教学案例等腰三角形中的分类计算问题(习题课)

专题14图形中的等腰三⾓形分类讨论（解析版）专题14 图形中的等腰三⾓形分类讨论教学重难点1.理解等腰三⾓形的性质和判定定理；2.能⽤等腰三⾓形的判定定理进⾏相关计算和证明；3.初步体会等腰三⾓形中的分类讨论思想；4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三⾓形；5.培养学⽣进⾏独⽴思考，提⾼独⽴解决问题的能⼒。

【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学⽣回顾学过的等腰三⾓形的性质，可以在⿊板上举例让学⽣画图；2再根据第2个图引导学⽣总结出题⽬中经常出现的⼀些等腰三⾓形的题型；3.和学⽣⼀起分析⼆次函数背景下等腰三⾓形的基本考点，为后⾯的例题讲解做好铺垫。

建议时间5分钟左右。

等腰三⾓形的性质：等腰三⾓形常见题型分类：函数背景下的等腰三⾓形的考点分析：1.求解相应函数的解析式；2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；3.根据点的位置进⾏等腰三⾓形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两⼤类；4.根据点的位置和形成的等腰三⾓形⽴等式求解。

【备注】：1.以下每题教法建议，请⽼师根据学⽣实际情况参考；2.在讲解时：不宜采⽤灌输的⽅法，应采⽤启发、诱导的策略，并在读题时引导学⽣发现⼀些题⽬中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学⽣在复杂的背景下⾃⼰发现、领悟题⽬的意思；3.可以根据各题的“参考教法”引导学⽣逐步解题，并采⽤讲练结合；注意边讲解边让学⽣计算，加强师⽣之间的互动性，让学⽣参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“教法指导”中的问题引导学⽣分析题⽬，边讲边让学⽣书写，每个问题后⾯有答案提⽰；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类⽐式引导等等；6.部分例题可以先让学⽣⾃⼰试⼀试，之后再结合学⽣做的情况讲评；7.每个题⽬的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间⾜够的情况下讲解。

1.（2019青浦⼆模）如图1，已知扇形MON的半径为，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂⾜为点D，C为线段OD上⼀点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y.（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM=AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC为等腰三⾓形时，求x的值.整体分析：（1）先判断出∠ABM=∠DOM，进⽽判断出△OAC≌△BAM，即可得出结论；（2）先判断出BD=DM，进⽽得出，进⽽得出AE=，再判断出，即可得出结论；（3）分三种情况利⽤勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．详解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°．∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM．∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△BAM，∴AC=AM．（2）如图2，过点D作DE∥AB，交OM于点E．∵OB=OM，OD⊥BM，∴BD=DM．∵DE∥AB，∴，∴AE=EM．∵OM=，∴AE=．∵DE∥AB，∴，∴．（）（3）（i）当OA=OC时．∵．在Rt△ODM中，．∵．解得，或（舍）．（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此种情况不存在．（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．即：当△OAC为等腰三⾓形时，x的值为．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三⾓形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三⾓形的性质，建⽴y关于x 的函数关系式是解答本题的关键．图形背景下等腰三⾓形分类讨论的解题⽅法和策略：1.先寻找题⽬中的条件：相等的⾓、相等的边、相似的三⾓形等；2.根据题⽬中的条件求解相关线段的长度；3.等腰三⾓形讨论中，分三步⾛：分类、画图、计算；4.等腰讨论中，当不能直接利⽤边长相等求解时，⼀般情况下通过“画底边上的⾼”辅助线结合三⾓⽐计算求解；5.注意点的位置取舍答案；6.根据题⽬条件，注意快速、正确画图，⽤好数形结合思想；7.利⽤⼏何定理和性质或者代数⽅法建⽴⽅程求解都是常⽤⽅法。

《等腰三角形》习题课2【学习目标】：相关习题【重点难点】：等腰三角形判断及性质【学法指导】：小组合作【知识链接】：等腰三角形性质，轴对称【学习过程】：一、填空题1．等腰三角形的判定定理是_________________________________________________．2．ΔABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，AB＝5cm，则AC＝______．3．如图6－1，AE∥BC，∠1＝∠2，若AB＝4cm，则AC＝____________．4．如图6－2，∠A＝∠B，∠C＋∠CDE＝180°，若DE＝2cm，则AD＝____________．图6－1 图6－2 图6－3 图6－45．如图6－3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，若CD＝1.8cm，则BC＝______．6．如图6－4，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______．7．ΔABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于E，DE＝7cm，AE＝5cm，则AC＝______．8．ΔABC中，AB＝AC，BD是角平分线，若∠A＝36°，则图中有______个等腰三角形．9．判断下列命题的真假：（1）有两个内角分别是70°、40°的三角形是等腰三角形．（）（2）平行于等腰三角形一边的直线所截得的三角形仍是等腰三角形．（）（3）有两个内角不等的三角形不是等腰三角形．（）（4）如果一个三角形有不在同一顶点处的两个外角相等，那么这个三角形是等腰三角形．（）综合、运用、诊断一、解答题10．已知：如图6－5，ΔABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．图6－511．已知：如图6－6，ΔABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，ED⊥BC．求证：AE＝AF.图6－612．已知：如图6－7，ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD于E，交AC于F.求证：CE＝CF．图6－713．如图6－8，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．图6－8拓展、探究、思考14．如图6－9，若A、B是平面上的定点，在平面上找一点C，使ΔABC构成等腰直角三角形，问这样的C点有几个？并在图6－9中画出C点的位置．图6－915．如图6－10，对于顶角∠A为36°的等腰ΔABC，请设计出三种不同的分法，将ΔABC分割为三个三角形，并且使每个三角形都是等腰三角形．图6－10【学习反思】：。

