：当＝时，四边形ADFE是平行四边形．理由：∵＝，∴∠CAB＝30°，∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB＝60°，AE＝AB，∴∠FEA＝30°，又∠BAC＝30°，∴∠FEA＝∠BAC，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；∵∠BAC＝30°，∠DAC＝60°，∴∠DAB＝90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF＝AC＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形．故答案为：．13．解：连接CH、AG，如图所示：∵AD⊥BC，EF⊥AB，∴∠ADG＝∠AEG＝90°，∴A、E、D、G四点共圆，∴∠EDA＝∠AGE，∵∠GFC＝2∠EDA，∴∠GFC＝2∠AGE，又∵∠GFC＝∠AGE+∠CAG，∴∠AGE＝∠CAG，∴AF＝GF，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD+∠B＝90°，∠BGE+∠B＝90°，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BGE，在△AFH和△GFC中，，∴△AFH≌△GFC（ASA），∴HF＝CF，AH＝CG＝2，∵AF＝GF，∴AF+CF＝GF+HF，∴AC＝GH，在△ACD和△GHD中，，∴△ACD≌△GHD（AAS），∴CD＝HD＝2，∴AH＝CG＝DH＝CD＝2，∴点H为AD的中点，点C为DG的中点，∴CH是△ADG的中位线，∴CH＝AG，CH∥AG，∴△HFC∽△GF A，∴＝＝，∴AF＝AC，在Rt△ACD中，AD＝AH+DH＝4，CD＝2，∴AC＝＝＝2，∴AF＝AC＝，故答案为：．14．解：设AE与FG交于点O，如图：∵AE平分∠BAC，∴∠F AE＝∠GAE；∵DF⊥AE，∴∠AOF＝∠AOG＝90°，∴∠AFO＝∠AGO，∴AF＝AG；∵EG∥AB，∴∠GEA＝∠F AE，∵∠F AE＝∠GAE，∴∠GEA＝∠GAE，∴AG＝EG，又∵AF＝AG，∴AF＝EG，∴四边形AFEG为菱形，∴AG＝EG＝AF＝EF，EF∥AC．∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠AFO＝∠CDG，∵∠AFO＝∠AGO，∠CGD＝∠AGO，∴∠CDG＝∠CGD，∴CD＝CG＝AB，设AG＝EG＝AF＝EF＝x（x＞0），∵BF＝1，∴CD＝CG＝AB＝x+1，∵EF∥AC，∴△BFE∽△BAC，∴BF：BA＝EF：AC，∴1：（x+1）＝x：（x+x+1）∴x（x+1）＝2x+1，解得：x1＝（舍），x2＝．故答案为：．15．解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°，有两种情况：①当BP＝CQ，AB＝PC＝6cm时，△ABP≌△PCQ，此时BP＝CQ＝10﹣6＝4（cm），∵点P运动的速度是2cm/s，∴运动的时间是＝2（秒），即2a＝4，解得：a＝2；②当BP＝PC，AB＝CQ＝6cm时，△ABP≌△PQC，此时BP＝PC＝10＝5（cm），∵点P运动的速度是2cm/s，∴运动的时间是2.5秒，即2.5a＝6，解得：a＝2.4；故答案为：2或2.4．16．解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝＝2，由题意点D不与点B重合，分两种情况：①BD＝AD时，∠BAD＝∠B＝45°，如图1所示：∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+45°＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝，∴AD＝BC＝CD，∵∠ADE＝45°，∴∠CDE＝90°﹣45°＝45°＝∠ADE，∴DE平分∠ADC，∴AE＝CE＝AC＝1；②BD＝AB＝2时，如图2所示：∵∠B＝45°，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣45°）＝67.5°，∵∠ADE＝45°，∴∠CDE＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠CED＝180°﹣∠C﹣∠CDE＝67.5°，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD＝BC﹣BD＝2﹣2，∴AE＝AC﹣CE＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2；综上所述，若△ABD是等腰三角形，则AE的长为1或4﹣2，故答案为：1或4﹣2．17．解：如图，过点A作AH⊥BD于H，AG⊥CD于G，AG交线段DC的延长线于G，∵AB＝AC，∴，∴∠ADB＝∠ADG，∴AG＝AH，在Rt△AGC和Rt△AHB中，，∴Rt△AGC≌Rt△AHB（HL），∴CG＝BH，在△AGD和△AHD中，，∴△AGD≌△AHD（AAS），∴DG＝DH，设BH＝x，则CG＝x，∵CD＝3，BD＝8，∴3+x＝8﹣x，∴x＝，∴BH＝，DH＝8﹣＝，由勾股定理得：AH＝＝＝，AD＝＝＝7，故答案为：7．18．解：连接CE、CG，如图所示：∵四边形ACDE与四边形BCFG均是菱形，∴∠DCE＝∠ACD，∠FCG＝∠BCF，∵∠ACD+∠BCF＝180°，∴∠DCE+∠FCG＝（∠ACD+∠BCF）＝×180°＝90°，即∠ECG＝90°，∵H是EG的中点，CH＝4，∴EG＝2CH＝8故答案为：8．19．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，且∠ADE＝∠B，∴∠CDE＝∠BAD，∴△CDE∽△BAD，①当CD＝CE时，如图1，∴BD＝AB＝6；②当DE＝CE时，如图2，过A作AG⊥BC于G，∵△CDE∽△BAD，∴AD＝BD，∵AB＝AC＝6，∴BG＝BC＝4，由勾股定理得：AG＝＝2，设BD＝x，则AD＝x，DG＝x﹣4，在Rt△AGD中，由勾股定理得：AG2+DG2＝AD2，∴（2）2+（x﹣4）2＝x2，∴x＝，∴BD＝，③当DE＝CD时，则AB＝AD，此时D与C重合，不能构建△CDE，此种情况不成立；综上，BD的长是6或．故答案为：6或．20．