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二维Logistic分数阶微分方程的离散化过程作者：刘杉杉高飞李文琴来源：《计算机应用》2019年第01期摘要：针对二维Logistic分数阶微分方程的求解问题，引进了一种离散化方法对其进行离散求解。
首先，将二维Logistic整数阶微分方程推广到分数阶微积分领域;其次，分析相应具有分段常数变元的二维Logistic分数阶微分方程并应用提出的离散化方法对模型进行数值求解;然后，根据不动点理论讨论该合成动力系统不动点的稳定性，给出了在参数空间内二维Logistic 分数阶系统发生第一次分岔的边界方程;最后，借助Matlab对模型进行数值仿真，并结合Lyapunov指数、相图、时间序列图、分岔图探讨模型更多复杂的动力学现象。
仿真结果显示，所提方法成功对二维Logistic分数阶微分方程进行离散。
关键词：二维Logistic微分方程;时滞;分段常数变元;不动点;分岔;混沌中图分类号： TP391.9; TP301.5文献标志码：AAbstract： Focusing on the problem of solving coupled Logistic fractional-order differential equation， a discretization method was introduced to solve it discretly. Firstly， a coupled Logistic integer-order differential equation was introduced into the fields of fractional-order calculus. Secondly， the corresponding coupled Logistic fractional-order differential equation with piecewise constant arguments was analyzed and the proposed discretization method was applied to solve the model numerically. Then， according to the fixed point theory， the stability of the fixed point of the synthetic dynamic system was discussed， and the boundary equation of the first bifurcation of the coupled Logistic fractional-order system in the parameter space was given. Finally， the model was numerically simulated by Matlab， and more complex dynamics phenomena of model were discussed with Lyapunov index， phase diagram， time series diagram and bifurcation diagram. The simulation results show that， the proposed method is successful in discretizing coupled Logistic fractional-order differential equation.Key words： coupled Logistic differential equation; time delay; piecewise constant argument; fixed point; bifurcation; chaos0 引言混沌被认为是继量子力学与相对论之后的第三大科学发现。
一、概述Matlab是一种用于数学计算、数据分析和图形可视化的高级编程语言和工具，混沌理论是一种描述动态系统非线性行为的数学理论，而混沌分叉是混沌系统中特有的一种现象。
编写Matlab程序对混沌分叉进行研究即是将这两种领域结合起来，本文将介绍如何使用Matlab 编写混沌分叉程序。
二、混沌分叉理论简介混沌分叉理论是描述混沌系统行为的一个重要方面，其基本原理可简要描述如下：1. 系统的参数变化：在混沌系统中，当改变系统的某些参数时，系统的行为会发生变化，这种变化可能是渐变的，也可能是突然的。
2. 分岔现象：当系统的参数发生变化时，系统的稳定点可能会出现分叉现象，即稳定点从一个点分裂成多个点，这种分叉现象是混沌系统中一个显著的特征。
3. 分形结构：在混沌分叉中，分岔现象可能形成分形结构，这种结构在混沌系统中具有重要的理论和实际意义。
三、Matlab基础知识使用Matlab编写混沌分叉程序需要具备一定的Matlab基础知识，包括但不限于以下内容：1. Matlab基本语法：了解Matlab的基本语法规则，包括变量定义、数组操作、逻辑运算等。
2. Matlab图形绘制：掌握Matlab绘制图形的基本方法，包括绘制曲线、散点图等。
