第11讲 二元一次方程组的应用

专题 二元一次方程组的应用【知识点1 调配与配套问题】1.比例问题:如果甲、乙数量比为a:b ，则=a b甲数乙数； 2.“二合一”问题:如果a 件甲产品和b 件乙产品配成一套，那么甲产品数的b 倍等于乙产品数的a 倍，即=a b甲产品数乙产品数； 3.“三合一”问题:如果甲产品a 件，乙产品b 件，丙产品c 件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：==a b b甲产品数乙产品数丙产品数. 【题型1 调配问题】【例1】（2021春•夏津县期末）为庆祝建党100周年，更加深入了解党的光荣历史，我校团委计划组织全校共青团员到曾家岩周公馆、红岩村纪念馆、烈士墓渣滓洞一线开展红色研学之旅．计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆，并空出4个座位．设计划调配30座客车x 辆，全校共青团员共有y 人，则根据题意可列出方程组为（ ） A ．{y −30x =836(x −1)−y =4 B ．{y −30x =8y −36(x −1)=4C ．{30x −y =836x −1−y =4 D ．{30x −y =8y −(36x −1)=4【变式1-1】（2021春•沈丘县期末）乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的三分之一调入甲组，则甲组比乙组多15人，设甲组原有x 人，乙组原有y 人，则可得方程组为 ．【变式1-2】（2021春•永定区期中）在抗击新冠肺炎疫情期间，各省市积极组织医护人员支援武汉．某省组织医护人员统一乘车去武汉，原计划调配45座客车若干辆，则有30人没有座位；若调配同样数量的60座客车，则有45个座位无人坐．（1）该省有多少医护人员支援武汉？（2）若同时调配45座和60座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【变式1-3】（2020•恩平市模拟）北京和上海都有检测新冠肺炎病毒的仪器可供外地使用，其中北京有10台，上海有4台．（1）已知武汉需要8台，温州需要6台，从北京、上海将仪器运往武汉、温州的费用如表所示，有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种运送方案，使武汉、温州能得到所需仪器，而且运费正好够用． （2）为了节约运送资金，中央防控工作组统一调配仪器，分配到温州的仪器不能超过5台，则如何调配？ 运费表 单位：（元/台）终点 起点 温州武汉北京 400 800 上海300500【题型2 配套问题】【例2】（2020•松北区二模）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问安排 名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套． 【变式2-1】（2020春•义乌市期末）为紧急安置50名雅安地震灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，且所有帐篷都住满人，则搭建方案共有 种．【变式2-2】（2020春•甘南县期中）某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，怎样调配劳力才能使挖出来的土能及时运走且不窝工？【变式2-3】（2020春•浦东新区期末）某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m 的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划用132m 这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【知识点2 古代问题】1．和差倍分问题：较大量＝较小量+多余量，总量＝倍数×倍量．2．盈不足问题：每次数量×份数﹣盈＝总数量，每次数量×份数+亏＝总数量． 3．鸡兔同笼问题：注意鸡有两只脚，兔有四只脚．【题型3 和差倍分问题】【例3】（2021•洛阳三模）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两．问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x 两，一枚白银的重量为y 两，则可列方程组为（ ） A ．{9x =11y 9x −y =11y −x +13B ．{9x =11y 9x −y =11y −x −13C ．{9x =11y 8x +y =10y +x +13D ．{9x =11y 8x +y =10y +x −13【变式3-1】（2021•泰安）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，根据题意，可列方程组为 ．【变式3-2】（2020•南陵县一模）《九章算术》中有这样一题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？大意为：现有若干人合伙出钱买一只鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题．【变式3-3（2020•泉州二模）我国古代数学著作《九章算术》记载这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，问几何？”其大意为：现有木棍，不知道它的长短，用绳子去量，绳子多了4尺5寸；把绳子对折后再量，绳子又短了1尺，问：木棍有多长？【题型4 盈不足问题】【例4】（2021•朝阳一模）《九章算术》中“盈不足术”问题的原文为：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文为：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？”