2020届中考数学二轮复习 重难题型突破 3 类型三 二次函数与图形面积问题(含答案)

三轮冲刺复习培优同步练习：《二次函数综合》1．如图1，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过A（5，0）和B（0，）两点，射线CE绕点C（0，5）旋转，交抛物线于D，E两点，连接AC．（1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接OE，AE，当△CEO是以CO为底的等腰三角形时，求点E的坐标和△ACE的面积；（3）如图2，射线CE旋转时，取DE的中点F，以DF为边作正方形DFMN．当点E和点A 重合时，正方形DFMN的顶点M恰好落在x轴上．①求点M的坐标；②当点E和点A重合时，将正方形DFMN沿射线CE方向以每秒个单位长度平移．设运动时间为t秒．直接写出正方形DFMN落在x轴下方的面积S与时间t（0≤t≤4）的函数表达式．2．如图，抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t+2，直线l：x＝2t与抛物线、x轴分别相交于Q、P．（1）t＝1时，Q点的坐标为；（2）当P、Q两点重合时，求t的值；（3）当Q点达到最高时，求抛物线解析式；（4）在抛物线L与x轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，直接写出1≤t≤2时“可点”的个数为．3．定义：把函数C1：y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴为直线x＝h．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）填空：h的值为（用含m的代数式表示）；（2）若a＝1，m＝1，当t﹣1≤x≤t时，函数C2的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝3，求t的值；（3）当m＝2时，C2的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段BD绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段B′D′．若线段B′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．4．如图，已知抛物线y＝mx2﹣8mx﹣9m与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C（0，﹣3），过A，B，C三点作⊙O′，连接AC，BC．（1）求⊙O′的圆心O′的坐标；（2）点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标，并直接写出直线BC和直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，4），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝2∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点P是x轴上方抛物线上的动点，以PB为边作正方形PBGH，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随着改变，当顶点G或H恰好落在y轴上时，请直接写出点P的横坐标．6．已知点P 为抛物线y ＝x 2上一动点，以P 为顶点，且经过原点O 的抛物线，记作“y p ”，设其与x 轴另一交点为A ，点P 的横坐标为m ．（1）①当△OPA 为直角三角形时，m ＝ ；②当△OPA 为等边三角形时，求此时“y p ”的解析式；（2）若P 点的横坐标分别为1，2，3，…n （n 为正整数）时，抛物线“y p ”分别记作“”、“”…，“”，设其与x 轴另外一交点分别为A 1，A 2，A 3，…A n ，过P 1，P 2，P 3，…P n 作x 轴的垂线，垂足分别为H 1，H 2，H 3，…H n ．1）①P n 的坐标为 ；OA n ＝ ；（用含n 的代数式来表示）②当P n H n ﹣OA n ＝16时，求n 的值．2）是否存在这样的A n ，使得∠OP 4A n ＝90°，若存在，求n 的值；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数y ＝﹣x 2+2（m ﹣2）x +3的图象与x 、y 轴交于A 、B 、C 三点，其中A （3，0），抛物线的顶点为D ．（1）求m 的值及顶点D 的坐标；（2）如图1，若动点P 在第一象限内的抛物线上，动点N 在对称轴1上，当PA ⊥NA ，且PA ＝NA 时，求此时点P 的坐标；（3）如图2，若点Q 是二次函数图象上对称轴右侧一点，设点Q 到直线BC 的距离为d ，到抛物线的对称轴的距离为d 1，当|d ﹣d 1|＝2时，请求出点Q 的坐标．8．如图，抛物线y ＝x 2﹣ax +a ﹣1与x 轴交于A ，B 两点（点B 在正半轴上），与y 轴交于点C ，OA ＝3OB ．点P 在CA 的延长线上，点Q 在第二象限抛物线上，S △PBQ ＝S △ABQ ．（1）求抛物线的解析式．（2）求直线BQ 的解析式．（3）若∠PAQ ＝∠APB ，求点P 的坐标．9．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C．（1）填空：b＝，c＝，点C的坐标为；（2）如图1，若点P是第一象限抛物线上一动点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，设＝y，求y与m的函数关系式，并求出的最大值；（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，当∠PBA+∠CBO＝45°时，求点P的坐标．10．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点D（2，4），与x 轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC，CD，BC，其且AC＝5．（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，点P是抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l，l分别交x轴于点E，交直线AC于点M．设点P的横坐标为m．当0＜m≤2时，过点M作MG∥BC，MG交x轴于点G，连接GC，则m为何值时，△GMC的面积取得最大值，并求出这个最大值；（3）当﹣1＜m≤2时，是否存在实数m，使得以P，C，M为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出相应m的值；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y 轴的负半轴交于点C．（1）求点B的坐标．（2）若△ABC的面积为6．①求这条抛物线相应的函数解析式；②在拋物线上是否存在一点P，使得∠POB＝∠CBO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4．现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．（1）求a、c的值；（2）连接OF，求△OEF的周长；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使得以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．13．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（1，9），与x轴的交点为A（﹣2，0），B．（1）求抛物线的解析式；（2）M为x轴上方抛物线上的一点，MB与抛物线的对称轴交于点C，若∠COB＝2∠CBO，求点M的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿对称轴平移后得到新抛物线为y＝ax2+bx+h，E，F新抛物线在第一象限内互不重合的两点，EG⊥x轴，FH⊥x轴，垂足分别为G，H，若始终存在这样的点E，F，满足△GEO≌△HOF，求h的取值范围．14．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（4，0），与y 轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，连接BC，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，连接BD和CD，求当△BCD面积的最大值时，线段ED的值；（3）在（2）中△BCD面积最大的条件下，如图3，直线x＝m上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），C（4，0）两点，与y 轴交于点B．（1）求这条抛物线的顶点坐标；（2）已知AD＝AB（点D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t（s）的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一交点为点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点M为直线AB下方抛物线上一动点．①如图2所示，直线CM交线段AB于点N，求的最小值；②如图3所示，连接BM过点M作MD⊥AB于D，是否存在点M，使得△BMD中的某个角恰好等于∠CAB的2倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣+bx+c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，请你求出点M的坐标；（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象，经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，过点C，D（﹣3，0）的直线与抛物线的另一交点为E．（1）请你直接写出：①抛物线的解析式；②直线CD的解析式；③点E的坐标（，）；（2）如图1，若点P是x轴上一动点，连接PC，PE，则当点P位于何处时，可使得∠CPE ＝45°，请你求出此时点P的坐标；（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，作QH⊥x轴于H，连接QA，QB，当QB平分∠AQH 时，请你直接写出此时点Q的坐标．19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．（1）点A的坐标为，点B的坐标为．（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若S1＝S2，求m的值．20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），C（0，2），对称轴为直线x＝．（1）求该抛物线和直线BC的解析式；（2）点G是直线BC上方抛物线上的动点，设G点的横坐标为m，试用含m的代数式表示△GBC的面积，并求出△GBC面积的最大值；（3）设R点是直线x＝1上一动点，M为抛物线上的点，是否存在点M，使以点B、C、R、M为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点M坐标，不存在说明理由．参考答案1．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+①；（2）当△CEO是以CO为底的等腰三角形时，则OC的中点（0，）的纵坐标和点E的纵坐标相同，而点B（0，），即点E、B关于抛物线对称轴对称，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，故点E的坐标为（4，）；△ACE的面积S＝S△COE +S△OAE﹣S△AOC＝OC•|x E|+OA•|y E|﹣×AO×CO＝5×4+×5×﹣×5×5＝；（3）①∵OA＝OC＝5，∴∠CAO＝45°，∵对角线DM与AC的夹角为45°，∴∠DMA＝90°，即DM⊥x轴，即点D、M的横坐标相同，由A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y＝﹣x+5②，联立①②并解得：x＝1或5（舍去5），故x＝1，故点D（1，4），∴点M的坐标为（1，0）；②设正方形MFDN平移后为M′F′D′N′，如图1，2所示；由A 、D 的坐标得，DA ＝＝4，∵点F 是AD 的中点，故DF ＝2，即正方形MFDN 的边长为2，∴正方形MFDN 的面积为S 1＝（2）2＝8；（Ⅰ）当0≤t ≤2时，如图1所示，设M ′F ′交x 轴于点H ， ∵t 秒时，正方形平移的距离为t ，∴MM ′＝t ＝M ′H ，∴S ＝S △M ′MH ＝MM ′•M ′H ＝（t ）2＝t 2；（Ⅱ）当2＜t ≤4时，如图2所示，设N ′D ′交x 轴于点H ， ∵t 秒时，正方形平移的距离为t ，则DD ′＝t ，∴AD ′＝AD ﹣DD ′＝4﹣t ＝HD ′，∴S ＝S 1﹣S △AD ′H ＝8﹣×AD ′×HD ′＝8﹣×（4﹣t ）＝﹣t 2+8t ﹣8，综上，S ＝．2．解：（1）当t ＝1时，x ＝2t ＝2， 当x ＝2时，y ＝﹣（2﹣1）2+1+2＝2， 故点Q 的坐标为（2，2）， 故答案为（2，2）；（2）点P 、Q 的坐标分别为：（2t ，0）、（2t ，﹣t 2+t +2）， 当P 、Q 两点重合时，﹣t 2+t +2＝0，解得：t ＝﹣1或2；（3）当Q 点达到最高时，点Q （t ，t +2），由（2）知函数的对称轴为x＝（2﹣1）＝，故点Q（，），故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣）2+；（4）①当t＝1时，如图1，抛物线表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+3，令y＝0，则x＝1，“可点”的个数如图黑点所示，有6个；②当t＝2时，抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+4，令y＝0，则x＝0或4，“可点”的个数如图黑点所示，有8个；②当1＜t＜2时，点Q的坐标为（t，2+t），即抛物线在y＝x+2上运动，2AB＜4，当L过点（3，0）时，“可点”的个数如图黑点所示，有7个．故“可点”的个数为6或7或8个，故答案为：6或7或8．3．解：（1）y＝ax2﹣6ax+5a，令y＝0，则x＝5或1，函数对称轴为直线x＝3，由中点公式得：h+3＝2m，故h＝2m﹣3，故答案为：2m﹣3；（2）a＝1，C1：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，顶点为（3，﹣4），m＝1时，C2的顶点为（﹣1，4），C2：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，①当t≤﹣1时，y随x的增大而增大，y 1﹣y2＝﹣t2﹣2t+3﹣[﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3]＝3，解得：t＝﹣2；②当t﹣1＜﹣1＜t时，即﹣1＜t＜0时，分两种情况：（Ⅰ）当﹣1﹣（t﹣1）≥t﹣（﹣1）时，即﹣1＜t≤﹣时，y 1﹣y2＝[﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3]﹣t2＝3，解得：t＝（舍去）（Ⅱ）当﹣1﹣（t﹣1）＜t﹣（﹣1）时，即﹣＜t＜0时，y 1﹣y2＝3＝4﹣（t2﹣2t+3）＝t2+2t+1，解得：t＝﹣1（舍去）；③当t﹣1≥﹣1时，即t≥0时，y随x的增大而减小，y 1﹣y2＝[﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3]﹣[﹣t2﹣2t+3]＝3，解得：t＝1；综上，t＝﹣2或t＝1；（3）当m＝2时，C：y＝ax2﹣6ax+5a＝a（x﹣3）2﹣4a，1的表达式为：y＝﹣a（x﹣1）2+4a，∴C2当y＝0时，x＝﹣1或3，当x＝0时，y＝3a，∴点A、B、D的坐标分别为：（3，0）、（﹣1，0）、（0，3a）；∵线段BD绕原点O顺时针旋转90°，∴点B′的坐标为（3，0），点D′的坐标为（3a，0）．①当a＞0时，分两种情况：（Ⅰ）当点D′在点A的右侧（含点A）时，线段B′D′与C的图象有公共点，如图1，2∴3a≥3，解得a≥1；（Ⅱ）当点D′在点A的左侧，且点D在点B′的下方（含点B′）时，线段B′D′与C2的图象有公共点，如图2，∴3a≤1，∴0＜a≤；的图象有公共点，如②当a＜0时，点D′在点B的左侧（含点B）时，线段B′D′与C2图3，∴3a≤﹣1，解得：a≤；综上，a≤﹣或0＜a≤或a≥1；4．解：（1）y＝mx2﹣8mx﹣9m，令y＝0，解得：x＝﹣1或9，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（9，0），∵过A，B，C三点作⊙O′，故O′为AB的中点，∴点O′的坐标为（4，0）；（2）∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∵∠BCE的平分线为CD，∴∠BCD＝45°，∴∠O′DB＝90°，即O′D⊥AB，圆的半径为AB＝5，故点D的坐标为（4，﹣5），设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线BC的表达式为：y＝x﹣3，同理可得直线BD的表达式为：y＝x﹣9；（3）由点A、B、C的坐标得，抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3①，①当点P（P′）在直线BD下方时，∵∠PDB＝∠CBD，∴DP′∥BC，则设直线DP′的表达式为：y＝x+t，将点D的坐标代入上式并解得：t＝﹣，故直线DP′的表达式为：y＝x﹣②，联立①②并解得：x＝（舍去负值），故点P的坐标为（，）；②当点P在BD的上方时，由BD的表达式知，直线BD的倾斜角为45°，以BD为对角线作正方形DMBN，边MB交直线DP′于点H′，直线DP交NB边于点H，对于直线DP′：y＝x﹣，当x＝9时，y＝﹣，即BH′＝，根据点的对称性知：BH＝BH′＝，故点H（，0），由点D、H的坐标得，直线DH的表达式为：y＝3x﹣17③，联立①③并解得：x＝3或14（舍去3），故点P的坐标为（14，25）；故点P的坐标为：（，）或（14，25）．5．解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+；（2）如图1，在线段DE上取点M，使MD＝MB，此时∠EMB＝2∠BDE，设ME＝a，在Rt△BME中，ME2+BE2＝BM2，即a2+32＝（﹣a）2，解得：a＝，∴tan∠EMB＝＝，过点F作FN⊥x轴于点N，设点F（m，﹣m2+m+4），则FN＝|﹣m2+m+4|，∵∠FBA＝2∠BDE，∴∠FBA＝∠EMB，∴tan∠FBA＝tan∠EMB＝，∵点B（4，0）、点E（1，0），∴BE＝3，BN＝4﹣m，∴tan∠FBA＝，解得：m＝4（舍去）或﹣或，故点F（﹣，﹣）或（，）；（3）①当点P在对称轴右侧时，（Ⅰ）当点H在y轴上时，如图2，∵∠MPB+∠CPH＝90°，∠CPH+∠CHP＝90°，∴∠CHP＝∠MPB，∵∠BMP＝∠PNH＝90°，PH＝BP，∴△BMP≌△PNH（AAS），∴MB＝PC，设点P（x，y），则x＝y＝﹣x2+x+4，解得：x＝（舍去负值），故点P的横坐标为；（Ⅱ）当点G在y轴上时，如图3，过点P作PR⊥x轴于点R，同理可得：△PRB≌△BOG（AAS），∴PR＝OB＝4，即y P＝4＝﹣x2+x+4，解得：x＝2；②当点P在对称轴左侧时，同理可得：点P的横坐标为0或2﹣；综上，点P的横坐标为或2或0或2﹣．6．解：（1）①当△OPA为直角三角形时，∵PO＝PA，故△OPA为以点P为顶点的等腰直角三角形，∴点P的横坐标和纵坐标相同，故点P（m，m），将点P的坐标代入y＝x2得：m＝m2，解得：m＝0或2（舍去0），故答案为2；②当△OPA为等边三角形时，同理可得点P（m，m），将点P的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝2，故点P的坐标为（2，6），故“y p”的解析式为：y＝a（x﹣2）2+6，点A的坐标为（2m，0），即（4，0），将点A的坐标代入y＝a（x﹣2）2+6并解得：a＝﹣，故“y p”的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+6＝﹣x2+2x；（2）1）①由题意得：P n 的横坐标为n ，则其坐标为（n ，n 2），则A n ＝2n ， 故答案为：（n ，n 2）；2n ；②由题意得：P n H n ﹣OA n ＝n 2﹣2n ＝16，解得：n ＝8或﹣4（舍去﹣4），∴n ＝8；2）存在，理由：如下图所示，由1）知，点P 4的坐标为（4，8），A n ＝2n ，即OH 4＝4，P 4H 4＝8，H 4A n ＝2n ﹣4，∵∠OP 4A n ＝90°，∴∠OP 4H 4+∠H 4P 4A n ＝90°，∵∠H 4P 4A n +∠P 4A n H 4＝90°，∴∠OP 4H 4＝∠P 4A n H 4，∴Rt △OP 4H 4∽Rt △P 4A n H 4，∴P 4H 42＝OH 4•H 4A n ，即82＝4×（2n ﹣4），解得：n ＝10．7．解：（1）将点A 的坐标代入函数表达式得：0＝﹣32+2（m ﹣2）×3+3， 解得：m ＝3，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3，故点D 的坐标为：（1，4）；（2）过点A 作y 轴的平行线交过点N 与x 轴的平行线于点M ，交过点P 与x 轴的平行线于点H ，∵∠NAM+∠PAH＝90°，∠NAM+∠ANM＝90°，∴∠PAH＝∠ANM，∵∠NMA＝∠AHP＝90°，AP＝NA，∴△NMA≌△AHP（AAS），∴AN＝MN＝3﹣1＝2，即y P＝2＝﹣x2+2x+3，解得：x＝1（舍去负值），故点P（1，2）；（3）设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，由点B、C的表达式为：y＝3x+3，如图2，过点Q作y轴的平行线交BC于点M，交x轴于点N，则MN∥y轴，∴∠BCO＝∠M，而tan∠BCO＝＝，则sin∠BCO＝＝sin M，过点Q作QH⊥BM，设点Q（t，﹣t2+2t+3），则点M（t，3t+3），则d＝DH＝MQ sin M＝[（3t+3）﹣（﹣t2+2t+3）]，d1＝t﹣1，∵|d﹣d1|＝2，即[（3t+3）﹣（﹣t2+2t+3）]﹣（t﹣1）＝±2，解得：t＝或﹣1（舍去﹣1），故点Q的坐标为：（，2﹣7）．8．解：（1）令y＝x2﹣ax+a﹣1＝0，解得：x＝a﹣1或1，故点A、B的坐标分别为：（a﹣1，0）、（1，0），∵OA＝3OB，故1﹣a＝3，解得：a＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）对于y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，故点C（0，﹣3），∵S△PBQ ＝S△ABQ，∴△PBQ和△ABQ底边BQ边上的高相等，故直线PC∥BQ，设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，则设直线BQ的表达式为：y＝﹣x+b，将点B的坐标代入上式并解得：b＝1，故直线BQ的表达式为：y＝﹣x+1；（3）设直线PB交AQ于点D，由直线BQ的表达式知∠ABQ＝45°，由（2）知PC∥BQ，∴∠QAP＝∠AQB，∠BPA＝∠QBP，而∠PAQ＝∠APB，∴∠AQB＝∠PBQ，∴DB＝DQ，∵∠PAQ＝∠APB，∴DP＝DA，∴PA＝AQ，而BQ＝BQ，∴△PBQ≌△AQB（SAS），∴∠PQB＝∠ABQ＝45°，∴PQ∥y轴，联立直线PQ和抛物线的表达式，得，解得或，即x＝1或﹣4（舍去1），故点Q的横坐标为﹣4，即为点P的横坐标，而点P在直线AC：y＝﹣x﹣3，故点P（﹣4，1）．9．解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．∴A（4，0），B（0，4）．又∵抛物线过B（0，4），∴c＝4．把A（4，0）代入y＝﹣x2+bx+4得，0＝﹣×42+4b+4，解得，b＝1．∴抛物线解析式为，y＝﹣x2+x+4①．令﹣x2+x+4＝0，解得，x＝﹣2或x＝4．∴C（﹣2，0）；故答案为：1；4；（﹣2，0）；（2）如图1，分别过P、Q作PE、QD垂直于x轴交x轴于点E、D．设P（m，﹣m2+m+4），Q（n，﹣n+4），则PE＝﹣m2+m+4，QD＝﹣n+4．又∵＝＝y．∴n＝．又∵，即，把n═代入上式并整理得：4y＝﹣m2+2m．∴y＝﹣m2+m．∵﹣＜0，故y有最大值，当m＝2时，y max＝．即PQ与OQ的比值的最大值为；（3）①当点P在BA下方时，如图2，∵∠OBA＝∠OBP+∠PBA＝45°，∠PBA+∠CBO＝45°，∴∠OBP＝∠CBO，此时PB过点（2，0）．设直线PB解析式为，y＝kx+4．把点（2，0）代入上式得，0＝2k+4．解得，k＝﹣2，∴直线PB解析式为：y＝﹣2x+4．令﹣2x+4＝﹣x2+x+4，整理得，x2﹣3x＝0．解得，x＝0（舍去）或x＝6．当x＝6时，﹣2x+4＝﹣2×6+4＝﹣8∴P（6，﹣8）；②当点P（P′）在BA上方时，此时∠P′BA+∠CBO＝45°，而∠PBA+∠CBO＝45°，故∠P′BA＝∠PBA，即BA是∠PBP′的角平分线，∵OA＝OB＝4，故△ABO为等腰三角形，以BA为对角线作正方形BOAM，设直线BP交边（x轴）OA于点H，直线BP′交AM于点H′，在点H、H′关于AB对称，∴AH＝AH′，由①知：直线PB解析式为：y＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝3，故点H（2，0），即AH＝4﹣2＝2＝AH′，∴点H′（4，2），由点H′、点B的坐标可得，直线BH′的表达式为：y＝﹣x+4②，联立①②并解得：x＝3，故点P′（3，）；综上，点P的坐标为：（3，）或（6，﹣8）．10．解（1）∵在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，∴OA＝＝3，∴A（3，0），将A（3，0）、C（0，4）D（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中得，解得，，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）由A（3，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝﹣x+4，∴M坐标为（m，﹣m+4），∵MG∥BC，∴∠CBO＝∠MGE，且∠COB＝∠MEG＝90°，∴△BCO∽△GME，∴＝，即＝，∴GE＝﹣m+1，∴OG＝OE﹣GE＝m﹣1，∴S△COM ＝S梯形COGM﹣S△COG﹣S△GEM＝m（﹣m+4+4）﹣4×（m﹣1）×﹣（﹣m+1）（﹣m+4），＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+2，∴当m＝时，S最大，即S最大＝2；（3）根据题意可知△AEM是直角三角形，而△MPC中，∠PMC＝∠AME为锐角，∴△PCM的直角顶点可能是P或C，第一种情况：当∠CMP＝90°时，如图③，则CP∥x轴，此时点P与点D重合，∴点P（2，4），此时m＝2；第二种情况：当∠PCM＝90°时，如图④，延长PC 交x 轴于点F ，由△FCA ∽△COA ，得 ＝， ∴AF ＝， ∴OF ＝﹣3＝， ∴F （﹣，0），∴直线CF 的解析式为y ＝x +4，联立直线CF 和抛物线解析式可得，解得，，∴P 坐标为（，），此时m ＝；综上可知存在满足条件的实数m ，其值为2或． 11．解：（1）当y ＝0时，x 2﹣（a +1）x +a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝a ．∵点A 位于点B 的左侧，与y 轴的负半轴交于点C ，∴a ＜0，∴点B 坐标为（1，0）．（2）①由（1）可得，点A 的坐标为（a ，0），点C 的坐标为（0，a ），a ＜0， ∴AB ＝1﹣a ，OC ＝﹣a ，∵△ABC的面积为6，∴，∴a1＝﹣3，a2＝4．∵a＜0，∴a＝﹣3，∴y＝x2+2x﹣3．②存在，理由如下：∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），∴设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，则0＝k﹣3，∴k＝3．∵∠POB＝∠CBO，∴当点P在x轴上方时，直线OP∥直线BC，∴直线OP的函数解析式y＝3x，则∴（舍去），，∴点的P坐标为当点P在x轴下方时，直线OP'与直线OP关于x轴对称，则直线OP'的函数解析式为y＝﹣3x，则∴（舍去），，∴点P'的坐标为综上可得，点P的坐标为或．12．解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∴AO＝BC，∵△ABC面积为4，∴BC•OA＝4，∴OA＝2，BO＝4，∴B（﹣2，0），A（0，2），C（2，0），∵点A，B在抛物线y＝ax2+c上，∴，∴，即a、c的值分别为﹣和2；（2）如图1，连接OF，由（1）可知：y＝﹣x2+2，∵B（﹣2，0），A（0，2），∴AB的直线解析为y＝x+2，∵平移后抛物线定点F在射线BA上，设F（m，m+2），∴平移后抛物线解析式y＝﹣（x﹣m）2+m+2，将点C（2，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2，得﹣（2﹣m）2+m+2＝0，∴m＝6或m＝0（舍），∴F（6，8），∴平移后抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣10，当y＝0时，﹣x2+6x﹣10＝0，∴x＝2或x＝10，∴E（10，0），∴OE＝10，∵F（6，8），∴OF＝＝10，EF＝＝4，∴△OEF的周长为OE+OF+EF＝10+10+4＝20+4；（3）当P在x轴上方时，如图2，∵△PQE≌△POE，∴QE＝OE＝10，在Rt△QHE中，HQ＝＝2，∴Q（6，2），当P在x轴下方时，如图3，∵△PQE≌△POE，∴PQ＝OE＝10，过点P作PK⊥HF与点K，∴PK＝6，在Rt△PQK中，QK＝＝8，∵∠PQE＝90°，∴∠PQK+∠HQE＝90°，∵∠HQE+∠HEQ＝90°，∴∠PQK＝∠HEQ，∵∠PKQ＝∠QHE＝90°，∴△PKQ∽△QHE，∴，∴，∴QH＝3，∴Q（6，3），综上所述：满足条件的点Q（6，2）或Q（6，3）．13．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（1，9），∴设该抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+9（a≠0），把（﹣2，0）代入抛物线解析式得9a+9＝0，a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+9＝﹣x2+2x+8；（2）令y＝0得﹣（x﹣1）2+9＝0，x＝﹣2，或x＝4，∴B（4，0），∴OB＝4抛物线对称轴直线x＝1与x轴交点为T，如图1，作原点O关于直线x＝1的对称点D（2，0），连接CD，则∠CDO＝∠COD＝2∠CBO，∵∠CDO＝∠BCD+∠CBO，∴∠BCD＝∠CBO，∴CD＝DB＝2．∴．∴．∴设直线BM的解析式为y＝kx+t，则，解得，．∴直线BM解析式为，与抛物线y＝﹣x2+2x+8联立得．∴，．∴，故点M坐标为；（3）如图2，设E（m，n）（m＞0，n＞0，m≠n），∵△GEO≌△HOF，∴OH＝EG＝n，FH＝OG＝m，∴F（n，m），设新抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+h，把点E，F的坐标代入抛物线的解析式得：m＝﹣n2+2n+h，n＝﹣m2+2m+h，即h＝n2﹣2n+m，h＝m2﹣2m+n，∴m2﹣2m+n＝n2﹣2n+m，m2﹣n2+3（n﹣m）＝0，（m﹣n）（m+n﹣3）＝0，∵m≠n，∴m+n＝3，m＝3﹣n，∵m＞0，n＞0，m≠n，∴0＜n＜3且把m＝3﹣n代入h＝n2﹣2n+m，得．∵0＜n＜3且．∴．故h的取值范围．14．解：（1）把A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．（2）设D（m，m2﹣m﹣2），∵C（0，﹣2），B（4，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，∴E（m，m﹣2），∴DE＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m，＝•DE•OB＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∴S△BCD∵﹣1＜0，∴m＝2时，△BDC的面积最大，此时DE＝﹣×22+2×2＝2．（3）如图3中，连接BC．∵＝＝2，∠BCO＝∠COA＝90°，∴△BOC∽△COA，∴∠OBC＝∠OCA．∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝90°＝∠ACB，∴BC⊥AC．∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2），点A的坐标为（﹣1，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，设点Q的坐标为（2，n），则过点Q且垂直AC的直线的解析式为y＝x+n﹣1．联立两直线解析式成方程组，得：，解得：，∴两直线的交点坐标为（，）．依题意，得：（2﹣0）2+（n﹣0）2＝（﹣2）2+（﹣n）2，整理，得：n2﹣3n﹣4＝0，解得：n1＝﹣1，n2＝4，∴点Q的坐标为（2，﹣1）或（2，4）．综上所述：在这条直线上存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q 的坐标为（2，﹣1）或（2，4）．15．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），C（4，0）两点，∴．解这个方程，得．∴该抛物线解析式是y＝﹣x2+x+4．∵y＝﹣x2+x+4＝y＝﹣（x﹣）2+．∴这条抛物线的顶点坐标是（，）；（2）∵A（﹣3，0），C（4，0），∴OA＝3，OB＝OC＝4，则AB＝5，AC＝7，CD＝2；如图1，连接DQ，由于BD垂直平分PQ，则DP＝DQ，得：∠PDB＝∠QDB，而AD＝AB，得：∠ABD＝∠ADB，故∠QDB＝∠ABD，得QD∥AB；∴△CDQ∽△CAB，则有：＝＝，∴＝．∴PD＝DQ＝，AP＝AD﹣PD＝5﹣＝，故t＝；（3）存在，如图2，连接AQ交对称轴于M，此时MQ+MC为最小，过Q作QN⊥x轴于N，∵DQ∥AB，∴∠QDN＝∠BAC，sin∠QDN＝sin∠BAC＝＝，∴＝，∴QN＝，设直线BC的解析式为：y＝kx+b，把B（0，4）和C（4，0）代入得：，解得，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，当y＝时，＝﹣x+4，x＝，∴Q（，），同理可得：AQ的解析式为：y＝x+，当x＝时，y＝×+＝，∴M（，）．16．解：（1）在直线y＝x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，令y＝0，则x＝8，∴A（8，0）、B（0，﹣4），将A（8，0）、B（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c有，解得：；故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；（2）①如图1，过C作CE∥y轴交直线AB于点E，过M作MF∥y轴交直线AB于点F．则CE∥MF，∴，设点M（x，x2﹣x﹣4），∵MF∥y轴交直线AB于点F，直线AB：y＝x﹣4，故点F（x，x﹣4），则MF＝x﹣4﹣（x2﹣x﹣4）＝﹣x2+2x，可求得C（﹣2，0），C作CE∥y轴交直线AB于点E，∴E（﹣2，﹣5），CE＝5，∴，∴当x＝4时，的最小值为；②存在．理由如下：∵C（﹣2，0）；B（0，﹣4）；A（8，0）．∴OC＝2，OB＝4，OA＝8，∵∠CBO+∠ABO＝90°，∠CAB+∠ABO＝90°，∴∠CBO＝∠CAB，又∠ABC＝∠BCO＝90°，∴△BOC∽△ABC．有∠ABC＝∠AOB＝90°，又MD⊥AB于D，∴∠BDM＝∠ABC＝90°，∠BAC＜45°．因此在△BMD只能是∠BMD＝2∠BAC或∠MBD＝2∠BAC．在图2中，取AC中点H，连接BH，可得∠BHO＝2∠BAC，OH＝OA﹣AH＝3，tan∠BHO＝，过D作DT⊥y轴于T，过M作MG⊥TD交其延长线于G．∵∠GDM+∠TDB＝90°，∠TDB+∠TBD＝90°，∴∠GDM＝∠TBD，又∵∠DTB＝∠MGD＝90°，∴△TBD∽△GDM，，又DM⊥AB，tan∠DMB＝，tan∠DBM＝．当∠BMD＝2∠BAC时，则＝，当∠MBD＝2∠BAC时，则，设点D（a，a﹣4），点M（m2﹣m﹣4）（8＞a＞0，8＞m＞0），则点T（0，a﹣4），点G（m，a﹣4），∴DT＝a，DG＝m﹣a，∴BT＝a﹣4﹣（﹣4）＝a，当∠BMD＝2∠BAC时，，又，∴，解得：m＝0或（舍去0），故点M的坐标为（，﹣），如图2，当∠MBD＝2∠BAC时，，又，∴，解得：m＝0或4（舍去0），故点M（4，﹣6）；综合得存在满足条件的点M的坐标为（，﹣）或（4，﹣6）．17．解：（1）针对于y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），令y＝0，则0＝﹣x+2，∴x＝4，∴B（4，0），∵点C在抛物线y＝﹣+bx+c上，∴c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣+bx+2，∵点B（4，0）在抛物线上，∴﹣8+4b+2＝0，∴b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣+x+2；（2）∵|BM﹣CM|最小，∴|BM﹣CM|＝0，∴BM＝CM，∴BM2＝CM2，设M（，m），∵B（4，0），C（0，2），∴BM2＝（4﹣）2+m2，CM2＝（）2+（m﹣2）2，∴（4﹣）2+m2＝（）2+（m﹣2）2，∴m＝0，∴M（，0）；（3）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣+x+2，令y＝0，则0＝﹣+x+2，∴x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵B（4，0），C（0，2），∴BC2＝20，AC2＝5，AB2＝25，∴CB2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∵NH⊥x，∴∠BHN＝90°＝∠ACB，设N（n，﹣n2+n+2），∴HN＝|﹣n2+n+2|，BH＝|n﹣4|，∵以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似，∴①△BHN∽△ACB，∴，∴，∴n＝﹣5或n＝3或n＝4（舍），∴N（﹣5，﹣18）或（3，2），②△BHN∽△BCA，∴，∴，∴n＝0或n＝4（舍）或n＝﹣2，∴N（0，2）或（﹣2，﹣3），即满足条件的点N的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）．18．解：（1）∵抛物线经过A（1，0），B（3，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，3）代入得到a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝x+3，由，解得或，∴E（5，8）．故答案为：y＝x2﹣4x+3，y＝x+3，5，8．（2）如图1中，过点E作EH⊥x轴于H．∵C（0，3），D（﹣3，0），E（5，8），∴OC＝OD＝3，EH＝8，∴∠PDE＝45°，CD＝3，DE＝8，EC＝5，当∠CPE＝45°时，∵∠PDE＝∠EPC，∠CEP＝∠PED，∴△ECP∽△EPD，∴＝，∴PE2＝EC•ED＝80，在Rt△EHP中，PH＝＝＝4，∴把点H向左或向右平移4个单位得到点P，∴P1（1，0），P2（9，0）．（3）延长QH到M，使得HM＝1，连接AM，BM，延长QB交AM于N．设Q（t，t2﹣4t+3），由题意点Q只能在点B的右侧的抛物线上，则QH＝t2﹣4t+3，BH ＝t﹣3，AH＝t﹣1，∴＝＝t﹣3＝，∵∠QHB＝∠AHM＝90°，∴△QHB∽△AHM，∴∠BQH＝∠HAM，∵∠BQH+∠QBH＝90°，∠QBH＝∠ABN，∴∠HAM+∠ABN＝90°，∴∠ANB＝90°，∴QN⊥AM，∴当BM＝AB＝2时，QN垂直平分线段AM，此时QB平分∠AQH，在Rt△BHM中，BH＝＝＝，∴t＝3+，∴Q（3+，3+2）．19．解：（1）抛物线的表达式为：y＝m（x2﹣2x﹣3）＝m（x+1）（x﹣3），故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），故答案为：（﹣1，0）、（3，0）；（2）过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，设：D（1，n），点C（0，﹣3m），∵∠CDP+∠PDC＝90°，∠PDC+∠QDB＝90°，∴∠QDB＝∠DCP，又∵∠CPD＝∠BQD＝90°，∴△CPD∽△DQB，∴＝＝，其中：CP＝n+3m，DQ＝3﹣1＝2，PD＝1，BQ＝n，CD＝﹣3m，BD＝3，将以上数值代入比例式并解得：m＝±，∵m＜0，故m＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；（3）y＝m（x2﹣2x﹣3）＝m（x+1）（x﹣3），∴C（0，﹣3m），CO＝﹣3m．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∴S2＝S△AOC＝×1×（﹣3m）＝﹣m，设OD交BC于点M，由轴对称性，BC⊥OD，OD＝2OM，在Rt△COB中，BC＝＝3，由面积法得：OM＝＝﹣，∴tan∠COB＝＝﹣m，则cos∠COB＝，MB＝OB•cos∠COB＝，∴S1＝S△BOD＝×DO×MB＝OM×MB＝﹣，又S1＝S2，∴m2+1＝（m＜0），故m＝﹣．20．解：（1）∵A（﹣1，0），对称轴为直线x＝．∴B（4，0），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；设直线BC的表达式为：y＝sx+t，则，解得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣x+2；（2）设G点坐标（m，﹣m2+m+2），过G作GH∥y轴，交直线BC于H点，则H坐标为（m，﹣m+2），∴△GBC面积S＝S△GHC +S△GHB＝GH×OB＝[﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）]×4＝﹣m2+4m，∵﹣1＜0，故S有最大值，当m＝2时，S的最大值为4；（3）设点M的坐标为（m，n），n＝﹣m2+m+2，点R（1，s），而点B、C的坐标分别为：（4，0）、（0，2）；①当BC为平行四边形的边时，点C向右平移4个单位，向下平移2个单位得到点B，同样点M（R）向右平移4个单位，向下平移2个单位得到点R（M），即m±4＝1，解得：m＝﹣3或5，故点M的坐标为：（5，﹣3）或（﹣3，2）；②当BC为平行四边形的对角线时，由中点公式得：m+1＝4，解得：m＝3，故点M（3，2），综上，点M的坐标为（5，﹣3）或（﹣3，﹣7）或（3，2）．。