解：∵F是CE的中点，∴S△ACE＝2S△AEF＝6cm2，∵E是BD的中点，∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，∴S△ACE＝S△ABC，∴△ABC的面积＝12cm2．故答案为：12．21．（1）证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，∴AE＝BD，CE＝BD，∴AE＝CE；（2）解：如图，过点E作EG⊥AC，由（1）知，AE＝CE＝BD，BD＝10，∴AE＝CE＝5．又∵EG⊥AC，∴AG＝CG＝AC．又∵AC＝8，∴AG＝CG＝4．在直角△ABE中，AE＝5，AG＝4，则由勾股定理知：EG＝＝3．∴S＝＝12．22．（1）证明：如图1，连接AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵ADCG在⊙O上，∴∠CGF＝∠ADC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠AGD；（2）解：如图2，连接BG，AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DE＝CE，∵DG平分∠AGC，∴∠AGD＝∠CGD，∵∠FGC＝∠AGD，∴∠AGD＝∠CGD＝∠FGC，∵∠AGD+∠CGD+∠FGC＝180°，∴∠CGF＝∠AGD＝60°，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∴△ADC是等边三角形，∵AB⊥CD，∴∠CAE＝∠DAE＝30°，∵∠ADG＝45°，∴∠CDG＝∠CAG＝60°﹣45°＝15°，∴∠EAF＝30°+15°＝45°，Rt△AEF中，AE＝EF，∵AF＝，∴AE＝EF＝，Rt△ADE中，∠DAE＝30°，∴DE＝1，∴DC＝2DE＝2．23．解：（1）①∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又BA＝CA，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°，CE＝BD，∵∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD．②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立，∵∠DAE＝90°，∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，又AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD；（2）如图丁所示，当∠BCA＝45°时，CE⊥BD．理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC＝AG，∠AGC＝45°，即△ACG是等腰直角三角形，∵∠GAD+∠DAC＝90°＝∠CAE+∠DAC，∴∠GAD＝∠CAE，又∵DA＝EA，∴△GAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠AGD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD．24．证明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°，∵FE⊥HE，∴∠FEH＝90°，∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，∴HG⊥HE；（2）过点M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，过点H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD，∵GM平分∠HGB，∴∠BGM＝∠HGM＝∠BGH，∵EM平分∠HED，∴∠HEM＝∠DEM＝∠HED，∵MQ∥AB，∴∠BGM＝∠GMQ，∵MQ∥CD，∴∠QME＝∠MED，∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，∵HP∥AB，∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，∵HP∥CD，∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），∴∠GHE＝∠2GME；（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠AFE＝180°﹣10x，∵FK平分∠AFE，∴∠AFK＝∠KFE＝∠AFE，即，解得：x＝5°，∴∠BGH＝10x＝50°，∵HP∥AB，HP∥CD，∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，∵∠GHE＝90°，∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，∴∠HED＝40°．25．解：（1）2AB2＝AD2+CD2．证明：连接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵BC＝AB，∴AB2+BC2＝2AB2，∴AC2＝2AB2，∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∴AD2+CD2＝2AB2；（2）过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四边形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE与△CBF中，，∴△BAE≌△CBF（AAS），∴AE＝BF．∴BE＝BF+EF＝AE+CD．（3）m+．延长DC，AB交于点E，∵∠D＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°，∵∠ABC＝90°BC＝2，∴∠CBE＝90°，∴CE＝4，∴BE＝＝＝2，∵AB＝mBC，∴AB＝2m，∴AE＝AB+BE＝2m+2，∴AD＝＝m+．26．解：（1）连接BC，如图1，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠ABC，∴AC＝BD；（2）∵CD∥AB．∴∠OCD＝∠AOC，∵∠AOC和∠ADC所对的弧是，∴∠AOC＝2∠ACD，∴∠ECD＝2∠EDC，∵∠AEC＝∠ECD+∠EDC，∴∠AEC＝3∠ADC；（3）连接BD，延长CO与⊙O交于点F，连接AF，设OE＝x，则OA＝OB＝OC＝x+3，EF＝2x+3，∵CD∥AO，∴，即，∴DE＝•AE，AD＝•AE，∵∠EAF＝∠ECD，∠EDC＝∠EF A，∴△AEF∽△CED，∴，即，∴，∴AE2＝x（2x+3），∴，，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB2﹣AD2＝BD2＝BE2﹣DE2，即，化简得，2x2+9x﹣26＝0，解得，x＝2，或x＝﹣6.5（舍），∴OA＝OB＝x+3＝5，即⊙O的半径为5。

