第一单元集合与常用逻辑用语考点一集合1.(2017年全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则().A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀【解析】∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}.又∵A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.【答案】A2.(2017年全国Ⅱ卷)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=().A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}【解析】∵A∩B={1},∴1∈B.∴1-4+m=0,即m=3.∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.【答案】C3.(2017年全国Ⅲ卷)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为().A.3B.2C.1D.0【解析】集合A表示以原点O为圆心,1为半径的圆上的所有点的集合,集合B表示直线y=x上的所有点的集合.由图形(图略)可知,直线与圆有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.故选B.【答案】B4.(2016年全国Ⅱ卷)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=().A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}【解析】B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},又A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.【答案】C5.(2016年浙江卷)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(R Q)=().A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)【解析】∵Q={x∈R|x2≥4},∴R Q={x∈R|x2<4}={x|-2<x<2}.∵P={x∈R|1≤x≤3},∴P∪(R Q)={x|-2<x≤3}=(-2,3].【答案】B6.(2017年浙江卷)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},那么P∪Q=().A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)【解析】∵P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},∴P∪Q={x|-1<x<2}.故选A.【答案】A考点二命题及其关系、充分条件与必要条件7.(2017年全国Ⅰ卷)设有下面四个命题:p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为().A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【解析】设z=a+b i(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R).对于p1,若∈R,即=-∈R,则b=0,所以z=a+b i=a∈R,所以p1为真命题.对于p2,若z2∈R,即(a+b i)2=a2+2ab i-b2∈R,则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a+b i=b i∈/R,所以p2为假命题.对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,则a1b2+a2b1=0.而z1=,即a1+b1i=a2-b2i⇔a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0⇒/a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题.对于p4,若z∈R,即a+b i∈R,则b=0⇒=a-b i=a∈R,所以p4为真命题.故选B.【答案】B8.(2016年四川卷)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足-则p是q的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】p表示以点(1,1)为圆心,为半径的圆面(含边界),如图.q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界).由图可知,p是q的必要不充分条件.【答案】A9.(2014年全国Ⅱ卷)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则().A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】当函数在x=x0处有导数且导数为0时,x=x0未必是函数的极值点,还要看函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则该点不是极值点.而若x=x0为函数的极值点,则函数在x=x0处的导数一定为0.所以p是q的必要不充分条件.【答案】C考点三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词10.