高考一轮复习教案九(6)轨迹探求(教师)理科用

课时：2课时教学目标：1. 知识目标：理解轨迹问题的基本概念，掌握解决轨迹问题的方法。

2. 能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，提高数学思维能力。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

教学重点：1. 轨迹问题的基本概念和解决方法。

2. 分析和解决轨迹问题的能力。

教学难点：1. 轨迹问题的多样性和复杂性。

2. 对轨迹问题的综合分析和解决。

教学过程：一、导入1. 复习直线方程、圆方程等基本知识，为轨迹问题打下基础。

2. 引入轨迹问题，展示几个简单的轨迹问题实例，激发学生的学习兴趣。

二、新课讲解1. 讲解轨迹问题的基本概念，包括定义、分类和特点。

2. 介绍解决轨迹问题的方法，如解析法、几何法等。

3. 结合实例，讲解如何分析轨迹问题的条件和要求，以及如何运用解决方法。

三、课堂练习1. 分组讨论，让学生自主解决几个简单的轨迹问题。

2. 教师巡视指导，解答学生在解题过程中遇到的问题。

3. 对学生的解题过程进行点评，强调解题思路和方法。

四、课堂小结1. 总结轨迹问题的基本概念、解决方法和注意事项。

2. 强调在解决轨迹问题时，要注重分析问题和综合运用知识。

五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 查阅资料，了解轨迹问题的应用和拓展。

教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、合作精神等。

2. 作业完成情况：检查学生完成作业的质量和数量。

3. 课后反馈：了解学生对轨迹问题的掌握程度，以及对教学方法的意见和建议。

教学反思：1. 根据学生的反馈，调整教学方法和内容。

2. 注重培养学生的数学思维能力和分析问题、解决问题的能力。

3. 结合实际，拓展轨迹问题的应用，提高学生的综合素质。

高三第一轮复习数学---轨迹问题1. 一、教学目标：了解曲线与方程的概念, 能用几种常见的求轨迹方法, 根据已知条件列出曲线方程, 并正确处理增、失根.二、教学重点：1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；代入法要设法找到关系式x ’=f(x,y), y ’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。

2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。

在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。

三、教学过程：（一）主要知识： 求轨迹的一般方法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。

4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。

可以说是参数法的一种变种。

6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

对课本一道轨迹问题的探究性学习（详案）
【设计说明】目前高三数学一轮复习正复习到解析几何，一轮复习需要对考纲要求的知识进行全面系统的复习，这里回归课本很重要。

现实的问题是很多学生喜欢做题而不喜欢翻阅课本。

本节课通过课本上一道轨迹问题的探究性学习，希望引导学生重视课本。

此外，通过对课本上普通问题的探究性学习，培养学生多角度提出问题、分析问题及解决问题的能力，优化学生数学思维品质。

【教学目标】
通过课本一道轨迹问题的探究性学习，学会多角度提出问题的方法，在问题解决的过程中，复习解析几何中相关的基础知识和基本方法，优化数学思维品质。

【教学重难点】
问题提出与解决的过程中优化数学思维品质，复习解析几何相关知识与方法。

【教学过程】
几何画板页面说明：
1平行弦AB中点的轨迹动画演示（例题）
2平行弦AB的三等分点的轨迹动画演示（问题2.1）
3三角形OAB面积的最值动画演示（问题1.2）
4旋转弦AB的中点的轨迹动画演示（问题2.2）
1：设平行弦AB所在的直线方程。

课时：2课时年级：高中学科：数学教学目标：1. 理解轨迹问题的概念，掌握解决轨迹问题的方法。

2. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学重点：1. 轨迹问题的概念和性质。

2. 解决轨迹问题的方法。

教学难点：1. 轨迹问题的概念理解。

2. 解决轨迹问题的方法和技巧。

教学准备：1. 教学课件。

2. 相关习题。

教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初中阶段学习的轨迹问题，引导学生思考高中阶段轨迹问题的特点。

