初中数学竞赛专题一：线段与角(word版 无答案)

线段与特殊角(2)姓名___________日期___________1. △ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B =5∠A ，若∠B 的最大角是m °，最小角是n °，求m +n 的值。

2. 如图28-4，求 ∠A +∠C +∠D +∠F +∠G +∠I+∠J +∠L －（∠B +∠E +∠H +∠K ）的大小，这里∠B 指∠ABC ，其他类推。

3. 如图28-5, 在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 上，且DE =EF =FD ，求证：∠DEB =12（∠ADF +∠CFE ）4. 在图28-6，△ABC 中，AB =AC ，∠A ≤45°，点P 、Q 分别在AC 、AB 上，且AP =PQ =QB =BC≤AQ ，求∠A 的大小。

5. 已知：如图28-7，△ABC 中，l 是∠C 的外角平分线，过AB 的中点O 且平行于l 的直线交AC 于点E ，已知AC =7，BC =4，求CE 的长．B LC C 图28-6 图28-7 图28-5 图28-46. 在4点和5点之间，时针与分针在何时 （1）成120°，（2）成90°7. 将一个等腰三角形ABC 划分为两个较小的等腰三角形，问这样的△ABC 、有几种形状？并将所有形状都列出来。

8. 如图28-9，设△ABC 内有一点M ，∠MBA =30°，∠MAB =10°，又∠ACB =80°，AC =BC ，求∠AMC9. 如图28-10，已知△ABC 中，AB =AC ，∠A =20°，D 在AB 内，且AD =BC ，求∠DCA10. 如图28-11， 求图中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的大小。

A B A图28-9 图28-1011. 如图28-12，△ABC 中，∠B =18°，∠C =36°，求证：BC －AC 为△ABC 外接圆半径。

初中数学竞赛精品标准教程及练习（39）线段、角的相等关系 一、内容提要证明线段、角的相等，在直线形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，若没有现成的，则要引辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。

构造全等三角形，要充分利用已知条件中的对应相等关系，添引辅助线要有利于增加对应相等的元素，要注意总结辅助线的规律，观察两个三角形全等时的一般位置特点（如翻转、旋转、平移等） 一. 证明两条线段相等常用的定理1. 在同一个三角形中，证明等角对等边。

2. 在两个三角形中，证明全等。

3.在平行线图形中①应用平行四边形的性质②用平行线等分线段定理4.运用比例式证明相等：若aya x = 则x=y ；若x y y x =则x=y5.应用等量代换、等式性质 二.证明两个角相等常用的定理 1. 在同一个三角形中，证明等边对等角。

2. 在两个三角形中，证明全等或相似。

3.在平行线图形中 ① 用平行四边形的对角相等 ② 行线的同位角相等，内错角相等③ 边分别互相平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等 ④ 角（或等角）的余角（或补角）相等 ⑤用等量代换、等式性质二、例题例1.证明等腰梯形的判定定理“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形” 已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝∠B 求证：AD ＝BC下面提供三种基本证法： 1.把BC 、AD 集中到同一个三角形，证它等腰三角形。

辅助线是：过点D 作DE ∥BC ，我们称它为“平移” ∵BCDE 是平行四边形，可证△DAE 为等腰三角形2.以BC 、AD 为对应边，构造两个全等三角形，为增加对应相等的元素，辅助线为：作两条高CM 和DN ，根据夹在平行线间的平行线段相等，可用角角边证全等。

3.由∠A ＝∠B ，可造等腰三角形，运用比例式性质证明，辅助线是：分别延长AD 和BC 交于P 。

PD C D C D CA EB A N M B A B例2.已知：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 和BD 相交于O,AD 、BC 的延长线相交于P 求证：PO 平分AB 证明：设PO 延长线交AB 于E ，交CD 于F∵AB ∥CD ∴AE DF ＝PE PF ＝BE CF ① AE CF ＝AO CO ＝BE DF①×②得 22BE DFCF AE CF DF ⋅=⋅ ∴AE 2＝BE 2 ∵AE ＞0，BE ＞0∴AE ＝BE ，即PO 平分AB 例3.已知：△ABC 中，AC ＝3AB ，AF 是∠A 的平分线，过点C 作CD ⊥AF ，D 是垂足求证：AD 被BC 平分 A证明：以AD 为轴作△ADC 的对称三角形ADE BB E那么DE ＝DC ，AE ＝AC ＝3AB ，BE ＝2AB G F取BE 的中点G ，连结DG EC则DG ∥BC ，∵AB ＝BG D∴AF ＝FD ，即AD 被BC 平分例4.已知：在△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点求证：PM ＝PN证明：取AB 中点Q ，AC 中点R 连结PQ ，PR ，MQ ，NRPQ ∥AC ，PQ ＝21AC ＝NRPR ∥AB ，PR ＝MQ∠PQM ＝∠PRN （两边分别垂直） ∴△PQM ≌△NRP ， PM ＝PN例5.已知：四边形ABCD 中AD ＝BC ，E ，F 分别是AB 、CD 的中点，延长AD ，BC 和EF 的延长线分别交于G ，H 求证：∠AGE ＝∠BHE证明：连结AC ，取AC 的中点P ，连结PE ∵PE 是△ABC 的中位线，∴PE ∥BC ，PE ＝21BC ， 同理PF ∥AD ，PF ＝21AD∴∠PEF ＝∠BHE ，∠PFE ＝∠AGE ∵AD ＝BC ，∴PE ＝PF ，∠PEF ＝∠PFE ∴ ∠AGE ＝∠BHE例6.已知：△ABC 中，∠A ＝Rt ∠，点O 是正方形BCDE 对角线的交点 求证：AO 是∠A 的平分线证明：过点O 作OF ⊥OA 交AC 的延长线于F∵∠ABC ，∠FCO 都是∠ACO 的补角 ∴ ∠ABC ＝∠FCOAB∵∠AOB ，∠FOC 都是∠AOC 的余角 ∴ ∠AOB ＝∠FOC 又∵OB ＝OC ∴△ABO ≌△FCO∴AO ＝FO ， ∠F ＝∠OAF ＝45 ∴ AO 是∠A 的平分线（△FCO 是△ABC 绕点旋转90 后的位置） 又证： ∵∠BAC ＋∠BOC ＝180∴A ，B ，O ，C 四点共圆，过ABOC 四点作辅助圆，在这个圆中 ∵弦OB ＝弦OC ∴弧OB ＝弧OC ∴圆周角BAO ＝∠OAC即 AO 是∠A 的平分线 三、练习39 1.在等边△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别截取AD ＝BE ＝CF ，连结AE ，BF ，CD 它们两两相交于P ，Q ，R ，则△PQR 也是等边三角形 2.已知：如图AB ＝AC ，AD ＝AE 求证：AF 平分∠BAC 3.如图P ，Q ，R 是等边三角形ABC 三边的中点，M 是BC 上的任意点，以PM 为一边作等边三角形PMN ，则RN ＝QM 4.如图△ABD ，△BCE 都是等边三角形，ADEF 是平行四边形，则△CAF 也是等边三角形 ②④5.中，AC AD ，BC 和AC ，BD 相交所成 6.AH 的延长线交EG 于M，求证：①ME ＝MG ，②AM ＝21BC7. △ABC 的∠C ＝Rt ∠，∠A ＝30 ，以AB ，AC 为边向形外作等边三角形ABD ，ACE ，求证CBCM BCDE 被AB 平分 8.等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝Rt ∠，BE 是中线，AD ⊥BE 交BC 于D ，交BE 于F ，求证：∠AEB ＝∠DEC 9.等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝Rt ∠，AD ∥BC ，且BD ＝BC ，设BD 和AC 相交于E ，求证CD ＝CE 10. △ABC 中，AD 是高，若AB ＋DC ＝AC ＋BD ，则AB ＝AC11. D ，E 分别在等边三角形ABC 的边BA ，BC 的延长线上，AD ＝BE 求证DC ＝DE 12. 正方形ABCD 中，E ，F 分别在BC ，CD 上且∠EAF ＝45 ，AH 是△ AEF 的高，求证 AH ＝AB13.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，MN ∥AB 交AD 于M ，交BC 于N 交AC 于E ，交BD 于F 则ME ＝NF 14.正方形ABCD 中，E ，F 是AB 延长线上的两个点，BE ＝BC ，BF ＝BD ，DF 交BC 于G ，交CE 于H 求证：CH ＝CB ，HG ＝HF 练习39参考答案： 1.先△ABE ≌△BCF ≌△CAD ，2.三次全等，3.证△PQM ≌△PRN 4.△ABC ≌△DBE ，∠BAC ＋ ∠DAF ＝∠BDE ＋∠DEF ＝60 ＋180 1. 取CD 的中点M ，连结ME ，MF 6. △EAM ≌△ABH 5. 作△ABD 的高DF ，证△BDF ≌△BAC 6. 作斜边上高，找全等三角形 7. 求出∠DBC ＝30 ，有两种图形8.延长BC 到N ，使CN ＝AB ，延长CB 到M ，使BM ＝AC ， 证△AMD ≌△AND ，△CAN ≌△MBA 9. 延长BE 到F ，使EF ＝BC 10.延长CB 到G 使BG ＝DF13. 证明CDNFCD ME 14.∠CDF ＝∠F ＝∠BDF ＝∠DHC ＝22.5。