(2015年全国Ⅰ卷)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为().A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n【解析】因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.故选C.【答案】C的解集记为D,有下面四个命题:11.(2014年全国Ⅰ卷)不等式组-p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2;p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2;p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3;p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是().A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p3【解析】作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).由-得交点A(2,-1).->-1,观察直线x+y=1与直线x+2y=0的倾斜程度,可知u=x+2y过点A时取得最小值0y=-+,表示纵截距.结合题意知p1,p2正确.【答案】C12.(2014年湖南卷)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(q);④(p)∨q中,真命题是().A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】由不等式的性质可知,命题p为真命题,命题q为假命题,则p为假命题,q为真命题.故①p∧q 为假命题,②p∨q为真命题,③p∧(q)为真命题,④(p)∨q为假命题.所以选C.【答案】C13.(2015年山东卷)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.【解析】∵函数y=tan x在上是增函数,∴y max=tan=1.依题意,m≥y max,即m≥1,∴m的最小值为1.【答案】1高频考点:集合的概念及其运算、命题的真假判断.命题特点:试题注重基础,一般是选择题.§1.1集合一集合的概念1.集合中元素的特征:、、无序性.2.集合与元素的关系:a属于集合A,记作;b不属于集合A,记作.3.常见数集及符号表示:自然数集(N),正整数集(N*或N+),整数集(Z),有理数集(Q),实数集(R).4.集合的表示法:列举法、描述法、图示法.5.集合间的关系子集:A⊆B或.真子集:A⫋B或.集合相等:A⊆B且B⊆A⇔A=B.空集是集合的子集,是集合的真子集.二集合的性质1.集合的运算(1)交集:A∩B={x|x∈A且x∈B}.(2)并集:A∪B={x|x∈A或x∈B}.(3)补集:U A={x|x∈U且x∉A}.2.需要特别注意的运算性质和结论A∪⌀=A,A∩⌀=⌀,A∩(U A)=⌀,A∪(U A)=U;A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.()(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.()(3)若A∩B=A∩C,则B=C.()(4)对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)成立.()若集合A={x∈N|x≤},a=2,则下列结论正确的是().A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A集合A={x|x-2<0},B={x|x<a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是.知识清单一、1.确定性互异性2.a∈A b∉A5.B⊇A B⫌A任何任何非空基础训练1.【解析】(1)错误,A=R,B=[0,+∞),C={(x,y)|y=x2}表示抛物线y=x2上所有的点的集合,所以A,B,C表示的不是同一个集合.(2)错误,x=0.(3)错误,例如A=⌀,结论就不成立.(4)正确,对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)成立,这是集合的运算性质.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2.【解析】因为a=2=∉N,所以a∉A,故选D.【答案】D3.【解析】集合A={x|x-2<0}={x|x<2},B={x|x<a},因为A∩B=A,所以A⊆B,所以a≥2.【答案】[2,+∞)题型一集合的概念【例1】已知集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确的.则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是.【解析】若只有①正确,即a=1,则b≠1不正确,所以b=1,与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意;若只有②正确,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);若只有③正确,则有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上所述,有序数组的个数为6.【答案】6【变式训练1】(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是().A.1B.3C.5D.9(2)(2017山东实验中学模拟)设集合A={x|(x-a)2<1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为.