下载文档原格式
如何通俗的解释贝塞尔函数
贝塞尔函数是一种特殊的函数，它们在数学和物理学中非常有用。
它们用于描述周期性和振荡现象，例如声波和电磁波。
贝塞尔函数被命名为德国数学家弗里德里希·贝塞尔，他在19世纪早期发明了这个概念。
贝塞尔函数有两种类型：第一类和第二类。
第一类贝塞尔函数通常用J_n(x)表示，其中n是一个整数，x是实数。
第二类贝塞尔函数通常用Y_n(x)表示。
这些函数的图像通常呈现出周期性振荡的形式，因此它们被广泛用于处理周期性现象。
贝塞尔函数的定义非常复杂，但它们的性质非常有用。
例如，它们满足一些重要的微分方程，如贝塞尔方程。
此外，它们可以用于解决一些非常具体的问题，例如计算振动系统的谐波分析和圆形膜的振动模式。
总的来说，贝塞尔函数是一个重要的数学工具，它们在物理学和工程学中被广泛使用。
虽然它们的定义可能非常复杂，但是它们的基本性质和应用是非常有用的。
- 1 -。
贝塞尔公式讲解
贝塞尔公式是用来计算贝塞尔函数（Bessel function）的数学公式。
贝塞尔函数是常见的特殊函数之一，它在物理学和工程学中有广泛的应用。
贝塞尔函数是由欧拉和贝塞尔在18世纪末和19世纪初研究振动问题时引入的。
它们是满足贝塞尔微分方程的解，该方程出现在许多物理问题中，如电磁波，声波和热传导等。
贝塞尔函数通常表示为J_n(x)，其中n是整数，x是实数。
贝塞尔函数的计算可以使用贝塞尔公式，该公式可以表示为：
J_n(x) = (1/π) ∫_0^πcos(nθ- x sinθ) dθ
其中，θ是积分变量，cos和sin是三角函数，π是圆周率，n和x是函数的参数。
这个公式告诉我们如何计算任意x和n的贝塞尔函数。
它涉及积分，因此可能需要数值计算来获得精确的结果。
贝塞尔函数在微积分，波动问题和量子力学等领域中广泛使用。
n阶第一类贝塞尔函数()J xn第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数()Y xn第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)()H xn第一类变形的贝塞尔函数()I xn开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。
从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：用分离变量法解这个问题，先令或（5.4）（5.5） 从（5.4）得方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
为了求出这个方程满足条件（5.6）的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得再令代入（5.7）并分离变量可得（5.9）（5.10）5.10）得（5.11）这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，若再作代换并记则得由条件（5.8（5.12）因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（5.11）在条件（5.12）下的特征值与特征函数（（5.12。
在下一节先讨论方程（5.11）的解法，然后在§5.5中再回过头来讨论这个特征值问题。
图1 贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。
实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加。
贝塞尔函数维基百科，自由的百科全书贝塞尔函数（Bessel functions），是数学上的一类特殊函数的总称。
通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind）。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：这类方程的解是无法用初等函数系统地表示。
由于贝塞尔微分方程是二阶常微分方程，需要由两个独立的函数来表示其标准解函数。
典型的是使用第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数来表示标准解函数：注意，由于 在 x=0 时候是发散的（无穷），当取 x=0 时，相关系数 必须为0时，才能获得有物理意义的结果。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数或复数α变化而变化（相应地，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。
实际应用中最常见的情形为α是整数n，对应解称为n 阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0 点的不光滑性）。
贝塞尔函数也被称为柱谐函数、圆柱函数或圆柱谐波，因为他们是于拉普拉斯方程在圆柱坐标上的求解过程中被发现的。
目录1 历史2 现实背景和应用范围3 定义3.1 第一类贝塞尔函数3.1.1 贝塞尔积分3.1.2 和超几何级数的关系3.2 第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）3.3 第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）3.4 修正贝塞尔函数3.5 球贝塞尔函数3.6 黎卡提-贝塞尔函数4 渐近形式5 性质6 参考文献7 外部连接历史贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。
