北师大版九年级数学下册2.4 第1课时 图形面积的最大值1教案

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册2.4《二次函数的应用》这一节主要介绍了二次函数在实际生活中的应用，通过学习，学生能够理解二次函数在实际生活中的意义，掌握二次函数解决实际问题的方法。

教材通过实例引导学生利用二次函数解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题，因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题抽象为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题。

三. 说教学目标1.让学生理解二次函数在实际生活中的应用，体会数学与生活的联系。

2.培养学生将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数解决实际问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力，培养学生的数学素养。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握二次函数解决实际问题的方法，培养学生的数学应用能力。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题。

五.说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现数学问题，运用数学知识解决实际问题。

2.利用多媒体教学手段，展示二次函数在实际生活中的应用实例，增强学生的直观感受。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中思考，培养学生的团队合作能力。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，如抛物线形的物体运动、最大利润问题等，引导学生发现这些问题都可以用二次函数来解决，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：介绍二次函数在实际生活中的应用，引导学生理解二次函数的实际意义。

3.实例讲解：通过具体实例，讲解如何将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数解决实际问题。

4.课堂练习：让学生尝试解决一些实际问题，巩固所学知识。

5.总结提升：引导学生总结二次函数解决实际问题的方法，提高学生的数学应用能力。

2.4.1 二次函数的应用一、教学目标1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．二、课时安排1课时三、教学重点掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．四、教学难点运用二次函数的知识解决实际问题．五、教学过程（一）导入新课引导学生把握二次函数的最值求法：(1)最大值：(2)最小值：（二）讲授新课活动1：小组合作如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上.(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD 边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym 2,当x 取何值时,y 的值最大？最大值是多少?解：()31AD bm,b x 30.4==-+设易得 ()2332(30)3044y xb x x x x ==-+=-+()2320300.4x =--+ 24:20,300.24b ac b x y a a-=-===最大值或用公式当时 活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲例题：某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?解：4715.y x x ++π=由 157.4x x y --π=得 2215722()242x x x x S xy x π--ππ=+=+窗户面积 271522x x =-+ 2715225().21456x =--+ 2b 154ac b 225x 1.07,s 4.02.2a 144a 56-=-=≈==≈最大值当时 即当x≈1.07m 时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m 2.（四）归纳小结“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.（五）随堂检测1．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2．2．用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．3．学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？4．如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式.（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12y，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？m5.如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x ，面积为y ．（1）求y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围.（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．【答案】1.12.52. 根据题意可得：等腰三角形的直角边为2x m 矩形的一边长是2xm,其邻边长为((20422x1022x,2-+=-(121022222S x x x x ⎡⎤=•-++⎣⎦所以该金属框围成的面积 30202,.322x ==-+当时金属框围成的图形面积最大 )((()2x 602m ,1022103210210m .=--+⨯-=此时矩形的一边长为另一边长为 )2S 3002002m .=-最大3.解： （1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x 米，根据题意得4x 2＋（100－2x ）（80－2x ）＝5 200，整理，得x 2－45x ＋350＝0，解得：x 1＝35，x 2＝10，经检验x 1＝35，x 2＝10均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y 元，广场四角的小正方形的边长为x 米，则 y ＝30[4x 2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]即y ＝80x 2－3 600x ＋240 000，配方，得y ＝80（x －22．5）2＋199 500.当x ＝22．5时，y 的值最小，最小值为199 500.所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元．4. ⑴在矩形ABCD 中，∠B=∠C=90°，∴在Rt△BFE 中， ∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE， ∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED， ∴BF BE CE CD =, ∴8y x x m-= 即28x x y m -=.⑵当m=8时，28,8x x y -=化成顶点式: ()21428y x =--+ （3）由12y m =，及28x x y m-=得关于x 的方程: 28120x x -+=，得1226x x ==，.∵△DEF 中∠FED 是直角，∴要使△DEF 是等腰三角形，则只能是EF=ED ，此时， Rt△BFE≌Rt△CED.∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.5. 解：（1）依题意，得y=(40-2x)x．∴y=-2x2+40x．x的取值范围是0< x <20．（2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210．即x2-20x+105=0．∵ a=1，b=-20，c=105，∴2--⨯⨯<(20)411050,∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．六．板书设计2.4.1二次函数的应用探究：例题：“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.2.4.2二次函数的应用一、教学目标1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．二、课时安排1课时三、教学重点运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．四、教学难点运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．五、教学过程（一）导入新课某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件. 若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系是怎样的？（二）讲授新课活动1：小组合作二次函数y=a(x-h)2+k(a 0)，顶点坐标为（h,k）,则①当a>0时，y有最小值k；②当a<0时，y有最大值k【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多?【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么销售量可以表示为: 件；每件T恤衫的利润为: 元；所获总利润可以表示为: 元；即y=-200x 2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5∴当销售单价为 元时,可以获得最大利润,最大利润是 元.活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲例题2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的整数倍）．(1)设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围.(2)设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式.(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【解析】（1）y=50-10x ； （2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-10x ）=2x 34x 8 000.10-++ （3）因为w=2x 34x 8 000,10-++ 所以x=b -2a=170时，w 有最大值，而170>160,故由函数性质知，x=160时，利润最大，此时订房数y=50- 10x =34，此时的利润为10 880元.例题3 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.（1）现该商场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？【解析】（1）设每千克应涨价x元，列方程，得(5+x)(200－10x)=1 500，解得x1=10，x2=5.因为要顾客得到实惠，5＜10，所以x=5. 答：每千克应涨价5元.（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得y=( x +5)(200－10x)= －10x2+150x+1 000，当x=1507.522(10)ba-=-=⨯-时,y有最大值.因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多（四）归纳小结“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路.1.根据实际问题列出二次函数关系式.2.根据二次函数的最值问题求出最大利润（五）随堂检测1.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米2.为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5 000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？4．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似地看作一次函数：（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）【答案】1. 【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.2. 【解析】（1）由题意可知，当x ≤100时，购买一个需5 000元，故y 1=5 000x当x>100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3 500元/个，所以x ≤ 5 000 3 50010025010-+= 即100<x≤250时，购买一个需5 000-10(x-100)元，故y 1=6 000x-10x 2；当x>250时，购买一个需3 500元，故y 1=3 500x;21 5 000x,y 6 000x 10x ,3 500x,⎧⎪=-⎨⎪⎩所以 0x 100100x 250x 250≤≤<≤> 2500080%4000.y x x =⨯=(2) 当0≤x ≤100时，y 1=5 000x ≤500 000<1 400 000；当100<x ≤250时，y 1=6 000x -10x 2=-10(x -300)2+900 000<1 400 000；∴由35001400000x = 得到x=400由40001400000x = 得到350400x =<故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯3.【解析】建立如图所示的坐标系,根据题意，得,点A(0,1.25),顶点B(1,2.25).设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=-(x-1)2+2.25. 当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.4.解析：（1）由题意，得：w = (x －20)·y=(x －20)·(-10x+500)=-10x 2+700x-10 000 当352b x a=-=时，w 有最大值. 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得21070010 000 2 000.x x -+-=解这个方程，得x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元.（3）∵10a =-<0∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2 000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2 000． 设成本为P （元），由题意，得P=20（-10x+500)=-200x+10 000, ∵k=-200＜0，∴P 随x 的增大而减小.∴当x = 32时，P 最小＝3 600.答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元．六．板书设计2.4.2二次函数的应用探究：例题2：例题3：“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路.1.根据实际问题列出二次函数关系式；2.根据二次函数的最值问题求出最大利润.。