2. 提出本节课的学习目标。

二、新课讲解1. 介绍轨迹问题的概念和性质，通过实例讲解轨迹问题的应用。

2. 分析解决轨迹问题的方法，包括：（1）利用几何知识解决轨迹问题；（2）利用解析几何知识解决轨迹问题；（3）利用向量知识解决轨迹问题。

三、课堂练习1. 学生独立完成教材中的例题，教师巡视指导。

2. 学生互相讨论，共同解决问题。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调轨迹问题的概念、性质和解决方法。

2. 提出课后作业。

第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学内容，引导学生思考如何运用所学知识解决实际问题。

2. 提出本节课的学习目标。

二、新课讲解1. 分析解决轨迹问题的实例，引导学生掌握解决轨迹问题的技巧。

2. 讲解解决轨迹问题的步骤，包括：（1）分析问题，确定解题思路；（2）利用相关数学知识解决问题；（3）检验答案的正确性。

三、课堂练习1. 学生独立完成教材中的习题，教师巡视指导。

2. 学生互相讨论，共同解决问题。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调解决轨迹问题的方法和步骤。

2. 提出课后作业。

教学反思：1. 本节课通过讲解轨迹问题的概念、性质和解决方法，使学生掌握了解决轨迹问题的基本技能。

2. 在课堂练习中，学生能够运用所学知识解决实际问题，提高了学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3. 在今后的教学中，要注重培养学生的实际应用能力，提高学生的数学素养。