七年级数学线段与角练习题1、 75° 40′ 30″的余角是，补角是。

角X的余角是，补角是。

2、一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的 3 倍，那么这个角是___________.3、∠与∠互余，且∠40 15’，那么∠的余角为_______，∠的补角为______．4、一个角的余角等于它的补角的1,那么这个角是______；一个角等于它的补角的5倍,那么这个角的补角的余角是35、钟表上8∶ 30 时，时钟上的时针与分针间的夹角是；钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是6、线段 AB=5,延长 AB 到 C, 使 BC=2AB,假设 D为 AB 的中点 , 那么 DC的长是 _________ ．7、如图 , D 为 AB的中点 , E 为 BC的中点 , AD＝1cm,EC＝ 1.5cm,那么 DC＝ ____cm.8 如图，假设 C 为线段 AB的中点， D在线段 CB上，DA6，DB 4 ，AC D B 那么 CD=_____9、C为线段 AB上的一点，点D为 CB的中点，假设 AD=4，那么 AC+AB的长是。

10、把一条长 24cm的线段分成三段，使中间一段的长为6cm，那么第一段与第三段中点的距离是。

11、如图，点 C在线段 AB上， E 是 AC的中点， D是 BC的中点，假设 ED=6，那么 AB的长为．AE C D B F E D12、以以下列图，直线AB、 CD订交于点AB O，作∠ DOE=∠BOD， OF均分∠ AOE，假设∠AOC=20°，O那么∠ EOF=。

C图13、如图，直线AB， CD订交于点O， OA均分∠ EOC，∠ EOC=70，那么∠ BOD的度数等于 ______ ．14、如图，∠ AOD=80°, ∠ AOB=30°,OB 是∠ AOC的均分线，那么∠ AOC的度数为 _________，∠ COD的度数为 ___________．DCBO图 3AA65015、如图，点 A 位于点 O的方向上．〔〕 .A、南偏东 35° B 、北偏西65° C、南偏东65° D、南偏西 65°O16、如图，点 A、 O、 E 在同素来线上，∠AOB=40°，∠ EOD=28°46’， OD均分BC∠ COE，那么∠ COB的度数为.DA O E17、以以下列图，将一幅三角板叠在一起，使直角的极点重合于点O，D那么∠ AOB+∠DOC的值〔〕A、小于 180° B 、等于180° C 、大于 180° D、不能够确定A CB18、如图，是由四个1×1的小正方形组成的大正方形，O那么∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=〔〕A．180°B．150°C．135° D．120°解答题： 1、计算：(1)；(2)；(3)× 7；(4)÷9．2、以以下列图，线段AD=8cm，线段 BC=4cm， E、 F 分别是 AB、 CD的中点，且AB=CD，求 EF 的长度．3、将线段AB分为 2∶3∶4三局部 ,假设第一和第三局部的线段的中点间距离为 5.4 米 ,求AB的长．4、如图，∠ AOC=，OB是∠ AOC的均分线，OE，OF分别是∠ AOB，∠ BOC的均分线．求：∠BOF与∠ EOB 的和．5、如图，∠ AOB=90o，∠ AOC=30o，且 OM均分∠ BOC， ON 均分∠ AOC，（1〕求∠ MON的度数．（2〕假设∠ AOB=α其他条件不变，求∠ MON的度数．（3〕假设∠ AOC=β〔β为锐角〕其他条件不变，求∠ MON的度数（4〕从上面结果中看出有什么规律？6、如图。

