江苏省苏北十校高三数学上学期期末联考试卷

江苏省苏北四市（徐州市、淮安市、宿迁市、连云港市）2022届高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．（1，2）B．（1，2〗C．（2，4）D．〖2，4）2．（5分）已知复数z满足z（1+i）＝4i，则|z|＝（）A．1B．C．2D．23．（5分）不等式成立的一个充分条件是（）A．x＜﹣1B．x＞﹣1C．﹣1＜x＜0D．0＜x＜14．（5分）某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有（）A．12种B．24种C．72种D．120种5．（5分）已知向量＝（x，1），＝（2，y），＝（1，﹣2），且∥，⊥，则|2﹣|＝（）A．3B．C．D．6．（5分）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F为椭圆C2：＝1（a＞b＞0）的右焦点，且C1与C2的公共弦经过F，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（）A．15πB．36πC．45πD．48π8．（5分）记〖x〗表示不超过实数x的最大整数，记a n＝〖log8n〗，则的值为（）A．5479B．5485C．5475D．5482二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）已知的展开式中共有7项，则（）A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为1C．二项式系数最大的项为第4项D．有理项共4项10．（5分）将函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位长度后得到y＝g（x）的图象如图，则（）A．f（x）为奇函数B．f（x）在区间上单调递增C．方程f（x）＝1在（0，2π）内有4个实数根D．f（x）的解析式可以是11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若对于曲线y＝f（x）上的任意点P，都存在曲线y＝f（x）上的点Q，使得＝0成立，则称函数f（x）具备“⊗性质”．则下列函数具备“⊗性质”的是（）A．y＝x+1B．y＝cos2x C．y＝D．y＝e x﹣212．（5分）如图，一张长、宽分别为，1的矩形纸，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．则（）A．在该多面体中，B．该多面体是三棱锥C．在该多面体中，平面BAD⊥平面BCDD．该多面体的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省苏北四市2020届高三上学期期末考试2020届高三模拟考试试卷数 学 2020.01(满分160分，考试时间120分钟)2020．1 参考公式：1. 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑n i ＝1(x i －x)2，其中x ＝1n ∑ni ＝1x i； 2. 圆锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是圆锥的高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|0<x<2}，B ＝{x|－1<x<1)，则A ∪B ＝________． S ←0 I ←1While I ＜6 I ←I ＋1 S ←S ＋I End While Print S(第4题)2. 已知复数z 满足z 2＝－4，且z 的虚部小于0，则z ＝________．3. 若一组数据7，x ，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是________．4. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．5. 函数f(x)＝log 2x －2的定义域为________．6. 某学校高三年级有A ，B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________．7. 若关于x 的不等式x 2－mx ＋3<0的解集是(1，3)，则实数m 的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与渐近线的交点在抛物线y 2＝2px 上，则实数p 的值为________．9. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＋a 9＝8，S 5＝－5，则S 15的值为________． 10. 已知函数y ＝3sin 2x 的图象与函数y ＝cos 2x 的图象相邻的三个交点分别是A ，B ，C ，则△ABC 的面积为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：x 2＋y 2－4x －8y ＋12＝0，圆N 与圆M 外切于点(0，m)，且过点(0，－2)，则圆N 的标准方程为______________．12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(0，1]时，f(x)＝－e ax (其中e 是自然对数的底数)．若f(2 020－ln 2)＝8，则实数a 的值为________．(第13题)13. 如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两个三等分点，AB →·AD →＝2AC →·AE →，则cos∠ADE 的最小值为________．14. 设函数f(x)＝|x 3－ax －b|，x ∈[－1，1]，其中a ，b ∈R .若f(x)≤M 恒成立，则当M 取得最小值时，a ＋b 的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，AP ＝AB ，点M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC.求证：(1) BC ∥平面AMN ；(2) 平面AMN ⊥平面PBC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝55. (1) 若a ＝5，c ＝25，求b 的值； (2) 若B ＝π4，求tan 2C 的值．17. (本小题满分14分) 如图，在圆锥SO 中，底面半径R 为3，母线长l 为5.用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O 1，半径为r.现要以截面为底面，圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥OO 1，记圆锥OO 1的体积为V.(1) 将V 表示成r 的函数； (2) 求V 的最大值．18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右顶点为A ，过点A 作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q.设直线l 的斜率为k.(1) 用k 表示椭圆C 的离心率；(2) 若OP →·OQ →＝0，求椭圆C 的离心率．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝(a －12)ln x(a ∈R )．(1) 若曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y －1＝0，求a 的值； (2) 若f(x)的导函数f′(x)存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围；(3) 当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f(x)≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．20. (本小题满分16分)已知数列{a n }的首项a 1＝3，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝ka n －1(k ≠0)，数列{a n －1}是公比不为1的等比数列．(1) 求实数k 的值；(2) 设b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4－n ，n 为奇数，a n －1，n 为偶数，数列{b n }的前n 项和为S n ，求所有正整数m 的值，使得S 2mS 2m －1恰好为数列{b n }中的项．2020届高三模拟考试试卷(四)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23t 1的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵M －1.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝12，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，θ∈R )．在曲线C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值．C. (选修45：不等式选讲)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，求1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x的最小值． 【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠BB 1C 1＝60°，平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C.(1) 求直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值； (2) 求二面角BAC 1C 的余弦值．23. 已知n 为给定的正整数，设(23＋x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，x ∈R .(1) 若n ＝4，求a 0，a 1的值；(2) 若x ＝13，求∑n k ＝0(n －k)a k x k 的值．2020届高三模拟考试试卷(四)(苏北四市)数学参考答案及评分标准1. {x|－1<x<2}2. －2i3. 454. 205. [4，＋∞)6. 127. 48. 149. 135 10.32π 11. (x ＋2)2＋y 2＝8 12. 3 13. 47 14. 3415. 证明：(1) 在△PBC 中，因为点M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN ∥BC.(3分)又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC ∥平面AMN.(6分)(2) 在△PAB 中，因为AP ＝AB ，点M 为棱PB 的中点，所以AM ⊥PB.(8分)因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ∩平面PBC ＝PB ，AM ⊂平面PAB ，所以AM ⊥平面PBC.(12分)又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC.(14分)16. 解：(1) 在△ABC 中，由余弦定理b 2＋c 2－2bccos A ＝a 2，得b 2＋20－2×25×55b ＝25，即b 2－4b －5＝0，(4分) 解得b ＝5或b ＝－1(舍)，所以b ＝5.(6分) (2) 由cos A ＝55及0<A<π，得sin A ＝1－cos 2A ＝1－（55）2＝255，(8分) 所以cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋π4)＝－22(cos A －sin A)＝1010.因为0<C<π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－（1010）2＝31010， 从而tan C ＝sin Ccos C ＝310101010＝3，(12分)所以tan 2C ＝2tan C 1－tan 2C ＝2×31－32＝－34.(14分) 17. 解：(1) 在△SAO 中，SO ＝SA 2－AO 2＝52－32＝4.(2分)由△SNO 1∽△SAO 可知SO 1SO ＝r R ，所以SO 1＝43r ，(4分)所以OO 1＝4－43r ，所以V(r)＝13πr 2(4－43r)＝49π(3r 2－r 3)，0<r<3.(7分)(2) 由(1)得V(r)＝49π(3r 2－r 3)，0<r<3，所以V′(r)＝49π(6r －3r 2)，令V′(r)＝0，得r ＝2，(9分)当r ∈(0，2)时，V ′(r)>0，所以V(r)在(0，2)上单调递增； 当r ∈(2，3)时，V ′(r)<0，所以V(r)在(2，3)上单调递减． 所以当r ＝2时，V(r)取得最大值V(2)＝16π9.答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9.(14分)18. 解：(1) 直线l 的方程为y ＝k(x －a)，即kx －y －ak ＝0.因为直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切，所以|－ak|k 2＋1＝b ，故k 2＝b 2a 2－b 2.所以椭圆C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝1k 2＋1.(4分) (2) 设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为x ＝a 2c.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －a ），x ＝a 2c 得y ＝k(a 2c －a)＝k a 2－ac c ，所以Q(a 2c ，k （a 2－ac ）c)．(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝k （x －a ）得(b 2＋a 2k 2)x 2－2a 3k 2x ＋a 4k 2－a 2b 2＝0， 解得x P ＝a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2，则y P ＝k(a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2－a)＝－2ab 2k b 2＋a 2k 2，所以P(a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2，－2ab 2kb 2＋a 2k2)．(10分)因为OP →·OQ →＝0，所以a 2c ·a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2＋k （a 2－ac ）c ·－2ab 2k b 2＋a 2k 2＝0，即a(a 2k 2－b 2)＝2b 2k 2(a －c)．(12分) 由(1)知k 2＝b 2a 2－b 2，所以a(a 2b 2a 2－b 2－b 2)＝2b 4（a －c ）a 2－b 2， 所以a ＝2a －2c ，即a ＝2c ，所以c a ＝12，故椭圆C 的离心率为12.(16分)19. 解：(1) f′(x)＝1x 2ln x ＋(a －1x )1x.因为曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y －1＝0，所以f′(1)＝a －1＝－1，解得a ＝0.(2分) (2) 因为f′(x)＝ax －1＋ln xx 2存在两个不相等的零点， 所以g(x)＝ax －1＋ln x 存在两个不相等的零点，则g′(x)＝1x ＋a.①当a ≥0时，g ′(x)>0，所以g(x)单调递增，至多有一个零点．(4分) ②当a<0时，因为当x ∈(0，－1a )时，g ′(x)>0，g(x)单调递增；当x ∈(－1a ，＋∞)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减，所以x ＝－1a 时，g(x)max ＝g(－1a )＝ln(－1a)－2.(6分)因为g(x)存在两个零点，所以ln(－1a )－2>0，解得－e －2<a<0.(7分)因为－e －2<a<0，所以－1a>e 2>1.因为g(1)＝a －1<0，所以g(x)在(0，－1a )上存在一个零点．(8分)因为－e －2<a<0，所以(－1a )2>－1a.因为g((－1a )2)＝ln(－1a )2＋1a －1，设t ＝－1a ，则y ＝2ln t －t －1(t>e 2)．因为y′＝2－tt<0，所以y ＝2ln t －t －1(t>e 2)单调递减， 所以y<2ln(e 2)－e 2－1＝3－e 2<0，所以g((－1a )2)＝ln(－1a )2＋1a －1<0，所以g(x)在(－1a，＋∞)上存在一个零点．综上可知，实数a 的取值范围是(－e －2，0)．(10分)(3) 当a ＝2时，f(x)＝(2－1x )ln x ，f ′(x)＝1x 2ln x ＋(2－1x )1x ＝2x －1＋ln xx 2，设g(x)＝2x －1＋ln x ，则g′(x)＝1x ＋2>0，所以g(x)单调递增，且g(12)＝ln 12<0，g(1)＝1>0，所以存在x 0∈(12，1)使得g(x 0)＝0.(12分)因为当x ∈(0，x 0)时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0，所以f(x)单调递增， 所以x ＝x 0时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时f(x 0)＝(2－1x 0)ln x 0＝(2－1x 0)(1－2x 0)＝－(4x 0＋1x 0)＋4.(14分)因为x 0∈(12，1)，所以f(x 0)∈(－1，0)．因为f(x)≥λ，且λ为整数，所以λ≤－1，即λ的最大值为－1.(16分) 20. 解：(1) 由a n ＋1＝ka n －1，a 1＝3可知，a 2＝3k －1，a 3＝3k 2－k －1. 因为{a n －1}为等比数列，所以(a 2－1)2＝(a 1－1)(a 3－1)，即(3k －2)2＝2×(3k 2－k －2)，即3k 2－10k ＋8＝0，解得k ＝2或k ＝43.(2分)当k ＝43时，a n ＋1－3＝43(a n －3)，所以a n ＝3，则a n －1＝2，所以数列{a n －1}的公比为1，不符合题意；当k ＝2时，a n ＋1－1＝2(a n －1)，所以数列{a n －1}的公比q ＝a n ＋1－1a n －1＝2，所以实数k 的值为2.(4分) (2) 由(1)知a n －1＝2n ，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4－n ， n 为奇数，2n ， n 为偶数，则S 2m ＝(4－1)＋4＋(4－3)＋42＋…＋[4－(2m －1)]＋4m＝(4－1)＋(4－3)＋…＋[4－(2m －1)]＋4＋42＋…＋4m ＝m(4－m)＋4m ＋1－43，(6分)则S 2m －1＝S 2m －b 2m ＝m(4－m)＋4m －43.因为b 2m ＋b 2m ＋1＝3－2m ＋4m ，又(b 2m ＋2＋b 2m ＋3)－(b 2m ＋b 2m ＋1)＝3×4m －2>0， 且b 2＋b 3＝5>0，b 1＝3>0，所以S 2m －1>0，则S 2m >0.设S 2mS 2m －1＝b t >0，t ∈N *，(8分) 则t ＝1，3或t 为偶数，因为b 3＝1不可能，所以t ＝1或t 为偶数．①当S 2mS 2m －1＝b 1时，m （4－m ）＋4m ＋1－43m （4－m ）＋4m －43＝3，化简得6m 2－24m ＋8＝－4m ≤－4， 即m 2－4m ＋2≤0，所以m 可能取值为1，2，3，验证S 2S 1＝73，S 4S 3＝3，S 6S 5＝8723，得当m ＝2时，S 4S 3＝b 1成立．(12分)②当t 为偶数时，S 2m S 2m －1＝m （4－m ）＋4m ＋1－43m （4－m ）＋4m －43＝1＋3－3m 2＋12m －44m ＋1， 设c m ＝－3m 2＋12m －44m ，则c m ＋1－c m ＝9m 2－42m ＋214m ＋1. 由①知m>3，当m ＝4时，c 5－c 4＝－345<0；当m>4时，c m ＋1－c m >0，所以c 4>c 5<c 6<…，所以c m 的最小值为c 5＝－191 024，所以0<S 2m S 2m －1<1＋3－191 024＋1<5.令S 2m S 2m －1＝4＝b 2，则1＋3－3m 2＋12m －44m＋1＝4，即－3m 2＋12m －4＝0，无整数解． 综上，正整数m 的值2.(16分)2020届高三模拟考试试卷(苏北四市) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－t λ－1＝(λ－2)(λ－1)－3t.(2分)因为矩阵M 的一个特征值为4，所以f(4)＝6－3t ＝0，所以t ＝2.(5分)所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×1－3×2－32×1－3×2－22×1－3×222×1－3×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 34 12－12.(10分) B. 解：由l ：ρcos θ＋ρsin φ－12＝0，及x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以l 的直角坐标方程为x ＋y －12＝0. (2分)在曲线C 上取点M(23cos φ，2sin φ)，则点M 到l 的距离d ＝|23cos φ＋2sin φ－12|2＝⎪⎪⎪⎪4sin （φ＋π3）－122＝12－4sin （φ＋π3）2，(6分)当φ＝π6时，d 取最小值42，(8分)此时点M 的坐标为(3，1)．(10分)C. 解：因为x ，y ，z 都为正数，且x ＋y ＋z ＝1， 所以由柯西不等式，得3(1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x )＝(1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x )·[(x ＋2y)＋(y ＋2z)＋(z ＋2x)](5分) ≥(1x ＋2y·x ＋2y ＋1y ＋2z·y ＋2z ＋1z ＋2x·z ＋2x)2＝9， 当且仅当x ＝y ＝z ＝13时等号成立，所以1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x的最小值为3.(10分)22. 解：(1) 因为四边形AA 1B 1B 为正方形，所以AB ⊥BB 1.因为平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ，平面AA 1B 1B ∩平面BB 1C 1C ＝BB 1， AB ⊂平面AA 1B 1B ，所以AB ⊥平面BB 1C 1C. (2分)以点B 为坐标原点，分别以BA ，BB 1所在的直线为x ，y 轴，以过点B 且垂直于平面AA 1B 1B 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.不妨设正方形AA 1B 1B 的边长为2， 则A(2，0 ，0)，B 1(0，2，0)．在菱形BB 1C 1C 中，因为∠BB 1C 1＝60°，所以C 1(0，1，3)，所以AC 1→＝(－2，1，3)． 因为平面AA 1B 1B 的一个法向量为n ＝(0，0，1)， 设直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈AC 1→，n 〉|＝|3|22×1＝64，即直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值为64.(6分) (2) 由(1)可知，C(0，－1，3)，所以CC 1→＝(0，2，0)． 设平面ACC 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，因为⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC 1→＝0，n 1·CC 1→＝0，即⎩⎨⎧（x 1，y 1，z 1）·（－2，1，3）＝0，（x 1，y 1，z 1）·（0，2，0）＝0，取x 1＝32，y 1＝0，z 1＝1，即n 1＝(32，0，1)． 设平面ABC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 因为BA →＝(2，0，0)，BC 1→＝(0，1, 3)，所以⎩⎨⎧（x 2，y 2，z 2）·（2，0，0）＝0，（x 2，y 2，z 2）·（0，1，3）＝0，取n 2＝(0，3，－1)．(8分)设二面角BAC 1C 的平面角为θ，则cos θ＝－cos 〈n 1，n 2〉＝－n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－－134＋1·3＋1＝77， 所以二面角BAC 1C 的余弦值为77.(10分) 23. 解：(1) 因为n ＝4，所以a 0＝C 04(23)4＝1681，a 1＝C 14(23)3＝3227.(2分) (2) 当x ＝13时，a k x k ＝C k n (23)n －k (13)k ， 因为kC k n ＝k n ！k ！（n －k ）！＝n （n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝nC k －1n －1，(4分) ＝n －13n(23＋13)n －1＝23n ，当n ＝1时，也符合． 所以(n －k)a k x k 的值为23n.(10分)。

