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4.1数学期望

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4.1 数学期望

4.1 数学期望

设球的直径X～ 例4.1.2 设球的直径 ～U(a, b), 求球的体积 的数学期望E(X). 的数学期望 体积V=(π/6)X3,可得 解 体积 可得
−2 1 3 2 y 3, fV( y)= b−a 9π 0,

π a3≤ y≤π b3;
6 6 . 其它
则 E(V)= ∫ yf ( y)dy= π (a+b)(a2+b2). 24 −∞ V
i =1
n−1
i −1 n−1
(1− p)
n−1−( i −1)
p
i −1
= np[ p + (1− p)]
n−1

= np.
可利用二项分布的可加性证明，见例 可利用二项分布的可加性证明，见例4.1.12
电子科技大学
数学期望
3. X~N(µ , σ 2 ) , 则 E(X) = µ ;
1 +∞ − E( X ) = ∫−∞ xf ( x)dx = ∫−∞ xe σ 2π x−µ t2 +∞ 1 − t= (µ + σt )e 2 dt σ ∫−∞
数学期望
§4.1 数学期望 一. 随机变量的数学期望 引 例 定义4.1.1 设X 是离散型随机变量,其分布律为 定义 是离散型随机变量,
P{X = xi } = pi , i = 1,2,3....
若 ∑ xi pi < + ∞ 则称
i =1 +∞
+∞
E( X ) = ∑ xi pi 为X的数学期望 均值). (
解 E( XY) = ∑∑xi y j P{X = xi ,Y = y j }
i j
= ∑∑xi y j pi . p. j = ∑ xi pi . ∑ y j p. j

4.1 数学期望的定义

4.1 数学期望的定义
0.3
解：设X:A击中环数；Y:B击中环数，则
A射击平均击中环数为
E ( X ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3
B射击平均击中环数为
E (Y ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1
所以A的射击技术较B的好.
例 2： 某工人工作水平为： 全天不出废品的日子 占 30%，出一个废品的日子占 40%，出二个废品 占 20%，出三个废品占 10%。 ① 设 X 为一天中的废品数，求 X 的分布律； ② 这个工人平均每天出几个废品？ X 0 1 2 解： ① 分布律为：
(k 1)!
二、连续型随机变量的数学期望
定义:设连续型随机变量X的密度函数为f(x),若

则称


xf ( x)dx绝对收敛



xf ( x)dx
为连续型随机变量X的数学期望,记为E(X). 即
E( X )



xf ( x)dx
即连续型随机变量X的数学期望是它的概率密度 f ( x) 与实数 x 的乘积在区间 (,)上的积分.
设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y) (g是连续函数). 这里，二维随机变量的情形只讨论离散型.
设二维随机向量(X,Y)的分布律为
P{X xi , Y y j } pij
则 E(Z ) E[ g ( X , Y )]
i, j 1,2,...
g ( x , y
i j i
即，平均分不是这6个不同成绩的简单平均，而是 这6个不同的分数60、75、85、90、95、100与它 们出现的概率2/10、2/10、3/10、1/10、1/10、1/10 的乘积之和. 这样，我们就引出了随机变量的数学期望的概念.

§4.1数学期望(V)

§4.1数学期望(V)

Ma
g( X
)
500a
300( X
a),
a X 30,
600 X 300 X
100a, 200a,
10 X a, a X 30,
依性质，E(Ma)存在，依定理，有
E(Ma
)
g( x)
f
( x)dx
1 20
30 10
g( x)dx
1
a
30
(600 x 100a)dx (300 x 200a)dx
要使E(Mn)20000，即78.4n20000，解之得 n255.10,
为保证每天平均利润不低于2万元，企业每天应至少 生产256件产品。
例4 设某种商品每周的需求量X服从(10, 30)上均匀分布
的随机变量，而经销商店进货数量为[10, 30]中某一整
数，商店每销售一单位商品可获利500元。若供大于求
样品。第k个样品为次品的概率为0.1k，k=1,2,…, 6.
求6个样品中平均次品数。
【解】设X为6个样品中的次品数。引入随机变量如下：
Xk
1， 0，
第k个样品为次品， 第k个样品为正品，k
1,
2,
, 6，
易知X=X1+X2+…+X6，且 E(Xk)=P{Xk=1}=0.1k，k=1,2,…,6,
则可削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不
应求, 则可从外部调剂, 此时每单位商品仅获利300元,
为了使商品所获利润不少于9280元，
试确定最少进货量。
【解】依题设，X的概率密度函数为
f
(
x)
1 20
,
10 x 30,
0,
其他，