初中数学竞赛：线段与角线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念，这两个概念在日常生活中有着广泛的应用．小明做作业需要买一些文具．在他家的左边200米处有一家文具店，他从家出发向文具店走去，走到一半发现忘了带钱，又回家取钱买了文具后回到家中．问小明共走了多长的路程？在高层建筑中，一般都设有电梯，人们上楼一般都乘坐电梯，你想过吗，设计电梯与线段的什么性质有关？钟表是大家熟悉的计时工具，你可曾观察过在2点到3点之间什么时候时针与分针重合？什么时候时针与分针成90°角？我们还可以在日常生活中提出许多与线段和角有关的问题，不少问题很有趣，也颇费脑筋，对于留心观察、勤于思考的人来说是锻炼脑筋的好机会．例1 已知：AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E，F分别是AB和CD的中点，且EF=12厘米(cm)，求AD的长(如图1－6)．分析线段EF是线段AD的一部分，题设给出了EF的长度，只要知道线段EF占全线段AD的份额，就可求出AD的长了．解因为AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E是AB中点，F是CD中点，将线段AD 9等分(9=2+3+4)且设每一份为一个单位，则AB=2，BC=3，CD=4，EB=1，CF=2．从而EF=EB+BC+CF=1+3+2=6，例2 在直线l上取 A，B两点，使AB=10厘米，再在l上取一点C，使AC=2厘米，M，N分别是AB，AC中点．求MN的长度(如图1－7)．分析因为是在直线上取C点，因此有两种情形：C点在A点的右侧或C点在A点的左侧．解若C点在A点的右侧(即在线段AB上)．因为AC=2厘米， N为 AC中点，所以 AN=1厘米；又 AB=10厘米，M为AB中点，所以AM=5厘米．则MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如图1－7(a))．若C点在A点的左侧(即在线段BA延长线上)，此时MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如图 1－7(b))．线段的最基本性质是“两点之间线段最短”，这在生活中有广泛应用．前面所提到的高层建筑所设电梯的路线，就是连接两层楼之间的线段，而楼梯的路线则是折线，电梯的路线最短．例3 如图1－8所示．在一条河流的北侧，有A，B两处牧场．每天清晨，羊群从A出发，到河边饮水后，折到B处放牧吃草．请问，饮水处应设在河流的什么位置，从A到B 羊群行走的路程最短？分析将河流看作直线l(如图1－9所示)．设羊群在河边的饮水点为C＇，则羊群行走路程为AC＇+C＇B．设A关于直线l的对称点为A＇，由对称性知C＇A＇=C＇A．因此，羊群行走的路程为A＇C＇+C＇B．线段A＇C＇与 C＇B是连结点A＇与点B之间的折线．由线段的基本性质知，连结点A＇与点B之间的线中，线段A＇B最短．设线段A＇B与直线l交于C．那么，C点就是所选的最好的饮水地点，下面我们来说明这一点．解作A关于直线l的对称点A＇．连结B，A＇，并设线段BA＇与l交于C．设C＇是l 上不同于C的另外一点，只要证明AC＇+C＇B＞AC+CB ①即可．利用线段基本性质及点关于直线的对称性知AC＇=C＇A＇及 CA=CA＇，所以AC＇+C＇B=C＇A＇+C＇B，AC+CB=CA＇+CB=A＇B．而C＇A＇与C＇B是连结A＇，B的折线，而A＇B则是连结这两点之间的线段，所以C＇A＇+C＇B＞A＇B=A＇C+CB=AC+CB，从而①成立，即选择C点作为羊群的饮水点，羊群的行程最短．例4将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围．分析设AB是所围成的五边形ABCDE的某一边(图 1－10)，而线段BC，CD，DE，EA则可看成是点A，B之间的一条折线，因此，AB＜BC+CD+DE+EA．如果AB是最长的一段，上面的不等式关系仍然成立，从而可以求出它的取值范围．解设最长的一段AB的长度为x厘米，则其余4段的和为(10-x)厘米．由线段基本性质知x＜10-x，所以x＜5，即最长的一段AB的长度必须小于5厘米．例5若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的邻补角．分析这个问题涉及到一个角的余角、补角及两个角的比的概念，概念清楚了，问题不难解决．解设这个角为α，则这个角的余角为90°-α，这个角的补角为180°-α．依照题意，这两个角的比为(90°-α)∶(180°-α)=2∶7．所以360°-2α=630°-7α，5α=270°，所以α=54°．从而，这个角的邻补角为180°-54°=126°．例6若时钟由2点30分走到2点50分，问时针、分针各转过多大的角度？分析解这个问题的难处在于时针转过多大的角度，这就要弄清楚时针与分针转动速度的关系．每一小时，分针转动360°，而时针转动解在2点30分时，时钟的分针指向数字6；在2点50分时，时钟的分针指向数字10，因此，分针共转过“四格”，每转“一格”为30°，故分针共转过了4×30°=120°．在钟表中，有很多有关分针、时针的转角问题．解决这类问题的关倍)．例7时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分钟与时针第一次重合(图1－11)？分析在开始时，从顺时针方向看，时针在分针的“前方”，它们相差 5×30°=150°．由于分针转动速度远远大于时针转动速度(是它的12倍)，因此，总有一刻，分针“追上”时针(即两者重合)．具体追上的时刻决定于开始时，分针与时针的角度差及它们的速度比．解如分析，在开始时，分针“落后”于时针150°．设分针与时针第一次重合时，时针转动了α角，那么，分针转动了(150°+α)．因为分钟转速是时针的12倍，所以150°+α=12α，说明钟表里的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追击问题非常相似．行程问题中的距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时(分)针的转动速度．下面再看一例．例8 在4点与5点之间，时针与分针在何时(1)成120°(图1－12)；(2)成90°(图1－12)．分析与解 (1)在4点整时，时针与分针恰成120°．由于所问的时间是介于4点到5点之间，因此，这个时间不能计入．从4点开始，分针与时针之间的角度先逐步减少，直至两针重合(夹角为0°)．之后，分针“超过”时针，两针之间的夹角又逐渐增大(此时，分针在时针的前面)．直到两针夹角又一次成为120°，这个时间正是我们所要求的．设时针顺时针转过a角后，时针与分针(分针在时钟前)成120°，则12a=120°+a+120°，由于时针每转过30°(如从指向数字4转到指向数字5)相当于1经过了(2)如图1－13(a)，(b)所示．由于在整4点时，时针与分针夹角为120°，因此，在4点与5点之间，时针与分针成90°有两种情况：(i)时针在分针之前(如图1－13(a))．设时针转了a角，分针转了12a角，有120°+α=90°+12α，所以11α=30°，用时(ii)时针在分针之后(如图1－13(b))，此时，有关系12α-α=120°+90°，11α=210°，用时间时，时针与分针成90°．说明由于时针与分针所成角依时针与分针的“前”“后”次序有两种情况，因此，按两针夹角情况会出现一解或两解．【练习】1．如图1－14所示．B，C是线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点．若MN=a，BC=b，求AD．2．如图1－15所示．A2，A3是线段A1A4上两点，且A1A2=a1，A1A3=a2，A1A4=a3．求线段A1A4上所有线段之和．3．如图1－16所示．两个相邻墙面上有A，B两点，现要从A点沿墙面拉一线到B点．问应怎样拉线用线最省？4．互补的两角之差是28°，求其中一个角的余角．5．如图1－17所示．OB平分∠AOC，且∠2∶∠3∶∠4=2∶5∶3．求∠2，∠3，∠4．6．在晚6点到7点之间，时针与分针何时成90°角？7．在4点到6点之间，时针与分针何时成120°角？。