2022～2023学年高三年级模拟试卷数 学（答案在最后）(满分：150分 考试时间：120分钟)2023．1一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若非空且互不相等的集合M ，N ，P 满足M ∩N ＝M ，N ∪P ＝P ，则M ∪P ＝( ) A. M B. N C. P D. ∅2. 已知i 5＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b 的值为( ) A. －1 B. 0 C. 1 D. 23. 设p ：4x －3＜1；q ：x －(2a ＋1)＜0，若p 是q 的充分不必要条件，则( ) A. a ＞0 B. a ＞1 C. a ≥0 D. a ≥14. 已知点Q 在圆C ：x 2－4x ＋y 2＋3＝0上，点P 在直线y ＝x 上，则PQ 的最小值为( ) A. 2 －1 B. 1 C. 2 D. 25. 某次足球赛共8支球队参加，分三个阶段进行．(1) 小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组4队进行单循环比赛，以积分和净胜球数取前两名；(2) 半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主、客场交叉淘汰赛(每两队主、客场各赛1场)，决出胜者；(3) 决赛：两个胜队参加，比赛1场，决出胜负． 则全部赛程共需比赛的场数为( )A. 15B. 16C. 17D. 186. 若f (x )＝sin (2x ＋π6 )在区间[－t ，t ]上单调递增，则实数t 的取值范围是( )A. [π6 ，π2 ]B. (0，π3 ]C. [π6 ，π3 ]D. (0，π6]7. 足球是由12个正五边形和20个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为a ，A ，B ，C 分别为正多边形的顶点，则AB → ·AC →＝( )A. (3＋3 cos 18°)a 2B. (3 ＋cos 18°)a 2C. (3＋2 cos 18°)a 2D. (33 ＋3cos 18°)a 28. 在某次数学节上，甲、乙、丙、丁四位同学分别写下了一个命题：甲：ln 3＜3 ln 2；乙：ln π＜πe；丙：212＜12；丁：3eln 2＞42 .所写为真命题的是( )A. 甲和乙B. 甲和丙C. 丙和丁 D ．甲和丁二、 多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 连续抛掷一枚骰子2次，记事件A 表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B 表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则( )A. 事件A 与事件B 不互斥B. 事件A 与事件B 相互独立C. P (AB )＝34D. P (A |B )＝2310. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝3，底面ABCD 是边长为2的正方形，底面A 1B 1C 1D 1的中心为M ，则( )A. C 1D 1∥平面ABMB. 向量AM → 在向量AC →上的投影向量为12 AC →C. 棱锥MABCD 的内切球的半径为31010D. 直线AM 与BC 所成角的余弦值为111111. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把5－12 (5－12≈0.618)称为黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线E ：x 2a 2 －y 2＝1(a ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，虚轴的上端点为B ，左焦点为F ，离心率为e ，则( )A. a 2e ＝1B. A 2B ·FB →＝0C. 顶点到渐近线的距离为eD. △A 2FB 的外接圆的面积为2＋54π 12. 设函数f (x )的定义域为R ，f (2x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝a x ＋b ，若f (0)＋f (3)＝－1，则( )A. b ＝－2B. f (2 023)＝－1C. f (x )为偶函数D. f (x )的图象关于点(12，0)对称三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13. 若(1－2x )5(x ＋2)＝a 0＋a 1x ＋…＋a 6x 6，则a 3＝________． 14. 某学校组织1 200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成绩为x ＝80，方差为s 2＝25.学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩X 近似服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为平均数x ，σ2近似为方差s 2，则估计获表彰的学生人数为________．(四舍五入，保留整数)参考数据：随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 7， P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 5，P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝0.997 3.15. 已知抛物线y 2＝2x 与过点T (6，0)的直线相交于A ，B 两点，且OB ⊥AB (O 为坐标原点)，则△OAB 的面积为________．16. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，|ln （x －1）|，x ＞1，则函数F (x )＝f (f (x ))－2f (x )－12 的零点个数为________．四、 解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知△ABC 为锐角三角形，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋b cos A ＝2c cos C .(1) 求角C 的大小；(2) 若c ＝2，求△ABC 的周长的取值范围．18.(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝14，S 6＝126. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 当n ∈N *时，a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ＝4n －1，求数列{b n }的通项公式．19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD 中，侧面SAD ⊥底面ABCD ，SA ⊥AD ，且四边形ABCD 为平行四边形，AB ＝1，BC ＝2，∠ABC ＝π3，SA ＝3.(1) 求二面角SCDA 的大小；(2) 若点P 在线段SD 上且满足SP → ＝λSD →，试确定实数λ的值，使得直线BP 与平面PCD 所成的角最大．20.(本小题满分12分)设椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，离心率为33 ，若椭圆E 上的点到直线l ：x ＝a 2c的最小距离为3－3 .(1) 求椭圆E 的方程；(2) 过F 1作直线交椭圆E 于A ，B 两点，设直线AF 2，BF 2与直线l 分别交于C ，D 两点，线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，O 为坐标原点，若M ，O ，N 三点共线，求直线AB 的方程．21.(本小题满分12分)第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1) 扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有23 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X 的分布列和数学期望．(2) 好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为p n ，易知p 1＝1，p 2＝0.① 试证明：{p n －13}为等比数列；② 设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为q n ，比较p 10与q 10的大小．22. (本小题满分12分)已知函数f (x )＝a e x ＋cos x ＋12 x 2，其中a 为实数，e 是自然对数的底数．(1) 当a ＝0时，求曲线f (x )在点(π2 ，f (π2))处的切线方程；(2) 若g (x )为f (x )的导数，g (x )在(0，π)上有两个极值点，求a 的取值范围．2022～2023学年高三年级模拟试卷(苏北四市)数学参考答案及评分标准1. C2. C3. A4. A5. C6. D7. A8. B9. AD 10. ABD 11. ABD 12. AC 13. －120 14. 27 15. 152 16. 517. 解：(1) 由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 即sin (A ＋B )＝2sin C cos C ，即sin C ＝ 2sin C cos C ．(2分) 又C ∈(0，π)，所以sin C ≠0， 所以cos C ＝12 ，故C ＝π3.(4分)(2) 由正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝43 sin A ，b ＝43 sin B ，(5分)所以△ABC 的周长L ＝a ＋b ＋c ＝43 (sin A ＋sin B )＋2＝43[sin A ＋sin (2π3 －A )]＋2＝4(32 sin A ＋12 cos A )＋2＝4sin (A ＋π6)＋2.(8分) 由△ABC 为锐角三角形可知，⎩⎨⎧0<A <π2，0＜B ＝2π3－A ＜π2，得π6 ＜A ＜π2 ，所以π3 ＜A ＋π6 ＜2π3 ，所以sin (A ＋π6 )∈(32 ，1]，所以△ABC 的周长的取值范围是(2＋23 ，6].(10分) 18. 解：(1) 设数列{a n }的公比为q .⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝14 ①，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝112 ②， ②① 得q 3＝8，所以q ＝2，(3分) 有S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋2a 1＋4a 1＝14，得a 1＝2， 则数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(注：若使用等比求和公式没有讨论公比q ＝1，扣1分)(5分)(2) 由2n b 1＋2n －1b 2＋…＋2b n ＝4n －1，n ＝1时2b 1＝3，得b 1＝32 ，(6分)所以n ≥2时，2n －1b 1＋2n －2b 2＋…＋2b n －1＝4n －1－1.(8分)2n b 1＋2n －1b 2＋…＋2b n ＝2(2n －1b 1＋2n －2b 2＋…＋2b n －1)＋2b n ＝4n －1，(10分) 有2(4n －1－1)＋2b n ＝4n －1，得n ≥2时，b n ＝4n －1＋12 ，(11分)又b 1＝32 ，故b n ＝4n －1＋12.(12分)19. 解：(1) 连接AC ，在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，∠ABC ＝π3 ，由余弦定理得AC ＝3 ，所以∠BAC ＝π2.(2分)因为侧面SAD ⊥底面ABCD ，平面SAD ∩底面ABCD ＝AD ，SA ⊥AD ， 所以SA ⊥平面ABCD ，所以SA ⊥AC .(4分)(解法1)以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．则B (1，0，0)，C (0，3 ，0)，S (0，0，3)，D (－1，3 ，0)，CD → ＝(－1，0，0)，SC →＝(0，3 ，－3).设平面SCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·SC →＝0， 得⎩⎨⎧x ＝0，3y －3z ＝0， 可取n ＝(0，3 ，1).易知m ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量．(6分)所以cos θ＝n ·m |n ||m | ＝11＋3 ＝12 .因为二面角SCDA 为锐角，所以θ＝π3 ，即二面角SCDA 的大小为π3.(8分)(解法2)因为SA ⊥平面ABCD ，所以SA ⊥CD .因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AC ⊥CD ， 又SA ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面SAC ，所以CD ⊥SC .又平面ACD ∩平面SCD ＝CD ，所以∠ACS 为二面角SCDA 的平面角．(6分)因为tan ∠ACS ＝33 ＝3 ，二面角SCDA 为锐角，所以θ＝π3 ，即二面角SCDA 的大小为π3.(8分)(2) 设P (x 1，y 1，z 1)，SP → ＝λSD →， 得(x 1，y 1，z 1－3)＝λ(－1，3 ，－3)，x 1＝－λ，y 1＝3 λ，z 1＝3－3λ，所以P (－λ，3 λ，3－3λ) ，所以BP →＝(－λ－1，3 λ，3－3λ).(10分)由(1)知平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，3 ，1).因为cos α＝BP →·n |BP →||n | ＝3λ＋3－3λ2（λ＋1）2＋（3λ）2＋（3－3λ）2 ＝3213λ2－16λ＋10 ， 所以当λ＝813 时，cos α最大， 即当λ＝813时，BP 与平面PCD 所成的角最大．(12分)20. 解：(1) 由条件知⎩⎨⎧c a ＝33，a2c －a ＝3－3，解得⎩⎨⎧a ＝3，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 23 ＋y 22＝1.(4分)(2) 由(1)知，F 1(－1，0)，F 2(1，0)，由题意知，直线AB 的斜率不为0.设直线AB 的方程为x ＝my －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，x ＝my －1，消去x 并整理得(2m 2＋3)y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m2m 2＋3 ，y 1y 2＝－42m 2＋3 .(6分)所以y M ＝2m2m 2＋3 ，x M ＝my M －1＝－32m 2＋3 ，所以直线OM 的斜率为k OM ＝y M x M ＝－2m3. 直线AF 2的方程为y ＝y 1x 1－1 (x －1)，直线l 的方程为x ＝3，则C (3，2y 1x 1－1 ).直线BF 2的方程为y ＝y 2x 2－1 (x －1)，同理有D (3，2y 2x 2－1).(8分)所以y N ＝y 1x 1－1 ＋y 2x 2－1 ＝y 1my 1－2 ＋y 2my 2－2 ＝y 1（my 2－2）＋y 2（my 1－2）（my 1－2）（my 2－2）＝2my 1y 2－2（y 1＋y 2）m 2y 1y 2－2m （y 1＋y 2）＋4 ＝2m ·－42m 2＋3－2×4m2m 2＋3m 2·－42m 2＋3－2m ·4m2m 2＋3＋4 ＝4mm 2－3 ，(10分) 所以直线ON 的斜率为k ON ＝y N x N ＝4m3（m 2－3）.由M ，O ，N 三点共线可得k OM ＝k ON ，即－2m 3 ＝4m3（m 2－3） ，所以m ＝0或m ＝±1.故直线AB 的方程为x ＝－1或x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.(12分)21. (1) 解：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为p ＝13 ×13 ＝19 ，(1分)门将在前三次扑到点球的个数X 可能的取值为0，1，2，3，易知X ～B (3，19 )，所以P (X ＝k )＝C k 3 ×(19 )k ×(89 )3－k，k ＝0，1，2，3，(2分) 故X 的分布列为所以X 的数学期望E (X )＝3×19 ＝13.(6分)(2) ① 证明：第n 次传球之前球在甲脚下的概率为p n ，则当n ≥2时，第n －1次传球之前球在甲脚下的概率为p n －1， 第n －1次传球之前球不在甲脚下的概率为1－p n －1， 则p n ＝p n －1×0＋(1－p n －1)×12 ＝－12 p n －1＋12 ，(8分)所以{p n －13 }是以23 为首项， 公比为－12的等比数列. (10分)② 解：由①可知p n ＝23 (－12 )n －1＋13 ，所以p 10＝23 (－12 )9＋13 ＜13 ，所以q 10＝12 (1－p 10)＝12 [23 －23 (－12 )9]＞13，故p 10＜q 10.(12分)22. 解：(1) 当a ＝0时，f (x )＝cos x ＋12 x 2，则f ′(x )＝－sin x ＋x ，所以f ′(π2 )＝π2 －1.(1分)又f (π2 )＝π28 ，所以曲线y ＝f (x )在点(π2 ，f (π2 ))处的切线方程为y ＝(π2 －1)x －π28 ＋π2 .(3分)(2) 因为g (x )＝a e x －sin x ＋x ，所以g ′(x )＝a e x －cos x ＋1，g (x )在(0，π)上有两个极值点，即g ′(x )在(0，π)内有两个变号零点． 令g ′(x )＝0得a e x －cos x ＋1＝0，所以a －cos x －1e x＝0.(5分)设h (x )＝a －cos x －1e x ，则h ′(x )＝sin x ＋cos x －1e x ＝2sin （x ＋π4）－1e x， 当x ∈(0，π2 )时，sin (x ＋π4 )∈(22，1]，所以h ′(x )＞0，所以h (x )单调递增；当x ∈(π2 ，π)时，sin (x ＋π4 )∈(－22 ，22)，所以h ′(x )＜0，所以h (x )单调递减，(7分)所以h (0)＝a ，h (π2)＝a ＋e －π2 ，h (π)＝a ＋2e －π.当－e－π2＜a ＜－2e－π时，h (0)＜0，h (π2)＞0，h (π)＜0，所以∃x 1∈(0，π2 )，x 2∈(0，π)，使h (x 1)＝h (x 2)＝0.(9分)当x ∈(0，x 1)时，h (x )＜0，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(x 1，x 2)时，h (x )＞0，g ′(x )＞0，g (x )单调递增； 当x ∈(x 2，π)时，h (x )＜0，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 即－e －π2＜a ＜－2e－π时，g (x )在(0，π)上有两个极值点．(12分)。