13.3.1 等腰三角形综合运用（等腰三角形性质典型例题）教案人教版八年级数学上册教学目标：1.通过典型例题讲解学习，充分掌握运用等腰三角形的性质，灵活运用知识点。

2.掌握了解分类讨论的解题思想，在运用中还要进行适当的检验。

利用三角形内角和180°，三角形三边关系来检验。

3.通过学习激发学生的求知欲，在解决过程中的到成就感，增强学生对数学的学习兴趣。

教学重点：掌握分类讨论的数学解题思想，并学会检验。

教学难点：掌握分类讨论的数学解题思想，并学会检验。

灵活的运用。

教具：多媒体一体机，PPT演示文稿。

教学过程：一、复习引入：等腰三角形的边和角分别分为哪两类？边：腰、底边角：顶角、底角本节课讲解一些典型例题二、PPT 展示例题1例1.等腰三角形的周长为50 cm，一条边长是12 cm，求另两条边长。

问：已知边长是底边还是腰？不确定的话，我们应该怎么做？对已知条件进行分类讨论并且要检验。

问：当等腰三角形腰为12cm时，怎么求另外两边长？当等腰三角形底边为12cm时，怎么求另外两边长？学生思考讨论。

师生一起解题。

解：当腰长为12 cm时，设底边长为xcm，由题意得：x＋2×12＝50x＝26.此时三边分别是12、12、26，不符合三角形三边关系，故舍去。

当底边长为12 cm时，设腰长为ycm，由题意得：2y＋12＝50y＝19∴该三角形另外两边长分别19cm,19cm.三、课堂小结通过这道题学到哪些知识？如果边换成角，又该怎么去分类讨论和检验？四、课后练习1.已知等腰三角形两边分别为4,8，则该等腰三角形的周长为2.已知等腰三角形的一个外角是40°，则该等腰三角形另外两个角的度数为。

3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.若AB=6,CD=4,则△ABC 的周长是.4.已知等腰三角形周长为40，一边长为10，则该三角形另外两边分别是答案解析：1. 20 2.20°，20° 3.20 4.15，15五：板书设计等腰三角形：边：腰、底边角：顶角、底角分类讨论并检验。