4.1-数学期望

4.1-数学期望

若x , y独立，则 E（XY）=EXEY
例 6 对N个人进行验血，有两种方案： （1）对每人的血液逐个化验，共需N次化验； （2）将采集的每个人的血分成两份，然后取其中 的一份，按k个人一组混合后进行化验（设N是k的 倍数），若呈阴性反应，则认为k个人的血都是阴 性反应，这时k个人的血只要化验一次；如果混合 血液呈阳性反应，则需对k个人的另一份血液逐一 进行化验，这时k个人的血要化验k+1次；
EX = ∑k ⋅ C p q
k =0 n k n k
n −k
n! = ∑k ⋅ pk qn−k k!(n − k)! k =0
,nk = 0,1,L, n 。
(n −1)! = np pk −1qn−1−(k −1) (k −1)!(n −1 − (k −1))! k =1
∑
方法2： 方法 ： Xi 服从（0-1）分布， P{Xi = 0} = q, P{Xi = 1 = p, i = 1,2,L, n } 且 X1,L, Xn 独立，令 X = X1 +L+ Xn ，则 X 的可能 取值为 0,1,…n， k P{X = k} = Cn pk qn−k , k = 0,L, n n
3y, z = g(x) = 3x − (2000 ≤ y ≤ 4000
下面求 EZ，并求使 EZ 达到最大的 y 值， y ∞ 4000 3x − ( y − x) 3y EZ = g(x) f (x)dx = dx + dx 2000 2000
2000 y 1 =− [ y 2 − 7000 y + 4*10 6 ] 1000 1 =− [( y − 3500 ) 2 − 3500 2 − 4*10 4 ] 1000 1 =− ( y − 3500 ) 2 + 8250 1000 −∞

《概率论与数理统计》数学期望

《概率论与数理统计》数学期望

§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
概率论与数理统计
§4.4 协方差和相关系数
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 协方差
1. 定义
§4.4 协方差和相关系数 协方差
2. 协方差的计算公式
概率论与数理统计
§4.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
授课内容
数学期望的性质
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
1. 定义
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
关于定义的几点说明
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变 而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
3. 不相关的定义
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
4. 不相关性的判定
以下四个条件等价 (1) ρ 0; (2)Cov( X ,Y ) 0; (3) D( X Y ) DX DY;
(4)3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
一维随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望 授课内容 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
5 .不相关与相互独立的关系
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 例题

§4.1数学期望(I)

§4.1数学期望(I)

令随机变量X为该厂生产的一台电视机的价格，则
1000,
X
3000,
5000,
若是大众品牌, 若是中档品牌, 若是高档品牌,
依古典概率的计算公式，
P X 1000 5000 5 , P X 3000 2000 1 ,
8000 8
8000 4
P X 5000 1000 1 ,
平均价格。上式考虑了三种品牌的生产数量，即
1000 5000 3000 2000 5000 1000 2000,
8000
8000
8000
比例
其中三个系数 5000 , 2000 , 1000就是三种品牌在总数中
8000 8000 8000
所占比例。这种平均是一种加权平均，较之简单平均
更合理。
例1 一个人连续地抛掷硬币，直到抛出反面为止，若 此前他抛出了n次正面，则发给他2n元奖金，以X表示
他得到奖金的数目。
试讨论X的数学期望是否存在？
【解】依题设，X的分布律为
P
X 2n1
1 2n
,
n 1, 2,,
因为 xn P
n1
X xn
n1
2n1 2n
1 n1 2
,
依定义，X的
数学期望不存在。
二 常见离散型分布的数学期望 (0-1)分布的数学期望 设X~B(1, p)，其概率分布为
X0 1 P 1-p p 因X取两个值，故E(X)存在。依定义，有 E(X)=p。
【评】(0-1)分布由它的数学期望唯一确定。
二项分布的数学期望 设X~B(n, p)，其概率分布为
pk=P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k，k=0, 1, 2, …n,
例如