2021中考数学总复习第四章《图形的性质》综合测试卷（含答案）班级：姓名：得分：一．选择题（共14小题）1．（2020•济南）如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（）A．35°B．45°C．55°D．70°2．（2020•西宁）如图，P A，PB与⊙O分别相切于点A，B，P A＝2，∠P＝60°，则AB＝（）A．B．2C．D．33．（2020•鞍山）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC，若∠ABC＝54°，则∠1的度数为（）A．36°B．54°C．72°D．73°4．（2020•巴中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE ＝5，则AC的长为（）A．9B．8C．6D．75．（2020•贵港）下列命题中真命题是（）A．的算术平方根是2B．数据2，0，3，2，3的方差是C．正六边形的内角和为360°D．对角线互相垂直的四边形是菱形6．（2020•陕西）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足为E，DE与AC交于点F，则sin∠DFC的值为（）A．B．C．D．7．（2020•日照）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，AE ＝9，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．12π﹣9C．3π﹣D．98．（2020•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（）A．B．3C．4D．59．（2020•西藏）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣B．π﹣2C．π﹣D．π﹣210．（2020•赤峰）如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B（﹣4，0），交y轴于点C（0，3），点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（）A．B．﹣C．D．11．（2020•贵港）如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF ＝50°，ED与BF的延长线交于点M．则对于以下结论：①∠BME＝30°；②△ADE≌△ABE；③EM＝BC；④AE+BM＝EM．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（2020•赤峰）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2B．3C．4D．513．（2020•盘锦）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为线段OB上的一点，OE：EB＝1：，连接DE并延长交CB的延长线于点F，连接OF交⊙O于点G，若BF＝2，则的长是（）A．B．C．D．14．（2020•朝阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC边上，且CE＝2BE，连接AE交BD于点G，过点B作BF⊥AE于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作OP⊥OF交DC于点N，S四边形MONC＝，现给出下列结论：①；②sin∠BOF＝；③OF＝；④OG＝BG；其中正确的结论有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④二．填空题（共7小题）15．（2020•哈尔滨）一个扇形的面积是13πcm2，半径是6cm，则此扇形的圆心角是度．16．（2020•广西）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为．17．（2020•日照）如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是．18．（2020•黄冈）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝度．19．（2020•贵港）如图，在扇形OAB中，点C在上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC 于点D，连接AC，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为．20．（2020•宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为．21．（2020•东营）如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB 边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为．三．解答题（共8小题）22．（2020•西宁）如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD 于点F．（1）求证：△ABE≌△CBE；（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．23．（2020•广安）如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE，连接DE，BF．求证：DE∥BF．24．（2020•陕西）如图，直线AM与⊙O相切于点A，弦BC∥AM，连接BO并延长，交⊙O于点E，交AM于点F，连接CE并延长，交AM于点D．