北京市通州区2018届高三一模考试理科数学试卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共14页）数学试卷第2页（共14页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理）本试卷满分150分,考试时长120分钟.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则A B = ()A .{}0,1B .{}1,0,1-C .{}2,0,1,2-D .{}1,0,1,2-2.在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为()A .12B .56C .76D .7124.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载癱最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都f ，则第八个单音的频率为()ABC.D.5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A .1B .2C .3D .46.设a ，b 均为单位向量，则“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离.当θ，m变化时，d 的最大值为()A .1B .2C .3D .48.设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则()A .对任意实数a ，()2,1A ∈B .对任意实数a ，()2,1A∉C .当且仅当0a <时，()2,1A ∉D .当且仅当32a ≤时，()2,1A∉第二部分(非选择题共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上)9.设{}n a 是等差数列，且13a =，2536aa +=，则{}n a 的通项公式为.10.在极坐标系中，直线()cos sin 0a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =.毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共14页）数学试卷第4页（共14页）11.设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭.若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为.12.若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是.13.能说明“若()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立，则()f x 在[]0,2上是增函数”为假命题的一个函数是.14.已知椭圆M ：()222210x y a b a b +=>>，双曲线N ：22221x y m n-=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为；双曲线N 的离心率为.三、解答题：共80分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

2018年高三数学一模试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21012A =--，，，，，()(){}130B x x x =-+<，则A B = （ ） A ．{}21,0--， B ．{}0,1 C ．{}1,01-， D ．{}0,1,2 2.已知复数21iz i=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i - 3.下列说法正确的是（ ）A ．若命题0:p x R ∃∈，20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∉，210x x -+≥B ．已知相关变量(),x y 满足回归方程 24y x =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均增加4个单位C ．命题“若圆()()22:11C x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则实数[]0,1m ∈”为真命题D ．已知随机变量()22X N σ ，，若()0.32P X a <=，则()40.68P X a >-=4.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，过C ，M ，D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（ ）A ．16 B ．13 C.12 D ．235.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．33cmB ．35cm C. 34cm D ．36cm6.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若48102a a a =，则3S 的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C.4 D.67.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +；如果n 是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为（ ）A ．5B ．16C.5或32 D ．4或5或32 8.在)12nx -的二项展开式中，若第四项的系数为7-，则n =（ ）A ．9B ．8 C.7 D ．69.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8430S S =-≠，则412S S 的值为（ ） A ．13-B ．112- C.112 D ．1310.将函数()22sin cos f x x x x =-()0t t >个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ．3π C. 2π D ．6π 11.如图，过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交其准线l 于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x = C.23y x = D．2y =12.已知函数()()23xf x x e =-，设关于x 的方程()()()22120f x mf x m R e--=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为（ ）A ．3B ．1或3 C.4或6 D ．3或4或6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,1a =- ，(),1b t =，若()()//a b a b +- ，则实数t =．14.设实数x ，y 满足不等式组70,310,350,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩则2z x y =-的最大值为．15.已知双曲线经过点(1,，其一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的标准方程为． 16.已知等腰直角ABC △的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ADC △折起，使二面角B ADC --的大小为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且有cos cos cos 0a B b A C +=.（1）求角C 的大小；（2）当2c =时，求ABC S △的最大值.18. 某调查机构随机调查了20岁到70岁之间的600位网上购物者的年龄分布情况，并将所得数据按照[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[]60,70分成5组，绘制成频率分布直方图（如图）.（1）求频率分布直方图中实数m 的值及这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的人数； （2）现采用分层抽样的方法从参与调查的600位网上购物者中随机抽取10人，再从这10人中任选2人，设这2人中年龄在[)30,40内的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.19. 如图，菱形ABCD 与四边形BDEF 相交于BD ，120ABC ∠=，BF ⊥平面ABCD ，//DE BF ，2BF DE =，AF FC ⊥，M 为CF 的中点，AC BD G = .（1）求证：//GM 平面CDE ；（2）求直线AM 与平面ACE 成角的正弦值.20. 已知椭圆E 的两个焦点为()110F -，，()210F ，，离心率2e =（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线():0l y x m m =+≠与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时，求TAB △面积的最大值. 21. 已知函数()21axf x x e-=-（a 是常数）.（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当()0,16x ∈时，函数()f x 有零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+.试卷答案一、选择题1-5:ADCDB 6-10:DCBBD 11、12：CA 二、填空题13.1- 14.8 15.2214y x -= 16.73π三、解答题17.解：（1）因为cos cos cos 0a B b A C +=，由正弦定理，得sin cos sin cos cos 0A B B A C C +=，即()sin cos 0A B C C +=，即sin cos 0C C C =. 因为在ABC △中，0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos 2C =，解得4C π=.（2）由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b =+-=+，即(224=2a b ab +≥，故(22ab ≤=，当且仅当a b ==.所以(11sin 221222ABC S ab C =≤⨯⨯=+△即ABC S △的最大值为118.解：（1）由频率分布直方图，可得()0.0300.0260.0140.012101m ++++⨯=，得0.018m =.则这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的频率为()0.0180.01410=0.32+⨯， 故这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的人数为6000.32=192⨯.（2）由频率分布直方图可知，年龄在[)30,40内的人数与其他年龄段的总人数比为0.03010310.030107⨯=-⨯，由分层抽样的知识知，抽出的10人中年龄在[)30,40内的人数为3，其他年龄段的总人数为7.所以X 的可能取值为0，1，2.()023********C C P X C ===，()11372107115C C P X C ===，()20372101215C C P X C ===所以X 的分布列为故X 的数学期望()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：取BC 的中点N ，连接GN ，MN . 因为G 为菱形对角线的交点，所以G 为AC 中点.又N 为BC 中点，所以//GN CD ，又GN ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//GN 平面CDE .又因为M ，N 分别为FC ，BC 的中点.所以//MN FB ，又因为//DE BF ，所以//DE MN ，MN ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以//MN 平面CDE ，又MN ，GN ⊂平面MNG ，MN GN N = ，所以平面//GMN 平面CDE .又GM ⊂平面GMN ，所以//GM平面CDE . （2）解：连接GF .设菱形的边长2AB =，则由120ABC ∠=，得1GB GD ==，GA GC ==又因为AF FC ⊥，所以FG GA ==则在直角GBF △中，BFDE =.由BF ⊥平面ABCD ，//DE BF ，得DE ⊥平面ABCD .以G 为坐标原点，分别以GA ，GD 所在直线为x 轴，y 轴，过点G 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系G xyz -，则()0,0,0G，)0A，，01E ⎛ ⎝⎭，(0F -，，1,222M ⎛-- ⎝⎭，则)0GA =，，01GE ⎛= ⎝⎭ . 设(),,m x y z =为平面ACE 的一个法向量，则0,0,m GA m GE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即00y z =⎨+=⎪⎩.令z =1y =-，所以(0,m =-.又1,22AM ⎛=- ⎝⎭，所以11cos ,10AM mAM m AM m+=== . 设直线AM 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ=. 所以直线AM 与平面ACE20.解：（1）由离心率2e =1c =，解得a =所以1b =.所以椭圆E 的方程是2212x y +=. （2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，据221,2x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2234220x mx m ++-= ∵直线l 与椭圆E 有两个不同的交点，∴()()22412220m m ∆=-->，又0m ≠，所以m <0m ≠.由根与系数的关系得1243mx x -+=，212223m x x -=设线段AB 中点为C ，点C 横坐标12223C x x m x +==-，3C C my x m =+=，∴2,33m m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴线段AB 垂直平分线方程为233m m y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，∴点T 坐标为,03m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点T 到直线AB的距离d =，又AB ==，所以123TABS =△=232m =时，三角形TAB 面积最大，且()max TAB S =△.21.解：（1）当0a =时，()21f x x =-，函数在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递减.当0a ≠时，()()()'2222ax ax axf x xe x a e eax x ---=+-=-+，因为0ax e ->， 令()220g x ax x =-+=，解得0x =或2x a=. ①当0a >时，函数()22g x ax x =-+在20,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有()0g x ≥，即()'0f x ≥，函数()y f x =单调递增；函数()22g x ax x =-+在(),0-∞，2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有()0g x <，即()'0f x <，函数()y f x =单调递减；②当0a <时，函数()22g x ax x =-+在2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，()0,+∞上有()0g x >，即()'0f x >，函数()y f x =单调递增；函数()22g x ax x =-+在2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有()0g x ≤，即()'0f x ≤，函数()y f x =单调递减.综上所述，当0a =时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,+∞，递减区间为(),0-∞；当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间为20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为(),0-∞，2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； 当0a <时，函数()y f x =的单调递增区间为2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,+∞，递减区间为2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）①当0a =时，由()210f x x =-=，可得1x =±，()10,16∈，故0a =满足题意. ②当0a >时，函数()y f x =在20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，（i ）若()20,16a ∈，解得18a >. 可知20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是增函数，2,16x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是减函数，由()010f =-<，∴在()0,16上()2max 22410f x f e a a-⎛⎫==-≥⎪⎝⎭， 解得22a e e -≤≤，所以128a e <≤； （ii ）若[)216,a ∈+∞，解得108a <≤.函数()y f x =在()0,16上递增， 由()010f =-<，则()161625610af e-=->，解得1ln 22a <.由11ln 228>，所以10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.③当0a <时，函数()y f x =在()0,16上递增，()01f =-，()161625610af e -=->，解得1ln 22a <， ∴0a <，综上所述，实数a 的取值范围是2,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.22.解：（1）因为2222cos sin 1y θθ+=+=， 所以曲线C 的普通方程为2213x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=， 因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=. （2）设),sin Pθθ，则点P 到直线l的距离为d ==≤ 等号成立当且仅当sin 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()1126k k Z πθπ=+∈时等号成立，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因此点P 到直线l的距离的最大值为223.（1）解：由211x -≤，得1211x -≤-≤，即1x ≤， 解得11x -≤≤，所以[]11A =-，.（2）证明：（证法一）()()()222222221111m n mn m n m n m n +-+=+--=---因为,m n A ∈，所以11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤， 所以()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+，又10mn +≥，故1m n mn +≤+.（证法二）因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤， 而()()()1110m n mn m n +-+=--≤()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+.。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工类）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B x =-，则A B =I （A ）{}01， （B ）{}-101，，（C ）{}-201，，（D ）{}-1012，，， 2.在复平面内，复数i1i-的共轭复数对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）．A ．12 B ．56C ．76D ．7124．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）．ABC ．D ．5．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.设a b ,均为单位向量，则“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 在平面直角坐标系中，记d 为点()P cos ,sin θθ到直线20x my --=的距离.当,m θ变化时，d 的最大值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）48. 设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则()A 对任意实数a ，()2,1A ∈ ()B 对任意实数a ，()2,1A ∉()C 当且仅当0a <时，()2,1A ∉ ()D 当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉二.填空（9）设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为 。