3. Matlab函数编写：了解如何在Matlab中编写自定义函数，并且能够熟练运用函数调用和参数传递。
四、混沌分叉程序的编写编写混沌分叉程序的基本步骤如下：1. 设定系统参数：首先需要定义混沌系统的参数，包括系统的微分方程、初始条件以及需要变化的参数。
2. 编写微分方程：根据所研究的具体混沌系统，编写系统的微分方程，通常为非线性微分方程。
3. 参数变化循环：对系统的某些参数进行变化，并且循环计算系统的轨迹，观察混沌分叉现象。
4. 图形绘制：绘制分叉图、分岔图等用于展示混沌分叉现象的图形。
五、程序示例下面为一个简单的混沌分叉程序示例，以具体的混沌系统为 Logistic映射为例，程序演示了 Logistic 映射参数 r 变化时轨迹的分叉现象。
§4 从倍周期分定走向混沌4-1 逻辑斯谛（Logistic ）映射我们将以一个非常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定走向混沌现象。
该模型称为有限环境中无世代交替昆虫生息繁衍模型。
若昆虫不加以条件控制，每年增加λ倍，我们将一年作为一代，把第几代的虫日记为，则有：i N o i i i N N N 11++==λλ (4-1)i N ,1>λ增长很快，发生“虫口爆炸”，但虫口太多则会由于争夺有限食物和生存空间，以及由于接触传染导致疾病曼延，使虫口数目减少，它正比于，假定虫口环境允许的最大虫口为，并令2i N o N oii N N x =，则该模型由一个迭代方程表示： 21i i i N N N λλ−=+即为：)1(1i i i x x x −=+λ （4-2）其中：]4,0[],1,0[∈∈λi x 。
（4-2）式就是有名的逻辑斯谛映射。
4-2 倍周期分歧走向混沌借助于对这一非线性迭代方程进行迭代计算，我们可以清楚地看到非线性系统通过倍周期分岔进入混沌状态的途径。
（一）迭代过程迭代过程可以用图解来表示。
图4-1中的水平轴表示，竖直轴表示，抛物线表示（4-2）式右端的迭代函数。
45º线表示n x 1+n x n n x x =+1的关系。
由水平轴上的初始点作竖直线，找到与抛物线的交点，A 的纵坐标就是。
由点)0,(0x R ),(10x x A 1x),(10x x A 作水平直线，求它与45º线的交点，经B 点再作竖直线，求得与抛物线的交点，这样就得到了。
仿此做法可得到所迭代点。
),(11x x B ),(21x x 2x 从任何初始值出发迭代时，一般有个暂态过程。
但我们关心的不是暂态过程，而是这所趋向的终态集。
终态集的情况与控制参数λ有很大关系。
增加λ值就意味着增加系统的非线性的程度。
改变λ值，不仅仅改变了终态的量，而且也改变了终态的质。
它所影响的不仅仅是终态所包含的定态的个数和大小，而且也影响到终态究竟会不会达到稳定。
一种基于Logistic映射的水声混沌信号测距方法郭亚静;王黎明;王琳;范浩【摘要】在浅海水声定位系统中,针对传统声呐信号持续时间长、效率低、正交性差的问题,提出了一种抗噪声、快速、窄带的水声混沌信号.通过推导Logistic混沌序列的混沌性和相关特性;并据此将具有混沌特性的相位信息对混沌序列进行调制.理论表明调制后的水声混沌信号具有正的Lyapunov指数、理想的相关性和窄带性.水域数据分析显示,水声混沌信号依旧表现出混沌性和窄带性;并且与同水域实验的m序列相比,定位精度提高了5 cm左右,信号时长缩短了73 ms,为海洋中动态目标的快速定位提供了参考.%In the shallow water acoustic localization systems,a kind of underwater acoustic chaotic signal that is anti-noise,fast and narrowband is proposed for tranditional sonar signal being a long time,low efficiency and poor orthogonality.The chaos and correlation properties of Logistic chaotic sequences are dericed, and the chaotic sequence is modulated by the phase information with chaotic characteristics.The theory shows that chaotic modulated signal of underwater acoustic chaotic signal has a positive Lyapunov exponent, ideal correlation and narrowband.Analysis of water experimental data show that underwater acoustic chaotic signal still puts up chaotic characteristics and narrowband,and compares with the m-sequence that the positioning accuracy improves the 4 cm and the time of signal is shortened 73 ms at the same waters.It provides a reference for the rapid localization of the dynamic target in the ocean.