下载文档原格式
高中数学概率统计中的期望与方差在高中数学的概率统计领域中，期望与方差是两个极为重要的概念。
它们不仅在数学理论中具有深刻的内涵，而且在实际生活的各个方面都有着广泛的应用。
首先，咱们来聊聊期望。
期望简单来说，就是对随机变量取值的平均水平的一种度量。
比如说，我们抛一枚均匀的硬币，如果正面朝上得1 分，反面朝上得0 分，那么抛一次得到的分数就是一个随机变量。
因为正面和反面出现的概率都是 05，所以期望就是 05×1 ＋ 05×0 ＝ 05 分。
这就意味着，如果我们进行大量的抛硬币实验，平均每次得到的分数会接近 05 分。
再举个例子，假设某个抽奖活动，有 10%的机会中 100 元，50%的机会中 50 元，40%的机会中 20 元。
那么这个抽奖的期望收益就是10%×100 ＋ 50%×50 ＋ 40%×20 ＝ 43 元。
这告诉我们，从平均的角度来看，每次参与抽奖能得到的“预期收入”是 43 元。
期望的计算有其固定的公式，对于离散型随机变量，期望等于每个取值乘以其对应的概率的总和；对于连续型随机变量，则需要通过积分来计算。
了解了期望，咱们再来说说方差。
方差衡量的是随机变量取值相对于期望的分散程度。
还是拿抛硬币的例子来说，如果我们抛10 次硬币，得到的正面次数可能会在 5 次左右波动，但波动的大小是不确定的。
方差大，说明波动大，结果的不确定性大；方差小，说明波动小，结果相对稳定。
比如说，有两个班级进行同一场考试，平均成绩都是 80 分。
但第一个班级的成绩方差小，这意味着大部分同学的成绩都比较接近80 分；而第二个班级的方差大，说明同学之间的成绩差异较大，有的可能很高，有的可能很低。
方差的计算公式是每个取值与期望之差的平方乘以其对应的概率的总和。
通过计算方差，我们可以更深入地了解随机变量的分布特征。
在实际应用中，期望和方差的作用可不小。
比如说在投资领域，股票的收益就是一个随机变量。
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
高中数学知识点总结及公式大全概率与统计中的期望与方差计算与应用高中数学知识点总结及公式大全：概率与统计中的期望与方差计算与应用概率与统计是高中数学中的重要分支，它是数学与现实生活相结合的一门学科。
在概率与统计中，期望与方差是举足轻重的两个概念。
本文将为您总结概率与统计的基本概念、公式以及期望和方差的计算与应用。
一、基本概念1. 概率：指事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示。
概率的范围在0和1之间，0表示不可能事件，1表示必然事件。
2. 随机变量：将样本空间中每一个样本赋予一个实数值的函数，通常用大写字母X表示。
3. 概率分布：描述随机变量各个取值的概率情况的函数。
常见的概率分布有离散概率分布和连续概率分布。
二、常用公式1. 期望：用来描述随机变量平均取值的大小。
对于离散随机变量X，期望的计算公式为E(X) = Σ(x·P(X=x))，其中x为随机变量的取值，P(X=x)为该取值的概率。
对于连续随机变量X，期望的计算公式为E(X) = ∫(x·f(x))dx，其中f(x)为概率密度函数。
2. 方差：用来描述随机变量取值的离散程度。
对于离散随机变量X，方差的计算公式为Var(X) = Σ((x-E(X))^2·P(X=x))；对于连续随机变量X，方差的计算公式为Var(X) = ∫((x-E(X))^2·f(x))dx。
三、期望与方差的计算1. 期望的计算方法：a. 对于离散随机变量：根据期望的计算公式，计算每个取值的概率乘以相应取值的结果，然后将这些结果相加即可。
b. 对于连续随机变量：根据期望的计算公式，计算每个取值的概率密度函数乘以相应取值的结果，然后对这些结果进行积分即可。
2. 方差的计算方法：a. 对于离散随机变量：先计算每个取值与期望的差的平方乘以相应取值的概率，然后将这些结果相加即可。
b. 对于连续随机变量：先计算每个取值与期望的差的平方乘以相应取值的概率密度函数，然后对这些结果进行积分即可。
高中数学知识点总结及公式大全概率与统计中的期望与方差计算高中数学知识点总结及公式大全：概率与统计中的期望与方差计算概率与统计是高中数学的重要内容之一，其中期望与方差的计算是概率与统计中的基本概念。
本文将对高中数学中的概率与统计知识进行总结，并给出相关公式的大全，特别是期望与方差的计算方法。
一、概率与统计的基本概念概率与统计是研究随机事件规律性的数学课程。
概率是指某一随机事件在所有可能发生的事件中占据的比例，统计是通过对随机事件进行观察和实验来得到一些可靠的结论。
在概率与统计中，常用的基本概念包括样本空间、随机变量、事件和概率等。
样本空间是指随机试验中所有可能结果的集合，而随机变量是将样本空间中的元素与对应的实数相联系的函数。
事件是指样本空间的一个子集，概率则是事件发生的可能性大小。
二、期望的计算公式期望是描述随机变量平均取值的指标，表示随机变量平均取值的大小。
下面是一些常见的期望计算公式。
1. 离散型随机变量的期望计算公式：设离散型随机变量X的概率函数为P(X=k)，其期望E(X)的计算公式为：E(X) = Σk·P(X=k)2. 连续型随机变量的期望计算公式：设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，其期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫x·f(x)dx三、方差的计算公式方差是用来衡量随机变量的离散程度，表示随机变量取值与其期望值之间的偏离程度。
下面是一些常见的方差计算公式。
1. 离散型随机变量的方差计算公式：设离散型随机变量X的概率函数为P(X=k)，其方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = Σ[(X-k)^2·P(X=k)]2. 连续型随机变量的方差计算公式：设连续性随机变量X的概率密度函数为f(x)，其方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(X-μ)^2·f(x)]dx其中，μ代表随机变量X的期望。