专题2.2 等腰三角形分类讨论问题综合应用（五大类型）【题型1 腰和底不明时需分类】【题型2 顶角和底角不明时需讨论】【题型3 涉及中线、高位置的讨论】【题型4 等腰三角形个数的讨论】【题型5 动点引起的分类】【题型1 腰和底不明时需分类】【典例1】等腰三角形周长为15cm，其中一边长为3cm，则该三角形的底边长为（ ）A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或9cm 【答案】A【解答】解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为3cm时，则另一腰也为3cm，底边为15﹣2×3＝9cm，边长分别为3cm，3cm，9cm，不能构成三角形；（2）当底边长为3cm时，腰的长＝（15﹣3）÷2＝6cm，∴边长为6cm，6cm，3cm，能构成三角形．故选：A．【变式1-1】已知等腰三角形的两边长分别为2cm，4cm，那么它的周长是（ ）A．6cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm 【答案】C【解答】解：等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，当腰长是4cm时，则三角形的三边是2cm，2cm，4cm，2cm+2cm＝4cm不满足三角形的三边关系；当腰长是4cm时，三角形的三边是4cm，4cm，2cm，三角形的周长是10cm．故选：C．【变式1-2】已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，那么它的周长为（ ）A．17cm B．13cmC．13cm或者17cm D．以上答案都不对【答案】A【解答】解：（1）当7cm是底边时，3+3＜7，不能构成三角形；（2）当3cm是底边时，可以构成三角形，周长＝7+7+3＝17cm．故选：A．【变式1-3】等腰三角形的两边长分别为3和7，则周长为（ ）A．13B．17C．13或17D．17或11【答案】B【解答】解：当7为腰时，周长＝7+7+3＝17；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17．故选：B【题型2 顶角和底角不明时需讨论】【典例2】已知等腰三角形一个内角等于50°，则它的顶角度数为（ ）A．50°B．80°C．50°或80°D．100°【答案】C【解答】解：①顶角为50°；②当底角是50°时，顶角为：180°﹣2×50°＝80°．故选：C．【变式2-1】已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝50°，则△ABC的顶角度数是（ ）A．50°B．50°或80°C．80°D．50°或65°【答案】B【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是50°；当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×50°＝80°；综上，△ABC的顶角度数是50°或80°．故选：B．【变式2-3】等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（ ）A．55°B．70°C．70°或55°D．70°或40°【答案】C【解答】解：当它的顶角为70°时，它的顶角度数为：（180°﹣70°）÷2＝55°；当它的底角为70°时，它的顶角度数为：180°﹣2×70°＝40°；∴它的底角度数是55°或70°．故选：C．【变式2-4】等腰三角形的一个内角是70°，则它底角的度数是（ ）A．70°B．70°或40°C．70°或55°D．55°【答案】C【解答】解：∵等腰三角形的一个内角为70°，若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°；若这个角为底角，则另一个底角也为70°，∴其一个底角的度数是55°或70°．故选：C．【变式2-5】若等腰三角形的底角是顶角的2倍，则这个等腰三角形的底角的度数是（ ）A．36°B．72°C．36°或72°D．无法确定的【答案】B【解答】解：设顶角为x度，则底角为2x度，则：x+2x+2x＝180，解得：x＝36，∴2x＝72，故选：B．【题型3 涉及中线、高位置的讨论】【典例3】若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，则一个底角为　67.5°或22.5°　．【答案】见试题解答内容【解答】解：有两种情况；（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB＝90°，已知∠ABD＝45°，∴∠A＝90°﹣45°＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°；（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE＝90°，已知∠HFE＝45°，∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠G，＝×（180°﹣135°），＝22.5°，∴等腰三角形的底角是67.5°或22.5°．故答案为：67.5°或22.5°．【变式3-1】若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为　60°或120°　．【答案】60°或120°．【解答】解：如图，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝30°，∴∠A＝60°，即顶角的度数为60°．如图，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA＝30°，∴∠BAD＝60°，∴∠BAC＝120°．故答案为：60°或120°．【变式3-2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是46°，则它的底角度数是　68°或22°　．【答案】68°或22°．【解答】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠ABD＝46°，∴∠A＝90°﹣46°＝44°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣44°）＝68°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB＝90°﹣46°＝44°，∴∠BAC＝180°﹣44°＝136°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣136°）＝22°；综上所述：等腰三角形底角的度数为68°或22°．故答案为：68°或22°．【变式3-3】等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，这个三角形的各个内角的度数为　57.5°、57.5°、65°或65°、65°、50°或32.5°、32.5°、115°．　．【答案】57.5°、57.5°、65°或65°、65°、50°或32.5°、32.5°、115°．【解答】解：△ABC为锐角三角形，当高与另一腰的夹角为25°时，如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABD＝25°，∴∠A＝90°﹣25°＝65°，∠ABC＝∠C，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝∠C＝＝57.5°，即三角形的各个内角的度数分别为57.5°、57.5°、65°；当高与另一腰的夹角为25°时，如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝25°，∴∠ABC＝∠C＝90°﹣25°＝65°，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣65°﹣65°＝50°，即三角形的各个内角的度数分别为65°、65°、50°；△ABC为钝角三角形，当高与另一腰的夹角为25°时如图，AB＝AC，∠ABD ＝25°，∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°，∠ABC＝∠C，∴∠BAC＝180°﹣∠BAD＝115°，∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝∠C＝．即三角形的各个内角的度数分别为32.5°、32.5°、115°．综上，三角形的各个内角的度数分别为57.5°、57.5°、65°或65°、65°、50°或32.5°、32.5°、115°．故答案为：57.5°、57.5°、65°或65°、65°、50°或32.5°、32.5°、115°．【题型4 等腰三角形个数的讨论】【典例4】（2021秋•越秀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B 分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（ ）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解答】解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．综上所述：符合条件的点P共有6个．故选：B．【变式4-1】如图，在3×3的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C是图中的格点，且△ABC是等腰三角形，则点C的个数是（ ）A．4B．8C．10D．12【答案】B【解答】解：如图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：B．【变式4-2】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）A．4个B．5个C．8个D．9个【答案】D【解答】解：如图所示，使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是9个．故选：D．【变式4-3】如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，并且△ABC是等腰三角形，若点C也在格点上，则点C的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：如图所示：故选：C．【题型5 动点引起的分类】【典例5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M 从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°，∵AB＝10cm，∴AM＝AB﹣BM＝10﹣2t，AN＝t；（2）∵△AMN是以MN为底的等腰三角形，∴AM＝AN，即10﹣2t＝t，∴当t＝时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形；（3）当MN⊥AC时，MN∥BC．∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°∵MN∥BC，∴∠NMA＝30°∴AN＝AM，∴t＝（10﹣2t），解得t＝，∴当t＝时，MN∥BC，CN＝5﹣×1＝．【变式5-1】如图，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当△CMN是以MN 为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（ ）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【答案】D【解答】解：设运动的时间为x秒，在△ABC中，BC＝20cm，AC＝18cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm 的速度向点B运动，当△CMN是等腰三角形时，CM＝CN，CM＝18﹣2x，CN＝1.6x即18﹣2x＝1.6x，解得x＝5．∴CM＝CN＝8（cm），故选：D．【变式5-2】如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（ ）A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s【答案】D【解答】解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，解得x＝4．故选：D．【变式5-3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB 的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为　4或6　厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．【答案】见试题解答内容【解答】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点，∴BD＝12厘米，∵∠ABC＝∠ACB，∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，解得：x＝1或x＝2，x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4；x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6；即点Q的运动速度是4或6，故答案为：4或6【变式5-4】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．（1）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．（2）若DC＝2，求证：△ABD≌△DCE．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝50°，∠ADE＝50°，∴∠BDA+∠EDC＝∠CED+∠EDC＝130°，∴∠BDA＝∠CED，∵点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），∴AD≠AE，ⅰ）如图所示，当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝50°，∴∠BDA＝∠CED＝50°+50°＝100°；ⅱ）如图所示，当DA＝DE时，∠EAD＝∠AED＝65°，∴∠BDA＝∠CED＝65°+50°＝115°；（2）由（1）可得∠BDA＝∠CED，又∵∠B＝∠C＝50°，AB＝DC＝2，∴在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）．【变式5-5】如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP＝2，∵∠C＝90°，∴PB＝＝（cm），∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5+＝（7）cm．（2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；②若P在AB边上时，有三种情况：i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD＝＝＝1.8（cm），所以BP＝2PD＝3.6cm，所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm，则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t+2t﹣3＝3，∴t＝2；如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t﹣4+2t﹣8＝6，∴t＝6，∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．【变式5-6】如图：（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想．（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）AR＝AQ，理由如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵RP⊥BC，∴∠B+∠BQP＝∠C+∠PRC＝90°，∴∠BQP＝∠PRC．∵∠BQP＝∠AQR，∴∠PRC＝∠AQR，∴AR＝AQ；（2）猜想仍然成立．证明如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∵∠ABC＝∠PBQ，∴∠PBQ＝∠C，∵RP⊥BC，∴∠PBQ+∠BQP＝∠C+∠PRC＝90°，∴∠BQP＝∠PRC，∴AR＝AQ．【变式5-7】已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．动点P从点A 出发沿A﹣B﹣C的方向以每秒2个单位的速度运动．设P的运动时间为t （秒）．（1）请直接用含t的代数式表示①当点P在AB上时，BP＝　10﹣2t　；②当点P在BC上时，BP＝　2t﹣10　；（2）求△BPC为等腰三角形的t值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝10，①当点P在AB上时，BP＝10﹣2t；②当点P在BC上时，BP＝2t﹣10；故答案为：10﹣2t，2t﹣10；（2）①如图1，当BP＝BC时，则10﹣2t＝6，∴t＝2，②如备用图（1），当BP＝PC时，过P作PG⊥BC于G，∴BG＝CG＝3，∴PG＝AC＝4，∴PB＝＝10﹣2t＝5，∴t＝2.5，③如备用图（2），当BC＝PC时，过C作CH⊥AB于H，∴CH＝＝，BH＝PB＝5﹣t，∴BH2＝BC2﹣CH2，即（5﹣t）2＝62﹣（）2，∴t＝1.4，综上所述，△BPC为等腰三角形的t的值为2或2.5或1.4．。