第二章二次函数第4讲二次函数的图象和性质 (4)2023-2024学年九年级下册数学北师大版专题一利用二次函数解决面积问题【典例精讲】题型 1 三角形面积最值问题【例1】在 Rt△ABC中,∠A=90°, AB=6, AC=8, 点 D是边AB上的一动点(不与点 A, B重合),过点D作DE∥BC, 交边AC于点E.(1) 如图1, 当AD=2BD时, 求△ADE的面积;(2)如图2,将四边形BDEC沿DE向上翻折, 得四边形 DEFG. 设AD的长为x,四边形 DEFG与△ADE 公共部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时y最大，最大值是多少?举一反三1. 如图所示,在△ABC中,∠A=30°, AB=4, AC=6, P是AC上任意一点(点P不与A, C重合),过P 作PD∥AB交BC于D, 设AP=x.(1) 求△BPD的面积y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.(2) 当P在AC 上什么位置时, △BPD的面积最大?题型2 矩形面积最值问题【例2】如图所示，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的边AB 为 xm，面积为ym²(1)求y与x的函数关系式；(2) 如果要围成面积为45m²的花圃，那么 AB 的长是多少?(3) 能围成面积比45m²更大的花圃吗? 如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.举一反三2. 在矩形ABCD中, AB=2,AD=3,P 是BC边上的任意一点(P与B，C不重合)，过点P作. PE⊥AP,垂足为P, PE交CD于点E.(1) 连接AE,当△APE与△ADE全等时，求BP的长；(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式.当x取何值时，y的值最大? 最大值是多少?(3) 若 PE∥BD, 试求出此时 BP的长.题型3 动点型图形面积问题【例3】如图, 菱形ABCD的边长为12 cm, ∠B=30°,E 为AB上一点, 且AE=4cm.. 动点 P 从 B点出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，PE交射线DA于点M，设运动时间为t(s).(1) 当t为何值时, △MAE的面积为3cm²?(2)在点 P出发的同时,动点Q从点 D 出发,以 1cm/s的速度沿DC 边向点 C 运动,连接MQ, PQ,试求△MPQ的面积S(cm²)与t(s)之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△MPQ 的面积最大，最大值为多少?举一反三3. 如图, Rt△ABC中，∠A=30°,BC=10cm,, 点Q 在线段 BC上从B向C 运动,点P 在线段BA 上从B向A运动. Q，P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动. 作PM⊥PQ交CA于点 M, 过点 P 分别作BC, CA的垂线, 垂足分别为E,F.(1) 求证: △PQE△PMF;(2) 当点P，Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系? 并证明你的猜想；(3) 设BP=x,△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来.专题二利用二次函数解决抛物线问题【典例精讲】题型1 抛物线中拱桥问题【例1】一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图1所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离为5m.(1) 将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2 所示)，其表达式是y=ax²+c的形式，请根据所给数据求出a，c的值；(2) 求支柱MN的长度;(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)? 请说说你的理由.举一反三。