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（理科）试卷2019年1月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2430A x x x =-+<,{}230B x x =->，则A B =IA .33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B . 33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C . 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 332⎛⎫⎪⎝⎭， 2. 设向量()3,4=-a ，()0,2=-b ,则与+a b 垂直的向量的坐标可以是A.B.C .D.3.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()2f -等于A . 3- B. 114-C. 34-D. 34.已知双曲线()222105x y a a -=>的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则a 等于A.1 B . 2 C. 3 D. 45. 已知x ,y 满足不等式组1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值等于A. 1B.2C.3 D . 66. 设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的考生须知1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分．3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 4 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为A. 1 B . 2 C. 2 D. 58.设函数()y f x =图象上不同两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定(),A Bk k A B ABϕ-= （AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数sin y x =图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和1-，则(),0A B ϕ=； ②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数； ③设A ,B 是抛物线2y x =上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设A ,B 是曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同的两点，则(),1A B ϕ>．其中真命题的个数为 A. 1 B.2 C.3D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数i1iz =-的共轭复数是______． 10.设等比数列{a n }的公比2q =，前n 项和为n S ，则41S a =______ ． 11. 已知角α的终边与单位圆221x y +=的交点为3P x ⎛ ⎝⎭，则sin 2α= ．12.61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 的项的系数是______．13. 直线3x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的公共点个数为______． 14. 已知函数()()2,1,ln 1,x x f x x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩１．若关于x 的方程()2f x kx =-有且只有一个实数根，则实数k 的取值范围是______．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题13分） 如图，在△ABC 中，4A π∠=，4AB =，17BC =，点D 在AC 边上，且1cos 3ADB ∠=-．（Ⅰ）求BD 的长；（Ⅱ）求△BCD 的面积． 16．（本小题13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km ，共设13座车站．目前八通线执四惠 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 四惠东 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 高碑店 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 传媒大学 3 3 3 4 4 4 4 5 5 双桥 3 3 3 4 4 4 4 4 管庄 3 3 3 3 4 4 4 八里桥 3 3 3 3 4 4 通州北苑 3 3 3 3 3 果园 3 3 3 3 九棵树 3 3 3 梨园 3 3 临河里 3 土桥四惠四惠东高碑店传媒大学双桥管庄 八里桥通州北苑果园九棵树梨园临河里土桥（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X 元，求X 的分布列；（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为ξ元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为η元．试比较ξ和η的方差D ξ和D η大小．（结论不需要证明） 17．（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，13AA =，D ，E 分别为AB ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面11AA B B ； （Ⅱ）求二面角1B AE B --的余弦值； （Ⅲ）在线段11B C 上是否存在一点M ，使BM ⊥平面1AB E ？说明理由.18．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 过点()0,1A(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．若直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，求直线l 的方程． 19．（本小题13分）已知函数()2ln f x a x ax =-，其中0a >．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()2g x x m =-，若曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求m 的最大值．20．（本小题13分）一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列{}n p 的前n 项和为n S ，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于n p 的项的和为()f n ．D C 1B 1A 1CE B A（Ⅰ）求5p 和()5f ；(Ⅱ) 判断n S 和()f n 的大小，不用证明；（Ⅲ）设()2k k N *Γ=∈，求证：n N *∀∈，∃Γ，使得1n n S S +<Γ<．。

高三数学（理科）一模考试参考答案2018.4二、填空题9．1- 10.11. 4，221n n n ---12. 24 13. ②③ 14. 0，0三、解答题15. 解：（Ⅰ）因为()2sin cos 222x x x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin cos 222x x x +=1si n 2x x =sin +3x π⎛⎫= ⎪⎝⎭． …………………… 4分所以()f x 的最小正周期2.T π=…………………… 6分（Ⅱ）因为[],0x π∈-，所以2+,333x πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.所以当33x ππ+=，即0x =时，函数)(x f 取得最大值sin+32π=当32x ππ+=-，即56x π=-时，函数)(x f 取得最小值1+2-所以()f x 在区间[],0π--……………… 13分16. 解：（Ⅰ）…………………… 4分（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2. …………………… 5分24272(0)7C P X C ===，1134274(1)7C C P X C ===，23271(2)7C P X C ===. ……………… 8分所以X 的分布列为…………………… 9分所以X 的数学期望()2416012.7777E X =⨯+⨯+⨯=…………………… 10分 （Ⅲ）0x <x . …………………… 13分 17. 解：（Ⅰ）因为//PQ CD ，PQ CD =，所以四边形PQCD 是平行四边形. 所以//.PD QC因为PD ⊄平面QBC ，QC ⊂平面QBC ， 所以//PD 平面.QBC…………………… 4分（Ⅱ）取AD 的中点为O ， 因为PA PD =，所以.OP AD ⊥因为平面PAD ⊥平面ABCD ,OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面.ABCD …………………… 5分 以点O 为坐标原点，分别以直线OD ，OP 为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则x 轴在平面ABCD 内．图二（％）201725.020.015.010.05.00.0（亿元）2011-2017年全社会固定资产投资及增长率201620152014201320122011因为90APD ∠=︒，2AB AD ===，1PQ CD ==， 所以(),,A -010，(),,B -210，(),,C 110，(),,Q 101，所以()1,1,1BQ =-，()0,1,1CQ =-. …………………… 7分设平面QBC 的法向量为(),,n x y z =，所以,,n BQ n CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00 即,.x y z y z -++=⎧⎨-+=⎩00所以,.x y z y z =+⎧⎨=⎩令1z =，则1y =，2x =.所以()2,1,1n =. …………………… 8分 设平面ABCD 的法向量为()0,0,1m =，所以cos ,6n m == 又因为二面角Q BC A --为锐角，所以二面角Q BC A --…………………… 10分 （Ⅲ）存在. 设点(),,M a b c ，QM QBλ=，[]01.λ∈,所以()1,,1QMa b c =--，()1,1,1.QB =--所以+1a λ=， b λ=-， +1c λ=-. 所以点(),,.M λλλ+--+11所以(),,.AMλλλ=+-+-+111又平面QBC 的法向量为()2,1,1n =，AM ⊥平面QBC ，所以.λλ+-+=1121所以.λ=13所以在线段QB 上存在点M ，使AM ⊥平面QBC ，且QM QB的值是.13…………… 14分18. 解：（Ⅰ）设函数()()().xxF x f x g x xe ae a =-=-+当1=a 时，()1x x F x xe e =-+，所以'()xF x xe =.所以)0(，-∞∈x 时，'()0F x <；)0(∞+∈，x 时，'()0F x >. 所以()F x 在)0(，-∞上单调递减，在)0(∞+，上单调递增. 所以当0=x 时，()F x 取得最小值(0)0F =.所以()0F x ≥，即)()(x g x f ≥． …………………… 4分 （Ⅱ）当1>a 时，'()(1)xF x x a e =-+， 令'()0F x >，即(1)0xx a e -+>，解得1x a >-； 令'()0F x <，即(1)0x x a e -+<，解得 1.x a <-所以()F x 在(1)a -∞-，上单调递减，在(1)a -+∞，上单调递增. 所以当1-=a x 时，()F x 取得极小值，即1(1)a F a a e --=-. …………………… 6分令1()a h a a e-=-，则1'()1a h a e-=-.因为1>a ，所以'()0h a <. 所以()h a 在(1,)+∞上单调递减. 所以()(1)0h a h <<. 所以(1)0F a -<.又因为()0F a a =>，所以()F x 在区间),1(a a -上存在一个零点.所以在),1[+∞-a 上存在唯一的零点. …………………… 10分 又因为()F x 在区间)1,(--∞a 上单调递减，且(0)0F =，所以()F x 在区间)1,(--∞a 上存在唯一的零点0. …………………… 12分 所以函数)(x h 有且仅有两个零点，即使)()(x g x f =成立的x 的个数是两个.…………………… 13分19. 解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x 轴上，2AB =，离心率e =所以1b =，2c a = 所以由222a b c =+，得2 4.a = 所以椭圆C 的标准方程是22 1.4x y += …………………… 3分 （Ⅱ）设点P 的坐标为()00,x y ，所以Q 的坐标为()00,x y -. 因为M ，N 分别是OP ，BP 的中点， 所以M 点的坐标为00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭，N 点的坐标为001,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭. …………………… 4分所以直线AD 的方程为0021y y x x -=+. …………………… 6分 代入椭圆方程2214x y +=中，整理得()()222000042820.x y x x y x ⎡⎤+-+-=⎣⎦ 所以0x =，或()()()0000220008222=.5442x y x y x y x y --=-+-所以()2000000002222431.5454x y y y y y x y y ---+-=⋅+=--所以D 的坐标为()200000022243,5454x y y y y y -⎛⎫-+- ⎪--⎝⎭. …………………… 10分所以000000112.32QNy y y k x x x --+==-+ 又()20000000000243541.22354QD y y y y y k x y x x y -+---+==--+-所以D ，N ，Q 三点共线. …………………… 13分20.解：（Ⅰ）因为+12+1n n n a a a +∆=-，1n n n a a a +∆=-，所以+12+12n n n n n a a a a a +∆-∆=+-22n n n a q a a q =+-()()22121.n n a q q a q =+-=-因为01>a ，公比0>q ，且1≠q ， 所以0n a >，()210.q -> 所以()210.n a q ->所以等比数列{}n a 为凸数列. …………………… 3分 （Ⅱ）因为数列}{n a 为凸数列，所以11=m m m m a a a a ++--，211m m m m a a a a +++-≥-，321m m m m a a a a +++-≥-，…，11.m n m m n m m m a a a a +-+--+-≥-叠加得()1()n m m m a a n m a a +-≥--. 所以1.n mm m a a a a n m+-≥--同理可证1.m km m a a a a m k+-≤-- 综上所述，1n m m k m m a a a aa a n m m k+--≥-≥--. …………………… 7分因为n m m k a a a a n m m k--≥--，所以()()()().n m m k m k a k m a n m a m n a -+-≥-+-所以()()().n k m m k a n m a n k a -+-≥-令1k =，()()11()1.n m m a n m a n a -+-≥- 所以11.11m n m n m a a a n n --⎛⎫≤+ ⎪--⎝⎭若1n a a ≤，则111()().1111m n n n n m n m m n ma a a a a a n n n n ----≤+≤+=---- 若1n a a ≥，则111111()().1111m n m n m m n ma a a a a a n n n n ----≤+≤+=---- 所以{}1max ,.m n a a a ≤…………………… 10分（Ⅲ）设p a 为凸数列}{n a 中任意一项， 由（Ⅱ）可知，1max{,}.p n t a a a a ≤≤再由（Ⅱ）可知，对任意的1p m n ≤<<均有1m p n mm m a a a a a a n m m p+--≥-≥--，（1）当1p t n ≤<<时，t pn t a a a a n t t p--≥--. 又因为n t a a ≤，所以0.t pn t a a a a n t t p--≥≥--所以.p t a a ≥（2）当1t p n <<≤时，11p t t a a a a p t t --≥--. 又因为1t a a ≤，所以10.1p t t a a a a p tt --≥≥--所以.p t a a ≥ （3）当p t =时，.p t a a = 所以.p t a a ≥ 综上所述，.p t a a =所以12n a a a ===. …………………… 14分。