A EBC FD 线段与角一、要点归纳：直线、射线、线段·经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

/两点确定一条直线。

·直线、线段等要用小写字母表示，点要用大写字母表示。

·当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做他们的交点。

·射线和线段都是直线的一部分。

·点M 把直线AB 分成相等的两条线段AM 与MB ，点M 叫做线段AB 的中点。

·两中点所夹线段的长度=最长线段的一半·两点的所有连线中，线段最短。

/两点之间，线段最短。

·两点距离的定义：连接两点间线段的长度，叫做这两点的距离。

（距离是长度）·延长线段AB 是指按从端点A 到B 的方向延长；延长线段BA 是指按从端点B 到A 的方向延长，这时也可以说反方向延长线段AB 。

·握手问题：次数=n （n-1）÷2·三角形、四边形的外角和是360°二、典例示范例1.⑴过平面上的四点可以画多少条直线？⑵过平面上五点最多可画多少条直线？⑶过平面上n 个点最多可画多少条直线？例2如图，点B,C 在线段AD 上，E 为AB 的中点，F 为CD 的中点，若EF=10，BC=3,求AD 长。

:提示：利用中点，线段的和差找出已知与未知的关系点评：这类题常涉及到中点，线段的和差倍分（份），等量代换，等，有时要用整体思想、方程思想解题。

例3读下列语句，画出相应的图形（1） 直线m,n 相交于P,点A 在m 上，但不在n 上。

（2） 在直线m 的两侧分别取A,B 两点，直线AB 与m 相交于D ，过D 点再作一直线a ，但不过A 点，且不与m 重合，再取BD 的中点E 作直b 平行于m,交a 于F 。

例4如图：已知线段AB :BC :CD =2:3:4,F E ,分别是CD AB ,的中点，EF =12,求A EBC F DAM D B N C A M C P D Q EN B A K M N H B AD例5,在工作台的流水线A,B,C,D,E 处各有一个工人，5个人取工具的次数相同，如果AB=BC=CD=DE, 那么把工具箱放在何处，才能使5个工人取工具的时间最短？作业：1.一条直线上有A,B,C 三点，AB 的中点为P,AB=10cm,BC 的中点为Q,BC=6cm,则PQ 的长度为多少？2如图：已知线段CD AB BD 4131==.,点M,N 分别为线段B,CD 的中点，且MN= 20cm,，求AC 的长。

一、选择题1.（2019广西崇左，5，2分）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是 ． 考点：线段的性质：两点之间线段最短．分析：根据线段的性质：两点之间线段最短解答．解答：解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．点评：本题考查了两点之间线段最短的性质，是基础题，比较简单．2. （2019清远，6，3分）已知∠α＝35°，则∠α的余角是（ ）A.35° B .55° C .65° D .145°考点：余角和补角.专题：计算题.分析：根据互为余角的两个角的和为90度作答．解答：解：根据定义∠α的余角度数是90°﹣35°＝55°．故选．点评：本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角．属于基础题，较简单．3. （2019•南通）已知∠α=20°，则∠α的余角等于 70° ．考点：余角和补角。

分析：若两个角的和为90°，则这两个角互余；根据已知条件可直接求出角α的余角．解答：解：∵∠α=20°，∴∠α的余角=90°﹣20°=70°．故答案为：70°．点评：本题考查了余角的定义，解题时牢记定义是关键．4. （2019•柳州）如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（ ）A 、∠2和∠3B 、∠1和∠3C 、∠1和∠4D 、∠1和∠2考点：对顶角、邻补角。

专题：推理填空题。

分析：两条直线相交后，所得的只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．解答：解：根据同位角、同旁内角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A 、∠2和∠3是对顶角，正确；B 、∠1和∠3是同旁内角，错误；C 、∠1和∠4是同位角，错误；D 、∠1和∠2的邻补角是内错角，错误．故选A ．点评：解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．5. (2019四川雅安8，3分)已知线段AB =10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC 的长为（ ）A cm )1055(-B cm )5515(-C cm )555(-D cm )5210(-考点：黄金分割。

七年级数学“线段与角”经典题型详解一、《线段、射线、直线》与《角》例1 线段中点与角平分线①若一条线段上有n个点，则这n个点可组成n/2（n+1）条线段；②从一个点出发引出n条射线，则这n条射线可组成n/2（n+1）个角。