九年级下册美术知识点汇总艺术是一门独特而美妙的学科，通过视觉元素的运用和艺术形式的表达，艺术家能够通过作品传递情感、表达思想和展现美。

在九年级下册的美术课程中，学生们将接触到一系列的美术知识点，这些知识点将会拓宽学生们的艺术视野，培养他们的审美能力。

以下是九年级下册美术知识点的汇总。

1. 花鸟画：花鸟画是中国传统绘画的重要流派。

学生们将学习观察和绘画花鸟，了解不同花鸟的特点和表现技巧，熟悉中国画的传统绘画风格。

2. 水墨画：水墨画是中国美术的瑰宝，运用墨汁和水的深浅变化来表现事物的形态和意境。

学生将学习水墨画的基本技巧，如运笔、勾线、点染等，同时也能够通过水墨画作品来感受中国文化的独特之处。

3. 肖像画：肖像画是以人物为主题的绘画作品，通过描绘人物的面部特征和表情来展现人物的个性和内在世界。

学生们将学习如何观察和绘画人物的五官、头部比例以及光影效果，从而创作出生动的肖像画作品。

4. 静物画：静物画是描绘没有生命的物体的绘画作品，如水果、花瓶、餐具等。

学生们将学习如何观察和绘画静物的形状、质感以及光影效果，在细腻的观察和细致的描绘中感受物体的美。

5. 建筑景观：建筑景观是以建筑物及其周边环境为主题的绘画作品，通过绘画手法和构图表现建筑物的结构、氛围和意义。

学生们将学习不同建筑风格的特点，包括古典、现代、传统和当代建筑，同时也能够通过创作展示自己对建筑美的理解和想象。

6. 装饰艺术：装饰艺术是通过线条、色彩、图案和材质来美化和装饰物品的艺术形式。

学生们将学习装饰艺术的基本原理和技巧，包括图案设计、颜色搭配以及装饰物创作等。

7. 数字艺术：数字艺术是利用计算机和数字技术创作的艺术形式，通过图像、声音、动画和互动等方式呈现艺术作品。

学生们将学习数字艺术的基本原理和技巧，包括使用绘图软件、图像处理、动画设计和网页制作等。

8. 抽象艺术：抽象艺术是追求形式和色彩的独立和自由，通过表现抽象的表象、形态和情感来创作艺术作品。

2020届江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）高三上学期期末数学试题一、填空题1．已知集合{}02A x x =<<，{}11B x x =-<<，则A B =U _________. 【答案】{}12x x -<<利用并集的定义可计算出集合A B U . 【详解】{}02A x x =<<Q ，{}11B x x =-<<，因此，{}12A B x x ⋃=-<<.故答案为：{}12x x -<<.本题考查并集的计算，熟悉并集的定义是关键，考查计算能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足24z =-，且z 的虚部小于0，则z =_________. 【答案】2i -设(),z a bi a b R =+∈，可知0b <，利用复数的乘法法则可得出关于实数a 、b 的方程组，解出即可. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，由题意可知()()222224z a bi a babi =+=-+=-，则224200a b ab b ⎧-=-⎪=⎨⎪<⎩，解得02a b =⎧⎨=-⎩，因此，2z i =-.故答案为：2i -.本题考查复数的求解，涉及复数的乘法运算和复数相等，解题的关键就是利用复数相等列方程组求解，考查运算求解能力，属于基础题.3．若一组数据7，x ，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是______. 【答案】45根据平均值计算得到6x =，再计算方差得到答案. 【详解】 平均数为768875x ++++=，故6x =，方差为()()()()()222227776767878455-+-+-+-+-=故答案为：45本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力. 4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_________.【答案】20根据程序伪代码，列举出程序的每一步，即可得出输出结果. 【详解】当16I =<时，112I =+=，022S =+=； 当26I =<时，213I =+=，235S =+=； 当36I =<时，314I =+=，549S =+=； 当46I =<时，415I =+=，9514S =+=； 当56I =<时，516I =+=，14620S =+=.66I =<不满足，输出S 的值为20.故答案为：20.本题考查利用程序伪代码求输出结果，只需结合程序伪代码列举出程序的每一步，计算即可，考查计算能力，属于基础题.5．函数2()log 2f x x =-的定义域是 ． 【答案】[4,)+∞解：因为2log 204x x -≥∴≥，故定义域为[4,)+∞6．某学校高三年级有A 、B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________. 【答案】12利用乘法计数原理可计算出甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习共有32种，利用分步乘法计数原理计算出甲、乙两人不在同一教室上自习的排法种数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】由题意可知，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习共有32种， 甲、乙两人不在同一教室上自习，可先考虑甲在A 、B 两个自习教室选一间教室自习，然后乙在另一间教室自习，则丙可在A 、B 两个自习教室随便选一间自习教室自习，由分步计数原理可知，有224⨯=种选择. 因此，甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为4182=. 故答案为：12. 本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了分步计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.7．若关于x 的不等式230x mx -+<的解集是()1,3，则实数m 的值为_____. 【答案】4由题意知，关于x 的方程230x mx -+=的两根分别为1和3，利用韦达定理可求出实数m 的值. 【详解】由题意知，关于x 的方程230x mx -+=的两根分别为1和3，由韦达定理得134m =+=.故答案为：4.本题考查利用一元二次不等式的解求参数，考查计算能力，属于基础题.8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为________.【答案】14求出双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数p 的方程. 【详解】双曲线2213x y -=的半焦距为2，则双曲线2213x y -=的右准线方程为32x =，渐近线方程为y x =，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为3,2⎛ ⎝⎭.由题意得23222p ⎛⎫±=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得14p =. 故答案为：14.本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，298a a +=，55S =-，则15S 的值为_________.【答案】135设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出关于1a 和d 的方程组，求出这两个量的值，然后利用等差数列的求和公式可计算出15S 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则291512985105a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=-⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩，因此，()15115141515510521352S a d ⨯=+=⨯-+⨯=. 故答案为：135.本题考查等差数列基本量的计算，同时也考查了等差数列求和公式的应用，解题的关键就是求出等差数列的首项和公差，考查方程思想的应用与计算能力，属于基础题. 10．已知函数2y x =的图象与函数cos 2y x =的图象相邻的三个交点分别是A 、B 、C ，则ABC ∆的面积为________.设A 、B 、C 是两个函数图象在y 轴右边且靠近y 轴的三个交点，求出这三个点的坐标，即可计算出ABC ∆的面积. 【详解】设A 、B 、C 是两个函数图象在y 轴右边且靠近y 轴的三个交点， 设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y2cos 2x x =，得tan 23x =，得()26x k k Z ππ=+∈，解得()122k x k Z ππ=+∈.由于A 、B 、C 是两个函数图象在y 轴右边且靠近y 轴的三个交点，则112x π=，2712x π=，31312x π=，可得,122A π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、7,122B π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、13,122C π⎛ ⎝⎭，因此，ABC ∆的面积为131211222ABC S x x y y π∆=⨯-⨯-=⨯=.. 本题考查三角函数图象交点坐标的计算，同时也涉及了三角形面积的计算，求出交点坐标是关键，考查计算能力，属于中等题.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:48120M x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切于点()0,m ，且过点()0,2-，则圆N 的标准方程为_________. 【答案】()2228x y ++=将圆M 的方程化为标准方程，可求出m 的值，记点()0,A m 、()0,2B -，可知圆心N 为直线AM 和线段AB 中垂线的交点，进而可求出点N 的坐标，计算出BN 为圆N 的半径，即可得出圆N 的标准方程. 【详解】记点()0,A m 、()0,2B -，圆M 的标准方程为()()22248x y -+-=，圆心()2,4M ，将点A 的坐标代入圆M 的方程得28120m m -+=，得2m =或6.①若6m =，则点()0,6A ，线段AB 的中垂线方程为2y =，直线AM 的方程为6x y +=，由题意可知，圆心N 在直线AM 上，且在线段AB 的中垂线上，联立260y x y =⎧⎨+-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，则圆心N 的坐标为()4,2，圆N 的半径为BN ==，MN =M 的半径为此时，BN MN -=，则两圆内切，不合乎题意；②若2m =，则点()0,2A ，线段AB 的中垂线方程为0y =，直线AM 的方程为20x y -+=，由题意可知，圆心N 在直线AM 上，且在线段AB 的中垂线上， 联立020y x y =⎧⎨-+=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，则圆心N 的坐标为()2,0-，圆N 的半径为BN ==，MN =M 的半径为此时，BN MN +=，则两圆外切，合乎题意. 综上所述，圆N 的标准方程为()2228x y ++=. 故答案为：()2228x y ++=.本题考查利用两圆外切求圆的标准方程，解题的关键就是确定圆心的位置和半径，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，当(]0,1x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数，若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为_____. 【答案】3先推导出函数()y f x =的周期为4，可得出()()()2020ln 2ln 2ln 28f f f -=-=-=，代值计算，即可求出实数a 的值.【详解】由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-， 又该函数的图象关于直线1x =对称，则()()11f x f x -=+， 所以，()()()()211f x f x f x f x +=-+=-=-⎡⎤⎣⎦，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以，函数()y f x =是周期为4的周期函数， 所以()()()()ln 2ln 22020ln 2ln 2ln 228aa a f f f e e -=-=-====，解得3a =.故答案为：3.本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数的周期，考查推理能力与计算能力，属于中等题.13．如图，在ABC ∆中，D 、E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则cos ADE ∠的最小值为________.【答案】47利用基底DA uuu r 、DE u u u r 表示向量AB u u u r 、AC u u u r 、AE u u u r，结合等式2AB AD AC AE ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 可得出cos ADE ∠的表达式，然后利用基本不等式可求出cos ADE ∠的最小值.【详解】由于D 、E 是BC 上的两个三等分点，则BD DE EC ==u u u r u u u r u u u r，由图形可得AB DB DA DE DA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，2AC DC DA DE DA =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，AE DE DA =-u u u r u u u r u u u r，2AB AD AC AE ⋅=⋅uu u r uuu r uuu r uu u rQ ，即()()()()22DE DA DA DE DA DE DA --⋅-=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，整理得2274DA DE DA DE ⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，即227cos 4DA DE ADE DA DE ⋅∠=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，由基本不等式得22222444cos 777DA DE DA DE ADE DA DE DA DE ⋅⨯+∠=≥=⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 当且仅当2DA DE =u u u r u u u r时，等号成立，因此，cos ADE ∠的最小值为47. 故答案为：47. 本题考查由平面向量数量积的运算求最值，解题的关键就是找出合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.14．设函数()3f x x ax b =--，[]1,1x ∈-，其中a 、b ∈R .若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，+a b 的值为______. 【答案】34构造函数()3g x x ax b =--，可知该函数关于点()0,b -对称，然后分0a ≤、3a ≥、0<<3a 三种情况讨论，分析函数()y g x =在区间[]1,1-上的单调性，得出函数()()f x g x =在区间[]1,1-上最值的可能取值，利用绝对值三角不等式可求出当M 取得最小值时+a b 的值. 【详解】构造函数()3g x x ax b =--，则()()f x g x =，由于()()()()332g x g x x ax b x ax b b +-=--+-+-=-，所以，函数()y g x =的图象关于点()0,b -对称，且()23g x x a '=-.①当0a ≤时，()0g x '≥，函数()y g x =在区间[]1,1-上单调递增，则()()1111M f a b M f a b ⎧≥=--⎪⎨≥-=-+-⎪⎩，所以()()111111122a b a b a b a b M a a ----+---+-+-≥≥=-=-≥，此时，当0a =，11b -≤≤时，M 取最小值1；②当3a ≥时，对任意的[]1,1x ∈-，()0g x '≤，函数()y g x =在区间[]1,1-上单调递减， 则()()1111M f a b M f a b ⎧≥=--⎪⎨≥-=-+-⎪⎩，所以()()111111222a b a b a b a b M a a ----+---+-+-≥≥=-=-≥，此时，当3a =，22b -≤≤时，M 取最小值2； ③当0<<3a 时，令()0g x '=，得x =()0,1t =，列表如下：不妨设()00g b =-≥，则0b ≤，则()()()()33112211M f a b Mf t t b M f t t bMf a b⎧≥=--⎪≥=--⎪⎪⎨≥-=-⎪⎪≥-=-+-⎪⎩，()()()(){}max 1,,,1M f f t f t f ∴≥--，()()()200g t g t g -+=≥Q ，且()()g t g t <-，()()()g t g t f t ∴-≥=， ()()()11200g g g -+=≥Q ，若()()11g g -≥，则()()()111g g f -≥=，若()()11g g -<，则()10g >，但()()1g t g ->-，()()()()()()2333212*********g t g t b a b t a t t t t --=----=+-=+-=-+Q ，所以，()(){}()()11,02max ,11,12g t g t g g t t ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪-<<⎪⎩.当102t <≤时，()2211113134M g a b t b t ≥=--=--≥-≥，当且仅当0b =，12t ==时，即当34a =，0b =时，M 取得最小值14;当112t <<时，()33222M g t t b t ≥-=-≥>. 综上所述，当34a =，0b =时，M 取得最小值14，此时34a b +=.故答案为：34. 本题考查利用绝对值三次函数的最值求参数，解题的关键就是充分利用三次函数的单调性，找出绝对值三次函数最大值的可能值，并结合绝对值三角不等式的性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC .求证：（1）BC ∥平面AMN ； （2）平面AMN ⊥平面PBC .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.（1）证得MN ∥BC ，由线面平行的判定定理证明即可；（2）证得AM ⊥平面PBC . 由面面垂直的判定定理证明即可 【详解】（1）∵,M N 分别为棱,PB PC 的中点，∴MN ∥BC 又BC ⊄平面AMN ，∴BC ∥平面AMN . （2）∵PA AB =，点M 为棱PB 的中点， ∴AM PB ⊥，又平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ⋂平面PBC PB =，∴AM ⊥平面PBC . ∵AM ⊂平面AMN ，∴平面AMN ⊥平面PBC . 本题考查线面平行，面面垂直的判定，考查定理，是基础题16．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5cos 5A =. （1）若5a =，25c =，求b 的值； （2）若4B π=，求tan 2C 的值.【答案】（1）5b =；（2）3tan 24C =-. （1）利用余弦定理得出关于b 的二次方程，结合0b >，可求出b 的值；（2）利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出()cos cos C A B =-+的值，利用同角三角函数的基本关系求出tan C 的值，然后利用二倍角的正切公式可求出tan 2C 的值. 【详解】（1）在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=得，252022525b +-⨯=，即2450b b --=， 解得5b =或1b =-（舍），所以5b =；（2）由5cos5A=及0Aπ<<得，22525sin1cos1()5A A=-=-=，所以210 cos cos(())cos()(cos sin)4C A B A A Aπ=π-+=-+=--=，又因为0Cπ<<，所以2210310sin1cos1()10C C=-=-=，从而310sin10tan3cos1010CCC===，所以222tan233tan21tan134CCC⨯===---.本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.17．如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5.用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为1O，半径为r，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥1OO，记圆锥1OO体积为V.（1）将V表示成r的函数；（2）求V的最大值.【答案】（1）234()=π(3)9V r r r-，03r<<；（2）16π9.（1）求出SO，利用1SNO SAO:△△，求出1SO，可得出1443OO r=-，然后利用圆锥的体积公式可得出V关于r的函数表达式，结合实际情况求出该函数的定义域；（2）对函数234()=π(3)9V r r r-求导，求出该函数的极大值，利用极值与最值的关系可得出V的最大值.【详解】（1）在SAO∆中，2222534SO SA AO=-=-=，由1SNO SAO :△△可知，1SO r SO R =，所以143SO r =， 所以1443OO r =-，所以223144()π(4)π(3)339V r r r r r =-=-，03r <<；（2）由（1）得234()π(3)9V r r r =-，03r <<，所以24()π(63)9V r r r '=-，令()0V r '=，得2r =，当(0,2)r ∈时，()0V r '>，所以()V r 在(0,2)上单调递增； 当(2,3)r ∈时，()0V r '<，所以()V r 在(2,3)上单调递减. 