专题03 点击三角形中的分类讨论【题型一】等腰三角形中的分类讨论顶（底）角不确定【例1－1】（2020·徐州月考）等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与另一腰的夹角是（）度A．25或10B．40或10C．25或40D．60【答案】B.【解析】解：当顶角为50°时，AB=AC，∠A=50°，BD是AC边上的高，一腰上的高与另一腰的夹角∠ABD=90°-∠A=40°；当底角为50°时，AB=AC，∠ABC=∠C=50°，BD是AC边上的高，∴∠A=180°－∠ABC－∠C=80°一腰上的高与另一腰的夹角∠ABD=90°-∠A=10° 故答案为：B ．【变式1－1】（2020·贵州铜仁市月考）若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（ ）A ．40°、100°B ．70°、70°C ．40°、100°或70°、70°D ．以上都不对【答案】C.【解析】解：①当这个角为顶角时，底角=(180°-40°)÷2=70°；②当这个角是底角时，底角=40°，顶角为180°-2×40°=100°；综上：其它两个内角的度数为70°，70°或40°，100°．故答案为：C ．底（腰）不确定【例2－1】（2020·广西柳州市期中）已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长等于（ ）A ．12B ．12或15C ．15D ．15或18 【答案】C.【解析】解：∵等腰三角形的两边长分别是3和6，∴①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15；②当腰为3时，3+3=6，这样的三角形不存在；∴此等腰三角形的周长是15．故答案为：C ．【例2－2】（2020·湖北恩施月考）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在y 轴和x 轴上，60ABO ∠=︒，在坐标轴上找一点P ，使得PAB ∆是等腰三角形，则符合条件的P 点的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B.【解析】解：作线段AB的垂直平分线和坐标轴的交点，得到P5，P4，此时AP=BP；以A为圆心AB为半径作圆；以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P1、P3、P2、P6、P4综上所述：符合条件的点P共有6个．故答案为B．【变式2－1】（2020·平原县月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），使△OAB 是等腰三角形，此时，点B的坐标不可能是（）A．（0，4）B．（2，4）C．（4，4）D．（4，2）【答案】D.【解析】解：将四个选项的点绘制在同一平面直角坐标系内，如图所示，可知点（4，2）符合题意，不可能构成等腰三角形，故答案为：D．【变式2－2】（2020·河南信阳市月考）如图，B是直线l上的一点，线段AB与l的夹角为α（0°＜α＜60°），点C在l上，若以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D.【解析】解：如图所示，满足条件的点共有4个，故答案为：D.【变式2－3】（2019·浙江台州市·八年级期末）如图，已知30AOB ∠=︒，点M ，N 在边OA 上，OM x =，2ON x =+，点P 是边OB 上的点，若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好只有一个，则x 的取值范围是______．【答案】x=2或x>4.【解析】解：①当x=2时，OM=MN=2，此时MP=PN=MN=2，符合题意的P 点只有一个.②当x=4时，过M 点作MP ⊥OB 于P 点，∴MP=2=MN ，以P，M，N构成的等腰三角形的点P恰好有2个，故当x＞4时，等腰三角形恰好只有一个，故答案为：x=2或x>4．形状不确定【例3－1】（2020·兴化市月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角的度数为_________．【答案】50°或130°.【解析】解：（1）当三角形是锐角三角形时，根据题意可知∠CBD=40°，∴∠BCD=50°.（2）当三角形是锐角三角形时，同理，得∠ACB=130°故答案为50°或130°.=，BD为AC边上的高，【变式3－1】（2020·哈尔滨市月考）已知在ABC中，AB AC∠________．∠=︒，则ACB=50ABD【答案】20°或70°.【解析】解：①当AC边上的高BD在△ABC外部时，得：∠ADB=90°，∠ABD=50°，∠BAD=40°∴∠ACB=∠ABC=20°.②当AC边上的高BD在△ABC内部时，同理得∠ABC=∠ACB=70°．故答案是：20°或70°.条件不确定【例4－1】（2020·湖北黄冈市月考）在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为__________【答案】7或11.【解析】解：如图所示，设AB=AC=2x，则AD=CD=x，设BC=y①x+2x=15，x+y=12解得：x=5，y=7即底边长为7.②x+2x=12，x+y=15解得：x=4，y=11即底边长为11.经验证，这两种情况都是成立的．∴这个三角形的底边长等于7或11．故答案为：7或11．【例4－2】（2020·南昌市心远中学八年级期中）很多三角形过它一个顶点的一条直线，可把它分成两个小等腰三角形．由此，请你探究如下几个问题．（1）如图1，在ABC 中，36A ∠=，AB AC =，12∠=∠，直线BD 交AC 于D ，求证：ABD △与DBC △都为等腰三角形；（2）请你在图2、图3中，分别过一个你认为合适的三角形顶点画出一条直线，把它们各自分成两个小等腰三角形，并在图中标出所得小等腰三角形两个底角的度数（不证明）；（3）在（1）、（2）中，都是将一个等腰三角形，分成两个小等腰三角形；那么你能把既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形，分成两个小等腰三角形吗？若能，请你设计符合上述条件且6个内角度数均不同的两个三角形，并且分别过一顶点画一直线分成两个小等腰三角形；同时标出所得小等腰三角形两个底角的度数（不证明）；若不能，请说明理由．【答案】见详解．【解析】解：（1）证明：在△ABC 中，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ，∵∠A=36°，∴∠ABC=∠C=12（180°-∠A ）=72°， ∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=12∠ABC =36° ∴∠3=∠1+∠A=72°，∴∠1=∠A，∠3=∠C，∴AD=BD，BD=BC，∴△ABD与△BDC都是等腰三角形；（2）解：如下图所示：（3）解：如下图所示：【变式4－1】（2020·长春月考）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，DE ∥BC．（1）求证：△BED为等腰三角形；（2）点P为线段BD上一点，如果射线BC上的点Q满足△BPQ为等腰三角形，那么求出∠BQP的度数．【答案】（1）见解析（2）120°或75°或30°.【解析】解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=30°∵DE∥BC∴∠EDB=∠DBC=30°∴∠EBD=∠EDB=30°∴BE=DE∴△BED为等腰三角形；（2）①当BQ=PQ时，BPQ1为等腰三角形，∵∠PBQ1=30°，∴∠BQ1P=180°-2∠PBQ1=120°②当BP=BQ时，BPQ2为等腰三角形，∵∠PBQ2=30°，∴∠BQ2P =12(180°-∠PBQ2)=75°③当BP=PQ时，BPQ3为等腰三角形，∵∠PBQ3=30°，∴∠BQ3P =∠PBQ3=30°综上，∠BQP的度数为120°或75°或30°．