例2 线段类与角类多解问题例3 双中点问题与双角平分线问题（1）例4 双中点问题与双角平分线问题（2）例5 数线段条数与角的个数二、行程问题与钟面角问题例6 追击类问题（1）例7 追击类问题（2）二、六道题突破“线段与角”所有难题1、方程思想例1：已知∠AOB＝160°，∠COE＝80°，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF＝n°，则∠BOE＝______°，∠BOE与∠COF的数量关系为_______；（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE 与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF＝3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由．分析：(1)(2)根据∠EOC和∠COF的度数，可以求出∠FOE的度数，从而可求∠AOE的度数，从而将∠AOB的度数减去∠AOE的度数，就是∠BOE的度数，若将∠EOF 的度数用n来表示，或将位置改变，方法也是不变的．(3)要求∠COF的度数，只需求出∠EOF的度数，用∠COE的度数相减即可．而要求∠EOF的度数，我们可以借助∠DOF＝3∠DOE的条件，最后，利用∠AOD＋∠BOD＝160°，建立方程．解答：(1)设∠COF＝n°，∠FOE＝∠COE－∠COF＝(80－n)°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE ＝2∠FOE＝(160－2n)°，∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE ＝160°－(160－2n)°＝2n°，∴∠BOE＝2∠COF．(2)结论仍然成立，方法同(1)．(3)∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，设∠DOE＝x°，∴∠DOF＝3x°，∠FOE＝∠DOF－∠DOE＝2x°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠FOE＝4x°，∴∠AOE＋∠DOE＋∠BOD＝∠AOB，4x＋x＋90＝160，x＝14，∴∠EOF＝2x°＝28°，∠COF＝∠COE－∠EOF＝80°－28°＝52°2、分类讨论例2：分析：解答：3、旋转相关例3：已知直线AB和CD交于点O，∠AOC 的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．(1)当x＝19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数．(2)当x＝60°，射线OE、OF 分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF 重合时至少需要多少时间?(3)当x＝60°，射线OE以10°/s 的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动．射线OE在转动一周的过程中当∠EOF＝90°时，求射线OE 转动的时间．分析：(1)问非常简单，不再赘述．(2)这是一个追及问题，射线OE的速度快，显然是OE在后追OF，追及的度数是用360°减去∠EOF的度数．(3)由于方向变化，问题又变成了一个相遇问题，相遇前，两射线的夹角与第(2)问相同，要使夹角为90°，则转过的度数之和分3种．相遇之前，夹角为90°，即转过的度数之和为(2)中的度数减去90°．相遇之后，夹角为90°，即转过的度数之和为(2)中的度数加上90°．相遇之后，夹角为(360－90)°，即转过的度数之和为(2)中的度数加上(360－90)°．解答：(1)∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝∠AOB－∠BOE ＝180°－90°＝90°，∴∠EOC＝∠AOE－∠AOC ＝90°－19°48′＝70°12′∠AOD＝∠COD－∠AOC ＝180°－19°48′＝160°12′∵OF平分∠AOD，∴∠FOD＝1/2∠AOD＝80°6′(2)∵∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°，∠AOF＝60°，∠EOF＝∠AOF＋∠AOE＝150°，解设t秒后重合，(10－4)t＝360－150，t＝35．(3)4、定值探究例4：分析：解答：5、双角平分线例5：如图，两个形状、大小完全相同的含有30°，60°角的三角尺如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角尺PAC，三角尺PBD均可以绕点P逆时针旋转．(1)试说明：∠DPC＝90°；(2)如图②，若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P 逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；(3)如图③，若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角尺PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，在两个三角尺旋转过程中(PC转到与PM重合时，两三角尺都停止转动)，试说明：∠BPN ＝2∠CPD．分析：(1)问简单，不再赘述．(2)典型的双角平分线问题，先找出现两次的边，即公共边，PD，则组成∠EPF的两条边，PE，PF，必然与PD形成2个角，∠FPD，∠EPD，则∠EPF必为这两个角的差或和，然后利用一半减一半，或一半加一半解决．(3)分别用含t的代数式表示∠BPN，∠CPD，注意∠CPD在表示时，要考虑到PD旋转到MN下方的情况，因此，用平角∠MPN＋∠MPN－∠BPD－∠APC －∠APN最合适．解答：(1)∵PA，PB与直线MN重合，∴∠APB＝180°又∵∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，∴∠DPC＝∠APB－∠CPA－∠DPB ＝180°－30°－60°＝90°；6、动点综合例6：已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．（1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？（2）问多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位？若此时甲调头往回走，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．（3）若甲、乙两只电子蚂蚁（用P表示甲蚂蚁、Q表示乙蚂蚁）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、甲蚂蚁P 与乙蚂蚁Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．分析：本题是一道好题，将动点问题中3个重要知识点串联在了一起，(1)如何表示t 秒时，某个点表示的数，(2)如何表示t秒时，两个点之间的距离，(3)如何表示两个点的中点．(1)问，可以用行程问题解决，但我们可以用相遇时，这两个点表示的数相等来建立方程．(2)分别用含t的绝对值代数式来表示后甲到A，B，C三点的距离．然后建立关于t的绝对值方程，注意，要考虑所求时间是否在范围内，调头走的时间是否合题意．(3)依旧可以用含t的代数式表示t秒时，点P，点Q表示的数，利用中点公式，建立方程求解．解答：。

第20讲 线段与角知能概述：线段与角是构成几何图形的最基本元素，是从现实的相关形象中抽象出来，为现实问题的解决提供有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形的研究。

解线段与角相关问题，常用到中点、角平分线、代数化、枚举与分类讨论等概念与方法。

问题解决例1．(1)平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个。

(“希望杯”邀请赛试题)(2)如图，∠BOD =45°，∠AOE =90°，那么不大于90°的角有 个，它们的度数之和是 . (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：对于(1)，画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑；对于(2)，求它们的度数和，关键是把一些角重组，用∠BOD ，∠AOE 表示。

例2．(1)如图①，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则MN : PQ 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(五羊杯”邀请赛试题)(2)如图②，是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+……+∠9的度数是( )A ．270°B ．315°C ．360°D ．405°(广东省竞赛题)解题思路：对于(1)，利用中点，设法把MN ，PQ 用含相同线段的代数式表示；对于(2)，除∠3=∠5=∠7=45°，其他各角的度数无法求出，故不能顺序求和，关键是对图形进行恰当地处理。

例3．摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A ，B 两市相距多少千米?(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)解题思路：条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于各段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考。

线段、角中的规律姓名：规律一：平面内n个点构成线段的规律平面内有n个点，可以构成条线段，对应练习：1、如图，点Ｃ、D在线段AB 上．AC＝6 cm，CD＝4 cm，AB＝12 cm，则图中所有线段的和是多少 cm．2、从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不相同，那么有种不同的票价．2.1、火车从A地到B地途经C、D、E、F四个车站，且相邻两站之间的距离各不相同，则售票员应准备种票价的车票.(往返票价不同）2.2往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有种不同的票价（来回票价一样），需准备种车票3、如图，AB＝a，BC＝b，CD=c，DE=d，EF=e，以A、B、C、D、E、F为端点的所有线段长度的和为．4、如图1－15所示．A2，A3是线段A1A4上两点，且A1A2=a1，A1A3=a2，A1A4=a3．求线段A1A4上所有线段之和．四条直线相交,最多有6个交点.三条直线相交,最多有3个交点.两条直线相交,最多有1个交点.规律二：射线构成角的规律1、从点O 引出n 条射线，可以构成 条小于平角的角2、如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 个角；画2条射线，图 中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角，求画n 条射线所得的角 的个数 。

规律三：直线分平面的问题(1)平面上有1条直线把平面分成 部分? (2)平面上有2条直线把平面分成 部分? (3)平面上有3条直线最多能把平面分成 部分? (4) 平面上有n 条直线最多能把平面分成 部分? 规律四：两点确定一直线的问题平面上有一个点，过这一点可以画 条直线． 若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是 ；若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是 ； 若平面上有四个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是 ． 若平面上有n 个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是 ． 规律五：直线的交点问题观察图中的图形,并阅读图形下面的相关文字:n 条直线相交最多有 个交点，最少有 个交点 规律六：三角板中的角的和差问题我们有2付三角板，其中一付的三个角的度数是 另一付三个角的度数是 他们通过和、差计算，可以得到的度数是线段、角中的变化问题专题练习姓名：1、已知，O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC ．（1）如图1，若∠AOC=30°，求∠DOE 的度数；（2）图1中，若∠AOC=a ，直接写出∠DOE 的度数（用含a 的代数式表示）；（3）将图1中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置．探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；DE CBAE DC BA2、如图，①∠AOC=60°，∠AOB 和∠COD 都是直角，则∠AOD+∠BOC= ；②若∠AOC=30°，∠AOB=90°，∠COD=90°，则∠AOD+∠BOC= ；③∠AOB 和∠COD 都是直角，试猜想∠AOD 和∠BOC 这两个角在数量上存在怎样的关系？并说明理由；④当∠COD 绕点O 旋转到图（2）的位置，你原来的猜想的结论还正确吗？为什么？3、如图，数轴的原点为O ，点A 、B 、C 是数轴上的三点，点B 对应的数为1，AB =6，BC =2。