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（理科）试卷2019年1月第一部分（选择题）一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合,，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【详解】∵集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝（1，3），B＝{x|2x﹣3＞0}＝（，+∞），∴A∩B＝（，3），故选：D．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，属于基础题．2.设向量，,则与垂直的向量的坐标可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出，判断哪个选项的向量与（﹣3，2）的数量积是0即可得出答案．【详解】；可看出（4，6）•（﹣3，2）＝0；∴．故选：C．【点睛】本题考查向量坐标的加法和数量积运算，以及向量垂直的充要条件．3.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f（2）的值，又由函数为奇函数，可得f（﹣2）＝﹣f（2），即可得答案．【详解】根据题意，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（2）＝22﹣1＝3，又由函数f（x）为R上的奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣3；故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质，关键是灵活运用函数的奇偶性的性质．4.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则a等于（）A. 1B. 2C. 3D.【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c的值，然后根据a、b、c的关系可求出a的值．【详解】抛物线y2＝12x的焦点坐标为（3，0），所以，双曲线的焦点坐标为（±3，0），所以，a2+5＝32＝9，∵a＞0，解得a＝2，故选：B．【点睛】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题．5.已知x,y满足不等式组则的最大值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出平面区域中各顶点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后求得目标函数z＝x+y的最大值．【详解】解：由不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分；三个顶点坐标为A（1，2），B（1，1），C（3，3）；将三个代入得z的值分别为3，2，6；∴直线z＝x+y过点C（3，3）时，z取得最大值为6．故选：D．【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，常用“角点法”解答，步骤为：①由约束条件画出可行域，②求出可行域各个角点的坐标，③将坐标逐一代入目标函数，④验证求得最优解．6.设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．【详解】∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b⇒log a b＜1，log a b＜1⇒a＞b，∴a＞b是log a b＜1的充分必要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为（）A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】由三视图画出该四棱锥的直观图，结合图形求出此四棱锥的四个侧面中面积最小的侧面面积．【详解】解：由三视图画出该四棱锥的直观图，如图所示；在此四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中，面积最小的侧面是Rt△PBC，它的面积为BC•PB1．故选：B．【点睛】本题考查了利用几何体的三视图求面积的应用问题，是基础题．8.设函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数图象上两点与的横坐标分别为和，则；②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；③设,是抛物线上不同的两点，则；④设,是曲线（是自然对数的底数）上不同的两点，则．其中真命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由新定义，利用导数求出函数y＝sin x、y＝x2在点A与点B之间的“弯曲度”判断①、③正确；举例说明②是正确的；求出曲线y＝e x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，判断④错误．【详解】对于①，由y＝sin x，得y′＝cos x，则k A＝cos1，k B＝cos（﹣1）＝cos1，则|k A﹣k B|＝0，即φ（A，B）＝0，①正确；对于②，如y＝1时，y′＝0，则φ（A，B）＝0，②正确；对于③，抛物线y＝x2的导数为y′＝2x，y A＝x A2，y B＝x B2，∴y A﹣y B＝x A2﹣x B2＝（x A﹣x B）（x A+x B），则φ（A，B）2，③正确；对于④，由y＝e x，得y′＝e x，φ（A，B），由不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），可得φ（A，B）1，∴④错误；综上所述，正确的命题序号是①②③．故选：C．【点睛】本题考查了命题真假的判断与应用问题，也考查了新定义的函数应用问题，解题的关键是对题意的理解．二、填空题．9.复数的共轭复数是____．【答案】【解析】【分析】先由复数代数形式的除法运算化简复数，再由共轭复数的定义可得答案．【详解】解：z，∴复数z的共轭复数是，故答案为：．【点睛】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题．10.设等比数列{a n}的公比，前n项和为，则_____．【答案】【解析】【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得．【详解】解：15．故答案是：15．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．11.已知角的终边与单位圆的交点为，则______．【答案】【解析】【分析】由任意角的三角函数的定义有，sinα，由平方关系sin2α+cos2α＝1，有：cosα＝±，由二倍角公式有sin2α＝2sinαcosα＝±，得解【详解】解：由三角函数的定义有：sinα，由sin2α+cos2α＝1，得：cosα＝±，由二倍角公式得：sin2α＝2sinαcosα＝±，故答案为：．【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义及二倍角公式，属简单题12.的展开式中含的项的系数是______．【答案】【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．【详解】解：（x）6的展开式的通项公式为T r+1•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，故展开式中x2的系数为15，故答案为：15．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．13.直线（为参数）与曲线（为参数）的公共点个数为______【答案】【解析】【分析】化简参数方程为直角坐标方程，然后判断曲线交点个数．【详解】解：直线（t为参数）的直角坐标方程为：y x；与曲线（θ为参数）的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2＝1．圆的圆心（2，0）到直线y x的距离为：1；所以直线与圆相切，有1个交点．故答案为：1．【点睛】本题考查直线的参数方程，圆的参数方程的求法，考查计算能力．14.已知函数若关于的方程有且只有一个实数根，则实数k的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】作出f（x）的函数图象，由直线y＝kx﹣2过（0，﹣2），联立，得x2﹣kx+2＝0，由△＝0，解得k 值，求出过（1，1）与（0，﹣2）两点的直线的斜率k，数形结合即可得到实数k的取值范围．【详解】作出y＝f（x）与y＝kx﹣2的函数图象如图所示：直线y＝kx﹣2过（0，﹣2），联立，得x2﹣kx+2＝0．由△＝k2﹣8＝0，得k．又过（1，1）与（0，﹣2）两点的直线的斜率k＝3．有图可知，若关于x的方程f（x）＝kx﹣2有且只有一个实数根，则实数k的取值范围为（0，3）∪{}．故答案为：（0，3）∪{}．【点睛】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．【答案】（Ⅰ）3 （Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）运用正弦定理可解决此问题；（Ⅱ）运用余弦定理和三角形的面积可解决此问题．【详解】（Ⅰ）在中，因为，所以．由正弦定理，所以．（Ⅱ）因为，所以．所以．在中，由余弦定理，得，解得或（舍）．所以的面积【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16.北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X 元，求X 的分布列；（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为元．试比较和的方差和大小．（结论不需要证明） 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）．【解析】 【分析】（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A ，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为个，事件A 中基本事件数63．由此能求出两站间票价不足5元的概率．（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为a 元，b 元．X 的所有可能取值为6，7，8，9，10，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列． （Ⅲ）D ξ＝D η．【详解】（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A ， 在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为78个，事件A 中基本事件数为78-15=63．所以两站间票价不足5元的概率．（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为元，元. X 的所有可能取值为6，7，8，9，10.，，，，．所以X的分布列为（Ⅲ）．【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、方差的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.如图，在三棱柱中，底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点M，使平面？说明理由.【答案】(Ⅰ)见证明；(Ⅱ) （Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）推导出AA1⊥CD，CD⊥AB，由此能证明CD⊥平面AA1B1B．（Ⅱ）取A1B1中点F，连结DF，如图空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣B1的余弦值．（Ⅲ）假设线段B1C1上存在点M，使BM⊥平面AB1E．则∃λ∈[0，1]，使得．求出平面AB1法向量，利用向量法能求出在线段B1C1上不存在点M，使BM⊥平面AB1E．【详解】（Ⅰ）证明：在三棱柱中，因为底面，CD⊂平面ABC，所以．又为等边三角形，为的中点，所以．因为，所以平面；（Ⅱ）取中点，连结，则因为，分别为，的中点，所以．由（Ⅰ）知，，如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，,,,,，，．设平面法向量，则即令，则，．即．平面BAE法向量．因为，，，所以由题意知二面角为锐角，所以它的余弦值为.（Ⅲ）解：在线段上不存在点M，使平面．理由如下．假设线段上存在点M，使平面．则，使得．因为，所以．又，所以．由（Ⅱ）可知，平面法向量，平面，当且仅当，即，使得．所以解得．这与矛盾．所以在线段上不存在点M，使平面．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查学生的计算能力，是中档题．18.已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于，两点，且．若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程．【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) y=x-1【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆C：1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为，列方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，P（3，y P），由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线l的方程．【详解】（Ⅰ）由题意得解得．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，由得.令，得．，．因为是以为顶角的等腰直角三角形，所以平行于轴．过做的垂线，则垂足为线段的中点．设点的坐标为，则．由方程组解得，即．而，所以直线的方程为y=x-1．【点睛】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．19.已知函数，其中．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，若曲线，有公共点，且在点处的切线相同，求的最大值．【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；（Ⅱ）设点P的横坐标为x0（x0＞0），由题意得，得到（a＞0）．设，利用导数求其最大值得答案．【详解】（Ⅰ）的定义域为．．令，得．当时，；当时，．所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）设点的横坐标为，则，．因为，，所以，．由题意得由得或（舍）．所以．设，则．令，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以在的最大值为，即的最大值为．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想方法，考查计算能力，是中档题．20.一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列的前项和为，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于的项的和为．（Ⅰ）求和；(Ⅱ)判断和的大小，不用证明；（Ⅲ）设，求证：，，使得．【答案】(Ⅰ)11,36 (Ⅱ)见证明；（Ⅲ）见证明【解析】【分析】（Ⅰ）由题意直接求得p5和f（5）；（Ⅱ）分别取n＝1，2，3，4，5．求得S n和f（n），比较大小得结论；（Ⅲ）取值验证n≤4时，命题成立．当n≥5时，设k是使得k2≤S n成立的最大自然数，只需证（k+1）2＜S n+1．可得1+3+5+…+（2k﹣1），f（n）＝1+3+5+…+p n，结合（Ⅱ）可知，当n≥5时，S n＜f（n），得到p n＞2k﹣1，从而p n+1＞2k+1．进一步得到．【详解】(Ⅰ)，；(Ⅱ)当时，，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，．所以当时，．当时，，，．不难看出，当时，．（Ⅲ）因为，，，，，所以当时，，使得；当时，，使得；当时，，使得；当时，，使得所以时，命题成立．当时，设是使得成立的最大自然数，只需证．因为，，由(Ⅱ)可知，当时，，所以，从而所以，即．综上可知，命题成立．【点睛】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．。

普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷1（北京卷）理科数学本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟，考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并收回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，若A B =A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,2}D ．{0,1,2} 2.下列函数中，在区间(0,}+∞上为增函数的是 A．y =B ．2=(1)y x -C ．2x y -=D ．0.5log (1)y x =+3.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的 A ．充分且不必要条件 B ．必要且不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既非充分也非必要条件4.设a ，b R ∈，若a b >，则 A ．11a b< B ．lg lg a b > C ． 22a b> D ．sin sin a b > 5.若输出的S 的值为64，则判断框内应填入的条件是 A .3?k ≤ B .3?k < C .4?k ≤ D .4?k > 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．B ．C ．D ．7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ） A ．12B ．40C ．60D ．808.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查''''OM ON O M O N ===； 项目③：打开过程中（如图2），检查''''OK OL O K O L ===； 项目④：打开后（如图3），检查123490∠=∠=∠=∠=︒； 项目⑤：打开后（如图3），检查''''AB A B C D CD ===．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（ ） A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．③④⑤第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