2020 年中考数学二轮复习压轴专题：《二次函数》1．如图，平面直角坐标系中，点 A、点B 在 x 轴上（点A在点B 的左边），点 C在第一象限，知足∠ ACB为直角，且恰使△OCA∽△ OBC，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（ a＜0）经过A、 B、C三点．（1）求线段OB、OC的长．（2）求点C的坐标及该抛物线的函数关系式；（ 3）在x 轴上能否存在点，使△为等腰三角形？若存在，求出全部切合条件的P P BCP点的坐标：若不存在，请说明原因．解：（ 1）y＝ax2﹣ 8ax+12a＝a（x﹣ 6）（x﹣ 2），故 OA＝2， OB＝6，△ OCA∽△ OBC，则2，即： OC＝ OA?OB，解得： CO＝2；（ 2）过点C作CD⊥x轴于点D，△ OCA∽△ OBC，则，设 AC＝2x，则BC＝2x，而AB＝4，故 16＝（ 2x）2+（ 2x）2，解得：x＝1，故 AC＝2， BC＝2，S△ABC＝AB× CD＝AC× BC，解得： CD＝，故 OD＝3，故点 C（3，）；将点 C的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x﹣4；（ 3）设点P（ m，0），而点B、 C的坐标分别为：（6，0）、（3，）；2222则 BC＝12，PB ＝（ m﹣6）， PC＝（ m﹣3）2+3，当BC＝PB时，12＝（m﹣6）2，解得：m＝6；当 BC＝PC时，同理可得： m＝6（舍去）或0；当 PB＝PC时，同理可得： m＝4，综上点 P 的坐标为：（6， 0）或（ 0， 0）或（ 4， 0）．2．直线y＝﹣x+2与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点 B，抛物线y＝﹣ x2+bx+c 经过 A、 B 两点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；①当△ PBA的面积最大时，求点 P 的坐标；②在①的条件下，点 P 对于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线 AB上能否存在点 M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）直线y＝﹣x+2与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点B，则点 A、 B 的坐标分别为：（ 4， 0）、（ 0， 2），将点、B 的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，A故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+x+2；2（ 2）①过点P作y轴的平行线交BC于点 N，设 P（m，﹣ m+ m+2），点 N（ m，﹣m+2），则：△ PBA的面积 S＝2m+2+2PN× OA＝×4×（﹣ m+m﹣2）＝﹣ m+4m，当 m＝2时， S 最大，此时，点 P（2，5）；②点 P（2，5），则点 Q（， 5），设点M（a，﹣a+2）；（Ⅰ）若：∠QMB QAM QM AM 1＝2∠1，则1＝1，则（ a﹣）2+（a﹣3）2＝（ a﹣4）2+（﹣a+2）2，解得： a＝，M，）；故点1（（Ⅱ）若∠QMB QAM2＝ 2∠ 1 ，则∠ QM2B＝∠ QM1B， QM1＝ QM2，作 QH⊥AB于 H，BQ的延伸线交x 轴于点 N，则 tan ∠BAO＝＝，则tan∠QNA＝2，故直线QH表达式中的k 为2，设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2，故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与 B 重合，M、M对于21B 对称，∴ M（﹣2，）；综上，点M的坐标为：（，）或（﹣，）．3．如图已知直线y＝x+与抛物线y＝ ax2+bx+c 订交于 A（﹣1，0）， B（4， m）两点，抛物线 y＝ ax2+bx+c 交 y 轴于点 C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的极点为M．（1）求抛物线的分析式；（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点 P的坐标；（ 3）若点Q为x轴上一动点，点N 在抛物线上且位于其对称轴右边，当△QMN与△ MAD 相像时，求N点的坐标．解：（ 1）将点B（ 4，m）代入y＝x+，∴ m＝，将点 A（﹣1，0）， B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c，解得 a＝，b＝﹣1，c＝﹣，∴函数分析式为 y＝ x2﹣ x﹣；（ 2）设P（n，n2﹣n﹣），则经过点 P 且与直线 y＝ x+垂直的直线分析式为y＝﹣2x+n2+n﹣，直线 y＝x+与其垂线的交点G（n2+ n﹣，n 2+ n+），∴ GP＝（﹣ n2+3n+4），当 n＝时， GP最大，此时△ PAB的面积最大，∴P（，），∵AB＝，PG＝，∴△ PAB的面积＝××＝；（3）∵M（ 1，﹣ 2），A（﹣ 1， 0），D（ 3，0），∴ AM＝2， AB＝4， MD＝2，∴△ MAD是等腰直角三角形，∵△ QMN与△ MAD相像，∴△ QMN是等腰直角三角形，设 N（t ，t 2﹣ t ﹣）①如图 1，当MQ⊥QN时，N（ 3， 0）；②如图 2，当QN⊥MN时，过点N作 NR⊥ x 轴，过点 M作 MS⊥ RN交于点 S，∵QN＝MN，∠ QNM＝90°，∴△ MNS≌△ NMS（ AAS）∴﹣ 1＝﹣t 2+ + ，t t ∴ t ＝±，∴ t ＞1，∴ t ＝，∴N（，1﹣）；③如图 3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点N作NR∥x轴，与过 M点的垂线分别交于点S、 R；∵QN＝MQ，∠MQN＝90°，∴△ MQR≌△ QNS（ AAS），∴ SQ＝QR＝2，∴ t +2＝1+t 2﹣ t ﹣，∴t ＝5，∴N（5，6）；④如图 4，当MN⊥NQ时，过点M作 MR⊥ x 轴，过点 Q作 QS⊥ x 轴，过点N 作x轴的平行线，与两垂线交于点、；R S∵QN＝MN，∠MNQ＝90°，∴△ MNR≌△ NQS（ AAS），∴ SQ＝RN，∴ t 2﹣ t ﹣＝ t ﹣1，∴ t ＝2±，∵ t ＞1，∴ t ＝2+，∴N（2+， 1+）；综上所述： N（3，0）或 N（2+， 1+）或 N（5，6）或 N（，1﹣）．4．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个极点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线的分析式为y＝ ax2+bx．（ 1）如图 1，若抛物线经过A，D两点，直接写出 A 点的坐标（4，8）；抛物线的对称轴为直线6；（ 2）如图 2：①若抛物线经过A、C两点，求抛物线的表达式．②若点 P 为线段 AB上一动点，过点P 作 PE⊥ AB交 AC于点 E，过点 E 作 EF⊥AD于点 F交抛物线于点G．当线段 EG最长时，求点E的坐标；（ 3）若a ＝﹣ 1，且抛物线与矩形没有公共点，直接写出b的取值范围．ABCD解：（ 1）点A的坐标为：（ 4， 8）；函数的对称轴为：x＝（4+8）＝6；故答案为：（ 4，8）； 6；（ 2）①将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，b＝4，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x；②由点 A、 C的坐标得，直线AC的表达式为： y＝﹣2x+16；设点 E（ x，﹣2x+16），则点 G（ x，﹣x2+4x），EG＝﹣x2+4x﹣（﹣2x+16）＝﹣x2+6x﹣16，当 x＝6时， EG由最大值为：2，此时点 E（2，4）；（ 3）若a＝﹣ 1，则抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+bx，当抛物线过点B和点 D时，抛物线与矩形有一个交点，将点 B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣ 16+4b，解得：b＝ 4，将点 D的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝9，故 b 的取值范围为：b＜4或 b＞9．5．如图，直线y ＝﹣1 与抛物线y＝﹣x2+6 ﹣5 订交于、D两点．抛物线的极点为，连x x A C结 AC．（ 1）求A，D两点的坐标；（ 2）点P为该抛物线上一动点（与点A、 D不重合），连结 PA、PD．①当点 P 的横坐标为 2 时，求△PAD的面积；②当∠ PDA＝∠ CAD时，直接写出点P的坐标．解：（ 1）联立方程组，解得，，，∴（1，0），（4，3），A D（ 2）①过P 作⊥轴，与订交于点，PE x AD E∵点 P的横坐标为2，∴P（2，3）， E（2，1），∴PE＝3﹣1＝2，∴＝3；②过点 D作 DP∥AC，与抛物线交于点P，则∠ PDA＝∠ CAD，∵y＝﹣ x2+6x﹣5＝﹣（ x﹣3）2+4，∴ C（3，4），设 AC的分析式为： y＝ kx+b（ k≠0），∵A（1，0），∴，∴，∴AC的分析式为： y ＝2x﹣2，设 DE的分析式为： y＝2x+n，把D（4，3）代入，得3＝8+n，∴n＝﹣5，∴DE的分析式为： y＝2x﹣5，联立方程组，解得，，，∴此时 P（0，﹣5），当 P 点在直线 AD上方时，延伸 DP，与 y 轴交于点 F，过 F 作 FG∥AC ，FG与 AD交于点 G，则∠ FGD＝∠ CAD＝∠ PDA，∴FG＝FD，设 F（0， m），∵ AC的分析式为： y＝2x﹣2，∴FG的分析式为： y＝2x+m，联立方程组，解得，，∴ G（﹣ m﹣1，﹣ m﹣2），∴FG＝，FD＝，∵ FG＝FD，∴＝，∴ m＝﹣5或1，∵ F 在 AD上方，∴ m＞﹣1，∴ m＝1，∴ F（0，1），设 DF的分析式为： y＝ qx+1（ q≠0），把 D（4，3）代入，得4q+1＝3，∴ q＝，∴DF的分析式为： y＝ x+1，联立方程组∴，，∴此时P 点的坐标为，综上， P 点的坐标为（0，﹣ 5）或．6．综合与研究如图，抛物线y＝ ax2+bx+c（ a≠0）经过点 A、 B、C，已知点 C（0，4），△ AOC∽△ COB，且，点 P 为抛物线上一点（异于A， B）（1）求抛物线和直线AC的表达式（2）若点P是直线AC上方抛物线上的点，过点P作PF⊥AB，与AC交于点E，垂足为F．当PE＝ EF时，求点 P 的坐标（ 3）若点为x 轴上一动点，能否存在点，使得由，，，四点构成的四边形为平M P B C P M行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明原因解：（ 1），则OA＝4OC＝8，故点A（﹣8，0）；△ AOC∽△ COB，则△ ABC为直角三角形，2则 CO＝ OA?OB，解得： OB＝2，故点 B（2，0）；则抛物线的表达式为：y＝a（ x﹣2）（ x+8），将点 C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+4；精选文档666AC的表达式为：y＝x+4；由点A、 C的坐标可得直线（ 2）设点P（ x，﹣x2﹣x+4），则点E（ x，x +4），PE＝ EF，即﹣x2﹣x+4﹣x﹣4＝x+4；解得： x＝﹣8（舍去）或﹣2，故点 P（﹣2，6）；2（ 3）设点P（m，n），n＝﹣m﹣m+4，点 M（s，0），而点 B、C的坐标分别为：（2，0）、（ 0， 4）；①当 BC是边时，点 B 向左平移2个单位向上平移 4 个单位获得C，相同点 P（ M）向左平移 2 个单位向上平移 4 个单位获得M（ P），即 m﹣2＝ s， n+4＝0或 m+2＝ s， n﹣4＝0，解得： m＝﹣6或﹣ 3，故点P的坐标为：（﹣6，4）或（﹣ 3，﹣ 4）或（﹣﹣3，﹣ 4）；②当BC是对角线时，由中点公式得：2＝m+s，n＝ 4，故点 P（﹣6，4）；综上，点 P 的坐标为：（﹣6，4）或（﹣3，﹣4）或（﹣﹣3，﹣4）．7．如图 1，抛物线y＝x2+mx+4m与 x 轴交于点 A（ x1，0）和点 B（ x2，0），与 y 轴交于点C，且 x1， x2知足 x12+x22＝20，若对称轴在y 轴的右边．（1）求抛物线的分析式．（2）如图 2，若点P为线段AB上的一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为斜边，在直线 AB的同侧作等腰直角三角形△ APM和△ BPN，试确立△ MPN最大时 P 点的坐标．（ 3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤ x1≤ a+2，x2≥时，均有y1≤ y2，求 a 的取值范围．解：（ 1）x1+x2＝﹣ 2m，x1x2＝8m，则 x12+x22＝（ x1+x2）2﹣2x1x2＝20，即（﹣ 2m）2﹣ 16m＝ 20，解得： m＝5（舍去）或﹣1；故抛物线的表达式为：y＝x2﹣ x﹣4；（2）令y＝0，则x＝﹣ 2 或 4，故点A、B的坐标分别为：（﹣ 2，0）、（ 4，0），则AB＝6；设： AP＝ a，则 PN＝6﹣ a，∠ MPN＝180°﹣∠ MPA﹣∠ NPB＝90°；S△＝×PN× PMMPN＝a××（6﹣a）＝a（6﹣ a）＝﹣（ a﹣3）2+；∴当a＝3时， S最大，此时△MPNOP＝1，故点P（1，0）；（ 3）函数的对称轴为x＝1，如图，x＝﹣2.5和 x＝对于函数对称轴对称，纵坐标均为，由图象看， a≥﹣且a+2≤，解得：﹣≤ a≤．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的极点B， C， D 的坐标分别（1，0），（3，0），（ 3， 4），以A为极点的抛物线y＝ ax2+bx+c 过点 C．动点 P 从点 A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D 匀速运动，过点P 作PE⊥ x 轴，交对角线AC于点N．设点P运动的时间为t （秒）．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若PN分△ ACD的面积为1： 2 的两部分，求t的值；（ 3）若动点P 从A 出发的同时，点Q 从 C出发，以每秒1 个单位的速度沿线段CD向点D匀速运动，点H为线段PE上一点．若以C，Q，N，H为极点的四边形为菱形，求 t的值．解：（ 1）∵四边形ABCD为矩形，且B（1，0）， C（3，0）， D（3，4），∴ A（1，4），设抛物线的分析式为y＝a（ x﹣1）2+4，将 C（3，0）代入 y＝ a（x﹣1）2+4，得 0＝4a+4，解得 a＝﹣1，∴抛物线的分析式为 y＝﹣（ x﹣1）2+4＝﹣ x2+2x+3；（2）∵PE⊥x轴，DC⊥x轴，∴ PE∥DC，∴△ APN∽△ ADC，∵ PN分△ ACD的面积为1：2的两部分，∴＝或，当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴ AP＝，∴ t 的值为× 2＝；当＝时，＝＝，∵ AD＝2，∴ AP＝，∴ t 的值为× 2＝，综上所述，t 的值为或；（ 3）如图 2﹣ 1，当CN为菱形的对角线时，点 P，N的横坐标均为，设直线的分析式为y ＝+ ，AC kx b将 A（1，4）， C（3，0）代入 y＝ kx+b，得，解得，∴直线 AC的表达式为y＝﹣2x+6，将点 N的横坐标代入y＝﹣2x+6，得，即 EN＝4﹣ t ，由菱形 CQNH可得， CQ＝ NH＝ t ＝ CH，可得 EH＝（4﹣ t ）﹣ t ＝4﹣2t ，∵∴，，在 Rt △CHE中，222∵ CE+EH＝ CH，∴，解得， t 1＝，t2＝4（舍）；如图 2﹣ 2，当CN为菱形的边时，由菱形 CQHN可得， CQ＝ CN＝ t ，在 Rt △CNE中，222∵ NE+CE＝ CN，∴（ 4﹣t）2+（ 2﹣t ）2＝ t 2，解得， t 1＝20﹣8， t 2＝20+8（舍）；综上所述，t的值为或．9．如图1，过原点的抛物线与x 轴交于另一点A，抛物线极点 C 的坐标为，其对称轴交 x 轴于点 B．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右边的一个动点，求使△ACD 面积最大时点D的坐标；（ 3）在对称轴上能否存在点P，使得点 A对于直线OP的对称点 A'知足以点 O、A、C、A'为极点的四边形为菱形．若存在，恳求出点P的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）设抛物线分析式为y＝ a（ x﹣ h）2+k，（ a≠0）∵极点，∴，又∵图象过原点，∴，解出：，∴，即；（ 2）令y＝ 0，即，解得： x1＝0， x2＝4，∴ A（4，0），设直线 AC的分析式为y＝kx+b，将点 A（4，0），代入，得，精选文档666解得，∴直线AC的分析式为y＝﹣x+4，过点D作DF∥ y 轴交AC于点F，设，则，∴，∴＝，∴当m＝3时， S△ACD有最大值，当 m＝3时，，∴；（ 3）∵∠CBO＝∠CBA＝ 90°，OB＝AB＝ 2，∴，，∴OA＝OC＝ AC＝4，∴△ AOC为等边三角形，①如图 3﹣ 1，当点P在C时，OA＝AC＝CA'＝OA' ，∴四边形 ACA'O是菱形，∴；②作点 C对于 x 轴的对称点 C'，当点 A'与点 C'重合时， OC＝ AC＝AA'＝ OA'，∴四边形 OCAA'是菱形，∴点 P是∠ AOA'的角均分线与对称轴的交点，记为P2，∴，∵∠2＝ 90°，＝2，OBP OB22∴ OP＝2BP，∵∠2＝ 90°，＝2，OBP OB∴OP2＝2BP2，设 BP＝ x，2∴ OP＝2x，2又∵，∴（ 2x）2＝22 +x2，解得或，∴；综上所述，点P的坐标为或．10．已知二次函数与x轴交于A、B（A在B的左边）与y 轴交于点 C，连接 AC、BC．（ 1）如图 1，点P是直线BC上方抛物线上一点，当△ PBC面积最大时，点M、N分别为x、y 轴上的动点，连结PM、PN、 MN，求△ PMN的周长最小值；（ 2）如图 2，点C对于x轴的对称点为点E，将抛物线沿射线AE的方向平移获得新的拋物线 y'，使得 y'交 x 轴于点 H、B（ H在 B 的左边）．将△ CHB绕点 H 顺时针旋转90°至△C' HB'．抛物线 y'的对称轴上有一动点 S，坐标系内能否存在一点 K，使得以 O、C'、K、S 为极点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）如图 1，A（﹣ 2， 0），B（ 8， 0），C（ 0， 4），∴直线的分析式为，BC过点 P作 y 轴平行线，交线段BC于点 Q，设，∴＝，∵ 0＜m＜ 8，∴ P（4，6）．作 P 点对于 y 轴的对称点P1，P 点对于 x 轴的对称点 P2，连结 P1P 2交 x 轴、y 轴分别为 M，，N此时△的周长最小，其周长等于线段P1P2的长；PMN∵ P1（﹣4，6）， P2（4，﹣6），∴．（ 2）如图 2 中，∵ （ 0，﹣ 4），平移后的抛物线经过，，E E B∴抛物线的分析式为y ＝﹣x2+bx﹣ 4，把（ 8， 0）代入获得b＝4，B∴平移后的抛物线的分析式为y＝﹣x+4x﹣4＝﹣（x﹣2）（x﹣8），令 y＝0，获得 x＝2或8，∴ H（2，0），∵△ CHB绕点 H顺时针旋转90°至△ C′ HB′，∴C′（6，2），当 OC′＝ C′ S时，可得菱形 OC′S1 K1，菱形 OC′ S2K2，∵ ′＝′＝＝2，OC CS∴可得 S1（5，2﹣）， S2（5，2+），∵点 C′向左平移一个单位，向下平移获得 S1，∴点 O向左平移一个单位，向下平移个单位获得K1，∴K1（﹣1，﹣），同法可得K2（﹣1，），当′＝时，可得菱形′，菱形′，OC OS OC K3S3OC K4S4同法可得 K3（11，2﹣），K4（11，2+），当 OC′是菱形的对角线时，设2222，S5（5， m），则有 5 +m＝1 +（2﹣ m）解得 m＝﹣5，∴ S5（5，﹣5），∵点O向右平移5 个单位，向下平移 5 个单位获得S5，∴ C′向上平移 5 个单位，向左平移 5 个单位获得K5，∴ K5（1，7），综上所述，知足条件的点K的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣ 1，）或（ 11，2﹣）或（ 11， 2+）或（ 1，7）．11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（ a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点 C．（1）求该抛物线的分析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为 m（0＜ m＜3），连结 CD、BD、 BC、 AC，当△ BCD的面积等于△ AOC面积的2倍时，求 m的值；（ 3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中研究抛物线上能否存在点M，使得以 B，C，M，N为极点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出全部知足条件的点M的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）把（﹣ 1，0），（ 3，0）代入y ＝ax2+bx+2 中，得：，解得：，A B∴抛物线分析式为；（ 2）过点D作y轴平行线交BC于点 E，把 x＝0代入中，得：y＝2，∴ C点坐标是（0，2），又 B（3，0）∴直线的分析式为，BC∵∴∴＝，由S ＝2S 得：△BCD△AOC∴，2整理得： m ﹣ 3m +2＝ 0解得： m ＝ 1， m ＝ 212∵ 0＜ m ＜ 3∴ m 的值为 1 或 2；（ 3）存在，原因：设：点的坐标为：（ ， ）， ＝﹣2+x +2，点 （ 1， ），点 （ 3， 0）、 （ 0， 2），M m nnxNsBC①当是平行四边形的边时，BC当点 C 向右平移 3 个单位，向下平移 2 个单位获得 ，B相同点 M （ N ）向右平移 3 个单位，向下平移 2 个单位 N （ M ），故： m +3＝ 1， n ﹣ 2＝ s 或 m ﹣ 3＝ 1， n +2＝ s ，解得： m ＝﹣ 2 或 4，故点M 坐标为：（﹣ 2，﹣）或（4，﹣）；②当BC 为对角线时，由中点公式得：m +1＝ 3，n +3＝ 2，解得： m ＝ 2，故点M （ 2，2）；综上， M 的坐标为：（ 2，2）或（﹣2，）或（ 4，）．12．已知抛物线 y ＝ax 2﹣ 2ax +3 与 x 轴交于点 A 、 B （ A 左 B 右），且 AB ＝4，与 y 轴交于 C 点．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）如图，证明：对于随意给定的一点 P （0， b ）（ b ＞ 3），存在过点 P 的一条直线交抛物线于 M 、 N 两点，使得 PM ＝ MN 建立；（ 3）将该抛物线在 0≤ x ≤ 4 间的部分记为图象 G ，将图象 G 在直线 y ＝ t 上方的部分沿 y＝ t 翻折，其他部分保持不变，获得一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最m小值为 n ，若 m ﹣ n ≤ 6，求 t 的取值范围．解：（ 1）抛物线y＝ax2﹣ 2ax+3 的对称轴为x＝1，又AB＝4，由对称性得A（﹣ 1，0）、B （ 3， 0）．把 A（﹣1，0）代入 y＝ ax2﹣2ax+3，得 a+2a+3＝0，∴ a＝﹣1．∴抛物线的分析式为 y＝﹣ x2+2x+3．（2）如图，过M作GH⊥x轴，PG∥x轴，NH∥x轴，由 PM＝MN，则△ PMG≌△ NMH（ AAS），∴PG＝NH， MG＝MH．22设 M（m，﹣ m+2m+3），则 N（2m，﹣4m+4m+3），∵ P（0， b）， GM＝ MH，∴y G+y H＝2y M，222即 b+（﹣4m+4m+3）＝2（﹣ m+2m+3），∴2m＝ b﹣3，∵ b＞3，∴对于 m的方程总有两个不相等的实数根，此即说了然点M、 N存在，并使得PM＝MN．证毕；（ 3）图象翻折前后如右图所示，其极点分别为D（1，4）、 D′（1，2t ﹣4）．①当 D′在点 H（4，﹣5）上方时，2t﹣ 4≥﹣ 5，∴t≥﹣，此时， m＝ t ， n＝﹣5，∵ m﹣ n≤6，∴ t +5≤6，∴ t ≤1，∴﹣≤ t ≤1；②当点 D′在点 H（4，﹣5）下方时，同理可得： t ＜﹣，m＝t，n＝2t﹣4，由 m﹣n≤6，得 t ﹣（2t ﹣4）≤6，∴ t ≥﹣2，∴﹣2≤t＜﹣．综上所述，t的取值范围为：﹣2≤t≤ 1．y 轴交于13．如图，抛物线y＝ ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，与x 轴交于A，B两点，与点 C，点A 的坐标为（﹣2，0），点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD⊥ x 轴于点D，E．交直线BC于点（1）求抛物线分析式；（2）若点P在第一象限内，当OD＝ 4PE时：①求点 D、 P、 E的坐标；②求四边形 POBE的面积．（3）在（ 2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，能否存在这样的点 M和点 N，使得以点 B， D， M，N为极点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）∵抛物线y＝ ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1， A（﹣2，0）在抛物线上，∴x ＝﹣＝ 1，解得：a＝，b＝﹣，抛物线分析式为y＝x2﹣x﹣2；（ 2）令y＝x2﹣x﹣2＝0，（ x﹣4）（ x+2）＝0，解得： x1＝﹣2， x2＝4，当 x＝0时， y＝﹣2，由 B（4，0）， C（0，﹣2），得，直线BC的表达式为： y＝x﹣2设 D（m，0），∵ DP∥ y 轴，∴ E（ m，m﹣2）， P（ m，m2﹣ m﹣2），∵ OD＝4PE，2m﹣2﹣ m+2），∴ m＝4（ m﹣∴ m＝5， m＝0（舍去），∴ D（5，0）， P（5，），E（5，），∴四边形 POBE的面积＝ S△OPD﹣ S△EBD＝× 5×﹣× 1×＝；（ 3）存在，设M（ n，n ﹣2），①以 BD为对角线，如图1，∵四边形 BNDM是菱形，∴MN垂直均分 BD，∴n＝4+，∴M（，），∵M，N对于 x 轴对称，∴N（，﹣）；②以BD为边，如图2，∵四边形 BDMN是菱形，∴MN∥BD， MN＝BD＝ MD＝1，过 M作 MH⊥ x 轴于 H，222∴ MH+DH＝ DM，即（n﹣2）2+（ n﹣5）2＝12，∴n1＝4（不合题意）， n2＝5.6，∴N（4.6，），同理（n ﹣ 2）2+（4﹣）2＝ 1，n∴ n1＝4+（不合题意，舍去），n2＝4﹣，∴N（5﹣，﹣），③以 BD为边，如图3，过 M作 MH⊥ x 轴于 H，∴2+2＝2，MH BH BM即（n﹣2）2+（ n﹣4）2＝12，∴ n1＝4+， n2＝4﹣（不合题意，舍去），∴N（5+，），综上所述，点 N坐标为：（）或（，）或（ 5﹣，）或（5+，）．14．如图，矩形中，为原点，点A 在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（ 4，3），OABC O抛物线y ＝﹣x2+ +与y轴交于点，与直线AB交于点，与x轴交于，两点．bx c A D C E（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）点P 从点C出发，在线段上以每秒 1 个单位长度的速度向点B运动，与此同时，CB点Q 从点A出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点C运动，当此中一点抵达AC终点时，另一点也停止运动．连结、、，设运动时间为t （秒）．DP DQ PQ①当 t 为什么值时，△ DPQ的面积最小？②能否存在某一时辰t ，使△ DPQ为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明原因．解：（ 1）点A（ 0， 3），点C（ 4， 0），将点 A、 C的坐标代入抛物线表达式，解得：b＝，c＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（ 2）y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣4）（x+2），故点E（﹣2，0）；抛物线的对称轴为：x＝1，则点 D（2，3），由题意得：点Q（t ，3﹣ t ），点 P（4， t ），①△ DPQ的面积＝ S△ABC﹣（ S△ADQ+S△PQC+S△BPD）＝3×4﹣ [2 ×t +2（ 3﹣t）+（ 5﹣）× t ×]＝ t 2﹣2t ．∵＞ 0，故△的面积有最小值，此时，t ＝；DPQ②点（ 2， 3），点（t ， 3﹣），点（4，），D Q t P t （Ⅰ）当是斜边时，如图1，PQ过点作⊥于点，则＝，＝2﹣t ，＝ 4﹣ 2＝2，＝3﹣，Q QM ABMMQ t MD BD PBt则 tan ∠MQD＝ tan ∠BDP，即，解得：t＝（舍去）；（Ⅱ）当 PD为斜边时，过点 Q作 y 轴的平行线交AB于点 N，交过点 P 于 x 轴的平行线于点M，则 ND＝2﹣t ， QN＝ t ，MP＝4﹣t ， QM＝3﹣ t ﹣ t ＝3﹣2t ，同理可得：，解得： t ＝或；（Ⅲ）当 QD为斜边时，同理可得：故t ＝；综上， t ＝或或或．15．如图，已知抛物线y＝ ax2+bx+3经过点 A（﹣1，0）、B（3，0），且与 y 轴交于点 C，抛物线的极点为D，连结 BD，点 P 是线段 BD上的一个动点（不与B、 D）重合．（ 1）求抛物线的分析式，并写出极点D的坐标；（ 2）过点P 作⊥轴于点，求△面积的最大值及获得最大值时P点的坐标；PE y E PBE（3）在（ 2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断能否存在这样的点 M，使得以点 B， P， M， N为极点的四边形是平行四边若存在，请直接写出点 M 的坐标：若不存在，请说明原因．解：（ 1）∵二次函数y＝ ax2+bx+3经过点 A（﹣1，0）、B（3，0）∴因此二次函数的分析式为：y＝﹣ x2+2x+3∵ y＝﹣ x2+2x+3＝﹣（ x﹣1）2+4∴ D的坐标为（1，4）；（ 2）设BD的分析式为y＝ kx+b∵过点 B（3，0）， D（1，4）∴解得BD的分析式为y＝﹣2x+6设 P（m，﹣2m+6），∵ PE⊥y 轴于点 E，∴ PE＝m，△ BPE的 PE边上的高 h＝﹣2m+6，∴ S ＝×PE× h＝ m（﹣2m+6）△BPE2＝﹣ m+3m＝，∵ a＝﹣1＜0，∴当 m＝时△ BPE的面积获得最大值为，当 m＝时， y＝﹣2×+6＝3，∴ P 的坐标是（，3）；2（ 3）设点M（s， 0），点N（m，n），n＝﹣m+2m+3，①当 BP是边时，点 P 向右平移个单位向下平移 3 个单位获得B，同理点 M（ N）向右平移个单位向下平移 3 个单位获得N（ M），即 s＝m，0± 3＝n，解得： s＝﹣或或；②当 PB为对角线时，m+s＝3+，n＝3，解得： s＝或，故： M点的坐标为：；；；；；．。