第十七章坐标系与参数方程高考导航2.(知识网络17.1 坐标系典例精析题型一 极坐标的有关概念【例1】已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A(5，π6)，B(5，π2)，C(－43，π3)，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积.【解析】在极坐标系中，设极点为O ，由已知得∠AOB ＝π3，∠BOC＝5π6，∠AOC ＝5π6.又|OA|＝|OB|＝5，|OC|＝43，由余弦定理得|AC|2＝|OA|2＋|OC|2－2|OA|·|OC|·cos ∠AOC ＝52＋(43)2－2×5×43·cos 5π6＝133，所以|AC|＝133.同理，|BC|＝133.所以|AC|＝|BC|，所以△ABC 为等腰三角形.又|AB|＝|OA|＝|OB|＝5，所以AB 边上的高h ＝|AC|2－(12|AB|)2＝1332，所以S △ABC ＝12×1332×5＝6534.【点拨】判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.【变式训练1】(1)点A(5，π3)在条件：①ρ＞0，θ∈(－2π，0)下极坐标为 ，②ρ＜0，θ∈(2π，4π)下极坐标为 ； (2)点P(－12，4π3)与曲线C ：ρ＝cos θ2的位置关系是 .【解析】(1)(5，－5π3)；(－5，10π3).(2)点P 在曲线C 上.题型二 直角坐标与极坐标的互化【例2】⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程.【解析】(1)以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长.因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x ，即x2＋y2－4x ＝0为⊙O1的直角坐标方程.同理，x2＋y2＋4y ＝0为⊙O2的直角坐标方程.(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==0,011y x 或⎩⎨⎧-==.2,222y x 即⊙O1，⊙O2的交点为(0,0)和(2，－2)两点，故过交点的直线的直角坐标方程为x ＋y ＝0.【点拨】 互化的前提条件：原点对应着极点，x 轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到.【变式训练2】在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sinθ)＝2的距离为d ，求d 的最大值.【解析】将极坐标方程ρ＝3化为普通方程x2＋y2＝9，ρ(cos θ＋3sin θ)＝2可化为x ＋3y ＝2.在x2＋y2＝9上任取一点A(3cos α，3sin α)，则点A 到直线的距离为d ＝|3cos α＋33sin α－2|2＝|6sin(α＋30°)－2|2，它的最大值为4.题型三 极坐标的应用【例3】过原点的一动直线交圆x2＋(y －1)2＝1于点Q ，在直线OQ上取一点P ，使P 到直线y ＝2的距离等于|PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P 的轨迹方程.【解析】以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过P 作PR 垂直于直线y ＝2，则有|PQ|＝|PR|.设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ)，则有ρ0＝2sin θ.因为|PR|＝|PQ|，所以|2－ρsin θ|＝|ρ－2sin θ|，所以ρ＝±2或sin θ＝±1，即为点P 的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4或x ＝0.【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.【变式训练3】如图，点A 在直线x ＝5上移动，等腰△OPA 的顶角∠OPA 为120°(O ，P ，A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程.【解析】取O 为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x ＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5.设A(ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，因为点A 在直线ρcos θ＝5上，所以ρ0cos θ0＝5.①因为△OPA 为等腰三角形，且∠OPA ＝120°，而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0以及∠POA ＝30°，所以ρ0＝3ρ，且θ0＝θ－30°.②把②代入①，得点P 的轨迹的极坐标方程为3ρcos(θ－30°)＝5.题型四 平面直角坐标系中坐标的伸缩变换【例4】定义变换T ：⎩⎨⎧'=-'=+∙∙∙∙, cos sin , sin cos y y x x y x θθθθ可把平面直角坐标系上的点P(x ，y)变换成点P′(x′，y′).特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T变换后得到的点P′与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.(1)若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且焦距为22，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求椭圆C 的标准方程，并求出当tan θ＝34时，其两个焦点F1、F2经变换公式T 变换后得到的点F1′和F2′的坐标；(2)当tan θ＝34时，求(1)中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标.【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，由椭圆定义知焦距2c ＝22⇒c ＝2，即a2－b2＝2.①又由已知得a2＋b2＝4，②故由①、②可解得a2＝3，b2＝1.即椭圆C 的标准方程为x23＋y2＝1，且椭圆C 两个焦点的坐标分别为F1(－2，0)和F2(2，0).对于变换T ：⎩⎨⎧'=-'=+∙∙∙∙, cos sin , sin cos y y x x y x θθθθ当tan θ=43时，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=-'=+.5453,5354y y x x y x设F1′(x1，y1)和F2′(x2，y2)分别是由F1(－2，0)和F2(2，0)的坐标经变换公式T 变换得到. 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯--⨯=-=⨯+-⨯=,523054)2(53,524053)2(5411y x即F1′的坐标为(－425，－325)； 又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-⨯==⨯+⨯=,523054253,52405325422y x即F2′的坐标为(425，325).(2)设P(x ，y)是椭圆C 在变换T 下的不动点，则当tan θ＝34时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+y y x x y x 5453,5354⇒x ＝3y ，由点P(x ，y)∈C ，即P(3y ，y)∈C ，得(3y)23＋y2＝1⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=,23,21x y 因而椭圆C 的不动点共有两个，分别为(32，12)和(－32，－12).