线段和角1、解决与线段有关的问题，经常涉及线段的和、差，常用到中点、代数化、分类讨论等相关概念及方法。

2、解决与角有关的问题，经常涉及到平角、直角、角平分线，角的和、差等知识，常用方法也是代数化、分类讨论二、知识运用典型例题例1、已知：AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E，F分别是AB和CD的中点，且EF=12厘米，求AD的长例2、已知B，C是线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点．若MN=a，BC=b，求AD例3、已知∠AOB=31.5度，∠BOC=24.3度，∠AOD=15度，求锐角∠COD的度数例4、在4点与5点之间，时针与分针在何时成120°例5、若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的邻补角．三、知识运用课堂训练1、A、B是线段EF上两点，已知EA：AB：BF=1：2：3，M、N分别为EA、BF的中点，且MN=8cm，求EF的长2、若时钟由2点30分走到2点50分，问时针、分针各转过多大的角度？3、公园里准备修五条甬道，并在甬道交叉路口处设一个报亭，这样的报亭最多设（）A．9个 B．10个 C．11个 D．12个4、已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q 是AM的中点，则MN：PQ等于（）A．1 B．2 C．3 D．45、如图，OB，OC是∠AOD内的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON ＝α，∠BOC＝β，则表示∠AOD的代数式是课后训练等级1、已知．B，C是线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点．若MN=a，BC=b，求AD 若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的邻补角。

2、在直线l上取A，B两点，使AB=10厘米，再在l上取一点C，使AC=2厘米，M，N分别是AB，AC中点．求MN的长度。

3、五位朋友a、b、c、d、e在公园聚会，见面时握手致意问候．已知：a握了4次，b握了1次，c握了3次，d握了2次．到目前为止，e握了（）次．4、C是线段AB的中点,D是线段BC的中点,已知图中所有的线段之和为23,求线段AC的长度5、求∠BOC的度数。

暑假精英训练第四讲线段和角典型例题：1、以下图是某一立方体的侧面展开图，那么该立方体是〔〕A B C D2、由以下条件一定能得到“P是线段AB的中点〞的是〔〕A、AP=1ABB、AB＝2PBC、AP＝PBD、AP＝PB=1AB2 23、将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围____ __。

4、线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR=______MN．5、同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：〔1〕三点整时时针与分针所夹的角是度．〔2〕7点25分时针与分针所夹的角是度．〔3〕一昼夜〔0点到24点〕时针与分针互相垂直的次数有多少？、α为锐角，β为钝角，甲、乙、丙、丁四人在计计算1时结果依次为10°，23°，46°，51°，其中6（ 6（只有一个是正确的，你知道四人中谁的结果正确吗？（（（（7、我们知道：平面上有一个点，过这一点可以画无数条直线．（假设平面上有两个点，那么过这两点可以画的直线的条数是；（假设平面上有三个点，过每两点画直线，那么可以画的直线的条数是；（假设平面上有四个点，过每两点画直线，那么可以画的直线的条数是．（8、如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC．（1〕求∠MON的度数；（2〕如果〔1〕中∠AOB=α，∠BOC=β〔β为锐角〕，其他条件不变，求∠MON的度数；（3〕从〔1〕、〔2〕的结果中能得出什么结论？稳固提高：1、如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高 a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h 厘米，那么瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的〔〕暑假精英训练不考虑瓶子的厚度.A．aB．bC．hD．h ab ab ab ah2、：一条射线0B0，OA，假设从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=60，∠OC=20A度那么∠OC=____________3、假设点B在直线AC上，以下表达式：①AB1AC；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．其中能表示B是线段AC的中点的有〔2〕A．1个B．2个C．3个D．4个4、如下图，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，假设MN=a，BC=b，那么线段AD的长是〔〕A MB CNDA2〔a-b〕B2a-b Ca+b Da-b5、∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，那么∠2的余角是〔〕A.1〔∠1＋∠2〕B.1∠1C.1〔∠1－∠2〕D.1∠222226、在晚6点到7点之间，时针与分针何时成90°角？7、，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，1〕如图1，假设∠AOC=3 0°，求∠DOE的度数；2〕在图1中，假设∠AOC=a，直接写出∠DOE的度数〔用含a的代数式表示〕；3〕将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足：∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．ECD CEA B A B D。

第五讲：线段和角一、知识结构图二、典型问题：（一）数线段——数角——数三角形问题一、直线上有n个点，能够取得多少条线段？分析：点线段2 13 3 =1+24 6=1+2+35 10=1+2+3+46 15=1+2+3+4+5……n 1+2+3+ …+(n-1)=()21-nn问题2．如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，那么图中小于平角的角共有（D ）个(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6拓展：一、在∠AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？射线角1 3 =1+22 6=1+2+33 10=1+2+3+4……n 1+2+3+ … +(n+1)=()()221++n n 类比：从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？射线 角2 13 3 =1+24 6=1+2+35 10=1+2+3+4……n 1+2+3+ … +(n-1)=()21-n n 类比联想：如图，能够取得多少三角形？（二）与线段中点有关的问题线段的中点概念：文字语言：假设一个点把线段分成相等的两部份，那么那个点叫做线段的中点图形语言：M几何语言： ∵ M 是线段AB 的中点∴ 12AM BM AB ==，22AM BM AB == 典型例题：1．由以下条件必然能取得“P 是线段AB 的中点”的是（ D ）（A ）AP=21AB （B ）AB ＝2PB （C ）AP ＝PB （D ）AP ＝PB=21ABN2．假设点B 在直线AC 上，以下表达式：①AC AB 21=；②AB=BC ；③AC=2AB ；④AB+BC=AC ．其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ A ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.若是点C 在线段AB 上,以下表达式①AC=12AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB 中, 能表示C 是AB 中点的有( C )个 个 个 个4．已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ．分析：据题意画出图形 设QN=x ，那么PQ=x ，MP=2x ，MQ=3x ， 因此，MR=23x ，那么83423==x x MN MR 5．如下图，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，假设MN=a ，BC=b ，那么线段AD 的长是（ ）A 2（a-b ）B 2a-bC a+bD a-b分析：不妨设CN=ND=x ，AM=MB=y因为MN=MB+BC+CN因此a=x+y+b因为AD=AM+MN+ND因此AD=y+a+x=a-b+a=2a-b（三）与角有关的问题1． 已知：一条射线OA ，假设从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=600，∠BOC =200，则∠AOC =____80°或40°________度（分类讨论）2． A 、O 、B 共线，OM 、ON 别离为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线，猜想∠ MON 的度数，试证明你的结论．猜想：_90°______证明：因为OM 、ON 别离为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线因此∠MOC=12∠AOC ，∠CON=12∠COB 因为∠MON=∠MOC+∠CON因此∠MON=12∠AOC +12∠COB=12∠AOB=90° 3．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF =∠， 求BOD ∠的度数．分析：因为COE ∠是直角，34COF =∠，因此∠EOF=56°因为OF 平分AOE ∠因此∠AOF=56°因为∠AOF=∠AOC+∠COF因此∠AOC=22°因为直线AB 和CD 相交于O 点因此BOD ∠=∠AOC=22°4．如图，BO 、CO 别离平分∠ABC 和∠ACB ，（1）假设∠A = 60°，求∠O ；（2）假设∠A =100°，∠O 是多少？假设∠A =120°，∠O 又是多少？A C N M（3）由（1）、（2）你又发觉了什么规律？当∠A的度数发生转变后，你的结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于180°）答案：（1）120°；（2）140°、150°（3）∠O=90°+12∠A5．如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,那么图中互补的角共有（ B ）对(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 56．互为余角的两个角（ B ）（A）只和位置有关（B）只和数量有关（C）和位置、数量都有关（D）和位置、数量都无关7．已知∠一、∠2互为补角，且∠1＞∠2，那么∠2的余角是（C ）A.12（∠1＋∠2）B.12∠1 C.12（∠1－∠2）D.12∠2分析：因为∠1＋∠2=180°，因此12（∠1＋∠2）=90°90°-∠2= 12（∠1＋∠2）-∠2= 12（∠1－∠2）。