【题型二】全等三角形中的分类讨论对应边（角）不确定【例5－1】（2020·台州市月考）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P 在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D 运动．设运动时间为t（s），当△ACP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度为（）cm/s．A．0.5 B．1 C．0.5或1.5 D．1或1.5【答案】D.【解析】解：设点Q的运动速度是x cm/s，∵∠CAB=∠DBA，△ACP与△BPQ全等，分两种情况讨论：①AP=BP，AC=BQ，则1×t=4-1×t，则3=2x，解得：t=2，x=1.5；②AP=BQ，AC=BP，则1×t=tx，4-1×t=3，解得：t=1，x=1，故答案为：D．【变式5－1】（2020·武穴市期中）如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，Q点在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒．则当△BPD 与△CPQ全等时，v的值为（）A．2 B．3 C．2或3 D．1或5【答案】C.【解析】解：∵△ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，∴BD=6厘米，分两种情况讨论：（1）若△BPD≌△CPQ，则BD=CQ=6厘米，BP=CP=12BC=12×8=4（厘米），∵点Q的运动速度为3厘米/秒，∴点Q的运动时间为：6÷3=2（s），∴v=4÷2=2（厘米/秒）；（2）若△BPD≌△CQP，则CP=BD=6厘米，BP=CQ，∴863vtvt t-=⎧⎨=⎩，解得：v=3；∴v 的值为：2或3，故答案为：C ．【变式5－2】（2020·重庆月考）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm,6cm AC BC ==，直线l 经过点C 且与边AB 相交，动点P 从点A 出发沿A C B →→路径向终点B 运动，动点Q 从点B 出发沿B C A →→路径向终点A 运动，点P 和点Q 的速度分别为3cm/s 和2cm/s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PM l ⊥于点M ，QN l ⊥点N ，设运动时间为t 秒，则当t =__________秒时，PMC △与QNC 全等．【答案】2或145． 【解析】解：由题意得，AP ＝3t ，BQ ＝2t ，则CP=8-3t ，CQ=6-2t分两种情况讨论：（1）当△PMC ≌△QNC 时，PC=QC ，则6-2t=8-3t ，解得t=2（2）当点P 已运动至BC 上，且与点Q 相遇时，符合题意，则PC=QC ，6-2t=3t －8，解得t=145故答案为：2或145． 位置不确定 【例6－1】（2020·北京西城区月考）如图，在ABC 中，()0,1A ，()3,1B ，()4,3C ，D是坐标平面上一点，若以A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC 全等，则点D 的坐标是________．【答案】（-1，3），（4，-1），（-1，-1）.【解析】解：D 点可为：D 1（-1，3），D 2（4，-1），D 3（-1，-1）.【例6－2】（2020·湖北黄冈市月考）如图，△ABC 中，点A 的坐标为（0，-2），点C 的坐标为（2，1），点B 的坐标为（3，-1），要使△ACD 与△ACB 全等，那么符合条件的点D 有_______个．【答案】3.【解析】解：如图所示，使△ACD与△ACB全等，符合条件的点D有3个．故答案为：3．【变式6－1】（2020·河南商丘市期中）在平面直角坐标系中，点A（4，0）、B（3，2），点P在坐标平面内，以A、O、P为顶点的三角形与△AOB全等（点P与B不重合），写出符合条件的点P的坐标________________．【答案】（3，-2）或（1，2）或（1，-2）.【解析】解：如图：符合条件的点P有3个，（3，-2）或（1，2）或（1，-2）故答案为：（3，-2）或（1，2）或（1，-2）．，点B的【变式6－2】（2020·孝感市）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)坐标为(2,2)-，点C 的坐标为(2,2)，将点A ，B 和原点O 顺次连接，围成三角形ABO ，请以OC 为边长，找出一点D （点D 不与点B 重合），使得以点O ，C ，D 为顶点的三角形全等于三角形ABO ，则点D 的坐标为______．【答案】（4，0）或（0,4）或（2，-2）.【解析】解：满足条件的点D 的坐标为（4，0）（0，4）（2，−2）．故答案为：（4，0）（0，4）或（2，−2）．【题型三】直角三角形中的分类讨论【例6－2】（2020·辽宁葫芦岛市）在ABC 中，AB AC =，点D 是射线AC 上的动点，连接BD ，以BD 为腰作等腰DBE ，使DB DE =，且DE 在DB 上方，CAB EDB ∠=∠，连接CE ：（1）如图1，若90CAB EDB ∠=∠=，过点D 作//DF AB 交BC 于点F ，则BCE ∠=_______度；（2）如图2，若90CAB EDB ∠=∠≠，判断BCE ∠与CAB ∠的大小关系？并说明理由. （3）如图3，若ABC 为等边三角形，4cm AB =，当BCE 是直角三角形时，直接写出CE 的长度．【答案】（1）90；（2）见解析；（3）2cm 或8cm.【解析】解（1）∵AB=AC ，∠ABC=90°∴△ABC 为等腰三角形，同理可证△BDE 为等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠DEB=∠DBE=45°∵DF ∥AB∴∠DFC=∠ABC=45°，∠CDF=∠BAC=90°∴DF=CD∵∠BDE=90°，∴∠BDF=∠CDE∴△CDE ≌△FDB∴∠DCE=∠DFB=∠DCB+∠ECB∵∠DFB=180°－∠CFD=135°∴∠BCE=∠DCE －45°=90°故答案为：90；（2）∠BCE=∠CAB理由是：过点D 作DF ∥AB 交BC 于F ，∴∠CDF=∠CAB ，∠DFC=∠ABC∵∠CAB=∠EDB∴∠CDF=∠EDB∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∴∠DFC=∠ACB又DF=CD ，BD=DE∴△DBF ≌△DEC∴∠DFB=∠DCE∵∠DFB=∠CDF+∠ACB∴∠CDF=∠BCE ，∴∠BCE=∠CAB（3）由（2）得，∠BCE=∠CAB=60°, 根据题意知，BC=AB=4cm ，①若∠CBE=90°时，则∠BEC=30°，∴CE=BC=8cm ；②若∠BEC=90°时，∠CBE=30°，∴CE=12BC=2cm. 【变式6－1】（2020·江西南昌市期中）如图，在△ABC 中，AB AC =，150BAC ∠=，点D 在边BC 上，将ABD △沿 AD 折叠，点B 的对应点为点F ，点G 在边BC 上，将ACG 沿AG 折叠，点C 的对应点也为点F ．（1）DFG ∠的度数为______．（2）设BAD ∠=α，当α为何值时， DFG △为等腰三角形？（3）DFG △能否为直角三角形？若能，请求出相应的α值：若不能，请说明理由． 【答案】（1）30°；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）∵AB=AC ，∠BAC=150°∴∠B=∠C=15°由折叠知∠AFD=∠B=15°，∠AFG=∠C=15°∴∠DFG=∠AFD+∠AFG=30°.（2）当DG=FG 时，∠GDF=∠GFD=30°∠ADG=15°+α，∠DAF=∠BAD=α，①15+α+α+30+15=180，解得α=60②15+α+α+75+15=180，解得α=37.5③15+α+α+120+15=180，解得α=15综上：α的值为60°或37.5°或15°；（3）①当∠GDF=90°时，15+α+α+90+15=180，解得α=30；②当∠DGF=90°时，∵∠DFG=30°，∴∠GDF=60°15+α+α+60+15=180，解得α=45，综上：α的值为30°或45°．。