图形面积问题例1、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？【答案】：宽6米，长10米【解析】：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=x x 3442+-=4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x ，∴2176<≤x ∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．例2、某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？【答案】：（1）四边形EFGH 是正方形（2）当CE =CF =0.1米时，总费用最省．【解析】：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE =CF =CG ．x∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+)24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．例3、某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？【答案】：（1）y=200)10(22+--=x （2）187.5【解析】：)240(x x y -=)20(22x x --= 200)10(22+--=x∵152400≤-<x∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小，∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．例4、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？【答案】：（1）25（2）25 【解析】：(1)∵长为x 米，则宽为350x -米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大．(2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x 米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．例5、如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．【答案】：x x y 34612+-=． 【解析】：∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠QPC=90°.∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90°.∴△ABP ∽△PCQ.,86,yx x CQ BP PC AB =-= ∴x x y 34612+-=． 例6、如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米？【答案】：0.5 【解析】：如图所示建立直角坐标系则：设c ax y +=2将点)1,5.0(-，)5.2,1(代入， ⎩⎨⎧+=+-⨯=c a c a 5.2)5.0(12，解得⎩⎨⎧==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．例7、小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？【答案】：（1） （2）15,225【解析】：（1）根据题意，得x x x x S 3022602+-=⋅-=自变量的取值范围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．例8、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？【答案】：（1）关于投资量的函数关系式是=，2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =（2）当8=x 时，z 的最大值为32【解析】：（1）设=,由图12-①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=， 故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =，由图12-②所示，函数2y =的图像过（2，2），所以，故利润2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =； （2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木(x -8)万元， 他获得的利润是万元，根据题意，得==+21y y += =∵021>=a ∴当时，的最小值是14；∴他至少获得14万元的利润．因为，所以在对称轴2=x 的右侧，z 随x 的增大而增大所以，当8=x 时，z 的最大值为32．例9、如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．【答案】：（1）1（2）40.5（3）最大面积为cm2【解析】：（1）设正方形的边长为cm，则．即．解得（不合题意，舍去），．剪去的正方形的边长为1cm．（2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：．即．改写为．当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．（3）有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2． 若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：x x x x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即．当时，．若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：x x x x y ⋅-⋅+-=2282)210(2． 即．当时，．比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm 2．例10、一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．【答案】：（1）抛物线的表达式是 （2）5.5（3）能通过【解析】：（1）根据题目条件，的坐标分别是．设抛物线的解析式为，将的坐标代入，得解得．所以抛物线的表达式是．（2）可设，于是从而支柱的长度是米．（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则点坐标是．过点作垂直交抛物线于，则．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．。

2020年中考必考经典（江苏版）专题24二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题【方法指导】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。