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2017(017)005【总页数】6页(P10-14,46)【关键词】浅海水声定位;Logistic映射;相位调制;快速定位【作者】郭亚静;王黎明;王琳;范浩【作者单位】中北大学信息探测与处理技术研究所,太原 030051;中北大学信息探测与处理技术研究所,太原 030051;中北大学信息探测与处理技术研究所,太原030051;中北大学信息探测与处理技术研究所,太原 030051【正文语种】中文【中图分类】TB566声波是目前在海洋中能够远距离传播的能量辐射形式，而无线电波和光波在海水中传播时都要受到严重的衰减，不利于作为传递信息的载体，因此声呐信号的研究成为提高海洋探测、目标定位、通信质量的手段[1]。
一种基于有源忆阻器模型的混沌电路张效伟;李冠林;陈希有;李春阳【摘要】提出一种内部状态变量导数中含有平方项的有源忆阻器模型;并基于该模型构造了一个仅含电容、电感和忆阻器三个元件的混沌电路系统.该系统仅包含有一个平衡点;且吸引子关于原点中心对称.通过系统的李雅普诺夫指数谱和分岔图发现,在不同的电阻参数下该系统会以混沌危机和倒分岔两种方式退出混沌.最后,利用运算放大器等对该忆阻器进行电路模拟,给出了混沌系统的电路实现.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2014(014)020【总页数】5页(P162-166)【关键词】忆阻器;混沌电路;分岔【作者】张效伟;李冠林;陈希有;李春阳【作者单位】大连理工大学电气工程学院,大连116023;大连理工大学电气工程学院,大连116023;大连理工大学电气工程学院,大连116023;大连理工大学电气工程学院,大连116023【正文语种】中文【中图分类】O415.5;TN941.7电阻、电容和电感是三种最基本的电路元件,这三个元件分别涉及电压与电流、电荷与电压以及磁通与电流之间的关系。
但电压、电流、电荷和磁通这四个量之间的关系显然不仅限于上述三种。
由此,1971年蔡少棠提出了一种新的电路元件——忆阻器[1]；它反映了电荷和磁通之间的关系,被称为“丢失的第四种元件”。
随后又提出了忆阻器系统[2],将忆阻器视为忆阻系统的一种特例。
忆阻器被发现后,并没有引起足够的关注,这使得忆阻器的应用和发展受到极大的限制,直到2008年HP公司成功的制造出纳米忆阻器[3],国内外的研究人员开始审视对忆阻器研究的重要性[4—7]。
目前,继纳米忆阻器之后又发现了半导体忆阻器[8],并有学者对忆阻器的建模和电路模拟等问题进行了研究[9—12]。
忆阻器具有记忆特性和非线性特性,它的非线性特性,使其在混沌电路中有较好的应用。
现在已知能产生混沌的忆阻器模型有折线模型和三次方模型等[13—17]。
基于二维Logistic混沌映射DWT脆弱数字水印算法陈善学;彭娟;李方伟【摘要】提出一种基于二维Logistic混沌映射的DWT变换域脆弱数字水印算法.首先利用原始图像的特征信息结合密钥生成二维混沌映射的初值从而生成水印信息;为了实现盲检测,该算法结合小波变换后的特征信息将水印信息嵌入到经小波变换后的高频部分;最后将修改后的小波系数与其他系数重组做离散小波反变换IDWT,从而得到含水印的图像.实验证明,该算法不但能增强水印的安全性,还有良好的不可见性和图像定位篡改能力.【期刊名称】《微型机与应用》【年(卷),期】2013(032)006【总页数】4页(P38-40,43)【关键词】脆弱数字水印;二维Logistic混沌;离散小波变换【作者】陈善学;彭娟;李方伟【作者单位】重庆邮电大学移动通信安全研究所,重庆400065【正文语种】中文【中图分类】TN391.41随着计算机网络和通信技术的飞速发展，数字媒体(图像、视频、音频)得到了广泛的应用，与此同时，数字媒体的信息安全、知识产权保护和完整性认证等问题也变得日益突出。
传统的加密系统在数据传输过程中可以起到保密的作用，但数据一旦被解密，保护作用也随之消失。
数字水印[1-3]作为传统加密方法的有效补充手段已经在各种多媒体的保护领域得到应用。
鲁棒性数字水印用于数字产品的版权保护，脆弱数字水印常用于数字产品的完整性认证和内容篡改的定位。
目前脆弱数字水印技术主要有空间域和变换域两种方法。
空间域方法是基于像素的脆弱水印技术和基于分块的脆弱水印技术，是最早的基于LSB的方法。
参考文献[4]对原始图像的特征与一个有意义的二值水印图像经过异或操作后嵌入到图像中最低有效位，该算法具有定位特性，可以非常直观地看出被篡改的区域，但其嵌入的水印信息量较小。
变换域方法更容易对图像被篡改的特征进行描绘，因此更多的脆弱水印算法采用在变换域中。
参考文献[5]对原始图像DCT低频系数进行二进制编码后的数据嵌入到图像的最低有效位，这种方法对原始图像进行恢复。