19 线段与角知识要点及方法、技巧直线是一个抽象而原始的几何概念，掌握它要抓住两点：（1）直线可以向两方无限延伸；（2）过两点有且只有一条直线（或者说两点决定一条直线）.射线是直线的一部分，它有一个端点，另一方可以无限延伸.直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，它有两个端点，并且在连接两点的线中，线段最短. 有公共端点的两条射线组成的图形叫角.这里有两个要点：（1）两条射线；（2）这两条射线有一个公共端点，从运动的观点看，可以认为，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 旋转到另一位置OB ，就形成一个角.训练题一、选择题（每小题7分）1.时钟的时针半小时转过的角度是 （ ）A.180°B.30°C.15°D.90°2.平面上有四个点，过每两点作一条直线，可以作直线 （ ）A.1条或4条B.1条或3条C.1条或6条D.1条、4条或6条3.在线段AB 的延长线上取点C ，使AB BC 3=，再在线段BA 的延长线上取点D ，使AB DA 2=，则线段AC 是线段BD 的 （ ） A.34 B.43 C.21 D.2 4.若从A 点看B 点是北偏东60°，则从B 点看A 点是 （ ）A.东偏北60°B.东偏北30°C.南偏西30°D.南偏西60°5.如图19-1，︒=∠=∠90FOD AOE ，OB 平分∠DOC ，则写出图中全部与∠DOE 互余的角是（ ）A.∠BOCB.∠EOCC. ∠BOC ，∠BODD. ∠BOC ，∠BOD ，∠EOF图19-1A O FEDC B6.从一点出发引4条射线，可组成角的个数是 （ ）A.6B.5C.4D.3二、填空题（每小题7分）7.已知：如图19-2，AD >BC ，则AC________BD.8.一个角的补角与这个角的余角互补，则这个角的一半是________.9.从O 点顺次引4条射线：OA 、OB 、OC 、OD ，若∠AOB ：∠BOC ：∠COD ：∠DOA =1：2：3：4，则∠DOA =________.10.若A 、B 两点间距离是6cm ，C 在直线AB 上，且CA ：CB =1：3，则C 点在________.三、解答题11.（20分）上午钟表的时针与分针最后一次成平角是什么时间？12.（25分）有一块塑料的角模板的度数是19°，能否只用这块模板和铅笔画出一个1°的角？13.（25分）如图19-3，一个3×3的正方形，求图19-3中∠1+∠2+…+∠9的度数？。

A卷一、填空题01．给出以下四个命题：⑴如果两个角互补，那么这两个角都是锐角；⑵两条直线被第三条直线所截，同旁内角不互补，同位角相等；⑶如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角互补；⑷平面上3条直线，最多可把平面分成7个部分。

其中正确命题的序号为____________。

02．数一数图1中共有多少条线段_________。

03．如图2，已知AB∥CD，∠1=40°，∠2=55°，∠4=________。

04．如图3，已知AB∥CD∥EF，PS⊥GH于P。

当∠FRG=120°时，∠PSQ=________。

05．如图4，已知∠1＝72°，∠2=72°，∠3=60°，∠4=________。

06．如图5，l1∥l2，∠1=105°，∠2=140°，∠α=________。

07．如图6，已知AB∥EF∥CD，CG⊥CF，∠ABC=45°，∠EFC=70°，∠BCG=________。

08．如图7，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，∠E与∠F的关系是________(填“＞”、“=”或“＜”)。

09．如图8，a∥b，直线AB交a于A，交b于B，CA平分∠1，CB平分∠2，∠C=________。

10．如图9，已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF，∠DEG=________。

二、解答题11．时钟里，时针从5点整的位置起，分针、时针第一次重合时是什么时候？12．如图，已知∠ABC =∠CDA，BF、DE分别平分两角，∠1=∠2。

求证：AD∥BC。

13．如图，在△ABC中，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=60°，∠A=46°，求∠BDC的度数。