【变式训练4】在直角坐标系中，直线x －2y ＝2经过伸缩变换 后变成直线2x′－y′＝4.【解析】⎩⎨⎧='='.4,y y x x总结提高1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；反之也成立.2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程.17.2 参数方程典例精析题型一 参数方程与普通方程互化【例1】 把下列参数方程化成普通方程：(1) ⎩⎨⎧+=-=θθθθ sin cos 2, sin 4 cos y x (θ为参数)； (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--2)e e (,2)e e (t t t t b y a x (t 为参数，a ，b ＞0).【解析】(1),1)94()92(94 cos ,92 sin sin cos 2, sin 4 cos 22=++-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⇒⎩⎨⎧+=-=y x x y y x x y y x θθθθθθ所以5x2＋4xy ＋17y2－81＝0.(2)由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--②.e e 2，①e e 2t t t t b y a x所以①2－②2得4x2a2－4y2b2＝4，所以x2a2－y2b2＝1，其中x ＞0.【变式训练1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形.(1)⎩⎨⎧=+=; cos sin , cos sin θθθθy x (2)⎪⎩⎪⎨⎧+==;1,1t t y x (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=;13,13222t t y t t x (4) ⎩⎨⎧-=+= 3. tan 5, sec 46θθy x【解析】(1)x2＝2(y ＋12)，－2≤x≤2，图形为一段抛物线弧.(2)x ＝1，y≤－2或y≥2，图形为两条射线.(3)x2＋y2－3y ＝0(y≠3)，图形是一个圆，但是除去点(0,3). (4)(x －6)216－(y ＋3)225＝1，图形是双曲线.题型二 根据直线的参数方程求弦长【例2】已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 3,2(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝1.(1)求曲线C 的普通方程；(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长.【解析】(1)由曲线C ：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，化成普通方程为x2－y2＝1.①(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23,212(t 为参数).②把②代入①得(2＋t 2)2－(32t)2＝1，整理得t2－4t －6＝0.设其两根为t1，t2，则t1＋t2＝4，t1t2＝－6.从而弦长为|t1－t2|＝(t1＋t2)2－4t1t2＝42－4(－6)＝40＝210. 方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y ＝3(x －2)， 代入x2－y2＝1，得2x2－12x ＋13＝0.设l 与C 交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝132，所以|AB|＝1＋3·(x1＋x2)2－4x1x2＝262－26＝210.【变式训练2】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=t y t x 531,541(t 为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)，求直线l 被曲线C 所截的弦长. 【解析】将方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=t y t x 531,541(t 为参数)化为普通方程为3x ＋4y ＋1＝0.将方程ρ＝2cos(θ＋π4)化为普通方程为x2＋y2－x ＋y ＝0.表示圆心为(12，－12)，半径为r ＝22的圆，则圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r2－d2＝212－1100＝75. 题型三 参数方程综合运用【例3】(2009海南、宁夏)已知曲线C1：⎩⎨⎧+=+-=t y t x sin 3, cos 4 (t 为参数)，C2：⎩⎨⎧==θθ sin 3, cos 8y x (θ为参数).(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C2上的动点，求PQ 中点M 到直线C3：⎩⎨⎧+-=+=t y t x 2,23(t 为参数)距离的最小值.【解析】(1)C1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C2：x264＋y29＝1.C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；C2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.(2)当t ＝π2时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M(－2＋4cos θ，2＋32sin θ).C3为直线x －2y －7＝0，M 到C3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|，从而cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.【变式训练3】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为⎩⎨⎧==θθ sin 2, cos 4y x (θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ－4sin θ(ρ＞0).(1)化曲线C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)设曲线C1与x 轴的一个交点的坐标为P(m,0)(m ＞0)，经过点P 作曲线C2的切线l ，求切线l 的方程.【解析】(1)曲线C1：x216＋y24＝1；曲线C2：(x －1)2＋(y ＋2)2＝5.曲线C1为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线C2为圆心为(1，－2)，半径为5的圆. (2)曲线C1：x216＋y24＝1与x 轴的交点坐标为(－4,0)和(4,0)，因为m＞0，所以点P 的坐标为(4,0).显然切线l 的斜率存在，设为k ，则切线l 的方程为y ＝k(x －4).由曲线C2为圆心为(1，－2)，半径为5的圆得|k ＋2－4k|k2＋1＝5， 解得k ＝3±102，所以切线l 的方程为y ＝3±102(x －4).总结提高1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量x ，y 的取值范围而造成错误.2.消除参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参.。