01-4.1数学期望

第四章 随机变量的数字特征4.1 数学期望一、知识点1、一维离散型随机变量的数学期望：P {X =x k }=p k ，k =1,2,⋯，若级数∑x k p k n k=1绝对收敛，则数学期望E (X )=∑x k p k n k=1.2、一维连续型随机变量的数学期望：随机变量X 的概率密度为f(x)，若积分∫xf(x)+∞−∞dx 绝对收敛，则数学期望E (X )=∫xf(x)+∞−∞dx . 3、一维随机变量函数的数学期望：不用计算Y 的分布律或概率密度，只要利用X 的分布律或概率密度即可计算E (Y ).设Y 是随机变量X 的函数，Y =g (X ),且g(X)是连续函数.（1）X 为离散型随机变量：P {X =x k }=p k ，k =1,2,⋯，若级数∑g(x k )p k n k=1绝对收敛，则数学期望E (Y )=∑g(x k )p k n k=1.（2）X 为连续型随机变量：概率密度函数为f(x)，若积分∫g(x)f(x)+∞−∞dx 绝对收敛，则数学期望E (Y )=∫g(x)f(x)+∞−∞dx . 4、数学期望的性质：（1）E (C )=C (C 为任意常数)；（2）E (CX )=CE(X)(C 为任意常数)；（3）E (X ±Y )=E (X )±E(Y)；（4）若X 与Y 相互独立，则有E (XY )=E (X )E(Y).(充分非必要).5、二维随机变量的数学期望：随机变量X ，Y 的函数Z =g(x,y),且 g(x,y)是连续函数.（1）Z 为离散型随机变量：E (Z )=E (g(XY))=∑∑g(x i ,y j )p ij ∞i=1∞j=1； （2）Z 为连续型随机变量：E (Z )=E (g(XY))=∫∫g(x,y)f(x,y)+∞−∞dxdy +∞−∞. 特别类型：若Z =f (x,y )=X ，则 E (Z )=∫∫xf(x,y)+∞−∞dxdy +∞−∞（法一）； 利用边缘分布⇒ E (Z )=E (X )=∫xf X (x)+∞−∞dx （法二）. 二、重点:1、求离散型和连续型随机变量的数学期望；2、求随机变量函数的数学期望；3、利用性质求数学期望；4、数学期望的应用.三、难点：数学期望的求法和数学期望的应用.。

4.1(随机变量的数学期望)


因而E(X)不存在．
4.1.1
数学期望的概念
【例 4.5】某种化合物的 pH 值 X 是一个随机变量， 它的概率密度是
25( x 3.8 )， 3.8 x 4， f ( x ) 25( x 4.2)， 4 x 4.2， 0， 其 它.
求pH值X的数学期望E(X). 解：

一个样品的价值（以元计）为Y = 5–0.5X，求E(Y). 解： E (Y ) E (5 0.5 X ) (5 0.5 x ) f ( x )dx
3 ( 5 0.5 x )( x 2 x )dx 0 2
1 b a , a x b f ( x) 0, 其它
x b2 a 2 a b E ( X ) xf ( x )dx dx a ba 2(b a ) 2

b
补充知识: Γ -函数
定义Leabharlann ( ) t 1 e t dt 0
若积分 xf ( x ) dx 不收敛,则称X的数学期望不存在.

