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正多边形与圆
？矩形是正多边形吗？为什么？它们是怎样的
．下图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称
如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对
．通过上面的图形，你能发现正多边形有怎样的对称性？
实践探索一：正多边形的对称性
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有
轴都通过正n边形的中心．
况下，正多边形既是轴对称图形，又是中心对称是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心．
________________
边形绕它的中心至少旋转多少度，
如果改为用直尺和圆规，如何作一个正六边形？
拓展思考：如何作三角形？正十二边形？
的内接等腰三角形，顶角∠
每一
°，该图形绕其中心至少旋转°和本身重．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示。
苏科版数学九年级上册2.6《正多边形与圆》教学设计一. 教材分析《正多边形与圆》是苏科版数学九年级上册第2.6节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念和性质的基础上进行讲解的，主要介绍了正多边形的定义、性质以及正多边形与圆的关系。
通过本节内容的学习，学生能够理解正多边形的概念，掌握正多边形的性质，并能够应用正多边形与圆的知识解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的几何知识基础。
但是，对于正多边形的定义和性质，以及正多边形与圆的关系，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究等方式，理解和掌握正多边形的概念和性质，并能够运用这些知识解决实际问题。
三. 教学目标1.了解正多边形的定义和性质。
2.掌握正多边形与圆的关系。
3.能够运用正多边形与圆的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.正多边形的定义和性质。
2.正多边形与圆的关系。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解正多边形的定义和性质，引导学生理解和掌握正多边形的概念。
2.实践操作法：通过引导学生观察和动手操作，探究正多边形与圆的关系。
3.问题解决法：通过设计一些实际问题，让学生运用正多边形与圆的知识进行解决。
六. 教学准备1.教学课件：制作正多边形与圆的相关课件，以便进行直观的展示。
2.教具：准备一些正多边形的模型，以便进行直观的演示。
3.练习题：设计一些与正多边形与圆相关的练习题，以便进行巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出正多边形的概念，激发学生的学习兴趣。
示例问题：在一个正方形的中心，画一个半径为1厘米的圆，求这个圆的面积。
2.呈现（10分钟）利用课件和教具，呈现正多边形的定义和性质，引导学生理解和掌握正多边形的概念。
正多边形的定义：在一个平面上，所有边相等，所有角相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的性质：正多边形的所有边相等，所有角相等，对角线互相平分。
正多边形与圆
？矩形是正多边形吗？为什么？它们是怎样的如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对
．通过上面的图形，你能发现正多边形有怎样的对称性？
实践探索一：正多边形的对称性
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有
轴都通过正n边形的中心．
况下，正多边形既是轴对称图形，又是中心对称是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心．
________________
边形绕它的中心至少旋转多少度，
如果改为用直尺和圆规，如何作一个正六边形？
拓展思考：如何作三角形？正十二边形？
的内接等腰三角形，顶角∠
每一
°，该图形绕其中心至少旋转°和本身重．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示。
．了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；
教学难点：利用直尺与量角器等作特殊的正多边形．
2．观察下列图形，你能说出这些图形的名称和特征吗？
．观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．
边形．
②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗
在等边三角形
ABCDE是正五边形吗？为什么？
．思考：如何利用圆来画正多边形？
数学实验室：
A、B、C、D、E六等分⊙O．
）在一张透明纸上画与下图形状、大小相同的图形，并把它们叠
．请你思考一下：正六边形与圆有何关系？相关概念：
一般地，用量角器把一个圆
：判定正多边形的条件．。