【解析】(1)∵A={0,1,2},∴B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.∴集合B中有5个元素.(2)由题意得--即或故1<a≤2.【答案】(1)C(2)(1,2]题型二集合间的基本关系【例2】已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.【解析】当B=⌀时,有m+1≥2m-1,则m≤2.解得2<m≤4.当B≠⌀时,若B⊆A,则--综上,实数m的取值范围是(-∞,4].【答案】(-∞,4]【变式训练2】(1)已知集合A={x∈R||x|≥2},B={x∈R|-x2+x+2>0},则下列结论正确的是().A.A∪B=RB.A∩B≠⌀C.A⊆R BD.A⊇R B(2)(2017湖南师大附中模拟)已知集合A={x|=-,x∈R},B={1,m},若A⊆B,则m的值为().A.2B.-1C.-1或2D.2或【解析】(1)A={x|x≥2或x≤-2},B={x|-1<x<2},R B={x|x≥2或x≤-1},则A⊆R B.(2)由=-,得x=2,则A={2}.因为B={1,m},且A⊆B,所以m=2.【答案】(1)C(2)A题型三集合的运算【例3】如图,已知R是实数集,集合A={x|lo(x-1)>0},B=-,则阴影部分表示的集合是().A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1)D.(0,1]【解析】图中阴影部分表示集合B∩R A.∵A={x|lo(x-1)>0}={x|1<x<2},B=-=,∴R A={x|x≤1或x≥2},B∩R A={x|0<x≤1},故选D.【答案】D【变式训练3】(1)(2017郑州调研)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=( ).A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1](2)(2017太原一模)已知全集U=R,集合M={x|(x-1)(x+3)<0},N={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的集合是().A.[-1,1)B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪[-1,+∞)D.(-3,-1)【解析】(1)∵M={x|x2=x}={0,1},N={x|lg x≤0}={x|0<x≤1},∴M∪N=[0,1].(2)由题意可知,M=(-3,1),N=[-1,1],∴阴影部分表示的集合为M∩(U N)=(-3,-1).【答案】(1)A(2)D方法数形结合思想在集合中的应用对于集合的运算,常借助数轴、Venn图求解.【突破训练】向50名从事地质研究的专家调查对四川省A,B两地在震后原址上重建的态度,有如下结果:赞成A地在震后原址上重建的人数是全体的,其余的不赞成,赞成B地在震后原址上重建的比赞成A地在震后原址上重建的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B两地都不赞成在震后原址上重建的专家数比对A,B两地都赞成的专家数的多1人.问:对A,B两地都赞成的专家和都不赞成的专家各有多少人?【解析】赞成A地重建的专家人数为50×=30,赞成B地重建的专家人数为30+3=33.如图,记50名专家组成的集合为U,赞成A地在震后原址上重建的专家全体为集合A;赞成B地在震后原址上重建的专家全体为集合B.设对A,B两地都赞成的专家人数为x,则对A,B两地都不赞成的专家人数为+1,赞成A地而不赞成B地的专家人数为30-x,赞成B地而不赞成A地的专家人数为33-x.依题意,(30-x)+(33-x)+x+=50,解得x=21.所以对A,B两地都赞成的专家有21人,都不赞成的专家有8人.1.(2017潍坊模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为().A.1B.2C.3D.4【解析】由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.【答案】D2.(2017南昌月考)设集合P={a2,log2a},Q={2a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=().A.{0,1}B.{0,1,2}C.{0,2}D.{0,1,2,3}【解析】∵P∩Q={0},∴0∈P,只能log2a=0,∴a=1,a2=1.又0∈Q,∵2a=21=2≠0,∴b=0.故P={0,1},Q={2,0},∴P∪Q={0,1,2}.【答案】B3.(2017河南八市重点高中质检)已知U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},则A∩(U B)等于().A.{4,6}B.{1,8}C.{1,4,6,8}D.{1,4,6,8,9}【解析】因为U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},所以U B={1,8,9},因此A∩(U B)={1,8}.【答案】B4.(2017湖南省东部六校联考)已知集合M={-2,-1,0,1},N=,则M∩N=().A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1}【解析】由≤2x≤4,解得-1≤x≤2.又x∈Z,∴N={-1,0,1,2},∴M∩N={-1,0,1}.【答案】C5.(2017石家庄教学质检(二))已知集合M={-1,1},N=,则下列结论正确的是().A.N⊆MB.M⊆NC.M∩N=⌀D.M∪N=R【解析】∵-2<0,即->0,解得x<0或x>,∴N=(-∞,0)∪.又∵M={-1,1},∴B正确,A,C,D错误.【答案】B6.(2017山东临沂质检)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|x-a≤0},若U B⊆A,则实数a的取值范围是().A.