有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。

解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法有：（1）如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．（2）三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．（3）同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． （4）同底三角形的面积比等于高的比． （5）同高三角形的面积比等于底的比．【题型剖析】【类型1】二次函数与面积最值问题【例1】如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且． （1）求此抛物线的解析式；（2）当点位于轴下方时，求面积的最大值；（3）设此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； ②当时，直接写出的面积．2(1)y x k =-+x A B A B y(0,3)C -P m 0m >P x ABP ∆C P C )P h h m m 9h =BCP ∆【分析】（1）将点代入即可；（2）易求，，抛物线顶点为，当位于抛物线顶点时，的面积有最大值；（3）①当时，；当时，；当时，；②当时若，此时△，无解；若，则，则，的面积；【解析】解：（1）将点代入，得，； （2）令，或， ，，；抛物线顶点为，当位于抛物线顶点时，的面积有最大值， ；（3）①当时，；当时，；当时，；(0,3)C -2(1)y x k =-+(1,0)A -(3,0)B (1,4)-P ABP ∆)01m <223(23)2h m m m m =----=-+12m <3(4)1h =---=2m >2223(4)21h m m m m =----=-+9h =229m m -+=0<m 2219m m -+=4m =(4,5)P BCP ∆1118451(41)36222=⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=(0,3)C -2(1)y x k =-+4k =-22(1)423y x x x ∴=--=--0y =1x =-3x =(1,0)A ∴-(3,0)B 4AB ∴=(1,4)-P ABP ∆14482S =⨯⨯=01m <223(23)2h m m m m =----=-+12m <3(4)1h =---=2m >2223(4)21h m m m m =----=-+②当时若，此时△，无解； 若，则， ，，，的面积；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．【变式训练】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，点坐标为．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为，在轴上找一点，使最小，并求出点的坐标； （3）点是线段上的动点，过点作，交于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标；【分析】（1）把、两点坐标代入抛物线解析式可求得、的值，可求得抛物线解析； （2）可求得点关于轴的对称点的坐标，连接交轴于点，再求得直线的解析式，可求得点坐标；（3）过点作轴于点，设，可表示出、，再证明，可表示出，可得出关于的解析式，再根据二次函数的性质可求得点的坐标； （4）分、和三种情况，分别根据等腰三角形的性质求得点的坐标，进一步求得点坐标即可． 【解析】解：9h =229m m -+=0<m 2219m m -+=4m =(4,5)P ∴(3,0)B (0,3)C -BCP ∴∆1118451(41)36222=⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=22(0)y ax ax c a =-+≠y (0,4)C x A B A (4,0)N x K CK KN +K Q AB Q //QE AC BC E CQ CQE ∆Q A C a c C x C 'C N 'x K C K 'K E EG x ⊥G (,0)Q m AB BQ BQE BAC ∆≅∆EG CQE ∆m Q DO DF =FO FD =OD OF =F P（1）抛物线经过点，， ，解得，抛物线解析式为；（2）由（1）可求得抛物线顶点为，如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，设直线的解析式为，把、点坐标代入可得，解得，直线的解析式为，令，解得， 点的坐标为，； （3）设点，过点作轴于点，如图2，由，得，，(0,4)C (4,0)A ∴416840c a a =⎧⎨-+=⎩124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴2142y x x =-++9(1,)2N C x (0,4)C '-C N 'x KK C N 'y kx b =+C 'N 924k b b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩1724k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴C N '1742y x =-0y =817x =∴K 8(170)(,0)Q m E EG x ⊥G 21402x x -++=12x =-24x =点的坐标为，，，又， ，，即，解得； ．又，当时，有最大值3，此时；【类型2】二次函数与面积定值问题【例2】抛物线与轴交于，两点，顶点为，对称轴交轴于点，点为抛物线对称轴上的一动点（点不与，重合）．过点作直线的垂线交于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式；（2）当的面积为5时，求点的坐标；（3）当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．【分析】（1）函数的表达式为：，即可求解；（2）确定、的表达式，联立求得点，，，即可求解；（3）分当、、三种情况，分别求解即可．∴B (2,0)-6AB =2BQ m =+//QE AC BQE BAC ∴∆∆∽∴EG BQ CO BA =246EG m +=243m EG +=2211241281()(2)(4)(1)32233333CQE CBQ EBQ m S S S CO EG BQ m m m m ∆∆∆+∴=-=-=+-=-++=--+24m -∴1m =CQE S ∆(1,0)Q 229y x bx c =-++x (1,0)A -(5,0)B C xD P CD P C D C PB PBE xF PCF ∆P PCF ∆P 2(1)(5)9y x x =+-PB CE 2(23mF -0)112(2)(22)5223PCF mS PC DF m ∆=⨯⨯=---=CP CF =CP PF =CP PF =【解析】解：（1）函数的表达式为：；（2）抛物线的对称轴为，则点， 设点，将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得： 函数的表达式为：，，故直线表达式中的值为， 将点的坐标代入一次函数表达式， 同理可得直线的表达式为：， 解得：， 故点，， ，解得：或， 故点或；（3）由（2）确定的点的坐标得：，，， ①当时，即：，解得：或舍去）， ②当时，同理可得：， ③当时，同理可得：（舍去， 故点或或或 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【变式训练】已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；（2）如图1，连接交于点，当时，请求出点的坐标；222810(1)(5)9999y x x x x =+-=-++2x =(2,2)C (2,)P m P B y sx t =+PB 1533my mx =-+CE PE ⊥CE k 3mC CE 36(2)y x m m=+-223mx =-2(23mF -0)112(2|)(22)5223PCF mS PC DF m ∆=⨯⨯=---=5m =3-(2,3)P -(2,5)F 22(2)CP m =-222()43m CF =+2222()3mPF m =+CP CF =222(2)()43m m -=+0m =36(05CP PF=m CF PF =2m =±2)36(2,)5P (2,2)-23y ax bx =++(1,0)A (3,0)B -y C POP BC D :1:2CPD BPD S S ∆∆=D（3）如图2，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标；（4）如图3，是否存在点，使四边形的面积为8？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）函数的表达式为：，即可求解；（2），则，即可求解； （3），，则，故，即可求解； （4）利用，即可求解．【解析】解：（1）函数的表达式为：，即：，解得：，故抛物线的表达式为：①，顶点坐标为； （2）， ， ，， ，则点；（3）如图2，设直线交轴于点，E (0,1)-G x 15OGE ∠=︒PE 2PEG OGE ∠=∠P P BOCPP 2(1)(3)(23)y a x x a x x =-+=+-:1:2CPD BPD S S ∆∆=2233BD BC ==⨯15OGE ∠=︒230PEG OGE ∠=∠=︒45OHE ∠=︒1OH OE ==8OBC PBC BOCP S S S ∆∆=+=四边形2(1)(3)(23)y a x x a x x =-+=+-33a -=1a =-223y x x =--+⋯(1,4)-OB OC =45CBO ∴∠=︒:1:2CPD BPD S S ∆∆=2233BD BC ∴==⨯=sin 2D y BD CBO =∠=(1,2)D -PE x H，， ， ，则直线的表达式为：②， 联立①②并解得：（舍去正值）， 故点； （4）不存在，理由：连接，过点作轴的平行线交于点， 直线的表达式为：，设点，点，则，整理得：， 解得：△，故方程无解， 则不存在满足条件的点．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大．【类型3】二次函数与等面积问题【例3】如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点的坐标为，点为的中点，点在抛物线上．（1） 2 ；（2）若点在第一象限，过点作轴，垂足为，与、分别交于点、．是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，15OGE ∠=︒230PEG OGE ∠=∠=︒45OHE ∴∠=︒1OH OE ∴==HE 1y x =--⋯x =P BC P y BC H BC 3y x =+2(,23)P x x x --+(,3)H x x +()211332333822OBC PBC BOCP S S S x x x ∆∆=+=⨯⨯+--+--⨯=四边形23970x x ++=0<P 23y x bx =-++x A B y C A (1,0)-D OC P b =P P PH x ⊥H PH BC BD M N P PM MN NH ==P请说明理由；（3）若点的横坐标小于3，过点作，垂足为，直线与轴交于点，且，求点的坐标．【分析】（1）把点坐标代入二次函数解析式即求得的值．（2）求点、、坐标，求直线、解析式．设点横坐标为，则能用表示点、、、的坐标，进而用含的式子表示、、的长．以为等量关系列得关于的方程，求得的值合理（满足在第一象限），故存在满足条件的点，且求得点坐标．（3）过点作轴于，交直线于，根据同角的余角相等易证，所以，即在中，在中，，进而得，．设点横坐标为，可用表示、，即得到用表示、．又由易得．要对点位置进行分类讨论得到与的关系，即列得关于的方程．求得的值要注意是否符合各种情况下的取值范围．【解析】解：（1）二次函数的图象与轴交于点解得： 故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点，使得．二次函数解析式为P P PQ BD ⊥Q PQ x R 2PQB QRB S S ∆∆=P A b B C D BC BD P t t P M N H t PM MN NH PM MN =t t P P P P PF x ⊥F BD E EPQ OBD ∠=∠cos cos EPQ OBD ∠=∠=Rt PQE ∆cos PQ EPQ PE ∠==Rt PFR ∆cos PF RPF PR ∠==PQ =PR P t t PE PF t PQ PR 2PQB QRB S S ∆∆=2PQ QR =P PQ PR t t t 23y x bx =-++x (1,0)A -130b ∴--+=2b =P PM MN NH ==223y x x =-++当时，当时， 解得：， ，直线的解析式为点为的中点，直线的解析式为， 设，，则，，，，解得：，（舍去） ，的坐标为，，使得．（3）过点作轴于，交直线于 ，，于点，轴于点0x =3y =(0,3)C ∴0y=2230x x-++=11x =-23x =(1,0)A ∴-(3,0)B ∴BC 3y x =-+D OC 3(0,)2D ∴∴BD 1322y x =-+(P t 223)(03)t t t -++<<(,3)M t t -+13(,)22N t t -+(,0)H t 2223(3)3PM t t t t t ∴=-++--+=-+13133()2222MN t x t =-+--+=-+1322NH t =-+MN NH ∴=PM MN =213322t t t ∴-+=-+112t =23t =1(2P ∴15)4P ∴1(215)4PM MN NH ==P PF x ⊥F BD E 3OB =32OD =90BOD ∠=︒BD ∴=cos OB OBD BD ∴∠==PQ BD ⊥Q PF x ⊥F 90PQE BQR PFR ∴∠=∠=∠=︒90PRF OBD PRF EPQ ∴∠+∠=∠+∠=︒，即 在中， 在中， ，，设直线与抛物线交于点，解得：（即点横坐标），点横坐标为 设，，则，①若，则点在直线上方，如图2，，，即解得：，（舍去）②若，则点在轴上方、直线下方，如图3，此时，，即不成立． ③若，则点在轴下方，如图4，，，即 EPQ OBD ∴∠=∠cos cos EPQ OBD ∠=∠=Rt PQE∆cos PQ EPQ PE ∠==PQ ∴=Rt PFR∆cos PF RPF PR ∠==PR ∴==2PQB QRB S S ∆∆=12PQB S BQ PQ ∆=12QRB S BQ QR ∆=2PQ QR ∴=BD G 2132322x x x -+=-++13x =B 212x =-∴G 12-(P t 223)(3)t t t -++<13(,)22E t t -+2|23|PF t t ∴=-++221353|23()|||2222PE t t t t t =-++--+=-++132t -<<P BD 223PF t t ∴=-++25322PE t t =-++2PQ QR=23PQ PR ∴=∴253PF =65PE PF =22536()5(23)22t t t t ∴-++=-++12t =23t =(2,3)P ∴112t -<<-P x BD PQ QR <2PQB QRB S S ∆∆=1t <-P x 22(23)23PF t t t t ∴=--++=--221353(23)2222PE t t t t t =-+--++=--2PQ QR =2PQ PR ∴=∴52PF =25PE PF =解得：，（舍去），综上所述，点坐标为或，．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，同角的余角相等，三角函数的应用．第（3）题解题过程容易受第（2）题影响而没有分类讨论点的位置，要通过图象发现每种情况下相同的和不同的解题思路．【变式训练】如图，抛物线的图象过点、、．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在轴上方的抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22532()5(23)22t t t t ∴--=--143t =-23t =4(3P ∴-13)9-P (2,3)4(3-13)9-P 2y ax bx c =++(1,0)A -(3,0)B (0,3)C P PAC ∆P PAC ∆x M C PAM PAC S S ∆∆=M【分析】（1）由于条件给出抛物线与轴的交点、，故可设交点式，把点代入即求得的值，减小计算量．（2）由于点、关于对称轴：直线对称，故有，则，所以当、、在同一直线上时，最小．利用点、、的坐标求、的长，求直线解析式，把代入即求得点纵坐标．（3）由可得，当两三角形以为底时，高相等，即点和点到直线距离相等．若点在点上方，则有．由点、坐标求直线解析式，即得到直线解析式．把直线解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点坐标．若点在点下方，则此时所在的直线到直线的距离等于第一种情况时到的距离，故可用平移的方法来求此时点所在直线的解析式． 【解析】解：（1）抛物线与轴交于点、可设交点式把点代入得：抛物线解析式为（2）在抛物线的对称轴上存在一点，使得的周长最小． 如图1，连接、点在抛物线对称轴直线上，点、关于对称轴对称x (1,0)A -(3,0)B (1)(3)y a x x =+-C a A B 1x =PA PB =PAC C AC PC PA AC PC PB ∆=++=++C P B PAC C AC CB ∆=+A B C AC CB BC 1x =P PAM PAC S S ∆∆=PA C M PA M P //CM PA A P AP CM CM M M P M PA CM PA M x (1,0)A -(3,0)B ∴(1)(3)y a x x =+-(0,3)C 33a -=1a ∴=-2(1)(3)23y x x x x ∴=-+-=-++∴223y x x =-++P PAC ∆PB BC P 1x =A B PA PB ∴=当、、在同一直线上时，最小 、、， 最小设直线解析式为把点代入得：，解得：直线点使．（3）存在满足条件的点，使得．当以为底时，两三角形等高点和点到直线距离相等①若点在点上方，如图2，，，设直线解析式为 解得：直线直线解析式为：解得：（即点， 点坐标为②若点在点下方，如图3，则点所在的直线，且直线到的距离等于直线到的距离直线向下平移2个单位得即为直线的解析式解得：点在轴上方PAC C AC PC PA AC PC PB ∆∴=++=++C P B PC PB CB +=(1,0)A -(3,0)B (0,3)C AC ∴=BC ==PAC C AC CB ∆∴=+=BC 3y kx =+B 330k +=1k =-∴:3BC y x =-+132P y ∴=-+=∴(1,2)P PAC ∆M PAM PAC S S ∆∆=PAM PAC S S ∆∆=∴PA ∴C M PA M P //CM PA ∴(1,0)A -(1,2)P AP y px d =+∴02p d p d -+=⎧⎨+=⎩11p d =⎧⎨=⎩∴:1AP y x =+∴CM 3y x =+2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩1103x y =⎧⎨=⎩)C 2214x y =⎧⎨=⎩∴M (1,4)M P M //l PA l PA 3y x =+PA ∴:1AP y x =+1y x =-l 2123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩M x点坐标为综上所述，点坐标为或时，．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题利用等底等高面积相等可知点和点到直线距离相等，即点所在的直线与直线平行，有这样的直线有两条，需要分类讨论． 【类型4】二次函数与面积数量关系【例4】如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，为顶点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求该二次函数的表达式；（2）点是线段上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，且，求点的坐标．（3）试问在该二次函数图象上是否存在点，使得的面积是的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求解；0y ∴>∴M M (1,4)PAM PAC S S ∆∆=C M PA M PA x A B D B (5,0)D (1,3)E BD E x F ED EF =E G ADG ∆BDG ∆35G（2）可通过点，点求出线段所在的直线关系式，点在线段上，即可设点的坐标，利用点与点的关系公式，通过即可求解；（3）先求线段所在的直线解析式，当点在轴的上方时，过点作直线的垂线，交点垂足为，即可求与的高，利用三角形面积公式即可求．当点在轴的下方时，由，所以当与的高相等时，即存在点使得，此时，的直线经过原点，设直线的解析式为，求得与抛物线的交点即可．【解析】解：（1）依题意，设二次函数的解析式为将点代入得，得 二次函数的表达式为： （2）依题意，点，点，设直线的解析式为， 代入得，解得线段所在的直线为， 设点的坐标为：，，，整理得， 解得，（舍去） 故点的纵坐标为点的坐标为 （3）存在点， 当点在轴的上方时，B D BD E BD E EF ED =AD G x G :3490AD x y -+=(,)Q x y ADG ∆BDG ∆G x :3:5AO OB =ADG ∆BDG ∆G :3:5ADG BDG S S ∆∆=DG DG y kx =2(1)3y a x =-+B 20(51)3a =-+316a =-∴23(1)316y x =--+(5,0)B (1,3)D BD y kx b =+053k b k b =+⎧⎨=+⎩34154k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴BD 31544y x =-+E 315(,)44x x -+222315(1)(3)44ED x x ∴=-+-+-22315()44EF x =-+ED EF =222315315(1)(3)()4444x x x ∴-+-+-=-+225250x x +-=152x =25x =-E 3515154248y =-⨯+=∴E 515(,)28G G x设点的坐标为，点的坐标为，对称轴点的坐标为，设所在的直线解析式为，代入得，解得．直线的解析式为 的距离为5，过点作直线的垂线，交点垂足为， 得，化简得 由上式整理得，点到的距离为：， 由（2）知直线的解析式为：，的距离为5，同理得点至的距离为：， ， 整理得 点在二次函数上， 代入得， 整理得，G (,)m n B (5,0)1x =∴A (3,0)-∴AD y kx b =+033k b k b =-+⎧⎨=+⎩3494k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴AD 3944y x =+AD ∴G :3490AD x y -+=(,)Q x y 3()143490y n x m x y -⎧=-⎪-⎨⎪-+=⎩22222(34)[()()](349)x m y n m n +-+-=-+||GQ ∴==∴G AD 1349||5m n d -+=BD 31544y x =-+BD ∴∴G BD 23415||5m n d +-=∴121349321341552ADG BDGAD d S m n S m n BD d ∆∆-+===+-632900m n -+=G 23(1)316n m ∴=--+23632[(1)3]90016m m ---++=2660(1)0m m m m -=⇒-=解得，（舍去） 此时点的坐标为 当点在轴下方时，如图2所示，当与的高相等时，存在点使得，此时，的直线经过原点，设直线的解析式为， 将点代入得， 故，则有 整理得，， 得（舍去）， 当时，， 故点为， 综上所述，点的坐标为或．