正多边形与圆一、素质教育目标(一)知识教学点1．复习巩固正多边形的定义及其有关概念；2．复习巩固正多边形的性质和判定．(二)能力训练点1．通过复习使学生提高归纳、系统知识的能力；2．通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；3．通过一题多解的训练培养学生的发散思维能力．(三)德育渗透点1．通过系统归纳知识渗透系统，培养全面、联系客观看问题的唯物辩证认识观．2．通过一题多解的发散思维训练和逆向思维训练，培养学生对科学孜孜不倦的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识．二、教学重点、难点及解决方法1．重点：(1)系统本单元的知识，复习正多边形的定义、概念、性质和判定；(2)在理解正多边形的判定方法的基础上一题多解，对学生进行发散思维训练；(3)通过正多边形与圆关系的第二定理的逆定理的证明，对学生进行求异思维的训练．2．难点：综合运用知识证题．三、教学步骤(一)明确目标前两节我们学习了正多边形的定义、概念、正多边形的性质和判定．本堂课我们对这一单元进行复习．(二)整体感知正多边形的有关概念以及正多边形与圆的关系的定理是研究正多边形的计算和画图、圆的有关计算的基础．应用“把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得正多边形是这个圆的内接正多边形这个定理，把正多边形的画图变为等分圆的问题，应用圆的有关知识容易等分一个圆，从而解决了正多边形的画图问题．根据“任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆”这个定理和圆的有关概念，得到了“正n边形的半径和边心距把正n的边形分成2n个全等的直角三角形”这个定理，从而使正多边形的边长、半径、边心距、中心角的有关计算转变为解直角三角形问题，进而解决了正多边形周长和面积的计算．(三)重点、难点的学习与目标完成过程(幻灯显示题目，教师提问，学生回答)1．什么叫做正多边形？2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？3．正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)4．正多边形的半径实质是它的什么圆的半径：它的边心距又是什么圆的半径？5．正多边形的中心角实质是在它的外接圆中每边所对的什么角？如何求它的值？它的度数与正多边形的一个什么角度数相等？6．正n边形有几条对称轴？当边数是什么数时，正n边形又是中心对称图形？7．所有的正多边形都相似吗？8．正多边形外接圆的圆心一定还是它的______圆的圆心．9．已知：如图7-132，正六边形ABCDEF求：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆．当幻灯展示第9题时，要求学生讨论如何完成，并且要说出作图的依据．在学生分组充分讨论之后，教师组织全班交流，并安排学生按要求画出正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆．(复习提问)：判断一个多边形是正多边形的方法有哪些？(安排中上学生回答：1．定义法；2．等分圆周法．)(幻灯展示练习题)：已知：如图7-133，F、C、H、M、N分别为正五边形ABCDE各边中点．求证：五边形FGHMN是正五边形．题目展示后安排学生讨论、研究．在学生充分讨论后教师提出如下问题，带领全班学生证明这道题．1．要证五边形FGHMN是正五边形，必须证其五边相等．五角相等．要证五边相等，你想到证哪些三角形全等？(安排中下生回答)．2．要证这些三角形全等，正五边形ABCDE提供了哪些全等条件？(安排中下生回答)．3．哪位同学能证五边形FGHMN的五个角相等？(安排中等生回答)．幻灯展示练习题2：如图7-134，求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形．已知：(安排学生填写)求证：(安排学生填写)分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．提出问题：大家讨论研究如何证五边形的五条边相等呢？师生共同分析：证五边相等，先证其二边相等，其余同理可证．要证：线段相等，习惯证三角形全等．例如证AB=BC可证△AOB≌△BOC，要证这两个三角形全等需三个条件，大家找找看．当学生每找出一个条件，教师都要追问一下“为什么？”这是大家熟悉的利用正多边形定义证明了这道题．大家再想一想，能不能用等分圆周的方法证明这道题呢：讨论讨论、研究研究、试试看．如图7-135，师生共同分析：已知五边形与⊙O相切，要证其为正五边形只要证五个切点是⊙O圆周的五等分点即可．即，证明∠A′OB′=∠B′OC′=∠C′OD′=∠D′OE′=∠E′OA′．要证五个角等，可先证其两个角等，然后同理可证．(提问)哪位同学能证∠A′OB′=∠B′OC′？(安排中等生证明)．幻灯展示练习题3：求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．教师引导：此题的多边形的边数不具体，你打算如何处理？(安排中上生回答：以五边形为例．) 教师用幻灯给出这道题的图形，然后安排学生写出这题的已知、求证．再要求学生讨论研究分别用定义和等分圆周法证明．(可安排两名中上学生到黑板证明)已知：如图7-136，五边形ABCDE内接于⊙O，且AB=BC=CD=DE=EA．求证：五边形ABCDE是正五边形．教师引导：这道题的两种证法，哪一种简单？(安排中下生回答：方法2简单)教师或请优等生归纳：证圆的内接多边形或圆的外切多边形是正多边形时．只要证圆周被n 等分即可．这种方法要优于用正多边形定义证明的方法．教师引导：大家知道，正多边形既有一个外接圆又有一个内切圆，并且两圆同心．反之，如果已知一个多边形既有一个外接圆又有一个内切圆，并且这两个圆是同心圆，那么这个多边形是不是正多边形呢？幻灯给出以五边形为例的图形．安排学生讨论研究．已知：如图7-137，同心⊙O分别为五边形ABCDE的内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N．求证：五边形ABCDE是正五边形．(引导分析)：要证五边形ABCDE是正五边形，需要什么条件？(让中DE=EA．大家观察五边形的边是它外接圆的什么？是它内切圆的什么？(安排中上生回答：边是外接圆的弦，是内切圆的切线．)根据切线的性质你发现五边形的内切圆半径应是它外接圆的什么？(安排中等生回答：弦心距)哪位同学能够完整的证明这题？(安排优等生完成)．边形ABCDE．(四)总结本堂课我们复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法．尤其重点复习了正多边形的判定．四、布置作业教材P.161中练习1、2；P.173中5；学有余力者作：P.174B组3、4．五、板书设计六、作业参考答案弦等弧等正方形．教材P.174B组3．(略，课堂上已领学生完成)教材P.P174B组4．(1)提示：根据正多边形都有外接圆和同圆中圆由三角形内角和定理可得∠EMA=72°，所以ME=EA=AB．(2)提示：△ABE～△MAB AB2=MA·BE ME2=BE·BM．教材P.161．练习1．(略，因课堂上已作)教材P.161．练习2．(1)“各边相等的圆外切多边形是正多边形”不是真命题．例如，圆的外切菱形不一定正多边形；(2)“各角相等的圆内接多边形是正多边形”不是真命题．例如，圆的内接矩形不一定是正多边形．。