学科：网第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={x|｜x｜〈2｝，B=｛–2，0，1，2｝，则A B=（A）｛0,1} (B)｛–1，0，1｝（C）｛–2，0,1,2｝（D）{–1，0，1，2｝（2）在复平面内,复数11i的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B)第二象限（C)第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C)76（D）712(4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 （A)32f （B ）322f （C ）1252f（D ）1272f（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（6）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 （A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件(D ）既不充分也不必要条件（7）在平面直角坐标系中,记d 为点P （cos θ，sin θ)到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 （A)1 （B)2 （C ）3（D ）4（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则 （A)对任意实数a ,(2,1)A ∈（B ）对任意实数a ,（2，1）A ∉（C ）当且仅当a <0时，（2,1）A ∉ （D ）当且仅当32a ≤时，（2，1)A ∉ 第二部分(非选择题 共110分）二、填空题共6小题,每小题5分，共30分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

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第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A ={x ||x |<2}，B ={–2，0，1，2}，则A I B =（ ）（A ）{0，1} （B ）{–1，0，1} （C ）{–2，0，1，2} （D ）{–1，0，1，2} 1．【答案】A【解析】2x <Q ，22x ∴-<<，因此{}(){}2,0,1,22,20,1A B =--=I I ，故选A ．（2）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2．【答案】D【解析】()()11i 11i 1i 1i 1i 22+==+--+的共轭复数为11i 22-，对应点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限，故选D ．（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）（A ）12 （B ）56 （C ）76 （D ）7123．【答案】B【解析】初始化数值1k =，1s = 循环结果执行如下：第一次：()1111122s =+-⋅=，2k =，23k =≥不成立；第二次：()21151236s =+-⋅=，3k =，33k =≥成立， 循环结束，输出56s =，故选B ．（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）（A （B （C ） （D ） 4．【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，()12n n a n n -+∴=≥∈N ，，又1a f =，则7781a a q f===，故选D ．（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5．【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2PD =，2AD =，2CD =，1AB =，由勾股定理可知，PA =PC =3PB =，BC =，则在四棱锥中，直角三角形有，PAD △，PCD △，PAB △共三个，故选C ．（6）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 6．【答案】C【解析】2222223333699+6a b a b a b a b a a b b a a b b -=+⇔-=+⇔-⋅+=⋅+， 因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0a a b b a a b b a b a b -⋅+=⋅+⇔⋅⇔⊥， 即“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的充分必要条件．故选C ．（7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．【答案】C【解析】22cos sin 1θθ+=Q ，P ∴为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，故选C ．（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（ ）（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈ （B ）对任意实数a ，（2，1）A ∉（C ）当且仅当a <0时，（2，1）A ∉ （D ）当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉8．【答案】D【解析】若()2,1A ∈，则32a >且0a ≥，即若()2,1A ∈，则32a >，此命题的逆否命题为，若32a ≤，则有()2,1A ∉，故选D ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

通州区2017—2018学年度高三一模考试数学（理）试卷2018年4月本试卷分第一部分和第二部分两部分，共150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效•考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共40 分）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项•1•已知全集U =R ，集合A 「x|x -1：：：0?, B ・0,1,2?，那么e u A 「|B 等于A . ：0,1,2?B . d,2?C . ：0,1 /2 .已知x ,X y _0,y 满足x _1,x - y _ -2,那么 z = 2x y 的最小值是A. -1 C. 13.执行如右图所示的程序框图，若输出则输入k 的值可以是48B. 0 D. 2B . 6 D . 104.设 1 1 a =log 1 —, b =log 3, c = 3362c > b > a B . c > a > b-x • R , x 2 -bx 1 - 0成立”是“A .5. “A .充分而不必要条件 C .充分必要条件6. 已知抛物线y 2 =8x 的准线与圆心为 么 C^-CB等于m 的值是25 ,1'错误！未找到引用源。

，那么C . 0,11”的B .D .n = n +21r /输出m/4Im = m + n结束LJ必要而不充分条件 既不充分也不必要条件C 的圆 x 2 y 2 2x-8 =0交于 A ,B 两点，那开始n =1,m =1n k否是则该四棱锥侧视图的面积是A • 4、2 B• 4C • 2.2D • 28描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺•起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底•描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹•现甲、乙两位工匠要完成A , B , C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹•每道工序所需的时间（单位：工序\ 原料时间原料A原料B原料C上漆91610描绘花纹15814少需要第二部分（非选择题共110分）、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上•9•已知复数（1-i昭+ai ）是纯虚数，那么实数a=____________ .x = 1 ■ t,10•若直线I的参数方程为《（t为参数），则点P（4,0 ）到直线I的距离是_______ly = T +t11.已知数列牯,是等比数列，a3=4 , 4=32，那么範= ；记数列4-2 nla6的前n项和为S n，则S n = _______ .12・2位教师和4名学生站成一排合影，要求2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为 ________________ （结果用数字表示）.13 .在△ ABC中，角A , B , C的对边分别为a , b , c,已知B = 60 , b = 4 , 下列判断：A • 43小时B • 46小时C • 47小时D • 49小时①若c =、、3，则角C 有两个解; ③a c 不可能是9.其中判断正确的序号是 __________14.设函数 f(x) =x 2 acosx ， a R ，非空集合 M = | f (x) =0, x 三 Rf.① M 中所有元素之和为 ________ ;② 若集合N =& | f (f (x ))=0, x € R ｝，且M = N ，则a 的值是 ____________ . 三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15. (本题满分13分)已知函数 f (x )=sin p^cos — + >j 3 cos 2 -.I 2丿 2 2(I)求f x 的最小正周期；(n)求f x 在区间I-：： ,0上的最大值和最小值.16. (本题满分13分)作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负 着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目 • 2017年12月又根据通州区统计局 2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资 产投资1054.5亿元，比上年增长 12.2 % .(I)在图二中画出 2017年通州区全区完成全社会固定资产投资(柱状图)，标出增长率并补全折线图；(n)通过计算2011-2017这7年的平均增长率约为 17.2 %,现从2011-2017这7年中②若B C 品=12 ,则AC 边上的高为3 3 ;25日发布的《北京市通州区统计年鉴( 定资产投资939.9亿元，比上年增长 会固定资产投资及增长率，如图一 • 图一2017)》显示：2016年通州区全区完成全社会固17.4 %，下面给出的是通州区 2011-2016年全社2011-2016年全社会固定资产投资及增长率.I 全社会固定资产投资 增长率图二2011-2017年全社会固定资产投资及增长率随机选取2个年份，记X 为“选取的2个年份中，增长率高于 17.2 %的年份个数”，求 X 的分布列及数学期望；(川)设2011-2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为x 0，平均数为X ，比较X o 与X 的大小(只需写出结论)PAD _平面ABCD , △ PAD 为等腰直角三角形,PQ//DC , PQ 二 DC =1.(I)求证：PD //平面QBC ； (n)求二面角 Q - BC - A 的余弦值；(川)在线段QB 上是否存在点M ，使得AM 丄平面QBC ，若存在，求 QM 的值；若不存在，请说明理由QB|18. (本题满分13分)已知函数 f (x) = xe X , g(x) = a(e x -1), a R .(I)当 a =1 时，求证：f (x) _g(x)；(n)当a 1时，求关于x 的方程f(x)=g(x)的实根个数19. (本题满分13分)2 2X y已知椭圆C :二 2 =1 a b 0的上、下顶点分别为 A , B ，且AB = 2，离心a b寸3率为 ，O 为坐标原点.2(I)求椭圆C 的方程；(n)设P , Q 是椭圆C 上的两个动点(不与A , B 重合)，且关于y 轴对称，M , N 分别是OP , BP 的中点，直线AM 与椭圆C 的另一个交点为 D .求证：D , N , Q 三点共线.17.(本题满分14分)如图所示的几何体中，平面■ APD =90，四边形ABCD 为直角梯形,AB // DC , AB _ AD , AB = AD = 2 ,20. (本题满分14分)已知数列4=设■"■a^a n 1 -令n =1,2,3, |||，若数列LaJ为单调增数列或常数列时，则:a n ［为凸数列.(I)判断首项a! 0，公比q • 0，且q = 1的等比数列〈韦？是否为凸数列，并说明理由；(n)若玄｛为凸数列，求证：对任意的 1 - k ：： m ::: n，且k , m , n • N ,均有归至“m1 -a m ，且a m 乞max£,a n?;n「m m「k其中max ^1, a^表示印,a.中较大的数；(川)若玄［为凸数列，且存在t 1 ：：：t ：：： n,t・N，使得a t, a.乞a ,求证：a 二a?二丨11 二a n.6 22JI K所以当x 3 = 3，即 “0时，函数f (x)取得最大值 sin +3 2Tt JI当 x，即 " 5-时，函数 所以f x 在区间I--： ,0〕上的最大值和最小值分别为：：/3 和-1 —313高三数学(理科)一模考试参考答案、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B AC PD P B P D CB、填空题12. 2413.②③14. 0, 0三、解答题15.解：(I)因为 f (x )=sin ©-兰 Icos — +\3 cos2—I 2丿 22二 3二 sin I x+ +-.I 3丿2分所以f x 的最小正周期T =2二.6分“ 2 二二(n)因为 x ，I-二，0 J,所以 x+,—3]33」2018.49. -110. 2 n丄211.4, 2 - 1 - n …门 二sin cos- 2 2'一 3 cos 2- 2Jsinx Ucosx2 2f (x)取得最小值10r——j全社会固定资产投资書 增长率（n ）依题意，X 的可能取值为0, 1 , 2. 分分X0 122 4 1 P777」241 6所以X 的数学期望E X =0 1 2 . (10)7 7 7 7分（川）X 0 ：：： X. (13)分17.解：（I ）因为PQ//CD , PQ 二CD ，所以四边形PQCD 是平行四边形 所以 PD//QC.16.解：（I ）P （X =O ）¥ C 71 17，P （X-，P （X =2） 7_C 322011-2017年全社会固定资产投资及增长率所以二面角Q - BC - A 的余弦值是.6 6 (川)存在.设点 M a,b,c ,QMQB■ '0,11.所以 QM 二 a-1,b,c-1 , QB 二 1,-1,一1 .因为PD 二平面QBC , QC 二平面QBC , 所以PD //平面QBC. 分(n)取AD 的中点为0 ,因为PA =PD ，所以OP _ AD.因为平面PAD _平面ABCD , 0P 二平面PAD , 所以0P _平面ABCD . (5)分以点0为坐标原点，分别以直线0D , 0P 为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则x 轴在平面ABCD 内.因为一 APD = 90 , AB = AD ==2 , PQ = CD =1 ,所以 A 0, -1,0 , B 2, -1,0 , C 1,1,0 , Q 1,0,1 ,TT所以 BQ 二-1,1,1 , CQ 二 0,-1,1 . 分T” T设平面QBC 的法向量为n = x, y, z ，所以n0,即_x y 0CQ=0,:-y + z = 0.所以乙令z =1，则y =1, x = 2.y =乙 4所以 n 二 2,1,1 .又因为二面角 Q - BC - A 为锐角,设平面ABCD 的法向量为m 二 0,0,1 ,所以 cos n,m 二1 卫、6 1 6所以a — +1, b - - ■ , c - - ■ +1. 所以点M 1^^- 1 .所以AM =皆1, - 1, - 1 .又平面QBC的法向量为n =2,1,1 , AM _平面QBC，所以1所以.3■■ ■ 1 1所以在线段QB上存在点M，使AM —平面QBC，且QMQB的值是-.3141018. 解: (i)设函数F(x)二f x -g x = xe^ae x a.当a =1时，F (x)二xe x-e x 1，所以F '(x) = xe x.所以x (_：：,0)时，F '(x) ::: 0 ; x (0, •：：)时，F'(x) 0. 所以F (x)在(-皿,0)上单调递减，在(0, •二)上单调递增.所以当x =0时，F(x)取得最小值F(0) =0.所以F(x) _0,即f(x) _g(x).(n)当a 1 时，F'(x) =(x-a 1)e x,令F'(x) • 0,即(x-a 1)e x 0，解得x ・a-1 ；令F '(x) ：：： 0 ,即(x -a ■ 1)e x ::: 0，解得x a -1.所以F (x)在(-二，a-1)上单调递减，在(a-1, 上单调递增.所以当x二a-1时，F(x)取得极小值，即F(aT)=a-e a‘.令h(a)二a —e"，贝U h'(a) =1 一e a1X 。

