5假设检验

• 可能的推理过程
– 如果是足球赛，那么比分（基本上）不可能是 26:13 – 因此（很可能）不是足球赛
• 对以上过程的分析
– 反证法 – 有犯错误的可能
1.2 假设检验和参数估计 Hypothesis testing
• 参数估计
– 用样本统计量估计总体参数
• 假设检验
– 先对总体参数提出一个假设，然后利用样本信 息检验这个假设是否成立
假设检验
任课老师：禤宇明
本章基本内容
• 假设检验的基本原理和步骤
– 虚无假设和备择假设 – 错误和错误 – 单侧检验和双侧检验
• 差异的显著性检验
– 均值 – 方差 – 比例、相关系数
1. 假设检验的原理和步骤 1.1 从一条听到的新闻谈起
• “昨天晚上A足球队以26:13大败了B队”
– 这是一场足球赛吗？ – 你的推理过程是怎样的？
Ù è ¼ É H0 « à ì é Ë ² ¼ Ñ ¤ à ì é µ ² ¼ Ñ = 0 ¡ Ü ¡ Ý 0 0 H1 ¡ Ù 0 > 0 < 0 Ü å ý ¬ ¬½ î ×Ì Õ Ì £ ·² 2 Ò Ñ ª ¬ ì é Ö £ Z¼ Ñ Ù ç µ Á ½ Ö Z/2 Z £ Z ­ Ü ø ¾ ¾ H0 |Z| > Z/2 Z > Z Z < £ Z ­ Ü å ý ¬ ¬ ½ î × Ì Õ Ì £ ·² 2 Î Ö £ ´ ª ¬ t¼ Ñ ì é Ù ç µ Á ½ Ö t/2(n-1) t(n-1) £ t(n-1) ­ Ü ø ¾ ¾ H0 |t| > t/2(n-1) t > t(n-1) t < £ t(n-1) ­
2.3 总体非正态
总体非正态， 1、总体方差 n 30 ( 或 n 50 )：
0已知时样本均值

X 的分布

X
0 , SE

0
X
,Z
X 0
n

0
n X 的分布
2 、总体方差
0 未知时样本均值
S n ,t X 0 S n

X
0 , SE
X
P141 例 5-7
×£ µ ×Ì ² Ê Õ Ì ·² Ê £ È ¹ Ñ ±È Á n¡ 50£ ¿ Ò ¿ Â Ó ¢ º ±Ü å » Ç ý ¬ Ö ¼ ±¬ ç û ù ¾ Ý ¿ Ý ¬ É Ô ¼ Ç Ã
Z'
X 0 S n
À ×¼ Ñ ´ ö ì é
• 思考题1、某市场研究有限公司假定电话调查可在15分钟 以内结束。如果调查所需时间超过该值，则需要加收额外 费用。假定由35个电话调查所组成的一个样本表明，其样 本均值为17分钟，样本标准差为4分钟。取显著性水平＝ 0.01，问是否需要额外收费? • 思考题2、据美国商业部的经济分析局报道，北加利福尼 亚居民年收入的均值为18688美元。一名研究者想对南加 利福尼亚州检验H0： ＝18688，H1 ： 18688，其中 为南加利福尼亚州居民年收入的均值。假定由400名南加 利福尼亚州居民所组成的样本表明，其年收入的样本均值 16868美元，样本标准差为14624美元，则假设检验的结论 是什么？取显著性水平为0.05。
• 错误（II型错误）type II error
– H0为假时却被接受，取伪错误
假设检验中各种可能结果的概率
H0为真 H0为伪
接受H0 拒绝H0，接受H1 1－(正确决策) (弃真错误) (取伪错误) 1- (正确决策)
错误和错误的关系
• ＋≠1 • 对于固定的样本容量n，与不能同时减小 • 减少与的一个方法是增大样本容量n
受过良好早期教育的儿
童智力高于一般水平。
2.2总体正态但总体方差未知
已知样本 x 1 , x 2 , x n 来自正态总体 X ~ N 0 ,
2
,
问样本均值与总体均值 1 建立假设 H
0
之间是否有显著差异？
t 检验
:
0 0
t t n 1
2
H1 : 2 3 4
解：这是一个单侧 H
0
t 检验
: 40000
H 1 : 40000 t X 0 S n 41000 40000 5000 120 2 . 19
查ｔ分布表知
t (119 ) 1 . 658 ， H 1，可以认为 大于 40000 公里。
由于 t t ，因此接受 轮胎的平均寿命显著地
0 . 05 , 查表得到
H
0
Z
2