所以当2r =时，()V r 取得最大值16π(2)9V =. 答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9. 本题考查圆锥体积的计算，同时也考查了利用导数求函数的最值，解题的关键就是求出函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，过点A 作直线l 与圆222:O x y b +=相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q .设直线l 的斜率为k .（1）用k 表示椭圆C 的离心率；（2）若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，求椭圆C 的离心率.【答案】（1）211e k =+（2）12. （1）由题意可得出直线l 的方程为0kx y ak --=，利用该直线与圆O 相切，得出圆心到直线l 的距离等于半径可得出2222b k a b=-，由此可计算出e 关于k 的关系式； （2）设椭圆C 的焦距为()20c c >，将直线l 的方程与椭圆C 的右准线方程联立，可求出点Q 的坐标，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，可求出点P 的坐标，再由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，结合（1）中的结论，可得出关于a 、c 的齐次等式，从而求出椭圆C 的离心率. 【详解】（1）直线l 的方程为()y k x a =-，即0kx y ak --=，因为直线l 与圆222O x y b +=：b =，故2222b k a b =-. 所以椭圆C的离心率e = （2）设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为2a x c=，由2()y k x a ax c =-⎧⎪⎨=⎪⎩得22()a a ac y k a k c c -=-=，所以22()(,)a k a ac Q c c -， 由22221()x y a b y k x a ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222324222()20b a k x a k x a k a b +-+-=， 解得322222p a k ab x b a k -=+，则32222222222()p a k ab ab k y k a b a k b a k --=-=++， 所以32222222222)a k ab ab kP b a k b a k--++（，， 因为0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，所以232222222222()20a a k ab k a ac ab k c b a k c b a k---⋅+⋅=++， 即22222()2()a a k b b k a c -=-，由（1）知，2222b k a b =-，所以224222222()()a b b a c a b a b a b--=--， 所以22a a c =-，即2a c =，所以12c a =，故椭圆C 的离心率为12. 本题考查椭圆离心率的计算，同时也考查了椭圆中向量的数量积的计算，解题的关键就是结合题意得出关于a 、b 、c 的齐次等式，考查计算能力，属于难题. 19．已知函数1()ln ()f x a x a x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R .（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，求a 的值；（2）若()f x 的导函数()f x '存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围；（3）当2a =时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）0a =；（2）()2,0e --；（3）存在，最大值为1-.（1）求出函数()y f x =的导数()f x '，由题意得出()11f '=-从而可求出实数a 的值； （2）令()21ln 0ax xf x x -+'==，可得知函数()1ln g x ax x =-+在()0,∞+上有两个零点，分0a ≥和0a <两种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =在区间()0,∞+上的单调性和极值，由题意转化为函数()y g x =极值相关的不等式，解出即可得出实数a 的取值范围；（3）将2a =代入函数()y f x =的解析式得出()12ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对该函数求导得出()221ln x xf x x-+'=，构造函数()21ln h x x x =-+，利用单调性结合零点存在定理找出函数()y f x =的极小值点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，并满足00ln 12x x =-，结合此关系式计算得出()()()0min 1,0f x f x =∈-，从而可得出整数λ的最大值. 【详解】（1）()2111()ln f x x a x x x'=+-，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=， 所以(1)11f a '=-=-，得0a =；（2）因为21ln ()ax xf x x -+'=存在两个不相等的零点.所以()1ln g x ax x =-+存在两个不相等的零点，则1()g x a x '=+.①当0a ≥时，()0g x '>，所以()y g x =单调递增，至多有一个零点 ②当0a <时，因为当1(0)x a ∈-，时，()0g x '>，()y g x =单调递增， 当1(+)x a∈-∞，时，()0g x '<，()y g x =单调递减，所以1x a=-时，max 11()()ln()2g x g a a =-=--.因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a-->，解得2e 0a --<<.因为2e 0a --<<，所以21e 1a->>.因为(1)10g a =-<，所以()y g x =在1(0)a -，上存在一个零点. 因为2e 0a --<<，所以211()a a->-.因为22111[()]ln()1g a a a -=-+-，设1t a=-，则22ln 1(e )y t t t =-->，因为20t y t-'=<，所以22ln 1(e )y t t t =-->单调递减， 所以()2222ln e e 13e 0y <--=-<，所以22111[()]ln()10g a a a-=-+-<，所以()y g x =在1()a-+∞，上存在一个零点.综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)--；（3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =-，()2211121ln ()ln 2x x f x x x x x x -+'=+-=，设()21ln h x x x =-+，则1()20h x x'=+>.所以()y h x =单调递增，且11()ln 022h =<，(1)10h =>，所以存在01(1)2x ∈，使得0()0h x =，因为当0(0)x x ∈，时，()0h x <，即()0f x '<，所以()y f x =单调递减； 当0(+)x x ∈∞，时，()0h x >，即()0f x '>，所以()y f x =单调递增， 所以0x x =时，()y f x =取得极小值，也是最小值，此时()0000000111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =-=--=-++，因为01(1)2x ∈，，所以0()(10)f x ∈-，， 因为()f x λ≥，且λ为整数，所以1λ≤-，即λ的最大值为1-.本题考查利用切线方程求参数、利用导数研究函数的零点，同时也考考查了利用导数研究不等式恒成立问题，涉及隐零点法的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.20．已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n ∈N ，都有11(0)n n a ka k +=-≠，数列{}1n a -是公比不为1的等比数列.（1）求实数k 的值；（2）设4,,1,,n n n n b a n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221mm S S -恰好为数列{}n b 中的项. 【答案】（1）2；（2）2.（1）根据递推公式求出2a 、3a ，由题意得出()()()2213111a a a -=--，求出k 的值，结合数列{}1n a -公比不为1的等比数列进行检验，进而得出实数k 的值；（2）求出4,,2,,n n n n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数利用奇偶分组法求出2m S 、21m S -，设()221m t m S b t N S *-=∈，可得知2210m t m Sb S -=>，从而可知1t =、3或t 为偶数，由31b =结合2211m m S S -≠可推出3t =不成立，然后分1t =和t 为偶数两种情况讨论，结合221mm S S -的取值范围可求出符合条件的正整数m 的值. 【详解】（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--， 因为{1}na -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或43k =， 当43k =时，143(3)3n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=， 所以数列{1}n a -的公比为1，不符合题意；当2k=时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}na -的公比1121n n a q a +-==-， 所以实数k 的值为2.（2）由（1）知12nn a -=，所以4,,2,,n nn n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数 则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+L2(41)(43)[4(21)]444m m =-+-++--++++L L144(4)3m m m +-=-+，则212244(4)3m m m mS S b m m --=-=-+，因为22+1324m m m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->， 且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设2210,mt m S b t S -=>∈*N ， 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=mm S b S -时，144(4)3344(4)3m mm m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤， 即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3， 验证2173S S =，433S S =，658723S S =得，当2m =时，413S b S =成立.②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m mm m mm m S S m m m m +---+==+--+--++， 设231244m m m m c -+-=，则211942214m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<；当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<L ，所以m c 的最小值为5191024c -=， 所以22130151911024m m S S -<<+<-+，令22214m m S b S -==，则2314312414mm m +=-+-+， 即231240m m -+-=，无整数解. 综上，正整数m 的值为2.本题考查利用等比数列的定义求参数、数列中的存在性问题，同时也涉及了奇偶分组法求和，考查分类讨论思想的应用，属于难题.21．已知矩阵231M t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为4.求矩阵M 的逆矩阵1M -. 【答案】113441122M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦由题意，先设矩阵M 的特征多项式为23()1λλλ--=--f t，由题意求出2t =，进而可求出结果. 【详解】矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t tλλλλλ--==-----.因为矩阵M 的一个特征值为4，所以方程()0f λ=有一根为4， 即(4)630f t =-=，所以2t =.所以2321M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以113441122M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 本题主要考查求矩阵的逆矩阵问题，熟记矩阵的特征多项式，会由特征值求出矩阵中的参数即可，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )12ρθθ+=，曲线C的参数方程为,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，θ∈R ）在曲线C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值. 【答案】点M 的坐标为()3,1.最小值将直线l 的方程化为普通方程，设点M的坐标为(),sin θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式求出点M 到直线l 距离的最小值，并求出对应的θ的值，进而可求出对应的点M 的坐标. 【详解】由:cos sin 120l ρθρθ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以l 的直角坐标方程为120x y +-=.在曲线C上取点()2sin M ϕϕ，，则点M 到l 的距离124sin 3d ϕπ-+===， 当6π=ϕ时，d 取最小值,此时点M 的坐标为()3,1. 本题考查利用椭圆的参数方程求点到直线距离的最值，对于这类问题，一般将椭圆上的点利用椭圆的参数方程表示，结合三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性求解，考查计算能力，属于中等题.23．已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，求111222x y y z z x+++++的最小值.【答案】3由题意得出()()()122213x y z x y y z z x ++=+++++=⎡⎤⎣⎦，然后将代数式()()()12223x y y z z x +++++⎡⎤⎣⎦与代数式111222x y y z z x +++++相乘，利用柯西不等式可求出111222x y y z z x+++++的最小值.【详解】因为x y z ，，都为正数，且1x y z ++=，所以由柯西不等式得， 1113()222x y y z z x +++++111()[(2)(2)(2)]222x y y z z x x y y z z x=++⋅++++++++ 2111(222)9222x y y z z x x y y z z x⋅++⋅++⋅+=+++≥，当且仅当13x y z ===时等号成立，所以111222x y y z z x +++++的最小值为3.本题考查利用柯西不等式求代数式的最值，解题的关键就是对代数式进行变形，考查计算能力，属于中等题.24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，1160BB C ︒∠=，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值； （2）求二面角1B AC C --的余弦值.【答案】（1）64；（2）77.（1）证明出AB ⊥平面11BB C C ，然后以点B 为坐标原点，分别以BA ，1BB 所在的直线为,x y 轴，建立空间直角坐标系B xyz -，设正方形11AA B B 的边长为2，利用空间向量法可计算出直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值；（2）计算出平面1ACC 的一个法向量1n u r ，以及平面1ABC 的一个法向量2n u u r，利用空间向量法可计算出二面角1B AC C --的余弦值. 【详解】（1）因为四边形11AA B B 为正方形，所以1AB BB ⊥，因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B Ç平面111BB C C BB =，AB Ì平面11AA B B ，所以AB ⊥平面11BB C C .以点B 为坐标原点，分别以BA ，1BB 所在的直线为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.不妨设正方形11AA B B 的边长为2，则()200A ，，，()1020B ，，. 在菱形11BB C C 中，因为1160BB C ∠=︒，所以1(013)C ，，，所以1(213)AC =-u u u u r，，. 因为平面11AA B B 的法向量为()001n =r，，，设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为α，则1sin |cos AC α=<u u u u r ，|3|6|4221n >==⨯r ， 即直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值为6；（2）由（1）可知，(0C -，，所以()1020CC =u u u u r ，，. 设平面1ACC 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r ，因为11110,0,n AC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u u v u v u u u u v 即()(()()111111,,2,10,,0200x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，取12x =，10y =，11z =，即101)n =u u r ，. 设平面1ABC 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r ，因为()2,0,0BA =u u u r，(1BC =u u u u r ，因为22100n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u u v ，所以()()()(222222,,2,0,00,,0x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，取()21n =-u u r . 设二面角1B AC C --的平面角为θ，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=-<>=-==⋅u r u u r u r u u r u r u u r ， 所以二面角1B AC C --本题考查利用空间向量法计算线面角和二面角，合理建系是关键，考查计算能力，属于中等题.25．已知n 为给定的正整数，设201223nn n x a a x a x a x ⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭L ，x ∈R . （1）若4n =，求01,a a 的值；（2）若13x =，求0()n k k k n k a x =-∑的值. 【答案】（1）01681a =，13227a =.（2）23n （1）利用二项式定理可求出0a 和1a 的值；（2）利用组合数公式得出11k k n n kC nC --=，可得出()00121213333n k k n k kn n n k k k k n n k k k n k a x nC nC --===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，然后利用二项式定理即可求得答案.【详解】（1）因为4n =，所以0404216C ()381a ==，1314232C ()327a ==； （2）当13x =时，21C ()()33k kn k k k n a x -=， 又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k kn n k n k k n k ---===---， 当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑； 当2n ≥时，0021()()C ()()33n n k k n k k k n k k n k a x n k -==-=-∑∑ 012121C ()()C ()()3333n n k n k k k n k k n n k k n k --===-∑∑ 1112121()C ()()3333n n k n k k n k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑ 11212()3333n n n n -=-+=，当1n =时，也符合. 所以0()n k k k n k a x =-∑的值为23n . 本题考查二项式定理求指定项的系数，同时也考查了利用二项式定理化简求值，解题的关键就是二项展开式通项和二项式定理的逆用，考查计算能力，属于中等题.。