(-∞,1)B.(-∞,2]C.[1,+∞)D.[2,+∞)【解析】因为x2-3x+2>0,所以x>2或x<1,所以A={x|x>2或x<1}.因为B={x|x≤a},所以U B={x|x>a}.因为U B⊆A,借助数轴可知a≥2,所以选D.【答案】D7.(2017开封市一模)设集合A={n|n=3k-1,k∈Z},B={x||x-1|>3},则A∩(R B)=().A.{-1,2}B.{-2,-1,1,2,4}C.{1,4}D.⌀【解析】由|x-1|>3,得x-1>3或x-1<-3,即x>4或x<-2,所以B={x|x>4或x<-2},R B={x|-2≤x≤4}.当k=-1时,n=-4;当k=0时,n=-1;当k=1时,n=2;当k=2时,n=5.所以A∩(R B)={-1,2}.【答案】A8.(2017江苏苏州市常熟二模)已知全集U=Z,集合A={x|0<x<5,x∈U},B={x|x≤1,x∈U},则A∩(U B)=.【解析】A={x|0<x<5,x∈U}={1,2,3,4},B={x|x≤1,x∈U},则U B={x|x>1,x∈U}={2,3,4,5,…},则A∩(U B)={2,3,4}.【答案】{2,3,4}9.(2017山西考前质检)已知全集U={x∈Z|-2≤x≤4},A={-1,0,1,2,3}.若B⊆U A,则集合B的个数是.【解析】由题意得U={-2,-1,0,1,2,3,4},所以U A={-2,4},所以集合B的个数是22=4.【答案】410.(2017山东枣庄一模)已知集合A={x|(x+1)(x-2)≥0},B={x|log3(2-x)≤1},则A∩(R B)=().A.⌀B.{x|x>2或x≤-1}C.{x|x<-1}D.{x|x≥2或x<-1}【解析】集合A={x|(x+1)(x-2)≥0}={x|x≥2或x≤-1},B={x|log3(2-x)≤1}={x|-1≤x<2},R B={x|x≥2或x<-1},则A∩(R B)={x|x≥2或x<-1}.【答案】D11.(2017云南楚雄州一模)若集合A={y|y=2x+2},B={x|-x2+x+2≥0},则().A.A⊆BB.A∪B=RC.A∩B={2}D.A∩B=⌀【解析】∵y=2x+2>2,∴A={y|y>2}.由-x2+x+2≥0,即x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2,∴B={x|-1≤x≤2}.∴A∩B=⌀.【答案】D12.(2017上海市七宝中学模拟)设M={a|a=x2-y2,x,y∈Z},则对任意的整数n,形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中,不是集合M中的元素是().A.4nB.4n+1C.4n+2D.4n+3【解析】∵4n=(n+1)2-(n-1)2,∴4n∈M.∵4n+1=(2n+1)2-(2n)2,∴4n+1∈M.∵4n+3=(2n+2)2-(2n+1)2,∴4n+3∈M.若4n+2∈M,则存在x,y∈Z使得x2-y2=4n+2,∴4n+2=(x+y)(x-y).∵x+y和x-y的奇偶性相同,若x+y和x-y都是奇数,则(x+y)(x-y)为奇数,而4n+2是偶数;若x+y和x-y都是偶数,则(x+y)(x-y)能被4整除,而4n+2不能被4整除,∴4n+2∉M.【答案】C13.(2017湖北武汉十校联考)已知集合A={x|0<x<2},集合B={x|-1<x<1},集合C={x|mx+1>0},若(A∪B)⊆C,则实数m的取值范围为().A.{m|-2≤m≤1}B.-C.-D.-【解析】由题意得A∪B={x|-1<x<2}.∵集合C={x|mx+1>0},(A∪B)⊆C,①当m<0时,x<-,∴-≥2,∴m≥-,∴-≤m<0;②当m=0时,满足题意;③当m>0时,x>-,∴-≤-1,∴m≤1,∴0<m≤1.综上可知,实数m的取值范围为-.【答案】B14.(2017上海中学高考模拟)集合S={1,2,3,4,5,6},A是S的一个子集,当x∈A时,若x-1∉A,x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”且含有4个元素的子集的个数是.【解析】S中无“孤立元素”且含有4个元素的子集是{1,2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,5,6},{2,3,4,5},{2,3,5,6},{3,4,5,6},共6个.【答案】6§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件一命题用语言、符号或式子表达的,可以的陈述句叫作命题,其中的语句叫作真命题,的语句叫作假命题.二四种命题及其相互关系1.四种命题间的相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有的真假性.(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性.三充分条件与必要条件1.如果p⇒q,那么p是q的条件,q是p的条件.2.如果p⇔q,那么p是q的条件.3.如果p⇒/q且q⇒/p,那么p是q的条件.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)“x2+2x-3<0”是命题.()(2)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(3)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()若条件p:|x|≤2,条件q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是.已知α,β是两个平面,直线l⊂α,则“α⊥β”是“l⊥β”的().A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件知识清单一、判断真假判断为真判断为假二、1.