1.4.2正弦函数,余弦函数的性质第二课时

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)课时目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．______时，y min ＝－1一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定 3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎦⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 5．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π)D ．y ＝cos(x ＋π)7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．9．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________________．10．设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______．三、解答题11．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12(cos2x )．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．能力提升13．已知sin α>sin β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则( ) A ．α＋β>πB ．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C ．2D ．31．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案知识梳理R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z )作业设计 1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．]5．C [∵sin168°＝sin (180°－12°)＝sin12°， cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80° 由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.] 7.⎣⎡⎦⎤π2，π 8．[0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3.∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2]9．b <c <a解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. ∵b <c <a . 10.1－22解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－(sin x －12)2＋54∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)由题意得cos2x >0且y ＝cos2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos2x )的增区间为⎝⎛⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 13．A [∵β∈⎝⎛⎭⎫π，32π， ∴π－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增， ∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β) ⇔α>π－β⇔α＋β>π.]14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6. ∴ω的最小值为32，故选B.]。

《正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）》教学设计经历利用函数图象研究函数性质的过程，掌握正弦函数、余弦函数的性质．教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性、最值等性质．教学难点：正弦函数、余弦函数单调区间的求法．PPT课件．（一）新知探究问题1：对于一般的函数，我们一般要研究其哪些性质？观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格．预设的师生活动：教师布置该任务后，学生通过观察图象，进行直观想象，完成上述表格，之后互相交流讨论，进行修改完善，并进行展示交流．注意，在此环节，只是利用图象得出结论，下一环节才从代数的角度分析．在完成表格时，因为三角函数的周期性和图象的丰富的对称性，学生在猜想并写出单调区间、最值点时可能会产生遗漏，在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑．对此，在学生展示交流过程中，教师可以通过如下追问促进学生的思考，帮助他们理解，并借助信息技术，引导学生进行直观想象．追问1：如何理解点（π，0）也是正弦函数y＝sin x的对称中心？如何理解直线x＝π2是正弦函数y＝sin x的对称轴？追问2：逐一列举正弦函数y＝sin x的单调递增区间，它们与区间[－π2，π2]之间有怎样的关系？预设答案：设计意图：按照已有的研究方案，落实函数研究的方法和程序．培养学生运用类比、对比的方法，并根据图象进行合理猜想，直观感知研究对象的意识和能力．问题2：教科书分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性？为什么？ 预设的师生活动：教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题． 预设答案：正弦、余弦函数选择的区间分别为[−π2，3π2]、[−π，π]，这两个区间距离原点最近，我们相对更熟悉一点．设计意图：引导学生阅读教科书，重视教科书，在直观感知的基础上系统、规范地认知函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性．例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．（1）y ＝cos x +1，x ∈R ； （2）y ＝－3sin 2x ，x ∈R ．追问：如何转化为你熟悉的函数求解？师生活动：学生先独立完成，之后就解题思路和结果进行展示交流，教师及时予以明确换元法及其重要作用．预设答案：解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．（1）使函数y ＝cos x +1，x ∈R 取得最大值的x 的集合 ，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝；使函数y ＝cos x +1，x ∈R 取得最小值的x 的集合 ，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π+π，k ∈Z ｝；函数y ＝cos x +1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0．（2）令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin 2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使y ＝sin z ，z ∈R 取得最小值的z 的集合｛z ｜z ＝－2π＋2k π，k ∈Z ｝． 由2x ＝z ＝－2π＋2k π，得x ＝－4π＋k π．所以，y ＝－3sin 2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝－4π＋k π，k ∈Z ｝． 同理，使函数y ＝－3sin 2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是｛x ｜x ＝4π＋k π，k ∈Z ｝． 函数y ＝－3sin 2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3．设计意图：巩固对最值概念的理解，初步感受换元法在求解三角函数问题中的作用． 例2 不通过求值，比较下列各数的大小：（1）sin （－18π）与sin （－10π）； （2）cos （－5π23）与cos （－4π17）． 追问：比较大小的依据是什么？预设的师生活动：学生独立完成，教师进行指导．本例中，对于（1），可直接应用函数的单调性求解；对于（2），首先要将所给的角化简，使之位于同一个单调区间内，即转化为第（1）题之后求解．预设答案：解：（1）因为－2π＜－18π＜－10π＜0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－2π，0]上单调递增，所以sin （－18π）＜sin （－10π）．（2）cos （－5π23）=cos 5π23=cos 5π3，cos （－4π17）=cos 4π17=cos 4π， 且余弦函数在区间［0，π］上单调递减， 所以cos4π＞cos 5π3，即cos （－4π17）＞cos （－5π23）．你能借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小吗？试一试． 设计意图：初步应用函数的单调性解决比较大小的问题． 例3 求函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π21x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．追问：如何转化为熟悉的函数求解？师生活动：师生共同分析此问题，然后共同完成求解． 预设答案：通过换元转化为熟悉的函数单调性问题，然后求解． 令z ＝3π21+x ，x ∈[－2π，2π]，则z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，．因为y ＝sin z ，z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，的单调递增区间是z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2π2π，，且由2π-≤3π21+x ≤2π得3π5-≤x ≤3π，所以，函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π21x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3π3π5，．变式：求函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 213π，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．预设的师生活动：学生独立完成．对于变式问题，会有一部分学生出错，教师要引导学生将正确和错误解答进行对比分析．预设答案：令z ＝sinx 213π-，x ∈[－2π，2π]，则z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，．因为y ＝sin z ，z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，的单调递减区间是z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2ππ32，或⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π42π，，且由3π2-≤x 213π-≤2π-或2π≤x 213π-≤3π4得3π5≤x ≤2π或－2π≤x ≤3π，所以，函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 213π，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡π23π5，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3ππ2，． 设计意图：类比例3求解，进一步熟练换元转化的思想方法．通过变换自变量系数的符号，提高学生思维的深刻性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．（二）归纳小结问题3：教师引导学生回顾本单元的学习内容，回答下面的问题：（1）正弦函数、余弦函数的图象是什么形状？它们具有什么性质？请结合一个具体的函数谈一谈．（2）对于正弦函数，我们是如何绘制出它的图象的？又是如何研究它的性质的？余弦函数呢？（3）通过本节课的学习，你对正弦函数、余弦函数有了哪些新的认识？对于如何研究一个函数又有了哪些新的体会？设计意图：通过小结，复习巩固本单元所学的知识，加深对正弦函数、余弦函数的理解．通过对本单元研究过程的总结，体会研究正弦函数、余弦函数性质的方法，进一步体会研究函数的一般思路和方法．（三）拓展研究问题4：三角函数的定义是利用单位圆给出的，你能利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质吗？请将你的研究方案和研究报告写下来．设计意图：让学生换一个角度认识正弦函数、余弦函数的性质，提升其理解的深刻性．同时开放学生的思维，通过探索发现提升学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力．（四）布置作业 教科书习题．。