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．【变式训练】如图抛物线经过点，点，且．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点、在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形10m =21m =G 45(0,)16G x :3:5AO OB =∴ADG ∆BDG ∆G :3:5ADG BDG S S ∆∆=DG DG y kx =D 3k =3y x =233(1)316y x y x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩(1)(15)0x x -+=11x =215x =-15x =-45y =-G (15,45)--G 45(0,)16(15,45)--2y ax bx c =++(1,0)A -(0,3)C OB OC =D E 1x =1DE =D E ACDE的周长的最小值．（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．【分析】（1），则点，则抛物线的表达式为：，即可求解；（2），则当、、三点共线时，最小，周长也最小，即可求解；（3），即可求解．【解析】解：（1），点，则抛物线的表达式为：，故，解得：，故抛物线的表达式为：①，函数的对称轴为：；（2）的周长，其中、是常数， 故最小时，周长最小，取点关于函数对称点，则， 取点，则，故：，则当、、三点共线时，最小，周长也最小，四边形的周长的最小值；P CP CP CBPA 3:5P OB OC =(3,0)B 22(1)(3)(23)23y a x x a x x ax ax a =+-=--=--CD AE A D DC +='+'A 'D C 'CD AE A D DC +='+'11:():():22PCB PCA C P C P S S EB y y AE y y BE AE ∆∆=⨯-⨯-=OB OC =∴(3,0)B 22(1)(3)(23)23y a x x a x x ax ax a =+-=--=--33a -=1a =-223y x x =-++⋯1x =ACDE AC DE CD AE =+++AC 1DE =CD AE +C (2,3)C 'CD C D ='(1,1)A '-A D AE '=CD AE A D DC +='+'A 'D C 'CD AE A D DC +='+'ACDE 111AC DE CD AE A D DC A C =+++=+'+'+''（3）如图，设直线交轴于点，直线把四边形的面积分为两部分，又，则，或， 则或， 即：点的坐标为，或，，将点、的坐标代入一次函数表达式：， 解得：或，故直线的表达式为：或② 联立①②并解得：或8（不合题意值已舍去）， 故点的坐标为或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点点来求最小值，是本题的难点．【达标检测】1．如图，已知抛物线与轴交于点和点，交轴于点，过点作轴，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式；（2）若直线与线段、分别交于、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，求矩形的最大面积；（3）若直线将四边形分成左、右两个部分，面积分别为，，且，求的值．CP x E CP CBPA 3:511:():():22PCB PCA C P C P S S EB y y AE y y BE AE ∆∆=⨯-⨯-=:BE AE 3:5=5:352AE =32E 3(20)1(20)E C 3y kx =+6k =-2-CP 23y x =-+63y x =-+⋯4x =P (4,5)-(8,45)-A '23y ax bx =+-x (3,0)A -(1,0)B y C C //CD x D (30)y m m =-<<AD BD G H G EG x ⊥E H HF x ⊥F GEFH 1y kx =+ABCD 1S 2S 12:4:5S S =k【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、先利用待定系数法求出直线，的解析式，进而求出，的坐标，进而求出，即可得出结论；方法2、利用相似三角形的对应边上的高的比等于相似比，即可求出，即可得出结论； （3）先求出四边形的面积，分两种情况讨论计算即可．【解析】解：（1）抛物线与轴交于点和点，，，抛物线的解析式为；（2）方法1、由（1）知，抛物线的解析式为，， ， 或，，和点，直线的解析式为，直线的解析式为，直线与线段、分别交于、两点， ，，，AD BD G H GH GH ADNM 23y ax bx =+-x (3,0)A -(1,0)B ∴933030a b a b --=⎧⎨+-=⎩∴12a b =⎧⎨=⎩∴223y x x =+-223y x x =+-(0,3)C ∴-2233x x ∴+-=-0x ∴=2x =-(2,3)D ∴--(3,0)A -(1,0)B ∴AD 39y x =--BD 1y x =-(30)y m m =-<<AD BD G H 1(33G m ∴--)m (1,)H m m +，，，矩形的最大面积为3．方法2、由（1）知，抛物线的解析式为，， ， 或，，和点，如图1，过点作轴于，交于， ，直线与线段、分别交于、两点， ，， ， ，，，矩形的最大面积为3．（3），，，，， ，，，141(3)433GH m m m ∴=+---=+()22444343()33332GEFH S m m m m m ⎛⎫∴=-+=-+=-++ ⎪⎝⎭矩形32m ∴=-GEFH 223y x x =+-(0,3)C ∴-2233x x ∴+-=-0x ∴=2x =-(2,3)D ∴--(3,0)A -(1,0)B D DM x ⊥M GH N 3DN m ∴=+(30)y m m =-<<AD BD G H DGH DAB ∴∆∆∽∴DN GHDM AB =∴334m GH+=443GH m ∴=+()22444343()33332GEFH S m m m m m ⎛⎫∴=-+=-+=-++ ⎪⎝⎭矩形32m ∴=-GEFH (3,0)A -(1,0)B 4AB ∴=(0,3)C -(2,3)D --2CD ∴=()134292ABCD S ∴=⨯+=四边形12:4:5S S =，如图，当直线与相交时，设直线与线段相交于，与线段相交于， ，，，，，，，， 当点与点重合时，直线的解析式为， ，，，直线和线段相交时， 直线不能和线段相交，即：，2．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点在点的左边），点，在抛物线上．设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式．（2）当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．14S ∴=1y kx =+CD 1y kx =+AB M CD N 1(M k ∴-0)4(N k -3)-13AM k ∴=-+42DN k =-+1114(32)342S k k ∴=-+-+⨯=157k ∴=N D MN 21y x =+1(2M ∴-0)15(3)22AM ∴=---=∴MN AD 151534224AMN S ∆=⨯⨯=<最大∴1y kx =+AD 157k=2(0)y ax bx a =+<(10,0)E ABCD AB OE AB C D (,0)A t 2t =4AD =t ABCD 2t =ABCD G H GH【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；（3）由得出点、、、及对角线交点的坐标，由直线平分矩形的面积知直线必过点，根据知线段平移后得到的线段是，由线段的中点平移后的对应点是知是中位线，据此可得． 【解析】解：（1）设抛物线解析式为， 当时，，点的坐标为，将点坐标代入解析式得，解得：， 抛物线的函数表达式为；（2）由抛物线的对称性得， ，当时，，矩形的周长，， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为；E D (2,4)BE OA t ==102AB t =-x t =21542AD t t =-+2t =A B C D P GH GH P //AB CD OD GH OD Q P PQ OBD ∆(10)y ax x =-2t =4AD =∴D (2,4)∴D 164a -=14a =-21542y x x =-+BE OA t ==102AB t ∴=-x t =21542AD t t =-+∴ABCD 2()AB AD =+2152[(102)()]42t t t =-+-+21202t t =-++2141(1)22t =--+102-<∴1t =ABCD 412（3）如图，当时，点、、、的坐标分别为、、、，矩形对角线的交点的坐标为，当平移后的抛物线过点时，点的坐标为，此时不能将矩形面积平分； 当平移后的抛物线过点时，点的坐标为，此时也不能将矩形面积平分；当，中有一点落在线段或上时，直线不可能将矩形面积平分；当点，分别落在线段，上时，直线过点，必平分矩形的面积． ，线段平移后得到线段．线段的中点平移后的对应点是．，由平移知， 是的中位线， ，所以抛物线向右平移的距离是4个单位．3．已知：如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，该抛物线的顶点为．（1）求点、、的坐标． （2）求直线的函数解析式． （3）试说明：．（4）在抛物线上是否存在点，使直线把分成面积相等的两部分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2t =A B C D (2,0)(8,0)(8,4)(2,4)∴ABCD P (5,2)A H (4,4)GH C G (6,0)GH ∴G H AD BC GH G H AB DC GH P ABCD //AB CD ∴OD GH ∴OD Q P DP PB ∴=//PQ OB PQ ∴ODB ∆142PQ OB ∴==223y x x =--x A B y C M A B C BM 90CBM CMB ∠+∠=︒P CP BCM ∆P【分析】（1）根据题意可以直接可求点、、的坐标； （2）用待定系数法可求解析式；（3）根据两点距离公式可求，，的长度，根据勾股定理的逆定理可得，即可证：；（4）根据题意可求线段中点坐标，即可求直线解析式，且点在抛物线上，可列方程，即可求点坐标．【解析】解：（1）抛物线与轴交于、两点，点，点抛物线与轴交于点当时， 点坐标为（2）抛物线点设直线的解析式：过点，解得：，直线的解析式：（3）点，点，点A B C BM BC CM 90BCM ∠=︒90CBM CMB ∠+∠=︒BM CP P P 223y x x =--x A B 2023x x ∴=--13x ∴=21x =-∴(1,0)A -(3,0)B 223y x x =--y C ∴0x =3y =-∴C (0,3)-2223(1)4y x x x =--=--∴(1,4)M -BM y kx b =+(3,0)B (1,4)M -∴403k b k b -=+⎧⎨=+⎩2k =6b =-∴BM 26y x =-(1,4)M -(3,0)B (0,3)C -BC ∴=， ．．（4）如图：设直线与的交点为直线把分成面积相等的两部分和是等高的两个三角形即点是的中点 点，点点坐标为设直线的解析式为解得：， 直线解析式 点是直线与抛物线的交点BM=CM =2220BC CM +=220BM =222BC CM BM ∴+=90BCM ∴∠=︒90CBM CMB ∴∠+∠=︒CP BMF CP BCM ∆CMF BCF S S ∆∆∴=CMF ∆BCF ∆FM BF ∴=F BM (3,0)B (1,4)M -∴F (2,2)-CP y mx n =+∴322n m n =-⎧⎨-=+⎩12m =3n =-∴CP 132y x =-P CP 223y x x =--∴213232x x x -=--解得：（不合题意舍去）， 当时， 点坐标为，4．如图1，抛物线与相交于点、，与分别交轴于点、，且为线段的中点． （1）求的值； （2）若，求的面积；（3）抛物线的对称轴为，顶点为，在（2）的条件下：①点为抛物线对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标；②如图2，点在抛物线上点与点之间运动，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由两抛物线解析式可分别用和表示出、两点的坐标，利用为的中点可得到和之间的关系式；（2）由抛物线解析式可先求得点坐标，过作轴于点，可证得，由相似三角形的性质可得到关于的方程，可求得和的长，可求得的面积； （3）①连接与的交点即为满足条件的点，可求得的解析式，则可求得点坐标；②设出点坐标，则可表示出的面积，过点作轴的平行线交直线于点，可先求得的解析式，则可表示出的长，进一步可表示出的面积，则可表示出四边形的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及点的坐标．10x =252x =52x =255723424y =-⨯-=-∴P 5(27)4-21:C y x ax =+22:C y x bx =-+O C 1C 2C x B A B AO abOC AC ⊥OAC ∆2C l M P 2C l PAC ∆P E 2C O M OBCEE a b A B B OA a b C C CD x ⊥D OCD CAD ∆∆∽a OA CD OAC ∆OC l P OC P E EOB ∆E x BC N BC EN EBC ∆OBCE E【解析】解：（1）在中，当时，，，，，在中，当时，，，，，为的中点，，； （2）联立两抛物线解析式可得，消去整理可得，解得，，当时，，，过作轴于点，如图1，，， ，， ，即，2y x ax =+0y =20x ax +=10x =2x a =-(,0)B a ∴-2y x bx =-+0y =20x bx -+=10x =2x b =(,0)A b ∴B OA 2b a ∴=-∴12a b =-222y x ax y x ax ⎧=+⎨=--⎩y 2230x ax +=10x =232x a =-32x a =-234y a =∴233(,)24C a a -C CD x ⊥D ∴3(,0)2D a -90OCA ∠=︒OCD CAD ∴∆∆∽∴CD ODAD CD=2CD AD OD ∴=22313()()422a a a =--（舍去），（舍去），， （3）①抛物线， 其对称轴， 点关于的对称点为，， 则为直线与的交点， 设的解析式为，，得， 的解析式为， 当，； ②设，，， 则，而，，设直线的解析式为， 由，解得， 直线的解析式为，过点作轴的平行线交直线于点，如图2，10a ∴=2a =3a =∴2OA a =-=2314CD a ==∴12323OACS OA CD ∆==22:C y x x =-∴2:l x =A 2l (0,0)O C P OC 2l OC y kx=∴1=k OC ∴y =x=23y =∴2)3P 223(,)E m m m -+(E m 223)(0)m m -+2214)23OBE S m m ∆=-=+B C BC y kx b =+10b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2k b ==-∴BC 2y =-E x BC N则，即， ，，， 当，当， ，． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式；（2）直线与该抛物线在第四象限内交于点，与线段交于点，与轴交于点，且． ①求的值；②连接，，线段与线段交于点，与是否全等？请说明理由； （3）直线与该抛物线的交点为，（点在点的左侧），点关于轴22m -+-243x m =+224133EN m m m ∴=++-=+∴2213111(236EBC S m m m ∆=-+=+2222413362OBE EBC OBCE S S S m m m m ∆∆⎛⎫⎛∴=+=+++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭四边形230m∴m =S =最大m =2354y =-+=∴5)4E S 最大232y x bx c =++x (1,0)A -(2,0)B y C y x n =-+D BC E x F 4BE EC =n AC CD AC DF G AGF ∆CGD ∆(0)y m m =>M N M N M y的对称点为点，点的坐标为．若四边形的面积为．求点到的距离的值．【分析】（1）根据抛物线与轴交于，两点，可得抛物线的解析式；（2）①过点作轴于，则，根据平行线分线段成比例定理，可得，设点的坐标为，则，，根据，可得，再根据直线的解析式为，即可得到，，把的坐标代入直线，可得的值；②根据，，可得，再根据点的坐标为，点的坐标为，可得轴，，再根据，，即可判定；（3）根据轴对称的性质得出，进而判定四边形是平行四边形，再根据四边形的面积为，求得，再根据点的坐标为，，得到，中，运用勾股定理可得，最后根据，即可得到【解析】解：（1）抛物线与轴交于，两点， ，解得，该抛物线的解析式；（2）①如图，过点作轴于，则，， M 'H (1,0)OM NH '53H OM 'd 232y x bx c =++x (1,0)A -(2,0)B E EE x '⊥E '//EE OC '4BE OE ''=E (,)x y OE x '=4BE x '=2OB =25x =BC 332y x =-2(5E 12)5-E y x n =-+n (2,0)F -(1,0)A -1AF =D (1,3)-C (0,3)-//CD x 1CD =AFG CDG ∠=∠FAG DCG ∠=∠AGF CGD ∆≅∆1OH M N '==OM NH 'OM NH '5353OP =M 4(3-5)343PM '=Rt OPM '∆OM '=53OM d '⨯=d =232y x bx c =++x (1,0)A -(2,0)B ∴302620b c b c ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩323b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴233322y x x =--E EE x '⊥E '//EE OC '∴BE BEOE CE'='，，设点的坐标为，则，， ，，即，， 抛物线与轴交于点， ，设直线的解析式为， ，， ，解得，直线的解析式为， 当时，， ，，把的坐标代入直线，可得，解得；②与全等．理由如下： 直线的解析式为，当时，，，， ， ，，由解得，， 4BE EC =4BE OE ''∴=E (,)x y OE x '=4BE x '=(2,0)B 2OB ∴=42x x +=25x ∴=233322y x x =--y C (0,3)C ∴-BC y kx b '=+(2,0)B (0,3)C -∴203k b b '+=⎧⎨'=-⎩323k b ⎧=⎪⎨⎪'=-⎩∴BC 332y x =-25x =125y =-2(5E ∴12)5-E y x n =-+21255n -+=-2n =-AGF ∆CGD ∆EF 2y x =--∴0y =2x =-(2,0)F ∴-2OF =(1,0)A -1OA ∴=211AF ∴=-=2333222y x x y x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩112343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2213x y =⎧⎨=-⎩点在第四象限，点的坐标为，点的坐标为， 轴，，，， ；（3）抛物线的对称轴为，直线与该抛物线的交点为，， 点、关于直线对称， 设，则， 点关于轴的对称点为点， ，点在直线上，轴，， ， ，四边形是平行四边形，设直线与轴交于点， 四边形的面积为， ，即， ， 当时，解得，，点的坐标为，，，，即，中，， D ∴D (1,3)-C (0,3)-//CD x ∴1CD =AFG CDG ∴∠=∠FAG DCG ∠=∠AGF CGD ∴∆≅∆122b x a =-=(0)y m m =>M N ∴M N 12x =(,)N t m (1,)M t m -M y M '(1,)M t m '∴-∴M 'y m =//M N x '∴(1)1M N t t '∴=--=(1,0)H 1OH M N '∴==∴OM NH 'y m =y P OM NH '53513OH OP m ∴⨯=⨯=53m =53OP ∴=23353223x x --=143x =-273x =∴M 4(3-5)34(3M '∴5)343PM '=Rt OPM '∴∆OM '四边形的面积为， ， ．6．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数图象于点．（1）求的值和直线的解析式；（2）过点作于点，设，的面积分别为，，若，求的值；（3）点是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点是线段上的动点，当四边形是平行四边形，且周长取最大值时，求点的坐标．【分析】（1）把点坐标代入可求，应用待定系数法可求直线的解析式；（2）用表示、，易证，，得到与的数量关系可以构造方程；OM NH '5353OM d '∴⨯=41d ∴=23(2)34y ax a x =--+(4,0)A y B x(C m 0)(04)m <<C x AB E D a AB D DF AB ⊥F ACE ∆DEF ∆1S 2S 124S S =m H G AB DEGH DEGHG A 23(2)34y ax a x =--+a AB m DE AC DEF AEC ∆∆∽124S S =DE AE（3）用表示，由平行四边形性质，可得，之间数量关系，利用相似用表示，表示周长，利用函数性质求出周长最大时的值，可得值，进而求点坐标．【解析】解：（1）把点代入，得解得 函数解析式为： 设直线解析式为 把，代入 解得直线解析式为：（2）由已知，点坐标为点坐标为轴，n GH DE GH =m n GM EG DEGH m n G (4,0)A 2304(2)434a a =--⨯+34a =-∴239344y x x =-++AB y kx b =+(4,0)A (0,3)B 043k bb =+⎧⎨=⎩343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴AB 334y x =-+D 239(,3)44m m m -++E 3(,3)4m m -+4AC m ∴=-223933(3)(3)34444DE m m m m m =-++--+=-+//EC y ∴43AC AO EC OB ==5(4)4AE m ∴=-90DFA DCA ∠=∠=︒FBD CEA ∠=∠DEF AEC ∴∆∆∽124S S =解得，（舍去） 故值为（3）如图，过点做于点，设点的横坐标为，由（2）同理四边形是平行四边形整理得：，即由已知周长时，最大．2AE DE ∴=∴253(4)2(3)44m m m -=-+156m =24m =m 56G GM DC ⊥M Gn 2334DE m m =-+2334HG n n =-+DEGH 22333344m m n n ∴-+=-+3()[()3]04n m n m -+-=m n ≠4m n ∴+=4n m =-42MG n m m ∴=-=-EMG BOA ∆∆∽∴43MG EM =5(42)4EG m ∴=-DEGH ∴223532[3(42)]10442L m m m m m =-++-=-++302a =-<113232()2b m a ∴=-=-=⨯-L。