设共同购买该物品的有x 人，该物品的价格是y 元，则根据题意，列方程组为（ ） A ．{8x −y =37x −y =4B ．{8x −y =3y −7x =4C ．{y −8x =37x −y =4D ．{y −8x =3y −7x =4【变式4-1】（2021•赣州模拟）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为 ．【变式4-2】（2021•江西模拟）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一．书中有一盈不足问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”译文：今有数人共同买金子，每人出400，多出来3400；每人出300，多出来100，问：共有多少人？金价是多少？请解决这个问题．【变式4-3】（2021春•桂平市期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．书中有如下问题：今有其买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少4元钱，问有多少人？该物品价值多少元？【知识点4 图形与表格问题】1．图表信息题的关键信息隐藏在图形和表格中，需读懂图中所提供的数据，提炼图中所给的信息，从中找出相等关系，再选取适当量为元列出方程组．2．图形问题，其等量关系的确定一般借助图形的边长(周长)和面积，具体方法是根据单个图形的形状，按图形的拼接方式确定边长(周长)和面积之间的等量关系． 【题型5 从图表中获取问题】【例5】（2021春•沂水县期末）已知关于x ，y 的二元一次方程2x ﹣3y ＝t ，其取值如下表，则p 的值为（ ）x m m +2 y n n ﹣3 t 5p A ．16B ．17C ．18D ．19【变式5-1】（2021春•博兴县期末）篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，下表是某队全部比赛结束后的部分统计结果：胜 负 合计 场数 y 10 积分2x16表中x ，y 满足的二元一次方程组是（ ）A ．{x +y =102x −y =16B ．{x +y =102x +y =16C ．{x −y =102x +y =16D ．{4x +y =162x +y =16【变式5-2】（2020春•五华区校级月考）新房装修后，甲居民购买家居用品的清单如下表，因污水导致部分信息无法识别，根据下表解决问题：家居用品名称单价（元）数量（个）金额（元）挂钟 30 2 60 垃圾桶 15 塑料鞋架 40 艺术饰品 a 2 120 电热水壶351 b 合计8310（1）直接写出a＝，b＝；（2）甲居民购买了垃圾桶，塑料鞋架各几个？（3）若甲居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品，共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？【变式5-3】（2020•徐州）小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：（1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？商品名单价（元）数量（个）金额（元）签字笔326自动铅笔 1.5●●记号笔4●●软皮笔记本●29圆规 3.51●合计828【题型6 从几何图形中获取信息】【例6】（2021春•漳州期末）如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成一个周长为68的大长方形ABCD．求大长方形ABCD的面积．【变式6-1】（2021春•上城区期末）如图，在长方形ABCD中，放入8个完全相同的小长方形．（1）每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？（2）图中阴影部分面积为多少平方厘米？【变式6-2】（2021春•九龙坡区校级期末）小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为他爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．（1）若小语用长40cm，宽34cm的长方形纸片恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等，则该茶叶盒的容积是多少？（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒200元购进一批茶叶，按进价增加18%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了6元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利1800元，求这批茶叶共进了多少盒？【变式6-3】（2021春•天河区校级月考）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．（1）如果加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？（2））如果加工成有盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．现工厂有35块铁板，每块铁板都可以裁剪成长方形铁片和正方形铁片，且有以下三种裁剪方式．方式①：每块铁板可裁成3张长方形铁片；方式②：每块铁板可裁成4张正方形铁片；方式③；每块铁板可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少铁盒？。