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（理科）试卷2019年1月第一部分（选择题）一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合,，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【详解】∵集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝（1，3），B＝{x|2x﹣3＞0}＝（，+∞），∴A∩B＝（，3），故选：D．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，属于基础题．2.设向量，,则与垂直的向量的坐标可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出，判断哪个选项的向量与（﹣3，2）的数量积是0即可得出答案．【详解】；可看出（4，6）•（﹣3，2）＝0；∴．故选：C．【点睛】本题考查向量坐标的加法和数量积运算，以及向量垂直的充要条件．3.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f（2）的值，又由函数为奇函数，可得f（﹣2）＝﹣f（2），即可得答案．【详解】根据题意，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（2）＝22﹣1＝3，又由函数f（x）为R上的奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣3；故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质，关键是灵活运用函数的奇偶性的性质．4.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则a等于（）A. 1B. 2C. 3D.【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c的值，然后根据a、b、c的关系可求出a的值．【详解】抛物线y2＝12x的焦点坐标为（3，0），所以，双曲线的焦点坐标为（±3，0），所以，a2+5＝32＝9，∵a＞0，解得a＝2，故选：B．【点睛】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题．5.已知x,y满足不等式组则的最大值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出平面区域中各顶点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后求得目标函数z＝x+y的最大值．【详解】解：由不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分；三个顶点坐标为A（1，2），B（1，1），C（3，3）；将三个代入得z的值分别为3，2，6；∴直线z＝x+y过点C（3，3）时，z取得最大值为6．故选：D．【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，常用“角点法”解答，步骤为：①由约束条件画出可行域，②求出可行域各个角点的坐标，③将坐标逐一代入目标函数，④验证求得最优解．6.设，则“ ”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．【详解】∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b⇒log a b＜1，log a b＜1⇒a＞b，∴a＞b是log a b＜1的充分必要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为（）A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】由三视图画出该四棱锥的直观图，结合图形求出此四棱锥的四个侧面中面积最小的侧面面积．【详解】解：由三视图画出该四棱锥的直观图，如图所示；在此四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中，面积最小的侧面是Rt△PBC，它的面积为BC•PB1．故选：B．【点睛】本题考查了利用几何体的三视图求面积的应用问题，是基础题．8.设函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数图象上两点与的横坐标分别为和，则；②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；③设,是抛物线上不同的两点，则；④设,是曲线（是自然对数的底数）上不同的两点，则．其中真命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由新定义，利用导数求出函数y＝sin x、y＝x2在点A与点B之间的“弯曲度”判断①、③正确；举例说明②是正确的；求出曲线y＝e x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，判断④错误．【详解】对于①，由y＝sin x，得y′＝cos x，则k A＝cos1，k B＝cos（﹣1）＝cos1，则|k A﹣k B|＝0，即φ（A，B）＝0，①正确；对于②，如y＝1时，y′＝0，则φ（A，B）＝0，②正确；对于③，抛物线y＝x2的导数为y′＝2x，y A＝x A2，y B＝x B2，∴y A﹣y B＝x A2﹣x B2＝（x A﹣x B）（x A+x B），则φ（A，B）2，③正确；对于④，由y＝e x，得y′＝e x，φ（A，B），由不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），可得φ（A，B）1，∴④错误；综上所述，正确的命题序号是①②③．故选：C．【点睛】本题考查了命题真假的判断与应用问题，也考查了新定义的函数应用问题，解题的关键是对题意的理解．二、填空题．9.复数的共轭复数是____．【答案】【解析】【分析】先由复数代数形式的除法运算化简复数，再由共轭复数的定义可得答案．【详解】解：z，∴复数z的共轭复数是，故答案为：．【点睛】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题．10.设等比数列{a n}的公比，前n项和为，则_____．【答案】【解析】【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得．【详解】解：15．故答案是：15．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．11.已知角的终边与单位圆的交点为，则______．【答案】【解析】【分析】由任意角的三角函数的定义有，sinα，由平方关系sin2α+cos2α＝1，有：cosα＝±，由二倍角公式有sin2α＝2sinαcosα＝±，得解【详解】解：由三角函数的定义有：sinα，由sin2α+cos2α＝1，得：cosα＝±，由二倍角公式得：sin2α＝2sinαcosα＝±，故答案为：．【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义及二倍角公式，属简单题12.的展开式中含的项的系数是______．【答案】【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．【详解】解：（x）6的展开式的通项公式为T r+1•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，故展开式中x2的系数为15，故答案为：15．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．13.直线（为参数）与曲线（为参数）的公共点个数为______【答案】【解析】【分析】化简参数方程为直角坐标方程，然后判断曲线交点个数．【详解】解：直线（t为参数）的直角坐标方程为：y x；与曲线（θ为参数）的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2＝1．圆的圆心（2，0）到直线y x的距离为：1；所以直线与圆相切，有1个交点．故答案为：1．【点睛】本题考查直线的参数方程，圆的参数方程的求法，考查计算能力．14.已知函数若关于的方程有且只有一个实数根，则实数k的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】作出f（x）的函数图象，由直线y＝kx﹣2过（0，﹣2），联立，得x2﹣kx+2＝0，由△＝0，解得k 值，求出过（1，1）与（0，﹣2）两点的直线的斜率k，数形结合即可得到实数k的取值范围．【详解】作出y＝f（x）与y＝kx﹣2的函数图象如图所示：直线y＝kx﹣2过（0，﹣2），联立，得x2﹣kx+2＝0．由△＝k2﹣8＝0，得k．又过（1，1）与（0，﹣2）两点的直线的斜率k＝3．有图可知，若关于x的方程f（x）＝kx﹣2有且只有一个实数根，则实数k的取值范围为（0，3）∪{}．故答案为：（0，3）∪{}．【点睛】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．【答案】（Ⅰ）3 （Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）运用正弦定理可解决此问题；（Ⅱ）运用余弦定理和三角形的面积可解决此问题．【详解】（Ⅰ）在中，因为，所以．由正弦定理，所以．（Ⅱ）因为，所以．所以．在中，由余弦定理，得，解得或（舍）．所以的面积【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16.北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：四惠333344455555四惠东33344455555高碑店3334444555传媒大学333444455双桥33344444管庄3333444八里桥333344通州北苑33333果园3333九棵树333梨园33临河里3土桥四惠四惠东高碑店传媒大学双桥管庄八里桥通州北苑果园九棵树梨园临河里土桥（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X元，求X的分布列；（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为元．试比较和的方差和大小．（结论不需要证明）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）．【解析】【分析】（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为个，事件A中基本事件数63．由此能求出两站间票价不足5元的概率．（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为a元，b元．X的所有可能取值为6，7，8，9，10，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅲ）Dξ＝Dη．【详解】（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为78个，事件A中基本事件数为78-15=63．所以两站间票价不足5元的概率．（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为元，元.X的所有可能取值为6，7，8，9，10.，，，，．所以X的分布列为X678910（Ⅲ）．【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、方差的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.如图，在三棱柱中，底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点M，使平面？说明理由.【答案】(Ⅰ)见证明；(Ⅱ)（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）推导出AA1⊥CD，CD⊥AB，由此能证明CD⊥平面AA1B1B．（Ⅱ）取A1B1中点F，连结DF，如图空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣B1的余弦值．（Ⅲ）假设线段B1C1上存在点M，使BM⊥平面AB1E．则∃λ∈[0，1]，使得．求出平面AB1法向量，利用向量法能求出在线段B1C1上不存在点M，使BM⊥平面AB1E．【详解】（Ⅰ）证明：在三棱柱中，因为底面，CD⊂平面ABC，所以．又为等边三角形，为的中点，所以．因为，所以平面；（Ⅱ）取中点，连结，则因为，分别为，的中点，所以．由（Ⅰ）知，，如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，,,,,，，．设平面法向量，则即令，则，．即．平面BAE法向量．因为，，，所以由题意知二面角为锐角，所以它的余弦值为.（Ⅲ）解：在线段上不存在点M，使平面．理由如下．假设线段上存在点M，使平面．则，使得．因为，所以．又，所以．由（Ⅱ）可知，平面法向量，平面，当且仅当，即，使得．所以解得．这与矛盾．所以在线段上不存在点M，使平面．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查学生的计算能力，是中档题．18.已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于，两点，且．若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) y=x-1【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆C：1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为，列方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，P（3，y P），由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线l的方程．【详解】（Ⅰ）由题意得解得．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，由得.令，得．，．因为是以为顶角的等腰直角三角形，所以平行于轴．过做的垂线，则垂足为线段的中点．设点的坐标为，则．由方程组解得，即．而，所以直线的方程为y=x-1．【点睛】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．19.已知函数，其中．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，若曲线，有公共点，且在点处的切线相同，求的最大值．【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；（Ⅱ）设点P的横坐标为x0（x0＞0），由题意得，得到（a＞0）．设，利用导数求其最大值得答案．【详解】（Ⅰ）的定义域为．．令，得．当时，；当时，．所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）设点的横坐标为，则，．因为，，所以，．由题意得由得或（舍）．所以．设，则．令，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以在的最大值为，即的最大值为．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想方法，考查计算能力，是中档题．20.一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列的前项和为，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于的项的和为．（Ⅰ）求和；(Ⅱ)判断和的大小，不用证明；（Ⅲ）设，求证：，，使得．【答案】(Ⅰ)11,36(Ⅱ)见证明；（Ⅲ）见证明【解析】【分析】（Ⅰ）由题意直接求得p5和f（5）；（Ⅱ）分别取n＝1，2，3，4，5．求得S n和f（n），比较大小得结论；（Ⅲ）取值验证n≤4时，命题成立．当n≥5时，设k是使得k2≤S n成立的最大自然数，只需证（k+1）2＜S n+1．可得1+3+5+…+（2k﹣1），f（n）＝1+3+5+…+p n，结合（Ⅱ）可知，当n≥5时，S n＜f（n），得到p n＞2k﹣1，从而p n+1＞2k+1．进一步得到．【详解】(Ⅰ)，；(Ⅱ)当时，，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，．所以当时，．当时，，，．不难看出，当时，．（Ⅲ）因为，，，，，所以当时，，使得；当时，，使得；当时，，使得；当时，，使得所以时，命题成立．当时，设是使得成立的最大自然数，只需证．因为，，由(Ⅱ)可知，当时，，所以，从而所以，即．综上可知，命题成立．【点睛】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．。