教学目标：1. 知识与能力：理解轨迹问题的概念，掌握轨迹问题的解题方法，能够解决简单的轨迹问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的团队协作精神和自主学习能力。

教学重难点：1. 教学重点：轨迹问题的概念、解题方法。

2. 教学难点：轨迹问题的实际应用和解题技巧。

教学准备：1. 教师准备：多媒体课件、轨迹问题相关习题。

2. 学生准备：笔记本、笔。

教学过程：一、导入新课1. 教师通过展示一些生活中的轨迹问题，引导学生思考什么是轨迹问题。

2. 学生结合生活实际，举例说明轨迹问题的现象。

二、新课讲授1. 教师讲解轨迹问题的概念，强调轨迹问题在数学中的重要性。

2. 教师通过实例，展示轨迹问题的解题方法，如：几何法、代数法等。

3. 学生跟随教师一起分析轨迹问题的解题步骤，并尝试解决一些简单的轨迹问题。

三、课堂练习1. 教师布置一些轨迹问题的习题，让学生独立完成。

2. 学生在完成习题的过程中，教师巡视指导，解答学生的疑问。

3. 学生展示解题过程，教师点评并总结。

四、课堂小结1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，强调轨迹问题的概念和解题方法。

2. 学生总结自己在解题过程中的收获和不足。

五、布置作业1. 教师布置一些与轨迹问题相关的课后作业，巩固所学知识。

2. 学生完成作业，教师批改并给予反馈。

教学反思：1. 教师在授课过程中，要注意引导学生积极参与课堂讨论，提高学生的自主学习能力。

2. 教师要注重培养学生的逻辑思维能力，引导学生从不同角度分析问题。

3. 教师在讲解轨迹问题的解题方法时，要结合实际案例，让学生更好地理解知识。

4. 教师要关注学生的学习情况，及时调整教学策略，提高教学效果。

高三复习微专题——《轨迹方程问题》教案一、教学目标1、进一步熟练掌握求动点轨迹方程的基本方法。

2、培养学生的观察能力，抽象概括能力。

3、强化类比、联想的方法，领会方程、数形结合等思想。

二、教学重点与难点【教学重点】1、运用类比、联想的方法探究不同条件下的轨迹2、定义法、参数法求轨迹方程3、立体几何中的轨迹问题【教学难点】1、合理选择方法求参数方程2、立体几何中的轨迹问题三、教学方法和手段【教学方法】观察发现、启发引导、合作探究相结合的教学方法。

【教学手段】通过多媒体动态演示，突破学生在旧知识和新知形成过程中的障碍（静态到动态）；另一方面，节省了时间，提高了课堂教学的效率，激发了学生的学习兴趣。

四、教学过程（一）复习回顾常用的圆锥曲线轨迹方程的求法：直译法、定义法、相关点法、参数法（二）导入新课【定义法】方法指导：若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的系数即可。

【牛刀小试】1、已知ABC ∆的周长是18，(4,0),(4,0)A B -，求点C 的轨迹方程。

2、已知动圆M 和圆221:(1)36C x y ++=内切，并和圆222:(1)4C x y -+=外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

例1：已知圆:C 2218x y ++=（）,定点(1,0)A ，M 为圆上一动点，P 在AM 上，N 在CM 上，且满足2,0AM AP NP AM =⋅=，求点N 的轨迹方程。

例2：P 为椭圆22143x y +=上的任意一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为M ，求点M 的轨迹方程。

【参数法】方法指导：有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现：该动点常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法称为参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可。