等腰三角形中的分类讨论问题典例讲解：分类讨论求角度例1：等腰三角形有一个内角是50°，则其余两个内角的度数为 .解：当50°角是顶角时，则底角为（180°-50°）÷2=65°，则其余两个角的度数为65°，65°；当50°角是底角时，则顶角为180°-50°×2=80°，则其余两个角的度数度数为50°，80°.所以，本题的答案为：65°，65°或50°，80°.总结：（1）在等腰三角形中求内角的度数时，要看已知角是否已经确定是顶角或底角.若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；否则，要分类讨论，分已知角为顶角和已知角为底角两种情况.（2）若等腰三角形中已知的角是直角或钝角，则此角必为顶角，不用再分类讨论.分类讨论求长度解：当3x-1= x+1时，解得x=1，此时三角形的三条边长分别为2，2，5，因为2+2<5，不符合三角形三边关系，所以x=1舍去；当3x-1= 5时，解得x=2，此时三角形的三条边长分别为5，3，5，因为5+3>5，符合三角形三边关系，所以x=2成立；当x+1=5时，解得x=4，此时三角形的三条边长分别为11，5，5，因为5+5<11，不符合三角形三边关系，所以x=4舍去.所以，本题答案为2.总结：利用等腰三角形有两条边长相等的性质求边长或周长时，当不确定哪两条边是腰时，要进行分类讨论，计算出结果后要验证，检验算出的结果是否符号三角形三边关系.提升练习1．已知等腰三角形的两边长a，b满足|a﹣2|+b2﹣10b+25＝0，那么这个等腰三角形的周长为（）A．8B．12C．9或12D．92．如果等腰三角形两边长是6cm和12cm，那么它的周长是（）A．18cm B．24cm C．30cm D．24或30cm3．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．150°C．60°或120°D．60°或150°4．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或80°或65°5．已知等腰三角形的顶角等于50°，则底角的度数为度．6．等腰三角形一个外角是150°，求一腰上的高与另一腰的夹角是．7．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为．8．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD是直角三角形，则∠DAC的度数是．9．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．10．等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是．11．已知一个等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是cm．12．一等腰三角形的底边长为15cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的周长为．13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为．14．如图，△ABC中∠ABC＝40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB＝．15．等腰三角形的周长为21cm．（1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；（2）若已知一边长为6cm，求其他两边长．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成18cm和21cm两部分，求△ABC的三边长．17．已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．18．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．求证：BF＝CF；（2）若点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数．参考答案：1．B ． 2．C ． 3．C ． 4．D ．5． 65 ． 6． 30°或60° ． 7． 45°或72° ． 8． 10°或50° ．9． 22 ． 10． 80°或20° ． 11． 12 ． 12． 55cm 或35cm ．13． 67.5°或22.5° ． 14． 40°或100°或70°或20° ．15．解：（1）如图，设底边BC ＝a cm ，则AC ＝AB ＝3a cm ，∵等腰三角形的周长是21cm ，∴3a +3a +a ＝21，∴a ＝3，∴3a ＝9，∴等腰三角形的三边长是3cm ，9cm ，9cm ；（2）①当等腰三角形的底边长为6cm 时，腰长＝（21﹣6）÷2＝7.5（cm ）；则等腰三角形的三边长为6cm 、7.5cm 、7.5cm ，能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为6cm 时，底边长＝21﹣2×6＝9；则等腰三角形的三边长为6cm ，6cm 、9cm ，能构成三角形．故等腰三角形其他两边的长为7.5cm ，7.5cm 或6cm 、9cm ．16．解：∵BD 是AC 边上的中线，∴AD ＝CD=21AC ， ∵AB ＝AC ，∴AD ＝CD=21AB ， 设AD ＝CD ＝x cm ，BC ＝y cm ，分两种情况：当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为10cm ，10cm ，7cm ；当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为14cm ，14cm ，11cm ；综上所述：△ABC 各边的长为10cm ，10cm ，7cm 或14cm ，14cm ，11cm ．17．解：（1）在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．∴20﹣8＜2m﹣2＜20+8，解得：7＜m＜15；∴m的取值范围为：7＜m＜15；（2）∵△ABC是等腰三角形，∴分两种情况：当AB＝AC＝20时，∴△ABC的周长＝20+20+8＝48；当BC＝AC＝8时，∵8+8＝16＜20，∴不能组成三角形；综上所述，△ABC的周长为48．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCD与△CBE中，∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠FBC＝∠FCB，∴BF＝CF；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴，由（1）知，∠FBC＝∠FCB，∴∠DBF＝∠ECF，设∠FBD＝∠ECF＝x，则∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135°﹣2x，∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：①．当BD＝BF时，此时∠BDF＝∠DFB，∴x+45°＝135°﹣2x，得x＝30°，即∠FBD＝30°；②当BD＝DF时，此时∠FBD＝∠DFB，∴x＝135°﹣2x，得x＝45°，即∠FBD＝45°；③当BF＝DF时，此时∠FBD＝∠FDB，∴x＝x+45°，不符题意，舍去；综上所述，∠FBD＝30°或45°．。