2.4 二次函数的应用第1课时利用二次函数解决面积问题类型1 利用二次函数解决简单面积最值问题1.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为(B)A.25 cm2B.50 cm2C.100 cm2D.不确定2.用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是(C)A.6425 m2 B.43m2C.83m2 D.4 m23.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为(D)A.x＝10，y＝14B.x＝14，y＝10C.x＝12，y＝15D.x＝15，y＝124.如图，ABCD是一块边长为2 m的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料.当AM的长为1m时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小.5.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)解：根据题意，得y＝20x(90－x).整理，得y＝－20x2＋1 800x.∵y＝－20(x－45)2＋40 500，且a＝－20＜0，∴当x＝45时，函数有最大值，y最大＝40 500，即当底面的宽为45 cm时，抽屉的体积最大，最大为40 500 cm3.类型2 利用二次函数解决围成图形面积最值问题6.(六盘水中考)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(C)A.60 m2B.63 m2C.64 m2D .66 m 27.某农场拟建三间长方形养牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m ，则这三间长方形养牛饲养室的总占地面积的最大值为144m 2.8.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m 宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m ，则能建成的饲养室面积最大为75m 2.9.如图，有两面夹角为45°的墙体(∠ABC＝45°)，且墙AB ＝3 2 m ，墙BC ＝10 m ，小张利用8 m 长的篱笆围成一个四边形菜园，如图，四边形BDEF ，DE∥BC，∠E＝90°(靠墙部分不使用篱笆)，设EF ＝x m ，四边形BDEF 的面积为S m 2. (1)用含x 的代数式表示BD ，DE 的长；(2)求出S 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； (3)求S 的最大值.解：(1)过点D 作DG⊥BC 于点G. ∵DE∥BC，∠E＝90°，∴∠EFG＝90°. ∴四边形DEFG 是矩形. ∴DG＝EF ＝x ，∵∠ABC＝45°，∴BG＝x ，BD ＝2x. 则DE ＝8－x.(2)S ＝（DE ＋BF ）·EF 2＝－12x 2＋8x ，∵2x≤32， ∴0＜x≤3.(3)∵S＝－12x 2＋8x ＝－12(x －8)2＋32.当x ＜8时，S 随x 的增大而增大， ∵0＜x≤3，∴当x ＝3时，S 取得最大值，最大值为392.10.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB ，BC 两边)，设AB ＝x m. (1)若花园的面积为192 m 2，求x 的值；(2)若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15 m 和6 m ，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S 的最大值. 解：(1)∵AB＝x m ，则BC ＝(28－x)m ， ∴x(28－x)＝192. 解得x 1＝12，x 2＝16. 答：x 的值为12或16.(2)由题意，得S ＝x(28－x)＝－x 2＋28x ＝－(x －14)2＋196. ∵在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15 m 和6 m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x≥6，28－x≥15.解得6≤x≤13. ∴当x ＝13时，S 取最大值为S ＝－(13－14)2＋196＝195. 答：花园面积S 的最大值为195 m 2.易错点 求实际问题中的二次函数最值未考虑取值范围11.用一根长为40 cm 的绳子围成一个面积为a cm 2的长方形，那么a 的值不可能为(D) A .20 B .40 C .100 D .120 类型3 利用二次函数解决动态几何面积的最值问题12.如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B 重合).动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4 mm/s 的速度移动(不与点C 重合).如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么经过3s ，△PBQ 的面积最大. 综合题13.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC 的长度为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围； (2)x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的2倍.∴AE＝2BE.设BE ＝FC ＝a ，则AE ＝HG ＝DF ＝2a ，∴DF＋FC ＋HG ＋AE ＋EB ＋EF ＋BC ＝80，即8a ＋2x ＝80.∴a ＝－14x ＋10.∴3a＝－34x ＋30.∴y＝(－ 34x ＋30)x ＝－34x 2＋30x.∵a＝－14x ＋10＞0，∴x＜40.则y ＝－34x 2＋30x(0＜x ＜40).(2)∵y＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300(0＜x ＜40)，且二次项系数为－34＜0，∴当x ＝20时，y 有最大值，最大值为300平方米.第2课时 利用二次函数解决实物抛物线问题类型1 拱桥(隧道)问题1.图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y ＝－1400(x －80)2＋16，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，且AC⊥x 轴.若OA ＝10米，则桥面离水面的高度AC 为(B) A .16940米 B.174米 C .16740米 D.154米 2.如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线.以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线表达式是y ＝－19(x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时的抛物线表达式是y ＝－19(x ＋6)2＋4.3.(·绵阳)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ，水面下降2 m ，水面宽度增加(42－4) m.类型2 其他建筑物问题4.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(A) A .4米 B .3米 C .2米 D .1米5.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为 1.8 m ，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是3m.6.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点与地面的距离为0.5米.7.(·德州)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2 m 的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在水池中心的水平距离为1 m 处达到最高，水柱落地处离池中心3 m.(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；(2)求出水柱的最大高度为多少？解：(1)如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系.设抛物线的表达式为y ＝a(x －1)2＋h ， 代入(0，2)和(3，0)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋h ＝0，a ＋h ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，h ＝83.∴抛物线的表达式为y ＝－23(x －1)2＋83，即y ＝－23x 2＋43x ＋2(0≤x≤3).(2)∵y＝－23(x －1)2＋83(0≤x≤3)，∴当x ＝1时，y 最大＝83.答：水柱的最大高度为83 m.类型3 物体运动类问题8.