《志鸿优化设计》2022年高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第九章解析几何9．6双曲线考纲要求1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，明白其简单几何性质．2．明白得数形结合的思想．3．了解双曲线的简单应用，了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做______．这两个定点叫做双曲线的____，两焦点间的距离叫做双曲线的____．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范畴x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1____，A2____顶点坐标：A1____，A2____渐近线y＝____y＝____离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的______，它的长|A1A2|＝______；线段B1B2叫做双曲线的______，它的长|B1B2|＝____；____叫做双曲线的实半轴长，____叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)1．双曲线x216－y29＝1的焦距为()．A．10 B.7 C．27 D．52．设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两焦点，P是双曲线上一点，且3 |PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()．A ．4 2B ．8 3C ．24D ．483．设双曲线x2a2－y29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1 4．若双曲线x2a2－y2b2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )．A. 5B ．5C. 2D ．25．(2021届广东深圳南头中学高三12月月考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与抛物线y2＝12x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于3，则该双曲线的标准方程为( )．A.x23－y26＝1B.x212－y224＝1C.x227－y218＝1D.y218－x227＝16．已知双曲线x2a －y22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为__________．一、双曲线的定义及应用【例1－1】 已知定点A (0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．【例1－2】 △PF1F2的顶点P 在双曲线x2a2－y2b2＝1上，F1，F2是双曲线的焦点，且∠F1PF2＝θ.求△PF1F2的面积S.方法提炼1．求点的轨迹方程时，第一要依照给定条件，探求轨迹的曲线类型．若能确定是哪种曲线，则用待定系数法求得相应方程，这种做法能够减少运算量，提高解题速度与质量．在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，依旧双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．2．在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a ，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．请做演练巩固提升4二、求双曲线的标准方程【例2】 依照下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)． 方法提炼求双曲线的标准方程的差不多方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再依照a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．假如已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线的方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．请做演练巩固提升2 三、双曲线的几何性质【例3】 (2021重庆高考)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝__________.方法提炼依照双曲线的特点，考查较多的几何性质确实是双曲线的离心率和渐近线．求离心率或离心率的取值范畴的方法通常是依照条件列出关于a ，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e 的方程或不等式求解．求渐近线方程的关键是分清两种位置下的双曲线所对应的渐近线方程．请做演练巩固提升1莫忽略对轨迹中x 范畴的界定【典例】 (12分)(2021四川高考)如图，动点M 与两定点A(－1,0)，B(1,0)构成△MAB ，且直线MA ，MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C.(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝x ＋m(m ＞0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ|＜|PR|，求|PR||PQ|的取值范畴．规范解答：(1)设M 的坐标为(x ，y)，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在． 因此x ≠1且x ≠－1.现在，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1.由题意，有y x ＋1·yx －1＝4，(3分)化简可得4x2－y2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x2－y2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(4分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，4x2－y2－4＝0消去y ，可得3x2－2mx －m2－4＝0.(*)关于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m)2－4×3(－m2－4)＝16m2＋48＞0，而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1.(6分)结合题设(m ＞0)可知，m ＞0，且m ≠1. 设Q ，R 的坐标分别为(xQ ，yQ)，(xR ，yR)， 则xQ ，xR 为方程(*)的两根．因为|PQ|＜|PR|，因此|xQ|＜|xR|，xQ ＝m －2m2＋33，xR ＝m ＋2m2＋33. 因此|PR||PQ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪xR xQ ＝21＋3m2＋121＋3m2－1 ＝1＋221＋3m2－1.(9分) 现在1＋3m2＞1，且1＋3m2≠2， 因此1＜1＋221＋3m2－1＜3，且1＋221＋3m2－1≠53，因此1＜|PR||PQ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪xR xQ ＜3，且|PR||PQ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪xR xQ ≠53.(11分)综上所述，|PR||PQ|的取值范畴是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3.(12分) 答题指导：(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．(3)双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±ab x.(4)若利用弦长公式运算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情形．(5)直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．1．(2021浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )．A ．3B ．2 C. 3 D.22．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x2＋y2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )．A.x25－y24＝1 B.x24－y25＝1C.x23－y26＝1D.x26－y23＝13．已知F1，F2为双曲线C ：x2－y2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F1PF2＝60°，则|PF1||PF2|＝( )．A ．2B ．4C ．6D ．8 4．(2021天津高考)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：x24－y216＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(5，0)，则a ＝__________，b ＝__________.5．双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范畴．参考答案 基础梳理自测 知识梳理1．双曲线 焦点 焦距2．(－a,0) (a,0) (0，－a) (0，a) ±b a x ±ab x 实轴 2a 虚轴 2b a b基础自测1．A 解析：∵c2＝16＋9＝25， ∴c ＝5,2c ＝10.2．C 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3|PF1|＝4|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6. 又|F1F2|＝10，∴△PF1F2是直角三角形．∴S ＝12×6×8＝24.3．C 解析：由渐近线方程可知b a ＝32，因此a ＝23b ＝23×3＝2.4．A 解析：焦点(c,0)到渐近线y ＝ba x 的距离为bca2＋b2＝2a ，则b ＝2a.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴离心率e ＝ca ＝ 5.5．y ＝±2x 解析：∵焦点坐标为(－3，0)，∴a ＞0且a ＋2＝3，∴a ＝1.∴双曲线方程为x2－y22＝1，渐近线方程为y ＝±2x. 考点探究突破【例1－1】 解：设F(x ，y)为轨迹上的任意一点， 因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上，因此|FA|＋|CA|＝2a ，|FB|＋|CB|＝2a(其中a 表示椭圆的长半轴长)． 因此|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|. 因此|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋(－5)2＝2， 即|FA|－|FB|＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．因此点F 的轨迹方程是y2－x248＝1(y ≤－1)．【例1－2】 解：设双曲线的左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示． 由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos θ＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2－|F1F2|2＋2|PF1||PF2|2|PF1||PF2|＝4a2－4c22|PF1||PF2|＋1＝－2b2|PF1||PF2|＋1，∴|PF1||PF2|＝2b21－cos θ.在△F1PF2中，由正弦定理，得S △F1PF2＝12|PF1||PF2|sin θ＝sin θ1－cos θ·b2. 【例2】 解：(1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x29－y216＝14， 即x294－y24＝1.(2)设双曲线方程为x216－k －y24＋k＝1，将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)．∴所求双曲线方程为x212－y28＝1.【例3】 324 解析：因为F1为左焦点，PF1垂直于x 轴，因此P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－bc 3a . 又因为P 点为直线与双曲线的交点，因此c2a2－b2c29a2b2＝1，即89e2＝1，因此e ＝324. 演练巩固提升1．B 解析：由题意可知椭圆的长轴长2a1是双曲线实轴长2a2的2倍，即a1＝2a2，而椭圆与双曲线有相同的焦点． 故离心率之比为c a2c a1＝a1a2＝2.2．A 解析：由题意得，x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0.又圆C 的标准方程为(x －3)2＋y2＝4，半径长为2，圆心坐标为(3,0)．∴a2＋b2＝32＝9，且|3b|a2＋b2＝2，解得a2＝5，b2＝4.∴该双曲线的方程为x25－y24＝1.3．B 解析：不妨设点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线的定义得：|PF1|－|PF2|＝2.两边平方得|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4.① 在△PF1F2中，cos 60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝8，② 由①②可解得|PF1||PF2|＝4.4．1 2 解析：∵C1与C2的渐近线相同， ∴b a ＝2.又C1的右焦点为F(5，0)， ∴c ＝5，即a2＋b2＝5.∴a2＝1，b2＝4，∴a ＝1，b ＝2.5．解：直线l 的方程为x a ＋yb ＝1， 即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,0)到直线l 的距离d1＝b(a －1)a2＋b2.同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d2＝b(a ＋1)a2＋b2.∴s ＝d1＋d2＝2ab a2＋b2＝2ab c .由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c2－a2≥2c2. 因此得5e2－1≥2e2， 即4e4－25e2＋25≤0.解不等式，得54≤e2≤5. 由于e ＞1，∴离心率e 的取值范畴是⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5.。