专题10等腰三角形分类讨论问题考点1腰和底不明时需分类【例1】（2020秋•罗湖区校级期末）用一条长为36cm的细绳围成一个边长为8cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的腰长为（）A．8cm B．12cm C．8cm或14cm D．14cm【练1】（2021春•崂山区期末）小明有两根长度分别为4cm和9cm的木棒，他想再取一根木棒，组成等腰三角形，那么等腰三角形的周长为cm．【练2】（2021春•南海区期末）用一条长为36cm的细绳围成一个边长为8cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的腰长为（）A．14cm B．8cm或14cm C．12cm D．8cm考点2顶角和底角不明时需讨论【例2】（2021春•成都月考）等腰三角形的一个角等于40°，则它的顶角是（）A．40°B．100°C．70°D．100°或40°【练1】（2021春•济南期末）等腰三角形的一个内角为50°，它的顶角的度数是（）A．65°B．80°C．65°或80°D．50°或80°【练2】（2020秋•慈溪市期中）已知，在等腰△ABC中，一个外角的度数为100°，则∠A 的度数不能取的是（）A．20°B．50°C．60°D．80°考点3涉及中线、高位置的讨论【例3】（2020秋•鄞州区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（）A．65°B．105°C．55°或105°D．65°或115°【练1】（2021春•南海区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【练2】（2021春•浦东新区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的底角为．【例4】（2020秋•江州区期中）已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（）A．5cm B．10cm C．11cm D．5cm或11cm【练1】（2021春•浦东新区期中）已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是．【练2】（2021春•南岗区校级月考）一个等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则三角形底边长为．考点4等腰三角形个数的讨论【例5】（2021春•埇桥区期末）如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1，0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上．则这样的P点有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【练1】3．（2019秋•锡山区校级月考）如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC是以AB为底的等腰三角形，则点C的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点5动点引起的分类【例6】（2020春•郓城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D 在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．【练1】（2019秋•长阳县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC 于E．（1）当∠BDA＝100°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；（2）当∠BAD＝α时，求∠EDC，并说明点D从B向C运动时，∠DEC的大小如何变化？（3）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（4）点D在运动过程中，当∠BAD等于多少度时，△ADE是等腰三角形．1．（2019秋•海安市期中）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为5cm，则该等腰三角形的腰长为（）cm．A．5B．6.5C．5或6.5D．6.5或8 2．（2021•碑林区校级开学）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的底角度数是（）A．50°B．80°C．50°或70°D．80°或40°3．（2020秋•渝北区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则其底角为（）A．65°B．32.5°C．32.5°或57.5°D．32.5°或65°4.（2021春•淮阳区校级期末）某等腰三角形的周长是21cm，一条腰上的中线把其周长分成两部分的差为3cm，该三角形的腰长是cm．5．（2020秋•蜀山区期末）已知△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD＝40°．点E是边AC上的一点，若△ADE为等腰三角形，则∠EDC的度数是．6．（2020秋•福州期中）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样顶点均在格点上的三角形叫格点三角形，若△ABC是等腰三角形，这样点C最多可画（）个．A．5B．6C．7D．8 7．（2021春•秦淮区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长AB．8．（2019秋•宝应县期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BAD＝20°时，∠EDC＝°；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？试说明理由；（3）△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时∠BAD的度数；若不能，请说明理由．。

