(新版)新人教版九年级数学上册第24章圆类比归纳专题切线证明的常用方法课件

第24章 圆
阶段方法专训 证明圆的切线的七种常用方法
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答案显示
1．如图，⊙O的直径AB＝12，点P是AB延长线上一点， 且PB＝4，点C是⊙O上一点，PC＝8.
求证：PC是⊙O的切线． 证明：连接OC. ∵⊙O的直径AB＝12，∴OB＝OC＝6. ∵PB＝4，∴PO＝10. 在△POC中，PC2＋CO2＝82＋62＝100，
Hale Waihona Puke (2)求线段AC的长． 解：在Rt△BED和Rt△FCD中， DE＝DC， DB＝DF， ∴Rt△BED≌Rt△FCD(HL)． ∴BE＝CF＝2. ∵∠ABC＝90°，BD是半径，∴AB是⊙D的切线． 又∵AF切⊙D于F，∴AF＝AB＝5. ∴AC＝AF＋CF＝5＋2＝7.
7．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＋BC ＝CD，以AB为直径作⊙O.求证：⊙O与边CD相切． 证明：如图，连接DO并延长，交CB的延长线于点E. 易证△AOD≌△BOE， ∴AD＝BE，∠E＝∠ADO. ∵AD＋BC＝CD，∴CD＝CE. ∴∠E＝∠CDE＝∠ADO. 作OF⊥CD于点F，∴OF＝OA.∴⊙O与边CD相切．
解：如图，过点C作CH⊥AD于点H. ∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O 于A，B两点， ∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°. ∴四边形ABCH是矩形． ∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4.
∵CD是⊙O的切线， ∴CE＝BC＝4. ∴DH＝AD－BC＝AD－4，CD＝DE＋CE＝AD＋4. ∵CH2＋DH2＝CD2， ∴122＋(AD－4)2＝(AD＋4)2， ∴AD＝9.

2、切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。
●
O
┐
A
l
条件：一条直线是圆的切线
结论：这条直线：（1）经过切点 （2）垂直于半径
符号：∵直线l是⊙O的切线，点A为切点
∴ l⊥OA
１、切线和圆只有一个公共点。 ２、切线和圆心的距离等于半径。
A
T
３、切线垂直于过切点的半径。
４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点. ５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
下课
结束寄语 不经历风雨，怎能见彩虹！
∵直线L是⊙O的 反过切来线,，如A果是L切是点⊙。O 的切∴线L⊥,切O点A为于AA,点那 么 半径OA与直线L是不 是一定一垂定直垂直呢?
经过半径的外端并且 垂直这条半径的直线是 圆的切线
.O
切线的性质定理:
L A
圆的切线垂直于过切点的半径
结论
切线的性质定理
（3）若直线和圆相切于某个点时：连半径得垂直。
1.已知圆的切线时，连接切点和圆心， 利用垂直构造直角三角形解题。
2.要证切线看情况：公共点已知与未知， 已知公共点连半径证垂直， 未知公共点作垂直证半径。
我能行：
60号.（中考题）Ａ、Ｂ是⊙O上的两点，
O
ＡＣ是⊙O的切线， ∠B=70°，
Ｂ
则∠OAB=__7_0_°，∠BAC=_2_0°___ Ａ （1） C
（2）直线与这条半径垂直。
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（ ×）
(2)与半径垂直的直线是圆的切线。（ ×）
直径
直径 ( √ )
(3)过半径的端点且与该半径垂直的直线是
圆的切线.（ ）×
方法
小结 判定直线与圆相切有哪些方法？

果保留π)．
【思路点拨】解(2)时连接OE，交AD于点M，易证 △AEM≌△DOM，则图中阴影部分的面积＝扇形 OED的面积．
解：如图，连接OE，交AD于点M. ∵∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠DOE＝60°. ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD＝30°， ∴∠DMO＝180°－∠DOE－∠ADO ＝180°－60°－30°＝90°，
D C．30° D．27°
返回
11．(中考·内江)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，
AB是直径，∠BCD＝120°，过D点的切线PD与
直线AB交于点P，则∠ADP的度数为( )
A．40° B．35°
C
C．30° D．45°
返回
12．(中考·泰安)如图，圆内接四边形ABCD的边AB过
圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点
C C．48° D．49°
返回
9．(中考·日照)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于
点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB ＝10，∠P＝30°，则AC的长度是( )
A．5 3 C．5
B．5 2 D．52
A
返回
10．(中考·黔南州)如图，已知直线AD是⊙O的切线，
点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且 ∠ODA＝36°，则∠ACB的度数为( ) A．54° B．36°
(2)若BD＝2 3，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
设OF＝OD＝x， 则OB＝OF＋BF＝x＋2， 根据勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2， 即(x＋2)2＝x2＋12，解得x＝2， 即OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2＝4.
∴在 Rt△ODB 中，OD＝12OB，∴∠B＝30°. ∴∠DOB＝60°.∴S 扇形 DOF＝16×π×22＝23π. 则阴影部分的面积为

几何符号表达： ∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
O r
l A
判断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
求证：AB是⊙O的切线。
O
A
C
B
练习
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E。
A
求证:PE是⊙O的切线。
证明：连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
O
E
B
PC
∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直， 证半径）
作业：
• P98，1 P101，4
课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？
直线l
与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，
再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂
∴ AB是⊙O的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。