1 . 96
( 4 ) 显然 Z 5 . 58 1 . 96 , 即拒绝原假设 可以认为该校的学生考 显著差异。
试成绩与全市的平均成
绩有
• 例：有人调查早期教育对儿童智力发展的 影响，从受过良好教育的儿童中随机抽取 70人进行韦氏儿童智力测验(0=100, 0=15) 结果X=103.3, 能否认为受过良好早期教育 的儿童智力高于一般水平。
P138 例5-4 解答
(1 ) 建立检验假设 H
0
: 62
H 1 : 62 ( 2 ) 0 62 , Z X 0
0
10 . 2 , X 68 , n 90 , 68 62 10 . 2 / 90 5 . 58


0
n
( 3 )由已给出的显著性水平
Z 检验
:
0 0
Z Z
2
H1 : 2 3 4
计算统计量 查临界值 若
X 0

n
Z Z , 拒绝 H 0，
2
Z Z , 接受 H
2
0
P138 例5-4
• 全市统一考试的数学平均分0=62分，标准 差0=10.2，一个学校的90名学生该次考试 的平均成绩为68分，问该校成绩与全市平 均差异是否显著。（ 取 ＝0.05）
1.5.3 单侧检验和双侧检验
• 问题的提法
– 双侧检验：和已知常数0是否有显著性差异？ – 单侧检验：是否显著高（低）于已知常数0？
• 建立的假设
– 双侧检验：H0： = 0 – 单侧检验：H0： ≤ 0 H0： ≥ 0
– 双侧检验：Z/2 – 单侧检验：Z
H1： 0 H1： > 0 H1： < 0
解：本题应该用单侧检 H
0
验
: 0
H1 : 0 Z X 0 103 . 3 100 15 70 1 . 84 ,

0
n
Z 1 . 645 , 而 Z 1 . 84 1 . 645 Z 推翻原假设 H 0，接受备择假设 H 1，即可以认为
1.5.1 假设检验的一个例子
• 某校一个班进行比奈智力测验，X=110，班 级人数n=50，该测验常模0=100，0=16。 该班智力水平1（不是这一次测验结果） 是否与常模水平有差异?
研究假设和虚无假设
• 研究假设 H1 research hypothesis
– 又叫备择假设 alternative hypothesis，指待验证的 假设，一般假设差异显著
n t0.05 (n) t0.01 (n) 30 50 100 150 200 500 1000 5000 2.042 2.009 1.984 1.976 1.972 1.965 1.962 1.960 2.750 2.678 2.626 2.609 2.601 2.586 2.581 2.577
小结
• 拒绝域 rejection region （相关概念：临界值）
P135 例5-3
• 某高校参加同专业的同一考试，随机抽查 64份试卷，由此求得平均成绩为69分，标 准差为9.5分。已知该科全体考生成绩服从 正态分布，且总平均分为65分，问该高校 考生的平均成绩是否显著高于全体考生的 平均水平？
2
接受假设
H 0，两种教学方法无显著
差异
• 例： 一个汽车制造商声称，某一等级的轮 胎的平均寿命在一定的汽车重量和正常行 驶条件下大于40000公里，对一个120个轮 胎的随机样本作了试验，测得平均值和标 准差为 X=41000，S=5000。已知轮胎寿命 的公里数近似服从正态分布。该制造商的 产品同他所说的标准相符吗？(=0.05)
– 所有天鹅都是白的 有一只天鹅是黑的
• 如果检验结果接受了H0，我们可以说H0得 到了证明吗
2. 总体均值的显著性检验 2.1 总体正态且总体方差己知
已知样本 x 1 , x 2 , x n 来自正态总体 其均值 与总体均值 1 建立假设 H
0
X ~ N 0 ,
2
,
0 是否有显著差异？
• 根据以往的比分（总体信息）推断该比分是否足球 赛比分
– 从样本的差异推论总体差异的过程
1.3 假设检验的主要内容
• 差异
– 样本统计量与总体参数的差异 – 两个样本统计量之间的差异
• 差异显著 significant difference
– 该样本基本不属于已知总体 – 两个总体的参数之间确实存在差异
解： X 51 . 5， S 2 . 98 , (1 ) 建立假设 H
0
: 0 X 0 S n
H
1
: 0 0 . 41
( 2 )t
51 . 5 52 . 0 2 . 98 6
( 3 ) 临界值
t ( 5 ) 2 . 571
2
( 4 ) t 0 . 41 0 . 41 2 . 571 t ( 5 )
• 虚无假设 H0 null hypothesis