4.1.1
数学期望的概念
著名的柯西分布是数学期望不存在的经典例子： 设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为
1 f ( x) (1 x 2 )
由于积分



| x | dx xdx 发散， xf ( x ) dx 2 2 2 (1 x ) 0 (1 x )
1 E( X ) xf ( x)dx 2
标准正 态概率 密度性 质


2
t
x
xe
( x )2 2 2

dx

1 2

数学期望

第四章 随机变量的数字特征随机变量是用来描述随机事件的。

随机变量的分布是考察这些事件的概率。

有时，我们不必知道随机变量的概率分布(因为要确定随机变量的概率分布并不是一件容易的事情)，而只需要弄清它某特征就够了，这些特征即是我们下面要讨论的数字特征。

例如“平均值”、“方差”等。

§4.1 数学期望简单地说，数学期望即是一种平均值—加权平均值。

一、平均值1. 算术平均值：例：某班有10个人，第i 个人的分数为a i ，则此班的平均分数为1101210()a a a +++ 2. 加权平均值：续上例：某班10人，10%的人得60分，30%的人得62分，40%的人得75分，20%的人得93分，则平均分数为 10%6030%6240%7520%93832⨯+⨯+⨯+⨯=. 3. 经济中的期望值 某项投资有三种结果：30%的可能性获利：10000元； 40%的可能性获利：20000元； 30%的可能性获利：-20000元。

你如何作出决策？第一步是考虑此项投资的预期收益： 30%1000040%2000030%2000050000⨯+⨯+⨯-=>() 即平均说来(假设此项投资可重复进行多次)，可获利5000元，值得考虑。

这里的预期，即是数学期望。

数学期望即是一种加权平均值，其中的权数为取此值的概率。

二、数学期望1. 离散型随机变量的数学期望定义：设X 为离散型随机变量，其分布律为 P X x p i i i ())== (=1 , 2 ,如果级数x p i i i =∞∑1绝对收敛，则称此级数x p i i i =∞∑1为随机变量X 的数学期望，记为EX ，即EX x p i i i ==∞∑1如果级数x p i i i =∞∑1不绝对收敛，随机变量X 的数学期望不存在。

例1：一批产品有10件正品，3件次品，现从中重复抽取，每次一件，直到抽得正品为止，问平均需要抽取多少次？解：记抽取次数为X ，则X 的概率分布为P X i i i ()==⎛⎝ ⎫⎭⎪=-313101311, 2 , 则平均需要抽取的次数即为X 数学期望EX x p i i i i i i i i i ==⋅⎛⎝ ⎫⎭⎪⋅=⋅⋅⎛⎝ ⎫⎭⎪===∞-=∞-=∞∑∑∑111113131013101331313.例2：一次射击命中目标的概率为p ，问平均需要多少次射击，目标才被命中？(p +q =1)EX x p k pq p k q pk k k k k k k ==⋅=⋅⋅===∞-=∞-=∞∑∑∑1111112. 连续型随机变量的数学期望定义：设连续型随机变量X 的密度函数为p (x )，如果积分 xp x dx ()-∞+∞⎰绝对收敛，则称此积分值为随机变量X 的数学期望，即 EX xp x dx =-∞+∞⎰()例3：设X 服从[a , b ]上的均匀分布，求EX 。