若q,则p若q,则p2.(1)相同(2)没有关系三、1.充分必要2.充要3.既不充分也不必要基础训练1.【解析】(1)错误,“x2+2x-3<0”不能判断真假.(2)正确,由充分条件的定义知正确.(3)正确,因为“若p不成立,则q不成立”的逆否命题是“若q成立,则p成立”,所以正确.【答案】(1)×(2)√(3)√2.【解析】由|x|≤2,知p:-2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件,所以p对应的集合是q对应的集合的真子集,所以a≥2.【答案】[2,+∞)3.【解析】l⊥β,l⊂α⇒α⊥β,反之不成立.∴“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件.【答案】C题型一四种命题及其关系【例1】下列命题中为真命题的是().A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若>1,则x>1”的逆否命题【解析】对于A,否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故否命题为假命题;对于B,逆命题为“若x>|y|,则x>y”,其为真命题;对于C,否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故否命题为假命题;对于D,逆否命题为“若x≤1,则≤1”,易知其为假命题.故选B.【答案】B【变式训练1】原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题的真假性判断依次如下,则正确的是().A.真、假、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假【解析】由共轭复数的性质,得原命题为真命题,因此其逆否命题也为真命题.当z1=1+2i,z2=2+i时,显然|z1|=|z2|,但z1与z2不互为共轭复数,所以原命题的逆命题为假命题,从而原命题的否命题也为假命题.【答案】B题型二充分条件、必要条件的判断【例2】下列说法正确的是().A.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件B.p:A∩B=A,q:A⫋B,则p是q的充分不必要条件C.已知数列{a n},若p:对于任意的n∈N*,点P n(n,a n)都在直线y=2x+1上,q:{a n}为等差数列,则p是q的充要条件D.“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件【解析】A错误,由x2-5x-6=0,解得x=-1或x=6,所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件.B错误,由A∩B=A,得A⊆B,所以p是q的必要不充分条件.C错误,因为点P n(n,a n)在直线y=2x+1上,所以a n=2n+1(n∈N*),则a n+1-a n=2(n+1)+1-(2n+1)=2.又由n的任意性可知数列{a n}是公差为2的等差数列,即p⇒q.反之则不成立,如:令a n=n,则{a n}为等差数列,但点(n,n)不在直线y=2x+1上,从而q⇒/p.所以p是q的充分不必要条件.D正确,因为ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0,所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.故选D.【答案】D判断充分条件、必要条件的方法有定义法,集合法,等价转化法.【变式训练2】“a<0”是“函数f(x)=|x-a|+|x|在区间[0,+∞)上为增函数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当a<0时,x≥0,f(x)=x-a+x=2x-a,其为增函数,此时充分性成立;当a=0时,f(x)=2|x|,其在区间[0,+∞)上为增函数,所以必要性不成立.故选A.【答案】A题型三充分条件、必要条件的应用【例3】方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是().A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<0【解析】当a=0时,原方程为一元一次方程2x+1=0,有一个负实根.当a≠0时,原方程为一元二次方程,有实根的充要条件是Δ=4-4a≥0,即a≤1.设此时方程的两个实根分别为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=,当方程有一个负实根和一个正实根时,有⇒a<0;当方程有两个负实根时,有-⇒综上所述,a≤1.【答案】C解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关【变式训练3】(2017常德一中月考)若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,则a的最小值为.【解析】由x2-x-6>0,解得x<-2或x>3.因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集,即a≥3,故a的最小值为3.【答案】3方法集合与充分条件、必要条件“联手”求参数集合的运算常与充分条件、必要条件交汇命题,根据充分条件、必要条件求参数问题可以转化为集合的包含关系求解,再建立不等式(组)求解.设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有:1.若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⫋B,则p是q的充分不必要条件.2.