2020年中考数学二轮专题——二次函数与几何图形综合（压轴）题型一、基础过关1. (2019宿迁)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO.求点P的坐标；(3)如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM＋DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．第1题图2. (2019贺州)如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(－1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象经过A，B，C三点．(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P 的坐标及PD的最大值．第2题图二、能力提升1. (2019菏泽)如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C (0，－2)，点A 的坐标是(2，0)，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线x ＝－1.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 在第二象限内，且PE ＝14OD ，求△PBE 的面积；(3)在(2)的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图三、满分冲关1. (2019襄阳)如图，在直角坐标系中，直线y ＝－12x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点B ，点C ，对称轴为x＝1的抛物线过B , C 两点，且交x 轴于另一点A ，连接A C.(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标和抛物线的解析式；(2)已知点P 为第一象限内抛物线上一点，当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标； (3)抛物线上是否存在一点Q (点C 除外)，使以点Q ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2、(2019滨州)如图①，抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D .(1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点． ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠P AD 的值．3、(2019金牛区一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的两个交点分别为A (－3，0)、B (1，0)，与y 轴交于点D (0，3)，过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H .(1)求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；(2)连接AD 、CD ，若点E 为抛物线上一动点(点E 与顶点C 不重合)，当△ADE 与△ACD 面积相等时，求点E 的坐标；(3)若点P 为抛物线上一动点(点P 与顶点C 不重合)，过点P 向CD 所在的直线作垂线，垂足为点Q ，以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△ACH 相似时，求点P 的坐标．第1题图备用图参考答案一、基础过关1. 解：(1)把A (1，0)，C (0，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得，⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝－3， ∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3；(2)如解图，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′C ，作AD ⊥A ′C 于点D ， ∴点A ′的坐标为(－1，0)， 则AA ′＝2，OC ＝3，A ′C ＝10， ∵S △A ′AC ＝12AA ′·OC ＝12A ′C ·AD ，∴AD ＝AA ′·OC A ′C ＝3105，在Rt △A ′AD 中，∵A ′D 2＋AD 2＝A ′A 2， ∴A ′D 2＋(3105)2＝22.解得A ′D ＝105(负值已舍去)， ∴DC ＝4105，∴tan ∠ACA ′＝AD DC ＝34. 由对称可得∠ACD ＝2∠ACO ，则∠P AB ＝∠ACA ′， 设P (a ，a 2＋2a －3)，①如解图，当点P 在x 轴的上方时，作P 1H 1⊥x 轴于点H 1， ∴tan ∠P 1AB ＝P 1H 1AH 1＝a 2＋2a －31－a ＝34，解得a 1＝1(舍)，a 2＝－154，把a ＝－154代入得P (－154，5716)；②如解图，当点P 在x 轴的下方时，作P 2H 2⊥x 轴于点H 2， ∴tan ∠P 2AB ＝P 2H 2AH 2＝－a 2－2a ＋31－a ＝34，解得a 3＝1(舍)，a 4＝－94，把a ＝－94代入得P (－94，－3916)，综上所述，点P 的坐标为(－154，5716)或(－94，－3916)；第1题解图(3)是．设Q (m ，m 2＋2m －3)，则－3＜m ＜1. 设直线AQ 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，把A (1，0)，Q (m ，m 2＋2m －3)，代入解析式解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝m ＋3b 1＝m －3， ∴y ＝(m ＋3)x －m －3， 当x ＝－1时，y ＝－2m －6， 设直线BQ 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，把B (－3，0)，Q (m ，m 2＋2m －3)代入y ＝k 2x ＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝m －1b 2＝3m －3，∴y ＝(m －1)x ＋3m －3， 当x ＝－1时，y ＝2m －2， ∴DM ＝2m ＋6，DN ＝－2m ＋2， ∴DM ＋DN ＝2m ＋6－2m ＋2＝8. 2. 解：(1)∵B (－1，0)， ∴OB ＝1.又∵OA ＝OC ＝4OB ， ∴OA ＝OC ＝4， ∴A (4，0)，C (0，－4)；(2)将A 、B 、C 三点坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得，⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝0a －b ＋c ＝0c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3c ＝－4， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x －4；(3)如解图，过点P 作PE ⊥x 轴交AC 于点E ， ∴PE ∥y 轴． ∵OA ＝OC ，∴∠PED ＝∠OCA ＝45°， ∴△DEP 为等腰直角三角形， ∴PD ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PD 取得最大值， 易得直线AC 的解析式为y ＝x －4， 设P (x ，x 2－3x －4)，则E (x ，x －4)，则PE ＝(x －4)－(x 2－3x －4)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∵0＜x ＜4，∴当x ＝2时，PE 取得最大值，最大值为4， 此时PD 取得最大值，最大值为4×22＝22，∴点P 的坐标为(2，－6)．第2题解图二、能力提升1. 解：(1)∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为(2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝－1， ∴点B 的坐标为(－4，0)．∴设抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋4)(x －2)，将点C (0，－2)代入得－8a ＝－2，解得a ＝14.∴抛物线的函数表达式为y ＝14(x ＋4)(x －2)＝14x 2＋12x －2；(2)设点P 的坐标为(x ，14x 2＋12x －2)，则点D 的坐标为(x ，0)，设BC 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b ， 将B (－4，0)，C (0，－2)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝－2， ∴BC 所在直线的表达式为y ＝－12x －2.∴点E 的坐标为(x ，－12x －2)．∴PE ＝14x 2＋x .∵PE ＝14OD ，∴14x 2＋x ＝－14x ，即14x 2＋54x ＝0， 解得x ＝－5或x ＝0(舍)． ∴PE ＝54，BD ＝1，∴S △PBE ＝12PE ·BD ＝12×54×1＝58；(3)存在．①当DM ＝DB ＝1时，如解图①，过点M 作MF ⊥x 轴于点F ， 设M (m ，－12m －2)，则MF ＝－12m －2，DF ＝－m －5，∵MF 2＋DF 2＝DM 2，∴(－12m －2)2＋(－m －5)2＝1，解得m ＝－285或m ＝－4(舍去)．∴点M 的坐标为(－285，45)；第1题解图①②当BD ＝BM ＝1时，如解图②，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ， ∵DE ⊥x 轴， ∴DE ∥MN ，∴BN ∶BD ＝BM ∶BE ，∴BN ∶1＝1∶BE . ∵E (－5，12)，∴DE ＝12，∴BE ＝52， ∴BN ∶1＝1∶52，解得BN ＝255. ∴点M 的横坐标为－4－255，将x ＝－4－255代入y ＝－12x －2，得y ＝55，即点M 的坐标为(－4－255，55)．综上所述，点M 的坐标为(－285，45)或(－4－255，55)．第1题解图②三、满分冲关1. 解：(1)A (－4，0)，B (6，0)，C (0，3)，抛物线的解析式为y ＝－18x 2＋14x ＋3；【解法提示】令y ＝－12x ＋3＝0，解得x ＝6，令x ＝0，得y ＝3，∴B (6，0)，C (0，3)．∵抛物线的对称轴为x ＝1，且过点B 、A ，∴抛物线与x 轴的另一交点A 坐标为(－4，0)，设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋4)(x －6)，将点C (0，3)代入得－24a ＝3，解得a ＝－18.∴y ＝－18(x ＋4)(x －6)＝－18x 2＋14x ＋3(2)如解图①，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，交BC 于点Q ，过点P 作PH ⊥BC 于点H . ∵OC ＝3，OB ＝6， ∴BC ＝OC 2＋OB 2＝3 5. 又∵∠HQP ＝∠GQB ， ∴∠HPQ ＝∠CBO ， ∴sin ∠HPQ ＝sin ∠CBO ＝55. 故点P 到直线BC 的距离最大，即PQ 最大． 设P (m ，－18m 2＋14m ＋3)，Q (m ，－12m ＋3)，∴PQ ＝－18m 2＋14m ＋3－(－12m ＋3)＝－18(m －3)2＋98.∵－18＜0，∴当m ＝3时，PQ 有最大值为98.∴P (3，218)；第1题解图①(3)存在．由(1)得A (－4，0)、B (6，0)、C (0，3)， ∴AB ＝10，AC ＝32＋42＝5. 分为两种情况分类讨论：①当△ABC ∽△AQB 时，如解图②所示． ∴AC AB ＝ABAQ，∠CAB ＝∠BAQ . ∴AQ ＝AB 2AC ＝1025＝20，过点Q 作QD ⊥x 轴，垂足为点D ， ∴QD ＝AQ ·sin ∠BAQ ＝20×35＝12，AD ＝AQ ·cos ∠BAQ ＝20×45＝16.∴Q (12，－12)．第1题解图②②当△ABC ∽△BQA 时，如解图③所示， ∴AB BQ ＝ACAB，∠CAB ＝∠ABQ . ∴BQ ＝AB 2AC＝20，过点Q 作QE ⊥x 轴，垂足为E ，同理可得QE ＝BQ ·sin ∠ABQ ＝20×35＝12，BE ＝BQ ·cos ∠ABQ ＝20×45＝16， ∴Q (－10，－12)．综上所述，点Q 的坐标是(12，－12)或(－10，－12)．第1题解图③2、解：(1)抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4， 令x ＝0，可得A 点的坐标为(0，4)，令y ＝0，可得B 点的坐标为(－4，0)，C 点的坐标为(8，0)．易得直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋4，∵OA ＝OB ，∴∠BAO ＝45°.又∵直线AD 由直线AB 逆时针旋转90°而来，∴∠BAD ＝90°，∴∠OAD ＝45°，△OAD 为等腰直角三角形，∴OD ＝OA ＝4，D (4，0)，易得直线AD 的函数解析式为y ＝－x ＋4；(2)①如解图①，过点P 作PE ⊥x 轴交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，第1题解图①易得△PEF 为等腰直角三角形，∴PF ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PF 取得最大值，设P (x ，－18x 2＋12x ＋4)， 则E (x ，－x ＋4)，∴PE ＝－18x 2＋12x ＋4－(－x ＋4)＝－18x 2＋32x ＝－18(x －6)2＋92， ∴当x ＝6时，PE 有最大值92， 此时PF 有最大值924， ∴当x ＝6时，－18x 2＋12x ＋4＝52， ∴当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标为(6，52)，最大距离为924； ②如解图②，连接AP ，过点P 作PE ⊥x 轴，交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，当点P 到AD 的距离为524时，PF ＝524， 则此时PE ＝2PF ＝52， 将PE ＝52代入PE ＝－18(x －6)2＋92中， 解得x 1＝10，x 2＝2，∴此时点P 的坐标为(10，－72)或(2，92)， 当点P 的坐标为(2，92)时，AP ＝22＋（92－4）2＝172， ∴sin ∠P AD ＝524172＝53434； 当点P 的坐标为(10，－72)时， AP ＝102＋（－72－4）2＝252， ∴sin ∠P AD ＝PF AP ＝524252＝210. 综上，sin ∠P AD 的值是53434或210.3、1. 解：(1)把点A 、B 、D 的坐标分别代入抛物线的解析式中得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝09a －3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a＝－1， ∴点C 的坐标为(－1，4)；(2)如解图①，过点C 作CE ∥AD 交抛物线于点E ，交y 轴于点T ，则△ADE 与△ACD 面积相等，直线AD 过点D ，设其解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得：0＝－3m ＋3，解得m ＝1，则直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∵CE ∥AD ，设直线CE 的解析式为y ＝x ＋n ，将点C 的坐标代入上式得：4＝－1＋n ，解得n ＝5，则直线CE 的解析式为y ＝x ＋5，则点T 的坐标为(0，5)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋5， 解得x ＝－1或x ＝－2(x ＝－1为点C 的横坐标)，即点E 的坐标为(－2，3)；在y 轴取一点H ′，使DT ＝DH ′＝2，过点H ′作直线E ′E ″∥AD ，则△ADE ′和△ADE ″都与△ACD 面积相等，同理可得直线E ′E ″的解析式为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋1， 解得x ＝－3±172， ∴点E ″、E ′的坐标分别为(－3＋172，－1＋172)、(－3－172，－1－172)， 综上，满足要求的点E 的坐标为(－2，3)或(－3＋172，－1＋172)或(－3－172，－1－172)；第1题解图①(3)如解图②，设点P 的坐标为(m ，n )，则n ＝－m 2－2m ＋3，把点C 、D 的坐标代入一次函数的解析式y ＝kx ＋b 得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝－k ＋b b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3， 即直线CD 的解析式为y ＝－x ＋3，由(1)得，直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∴AD ⊥CD ，而直线PQ ⊥CD ，故直线PQ 的解析式中的k 值与直线AD 的解析式中的k 值相同， 同理可得直线PQ 的解析式为y ＝x ＋(n －m )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝x ＋（n －m ）， 解得x ＝3＋m －n 2，即点Q 的坐标为(3＋m －n 2，3－m ＋n 2)， 则PQ 2＝(m －3＋m －n 2)2＋(n －3－m ＋n 2)2＝（m ＋n －3）22＝12(m ＋1)2·m 2， 同理可得：PC 2＝(m ＋1)2[1＋(m ＋1)2]，AH ＝2，CH ＝4，则AC ＝25，当△ACH ∽△CPQ 时，PC PQ ＝AC CH ＝52， 即4PC 2＝5PQ 2，整理得3m 2＋16m ＋16＝0，解得m ＝－4或m ＝－43， ∴点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)； 当△ACH ∽△PCQ 时，同理可得，点P 的坐标为(－23，359)或(2，－5)， 综上所述，点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)或(－23，359)或(2，－5)．第1题解图②。