4-1数学期望


1 +∞ =− ∫−∞ xde 2π x2 x2 +∞ − − 1 +∞ =− [ xie 2 |−∞ − ∫ e 2 dx] −∞ 2π 1 =− [0 − 2π ] = 1 2π
x2 − 2
例5 设（X，Y）服从单位圆的均匀分布， ， ）服从单位圆的均匀分布， 求E(XY)
由已知(X,Y )的联合密度函数为 的联合密度函数为 解 由已知 1 2 2 , x + y ≤1 f ( x, y ) = π 0, 其它
E ( XY ) = ∫
=
2
+∞
−∞
∫
+∞
∫∫
x + y ≤1
2
xy
1
π
dxdy = ∫ xdx ∫
−1
−∞ 1
xy f ( x, y )dxdy
1− x 2
dy = 0
四、数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C; 是常数， 是常数 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 是常数， 是常数 3. E(X1+X2) =
∞ ∑g( xk ) pk , X离散型 E(Y ) = E[g( X)] = k=1 ∞ g( x) f ( x)dx, X连续 型 ∫−∞
为离散型时,P(X= xk)=pk ; 当X为离散型时 为离散型时 为连续型时,X的密度函数为 当X为连续型时 的密度函数为 为连续型时 的密度函数为f(x).
N(µ,σ
2)
1 f (x) = e 2πσ
( x−µ)2 − 2σ 2
µ
三、随机变量函数的数学期望 1. 问题的提出： 问题的提出： 设已知随机变量X的分布，我们需要计 设已知随机变量 的分布， 的分布 算的不是X的期望 而是X的某个函数的期 的期望， 算的不是 的期望，而是 的某个函数的期 比如说g(X)的期望 那么应该如何计算 的期望. 望，比如说 的期望 呢？
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偏离程度越小, 质量就越好. 可见, 与随机变量有 关的某些数字虽然不能完整地描述随机变量, 能描述随机变量在某些方面的重要特征. 这一章我们将介绍随机变量的几个常用的数 但
字特征.
概率统计（ZYH）
4.1 数学期望
引例 在检查一批灯泡的质量时, 从中抽取了10 个灯泡, 测得各灯泡的寿命(单位: 小时)分别为 700, 750, 750, 800, 800, 800, 850, 850, 900, 900 试求这些灯泡的平均寿命. 解 显然, 这些灯泡的平均寿命为
试求XY 的数学期望. 解 E ( XY )


xyf ( x, y ) d x d y
1 0
x d x y( x y ) d y
0
1
x x
1 0 1 2
1 3

1 dx 3
概率统计（ZYH）
例6 设 (X ,Y) 的分布律为
X Y -1 0 1
节目录
第四章 数字特征和极限定理
4.1 数学期望
4.2 方差 4.3 协方差与协方差矩阵
4.4 其他数字特征 4.5 极限定理
概率统计（ZYH）
在实际问题中, 我们常对随机变量的某些特征
更为关注. 例如, 在检查一批灯泡的质量时, 既需要
注意灯泡的平均寿命, 又需要注意这批灯泡的稳定
性(即相对于平均寿命的偏离程度), 平均寿命越长、
r2 2i , 0 i 1, , 0r 3 g( i ) h( r ) 9 0, 其 它, 0, 其 它.
试求电压 V IR 的均值.

解 E (V ) E ( IR) E ( I ) E ( R )
ig( i ) d i rh( r ) d r
1 μ 2
概率统计（ZYH）



σ dt 2



te
t2 2
dt
μ
定理1 设 Y=g(X)是随机变量X的连续函数, 那么 (1) 若X的分布律为 P{ X xk } pk ,
EY E g( X ) g( xk ) pk
k 1
k 1,2,
试评定甲、乙两人成绩的好坏.
解 EX 0 0.1 1 0.6 2 0.3 1.2
EY 0 0.4 1 0.2 2 0.4 1.0
故乙的成绩不如甲.
概率统计（ZYH）
例2 某人有现金 10 万元 , 想投资
于某项目 , 欲估成功的机会为 30%,
概率统计（ZYH）
定理2 设Z=g(X,Y)是二维随机变量(X,Y)的连续 函数, 那么 (1) 若( X,Y ) 的分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,
则 Z=g(X,Y) 的数学期望为
EZ E g( X , Y ) g( xi , y j ) pij （级数绝对收敛时）
则函数Y=g(X)的数学期望为 （级数绝对收敛时）
(2) 若X的分布密度为 f (x), 则Y=g(X)的期望为
EY E g( X ) g( x ) f ( x )dx（积分绝对收敛时）

定理 1 的重要意义： 当我们求 E[g(X)] 时 , 不必
知道g(X)的分布而只需知道X的分布就可以了.
重排分布律可得
0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.3 0.1 (X,Y ) (1,-1) (1,0) (1,1) (2,-1) (2,1) (3,0) (3,1) X 1 1 1 2 2 3 3
概率
Y/X (X-Y)2
-1 4
0 1
1 0
-1/2 9
1/2 1
0 9
1/3 4
对应数据相乘，可得 EX 1 0.2 1 0.1 1 0.1 2 0.1 2 0.1 3 0.3 3 0.1 2