2009届江苏省苏北十校期末联考高三数学试题2009.1必做题部分(时间120分钟,满分160分)一.填空题:本大题14小题,每小题5分,共70分.请将正确的答案填在答题纸上相应的横线上. 1. 若复数z 满足i z i 6)33(=-（i 是虚数单位），则z=__________.2. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}R x x y y B ∈-==),1(log |2，则=⋂B A ．3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S =-，则7a = .4. 已知⎪⎭⎫⎝⎛∈=2,0734sin παα其中，，则=+)3cos(πα ． 5. 一组数据中每个数据都减去80构成一组新数据，则这组新数据的平均数是2.1，方差是4.4，则原来一组数的方差为 .6. 定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上是增函数.若)2()(f a f ≥，则实数a 的取值范围是 .7. 函数223()f x x αα--=（常数Z α∈）为偶函数，且在(0,)+∞上是单调递减函数，则α的值为_________.8. 从集合{}2,1,1,2,3A =--中任取两个元素m 、n （m n ≠），则方程122=+ny m x 所对应的曲线表示焦点在y 轴上的双曲线的概率是 ．9. 已知,i j 为互相垂直的单位向量，2,a i j b i j λ=-=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____________.10.若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相切，则实数ab 的取值范围是 ．11. 定义：若对定义域D 上的任意实数x 都有()0f x =，则称函数()f x 为D 上的零函数．根据以上定义，“()f x 是D 上的零函数或()g x 是D 上的零函数”为“()f x 与()g x 的积函数是D 上的零函数”的 条件．12. 已知P 为抛物线x y 42=上一点，设P 到准线的距离为1d ，P 到点)4,1(A 的距离为2d ，则21d d +的最小值为________.13.已知函数2()(2f x x b x a b =++-是偶函数，则函数图像与y 轴交点的纵坐标的最大值是 ．14. 三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立,求a 的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”. 乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”. 丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”.参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a 的取值范围是 ．二.解答题:本大题6小题,共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本大题14分,第一小题7分,第二小题7分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A ABB 为菱形，160A AB ∠=︒，四边形11BCC B 为矩形，若AB BC ⊥且4AB =，3BC = ⑴求证：平面1ACB ⊥平面1ACB ； ⑵求三棱柱111ABC A B C -的体积.16. ( 本大题14分,第一小题7分,第二小题7分)已知二次函数x ax x f +=2)(，若对任意x 1、x 2∈R ，恒有2f()221x x +≤f(x 1)+f(x 2)成立，不等式f(x)<0的解集为A.(1)求集合A ；(2)设集合}|4||{a x x B <+=，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围.C 1117.( 本大题15分,第一小题7分,第二小题8分)已知1233,3,sin cos ,[0,2)z i z z i αααπ===+∈，123,,z z z 在平面上对应的点 为,,A B C .（1）若AC BC =，求α的值；（2）若1AC BC ⋅=- ，求22sin sin 21tan ααα++的值.18. ( 本大题15分,第一小题7分,第二小题8分)⑴在长度为a 的线段AB 上任意作一点C ，求CB CA ≤的概率；⑵若将长度为a 的线段截成三段，则三段长能围成一个三角形的概率有多大.19. ( 本大题16分,第一小题5分,第二小题5分,第三小题6分)如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点和上顶点分别为1F 、2F 、B ，我们称12F BF ∆为椭圆C 的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比.（1）已知椭圆221:14x C y +=和222:1164x y C +=，判断2C 与1C 是否 相似，如果相似则求出2C 与1C 的相似比，若不相似请说明理由； （2）写出与椭圆1C 相似且半短轴长为b 的椭圆b C 的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；（3）已知直线:1l y x =+,在椭圆b C 上是否存在两点M 、N 关于直线l 对称，若存在，则求出函数()f b MN =的解析式.20. ( 本大题16分,第一小题5分,第二小题5分,第三小题6分)已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，且满足：11743=⋅a a ，2252=+a a ． （1）求数列}{n a 的通项公式n a ； （2）若数列}{n b 是等差数列，且cn S b nn +=，求非零常数c ； （3）若(2)中的}{n b 的前n 项和为n T ，求证：11)9(6432+-+>-n nn n b n b b T数学附加题(时间30分钟,满分40分)一.选答题:本大题共4小题,请从这4题中选做2小题,如果多做,则按所做的前两题记分.每小题10分,共20分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 1．（几何证明选讲）如图，已知AD 是ΔABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交ΔABC 的外接圆于点F ，连结FB 、FC ． （1）求证：FB =FC ； （2）求证：FB 2=F A ·FD ；（3）若AB 是ΔABC 外接圆的直径，∠EAC =120︒， BC =6cm ，求AD 的长． 2．（不等式选讲）对于任意的实数(0)a a ≠和b ，不等式(12)a b a b a x x ++-≥-+-恒成立，试求实数x 的取值范围. 3．（矩阵与变换） 设,a b R ∈，若矩阵01a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦把直线l ：270x y +-=变换为另一直线'l ：9910x y +-=，求ab 的值.4．（坐标系与参数方程）从极点O 作直线与另一直线cos 4ρθ=相交于点M ，在OM 上取一点P ，使12OM OP ⋅=. ⑴求点P 的轨迹方程；⑵设R 为直线cos 4ρθ=上任意一点，试求RP 的最小值. 选做第_______题：FEDC B A选做第_______题：二.必答题:本大题共2小题,第一小题8分,第二小题12分,共20分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.5． 已知数列{}n a 满足11a =，且11429n n n n a a a a ++-+=(*n N ∈).⑴求234,,a a a 的值；⑵由⑴猜想的{}n a 通项公式，并给出证明.6．学校文艺队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人.设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且7(0)10P ξ>=. ⑴求文艺队的人数；⑵写出ξ的概率分布列并计算()E ξ.2009届苏北十校期末联考高三数学试题参考答案一.填空题: 1. i 2323+-2. ()+∞,03. 644. 1411-5. 4.46. (][),22,-∞-⋃+∞7. 1 8.310 9. 1(,2)(2,)2-∞-- 10. ]2121[，- 11. 充分非必要 12. 4 13. 4 14. ),1[+∞- 二.解答题:15.[解]：⑴略；⑵111ABC A B C V -=16. 解：(1)对任意x 1、x 2∈R ，由2212121)(21)2(2)()(x x a x x f x f x f -=+-+≥0成立. 要使上式恒成立，所以0≥a 。