二元一次方程组的应用二元一次方程组是高中数学的重要内容之一，它在实际生活中有着广泛的应用。

本文将探讨二元一次方程组的应用，并通过实例来解释其中的原理和方法。

一、二元一次方程组的定义二元一次方程组由两个方程组成，每个方程都包含两个变量，且变量的最高次数为1。

一般而言，二元一次方程组的形式如下：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中，a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知的系数，x、y为未知的变量。

二、二元一次方程组的求解方法解二元一次方程组有多种方法，常见的有代入法、消元法和图解法。

下面将分别介绍这几种方法。

1. 代入法代入法的基本思想是将其中一个方程中的一个变量表示成另一个方程中的变量的函数，然后代入到另一个方程中进行求解。

具体步骤如下：（1）选择一方程，将其中一个变量表示成另一个方程中的变量的函数。

（2）将所得的表达式代入另一个方程中，得到一个只包含单一变量的一元方程。

（3）解这个一元方程，求出该变量的值。

（4）将求得的变量值代入已知的方程中，求得另一个变量的值。

2. 消元法消元法是通过将两个方程中的同一变量系数相等，然后相加或相乘的方式，将这个方程组转变为只含有一个变量的一元方程。

具体步骤如下：（1）使两个方程中同一变量的系数相等或成比例。

（2）将两个方程相加或相减，得到一个只包含单一变量的一元方程。

（3）解这个一元方程，求出该变量的值。

（4）将求得的变量值代入已知的方程中，求得另一个变量的值。

3. 图解法图解法是通过在坐标系中表示方程组的直线图像，通过观察直线的交点确定方程组的解。

具体步骤如下：（1）将方程转化为y = ax + b的形式，确定方程的直线图像。

（2）在坐标系中画出两个直线的图像。

（3）观察两个直线的交点，该交点即为方程组的解。

三、二元一次方程组的应用举例二元一次方程组在现实生活中的应用非常广泛，下面举几个实际问题来说明。

1. 商品优惠某商场进行商品促销活动，甲乙两种商品的原价分别为x元和y元，打折后的价格分别为x-100元和y-150元。

专题11二元一次方程实际应用的三种考法类型一、方案问题例．某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．(1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元；(2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？(3)若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a 元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a 的值．【答案】(1)甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．(2)8种(3)a 的值为150．【分析】（1）设未知数列二元一次方程组解方程即可；（2）设未知数列不等式，解不等式，考虑实际问题中取整得到解的可能情况；（3）用（2）中未知数和a 列出利润计算式，根据m 的值不影响利润结果得到含m 的项系数为0，求出a 即可．【详解】（1）设甲型号手机每部进价为x 元，乙型号手机每部进价为y 元．依题意，得256000324600x y x y +=⎧⎨+=⎩．解得1000800x y =⎧⎨=⎩．答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．（2）设购进甲型号手机m 部，则购进乙型号手机()20m -部．依题意，得178001000800(20)19200m m ≤+-≤，解得916m ≤≤．又m 为整数，m 可以为9，10，11，12，13，14，15，16．∴有8种进货方案．（3）设20部手机全部销售完后获得的总利润相等，则()()()()150010001450800201501300020m a m a m a-+---=-+-．（2）中每种方案获利相同，∴利润计算式中不能有含m 的项，1500a ∴-=．150a ∴=．答：a 的值为150．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，及定值问题．注意定值问题中一个式子的值与m 无关，则含有m 的项中，m 的系数为0．【变式训练1】某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元．(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x 个，获得的利润为W 元；①求W 关于x 的函数关系式②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．【答案】(1)普通练习本：3元；精装练习本：10元(2)21500w x =-+①；②普通练习本进375本，精装练习本进125本，利润最大，最大为750元【分析】（1）设普通练习本的销售单价为m 元，精装练习本的销售单价为n 元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额100＋精装练习本销售额1450=元；200本普通练习本销售额50+精装练习本销售额1100=元，列出方程，解方程即可；（2）①购买普通练习本x 个，则购买精装练习本()500x -个，根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可；②先求出x 的取值范围，根据一次函数的增减性，即可得出答案．【详解】（1）解：设普通练习本的销售单价为m 元，精装练习本的销售单价为n 元，根据题意得：1501001450200501100m n m n +=⎧⎨+=⎩，【答案】12.6/3125/635【分析】设姐姐，弟弟的步行速度为根据姐姐步行路程加上爸爸一个人骑车路程等于弟弟坐车路程，路程等于6.6km列方程，可求出x12k ∴<，312k ∴≤<，当3k =时，811239x y +-=，解得13x y =⎧⎨=⎩，满足2y x ≥+和17x ≤≤，39y ≤≤，符合题意，当4k =时，811252x y +-=，此方程无符合题意的x ，y 的正整数解，当5k =时，811265x y +-=，此方程无符合题意的x ，y 的正整数解，当6k =时，811278x y +-=，此方程无符合题意的x ，y 的正整数解，当7k =时，811291x y +-=，解得：27x y =⎧⎨=⎩，满足2y x ≥+和17x ≤≤，39y ≤≤，符合题意，当8k =时，8112104x y +-=，解得：56x y =⎧⎨=⎩，不满足2y x ≥+，不符合题意，当9k =时，8112117x y +-=，此方程无符合题意的x ，y 的正整数解，当10k =时，8112130x y +-=，解得：114x y =⎧⎨=⎩，不满足17x ≤≤，不符合题意，当11k =时，8112143x y +-=，解得143x y =⎧⎨=⎩，不满足17x ≤≤，不符合题意，13x y =⎧∴⎨=⎩或27x y =⎧⎨=⎩，130m ∴=或273m =，()F m ∴的值为4或12，()F m ∴的最大值是12，故答案位：8，12．【点睛】本题考查整式的加减，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，求出使8112x y +-是13的倍数的正整数x ，y 的值．4．“红缬退风花著子，绿针浮水稻抽秧”这是宋朝诗人姚孝锡所作．诗中咏诵的“水稻”是我国种植的重要经济作物．某村在政府的扶持下建起了水稻种植基地，准备种植甲，乙两种水稻，若种植20亩甲种水稻和30亩乙种水稻，共需投入22万元；若种植30亩甲种水稻和20亩乙种水稻，共需投入23万元．(1)种植甲，乙两种水稻，每亩各需投入多少万元？（2）由题意可知：0.40.220a b +=，∴1002(1045)b a a =-≤≤；（3）当1030a ≤<时，此时4080b <≤，∴200.812(1002)0.8960w a a a =+⨯-=+，∵0.80>，∴w 随a 的增大而增大，∴当10a =时，w 有最小值，此时0.810960968w =⨯+=；当3035a ≤≤时，此时3040b ≤≤，∴0.9200.812(1002) 1.2960w a a a =⨯+⨯-=-+，∵ 1.20-<，∴w 随a 的增大而减小，∴当35a =时，w 有最小值，此时918w =；当3545a <≤时，此时1030b <≤，∴0.92012(1002)61200w a a a =⨯+-=-+，∵60-<，∴w 随a 的增大而减小，当45a =时，w 有最小值，此时6451200930w =-⨯+=．答：选购A 型号机器人35台时，总费用w 最少，此时需要918万元．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的应用，正确找出题中的等量关系并熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．。