14．如图，∠C=90°，CA平分∠1，CB平分∠2，证明：a∥b。

B卷一、填空题01．如图1，已知AB∥CD，∠B+∠E+∠D=_________。

第二篇平面几何第8章线段与角§8．1线段与角度8．1．1★在线段AB 上有P 、Q 两点，26AB =,14AP =，11PQ =,求BQ 的长． 解析有两种情况：点P 相邻于点A ，或点P 相邻于点B ．(1）当点P 相邻于点A 时，如图（a ）所示,此时2614111BQ AB AP PQ =--=--=．ABP Q AQ P B图(a)图(b)（2)当点P 与点B 相邻时，如图(b ）所示，此时26141123BQ AB AP PQ =-+=-+=．8．1．2★如图，已知57AC CB =，511AD CB =，AB 的长是66厘米，求CD 之长．解析由于CD AC AD =-,AC 、AD 又与BC 有关,所以，只要求出BC 的长即可．ADCB因为AB AC CB =+，所以51277AB CB CB CB =+=．因为66AB =(厘米）,所以，772CB =（厘米）， 55572AC CB =(厘米），535112AD CB ==（厘米）,因此 55351022CD AC AD =-=-=（厘米)． 8．1．3★如图，B 、C 、D 依次是线段AE 上的三点，已知8.9AE =厘米,3BD =厘米，则图中以A 、 B 、C 、D 、E 这5个点为端点的所有线段长度之和等于多少厘米？ ABCDE解析以A 、B 、C 、D 、E 为端点的线段共十条，所以所有线段长度之和为 46AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE AB BC +++++++++=++()()64464()64248.92341.6CD DE AB DE BC CD AE BD BD AE BD +=+++=-+=+=⨯+⨯=（厘米）． 8．1．4★★将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段,以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围．解析设AB 是所围成的五边形ABCDE 的某一边(如图),而线段BC 、CD 、DE 、EA 则可看成是点A 、B 之间的一条折线，因此，ABCDEAB BC CD DE EA <+++．设最长的一段AB 的长度为x 厘米,则其余4段的和为()10x -厘米．由线段基本性质知10x x <-，所以5x <,又 105AB BC CD DE EA x =++++≤，所以2x ≥．即最长的一段AB 的长度必须小于5厘米且不小于2厘米．8．1．5★若一个角的余角与这个角的补角之比是27∶，求这个角的邻补角．解析设这个角为α，则这个角的余角为90α︒-,这个角的补角为180α︒-．依照题意,这两个角的比为()()9018027αα︒-︒-=∶∶．所以36026307αα︒-=︒-，5270α=︒，所以54α=︒． 从而，这个角的邻补角为18054126︒-︒=︒．8．1．6★如图，AOB ∠是钝角，OC 、OD 、OE 是三条射线，若OC OA ⊥，OD 平分AOB ∠，OE 平分BOC ∠．求DOE ∠的度数．ABC DE O解析设AOB θ∠=，则2AOD θ∠=,902DOC θ∠=︒-．因为90COB θ∠=-︒，所以452COE θ∠=-︒．因此，90454522DOE DOC COE θθ∠=∠+∠=︒-+-︒=︒．8．1．7★★★ABC △中，A ∠是最小角，B ∠是最大角，且25B A ∠=∠,若B ∠的最大值是m ︒,最小值 是n ︒，求m n +的值．解析根据题意，得A C B ∠∠∠≤≤．因为180A B C ∠+∠+∠=︒，25B A ∠=∠，所以21805B BC ∠+∠+∠=︒， 即71805B C ∠+∠=︒． 71805C B B ∠=︒-∠∠≤，由此得121805B ∠︒≥，75B ∠︒≥．又因为25A B C ∠=∠∠≤，所以277180555B BC B ∠+∠∠+∠=︒≤， 即91805B ∠︒≤，所以100B ∠︒≤． 所以75100B ︒∠︒≤≤，故 10075175m n +=+=．8．1．8★在平面上，一个凸n 边形的内角和小于1999︒,求n 的最大值,解析因为凸n 边形的内角和为()2180n -⋅︒,所以()21801999n -⋅︒<︒，212n -<，所以，14n <． 又凸13边形的内角和为()13218019801999-⋅︒=︒<︒，故n 的最大值是13．8．1．9★如图所示，求A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠．A BCD EFGM N解析如图所示，可得360B BMN E G ∠+∠+∠+∠=︒， 360FNM F A C ∠+∠+∠+∠=︒， 而180RMN FNM D ∠+∠=∠+︒,所以540A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒．8．1．10★如图所示，90A B C D E F G n ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=⋅︒，则n =____．ABCDEFRG xy Q解析设AF 与DG 相交于点Q ,CE 与DG 相交于点R ,记AQR x ∠=︒，CRG y ∠=︒，则 180A D x ∠+∠+︒=︒，360B C G y ∠+∠+∠+︒=︒，E F x y ∠+∠=︒+︒．把此三式相加得540A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒， 所以6n =．8．1．11★如图所示．平面上六个点A 、B 、C 、D 、E 、F 构成一个封闭折线图形．求 A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数．AB CD EFPQR解析所求的六个角中任意三个都不在同一个三角形中；两个在同一个三角形中，而该三角形的第三个角的对顶角（共三个）在一个三角形中，于是，我们反复利用内角和定理可得 180A B APB ∠+∠+∠=︒， 180E F FRE ∠+∠+∠=︒， 180C D DQC ∠+∠+∠=︒,而180PRQ PQR QPR ∠+∠+∠=︒,所以 180APB FRE DQC ∠+∠+∠=︒，故360A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒．8．1．12★★如图，在ABC △中，M 为AB 的中点，D 为AB 上任一点．N 、P 分别为CD 、BC 的中点,Q 为MN 的中点，直线PQ 与AB 相交于E ，则AE ED =．ABCD M N Q PE解析连结PN ,则22BD PN ME ∥∥．于是111222AE AM EM AB BD AD =-=-=, 所以AE ED =，8.1。

1、如图，线段AB=8cm，点C是AB的中点，点D在CB上且DC=1.5cm，求线段BD的长度．2、已知线段AB，延长AB到C，使BC=AB，D为AC的中点，若BD=6cm，求AB的长．3、已知，如图，B，C两点把线段AD分成2∶5∶3三部分，M为AD的中点，BM=6cm，求CM和AD的长．4、如图，已知AB＝7，BC＝3，点D为线段AC的中点，求线段DB的长度.5、．如图，M是线段AB的中点，点C在线段AB上，N是AC的中点，且AN=2cm，CM=1cm，求线段AB的长．6、如图，D是AB的中点，E是BC的中点，BE=AC=2 cm,求线段DE的长.7、如图,AB=16cm,C是AB上的一点,且AC=10cm,D是AC的中点,E是BC的中点, 求线段DE的长.8、如图，点C、D是线段AB上两点，D是AC的中点，若BC=6厘米，BD=10厘米，求线段AB的长度。

9、如图所示，点C、D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点，若ED＝9，求线段AB的长度．10、10、已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6cm，求CM和AD的长．11、如图1，线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求MN的长．12、如图，已知线段AB和CD的公共部分BD=AB=CD ，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长．1、如图，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数．2、如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．3、如图2，∠BOE＝2∠AOE，OF平分∠AOB，∠EOF＝20°．求∠AOB．4、如图，点O是直线AB上一点，OD平分∠BOC，∠COE＝90°.(1)若∠AOC＝36°，求∠DOE的度数；(2)若∠AOC＝α，则∠DOE＝________.(用含α的代数式表示)5、如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC为2:5两部分，∠DBE=21°求∠ABC的度数。