江苏省苏北四市2020届高三上学期期末考试(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：1. 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑n i ＝1(x i －x)2，其中x ＝1n ∑ni ＝1x i ； 2. 圆锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是圆锥的高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|0<x<2}，B ＝{x|－1<x<1)，则A ∪B ＝________．S←0 I←1While I ＜6 I←I ＋1 S←S ＋I End While Print S2. 已知复数z 满足z 2＝－4，且z 的虚部小于0，则z ＝________．3. 若一组数据7，x ，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是________．4. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．5. 函数f(x)＝log 2x －2的定义域为________．6. 某学校高三年级有A ，B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________．7. 若关于x 的不等式x 2－mx ＋3<0的解集是(1，3)，则实数m 的值为________． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与渐近线的交点在抛物线y 2＝2px上，则实数p 的值为________．9. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＋a 9＝8，S 5＝－5，则S 15的值为________． 10. 已知函数y ＝3sin 2x 的图象与函数y ＝cos 2x 的图象相邻的三个交点分别是A ，B ，C ，则△ABC 的面积为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：x 2＋y 2－4x －8y ＋12＝0，圆N 与圆M 外切于点(0，m)，且过点(0，－2)，则圆N 的标准方程为______________．12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(0，1]时，f(x)＝－e ax (其中e 是自然对数的底数)．若f(2 020－ln 2)＝8，则实数a 的值为________． 13. 如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两个三等分点，AB →·AD →＝2AC →·AE →，则cos ∠ADE 的最小值为________．(第13题)14. 设函数f(x)＝|x 3－ax －b|，x ∈[－1，1]，其中a ，b ∈R .若f(x)≤M 恒成立，则当M 取得最小值时，a ＋b 的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，AP ＝AB ，点M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC.求证：(1) BC ∥平面AMN ；(2) 平面AMN ⊥平面PBC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝55. (1) 若a ＝5，c ＝25，求b 的值； (2) 若B ＝π4，求tan 2C 的值．如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5.用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为r.现要以截面为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥OO1，记圆锥OO1的体积为V.(1) 将V表示成r的函数；(2) 求V的最大值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右顶点为A ，过点A 作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q.设直线l 的斜率为k.(1) 用k 表示椭圆C 的离心率；(2) 若OP →·OQ →＝0，求椭圆C 的离心率．已知函数f(x)＝(a －12)ln x(a ∈R )．(1) 若曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y －1＝0，求a 的值； (2) 若f(x)的导函数f′(x)存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围；(3) 当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f(x)≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．已知数列{a n }的首项a 1＝3，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝ka n －1(k≠0)，数列{a n －1}是公比不为1的等比数列．(1) 求实数k 的值；(2) 设b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4－n ，n 为奇数，a n－1，n 为偶数，数列{b n }的前n 项和为S n ，求所有正整数m 的值，使得S 2mS 2m －1恰好为数列{b n }中的项．2020届高三模拟考试试卷(四)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23t 1的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵M －1.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝12，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，θ∈R )．在曲线C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值．C. (选修45：不等式选讲)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，求1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠BB 1C 1＝60°，平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C.(1) 求直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值； (2) 求二面角BAC 1C 的余弦值．23. 已知n 为给定的正整数，设(23＋x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，x ∈R .(1) 若n ＝4，求a 0，a 1的值；(2) 若x ＝13，求∑n k ＝0(n －k)a k x k 的值．2020届高三模拟考试试卷(四)(苏北四市)数学参考答案及评分标准1. {x|－1<x<2}2. －2i3. 454. 205. [4，＋∞)6. 127. 48. 149. 135 10. 32π11. (x ＋2)2＋y 2＝8 12. 3 13. 47 14. 3415. 证明：(1) 在△PBC 中，因为点M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN ∥BC.(3分)又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC ∥平面AMN.(6分)(2) 在△PAB 中，因为AP ＝AB ，点M 为棱PB 的中点，所以AM ⊥PB.(8分)因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB∩平面PBC ＝PB ，AM ⊂平面PAB ，所以AM ⊥平面PBC.(12分)又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC.(14分) 16. 解：(1) 在△ABC 中，由余弦定理b 2＋c 2－2bccos A ＝a 2，得b 2＋20－2×25×55b ＝25，即b 2－4b －5＝0，(4分) 解得b ＝5或b ＝－1(舍)，所以b ＝5.(6分) (2) 由cos A ＝55及0<A<π，得sin A ＝1－cos 2A ＝1－（55）2＝255，(8分) 所以cos C ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋π4)＝－22(cos A －sin A)＝1010.因为0<C<π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－（1010）2＝31010， 从而tan C ＝sin Ccos C ＝310101010＝3，(12分)所以tan 2C ＝2tan C 1－tan 2C ＝2×31－32＝－34.(14分)17. 解：(1) 在△SAO 中，SO ＝SA 2－AO 2＝52－32＝4.(2分)由△SNO 1∽△SAO 可知SO 1SO ＝r R ，所以SO 1＝43r ，(4分)所以OO 1＝4－43r ，所以V(r)＝13πr 2(4－43r)＝49π(3r 2－r 3)，0<r<3.(7分)(2) 由(1)得V(r)＝49π(3r 2－r 3)，0<r<3，所以V′(r)＝49π(6r －3r 2)，令V′(r)＝0，得r ＝2，(9分)当r ∈(0，2)时，V′(r)>0，所以V(r)在(0，2)上单调递增； 当r ∈(2，3)时，V′(r)<0，所以V(r)在(2，3)上单调递减． 所以当r ＝2时，V(r)取得最大值V(2)＝16π9.答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9.(14分)18. 解：(1) 直线l 的方程为y ＝k(x －a)，即kx －y －ak ＝0.因为直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切，所以|－ak|k 2＋1＝b ，故k 2＝b 2a 2－b 2.所以椭圆C 的离心率e ＝1－b 2a2＝1k 2＋1.(4分) (2) 设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为x ＝a 2c.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －a ），x ＝a 2c 得y ＝k(a 2c －a)＝k a 2－ac c ，所以Q(a 2c ，k （a 2－ac ）c )．(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝k （x －a ）得(b 2＋a 2k 2)x 2－2a 3k 2x ＋a 4k 2－a 2b 2＝0， 解得x P ＝a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2，则y P ＝k(a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2－a)＝－2ab 2k b 2＋a 2k 2，所以P(a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2，－2ab 2kb 2＋a 2k2)．(10分)因为OP →·OQ →＝0，所以a 2c ·a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2＋k （a 2－ac ）c ·－2ab 2k b 2＋a 2k 2＝0，即a(a 2k 2－b 2)＝2b 2k 2(a －c)．(12分) 由(1)知k 2＝b 2a 2－b 2，所以a(a 2b 2a 2－b 2－b 2)＝2b 4（a －c ）a 2－b 2， 所以a ＝2a －2c ，即a ＝2c ，所以c a ＝12，故椭圆C 的离心率为12.(16分)19. 解：(1) f′(x)＝1x 2ln x ＋(a －1x )1x.因为曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y －1＝0，所以f′(1)＝a －1＝－1，解得a ＝0.(2分)(2) 因为f′(x)＝ax －1＋ln xx 2存在两个不相等的零点，所以g(x)＝ax －1＋ln x 存在两个不相等的零点，则g′(x)＝1x ＋a.①当a≥0时，g′(x)>0，所以g(x)单调递增，至多有一个零点．(4分) ②当a<0时，因为当x ∈(0，－1a )时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x ∈(－1a ，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以x ＝－1a 时，g(x)max ＝g(－1a )＝ln(－1a)－2.(6分)因为g(x)存在两个零点，所以ln(－1a )－2>0，解得－e －2<a<0.(7分)因为－e －2<a<0，所以－1a>e 2>1.因为g(1)＝a －1<0，所以g(x)在(0，－1a )上存在一个零点．(8分)因为－e －2<a<0，所以(－1a )2>－1a.因为g((－1a )2)＝ln(－1a )2＋1a －1，设t ＝－1a ，则y ＝2ln t －t －1(t>e 2)．因为y′＝2－tt<0，所以y ＝2ln t －t －1(t>e 2)单调递减， 所以y<2ln(e 2)－e 2－1＝3－e 2<0，所以g((－1a )2)＝ln(－1a )2＋1a －1<0，所以g(x)在(－1a，＋∞)上存在一个零点．综上可知，实数a 的取值范围是(－e －2，0)．(10分)(3) 当a ＝2时，f(x)＝(2－1x )ln x ，f′(x)＝1x 2ln x ＋(2－1x )1x ＝2x －1＋ln xx 2，设g(x)＝2x －1＋ln x ，则g′(x)＝1x ＋2>0，所以g(x)单调递增，且g(12)＝ln 12<0，g(1)＝1>0，所以存在x 0∈(12，1)使得g(x 0)＝0.(12分)因为当x ∈(0，x 0)时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0，所以f(x)单调递增， 所以x ＝x 0时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时f(x 0)＝(2－1x 0)ln x 0＝(2－1x 0)(1－2x 0)＝－(4x 0＋1x 0)＋4.(14分)因为x 0∈(12，1)，所以f(x 0)∈(－1，0)．因为f(x)≥λ，且λ为整数，所以λ≤－1，即λ的最大值为－1.(16分) 20. 解：(1) 由a n ＋1＝ka n －1，a 1＝3可知，a 2＝3k －1，a 3＝3k 2－k －1.因为{a n －1}为等比数列，所以(a 2－1)2＝(a 1－1)(a 3－1)，即(3k －2)2＝2×(3k 2－k －2)，即3k 2－10k ＋8＝0，解得k ＝2或k ＝43.(2分)当k ＝43时，a n ＋1－3＝43(a n －3)，所以a n ＝3，则a n －1＝2，所以数列{a n －1}的公比为1，不符合题意；当k ＝2时，a n ＋1－1＝2(a n －1)，所以数列{a n －1}的公比q ＝a n ＋1－1a n －1＝2，所以实数k 的值为2.(4分) (2) 由(1)知a n －1＝2n ，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4－n ， n 为奇数，2n ， n 为偶数，则S 2m ＝(4－1)＋4＋(4－3)＋42＋…＋[4－(2m －1)]＋4m＝(4－1)＋(4－3)＋...＋[4－(2m －1)]＋4＋42＋ (4)＝m(4－m)＋4m ＋1－43，(6分)则S 2m －1＝S 2m －b 2m ＝m(4－m)＋4m －43.因为b 2m ＋b 2m ＋1＝3－2m ＋4m ，又(b 2m ＋2＋b 2m ＋3)－(b 2m ＋b 2m ＋1)＝3×4m －2>0， 且b 2＋b 3＝5>0，b 1＝3>0，所以S 2m －1>0，则S 2m >0. 设S 2mS 2m －1＝b t >0，t ∈N *，(8分) 则t ＝1，3或t 为偶数，因为b 3＝1不可能，所以t ＝1或t 为偶数．①当S 2mS 2m －1＝b 1时，m （4－m ）＋4m ＋1－43m （4－m ）＋4m －43＝3，化简得6m 2－24m ＋8＝－4m ≤－4， 即m 2－4m ＋2≤0，所以m 可能取值为1，2，3，验证S 2S 1＝73，S 4S 3＝3，S 6S 5＝8723，得当m ＝2时，S 4S 3＝b 1成立．(12分)②当t 为偶数时，S 2m S 2m －1＝m （4－m ）＋4m ＋1－43m （4－m ）＋4m －43＝1＋3－3m 2＋12m －44m ＋1， 设c m ＝－3m 2＋12m －44m ，则c m ＋1－c m ＝9m 2－42m ＋214m ＋1. 由①知m>3，当m ＝4时，c 5－c 4＝－345<0；当m>4时，c m ＋1－c m >0，所以c 4>c 5<c 6<…，所以c m 的最小值为c 5＝－191 024，所以0<S 2m S 2m －1<1＋3－191 024＋1<5.令S 2m S 2m －1＝4＝b 2，则1＋3－3m 2＋12m －44m＋1＝4，即－3m 2＋12m －4＝0，无整数解． 综上，正整数m 的值2.(16分)2020届高三模拟考试试卷(苏北四市) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－t λ－1＝(λ－2)(λ－1)－3t.(2分) 因为矩阵M 的一个特征值为4，所以f(4)＝6－3t ＝0，所以t ＝2.(5分)所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×1－3×2－32×1－3×2－22×1－3×222×1－3×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 34 12－12.(10分) B. 解：由l ：ρcos θ＋ρsin φ－12＝0，及x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以l 的直角坐标方程为x ＋y －12＝0. (2分)在曲线C 上取点M(23cos φ，2sin φ)，则点M 到l 的距离 d ＝|23cos φ＋2sin φ－12|2＝⎪⎪⎪⎪4sin （φ＋π3）－122＝12－4sin （φ＋π3）2，(6分)当φ＝π6时，d 取最小值42，(8分)此时点M 的坐标为(3，1)．(10分)C. 解：因为x ，y ，z 都为正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以由柯西不等式，得3(1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x)＝(1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x )·[(x ＋2y)＋(y ＋2z)＋(z ＋2x)](5分) ≥(1x ＋2y·x ＋2y ＋1y ＋2z·y ＋2z ＋1z ＋2x·z ＋2x)2＝9， 当且仅当x ＝y ＝z ＝13时等号成立，所以1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x的最小值为3.(10分)22. 解：(1) 因为四边形AA 1B 1B 为正方形，所以AB ⊥BB 1.因为平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ，平面AA 1B 1B∩平面BB 1C 1C ＝BB 1， AB ⊂平面AA 1B 1B ，所以AB ⊥平面BB 1C 1C. (2分)以点B 为坐标原点，分别以BA ，BB 1所在的直线为x ，y 轴，以过点B 且垂直于平面AA 1B 1B 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.不妨设正方形AA 1B 1B 的边长为2， 则A(2，0 ，0)，B 1(0，2，0)．在菱形BB 1C 1C 中，因为∠BB 1C 1＝60°，所以C 1(0，1，3)，所以AC 1→＝(－2，1，3)． 因为平面AA 1B 1B 的一个法向量为n ＝(0，0，1)， 设直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈AC 1→，n 〉|＝|3|22×1＝64，即直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值为64.(6分) (2) 由(1)可知，C(0，－1，3)，所以CC 1→＝(0，2，0)． 设平面ACC 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，因为⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC 1→＝0，n 1·CC 1→＝0，即⎩⎨⎧（x 1，y 1，z 1）·（－2，1，3）＝0，（x 1，y 1，z 1）·（0，2，0）＝0，取x 1＝32，y 1＝0，z 1＝1，即n 1＝(32，0，1)． 设平面ABC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 因为BA →＝(2，0，0)，BC 1→＝(0，1, 3)，所以⎩⎨⎧（x 2，y 2，z 2）·（2，0，0）＝0，（x 2，y 2，z 2）·（0，1，3）＝0，取n 2＝(0，3，－1)．(8分)设二面角BAC 1C 的平面角为θ，则cos θ＝－cos 〈n 1，n 2〉＝－n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－－134＋1·3＋1＝77， 所以二面角BAC 1C 的余弦值为77.(10分) 23. 解：(1) 因为n ＝4，所以a 0＝C 04(23)4＝1681，a 1＝C 14(23)3＝3227.(2分) (2) 当x ＝13时，a k x k ＝C k n (23)n －k (13)k， 因为kC k n ＝k n ！k ！（n －k ）！＝n （n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝nC k －1n －1，(4分)＝n －13n(23＋13)n －1＝23n ，当n ＝1时，也符合． 所以(n －k)a k x k 的值为23n.(10分)。