数学期望, 记为E ( X )或EX ,即 EX
概率统计（ZYH）



x f ( x )dx
.设它们的分布律分别为
1 2 1 2 0 0 X , Y 0 . 1 0 . 6 0 . 3 0 . 4 0 . 2 0 . 4
(1) 设C是常数, 则有E(C ) C
(2) 设X ,Y 是两个随机变量, k1 , k2 为任意常数, 则有 E(k1 X k2Y ) k1 EX k2 EY (3) 设X ,Y 是两个相互独立的随机变量, 则有 E ( XY ) EX EY
上述性质可推广到多个随机变量的情形. 如：
故应选择投资。
概率统计（ZYH）
说明： 数学期望 EX 是一个实数 , 而非变量 , 它
是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上
体现了随机变量 X 取可能值的真正平均值. 例3 求泊松分布X～P(λ)的数学期望EX.
解 泊松分布的分布律为
P{ X k }
k
k!
e , k 0,1,2,

1

2i d i
2 0
3 0
3 r d r (V ) 2 9
2
概率统计（ZYH）
f ( x)

, x
( x μ )2 2σ 2
1 故 EX xf ( x ) d x x 2 σ e
dx
1 2



( μ σt ) e d t
e
t2 2
t2 2
x μ 令 t σ
出现频率
1 (700 1 750 2 800 3 850 2 900 2) 加权 10 平均 1 2 3 2 2 700 750 800 850 900 810 10 10 10 10 10
概率统计（ZYH）
定义1 对于离散型随机变量X, 设其分布律为

故 EX k
k 0

k
k!
e e
k 1
k 1
( k 1)!
e e
概率统计（ZYH）
例4 求正态分布 X ~ N ( μ, σ 2 ) 的数学期望EX. 解 正态分布 N ( μ, σ 2 )的分布密度为
1 e 2 σ ( x μ )2 2σ 2
i 1 j 1
(2) 若(X,Y)的密度为 f (x,y), 则Z=g(X,Y)的期望为
EZ E g( X , Y )
概率统计（ZYH）



g( x, y ) f ( x, y )dx dy
（积分绝对收敛时）
例5 设二维随机变量(X,Y )的分布密度为
x y, 0 x 1,0 y 1 f ( x) 其它 0,
可获利 8 万元 , 失败的机会为 70%, 将损失 2万元. 若存入银行, 同期间的 利率为5% , 问是否作此项投资?
解 设 X 为投资利润, 则
X p
8 0 .3
2 0.7
其利润的期望值为：EX 8 0.3 2 0.7 1 (万元) 存入银行的利息为: 10 5% 0.5 (万元)
n n n n E Ck X k Ck EX k , E X k EX k(独立时) k 1 k 1 k 1 k 1
概率统计（ZYH）
例7 设一电路中电流 I ( A) 与电阻R( )是两个
相互独立的随机变量 , 其概率密度分别为
E(Y / X ) 1 0.2 0 0.1 1 0.1 1 / 3 0.1 1 / 15
E( X Y )2 4 0.2 1 0.1 0 0.1 4 0.1 5
概率统计（ZYH）
数学期望的性质
证明
设下面所遇随机变量的期望存在，那么有
P{ X xk } pk ( k 1,2,)
则称级数 xk pk(当该级数绝对收敛时)的和为X的数
k 1
学期望, 简称期望, 记为E ( X )或EX , 即 EX
x
k 1

k
pk
对于连续型随机变量X, 设其分布密度为f (x) ,
则称积分 x f ( x )dx (当其绝对收敛时)的值为X的
1 2 3
0.2 0.1 0
0.1 0 0.3
0.1 0.1 0.1
求 : EY , EX , E(Y X ) , E( X Y )2 .
解 Y 的分布律为
Y pk -1 0.3 0 0.4 1 0.3
得
EY 1 0.3 0 0.4 1 0.3 0
概率统计（ZYH）