2020年中考数学冲刺难点突破 二次函数问题专题三 二次函数中的相似三角形综合问题1、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点分别为A （﹣6，0）和点B （4，0），与y 轴的交点为C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段OA 上一动点（不与点A 重合），过P 作平行于y 轴的直线与AC 交于点Q ，点D 、M 在线段AB 上，点N 在线段AC 上．①是否同时存在点D 和点P ，使得△APQ 和△CDO 全等，若存在，求点D 的坐标，若不存在，请说明理由； ②若∠DCB=∠CDB ，CD 是MN 的垂直平分线，求点M 的坐标．【答案】（1）y=﹣18x 2﹣14x+3；（2）①点D 坐标为（﹣32，0）；②点M （32，0）.【分析】（1）应用待定系数法问题可解；（2）①通过分类讨论研究△APQ 和△CDO 全等②由已知求点D 坐标，证明DN ∥BC ，从而得到DN 为中线，问题可解【解析】（1）将点（-6，0），C （0，3），B （4，0）代入y=ax 2+bx+c ，得{36a −6b +c ＝016a +4b +c ＝0c ＝0，解得：{ a ＝−18b ＝−14c ＝3 ，∴抛物线解析式为：y=-18x 2-14x+3； （2）①存在点D ，使得△APQ 和△CDO 全等，当D 在线段OA 上，∠QAP=∠DCO ，AP=OC=3时，△APQ 和△CDO 全等，∴tan ∠QAP=tan ∠DCO ，OC OA＝OD OC ， ∴36＝OD 3，∴OD=32， ∴点D 坐标为（-32，0）.由对称性，当点D 坐标为（32，0）时，由点B 坐标为（4，0），此时点D （32，0）在线段OB 上满足条件．②∵OC=3，OB=4，∴BC=5，∵∠DCB=∠CDB ，∴BD=BC=5，∴OD=BD-OB=1，则点D 坐标为（-1，0）且AD=BD=5，连DN ，CM ，则DN=DM ，∠NDC=∠MDC ，∴∠NDC=∠DCB ，∴DN ∥BC ，∴AN NC ＝AD DB ＝1，则点N 为AC 中点．∴DN 时△ABC 的中位线，∵DN=DM=12BC=52，∴OM=DM-OD=32∴点M （32，0）【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数待定系数法、三角形全等的判定、锐角三角形函数的相关知识．解答时，注意数形结合2、如图，已知二次函数22y x x m =-+的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点.（1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan 3ABQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得QBP ∆∽COA ∆？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3m =-；（2）()4,21Q -或()2,3Q -；（3）不存在，理由见解析.【思路引导】（1）设对称轴与x 轴交于点E ，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE 的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA 的长，进而可得点A 的坐标，再把点A 的坐标代入抛物线解析式即可求出m 的值； （2）设点Q 的横坐标为n ，当点Q 在x 轴上方时，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，利用tan 3ABQ ∠=可得关于n 的方程，解方程即可求出n 的值，进而可得点Q 坐标；当点Q 在x 轴下方时，注意到tan 3BAC ∠=，所以点Q 与点C 关于直线1x =对称，由此可得点Q 坐标；（3）当点Q 为x 轴上方的点时，若存在点P ，可先求出直线BQ 的解析式，由BP ⊥BQ 可求得直线BP 的解析式，然后联立直线BP 和抛物线的解析式即可求出点P 的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P 是否满足条件；当点Q 取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可.【解析】解：（1）设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，如图1，∴y 轴//ED ，∴::1AC CD AO OE ==，∵抛物线的对称轴是直线212x -=-=，∴OE =1，∴1AO OE ==，∴()1,0A - ∴将点()1,0A -代入函数表达式得：120m ++=，∴3m =-；（2）设()2,23Q n n n --， ①点Q 在x 轴上方时，0n <，如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，∵tan 3ABQ ∠=，∴22333n n n--=-，解得：4n =-或3n =（舍），∴()4,21Q -；②点Q 在x 轴下方时，∵OA =1，OC =3，∴tan 3BAC ∠=，∵tan 3ABQ ∠=，∴点Q 与点C 关于直线1x =对称，∴()2,3Q -；（3）①当点Q 为()4,21-时，若存在点P ，使QBP ∆∽COA ∆，则∠PBQ =∠COA =90°，由B （3，0）、Q ()4,21-可得，直线BQ 的解析式为：39y x =-+，所以直线PB 的解析式为：113y x =-， 联立方程组：211323y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，2223119x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴211,39P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵:1:3OA OC =，:1:3BP BQ =≠， ∴::BP BQ OA OC ≠，∴P 不存在；②当点Q 为()2,3-时，如图4，由B （3，0）、Q ()2,3-可得，直线BQ 的解析式为：39y x =-，所以直线PB 的解析式为：113y x =-+， 联立方程组：211323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，2243139x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴413,39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵:1:3OA OC =，:1:3BP BQ =≠， ∴::BP BQ OA OC ≠，∴P 不存在.综上所述，不存在满足条件的点P ，使QBP ∆∽COA ∆.【方法总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数和两个函数的交点等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握上述知识、灵活应用分类和数形结合的数学思想是解题的关键.3、在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为.（1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D.若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.()2y ax c a x c =+-+L 'L '【答案】(1) y =－x 2－5x －6；(2)符合条件的点P 的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。