等腰三角形肖老师特训中心内部资料一、目标认知学习目标：通过观察发现等腰三角形的性质；掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌握一般文字命题的解题方法.重点：等腰三角形的性质与判定。

难点：比较复杂图形、题目的推理证明。

二、知识要点梳理知识点一：等腰三角形、腰、底边有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．知识点二：等腰三角形的性质1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2、这两个性质证明如下：在△ABC中，AB=AC，如图所示．作底边BC的高AD，则有∴Rt△ABD≌Rt△ACD．∴∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．于是性质1、性质2均得证．3、说明：（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C；②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴BD=CD；或∵AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴AD⊥BC．②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．知识点三：等腰三角形的判定定理1、定理内容及证明如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），如图所示．证明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则所以△ABD≌△ACD（AAS）．所以，AB=AC．2、注意：①本定理的符号表示为：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC．②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆．知识点四：等边三角形1、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形，如图所示：2、注意：①由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．②等边三角形具有等腰三角形的一切性质．知识点五：等边三角形的性质1、等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°2、理由如下：如上图所示，由AB=AC可得∠B=∠C，同样可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．而∠A+∠B+∠C=180°．则有∠A=∠B=∠C=60°．知识点六：等边三角形的判定1、等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．2、证明如下：(1)如下图所示，若∠A=∠B=∠C，可由∠A=∠B得，AC=BC；由∠A=∠C得，AB=BC．所以AB=AC=BC．于是判定（1）成立．(2)如上图所示，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则有∠B=∠C=60°，于是∠A=∠B=∠C．由判定（1）得△ABC是等边三角形；若∠B=60°，则∠B=∠C=60°，于是∠A=60°，∠A=∠B=∠C．由判定（1）得△ABC是等边三角形。