正多边形与圆
教学目标：
（1）通过阅读正多边形概念和观察正多边形图片，知道其相关概念及正多边形与圆的关系。
（2）会画正多边形，会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形。
（3）初步学会“特殊——一般”再“一般——特殊”的数学思想方法，让学生在探究过程中体会合作与成功的快乐，由此激发其积极主动的学习精神和探索的勇气。
教学重点、难点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
利用直尺与圆规作特殊的正多边形。
教学过程:
一、创设情境，激发兴趣
观察等边三角形、正方形图片，说说它们的共同的特征。
（设计意图：从读图出发结合已有知识导入新课，更容易接受，为后续学习作准备。
）二、引导探究，归纳新知
活动一探索正多边形的概念
1.你能说说正五边形、正六边形应具备的条件吗？
2.你能说说正n边形应具备的条件吗？
引入正多边形的概念：
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
（设计意图：让学生类比正三角形、正四边形，给正多边形下定义，这是一
学习方法，为后续学习作准备）
概念理解：
（1）请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．
（2）概念辨析：①正多边形各边相等，各角相等( )
②各边相等的多边形是正多边形（）
③各角相等的多边形是正多边形（）
（设计意图：给出一组辨析题，可以使学生加深对概念的理解，使学生更进一步体会定义中的两个条件缺一不可，从而正确地运用它解决问题）
活动二探索正多边形的对称性
1.图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图
形，又是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心。
（如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。
）
2.任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？
（设计意图：通过教师的启发引导，学生动手实践共同探究完成，发现正多边形的对称性与边数的关系，渗透阅读、观察、归纳能力）
活动三探索正多边形与圆的关系
1. 阅读课本P142第四小节，知道正多边形与圆的关系；你能借助量角器，利用圆来画正三角形吗？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？…….学会利用量角器等分圆周的方法画正多边形。
2.探索用直尺和圆规作出正方形，正六多边形的方法。
（1）作正四边形：在圆中作两条互相垂直的直径，依次连结四个端点所得图形（然如何作正八边形？作正十六边形？……）
（2）作正六边形：在圆中任作一条直径，再以两端点为圆心，相同的半径为半径作弧与圆相交，依次连结圆上的六个点所得图形（任何作正三角形？正十二边形？……）；在
（3）引入圆的内接正多边形、正多边形的外接圆、正多边形的中心的概念。
（设计意图：通过学生阅读正多边形的概念与圆的关系，学会用量角器、尺规画图、自主探索、合作交流，通过阅读材料规范得出利用圆来画正多边形的方法，调动学生的积极性，给学生充分的时间交流，培养学生的探索习惯）
三、典型例题
例、如图，正六边形ABCDEF的外接圆半径为8cm，求这个正六边形的边长。
C D E
F
A
B o
（设计意图：通过本题让学生巩固正六边形的性质，渗透转化思想，培养学生解决问题的能力）
四、归纳总结
谈谈你对本节课的收获,说给同学听听。
五、布置作业：补充习题
正多边形与圆教后反思
《数学课程标准》指出，“数学教学应结合具体的数学内容，采用”问题情境---建立模型---解释应用与拓展“的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程……”，因此，本节的教学中，充分创设给学生自主探究与合作交流的学习环境，让学生有充分的时间和空间去实践，通过动手操作，学会观察分析，在合作交流中体验成功，分享快乐。
本节课有以下特点：
1、让学生从已学等边三角形，正方形的特征入手，用类比的方法给正五边形、正六边形、正多边形下定义，学生更容易接受，为后续学习作准备，为整节课的学习探究创设了良好的心理氛围。
2、注重知识发生、发展的过程。
过程是丰富多彩的，往往体现了数学的思想方法和价值；结论是重要的，但结论的获得离不开过程。
因此，在探索正多边形与圆的关系的过程中，先让学生阅读正多边形与圆的关系，然后学生根据阅读所得的信息尝试利用圆来画正三角形、正四边形、正六边形、正多边形，要充分相信学生，尽量少讲，
而把多数时间留给学生自主探索、合作交流，让学生在活动中学会观察、学会分析，获得学习数学的愉快体验，并在体验中有所发现、有所感悟、有所发展，这样不仅学到了知识，还增长了智慧，同时也培养了学生良好的思维品质。
3、注重数学思想方法和方法的渗透。
如：用类比的方法引人正多边形的定义，在画出了正四边形后，接着让学生思考怎样画正八边形、正十六边形等，让学生体验到由特殊到一般的思想，在研究正多边形的对称性时，让学生自己发现规律，然后归纳规律，然后推广到一般情况，这正是数学研究的一般方法。
本节课也存在以下不足：
1、对学生估计过高，多边形的概念辨析题，及多边形的内角和公式，外角和是以学生口答完成的，看上去学生很热闹，其实这是一部分学生的声音，在这里没有顾及全体学生，应该以书面的形式让学生巩固较好。
2、讲课期间的语言不够精炼，口语化较多，时间把握的不够好，课堂过渡不自然。
3、有些问题设计过细，学生缺少思考的空间，归纳性语言提示太多
这些在今后的教学中要多加注意和改进。