江苏省苏北四市2020届高三数学上学期期末考试试题(满分160分，考试时间120分钟)2020．1 参考公式：1. 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑n i ＝1(x i －x)2，其中x ＝1n ∑n i ＝1x i ；2. 圆锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是圆锥的高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|0<x<2}，B ＝{x|－1<x<1)，则A∪B＝________． S←0 I ←1While I ＜6 I←I＋1 S←S＋I End While Print S(第4题)2. 已知复数z 满足z 2＝－4，且z 的虚部小于0，则z ＝________．3. 若一组数据7，x ，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是________．4. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．5. 函数f(x)＝log 2x －2的定义域为________．6. 某学校高三年级有A ，B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________．7. 若关于x 的不等式x 2－mx ＋3<0的解集是(1，3)，则实数m 的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与渐近线的交点在抛物线y 2＝2px 上，则实数p 的值为________．9. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＋a 9＝8，S 5＝－5，则S 15的值为________． 10. 已知函数y ＝3sin 2x 的图象与函数y ＝cos 2x 的图象相邻的三个交点分别是A ，B ，C ，则△ABC 的面积为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：x 2＋y 2－4x －8y ＋12＝0，圆N 与圆M 外切于点(0，m)，且过点(0，－2)，则圆N 的标准方程为______________．12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，当x∈(0，1]时，f(x)＝－e ax(其中e 是自然对数的底数)．若f(2 020－ln 2)＝8，则实数a 的值为________．(第13题)13. 如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两个三等分点，AB →·AD →＝2AC →·AE →，则cos ∠ADE 的最小值为________．14. 设函数f(x)＝|x 3－ax －b|，x ∈[－1，1]，其中a ，b ∈R .若f(x)≤M 恒成立，则当M 取得最小值时，a ＋b 的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 如图，在三棱锥PABC 中，AP ＝AB ，点M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，平面PAB⊥平面PBC.求证：(1) BC∥平面AMN ；(2) 平面AMN⊥平面PBC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝55. (1) 若a ＝5，c ＝25，求b 的值；(2) 若B ＝π4，求tan 2C 的值．如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5.用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为r.现要以截面为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥OO1，记圆锥OO1的体积为V.(1) 将V表示成r的函数；(2) 求V的最大值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右顶点为A ，过点A 作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q.设直线l 的斜率为k.(1) 用k 表示椭圆C 的离心率；(2) 若OP →·OQ →＝0，求椭圆C 的离心率．已知函数f(x)＝(a －12)ln x (a∈R )．(1) 若曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y －1＝0，求a 的值； (2) 若f(x)的导函数f′(x)存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围；(3) 当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f(x)≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．已知数列{a n }的首项a 1＝3，对任意的n∈N *，都有a n ＋1＝ka n －1(k≠0)，数列{a n －1}是公比不为1的等比数列．(1) 求实数k 的值；(2) 设b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4－n ，n 为奇数，a n －1，n 为偶数，数列{b n }的前n 项和为S n ，求所有正整数m 的值，使得S 2mS 2m －1恰好为数列{b n }中的项．2020届高三模拟考试试卷(四)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23t 1的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵M －1.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝12，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，θ∈R )．在曲线C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值．C. (选修45：不等式选讲)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，求1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠BB 1C 1＝60°，平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C.(1) 求直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值； (2) 求二面角BAC 1C 的余弦值．23. 已知n 为给定的正整数，设(23＋x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，x ∈R .(1) 若n ＝4，求a 0，a 1的值；(2) 若x ＝13，求∑nk ＝0(n －k)a k x k的值．2020届高三模拟考试试卷(四)(苏北四市)数学参考答案及评分标准1. {x|－1<x<2}2. －2i3. 454. 205. [4，＋∞)6. 127. 48. 14 9. 13510.32π 11. (x ＋2)2＋y 2＝8 12. 3 13. 47 14. 3415. 证明：(1) 在△PBC 中，因为点M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN∥BC.(3分) 又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC∥平面AMN.(6分)(2) 在△PAB 中，因为AP ＝AB ，点M 为棱PB 的中点，所以AM⊥PB.(8分) 因为平面PAB⊥平面PBC ，平面PA B∩平面PBC ＝PB ，AM ⊂平面PAB ，所以AM⊥平面PBC.(12分)又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN⊥平面PBC.(14分)16. 解：(1) 在△ABC 中，由余弦定理b 2＋c 2－2bccos A ＝a 2，得 b 2＋20－2×25×55b ＝25，即b 2－4b －5＝0，(4分) 解得b ＝5或b ＝－1(舍)，所以b ＝5.(6分) (2) 由cos A ＝55及0<A<π，得sin A ＝1－cos 2A ＝1－（55）2＝255，(8分) 所以cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋π4)＝－22(cos A －sin A)＝1010.因为0<C<π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－（1010）2＝31010， 从而tan C ＝sin Ccos C ＝310101010＝3，(12分)所以tan 2C ＝2tan C 1－tan 2C ＝2×31－32＝－34.(14分) 17. 解：(1) 在△SAO 中，SO ＝SA 2－AO 2＝52－32＝4.(2分)由△SNO 1∽△SAO 可知SO 1SO ＝r R ，所以SO 1＝43r ，(4分)所以OO 1＝4－43r ，所以V(r)＝13πr 2(4－43r)＝49π(3r 2－r 3)，0<r<3.(7分)(2) 由(1)得V(r)＝49π(3r 2－r 3)，0<r<3，所以V′(r)＝49π(6r －3r 2)，令V′(r)＝0，得r ＝2，(9分)当r∈(0，2)时，V ′(r)>0，所以V(r)在(0，2)上单调递增； 当r∈(2，3)时，V ′(r)<0，所以V(r)在(2，3)上单调递减．所以当r ＝2时，V(r)取得最大值V(2)＝16π9.答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9.(14分)18. 解：(1) 直线l 的方程为y ＝k(x －a)，即kx －y －ak ＝0.因为直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切，所以|－ak|k 2＋1＝b ，故k 2＝b 2a 2－b 2.所以椭圆C 的离心率e ＝1－b2a2＝1k 2＋1.(4分) (2) 设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为x ＝a2c.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －a ），x ＝a 2c得y ＝k(a 2c －a)＝k a 2－ac c ，所以Q(a 2c ，k （a 2－ac ）c )．(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝k （x －a ）得(b 2＋a 2k 2)x 2－2a 3k 2x ＋a 4k 2－a 2b 2＝0， 解得x P ＝a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2，则y P ＝k(a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2－a)＝－2ab 2k b 2＋a 2k 2，所以P(a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2，－2ab 2kb 2＋a 2k2)．(10分)因为OP →·OQ →＝0，所以a 2c ·a 3k 2－ab 2b 2＋a 2k 2＋k （a 2－ac ）c ·－2ab 2k b 2＋a 2k 2＝0，即a(a 2k 2－b 2)＝2b 2k 2(a －c)．(12分)由(1)知k 2＝b 2a 2－b 2，所以a(a 2b 2a 2－b 2－b 2)＝2b 4（a －c ）a 2－b2， 所以a ＝2a －2c ，即a ＝2c ，所以c a ＝12，故椭圆C 的离心率为12.(16分)19. 解：(1) f′(x)＝1x 2ln x ＋(a －1x )1x.因为曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y －1＝0，所以f′(1)＝a －1＝－1，解得a ＝0.(2分)(2) 因为f′(x)＝ax －1＋ln xx2存在两个不相等的零点， 所以g(x)＝ax －1＋ln x 存在两个不相等的零点，则g′(x)＝1x ＋a.①当a≥0时，g ′(x)>0，所以g(x)单调递增，至多有一个零点．(4分) ②当a<0时，因为当x∈(0，－1a )时，g ′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(－1a ，＋∞)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减，所以x ＝－1a 时，g(x)max ＝g(－1a )＝ln(－1a)－2.(6分)因为g(x)存在两个零点，所以ln(－1a )－2>0，解得－e －2<a<0.(7分)因为－e －2<a<0，所以－1a>e 2>1.因为g(1)＝a －1<0，所以g(x)在(0，－1a )上存在一个零点．(8分)因为－e －2<a<0，所以(－1a )2>－1a.因为g((－1a )2)＝ln(－1a )2＋1a －1，设t ＝－1a ，则y ＝2ln t －t －1(t>e 2)．因为y′＝2－t t<0，所以y ＝2ln t －t －1(t>e 2)单调递减，所以y<2ln(e 2)－e 2－1＝3－e 2<0，所以g((－1a )2)＝ln(－1a )2＋1a －1<0，所以g(x)在(－1a，＋∞)上存在一个零点．综上可知，实数a 的取值范围是(－e －2，0)．(10分)(3) 当a ＝2时，f(x)＝(2－1x )ln x ，f ′(x)＝1x 2ln x ＋(2－1x )1x ＝2x －1＋ln xx 2， 设g(x)＝2x －1＋ln x ，则g′(x)＝1x ＋2>0，所以g(x)单调递增，且g(12)＝ln 12<0，g(1)＝1>0，所以存在x 0∈(12，1)使得g(x 0)＝0.(12分)因为当x∈(0，x 0)时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)单调递减； 当x∈(x 0，＋∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0，所以f(x)单调递增， 所以x ＝x 0时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时f(x 0)＝(2－1x 0)ln x 0＝(2－1x 0)(1－2x 0)＝－(4x 0＋1x 0)＋4.(14分)因为x 0∈(12，1)，所以f(x 0)∈(－1，0)．因为f(x)≥λ，且λ为整数，所以λ≤－1，即λ的最大值为－1.(16分)20. 解：(1) 由a n ＋1＝ka n －1，a 1＝3可知，a 2＝3k －1，a 3＝3k 2－k －1.因为{a n －1}为等比数列，所以(a 2－1)2＝(a 1－1)(a 3－1)，即(3k －2)2＝2×(3k 2－k －2)，即3k 2－10k ＋8＝0，解得k ＝2或k ＝43.(2分)当k ＝43时，a n ＋1－3＝43(a n －3)，所以a n ＝3，则a n －1＝2，所以数列{a n －1}的公比为1，不符合题意；当k ＝2时，a n ＋1－1＝2(a n －1)，所以数列{a n －1}的公比q ＝a n ＋1－1a n －1＝2，所以实数k 的值为2.(4分)(2) 由(1)知a n －1＝2n，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4－n ， n 为奇数，2n ， n 为偶数，则S 2m ＝(4－1)＋4＋(4－3)＋42＋…＋[4－(2m －1)]＋4m＝(4－1)＋(4－3)＋...＋[4－(2m －1)]＋4＋42＋ (4)＝m(4－m)＋4m ＋1－43，(6分) 则S 2m －1＝S 2m －b 2m ＝m(4－m)＋4m－43.因为b 2m ＋b 2m ＋1＝3－2m ＋4m，又(b 2m ＋2＋b 2m ＋3)－(b 2m ＋b 2m ＋1)＝3×4m－2>0， 且b 2＋b 3＝5>0，b 1＝3>0，所以S 2m －1>0，则S 2m >0. 设S 2m S 2m －1＝b t >0，t ∈N *，(8分) 则t ＝1，3或t 为偶数，因为b 3＝1不可能，所以t ＝1或t 为偶数． ①当S 2m S 2m －1＝b 1时，m （4－m ）＋4m ＋1－43m （4－m ）＋4m－43＝3，化简得6m 2－24m ＋8＝－4m≤－4， 即m 2－4m ＋2≤0，所以m 可能取值为1，2，3，验证S 2S 1＝73，S 4S 3＝3，S 6S 5＝8723，得当m ＝2时，S 4S 3＝b 1成立．(12分)②当t 为偶数时，S 2m S 2m －1＝m （4－m ）＋4m ＋1－43m （4－m ）＋4m －43＝1＋3－3m 2＋12m －44m＋1， 设c m ＝－3m 2＋12m －44m ，则c m ＋1－c m ＝9m 2－42m ＋214m ＋1. 由①知m>3，当m ＝4时，c 5－c 4＝－345<0；当m>4时，c m ＋1－c m >0，所以c 4>c 5<c 6<…，所以c m 的最小值为c 5＝－191 024，所以0<S 2m S 2m －1<1＋3－191 024＋1<5.令S 2m S 2m －1＝4＝b 2，则1＋3－3m 2＋12m －44m＋1＝4，即－3m 2＋12m －4＝0，无整数解． 综上，正整数m 的值2.(16分)2020届高三模拟考试试卷(苏北四市) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－t λ－1＝(λ－2)(λ－1)－3t.(2分)因为矩阵M 的一个特征值为4，所以f(4)＝6－3t ＝0，所以t ＝2.(5分)所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×1－3×2－32×1－3×2－22×1－3×222×1－3×2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1434 12－12.(10分) B. 解：由l ：ρcos θ＋ρsin φ－12＝0，及x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以l 的直角坐标方程为x ＋y －12＝0. (2分)在曲线C 上取点M(23cos φ，2sin φ)，则点M 到l 的距离d ＝|23cos φ＋2sin φ－12|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin （φ＋π3）－122＝12－4sin （φ＋π3）2，(6分)当φ＝π6时，d 取最小值42，(8分)此时点M 的坐标为(3，1)．(10分)C. 解：因为x ，y ，z 都为正数，且x ＋y ＋z ＝1， 所以由柯西不等式，得3(1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x)＝(1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x )·[(x＋2y)＋(y ＋2z)＋(z ＋2x)](5分) ≥(1x ＋2y·x ＋2y ＋1y ＋2z·y ＋2z ＋1z ＋2x·z ＋2x)2＝9， 当且仅当x ＝y ＝z ＝13时等号成立，所以1x ＋2y ＋1y ＋2z ＋1z ＋2x的最小值为3.(10分)22. 解：(1) 因为四边形AA 1B 1B 为正方形，所以AB⊥BB 1.因为平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ，平面AA 1B 1B ∩平面BB 1C 1C ＝BB 1， AB ⊂平面AA 1B 1B ，所以AB⊥平面BB 1C 1C. (2分)以点B 为坐标原点，分别以BA ，BB 1所在的直线为x ，y 轴，以过点B 且垂直于平面AA 1B 1B 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.不妨设正方形AA 1B 1B 的边长为2， 则A(2，0 ，0)，B 1(0，2，0)．在菱形BB 1C 1C 中，因为∠BB 1C 1＝60°，所以C 1(0，1，3)，所以AC 1→＝(－2，1，3)． 因为平面AA 1B 1B 的一个法向量为n ＝(0，0，1)， 设直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈AC 1→，n 〉|＝|3|22×1＝64，即直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值为64.(6分) (2) 由(1)可知，C(0，－1，3)，所以CC 1→＝(0，2，0)． 设平面ACC 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，因为⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC 1→＝0，n 1·CC 1→＝0，即⎩⎨⎧（x 1，y 1，z 1）·（－2，1，3）＝0，（x 1，y 1，z 1）·（0，2，0）＝0，取x 1＝32，y 1＝0，z 1＝1，即n 1＝(32，0，1)． 设平面ABC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 因为BA →＝(2，0，0)，BC 1→＝(0，1, 3)，所以⎩⎨⎧（x 2，y 2，z 2）·（2，0，0）＝0，（x 2，y 2，z 2）·（0，1，3）＝0，取n 2＝(0，3，－1)．(8分)设二面角BAC 1C 的平面角为θ，则cos θ＝－cos 〈n 1，n 2〉＝－n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－－134＋1·3＋1＝77， 所以二面角BAC 1C 的余弦值为77.(10分) 23. 解：(1) 因为n ＝4，所以a 0＝C 04(23)4＝1681，a 1＝C 14(23)3＝3227.(2分)(2) 当x ＝13时，a k x k ＝C k n (23)n －k (13)k，因为kC kn ＝kn ！k ！（n －k ）！＝n （n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝nC k －1n －1，(4分)＝n －13n(23＋13)n －1＝23n ，当n ＝1时，也符合． 所以(n －k)a k x k的值为23n.(10分)。

徐州市2019～2020学年度高三年级第一次质量检测数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{}02A x x =<<，{}11B x x =-<<，则A B =U _________.2.已知复数z 满足24z =-，且z 的虚部小于0，则z =_________.3.若一组数据7，x ，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是______.4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_________.5.函数2()log 2f x x -的定义域是 ．6.某学校高三年级有A 、B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________.7.若关于x 的不等式230x mx -+<的解集是()1,3，则实数m 的值为_____.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为________.9.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，298a a +=，55S =-，则15S 的值为_________. 10.已知函数32y x =的图象与函数cos 2y x =的图象相邻的三个交点分别是A 、B 、C ，则ABC ∆的面积为________.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:48120M x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切于点()0,m ，且过点()0,2-，则圆N 标准方程为_________.12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，当(]0,1x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数，若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为_____.13.如图，在ABC ∆中，D 、E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则cos ADE ∠的最小值为________.14.设函数()3f x x ax b =--，[]1,1x ∈-，其中a 、b ∈R .若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，+a b 的值为______.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC . 求证：（1）BC ∥平面AMN ；（2）平面AMN ⊥平面PBC .16.在ABC ∆中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，且5cos A =. （1）若5a =，25c =，求b 的值；（2）若4B π=，求tan 2C 值.17.如图，在圆锥SO 中，底面半径R 为3，母线长l 为5.用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为1O ，半径为r ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥1OO ，记圆锥1OO 体积为V .（1）将V 表示成r 的函数；（2）求V 的最大值.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，过点A 作直线l 与圆222:O x y b +=相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q .设直线l 的斜率为k .（1）用k 表示椭圆C 的离心率；（2）若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，求椭圆C 的离心率. 19.已知函数1()ln ()f x a x a x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R . （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，求a 的值；（2）若()f x 的导函数()f x '存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围；（3）当2a =时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立？若存在，求出λ的最大值；若。