若B⊆A,则p是q的必要条件;若B⫋A,则p是q的必要不充分条件.3.若A=B,则p是q的充要条件.【突破训练】已知p:-≤2,q:1-m≤x≤1+m(m>0),且p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.【解析】由-≤2,得-2≤x≤10,所以p对应的集合为{x|x>10或x<-2}.设A={x|x>10或x<-2}.因为q:1-m≤x≤1+m(m>0),所以q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0}.设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.因为p是q的必要不充分条件,所以B⫋A,所以且不能同时取得等号,解得m≥9,所以实数m的取值范围为[9,+∞).【答案】[9,+∞)1.(2017大连质检)命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是().A.“若a,b,c成等比数列,则b2≠ac”B.“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”C.“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”D.“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”【解析】根据原命题与其逆否命题的关系,易得命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”.【答案】D2.(2017合肥市第一次教学质量检测)“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件【解析】由x2+2x-8>0,解得x<-4或x>2,所以“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的充分不必要条件,故选B.【答案】B3.(2017江南十校联考)下列命题的逆命题为真命题的是().A.若x>2,则(x-2)(x+1)>0B.若x2+y2≥4,则xy=2C.若x+y=2,则xy≤1D.若a≥b,则ac2≥bc2【解析】A错误,其逆命题为“若(x-2)(x+1)>0,则x>2”,显然错误;B正确,其逆命题为“若xy=2,则x2+y2≥4”,由基本不等式可知正确;C错误,其逆命题为“若xy≤1,则x+y=2”,如x=y=-1,xy≤1,但x+y≠2;D错误,其逆命题为“若ac2≥bc2,则a≥b”,如c=0,满足ac2≥bc2,但不一定得到a≥b.故选B.【答案】B4.(2017上海模拟)原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是().A.0B.1C.2D.4【解析】由题意可知,否命题为“若A∪B=B,则A∩B=A”,其为真命题;逆否命题为“若A∩B=A,则A∪B=B”,其为真命题.由等价命题的真假性相同可知,该命题的逆命题与原命题也为真命题.故选D.【答案】D5.(2017南昌调研)“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直”的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直可知3m+m(2m-1)=0,∴m=0或m=-1,∴“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直”的充分不必要条件.【答案】B6.(2017西安调研)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】cos 2α=0等价于cos2α-sin2α=0,即cos α=±sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.【答案】B7.(2017山东省临沂市高三(上)期末)直线m,n满足m⊂α,n⊄α,则“n⊥m”是“n⊥α”的().C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由n⊥m,推不出n⊥α.由n⊥α,能推出n⊥m.因此,“n⊥m”是“n⊥α”的必要不充分条件.【答案】A8.(2017荆门模拟)下列命题中,真命题的个数为().①“若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题;②“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的否命题;③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题;④“每个正方形都是平行四边形”的否定.A.1B.2C.3D.4【解析】对于①,“若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题为“若一个整数能被5整除,则这个整数的末位数字是0”,故①为假命题;对于②,“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的逆命题为“若一个三角形有两个角相等,则这个三角形有两条边相等”,为真命题,由原命题的逆命题与否命题的等价性知②为真命题;对于③,“奇函数的图象关于原点对称”正确,由原命题与逆否命题的等价性知③为真命题;对于④,“每个正方形都是平行四边形”正确,则“每个正方形都是平行四边形”的否定是假命题,即④是假命题.故选B.【答案】B9.(2017华北十校模拟)有下列三个命题:①“面积相等的三角形全等”的否命题;②“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;③“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.