2018年北京市通州区高考模拟考试数学(理)试卷4的右分支有公共点P，则P的坐标为（，）。

11．已知函数f(x)=ln(x2-6x+13)，则f(x)的定义域为（，）。

12．若A、B、C为三角形ABC的三个内角，则___=（）。

13．已知向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，则向量a×b的模长为（）。

14．已知函数f(x)=x3-3x2+2x+1，g(x)=e2x，则f(g(x))的解析式为（）。

三、解答题（共4小题，每小题20分，共80分．）15．（20分）已知函数f(x)=x3-3x2+2x+1，求f(x)的单调区间及极值。

16．（20分）已知函数f(x)=x2+px+q，其中p、q为常数，若f(x)的图象过点(-1,0)、(1,0)、(2,3)，求p、q的值。

17．（20分）已知三角形ABC，AB=AC，D为BC中点，E为AD的中点，连接BE、CE，交AC、AB于点F、G，如图所示。

证明：FG=BC。

18．（20分）已知函数f(x)=x3-3x2+2x+1，g(x)=e2x，h(x)=f(g(x))，求h(x)的单调区间及极值。

1.若双曲线的右顶点与a>相重合，则离心率e=a2/11.2.已知等差数列{an}中，a1=2，a2+a6+a10=36，则数列{an}的前6项和为a1+a2+。

+a6=(a1+a6)+(a2+a5)+(a3+a4)=2(a1+a6)+(a2+a5)+(a3+a4)=2(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)=2(36-a4-a5)+(a2+a9)+(a3+a8)=2(36-a4-a5)+2(a2+a8)=2(36-a4-a5)+2[2a2+(4-1)d]=2(36-a4-a5)+4(2+d)，其中d为公差。

3.直线x=2+t（t为参数）与曲线y=-1-t（α为参数）交于A，B两点，则AB的长度为√[(x2-x1)2+(y2-y1)2]=√[(t-α)2+1]。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合[]{}2x x|A <=,{}2,1,0,2-=B ,则=⋂B A（A ）{}1,0 （B ）{}1,0,1- （C ）{}2,1,0,2- （D ）{}2,1,0,1- （2）在复平面内，复数i-11的共轭复数对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第一象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）21（B ）65（B ）67（D ）127（4） “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分为十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（A ）f 32 （B ）f 322 （C ）f 1252 （D ）f 1272 （5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的 侧面中，直角三角的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（6）设 , a b 均为单位向量，则“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）在平面直角坐标系中，记d 为点p )sin ,(cos θθ到直线20x my --=的距离，当m ，θ变化时，d 的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （8）设集合(){}2ay 4,x y 1,ax y |x x,y A ≤->+≥-=，则（A ）对任意实数()A a ∈1,2, （B ）对任意实数()A a ∉1,2, （C ）当且仅当0<a 时，()A ∉1,2 （D ）当且仅当23≤a 时，()A ∉1,2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分（9）设{}n a 是等差数列，且36,3521=+=a a a ，则{}n a 通项公式为（10）在极坐标系中，直线)0(sin cos >=+a a θρθρ与圆θρcos 2=，则a = （11）设函数0))(6πx (f(x)>-=ϖϖcos ，若)πf(f(x)4≤对任意的实数x 都成立，则ϖ的最小值为（12）若x,y 满足2x y 1x ≤≤+，则x y -2的最小值是（13）能说明“若)0()(f x f >对任意的)2,0(∈x 都成立，则)(x f 在[]2,0上都是增函数”为假命题的一个函数是（14）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x M ：，双曲线12222=-ny m x N ：，若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰好为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题13分）在ABC ∆中，71cos ,8,7-===B b a ，（Ⅰ）求A ∠;（Ⅱ）求AC 边上的高.（16）（本小题14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中,⊥1CC 平面G F E D A B C ,,,,分别为1111,,,BB C A AC AA 的中点，2,51====AA AC BC AB（Ⅰ）求证：BEF AC 平面⊥； （Ⅱ）求二面角1C CD B --的余弦值； （Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交（17）（本小题12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1=k ξ”表示第k 类电影得到人们喜欢.“0=k ξ”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k =1,2,3,4,5,6），写出方差654321,,,,,ξξξξξξD D D D D D 的大小关系.（18）（本小题13分）设函数()()[]x 2e 34a x 14a ax x f +++-=（Ⅰ）若曲线()x f y =在点（1，()1f ）处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若()x f 在2=x 处取得极小值，求a 的取值范围.（19）（本小题14分）已知抛物线C :2px y 2=经过点()2,1P ，过点()1,0Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点B A ,,且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N . （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，υλ==,，求证：υλ11+为定值.（20）（本小题14分）设n 为正整数，集合(){}{}n k t t t t a a A k n ,2,11,0,,|21 =∈==，，对于集合A 中的任意元素()n 21x ,x x =α和()m 21y ,y y =β，记()()()()[]m n m n 22221111y x y x y x y x y x y x 21α,βM --+++--++--+=. （Ⅰ）当3n =时，若()0,1,1=α，()1,1,0=β，求()αα，M 和()βα，M 的值； （Ⅱ）当4=n 时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素βα，，当βα，相同时，()βα，M 是奇数，当βα，不同时，()βα，M 是偶数，求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素βα，，写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由.2018年北京高考理科数学试卷答案（详细解析）1.解：A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B={0，1}，故选：A．2．解：复数==，共轭复数对应点的坐标（，﹣）在第四象限．故选：D．3．解：在执行第一次循环时，k=1，S=1．在执行第一次循环时，S=1﹣=．由于k=2≤3，所以执行下一次循环．S=，k=3，直接输出S=，故选：B．4．解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：=．故选：D．5．解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC=，CD=，PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．故选：C．6．解：∵“|﹣3|=|3+|”∴平方得||2+9||2﹣6•=||2+9||2+6•则•=0，即⊥，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的充要条件，故选：C．7．解：由题意d==，tanα=﹣，∴当sin（θ+α）=﹣1时，d max=1+≤3．∴d的最大值为3．故选：C．8．解：当a=﹣1时，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确；当a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确；故选：D．9．解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．10．解：圆ρ=2cosθ，转化成：ρ2=2ρcosθ，进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径．则：=1，解得：a=1±．a＞0则负值舍去．故：a=1+．故答案为：1+．11．解：函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，可得：，k∈Z，解得ω=，k∈Z，ω＞0则ω的最小值为：．故答案为：．12．解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2y﹣x，则y=x+z，平移y=x+z，由图象知当直线y=x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由得，即A（1，2），此时z=2×2﹣1=3，故答案为：313．解：例如f（x）=sinx，尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，当x∈[0，）上为增函数，在（，2]为减函数，故答案为：f（x）=sinx．14．解：椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），解得e=．同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：；2．15．解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．16．（I）证明：∵E，F分别是AC，A1C1的中点，∴EF∥CC1，∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴EF⊥AC，∵AB=BC，E是AC的中点，∴BE⊥AC，又BE∩EF=E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，∴AC⊥平面BEF．（II）解：以E为原点，以EB，EC，EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，1），∴=（﹣2，1，0），=（0，﹣2，1），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=2可得=（1，2，4），又EB⊥平面ACC1A1，∴=（2，0，0）为平面CD﹣C1的一个法向量，∴cos＜，＞===．由图形可知二面角B﹣CD﹣C1为钝二面角，∴二面角B﹣CD﹣C1的余弦值为﹣．（III）证明：F（0，0，2），（2，0，1），∴=（2，0，﹣1），∴•=2+0﹣4=﹣2≠0，∴与不垂直，∴FG与平面BCD不平行，又FG⊄平面BCD，∴FG与平面BCD相交．17．解：（Ⅰ）设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部，第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25=50部，∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：P（A）==0.025．（Ⅱ）设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，第四类获得好评的有：200×0.25=50部，第五类获得好评的有：800×0.2=160部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：P（B）==0.35．（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：ξk=，则ξk服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影：E（ξ1）=1×0.4+0×0.6=0.4，D（ξ1）=（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6=0.24．第二类电影：E（ξ2）=1×0.2+0×0.8=0.2，D（ξ2）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16．第三类电影：E（ξ3）=1×0.15+0×0.85=0.15，D（ξ3）=（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.85）2×0.85=0.1275．第四类电影：E（ξ4）=1×0.25+0×0.75=0.15，D（ξ4）=（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.75）2×0.75=0.1875．第五类电影：E（ξ5）=1×0.2+0×0.8=0.2，D（ξ5）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16．第六类电影：E（ξ6）=1×0.1+0×0.9=0.1，D（ξ5）=（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9=0.09．∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系为：Dξ6＜Dξ3＜Dξ2=Dξ5＜Dξ4＜Dξ1．18．解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]e x．由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，可得（a﹣2a﹣1+2）e=0，解得a=1；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]e x=（x﹣2）（ax﹣1）e x，若a=0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．x=2处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a=，则f′（x）=（x﹣2）2e x≥0，f（x）递增，无极值；若a＞，则＜2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x=2处取得极小值；若0＜a＜，则＞2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；若a＜0，则＜2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是（，+∞）．19．解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），∴4=2p，解得p=2，设过点（0，1）的直线方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组可得，消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，∴△=（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，且k≠0，x 1+x2=﹣，x1x2=，故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，0）∪（0，1）；（Ⅱ）证明：设点M（0，y M），N（0，y N），则=（0，y M﹣1），=（0，﹣1）因为=λ，所以y M﹣1=﹣y M﹣1，故λ=1﹣y M，同理μ=1﹣y N，直线PA的方程为y﹣2=（x﹣1）=（x﹣1）=（x﹣1），令x=0，得y M=，同理可得y N=，因为+=+=+======2，∴+=2，∴+为定值．20．解：（I ）M（a，a）=2，M（a，β）=1．（II）考虑数对（x k，y k）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的分别为0、0、0、1，所以B中的每个元素应有奇数个1，所以B中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：（1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1），（0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0），对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M（α，β）是偶数，所以四元集合B={（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足题意，假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M（α，β）=1不合题意，故B中元素个数的最大值为4．（Il）B={（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…，（0，0，0，…，1）}，此时B中有n+1个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足M（α，β）=0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B有多于n+1个元素，由于α=（0，0，0，…，0）与任意元素β都有M（α，β）=0，所以除（0，0，0，…，0）外至少有n+1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足x i=y i=l，此时M（α，β）≥1不满足题意，故B中最多有n+1个元素．。