专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。

与面积有关的问题，更是常见。

本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。

同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。

【知识点梳理】类型一：面积等量关系类型二：面积平分方法一：利用割补将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。

）方法二： 铅锤法铅锤高水平宽⨯=21S方法三 ：其他面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比．如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3【典例分析】【类型一：面积等量关系】【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．点P 在抛物线上，连接BC ，BP ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A （﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【类型二：面积平分】【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

2020中考数学 二轮突破 二次函数与几何综合（含答案）二次函数与三角形判定1. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B 两点，与y 轴交于C (0，－3)，顶点为D .(1)求抛物线表达式；(2)点N 为抛物线对称轴上一动点，若以B 、N 、C 为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N 的坐标．第1题图解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过A (－1，0)、C (0，－3)，∴⎩⎨⎧-==+-301c c b ，解得⎩⎨⎧-=-=32c b ， ∴抛物线表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)由(1)知抛物线对称轴为x ＝－b 2a ＝1，则设N (1，n )，易知B (3，0)，则BN ＝4＋n 2，NC ＝()231n --+，BC ＝32， 如解图，连接NC 、NB ，①若∠BNC ＝90°，则BC 2＝BN 2＋NC 2，即18＝4＋n 2＋1＋9＋6n ＋n 2，∴n 2＋3n －2＝0，∴解得n ＝－3±172， ∴N (1，2173+-)或N (1，2173--)； ②若∠NBC ＝90°，则NC 2＝BN 2＋BC 2，即1＋9＋6n ＋n 2＝4＋n 2＋18， 第1题解图∴n ＝2，∴N (1，2)；③若∠NCB ＝90°，则BN 2＝NC 2＋BC 2，即4＋n 2＝1＋9＋6n ＋n 2＋18，∴n ＝－4，∴N (1，－4)．综上，当N (1，2173+-)或N (1，2173--)或N (1，2)或N (1，－4)时，以B 、N 、C 为顶点的三角形为直角三角形．2. 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m －1过原点O ，与x 轴的另一个交点为A ，顶点为D ，我们称由抛物线的顶点和与x 轴的两个交点组成的三角形为该抛物线的“顶点三角形”．(1)求m 的值；(2)判断该“顶点△ADO ”的形状，并说明理由；(3)将此抛物线平移后，经过点C (1，0)，且“顶点三角形”为等边三角形，求平移后的抛物线表达式．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m －1经过坐标原点，∴把(0，0)代入表达式得m －1＝0，∴m ＝1；(2)该“顶点△ADO ”为等腰直角三角形．理由如下：如解图①，∵m ＝1，∴抛物线表达式为y ＝－x 2＋2x ，变形为y ＝－(x －1)2＋1，∴点D 坐标为(1，1)，∴OD ＝ 2.把y ＝0代入表达式得，x 1＝0，x 2＝2，∴A 点坐标为(2，0)，∴AD ＝2，OA ＝2，∴OD ＝AD ，OA 2＝OD 2＋AD 2，∴∠ADO ＝90°，∴△ADO 为等腰直角三角形；图① 图②第2题解图(3)如解图②，设所求抛物线表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，∵抛物线经过点C (1，0)，∴b ＋c ＝1①，设点D ′为平移后抛物线顶点，∴D ′(b 2，4c ＋b 24)，∵tan ∠D ′CE ＝tan60°＝4c ＋b 24b 2－1＝3②，①②两式联立，解得b ＝23＋2，c ＝－23－1，(b ＝2，c ＝－1舍去) ∴平移后抛物线的表达式为y ＝－x 2＋(23＋2)x －1－2 3.3. 已知抛物线y ＝－x 2＋2x －3.(1)说明抛物线与x 轴的交点情况以及抛物线在坐标系中经过的象限；(2)将抛物线y＝－x2＋2x－3平移，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点，且点B的坐标为(2，0)，顶点为点M.若△ABM恰好是等腰直角三角形，求平移后的抛物线的表达式．解：(1)∵b2－4ac＝4－12＝－8<0，∴抛物线与x轴没有交点；∵a＝－1<0，∴抛物线开口向下，∴抛物线过第三、四象限；(2)∵抛物线是轴对称图形，∴MA＝MB，若△ABM恰好是直角三角形，则MA⊥MB，设M(a，b)，则平移后抛物线的表达式为y＝－(x－a)2＋b，如解图，①当点A1在点B左侧时，过点M1作M1C1⊥x轴于点C1，则BC1＝M1C1＝2－a＝b，第3题解图∴y＝－(x－a)2＋2－a，把(2，0)代入y＝－(x－a)2＋2－a，得0＝－(2－a)2＋2－a，即a2－3a＋2＝0，解得a1＝1，a2＝2(不符合题意，舍去)，∴平移后抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋1；②当点A2在点B右侧时，过点M2作M2C2⊥x轴于点C2，则BC2＝M2C2＝a－2＝b，∴y＝－(x－a)2＋a－2，把(2，0)代入y＝－(x－a)2＋a－2，得0＝－(2－a)2＋a－2，即a2－5a＋6＝0，解得a1＝3，a2＝2(不符合题意，舍去)，∴平移后抛物线的表达式为y＝－(x－3)2＋1.综上所述，平移后抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋1或y＝－(x－3)2＋1.二次函数与三角形相似1.在平面直角坐标系中，直线y＝－3x＋3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线C交x轴于另一点M(－3，0)．(1)求抛物线C的表达式；(2)求抛物线C关于y轴的对称图形C′的顶点D的坐标；(3)若点A′是点A关于原点的对称点，则在x轴上是否存在点P，使得△P AD与△A′BO相似，若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．【思维教练】(1)要求抛物线C的表达式，根据题意过A、B、M三点可考虑运用待定系数法求得，又根据已知A、B分别为y＝－3x＋3与x轴、y轴的交点，可考虑运用“分别令0法”求得A、B坐标，从而求得抛物线表达式；(2)要求C′的顶点D的坐标，可考虑先求出C′的函数表达式，根据已知C′与C关于y轴对称，可运用数形结合思想得到对称以后C′图象上各点与C图象上对应各点相比，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解；(3)要求使得△P AD∽△A′BO的点P坐标，可考虑当△P AD与△A′BO相似时，对应边成比例，根据比例关系式，求出AP的长，根据题意对应边不确定，则需要分情况讨论．解：(1)设抛物线C的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵直线y＝－3x＋3交x轴于A点，交y轴于B点，令y＝0，得x＝1，令x＝0，得y＝3，∴A 点坐标为(1，0)，B 点坐标为(0，3)．又∵抛物线经过A 、B 、M 三点，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++03930c b a c c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321c b a ，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3；(2)抛物线C 关于y 轴的对称图形C ′的表达式为y ＝－(－x )2－2×(－x )＋3＝－x 2＋2x ＋3，即y ＝－(x －1)2＋4.∴该抛物线C ′的顶点D 的坐标为(1，4)；(3)点A ′的坐标为(－1，0)，第1题解图若△P AD 与△A ′BO 相似，①如解图，当DA AP ＝BO OA ′＝3时，AP ＝43，P 点坐标为(－13，0)或(73，0)；②如解图，当AP DA ＝BO OA ′＝3时，AP ＝12，P 点坐标为(－11，0)或(13，0)；∴当△P AD 与△A ′BO 相似时，P 点坐标为(－13，0)或(73，0)或(－11，0)或(13，0)．2. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)、B (0，2)、C (1，0)．(1)求抛物线表达式；(2)求抛物线顶点坐标；(3)在线段AB 上是否存在点Q ，使得△ACQ 与△AOB 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)∵抛物线过点A (3，0)、C (1，0)，则可设抛物线表达式为y ＝a (x －3)(x －1)，将点B (0，2)代入可得a (0－3)(0－1)＝2，解得a ＝23，∴抛物线表达式为y ＝23(x －3)(x －1)＝23x 2－83x ＋2；(2)∵y ＝23x 2－83x ＋2＝23(x －2)2－23，∴抛物线的顶点为(2，23)；(3)存在．①如解图，过点C 作x 轴的垂线交AB 于点Q 1，第2题解图此时∠Q 1CA ＝∠BOA ＝90°，∠Q 1AC ＝∠BAO ，∴△ACQ 1∽△AOB ，∵C (1，0)，∴对于直线y ＝－23x ＋2，当x ＝1时，y ＝43，∴Q 1(1，43)；②如解图，过点C 作CQ 2⊥AB 于点Q 2，此时∠CQ 2A ＝∠BOA ＝90°，∠Q 2AC ＝∠OAB ，∴△ACQ 2∽△ABO ，过Q 2作Q 2M ⊥AC 于点M ，则△CMQ 2∽△Q 2MA,∴CM Q 2M ＝Q 2M AM ，即Q 2M 2＝CM ·AM ， 设点Q 2(x ，－23x ＋2)，则CM ＝x －1，AM ＝3－x ，Q 2M ＝－23x ＋2，∴(－23x ＋2)2＝(x －1)(3－x )，解得x 1＝3(与A 点重合，舍去)，x 2＝2113，∴Q 2(2113，1213)，综上所述，存在点Q 1(1，43)、Q 2(2113，1213)使△ACQ 与△AOB 相似．二次函数与四边形判定1. 已知抛物线L ：y ＝x 2＋bx ＋c 经过点M (2，－3)，与y 轴交于点C (0，－3)．(1)求抛物线L 的表达式；(2)试判断抛物线L 与x 轴交点的情况；(3)平移该抛物线，设平移后的抛物线为L ′，抛物线L ′的顶点记为P ，它的对称轴与x 轴交于点Q ，已知点N (2，－8)，怎样平移才能使得以M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？解：(1)抛物线L ：y ＝x 2＋bx ＋c 经过C (0，－3)，M (2，－3)两点，代入得 ⎩⎨⎧-=++-=3243c b c ，解得⎩⎨⎧-=-=32c b ， ∴抛物线L 的表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)令x 2－2x －3＝0，则b 2－4ac ＝(－2)2－4×(－3)＝16>0，∴抛物线L 与x 轴有两个不同的交点；(3)由题意得，M (2，－3)，N (2，－8)，∴MN ∥y 轴，MN ＝5.∵PQ ∥MN ∥y 轴，∴当PQ ＝MN ＝5时，四边形MNPQ 为平行四边形．∴设点Q (m ，0)，则点P 的坐标为(m ，－5)，如解图，要使以M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形，只需PN ＝MN ＝5，∴（m －2）2＋(－5+8)2＝52，解得m 1＝6，m 2＝－2.∴点P (6，－5)或(－2，－5)．∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， 第1题解图∴抛物线L 的顶点坐标为(1，－4)，∴① 当P (6，－5)时，6－1＝5，－5－(－4)＝－1.∴将原抛物线先向右平移5个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L ′；② 当P (－2，－5)时，－2－1＝－3，－5－(－4)＝ －1.∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L ′.2. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，且a ≠0)与x 轴交于点A (－3，0)和点B (5，0)，与y 轴交于点C (0，154).(1)求抛物线的函数表达式；(2)求该抛物线的对称轴；(3)连接AC ，设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ，是否存在这样的点E ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)根据题意，设抛物线表达式为y ＝a (x ＋3)(x －5)，∵抛物线经过点C (0，154)，∴154＝a ×3×(－5)，解得a ＝－14，∴抛物线的表达式为y ＝－14(x ＋3)(x －5)＝－14x 2＋12x ＋154；(2)由(1)得y ＝－14x 2＋12x ＋154，则抛物线的对称轴为x ＝－b 2a ＝－12－24＝1，∴该抛物线的对称轴为直线x ＝1；(3)存在.∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，∴AC ∥EF ，且AC ＝EF ，如解图.第2题解图① 当点E 在x 轴上方时，过点E 作EG ⊥x 轴于点G .∵AC ∥EF ， ∴∠CAO ＝∠EFG .又∵∠COA ＝∠EGF ＝90°，AC ＝EF ，∴△CAO ≌△EFG ，∴EG ＝CO ＝154，即y E ＝154，∴154＝－14x 2E ＋12x E ＋154，解得x E ＝2(x E ＝0时与C 点重合，舍去)，∴E 点坐标为(2，154)；②当点E ′在x 轴下方时，过点E ′ 作E ′G ′⊥x 轴于点G ′，同理可求得E ′(31＋1，－154).综上所述，存在满足条件的点E 的坐标为(2，154)或(31＋1，－154).3.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象过点A(－1，0)、B (0，1)，且与x 轴有唯一交点.(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的表达式；(2)若将(1)中的抛物线沿y 轴向下平移m 个单位后与x 轴的两个交点分别为C 、D (点C 在点D 的左边)，当∠CBD ＝90°时，求m 的值；(3)在(2)中平移后的抛物线上是否存在一点E ，使以C 、D 、B 、E 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-04102ac b c c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===121c b a ，∴二次函数的表达式为y ＝x 2＋2x ＋1；(2)由题可知，平移后的抛物线的表达式为y ＝x 2＋2x ＋1－m ，∵∠CBD ＝90°，点A 是CD 的中点，AB ＝2，∴AC ＝AD ＝AB ＝2，∴C (－1－2，0)，D (－1＋2，0)，将点C 的坐标代入y ＝x 2＋2x ＋1－m ，解得m ＝2；(3)存在.由(2)可知，平移后的抛物线的表达式为y ＝x 2＋2x －1.分两种情况讨论：①当CD 为对角线时，如解图，第3题解图连接BA 并延长至点E ，使AE ＝BA ，连接CE 、DE .可得点E 的坐标为(－2，－1)，在抛物线y ＝x 2＋2x －1中，当x ＝－2时，y ＝－1，∴点E 在平移后的抛物线上，且BE ＝CD ，∴存在点E (－2，－1)，使四边形BDEC 是矩形；②当BD 或BC 为对角线时，由∠CBD ＝90°可知，不存在满足题意的点E .综上所述，平移后的抛物线上存在点E (－2，－1)，使以点C 、D 、B 、E 为顶点的四边形是矩形.二次函数与图形面积1. 已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象过点A (4，0)、B (1，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；(3)抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P (m ，n )在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于x 轴的对称点为F ，若以O 、A 、P 、F 四点组成的四边形的面积为20，求m 、n 的值．解：(1)将点A (4，0)、B (1，3)代入抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 得⎩⎨⎧=++-=++-310416c b c b ，解得⎩⎨⎧==04c b ， ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋4x ；(2)对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－()124-⨯＝2，顶点坐标为(2，4)； (3)抛物线的对称轴为直线x ＝2，设抛物线上的点P (m ，n )在第四象限，则点P 关于直线l 的对称点为E (4－m ，n )，点E 关于x 轴的对称点为F (4－m ，－n )，若以O 、A 、P 、F 四点组成的四边形的面积为20，则S 四边形OP AF ＝S △AOF ＋S △AOP ＝12×4×(－n )＋12×4×(－n )＝－4n ＝20，得n ＝－5，将(m ，－5)代入y ＝－x 2＋4x ，解得m ＝5或m ＝－1.∵点P (m ，n )在第四象限，∴m ＝5，n ＝－5.2. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点O 、B (1，3)、C (2，2)，与x 轴交于另一点N .(1)求抛物线的表达式；(2)连接BC ，若点A 为BC 所在直线与y 轴的交点，在抛物线上是否存在点P ，使得S △OAP ＝815S △ONP ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)将0(0，0)、B (1，3)、C (2，2)三点的坐标分别代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==++=++02243c c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=052c b a ，∴所求抛物线的表达式为y ＝－2x 2＋5x ；(2)存在，设BC 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b ，将点B 、C 的坐标代入可得⎩⎨⎧+=+=bk b k 223，解得⎩⎨⎧=-=41b k ，则y ＝－x ＋4. 把x ＝0代入y ＝－x ＋4得y ＝4，∴点A (0，4)，把y ＝0代入y ＝－2x 2＋5x 得x ＝0或x ＝52，∴点N (52，0)，设点P 的坐标为(x ，y )，S △OAP ＝12OA ·x ＝2x ，S △ONP ＝12ON ·y ＝12×52·(－2x 2＋5x )＝54(－2x 2＋5x )， 由S △OAP ＝815S △ONP ，即2x ＝815·54(－2x 2＋5x ) 解得x ＝0(舍去)或x ＝1，当x ＝1时，y ＝3，∴存在点P ，其坐标为(1，3)．。