其中真命题是.(填写所有真命题的序号)【解析】对于①,“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”,显然①是真命题;对于②,若x2-2x+m=0有实数解,则Δ=4-4m≥0,解得m≤1,所以“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”是真命题,故其逆否命题是真命题;对于③,若A∩B=B,则B⊆A,故原命题是假命题,所以其逆否命题是假命题.【答案】①②10.(2017湖南衡阳期末)已知p:幂函数y=(m2-m-1)x m在(0,+∞)上单调递增,q:|m-2|<1,则p是q的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】∵幂函数y=(m2-m-1)x m在(0,+∞)上单调递增,∴m2-m-1=1,m>0,解得m=2.由|m-2|<1,解得1<m<3.故p是q的充分不必要条件.【答案】A11.(2017武汉联考)原命题为“若xy=1,则x,y互为倒数”,则().A.其逆命题与逆否命题是真命题,否命题是假命题B.其逆命题是假命题,否命题和逆否命题是真命题C.其逆命题和否命题是真命题,逆否命题是假命题D.其逆命题、否命题、逆否命题都是真命题【解析】原命题“若xy=1,则x,y互为倒数”是真命题.原命题的逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,其是真命题.因为逆命题和否命题互为逆否命题,所以否命题是真命题.原命题与它的逆否命题具有相同的真假性,故其逆否命题是真命题.【答案】D12.(2017广西模拟)已知命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是().A.否命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题B.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题【解析】∵f(x)=e x-mx,∴f'(x)=e x-m.又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f'(x)=e x-m≥0在(0,+∞)上恒成立,∴m≤1,∴原命题是真命题,其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”也是真命题,∴B正确,C,D错误.A错误,否命题应为“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数,则m>1”.故选B.【答案】B13.(2017山东潍坊模拟)若“m>a”是“函数f(x)=+m-的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.【解析】∵函数f(x)=+m-的图象不过第三象限,∴1+m-≥0,解得m≥-.∵“m>a”是“函数f(x)=+m-的图象不过第三象限”的必要不充分条件,∴a<-.【答案】--14.(2017上海市风华中学期中)定义:若m-<x≤m+(m∈Z),则m叫作离实数x最近的整数,记作{x},即m={x}.给出关于函数f(x)=x-{x}的四个命题:①定义域为R,值域为-;②点(k,0)(k∈Z)是函数f(x)图象的对称中心;③函数f(x)的最小正周期为1;④函数f(x)在-上是增函数.其中,真命题的序号是.【解析】令x=m+a,a∈-,则f(x)=x-{x}=a∈-,∴①正确.令k=0,∵f=-=,f-=---=-+1=,∴f≠-f-,即函数f(x)不关于点(0,0)对称,∴②错误.∵f(x+1)=(x+1)-{x+1}=x-{x}=f(x),∴函数f(x)的最小正周期为1,∴③正确.当x=时,m=1,f=,当x=时,m=0,f=,∴f=f,∴④错误.【答案】①③§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一简单的逻辑联结词1.命题中的“”“”“”叫作逻辑联结词.2.命题p∧q,p∨q,p的真假判定二全称命题与存在命题1.全称量词:短语“”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词,用符号“∀”表示.2.全称命题:含有的命题,叫作全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为.3.存在量词:短语“”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词,用符号“”表示.4.特称命题:含有存在量词的命题,叫作特称命题.特称命题“存在M中的一个元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为.三含有一个量词的命题的否定☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题.()(2)命题p和p不可能都是真命题.()命题p:对任意x∈R,sin x<1,命题q:存在x∈R,cos x≤-1,则下列命题是真命题的是().A.p∧qB.(p)∧qC.p∨(q)D.(p)∧(q)给出下列命题:①对任意x∈N,x3>x2;②存在x0∈R,-x0+1≤0;③存在一个四边形,它的对角线互相垂直.以上命题的否定中,真命题为.(填序号)下列命题中的假命题是().A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N*,(x-1)2>0C.∃x0∈R,ln x0<1D.∃x0∈R,tan x0=2知识清单一、1.或且非2.真真假假真假假真真假假真二、1.所有的2.全称量词∀x∈M,p(x)3.存在一个∃4.∃x0∈M,p(x0)三、∃x0∈M,p(x0)∀x∈M,p(x)基础训练1.