（1）求证：CE∥OA；（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求AF的长．25．（2020•大连）四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝CD．（1）如图1，求证∠ABC＝2∠ACD；（2）过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P（如图2）．若tan∠CAB＝，BC＝1，求PD的长．26．（2020•临沂）已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．（1）求证：BC是⊙O2的切线；（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．27．（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE＝，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．28．（2020•贵港）已知：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，P是BC边上的一个动点，将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为EF．（1）如图1，当点P与点C重合时，则线段EB＝，EF＝；（2）如图2，当点P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长PO与GF的延长线交于点M，连接PF，ME，MA．①求证：四边形MEPF是平行四边形；②当tan∠MAD＝时，求四边形MEPF的面积．29．（2020•深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG 仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．参考答案一．选择题（共14小题）1．C；2．B；3．C；4．B；5．B；6．D；7．A；8．D；9．D；10．A；11．D；12．B；13．C；14．D；二．填空题（共7小题）15．130；16．9；17．25°；18．30；19．1+﹣π；20．27；21．2；三．解答题（共8小题）22．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）；（2）∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，又∵∠AEC＝140°，∴∠CEB＝70°，∵∠DEC+∠CEB＝180°，∴∠DEC＝180°﹣∠CEB＝110°，∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，∴∠DFE＝∠DEC﹣∠ADB＝110°﹣45°＝65°．23．证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAF＝∠DCE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴∠DEF＝∠BF A，∴ED∥BF．24．（1）证明：∵BE是⊙O的直径，∴CE⊥BC，∵BC∥AM，∴CD⊥AM，∵AM是⊙O的切线，∴OA⊥AM，∴CE∥OA；（2）解：∵⊙O的半径R＝13，∴OA＝13，BE＝26，∵BC＝24，∴CE＝＝10，∵BC∥AM，∴∠B＝∠AFO，∵∠C＝∠A＝90°，∴△BCE∽△F AO，∴，∴，∴AF＝．25．（1）证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠ACD，∴∠ADC+2∠ACD＝180°，又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝2∠ACD；（2）解：连接OD交AC于点E，∵PD是⊙O的切线，∴OD⊥DP，∴∠ODP＝90°，又∵＝，∴OD⊥AC，AE＝EC，∴∠DEC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ECP＝90°，∴四边形DECP为矩形，∴DP＝EC，∵tan∠CAB＝，BC＝1，∴，∴AC＝，∴EC＝AC＝，∴DP＝．26．（1）证明：连接AP，∵以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，∴O1P＝AP＝O2P＝，∴∠O1AO2＝90°，∵BC∥O2A，∴∠O1BC＝∠O1AO2＝90°，过点O2作O2D⊥BC交BC的延长线于点D，∴四边形ABDO2是矩形，∴AB＝O2D，∵O1A＝r1+r2，∴O2D＝r2，∴BC是⊙O2的切线；（2）解：∵r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，∴O1A＝，∴∠AO2C＝30°，∵BC∥O2A，∴∠BCE＝AO2C＝30°，∴O1C＝2O1B＝4，∴BC＝＝＝2，∴S 阴影＝＝＝﹣＝2﹣π．27．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF＝，∴EF＝2OE＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．28．解：（1）∵将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，∴AE＝CE，∠AEF＝∠CEF，∵CE2＝BE2+BC2，∴（6﹣BE）2＝BE2+12，∴BE＝2，∴CE＝4，∵cos∠CEB＝＝，∴∠CEB＝60°，∴∠AEF＝∠FEC＝60°，∵AB∥DC，∴∠AEF＝∠CFE＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝CE＝4，故答案为：2，4；（2）①∵将矩形ABCD折叠，∴FG∥EP，∴∠MFO＝∠PEO，∵点O是EF的中点，∴EO＝FO，又∵∠EOP＝∠FOM，∴△EOP≌△FOM（AAS），∴FM＝PE，又∵MF∥PE，∴四边形MEPF是平行四边形；②如图2，连接AP交EF于H，∵将矩形ABCD折叠，∴AE＝EP，∠AEF＝∠PEF，∠G＝∠D＝90°，AD＝PG＝2，∴EF⊥P A，PH＝AH，∵四边形MEPF是平行四边形，∴MO＝OP，∴MA∥EF，∴∠MAP＝∠FHP＝90°，∴∠MAP＝∠DAB＝90°，∴∠MAD＝∠P AB，∴tan∠MAD＝tan∠P AB＝＝，∴PB＝AB＝×6＝2，∵PE2＝BE2+BP2，∴（6﹣BE）2＝BE2+4，∴BE＝，∴PE＝6﹣BE＝，∴四边形MEPF的面积＝PE×PG＝＝．