高三数学第一轮复习高三数学第一轮复习（9篇）复习应结合自己的实际，基本知识是学习的基础，复习阶段就不能只满足会背诵会证明，复习过程中特别注意对重点知识的掌握与解题方法的锻炼。

那么怎么规划好复习计划呢？以下是编辑给大家整编的9篇高三数学一轮复习，欢迎阅读，希望对大家有所帮助。

高三数学一轮复习计划篇一一。

背景分析近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。

考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。

更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。

数学试卷充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。

在前二年命题工作的基础上做到了总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应用和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，充分体现出湖南卷的特色：1 试题题型平稳突出对主干知识的考查重视对新增内容的考查2 充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出良好的层次性3 重视对数学思想方法的考查4 深化能力立意，考查考生的学习潜能5 重视基础，以教材为本6 重视应用题设计，考查考生数学应用意识二、教学计划与要求新课已授完，高三将进入全面复习阶段，全年复习分两轮进行。

一轮为系统复习(一学期)，此轮要求突出知识结构，扎实打好基础知识，全面落实考点，要做到每个知识点，方法点，能力点无一遗漏。

在此基础上，注意各部分知识点在各自发展过程中的纵向联系，以及各个部分之间的横向联系，理清脉络，抓住知识主干，构建知识网络。

在教学中重点抓好各中通性、通法以及常规方法的复习，是学生形成一些较基本的数学意识，掌握一些较基本的数学方法。

同时有意识进行一定的综合训练，先小综合再大综合，逐步提高学生解题能力。