江苏省苏北四市2022届高三数学上学期第一次质量检测（期末）试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =_____.答案：{12}x x -<< 解：由题意直接求解即可得AB ={12}x x -<<2.已知复数z 满足24z =-，且z 的虚部小于0，则z =_____. 答案：2i -解: 24z =-,则2z i =±，又因为z 的虚部小于0，则2z i =- 3.若一组数据7,,6,8,8x 的平均数为7，则该组数据的方差是_____. 答案：45解：7++6+8+875x = 解得6x =，222222(77)(67)(67)(87)(87)455S -+-+-+-+-==4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_____. 答案：205.函数2()log 2f x x =-的定义域为_____. 答案：[4,+)∞解：由题意得：2log 2x x >⎧⎨≥⎩，解得4x ≥，所以函数的定义域为[4,+)∞6.某学校高三年级有,A B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为______. 答案：12解：22222222212..A P A A A ==7.若关于x 的不等式230x mx -+<的解集是(1,3)，则实数m 的值为______. 答案：4解：由题意得：221303330m m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得4m =8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为______. 答案：14解：由题意得：双曲线右准线与渐近线的交点为33(,)22±，代入22y px =得：14p =9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，298a a +=，55S =-，则15S 的值为_____. 答案：135解：298a a +=，55S =-，则388a a +=，355a =-，解得：31a =-，89a = 因为158********S a ==⨯=10.已知函数3sin 2y x =的图象与函数cos2y x =的图象相邻的三个交点分别是,,A B C ，则ABC ∆的面积为_____. 答案：3π211.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:48120M x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切与点(0,)m ，且过点(0,2)-，则圆N 的标准方程为______.答案：22(2)8x y ++=12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，当(0,1]x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若(2020ln 2)8f -=，则实数a 的值为_____. 答案：3解：由题意得：4T = ，ln 2(2020ln 2)(ln 2)(ln 2)28a a f f f e -=-=-===，解得：3a =13.如图，在ABC ∆中，,D E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos ADE ∠的最小值为____.答案：47解：323(2)2(2)AB AD AC AE AB AB AC AC AB AC ⋅=⋅⇒⋅+=⋅+ 22222424c AB AC b AB AC c b =⋅+⇒⋅=- 222222()(2)2cos |||2|442AB AC AB AC c b AB ACADE AB AC AB AC c b AB AC b c AB AC-⋅+--⋅∠==-⋅+++⋅⋅+-⋅2222247(45)(3)b c b c b =≥--+14.设函数3()||f x x ax b =--，[1,1]x ∈-，其中,a b R ∈.若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，a b +的值为______.答案：34方法一：(1)|1|111()||282111()||282M f a b M f a b M f a b ⎧⎪≥=--⎪⎪≥=--⎨⎪⎪≥-=-+-⎪⎩所以111111362(1)()3()2|1|||3||2282822M f f f a b a b a b ≥+-+≥--+-+-+--≥当且仅当0b =，34a =时，上述等号成立，所以M 取最小值时，34a b +=. 方法二：由对称性可知，M 最小时，0b =，且3min ()1x ax a -=-(,(0,1))a x ∈ 所以3+1(1)x a x ≥+，即2min 3(1)4a x x =-+=，则34a b += 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AP AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC . （1）求证：BC ∥平面AMN ； （2）求证：平面AMN ⊥平面PBC .解：（1）在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN // BC ． ………………………………3分 又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC //平面AMN ．…………………………6分 （2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点，所以AM PB ⊥．………………………………8分又因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB 平面PBC PB =，AM ⊂平面PAB ， 所以AM ⊥平面PBC ．…………………………………………………………12分 又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC ． …………………………14分16. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且5cos A =. （1）若5a =，25c =b 的值； （2）若4B π=，求tan2C 的值.解：（1）在ABC △中，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=得，252022525b +-⨯=，即2450b b --=， …………………………4分 解得5b =或1b =-（舍），所以5b =． ………………………………………6分（2）由5cos 5A =及0A <<π得，22525sin 1cos 1()55A A =-=-=，…8分 所以210cos cos(())cos()(cos sin )4210C A B A A A π=π-+=-+=--=， 又因为0C <<π，所以2210310sin 1cos 1()1010C C =-=-=， 从而310sin 10tan 3cos 1010C C C ===，………………………………………………12分所以222tan 233tan 21tan 134C C C ⨯===---．………………………………………14分17. （本小题满分14分）如图，在圆锥SO 中，底面半径R 为3，母线长l 为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为1O ，半径为r ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥1OO ，记圆锥1OO 的体积为V . （1）将V 表示成r 的函数； （2）求V 得最大值.解：（1）在SAO △中，2222534SO SA AO =--=， …………………………2分由1SNO △∽SAO △可知，1SO r SO R=，所以143SO r =，……………………4分所以1443OO r =-，所以223144()π(4)π(3),03339V r r r r r r =-=-<<．…7分（2）由（1）得234()π(3),039V r r r r =-<<，所以24()π(63)9V r r r '=-，令()0V r '=，得2r =，………………………9分当(0,2)r ∈时，()0V r '>，所以()V r 在(0,2)上单调递增； 当(2,3)r ∈时，()0V r '<，所以()V r 在(2,3)上单调递减．所以当2r =时，()V r 取得最大值16π(2)9V =．答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9．………………………………………14分18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的右顶点为A ,过点A 作直线l 与圆222:O x y b +=相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q .设直线l 的斜率为k .（1）用k 表示椭圆C 的离心率；（2）若0OP OQ ⋅=,求椭圆C 的离心率.（1）直线l 的方程为)(a x k y -=，即0=--ak y kx ，因为直线l 与圆222b y x O =+：相切，所以b k ak=+-12，故2222b a b k -=． 所以椭圆C 的离心率222111b e ak =-=+4分 （2）设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为2a x c=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=c ax a x k y 2)(得c ac a k a c a k y -=-=22)(，所以))(,(22c ac a k c a Q -，…6分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)(12222a x k y b y a x 得02)(2224232222=-+-+b a k a x k a x k a b ， 解得222223k a b ab k a x p +-=，则22222222232)(k a b kab a k a b ab k a k y p +-=-+-=， 所以)2-2222222223ka b kab k a b ab k a P ++-，（，……………………………………………10分 因为0=⋅OQ OP ，所以02)(222222222232=+-⋅-++-⋅k a b kab c ac a k k a b ab k a c a ，即)(2)(22222c a k b b k a a -=-，………………………………………………12分由（1）知，2222b a b k -=，所以22422222)(2)(ba c ab b b a b a a --=--， 所以c a a 22-=，即c a 2=，所以21=a c ，故椭圆C 的离心率为21．……16分19. （本小题满分16分）已知函数1()()ln f x a x x=-()a R ∈.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，求a 的值； （2）若()f x 的导函数'()f x 存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当2a =时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立？若存在， 求出λ的最大值；若不存在，说明理由.解：（1）()2111()ln f x x a x x x'=+-，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，所以(1)11f a '=-=-，得0a =．……………………………………………2分（2）因为21ln ()ax x f x x-+'=存在两个不相等的零点． 所以()1ln g x ax x =-+存在两个不相等的零点，则1()g x a x'=+．①当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，至多有一个零点．……4分②当0a <时，因为当1(0)x a∈-，时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1(+)x a∈-∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以1x a =-时，max 11()()ln()2g x g a a=-=--． …………………………6分因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a-->，解得2e 0a --<<．………7分因为2e 0a --<<，所以21e 1a->>．因为(1)10g a =-<，所以()g x 在1(0)a-，上存在一个零点． …………8分 因为2e 0a --<<，所以211()a a->-．因为22111[()]ln()1g a a a-=-+-，设1t a =-，则22ln 1(e )y t t t =-->，因为20t y t-'=<，所以22ln 1(e )y t t t =-->单调递减，所以()2222ln e e 13e 0y <--=-<，所以22111[()]ln()10g a a a-=-+-<，所以()g x 在1()a-+∞，上存在一个零点． 综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)--．…………………………………10分（3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =-，()2211121ln ()ln 2x x f x x x x x x-+'=+-=， 设()21ln g x x x =-+，则1()20g x x'=+>．所以()g x 单调递增，且11()ln 022g =<，(1)10g =>，所以存在01(1)2x ∈，使得0()0g x =，……12分 因为当0(0)x x ∈，时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 单调递减；当0(+)x x ∈∞，时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 单调递增，所以0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，此时()0000000111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =-=--=-++，……………14分因为01(1)2x ∈，，所以0()(10)f x ∈-，， 因为()f x λ≥，且λ为整数，所以1λ-≤，即λ的最大值为1-．………16分20. （本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n N ∈,都有11n n a ka +=-(0)k ≠，数列{1}n a -是公比不为1的等比数列.（1）求实数k 的值；（2）设4,1,n n n n b a n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221m m S S -恰好为数列{}n b 中的项.解：（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--，因为{1}n a -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或43k =，…2分当43k =时，143(3)3n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=，所以数列{1}n a -的公比为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n a -的公比1121n n a q a +-==-，所以实数k 的值为2． …………………………………………………………4分（2）由（1）知12n n a -=，所以4n n n n b n - , ⎧⎪=⎨2, ⎪⎩为奇数,为偶数,则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+2(41)(43)[4(21)]444mm =-+-++--++++144(4)3m m m +-=-+，……………………………………………………6分 则212244(4)3m m m m S S b m m --=-=-+，因为22+1324mm m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->，且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设2210,m t m Sb t S -=>∈*N ，…………………………………………………………8分 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=m m S b S -时，144(4)3344(4)3m mm m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤， 即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3，验证624135787,3,323S S S S S S ===得，当2m =时，413S b S =成立．…………………12分②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m m mm m m m SS m m m m +---+==+--+--++， 设231244m mm m c -+-=，则211942214m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<；当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<，所以m c 的最小值为5191024c -=， 所以22130151911024m m S S -<<+<-+，令22214m m S b S -==，则2314312414mm m +=-+-+， 即231240m m -+-=，无整数解．综上，正整数m 的值2．………………………………………………………16分徐州市2022度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题） 21．【选做题】本题包含A 、B 、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵2M t ⎡=⎢⎣ 31⎤⎥⎦的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵1M -.解：矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t t λλλλλ--==-----．…………2分 因为矩阵M 的一个特征值为4，所以(4)630f t =-=，所以2t =．…………5分所以2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，所以11313213221324422112132213222--⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯⎣⎦⎣⎦M ．……10分（第22题）BACxyzB 1 A 1C 1 B ．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )12ρθθ+=，曲线C 的参数方程为23cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，R θ∈）.在曲线C 上点M ,使点M 到l的距离最小，并求出最小值.解：由:cos sin 120l ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以l 的直角坐标方程为120x y +-=． ………………………………………2分在曲线C 上取点()23cos 2sin M ϕϕ，，则点M 到l 的距离 ()()4sin 12124sin 23cos 2sin 1233222d ϕϕϕϕππ+--++-===，…………6分 当6ϕπ=时，d 取最小值42，…………………………………………………8分此时点M 的坐标为()3,1．………………………………………………………10分 C ．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，求111+222x y y z z x++++的最小值. 解：因为x y z ，，都为正数，且1x y z ++=，所以由柯西不等式得，1113()222x y y z z x+++++111()[(2)(2)(2)]222x y y z z x x y y z z x=++⋅++++++++………………5分 2111(222)9222x y y z z x x y y z z x⋅++⋅++⋅+=+++≥， 当且仅当13x y z ===时等号成立，所以111222x y y z z x+++++的最小值为3．…………………………………10分第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值； （2）求二面角1B AC C --的余弦值.解：（1）因为四边形11AA B B 为正方形，所以1AB BB ⊥，因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B平面111BB C C BB =，AB ⊂平面11AA B B ，所以AB ⊥平面11BB C C . ……………………………2分以点B 为坐标原点，分别以BA ,1BB 所在的直线为x ,y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.不妨设正方形11AA B B 的边长为2，则()2 0 0A ，，，()10 2 0B ，，． 在菱形11BB C C 中，因为1160BB C ∠=︒，所以1(0 1 3)C ，，，所以1( 2 1 3)AC =-，，． 因为平面11AA B B 的法向量为()0 0 1=，，n ， 设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为α， 则1|3|6sin |cos ,|221AC α=<>==⨯n ，即直线1AC 与平面11AA B B 64．………………………6分（2）由（1）可知，(0 1 3C -，，，所以()10 2 0CC =，，． 设平面1ACC 的一个法向量为()1111 x y z =，，n ， 因为11110,0,AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即()(()()111111 2 1 30 0 2 00x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，，取13x =，10y =，11z =，即13 0 1⎫=⎪⎭，，n ． 设平面1ABC 的一个法向量为()2222 x y z =，，n ， 因为()2 0 0BA =，，，(10 1 3BC =，，， 所以()()()(222222 2 0 00 0 1 30x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，，取()20 3 1=-，，n ．…………8分 设二面角1B AC C --的平面角为θ，则121212 71cos cos 31314θ⋅-=-<>=-==⋅+⋅+，n n n n n n所以二面角1B AC C --7．…………………………………10分23.（本小题满分10分）已知n 为给定的正整数，设20122()3n n n x a a x a x a x +=++++，x R ∈.（1）若4n =，求0a ，1a 的值；（2）若13x =，求0()nk k k n k a x =-∑的值.解：（1）因为4n =，所以0404216C ()=381a =，1314232C ()=327a =．……………………2分 （2）当13x =时，21C ()()33k k n k kk n a x -=， 又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k k n n k n k k n k ---===---，………………………4分当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑； …………………………………5分 当2n ≥时，0021()()C ()()33n nkk n k k k n k k n k a x n k -==-=-∑∑ 012121C ()()C ()()3333n nk n k k k n k k n n k k n k --===-∑∑1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑1121()333n n n -=-+23n =，当1n =时，也符合．所以0()nk k k n k a x =-∑的值为23n ．………………………………………………10分。