2018-2019学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．设向量＝（﹣3，4），＝（0，﹣2），则与+垂直的向量的坐标可以是（）A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（4，6）D．（4，﹣6）3．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣2）等于（）A．3B．﹣3C．﹣D．﹣4．已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则a等于（）A．1B．2C．35．已知x，y满足不等式组，则z＝x+y的最大值等于（）A．1B．2C．3D．66．设a，b∈（1，+∞），则“a＞b”是“log a b＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为（）A．1B．C．2D．8．设函数y＝f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y＝f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数y＝sin x图象上两点A与B的横坐标分别为1和﹣1，则φ（A，B）＝0；②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；③设A，B是抛物线y＝x2上不同的两点，则φ（A，B）≤2；④设A，B是曲线y＝e x（e是自然对数的底数）上不同的两点，则φ（A，B）＞1．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数z＝的共轭复数是．10．设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则＝．11．已知角α的终边与单位圆x2+y2＝1的交点为，则sin2α＝．12．（x﹣）6的展开式中x2的系数为．（用数字作答）13．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为．14．已知函数若关于x的方程f（x）＝kx﹣2有且只有一个实数根，则实数k的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，，AB＝4，，点D在AC边上，且．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．16．（13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位：元）如下：学苑（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X 元，求X 的分布列；（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为ξ元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为η元．试比较ξ和η的方差D ξ和D η大小．（结论不需要证明）17．（14分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，AA 1＝3，D ，E 分别为AB ，BC 的中点． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面AA 1B 1B ； （Ⅱ）求二面角B ﹣AE ﹣B 1的余弦值；（Ⅲ）在线段B 1C 1上是否存在一点M ，使BM ⊥平面AB 1E ？说明理由．18．（14分）已知椭圆C ： +＝1（a ＞b ＞0）过点A （0，1），且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．若直线x＝3上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，求直线l的方程．19．（13分）已知函数f（x）＝a2lnx﹣ax，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝x2﹣m，若曲线y＝f（x），y＝g（x）有公共点P，且在点P处的切线相同，求m的最大值．20．（13分）一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列{p n}的前n项和为S n，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于P n的项的和为f（n）．（Ⅰ）求p5和f（5）；（Ⅱ）判断S n和f（n）的大小，不用证明；（Ⅲ）设Γ＝k2（k∈N*），求证：∀n∈N*，∃Γ，使得S n＜Γ＜S n+1．2018-2019学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝（1，3），B＝{x|2x﹣3＞0}＝（，+∞），∴A∩B＝（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．设向量＝（﹣3，4），＝（0，﹣2），则与+垂直的向量的坐标可以是（）A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（4，6）D．（4，﹣6）【分析】可求出，这样只需判断哪个选项的向量与（﹣3，2）的数量积是0即可得出答案．【解答】解：；可看出（4，6）•（﹣3，2）＝0；∴．故选：C．【点评】考查向量坐标的加法和数量积运算，以及向量垂直的充要条件．3．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣2）等于（）A．3B．﹣3C．﹣D．﹣【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f（2）的值，又由函数为奇函数，可得f（﹣2）＝﹣f（2），即可得答案．【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（2）＝22﹣1＝3，又由函数f（x）为R上的奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣3；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质，关键是灵活运用函数的奇偶性的性质．4．已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则a等于（）A．1B．2C．3【分析】先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c的值，然后根据a、b、c的关系可求出a的值．【解答】解：抛物线y2＝12x的焦点坐标为（3，0），所以，双曲线的焦点坐标为（±3，0），所以，a2+5＝32＝9，∵a＞0，解得a＝2，故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题．5．已知x，y满足不等式组，则z＝x+y的最大值等于（）A．1B．2C．3D．6【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出平面区域中各顶点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后求得目标函数z＝x+y的最大值．【解答】解：由不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分；三个顶点坐标为A（1，2），B（1，1），C（3，3）；将三个代入得z的值分别为3，2，6；∴直线z＝x+y过点C（3，3）时，z取得最大值为6．故选：D．【点评】本题考查了线性规划的应用问题，常用“角点法”解答，步骤为：①由约束条件画出可行域，②求出可行域各个角点的坐标，③将坐标逐一代入目标函数，④验证求得最优解．6．设a，b∈（1，+∞），则“a＞b”是“log a b＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．【解答】解：∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b⇒log a b＜1，log a b＜1⇒a＞b，∴a＞b是log a b＜1的充分必要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．7．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为（）A．1B．C．2D．【分析】由三视图画出该四棱锥的直观图，结合图形求出此四棱锥的四个侧面中面积最小的侧面面积．【解答】解：由三视图画出该四棱锥的直观图，如图所示；在此四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中，面积最小的侧面是Rt△PBC，它的面积为BC•PB＝×1×＝．故选：B．【点评】本题考查了利用几何体的三视图求面积的应用问题，是基础题．8．设函数y＝f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y＝f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数y＝sin x图象上两点A与B的横坐标分别为1和﹣1，则φ（A，B）＝0；②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；③设A，B是抛物线y＝x2上不同的两点，则φ（A，B）≤2；④设A，B是曲线y＝e x（e是自然对数的底数）上不同的两点，则φ（A，B）＞1．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由新定义，利用导数求出函数y＝sin x、y＝x2在点A与点B之间的“弯曲度”判断①、③正确；举例说明②是正确的；求出曲线y＝e x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，判断④错误．【解答】解：对于①，由y＝sin x，得y′＝cos x，则k A＝cos1，k B＝cos（﹣1）＝cos1，则|k A﹣k B|＝0，即φ（A，B）＝0，①正确；对于②，如y＝1时，y′＝0，则φ（A，B）＝0，②正确；对于③，抛物线y＝x2的导数为y′＝2x，y A＝x A2，y B＝x B2，∴y A﹣y B＝x A2﹣x B2＝（x A﹣x B）（x A+x B），则φ（A，B）＝＝＝≤2，③正确；对于④，由y＝e x，得y′＝e x，φ（A，B）＝，由不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），可得φ（A，B）＜＝1，∴④错误；综上所述，正确的命题序号是①②③．故选：C．【点评】本题考查了命题真假的判断与应用问题，也考查了新定义的函数应用问题，解题的关键是对题意的理解．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数z＝的共轭复数是．【分析】先由复数代数形式的除法运算化简复数，再由共轭复数的定义可得答案．【解答】解：z＝＝＝＝﹣，∴复数z＝的共轭复数是，故答案为：．【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题．10．设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则＝15．【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得．【解答】解：＝＝＝＝15．故答案是：15．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．11．已知角α的终边与单位圆x2+y2＝1的交点为，则sin2α＝．【分析】由任意角的三角函数的定义有，sinα＝，由平方关系sin2α+cos2α＝1，有：cosα＝±，由二倍角公式有sin2α＝2sinαcosα＝±，得解【解答】解：由三角函数的定义有：sinα＝，由sin2α+cos2α＝1，得：cosα＝±，由二倍角公式得：sin2α＝2sinαcosα＝±，故答案为：．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义及二倍角公式，属简单题12．（x﹣）6的展开式中x2的系数为15．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，故展开式中x2的系数为＝15，故答案为：15．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．13．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为1．【分析】化简参数方程为直角坐标方程，然后判断曲线交点个数．【解答】解：直线（t为参数）的直角坐标方程为：y＝x；与曲线（θ为参数）的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2＝1．圆的圆心（2，0）到直线y＝x的距离为：＝1；所以直线与圆相切，有1个交点．故选：1．【点评】本题考查直线的参数方程，圆的参数方程的求法，考查计算能力．14．已知函数若关于x的方程f（x）＝kx﹣2有且只有一个实数根，则实数k的取值范围是（0，3）∪{﹣}．【分析】作出f（x）的函数图象，由直线y＝kx﹣2过（0，﹣2），联立，得x2﹣kx+2＝0，由△＝0，解得k值，求出过（1，1）与（0，﹣2）两点的直线的斜率k，数形结合即可得到实数k的取值范围．【解答】解：作出y＝f（x）与y＝kx﹣2的函数图象如图所示：直线y＝kx﹣2过（0，﹣2），联立，得x2﹣kx+2＝0．由△＝k2﹣8＝0，得k＝．又过（1，1）与（0，﹣2）两点的直线的斜率k＝3．有图可知，若关于x的方程f（x）＝kx﹣2有且只有一个实数根，则实数k的取值范围为（0，3）∪{﹣}．故答案为：（0，3）∪{﹣}．【点评】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，，AB＝4，，点D在AC边上，且．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．【分析】（1）运用正弦定理可解决此问题；（2）运用余弦定理和三角形的面积可解决此问题．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为，所以．由正弦定理得．（Ⅱ）因为∠ADB+∠CDB＝π，所以．所以．在△BCD中，由余弦定理BC2＝BD2+CD2﹣2BD•CD•cos∠CDB，得，解得CD＝4或CD＝﹣2（舍）．所以△BCD的面积＝．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的应用．16．（13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位：元）如下：（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X 元，求X 的分布列；（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为ξ元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为η元．试比较ξ和η的方差D ξ和D η大小．（结论不需要证明） 【分析】（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A ，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为＝78个，事件A 中基本事件数为78﹣15＝63．由此能求出两站间票价不足5元的概率．（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为a 元，b 元．X 的所有可能取值为6，7，8，9，10，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列． （Ⅲ）D ξ＝D η．【解答】解：（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A ， 在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为＝78个，事件A中基本事件数为78﹣15＝63．所以两站间票价不足5元的概率．（3分）（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为a元，b元．X的所有可能取值为6，7，8，9，10．（4分），，（6分），（7分），（8分）．（9分）所以X的分布列为…（10分）（Ⅲ）Dξ＝Dη．（13分）【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、方差的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求二面角B﹣AE﹣B1的余弦值；（Ⅲ）在线段B1C1上是否存在一点M，使BM⊥平面AB1E？说明理由．【分析】（Ⅰ）推导出AA1⊥CD，CD⊥AB，由此能证明CD⊥平面AA1B1B．（Ⅱ）取A1B1中点F，连结DF，如图空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣B1的余弦值．（Ⅲ）假设线段B1C1上存在点M，使BM⊥平面AB1E．则∃λ∈[0，1]，使得．求出平面AB1法向量，利用向量法能求出在线段B1C1上不存在点M，使BM⊥平面AB1E．【解答】证明：（Ⅰ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD．又△ABC为等边三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AB．……（2分）因为AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面AA1B1B；…………（3分）解：（Ⅱ）取A1B1中点F，连结DF，因为D，F分别为AB，A1B1的中点，所以DF⊥AB．由（Ⅰ）知CD⊥AB，CD⊥DF，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz．…………（4分）由题意得A（1，0，0），B（﹣1，0，0），，A1（1，3，0），B1（﹣1，3，0），，D（0，0，0），，，．………………………………………设平面AB1E法向量n1＝（x1，y1，z1），则，即，令x1＝1，则，．即＝（1，，）．…………（6分）平面BAE法向量．………………………（7分）因为＝2，，||＝，所以cos＜，＞＝＝．………………………………（8分）由题意知二面角B﹣AE﹣B1为锐角，所以二面角B﹣AE﹣B1的余弦值为．………………（9分）解：（Ⅲ）在线段B1C1上不存在点M，使BM⊥平面AB1E．理由如下．假设线段B1C1上存在点M，使BM⊥平面AB1E．则∃λ∈[0，1]，使得．因为，所以．……………………………………（10分）又，所以．…………………………（11分）由（Ⅱ）可知，平面AB1法向量＝（1，，），BM⊥平面AB1E，当且仅当∥，即∃μ∈R，使得＝＝（）．……………………………（12分）所以，解得．……………………（13分）这与λ∈[0，1]矛盾．所以在线段B1C1上不存在点M，使BM⊥平面AB1E．……………………（14分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查学生的计算能力，是中档题．18．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．若直线x＝3上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为，列方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，P（3，y P），由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为．所以由题意得…………………………………………（3分）解得a2＝3．所以椭圆C的方程为+y2＝1．…………………………………………（4分）（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，P（3，y P），………………………………由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0．………………………………（7分）令△＝36m2﹣48m2+48＞0，得﹣2＜m＜2．………………………………（8分），．…………………………………………（9分）因为△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，所以NP平行于x轴．…………………………………………（10分）过M做NP的垂线，则垂足Q为线段NP的中点．设点Q的坐标为（x Q，y Q），则．………………………（12分）由方程组，解得m2+2m+1＝0，解得m＝﹣1．……………（13分）而m＝﹣1∈（﹣2，2），所以直线l的方程为y＝x﹣1．………………………………………………（14分）【点评】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．19．（13分）已知函数f（x）＝a2lnx﹣ax，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝x2﹣m，若曲线y＝f（x），y＝g（x）有公共点P，且在点P处的切线相同，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；（Ⅱ）设点P的横坐标为x0（x0＞0），由题意得，得到（a＞0）．设，利用导数求其最大值得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．（a＞0）．令f'（x）＝0，得x＝a．当x∈（0，a）时，f′（x）＞0；当x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0．∴f（x）的单调递增区间为（0，a），单调递减区间为（a，+∞）；（Ⅱ）设点P的横坐标为x0（x0＞0），则，．∵，g'（x）＝2x，∴，g'（x0）＝2x0．由题意得由②得或x0＝﹣a（舍）．把代入①，可得（a＞0）．设，则．令h'（t）＝0，得．当时，h'（t）＞0，h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0，h（t）单调递减．∴h（t）在（0，+∞）上的最大值为，即m的最大值为．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想方法，考查计算能力，是中档题．20．（13分）一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列{p n}的前n项和为S n，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于P n的项的和为f（n）．（Ⅰ）求p5和f（5）；（Ⅱ）判断S n和f（n）的大小，不用证明；（Ⅲ）设Γ＝k2（k∈N*），求证：∀n∈N*，∃Γ，使得S n＜Γ＜S n+1．【分析】（Ⅰ）由题意直接求得p5和f（5）；（Ⅱ）分别取n＝1，2，3，4，5．求得S n和f（n），比较大小得结论；（Ⅲ）取值验证n≤4时，命题成立．当n≥5时，设k是使得k2≤S n成立的最大自然数，只需证（k+1）2＜S n+1．可得＝1+3+5+…+（2k﹣1），f（n）＝1+3+5+…+p n，结合（Ⅱ）可知，当n≥5时，S n＜f（n），得到p n＞2k﹣1，从而p n+1＞2k+1．进一步得到．【解答】解：（Ⅰ）p5＝11，f（5）＝1+3+5+7+9+11＝36；（Ⅱ）当n＝1时，S1＝2，f（1）＝1，S1＞f（1）；当n＝2时，S2＝2+3＝5，f（2）＝1+3＝4，S2＞f（2）；当n＝3时，S3＝2+3+5＝10，f（3）＝1+3+5＝9，S3＞f（3）；当n＝4时，S4＝2+3+5+7＝17，f（4）＝1+3+5+7＝16，S4＞f（4）．∴当n≤4时，S n＞f（n）．当n＝5时，S5＝2+3+5+7+11＝28，f（5）＝1+3+5+7+9+11＝36，S5＜f（5）．不难看出，当n≥5时，S n＜f（n）；证明：（Ⅲ）∵S1＝2，S2＝5，S3＝10，S4＝17，S5＝28，∴当n＝1时，Γ＝22，使得S1＜Γ＜S2；当n＝2时，Γ＝32，使得S2＜Γ＜S3；当n＝3时，Γ＝42，使得S3＜Γ＜S4；当n＝4时，Γ＝52，使得S4＜Γ＜S5∴n≤4时，命题成立．当n≥5时，设k是使得k2≤S n成立的最大自然数，只需证（k+1）2＜S n+1．∵＝1+3+5+…+（2k﹣1），f（n）＝1+3+5+…+p n，由（Ⅱ）可知，当n≥5时，S n＜f（n），∴p n＞2k﹣1，从而p n+1＞2k+1．∴，即．综上可知，命题成立．【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．。