29．（1）证明：∵四边形AEFG为正方形，∴AE＝AG，∠EAG＝90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠EAB＝∠GAD，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴BE＝DG；（2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，理由如下：∵∠EAG＝∠BAD，∴∠EAB＝∠GAD，又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，∴AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴BE＝DG；（3）解：方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，过点G作GN⊥AB交AB于点N，由题意知，AE＝4，AB＝8，∵＝，∴AG＝6，AD＝12，∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN，∴△AME∽△ANG，设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，∴ED2＝（2a）2+（12+2b）2＝4a2+144+48b+4b2，GB2＝（3a）2+（8﹣3b）2＝9a2+64﹣48b+9b2，∴ED2+GB2＝13（a2+b2）+208＝13×4+208＝260．方法二：如图2，设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P，∵，AE＝4，AB＝8∴AG＝6，AD＝12．∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAB＝∠GAD，∵，∴△EAB∽△GAD，∴∠BEA＝∠AGD，∴A，E，G，Q四点共圆，∴∠GQP＝∠P AE＝90°，∴GD⊥EB，连接EG，BD，∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2，∴EG2+BD2＝42+62+82+122＝260．。

亲爱的同学，“又是一年芳草绿，依旧十里杏花红”。

当春风又绿万水千山的时候，我们胜利地完成了数学世界的又一次阶段性巡游。

今天，让我们满怀信心地面对这张试卷，细心地阅读、认真地思考，大胆地写下自己的理解，盘点之前所学的收获。

江苏省2021届初三数学一轮复习—图形的性质专题训练一、单选题1．△ABC 的三边长度分别是a 、b 、c ，能说明△ABC 是直角三角形的是（ ）A ．13a =，14b =，15c =B ．a =2b =，c =C ．∠A ：∠B ：∠C =3：4：5D ．（b +c ）（b -c ）=a 22．一个等腰三角形的底边长为5，一条腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3，则这个等腰三角形的腰长为( )A ．2B ．8C ．2或8D ．103．由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ）A ．∠ A 十∠B=∠CB ．a=5，b=12，c=13C ．2()()c b c b a +-=D ．13a =，14b =，15c = 4．己知方程x 2－7x ＋12＝0的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三角形的外接圆的直径为（ ）A ．2.5B ．6C ．5D ．1255．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF ＝4：25，求DE ：DC 的值为（ ）A．4：25B．2：5C．2：7D．4：296．一等腰三角形的周长是32，底边上的高是8，则三角形的面积是（）A．56B．48C．40D．327．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（，A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点8．下列命题中，真命题的是（）A．平分弦的直径垂直于弦；B．任意三个点确定一个圆；C．相等的圆心角所对的弧相等D．90°的圆周角所对的弦是直径；9．如图，在Rt，ABC中，，BAC＝90°，AB＝AC，BF平分，ABC，过点C作CF，BF于F点，过A作AD，BF于D点．AC与BF交于E点，下列四个结论：，BE＝2CF；，AD＝DF；，AD＋DE=12BE；，AB＋BC＝2AE．其中正确结论的序号是（）A．只有，，，B．只有，，C．只有，，，D．只有，，10．如图，在平面直角坐标系中，Q，3，4，，P是在以Q为圆心，2为半径的，Q上一动点，设P点的横坐标为x，A，1，0，，B，-1，0），连接P A，PB，则P A2+PB2的最大值是A ．64B ．98C ．100D ．124二、填空题 11．已知点(3,4)A --和(2,1)B -，在y 轴上一点P ，PA PB +的和最小，P 坐标为___________． 12．如图，半径为10的扇形AOB 中，∠AOB=90°，C 为AB 上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．若∠CDE=36°，则图中阴影部分的面积为____．13．如图所示，以ABC ∆的三边为边长分别向外作正方形，正方形的面积分别记为1S ，2S ，3S ．如果123S S S +=，那么ABC ∆的形状是______．14．如图，已知，ABC 中，，ABC=45°，AD 与BE 为△ABC 的高，交点为F ，CD=4，则线DF=___________．15．小明用一张扇形纸片做一个圆锥的侧面，已知该扇形的半径是10cm ，弧长是12πcm 2，那么这个圆锥的高是________cm．16．如图，在ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N.若222+=，则BM CN MN∠BAC=________°．17．如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为_____________cm．