计量经济学02-05

多维随机变量
统计独立性 (statistically independence)

如果两个随机变量的联合PDF等于它们边缘PDF的乘 积，则称这两个变量是相互独立的（independent）。 两个变量独立意味着其中一个变量的结果不会影响另 一个。
f ( x, y ) f ( x ) f ( y ) 即：P ( X x , Y y ) P ( X x ) P (Y y )
fn(A)
当n逐渐增大时，频率趋向于某一常数，称为
频率稳定性

概率(probability)
S是某一随机试验的样本空间，对于其中的任意一个事
件A赋予一个实数P(A)，如果P(A)满足下列三个条件， 则称P(A)为事件A的概率。 1. 0P(A) 1 2. P(S)=1 3. 如果A1,A2,…,是两两不相容的事件，那么 P(A1+A2+…)=P(A1)+P(A2)+…
经济计量学
概率论与统计学基础 (chp2~chp5)
主要内容
概率论基础知识 数理统计基础知识

概率论部分
概率论基础知识主要内容
概率 随机变量 概率密度函数 多维随机变量 随机变量的数字特征 一些重要的概率分布

概率

随机试验
可以在相同条件下重复进行
每次试验的可能结果不止一个，但事先能明确
变量。随机变量通常用大写字母X、Y、Z表示，其数 值则用小写字母x、y、z表示

离散型随机变量(discrete random variable)
可能取到的值是有限个的随机变量

例：离散型随机变量：扔一次骰子出现的点数；未出生婴儿的 性别

连续型随机变量(continuous random variable)
E ( X ) 2(1 / 36) 3(2 / 36) 12(1 / 36) 7
随机变量的数字特征

连续型变量的期望：
若f ( x )为X的PDF，即 则E ( X )
x
f ( x )dx P ( X x )
x f ( x )dx

实例：
若n为偶数，位于中央位置的那两个数的平均数就是中
位数。 中位数记为Med(X) 。
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
f(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Mo( X ) 7

众数（mode）——随机变量的所有可能取 值中出现次数最多的那个值。
可能取到的值是无限个的随机变量

例：人的身高；百米跑速度
概率密度函数(probability density
function，PDF/probability distribution)

离散型变量的概率密度函数/概率分布
f ( X ) P( X xi ),i 1,2 , , n

多维随机变量
离散型变量的边缘概率密度函数 (marginal PDF)
f ( x) f ( x, y) P( X x)
y
f ( y ) f ( x , y ) P (Y y )
x
实例
X (民族)
汉族 Y (性别) 男 0.27 满族 0.08 回族 0.16 蒙古族 0 边缘概 率 0.51
所有的可能结果 进行一次试验之前不能确定会出现哪一个结果

实例
一枚硬币抛掷两次
在校园里询问任意一个学生的年龄

样本空间(sampling space)/总体(population)
某一个随机试验的所有可能结果组成的集合，记为S
样本点(sampling point)
样本空间里的某一元素，即随机试验的某一可能结果
实例：抛硬币
Y (第二次) 正面(H)
X (第一次)
正面(H) 1/4 反面(T) 1/4
反面(T)
1/4
1/4
譬如：f (X=H,Y=H)=f (X=H)*f(Y=H)=1/2*1/2=1/4 ……
多维随机变量
连续型变量的联合概率密度函数 (joint PDF)

y
x

f ( x , y )dxdy F ( x , y ) P ( X x , Y y )
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
f(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Med( X ) 7
中位数（median）

对于离散型变量，假设所有可能取值的个数为n， 把这些数从小到大排列。
若n为奇数，位于中央位置的那个数就是中位数；
1 2 若f ( x ) x ;0 x 3 9 3 1 2 9 则E ( X ) x x dx 0 9 4
随机变量的数字特征
期望的性质：
1.E (c) c, c为常数 2.E (c X ) c E ( X ), c为常数 3.E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 4.若Y g ( X ),则E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx
实例
X：投掷两颗骰子出现的点数之和，X的PDF为：
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
f(X) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

ห้องสมุดไป่ตู้
连续型变量的累积分布函数(cumulative distribution function，CDF)

表示在Y=y的条件下X=x的概率
X (民族) 汉族 满族 回族 蒙古族 边缘概 率
Y (性别)
男
女
0.27
0.35 0.62
0.08
0.10 0.18
0.16
0 0.16
0
0.04 0.04
0.51
0.49
边缘概率
譬如：f (满族, 女生)=0.10, f (女生)=0.49, f (满族|女生) =0.10/0.49 =0.20 f (汉族, 男生)=0.27, f (男生)=0.51, f (汉族|男生) =0.27/0.51=0.53

5.若X与Y相互独立，则 E ( X Y ) E ( X ) E (Y )
随机变量的数字特征
中位数（median）

对于离散型变量，假设所有可能取值的个数为n，把 这些数从小到大排列。若n为奇数，位于中央位置的 那个数就是中位数；若n为偶数，位于中央位置的那 两个数的平均数就是中位数。记为Med(X)，中位数 所在的位置为(n+1)/2。
族 连续型二维随机变量：每一位学生的身高和体 重
多维随机变量
离散型变量的联合概率密度函数(joint PDF)
f ( x, y ) P ( X x, Y y )
实例
民族
汉族 满族 0.08 回族 0.16 蒙古族 0 男 0.27
性别
女
0.35
0.10
0
0.04
譬如：既是男生又是满族的概率为0.08，既是女生又是回族的 概率为0

实例
一枚硬币抛掷两次，出现正面记为H，出现反面记为T。
事件A为“至少有一次H”，事件B为“两次都是同一 面”。则事件A的概率为3/4，事件A和B同时发生的概 率为1/4，在A发生的条件下B发生的概率为1/3
随机变量

随机变量(stochastic/random variable)
一个变量若它的值是由随机试验决定的，称其为随机
女
0.35
0.62
0.10
0.18
0
0.16
0.04
0.04
0.49
边缘概率
多维随机变量
离散型变量的条件概率密度函数 (conditional PDF)
P ( X x, Y y ) f ( x, y ) f ( x | y) P( X x | Y y) P (Y y ) f ( y)

实例
一枚硬币抛掷两次，出现正面记为H，出现反面记为T

样本空间：{HH, HT, TH, TT} 样本点： HH, HT, TH, TT

事件(event)
某一随机试验的样本空间的一个子集
实例：一枚硬币抛掷两次
事件A：出现两个正面 事件B：出现一个正面和一个反面 事件C：出现两个反面

f ( x )dx 1
b a
b .P ( a X b ) F ( b ) F ( a ) f ( x )dx , a b
实例

f(x) 1 2
在上例中，PDF为：
x / 2 ,0 x 2 f( x) 0 , 其它
x
概率密度函数

连续型变量的概率密度函数(PDF)

统计独立性 (statistically independence)
f ( x, y ) f ( x ) f ( y )
随机变量的数字特征
以上讨论了随机变量的概率密度函数PDF 和累积分布函数CDF，但在处理实际问题 时，往往不需要求出这些函数，而是只需 要了解变量的某些特征值。 这些特征值包括三类：
若f ( x )为X的PDF，即f ( x ) P ( X x ),则E ( X ) xi f ( xi )