数理方程中与贝塞尔函数有关的问题据百度百科介绍：贝塞尔（1784——1846）是德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。
20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。
1810年任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。
1812年当选为柏林科学院院士。
贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。
他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。
此外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。
（图片来自维基百科）一、 贝塞尔方程与贝塞尔函数 二、 贝塞尔方程与欧拉方程比较 三、 贝塞尔函数与伽马函数 四、 贝塞尔函数与几个常用函数的台劳级数比较 右图来自网页“维基百科——自由的百科全书”中贝塞尔函数介绍。
贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。
实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加一、贝塞尔方程与贝塞尔函数Bessel 方程是二阶线性变系数齐次常微分方程0)(22222=-++y v x dx dy x dxy d x 其中，v 是常数，称为Bessel 方程的阶（不一定是整数），可取任何实或复数。
该方程的解无法用初等函数表现。
数理方程教科书采用第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数的线性组合表示方程的标准解函数。
贝塞尔函数也被称为圆柱函数或圆柱谐波。
通常所说的贝塞尔函数是指第一类Bessel 函数m v m m v xm v m x J 20)2()1(!)1()(+∞=∑++-=Γ贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式；在球域问题中得到的是半奇数阶形式），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。
如在信号处理中的调频合成（FM synthesis ）或凯泽窗（Kaiser window ）的定义中，都要用到贝塞尔函数。
在教科书中Bessel 方程来源1． 在圆柱坐标系下解二维热传导方程；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=<+=><++=2222222222,0),,()0,,(0,),(R y x u Ry x y x y x u t R y x u u a u yy xx t ϕ 用分离变量法，令u (x ，y ，t ) = V (x ，y )T (t )，代入方程整得λ-=+='V V V Ta T yy xx 2由此得两个方程0)()(2=+'t T a t T λ，0=++V V V yy xx λ其中，一阶常微分方程的通解为)ex p()(2t a A t T λ-=而另一个是圆域上Laplace 算子的固有值问题，在极坐标系下⎪⎩⎪⎨⎧=<<=+∂∂+∂∂+∂∂=,0,0,01122222R VR V VV V ρρλθρρρρ再一次使用分离变量法，令)()(),(θρθρΘP V =，代入方程整理得μλρρρ=''-=+'+''ΘΘPPP P 22 由此得两个方程0=+''ΘΘμ，0)(22=-+'+''P P P μλρρρ第一个二阶常微分方程的通解为θμθμθsin cos )(21C C +=Θ引入周期边值条件)0()2(ΘΘ=π，得12cos =πμ。
所以固有值2n =μ，(n = 0，1，2，……)固有函数系为0021)(a =θΘ，θθθn b n a n n n sin cos )(+=Θ，(n = 1，2，……) 将固有值代入第二个常微分方程，得0)(222=-+'+''P n P P λρρρ令ρλ=x ，)/()(λx P x y =，则方程转化为标准的整数阶贝塞尔方程0)(22222=-++y n x dx dy x dxy d x 2． 圆柱坐标系下解二维波动方程；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=+=<+==><++=0,,0),,()0,,(),,()0,,(0,),(2222222222t R y x u R y x y x y x u y x y x u t R y x u u a u t yy xx tt ψϕ 用分离变量法，令u (x ，y ，t ) = V (x ，y )T (t )，代入方程整得λ-=+=''V V V Ta T yyxx 2由此得两个方程0=++V V V yy xx λ，0)()(2=+''t T a t T λ第一个是圆域上Laplace 算子的固有值问题，与热传导问题类似可得整数阶贝塞尔方程0)(22222=-++y n x dx dy x dxy d x 3．在圆柱坐标系下解三维拉普拉斯方程或亥姆霍夫方程。