O
B
A
C
O
A
B
C
E
D
练 习
如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心， 5为半径的⊙O与OA、OB相交。 求证：AB是⊙O的切线。
O
B
A
C
证明：连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OBP=∠C。 ∴OP∥AC。 ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP。 ∴PE为⊙0的切线。
1.直线和圆有哪些位置关系？ 2.什么叫相切？ 3.我们学习过哪些切线的判断方法？
0
d>r
1
d=r
切点
切线
2
d<r
交点
割线
．Ｏ
l
d
r
┐
┐
．ｏ
l
d
r
．O
l
d
┐
r
.
A
C
B
.
.
相离
相切
相交
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
小 结
例1与例2的证法有何不同? (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
O
r
l
A
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
几何符号表达：
判 断

连接圆心和切点的半径是常见辅助线
人教版实验教科书九年级上册
24.2.2 直线和圆的位置关系
切线的判定与性质定理
情景引入
情景引入
复习引入
什么叫直线与圆相切？你有哪些判定的方法？ 方法一、利用公共点个数. 方法二、利用d与r的数量关系判定： d = r 直线与圆相切.
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？ 过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
则⊙O与AB的位置关系是 相切 .
O
A
C
B
拓展应用
例3、如图△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于
P,PD⊥AC于D 求证：PD是⊙O的切线
A O
证明：连接OP ∵AB=AC
∴∠B= ∠C
同理∠B = ∠OPB ∴∠C =∠OPB ∴OP∥AC
D
又PD ⊥ AC
B
P
C
∴OP ⊥ PD
∴PD为⊙O的切线
拓展应用二
例4、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
切点为B，OC平行于弦AD
求证：DC是⊙O的切线
C
证明：连接OD
∵BC与⊙O相切
D
∵OA=OD
∴ ∠1= ∠3
∴∠OBC=900
12
3
4
A
O
又AD ∥ OC
∴∠ODC=900
B
∴∠1= ∠2，∠3= ∠4 ∴OD⊥DC
∴ ∠2= ∠4
∴DC是⊙O的切线
∵OD=OB,OC公共
∴△OCD≌△OCB ∴∠ODC= ∠ OBC
课后小结
这节课我们主要解决了以下两个问题： 1、学习了切线的判定定理： （1）利用d与r的数量关系判定：d = r 直线与圆相切 （2）利用切线的判定定理判定 2、学习了切线的性质并灵活运用解决综合问题

三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为

2. 砂轮打磨零件时,溅出火星沿着砂轮 的什么方向飞出去的?
下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上 打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．
探究新知
切线的判定定理
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过
点A作圆O的切线？
B
视察：（1） 圆心O到直线AB的距离 和圆的半径有什么数量关系?
C
E 作OE⊥BC于E
当已知条件中没有明确直 线与圆是否有公共点时
辅助线：
无共点,做垂直，证半径
练一练
如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D， DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
课堂小结
一、判定一条直线是圆的切线的三种方法
１、利用定义： ２、利用定理： ３、利用切线的判定定理：
二、辅助线添加的方法
复习导入
直线与圆的位置关系:相交、相切、相离
图中直线l满足什么条件时
是⊙O的切线？
O
方法1：直线与圆有唯一公共点
l
方法2：直线到圆心的距离等于半径
注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方 法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定方法。
探究新知
1. 当你在下雨天快速转动雨伞时,水滴 顺着伞的什么方向飞出去的？
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵
， ∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
又OE ⊥AB ，OF⊥AC. ∴OE ＝OF.
A
E
F
B
O
C
OF ＝OE，OF ⊥ AC.
例题讲授
证明： 连接OC
Ｏ
∵ OA=OB，CA=CB

）
（3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线。 （4）过圆的半径外端的直线是圆的条半径垂直的直线是圆的 切线。 （√ ）
2、在平面直角坐标系中，以点（2，3） 为圆心,2为半径的圆与x轴的位置关系 是 相离 ,与y轴的位置关系是 相切 。
A
3、如图,△ABC中， AB=AC，以AB为直径的 ⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E。 求证:PE是⊙O的切线。
A
C
B
〖例2〗 已知:O为∠BAC平分线上一点,OD⊥AB于D,以O 为圆心,OD为半径作⊙O。 求证:⊙O与AC相切。 过点O作OE⊥AC，垂足为E。 B D
作垂直，证半径 证明：
∵AO平分∠BAC,OD⊥AB, ∴OD=OE ∵OD为 ⊙O的半径， A ∴ OE也为⊙O的半径 ∴⊙O与AC相切。
O
E
C
1、如图 ：AB是⊙O 的直径,
∠ABT=45°，AT=AB,
求证：AT 是⊙O 的切线.
T
B
·
O
A
2.已知:如图,ABCD为直角梯形,AB⊥BC, CD＝AD＋BC. 求证:以CD为直径的圆与AB相切。
证明：过点O作OE⊥AB,垂足为E. ∵ABCD为直角梯形,AB⊥BC,
∴AD//OE//BC
O
几何符号表达：
∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
A
例1 ：如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且
OA=OB,CA=CB.求证：直线AB 是⊙O 的切线.
证明：连接OC.
∵OA=OB，CA=CB，
连半径，证垂直
O
∴△OAB是等腰三角形， OC是底边AB上的中线. ∴OC⊥AB
∴AB是⊙O的切线。
1、圆的切线的定义

2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径 (即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径 的直线是圆的切线.
l dr
l
O
A
l
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线.
分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角
形求出半径OA的长.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
A
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，
C
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
PA
O
B
第2题
第3题
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
解：连接OB，则∠OBP=90°.
B
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r.
O
A
P
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， 即⊙O的半径为3.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
O
B
P
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
(2)若AP＝ 3，求⊙O的半径．