二元一次方程组的应用二元一次方程组是数学中常见的问题形式，可以通过解方程组来求解未知数的取值。

在实际生活和工作中，二元一次方程组有着广泛的应用。

本文将讨论二元一次方程组的一些常见应用场景。

一、消费问题在购物中，我们常常需要计算多个商品的总价。

假设商品A的价格为x元，商品B的价格为y元，购买A商品m件，B商品n件，总花费为p元。

此时可以列出如下二元一次方程组：mx + ny = p (1)m + n = t (2)其中，t为商品的总件数，p为总花费金额。

通过求解方程组，可以得到商品A和商品B的价格。

二、速度问题在物理学中，速度问题通常为二元一次方程组的典型应用。

设一个物体的速度恒定不变，物体在t秒内运动了s米，根据匀速运动的定义，可以得到如下方程组：vt - s = 0 (3)v' - v = 0 (4)其中，v为物体的速度，s为物体的位移，v'为物体的平均速度。

通过解方程组，可以求解物体的速度和位移。

三、投资问题在投资领域，经常需要计算不同投资项目的收益率。

假设我们有两个投资项目A和B，投资A的金额为x元，投资B的金额为y元，A项目的收益率为r1，B项目的收益率为r2，可以列出如下方程组：rx = r1x + r2y (5)x + y = t (6)其中，t为总投资金额。

通过求解方程组，可以得到投资项目A和B的收益率。

四、运动员的成绩在体育竞技中，运动员的成绩常常可以用二元一次方程组来表示。

假设运动员A和运动员B分别参加了两个项目，A在第一个项目中获得了x分，在第二个项目中获得了y分，B在第一个项目中获得了p分，在第二个项目中获得了q分。

根据成绩的计算方法，可以列出如下方程组：x + y = t (7)p + q = t (8)其中，t为满分。

通过解方程组，可以得到运动员A和运动员B在两个项目中的得分情况。

五、人员分配问题在人员分配和调度问题中，可以利用二元一次方程组来求解不同人数的分配。

二元一次方程组的应用（几何图形问题）一、列方程组解应用题的基本思路．列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系，一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等．二．列方程（组）解应用题的一般步骤(1)审题，弄清题意及题目中的数量关系．(2)设未知数，可直接设元，也可间接设元．(3)列出方程组，要根据题目中能表示全部意义的相等关系列出方程组．(4)解所列方程组，并检验解的正确性．(5)写出答案．三．注意事项(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去．(2)“设”“答”两步，都要写清单位名称．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．四、列方程组解应用题的常见题型和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量产品配套问题：加工总量成比例行程问题：速度×时间=路程航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度-水（风）速工程问题：工作量=工作效率×工作时间一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位“1”的工程问题增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量，原量×（1-减少率）=减少后的量浓度问题：溶液×浓度=溶质银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率利润问题：利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷进价×100%盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数、偶数、数位等有关的概念、特征及其表示年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式及对应关系五、应用举例。