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（理科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题 共40分）第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．11i 22-- 10．1511．± 12．15 13．114．{}{03k k <<-U 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．解：（Ⅰ）在ABD ∆中，因为1cos 3ADB ∠=-， 所以sin ADB ∠= ……………………………………………………………2分 由正弦定理sin sinBD ABBAD ADB=∠∠， ……………………………………………3分 所以4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠． …………………………………………5分 （Ⅱ）因为ADB CDB π∠+∠=，所以()1cos cos cos 3CDB ADB ADB π∠=-∠=-∠=． ……………………6分 所以sin CDB ∠=． ………………………………………7分 在BCD ∆中，由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠， ……8分得21179233CD CD =+-⨯⨯，解得4CD =或2CD =-（舍）． ………………………………………………11分 所以BCD ∆的面积1sin 2S BD CD CDB =⋅⋅∠13423=⨯⨯⨯= 13分 16．解：（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A ，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为213C =78个，事件A 中基本事件数为78-15=63．所以两站间票价不足5元的概率()2126P A =． 3分 （Ⅱ）记甲乙花费金额分别为a 元，b 元.X 的所有可能取值为6，7，8，9，10. 4分()()163,39P X P a b =====， 5分 ()()()173,44,36P X P a b P a b ====+===， 6分()()()()4983,55,34,4144P X P a b P a b P a b ====+==+===， 7分 ()()()595,44,524P X P a b P a b ====+===， 8分 ()()25105,5144P X P a b =====． 9分............10分（Ⅲ）D ξ=D η． 13分 17．（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，因为1AA ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以1AA CD ⊥． ………………………………………………1分又ABC ∆为等边三角形，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥． ………………………………………………2分 因为1AB AA A =I ，所以CD ⊥平面11AA B B ； ……………………………………………………3分 （Ⅱ）解：取11A B 中点F ，连结DF ，则因为D ，F 分别为AB ，11A B 的中点， 所以DF AB ⊥．由（Ⅰ）知CD AB ⊥，CD DF ⊥，如图建立空间直角坐标系D xyz -． …………4分 由题意得()1,0,0A ，()1,0,0B -，(C ，()11,3,0A ,()11,3,0B -,(1C ,()0,0,0D,12E ⎛- ⎝⎭，32AE ⎛=- ⎝⎭u u u r ，()12,3,0AB =-u u u r． ………………………………………5分设平面1AB E 法向量()1111,,x y z n =，则1110,0,AE AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即111130,2230.x z x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩ 令11x =，则123y =，1z =121,3⎛ ⎝n =． …………………6分 平面BAE 法向量()10,3,0AA =u u u r． ……………………………………………………7分因为()1120,3,01,23AA ⎛⋅=⋅= ⎝u u u r n ，13AA =u u u r，13==n ，所以111111cos ,10AA AA AA ⋅==u u u ru u u r u u u rn n n ． ………………………………………………8分由题意知二面角1B AE B --为锐角，所以它的余弦值为10. ………………9分 （Ⅲ）解：在线段11B C 上不存在点M ，使BM ⊥平面1AB E ．理由如下． 假设线段11B C 上存在点M ，使BM ⊥平面1AB E ．则[]0,1λ∃∈，使得111B M B C λ=u u u u r u u u u r．因为(11B C =u u u u r，所以()1B M λ=u u u u r． ……………………………………10分又()10,3,0BB =u u u r，所以()11BM BB B M λ=+=u u u u r u u u r u u u u r ． …………………………11分由（Ⅱ）可知，平面1AB E法向量121,3⎛ ⎝n =，BM ⊥平面1AB E ，当且仅当1BM u u u u rP n ，即R μ∃∈，使得123BM μμμ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭u u u u r ，=n ． ……………………………………12分所以233λμμ⎧=⎪⎪=⎨=，，．解得[]9012λ=∉，． ……………………………………13分这与[]0,1λ∈矛盾．所以在线段11B C 上不存在点M ，使BM ⊥平面1AB E ． ………………………………14分18．解：（Ⅰ）由题意得2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分解得23a =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y , ………………………………5分由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. ………………………………7分 令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<． ………………………………8分1232x x m +=-，2123(1)4x x m =-． …………………………………………9分因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴． …………………………………………10分 过M 做NP 的垂线，则垂足Q 为线段NP 的中点． 设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===． ………………………12分 由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，解得2210m m ++=，即1m =-． ……………13分而()122m =-∈-，， 所以直线l 的方程为1y x =-． ………………………………………………14分19．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞，． ……………………………………………1分()()2a a x a f x a x x-'=-=()0a >．………………………………………………2分令()0f x '=，得x a =． ………………………………………………3分 当(0,)x a ∈时，()0f x '>；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为(0,)a ，单调递减区间为(,)a +∞； ……………………5分（Ⅱ）设点P 的横坐标为00(0)x x >，则()2000ln f x a x ax =-，()200g x x m =-．因为2()a f x a x '=-，()2g x x '=，所以200()a f x a x '=-，00()2g x x '=．…………6分 由题意得22000200ln 2a x ax x m a a x x ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩①②，． …………………………………7分 由②得02ax =或0x a =-（舍）． …………………………………………8分所以223ln 42a m a a =-()0a >． …………………………………………9分设223()ln 0)42th t t t t =->（，则1()14ln 0)22t h t t t '=->（）（． …………………………………………10分令()0h t '=，得142t e =． …………………………………………11分 当1402t e <<时，()0h t '>，()h t 单调递增；当 142t e >时，()0h t '<，()h t 单调递减． 所以()h t 在0∞（，+)的最大值为1142(2)2h e e =，即m 的最大值为122e ． …………………………………………13分20．解：(Ⅰ)511p =，()5135791136f =+++++=； …………………………………………2分(Ⅱ)当1n =时，12S =，()11f =，()11S f >；当2n =时，2235S =+=，()2134f =+=，()22S f >；当3n =时，323510S =++=，()31359f =++=，()33S f >； 当4n =时，4235717S =+++=，()4135716f =+++=，()44S f >． 所以当4n ≤时，()n S f n >．当5n =时，523571128S =++++=，()5135791136f =+++++=，()55S f <．不难看出，当5n ≥时，()n S f n <． ……………………………………6分 （Ⅲ）因为12S =，25S =，310S =，417S =，528S =， 所以当1n =时，22Γ=，使得12S S <Γ<； 当2n =时，23Γ=，使得23S S <Γ<； 当3n =时，24Γ=，使得34S S <Γ<； 当4n =时，25Γ=，使得45S S <Γ<所以4n ≤时，命题成立． ……………………………………………………8分当5n ≥时，设k 是使得2n k S ≤成立的最大自然数，只需证()211n k S ++<．……………………………9分因为()21212n k k S k +-≥=135(21)k =++++-L ， ……………………10分()135n f n p =++++L ，由(Ⅱ)可知，当5n ≥时，()n S f n <， ……………………………………11分 所以21n p k >-，从而121n p k +>+． ……………………………12分 所以()221211n n S p k k k ++>++=+，即()211n S k +>+． ………………13分 综上可知，命题成立．注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．。