标枪飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，标枪距离地面的高度h(单位：m)与标枪被掷出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h8141820201814…下列结论：①标枪距离地面的最大高度大于20 m ；②标枪飞行路线的对称轴是直线t ＝92；③标枪被掷出9 s 时落地；④标枪被掷出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m ，其中正确的结论有(C) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 9.(·滨州)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y ＝－5x 2＋20x ，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 解：(1)当y ＝15时，15＝－5x 2＋20x ，解得x 1＝1，x 2＝3.答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是1 s 或3 s. (2)当y ＝0时，0＝－5x 2＋20x ， 解得x 1＝0，x 2＝4， ∵4－0＝4，∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s. (3)y ＝－5x 2＋20x ＝－5(x －2)2＋20， ∴当x ＝2时，y 取得最大值，y 最大＝20.答：在飞行过程中，第2 s 时小球飞行高度最大，最大高度是20 m. 综合题10.(教材P48习题T3变式)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m .按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y ＝－16x 2＋bx ＋c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为172m.(1)求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m ，宽为4 m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？解：(1)由题意得：点B 的坐标为(0，4)，点C 的坐标为(3，172)，代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝－16×02＋b×0＋c ，172＝－16×32＋b×3＋c.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝4.∴该抛物线的函数表达式为y ＝－16x 2＋2x ＋4.∵y＝－16x 2＋2x ＋4＝－16(x －6)2＋10，∴拱顶D 到地面OA 的距离为10 m.(2)抛物线的对称轴为直线x ＝6，汽车宽4 m ，当x ＝6＋4＝10时，y ＝－16×102＋2×10＋4＝223>6，∴这辆货车能安全通过.(3)当y ＝8时，－16x 2＋2x ＋4＝8，即x 2－12x ＋24＝0，解得x 1＝6＋23，x 2＝6－2 3.∴两排灯的水平距离的最小值为6＋23－(6－23)＝43(m).第3课时利用二次函数解决利润问题类型1 简单销售问题中的最大利润1.某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分率都是x，那么y与x的函数关系是(D)A.y＝x2＋aB.y＝a(x－1)2C.y＝a(1－x)2D.y＝a(1＋x)22.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价.若每件商品售价为x元，可卖出(350－10x)件商品，则商品所获利润y元与售价x元之间的函数关系为(B)A.y＝－10x2－560x＋7 350B.y＝－10x2＋560x－7 350C.y＝－10x2＋350xD.y＝－10x2＋350x－7 3503.生产节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋14n－24，则该企业一年中应停产的月份是(C) A.1月、2月、3月 B.2月、3月、4月C.1月、2月、12月D.1月、11月、12月4.我市某镇的一种特产由于运输原因，只能长期在当地销售.当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润P＝－1100(x－60)2＋41(万元).每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是205万元.5.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件.若使利润最大，每件的售价应为25元.类型2 每……每……问题6.喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件.设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数表达式为(A)A.y＝－10x2＋100x＋2 000B.y＝10x2＋100x＋2 000C.y＝－10x2＋200xD.y＝－10x2－100x＋2 0007.一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价(B) A .3.6元 B .5元 C .10元 D .12元8.某水果店销售一批水果，每箱进价为40元，售价为60元，每天可卖50箱，则一天的销售利润为1__000元.由于积压时间不能太长，所以该店决定降价售出，若每降价5元，则每天可多售出10箱.若现在售价为x 元(40＜x ＜60)，则现在每天可多卖出(120－2x)箱，每天共卖出(170－2x)箱，每箱的利润为(x －40)元，即每天的总利润为(x －40)(170－2x)元.9.(教材P50习题T2变式)某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x 棵橘子树，果园橘子总个数为y 个，则果园里增种10棵橘子树，橘子总个数最多.10.(·衡阳)一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示. (1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b.将(10，30)，(16，24)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝30，16k ＋b ＝24.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝40.∴y 与x 的函数关系式为y ＝－x ＋40(10≤x≤16). (2)根据题意知，W ＝(x －10)y ＝(x －10)(－x ＋40) ＝－x 2＋50x －400 ＝－(x －25)2＋225. ∵a＝－1＜0，∴当x ＜25时，W 随x 的增大而增大， ∵10≤x≤16，∴当x ＝16时，W 取得最大值，最大值为144.答：当每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元.11.(·安徽)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W 1，W 2(单位：元).(1)用含x 的代数式分别表示W 1，W 2；(2)当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？ 解：(1)第二期培植的盆景比第一期增加x 盆，则第二期培植盆景(50＋x)盆，花卉[100－(50＋x)]＝(50－x)盆，由题意，得W 1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x 2＋60x ＋8 000，W 2＝19(50－x)＝－19x ＋950.(2)W ＝W 1＋W 2＝－2x 2＋60x ＋8 000＋(－19x ＋950)＝－2x 2＋41x ＋8 950.∵－2＜0，－412×（－2）＝10.25，x 为整数， ∴当x ＝10时，W 最大，W 最大＝－2×102＋41×10＋8 950＝9 160(元).12.某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图1所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函数表达式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图2所示.(1)求y 2的表达式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的表达式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x≤12). (2)设y 1＝kx ＋b.∵函数y 1的图象过(4，11)，(8，10)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的表达式为y 1＝－14x ＋12(1≤x≤12). 设这种水果每千克所获得的利润为w 元.则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638) ＝－18x 2＋34x ＋338， ∴w＝－18(x －3)2＋214(1≤x≤12). ∴当x ＝3时，w 取最大值214. 答：第3月销售这种水果，每千克所获得的利润最大，最大利润是214元/千克.。