三、解答题18．如图，直线EF与⊙O相切于点C，点A为⊙O上异于点C的一动点，⊙O的半径为4，AB⊥EF于点B，设∠ACF ＝α（0°＜α＜180°）．（1）如图1，若α＝45°，求证：四边形OCBA为正方形；（2）当AC＝4时，求α的度数．（3）若AC－AB＝1，求AC的长．19．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A，C重合，若其长BC为9，宽AB为3．（1）求证：AE = AF；（2）求EF的长．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋ax＋b经过点A（－2，0），B（－1，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C，连接OB、OC、BC，直接写出，BOC的面积．21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，动点E在边BC上，与点B、C不重合，过点A作DE的垂线，交直线CD于点F．设DF＝x，EC＝y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若点F在线段CD上，当CF＝3时，求EC的长；△∽△时，求DF的长．（3）若直线AF与线段BC延长线交于点G，当DEB GFD22．（1）如图1，已知120EOF ∠=，OM 平分EOF ∠，A 是OM 上一点，60BAC ∠=，且与OF 、OE 分别相交于点B 、C ，求证：AB AC =；（2）如图2，在如上的（1）中，当BAC ∠绕点A 逆时针旋转使得点B 落在OF 的反向延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，已知60AOC BOC BAC ∠=∠=∠=，求证：①ABC ∆是等边三角形；②OC OA OB =+．参考答案1．D【详解】解：A、∵a2+b2=19+116=25144，c2=125，∴a2+b2≠c2，故A选项错误；B、∵a2+b2=222+=3+4=7，c2=2=5，∴a2+b2≠c2，故B选项错误；C、∵设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，∴3x+4x+5x==180°，∴x=15°，∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故C选项错误；D、∵（b+c）（b-c）=a2，∴b2-c2=a2，∴b2=a2+c2，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形，故D选项正确；故选：D．2．B【详解】设腰长为2x，根据一腰上的中线把它的周长分成的两部分的差为2可得，（2x+x）-（5+x）=3或（5+x）-（2x+x）=3，解得：x=4，x=1，∴2x=8或2，①三角形ABC三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理；②三角形ABC三边是2、2、5，不符合三角形三边关系定理.故选B3．D经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

2021年九年级数学中考一轮复习《几何图形的性质》专题突破训练（附答案）1．如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上.若AB=1，AD=2，则三角形BCE的面积为（）A. B. C. D.2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF ⊥ED，连结DF，M为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（）5 C．210 D．42A．5 B．23．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的小值是（）A. B. 6 C. D. 44．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，点D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（）A．2 B．3 C．5 D．35．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H．若BC = 6，AH = 4，则⊙O的半径为（）A．5 B．1313．5．56．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为A．4 B．6 C． D．7．如图，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（4，0）两点，OA=3，点P是y轴上的一个动点，PD切⊙O于点D，则PD的最小值是．8．如图，经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，4）两点，点C是OB 上一点，且BC=2，则AC=_________．9．如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，点，分别为，的中点，连接，则长度的最大值为__________．10．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是1，则六边形的周长是_________．11．已知∠AOB=30°，点P 、Q 分别是边OA 、OB 上的定点，OP=3，OQ=4，点M 、N 是分别是边OA 、OB 上的动点，则折线P-N -M -Q 长度的最小值是___________.12．如图，△ABC 中，AC 、BC 上的中线交于点O ，且BE ⊥AD ．若BD=10，BO=8，则AO的长为 ．13．如图，在梯形ABCD 中，45C ∠=°，90BAD B ∠=∠=°，3AD =，22CD =，M为BC 上一动点，则AMD △周长的最小值为 ．M DCB A14．一个圆锥的母线长为4，侧面积为12π，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．15．如图正三角形ABC 边长为2，G F E ,,分别是CA BC AB ,,上的点，且CG BF AE ==，设EFG ∆的面积为y ，AE 的长为x ，则y 的最小值为_____________。