圆域上亥姆霍兹方程边值问题⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤<<=+∂∂+∂∂+∂∂=πθπθρθρρρρρ20,020,0,011222222R VR V k VV V 用分离变量法，令)()(),(θρθρΘP V =，代入方程整理得μρρρ=''-=+'+''ΘΘPPk P P 222 由此得两个方程0=+''ΘΘμ，0)(222=-+'+''P k P P μρρρ第一个二阶常微分方程的通解为θμθμθsin cos )(21C C +=Θ引入周期边值条件)0()2(ΘΘ=π，得12cos =πμ。
所以固有值2n =μ，(n = 0，1，2，……)固有函数系为0021)(a =θΘ，θθθn b n a n n n sin cos )(+=Θ，(n = 1，2，……) 将固有值代入第二个常微分方程，得0)(2222=-+'+''P n k P P ρρρ令ρk x =，)/()(k x P x y =，则方程转化为标准的整数阶贝塞尔方程0)(22222=-++y n x dx dy x dxy d x 二、贝塞尔方程与欧拉方程比较欧拉方程0222=++y dx dy x dx y d x λ也是一类二阶线性变系数齐次常微分方程。
该方程的二阶导数项和一阶导数项表达式与贝塞尔方程相同。
不同的是，贝塞尔方程中函数项系数为变系数，欧拉方程中函数项系数为常数。
贝塞尔方程只能求出级数形式的解，即使是零阶贝塞尔方程02222=++y x dx dy x dxy d x 欧拉方程可以通过自变量变换成为线性常系数常微分方程。
作变换：)exp(t x =，即x t ln =，未知函数的导数为dtdyx dx dt dt dy dx dy 1== )(1)(11222222dt dydxy d x dt dy dx d x dt dy x dx y d -=+-=代入微分方程，得0)(22=++-y dt dydt dy dty d λ方程化简为：022=+y dtyd λ，该方程有初等函数表达式的通解。
三、贝塞尔函数与伽马函数 1．正整数阶贝塞尔函数贝塞尔函数的阶数v 不一定是整数。
引入伽马函数使表达式简化，但有一丝神秘m v m m v xm v m x J 20)2()1(!)1()(+∞=∑++-=Γ当阶数为正整数时，贝塞尔函数可写成m n m m n xm n m x J 20)2()!(!)1()(+∞=∑+-=零阶贝塞尔函数mm m x m x J 2020)2()!()1()(∑∞=-= 还有一种是积分形式（可用于数值计算实验）⎰-=πξξξπ20)sin cos(21)(d x v x J v2．负整数阶贝塞尔函数由于自变量为负值时，伽马函数的值趋于正无穷大，所以负整数阶贝塞尔函数m n m m n xm n m x J 20)2()1(!)1()(+-∞=-∑++--=Γ中对于m < n 的项为零，故m n n m m n xm n m x J 2)2()1(!)1()(+-∞=-∑++--=Γ令 k = m – n ，则有m = n + k 。
所以k n k k nk n k k n n x k n k x k k n x J 2020)2()1(!)1()1()2()1()!()1()1()(+∞=+∞=-∑∑++--=++--=ΓΓ对比 J n (x ) 的表达式，知J -n (x ) = (– 1)n J n (x )这说明两个整数阶贝塞尔函数线性相关。
3．伽马函数这一特殊函数以无穷积分的形式做为定义⎰+∞--=1)ex p()(dx x x s s Γ是正整数阶乘函数的推广。
其中，s 可以取正实数也可以取实部为正的复数。
几个简单性质如下：（1）．1)ex p()1(0=-=⎰+∞dx x Γ；（2）．)()1(n n n ΓΓ=+； 事实上⎰⎰∞-+∞+∞-+--=-=+0100)ex p()(ex p )ex p()1(dx x x n x x dx x x n n n n Γ)()ex p(01n n dx x x n n Γ=-=⎰∞-（3）．π=)2/1(Γ事实上⎰∞-=)ex p(1)2/1(dx x xΓ令2t x =，则上式化为概率积分π=-=-=⎰⎰+∞∞20)ex p(2)ex p(1)2/1(dt t dx x xΓ（4）．当伽马函数的自变量为负值时，无穷积分发散。
即⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞++---+-=-=-=-111111)exp(1)exp(1)exp(1)exp()(dxx x dx x xdx x xdx x xs s s s s Γ由于111111)exp(1ss s x sdx x dx x x-=≥-⎰⎰++∞+所以自变量为负值时，伽马函数的值趋于正无穷大。
四、贝塞尔函数与几个常用函数的台劳级数比较1．贝塞尔函数的级数收敛性 贝塞尔函数通常用级数表达式m n m m n xm n m x J 20)2()1(!)1()(+∞=∑++-=Γ利用交错级数的收敛判别法，用系数比值取极限0)1)(1(41lim )2()!1(4)1(!lim ||lim 222=+++=+++++=∞→∞→+∞→m n m m n m m n m a a m m m m m ΓΓ 所以，级数对任意自变量x 收敛。