2.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y = x2和y =－x2的图象与性质教学内容第1课时二次函数y = x2和y =－x2的图象与性质课时1核心素养目标1.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.3.经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.4.培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.知识目标1．会用描点法画出形如y＝x2和y＝－x2的二次函数图象，理解抛物线的概念；2.通过观察图象能说出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象特征和性质，并会应用．教学重点会用描点法画出形如y＝x2和y＝－x2的二次函数图象，理解抛物线的概念教学难点通过观察图象能说出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象特征和性质，并会应用教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知三、当堂练习，巩固所学一、创设情境，导入新知1.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？①一次函数y = kx + b (k≠0)2. 通常怎样画一个函数的图象？列表、描点、连线.二、小组合作，探究概念和性质知识点一：二次函数y=x2和y= -x2的图象和性质合作探究你会用描点法画二次函数y = x2的图象吗?师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表格，由学生说出x对应的y值，再描点、连线.教师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连线，不能直接用线段把点与点之间连接.1.列表：在y = x2中自变量x可以是任意实数，设计意图：通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.设计意图：通过让学生自主填表，启发学生观察表达式的特点，调动学生的思维. 体现启发式教学，让每位学生都参与到学习过程中，加深学生对知识的理解，充分调动学生学习的积极性.设计意图：让学生思考和交流对函数性质的认识,并积累从图象的角度研究函数性质的经验.设计意图：类比研究y=x2图形性质的方法研究y= －x2的图形性质，让学生初步体会二次函数系数与函数性质的关系，同时体会这两个图象是关于中列表表示几组对应值：2. 描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y)3. 连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到y = x2的图象．观察思考问题1 你能描述图象的形状吗？二次函数y = x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.问题2 图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？有，(0，0).问题3 当x < 0 时，随着x值的增大，y值如何变化？当x > 0 时呢？当x < 0 时，y随x的增大而减小；当x > 0 时，y随x的增大而增大.问题4 当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？x = 0 时，y min= 0.问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案.合作探究做一做：画出函数y = －x2的图象，并仿照y = x2的性质说出y = －x2有哪些性质？师生活动：学生亲自动手操作，画出函数图象，然心对称.设计意图：培养学生归纳、整理知识的意识.注意将图象与表达式进行联系，让学生理解知识点.设计意图：巩固所学知识，加深对二次函数增减性的理解.设计意图：让学生自主探究，培养自主学习、独立思考的习惯，加深对二次函数的性质的理解，培养数形结合思想.设计意图：考查学生对二次函数图象的性质的掌握.设计意图：考查学生求解二次函数的表达式和画图的能力.后小组讨论、交流得出答案.1.图象是一条开口向下的抛物线.2. 当x < 0 时，y随x的增大而增大；当x > 0 时，y随x的增大而减小；当x = 0 时，ymax = 0.3.抛物线关于y轴对称.4. 顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.要点归纳典例精析例1若点A(-3，y1)，B(-2，y2) 是二次函数y = -x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是___y2＞y1___.例1变式若点A(-1，y1)，B(2，y2) 是二次函数y = -x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是___y1＞y2___.师生活动：学生独立思考并作答.例2已知：如图，直线y＝3x＋4 与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．师生活动：学生独立思考并作答，选一名学生板书.教师巡视.三、当堂练习，巩固所学1. 两条抛物线y = x2与y = -x2在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）A. 顶点坐标均为(0，0)B. 对称轴均为x = 0C. 开口都向上第1课时二次函数y = x2和y =－x2的图象与性质。