【解析】(1)错误,命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题或一个是真命题,一个是假命题.(2)正确,命题p和p真假相反,故不可能都是真命题.【答案】(1)×(2)√2.【解析】当x=时,sin x=1,所以p为假命题,p为真命题;当x=π时,cos x=-1,所以q为真命题,q为假命题.故(p)∧q为真命题.【答案】B3.【解析】①的原命题为假命题,其否定为真命题;②的原命题为假命题,其否定为真命题;③的原命题为真命题,其否定为假命题.故真命题的序号为①②.【答案】①②4.【解析】因为2x-1>0对∀x∈R恒成立,所以选项A中的命题是真命题;当x=1时,(x-1)2=0,所以选项B中的命题是假命题;存在0<x0<e,使得ln x0<1,所以选项C中的命题是真命题;因为正切函数y=tan x的值域是R,所以选项D中的命题是真命题.【答案】B题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】已知命题p:函数y=sin和函数y=cos-的图象关于原点对称,命题q:当x=kπ+(k∈Z)时,函数y=(sin 2x+cos 2x)取得极小值,则下列说法正确的是().A.p∨q是假命题B.(p)∧q是假命题C.p∧q是真命题D.(p)∨q是真命题【解析】命题p中,y=cos-=cos--=cos--=sin-,y=sin-与y=sin的图象关于原点对称,故p为真命题.命题q中,当y=(sin 2x+cos 2x)=2sin取得极小值时,2x+=2kπ-,即x=kπ-,k∈Z,故q为假命题.所以(p)∧q为假命题,故选B.【答案】B要判断p∧q,p∨q,p的真假,首先确定每个简单命题p,q的真假,然后判断复合命题的真假.【变式训练1】(2017洛阳一模)已知命题p:∃x0∈R,使sin x0=;命题q:∀x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(q)”是假命题;③命题“(p)∨q”是真命题;④命题“(p)∨(q)”是假命题.其中结论正确的是().A.②③B.②④C.③④D.①②③【解析】因为>1,所以命题p是假命题.因为x2+x+1=+≥>0,所以命题q是真命题.故结论②③正确.【答案】A题型二全称命题与特称命题【例2】下列命题中的真命题是().A.存在x∈R,使得sin x+cos x=B.对任意x∈(0,+∞),e x>x+1C.存在x∈(-∞,0),2x<3xD.对任意x∈(0,π),sin x>cos x【解析】因为sin x+cos x=sin≤<,所以A错误;当x<0时,y=2x的图象在y=3x的图象上方,故C错误;当x∈时,sin x<cos x,故D错误.所以选B.【答案】B【变式训练2】已知命题p:∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))·(x2-x1)≥0,则p是().A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0【解析】由命题的否定的定义可得,p:∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0.【答案】C题型三根据命题的真假求参数的取值范围【例3】已知命题p:对任意x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:存在x∈R,x2+2ax+2-a=0,若p且q为真命题,求实数a 的取值范围.【解析】若p且q为真命题,则p,q都是真命题.x2≥a在[1,2]上恒成立,只需a≤(x2)min=1,所以命题p:a≤1.设f(x)=x2+2ax+2-a,存在x∈R使f(x)=0,只需Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0,解得a≥1或a≤-2,所以命题q:a≥1或a≤-2.由得a=1或a≤-2,或故实数a的取值范围是a=1或a≤-2.【变式训练3】已知p:存在x∈R,mx2+1≤0,q:对任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假命题,则实数m的取值范围为().A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2【解析】依题意知p,q均为假命题.当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是真命题时,Δ=m2-4<0,即-2<m<2.因此由p,q均为假命题得即m≥2.或【答案】A方法分类讨论思想在命题真假判断中的应用【突破训练】(2017福建四校联考)已知命题p:函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有一个零点,命题q:函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点.若p且q是假命题,p或q是真命题,则实数a的取值范围是.【解析】若命题p为真命题,则函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有一个零点,因为二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=1,所以--得0<a<1.若命题q为真命题,则函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点,由Δ=(2a-3)2-4>0,得4a2-12a+5>0,解得a<或a>.因为p且q是假命题,p或q是真命题,所以p,q一真一假.若p真q假,则解得≤a<1;若p假q真,则或或解得a≤0或a>.故实数a的取值范围是a≤0或≤a<1或a>.【答案】a≤0或≤a<1或a>1.(2017吉林长春第一次质检)命题“∃x0>0,使得(x0-a)>1”的否定是().A.∀x>0,2x(x-a)>1B.∀x>0,2x(x-a)≤1。