四、概率与统计公式大全除了期望与方差的计算公式外，概率与统计领域还有一些其他重要的公式，如下所示：1. 加法公式：对于两个事件A和B，加法公式表示两个事件同时发生的概率为：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)2. 乘法公式：对于两个相互独立的事件A和B，乘法公式表示两个事件同时发生的概率为：P(A ∩ B) = P(A) · P(B)3. 条件概率公式：对于事件A和B，条件概率公式表示在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率为：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)4. 贝叶斯公式：贝叶斯公式是一种计算条件概率的方法，表示在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率为：P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)5. 期望与方差的计算公式，在前面已经详细介绍。
高考数学一轮复习必备：第90课时：第十章排列组合和概率随机变量的分布列期望和方差课题：随机变量的分布列、期望和方差教学目的：1．通过本课的教学，对本单元知识内容进行梳理，加深有关概念的明白得，在综合运用知识能力上提高一步。
2．通过对几道例题的讲解、讨论和进一步的练习，提高学生灵活运用本单元知识解决咨询题的能力。
教学重点、难点：关于离散型随机变量，我们关怀的是它会取哪些值、取这些值的概率、取值的平均值、稳固性等．这部分内容的有用性较强，教学过程中，要重点引导学生分析、解决一些实际咨询题，提高学生综合运用知识解决实际咨询题的能力．教学过程：12.性质在分析和研究上述例子的基础上，概括出：一样地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1, x2, …，xi,…,离散型随机变量的分布列的两个简单性质：(1) Pi≥0，I=1，2，…；(2) P1 +P2+ (1)3．讲参考例题例1 一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球的一半，现从该盒中随机取出一个球，假设取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得-1分，试写出从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列。
解：设黄球的个数为n，依题意明白绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中球的总数为7n。
71n 7n )0(P ,72n 7n 2)1(P ,74n 7n 4)1(P ===ξ==-=ξ===ξ∴例2 次，而随机终止。
设分裂n 次终止的概率是）（⋯=,3,2,1n 21n 。
记ξ为原物体在分裂终止后所生成的子块数目。
求P(ξ≤10)。
因此 P(ξ≤10)= P(ξ=2)+ P(ξ=4) +P(ξ=8) =2+4+8=8例3((2000年高考题)某厂生产电子元件，其产品的次品率为5％。
现从一批产品中任意的连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布。
解：依题意，随机变量ξ~B〔2，5%〕。
因此， 0025.0%5C 2)P(095.0%95%5C 1)P(9025.0%95C 0)P(22212202===ξ===ξ===ξ）（））（（，）（例4．重复抛掷一枚骰子5次，得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)。
方差的计算公式高中数学
方差是用来表示一组数据中数值分布的离散程度的统计指标，即分布离散程度越大时，方差也越大。
可以说，方差是衡量数值分布的离散程度的一个重要参数。
从统计学的角度来看，通过方差的计算可以获得一组数据的分布特征，是描述数据分布状况的重要指标。
计算方差的公式
方差的计算公式可以用以下公式表示：Var(X) = (Xi - X )2 / n
其中，(Xi - X )2离差平方和，X示样本数据的平均值，n表示样本个数。
这个公式很容易理解，即在样本数据中，每个数据值与样本均值之差的平方和除以样本数量，得出的结果即为方差。
在高中数学中，方差的计算公式被大量用于描述统计分布的特征，包括正态分布、均值分布、方差分布等。
此外，方差是做相关分析时的重要参考值，可衡量两个变量是否具有相关性。
如何应用方差的计算公式
我们可以通过方差的计算公式来分析样本数据的特征，以及检验两个变量之间的关联性。
如果方差较大，表明样本数据的分布比较离散，数据比较分散；而若方差较小，则样本数据的分布比较紧密，比较集中。
同时，可以利用方差来检验两个变量之间是否有因果关系，即检验它们之间是否有线性回归关系。
若方差较小，表明两个变量之间有较强的线性回归关系；而若方差较大，则说明两个变量之间没有线性关系。
结论
方差是统计学中对数据分布特征的重要参考值，它可以用来分析数据特征和检验因果关系。
在高中数学中，方差也是非常重要的概念，学生要掌握方差的计算公式，理解它的应用。
掌握所学知识，方便我们实际应用，更好地分析各种数据，以提高科学判断的准确性，解决实际问题。
- 1 -。
概率论中的期望与方差计算技巧概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件的规律性。
在概率论中，期望和方差是两个重要的概念，它们能够帮助我们描述和分析随机变量的特征和变异程度。
本文将介绍一些计算期望和方差的技巧，帮助读者更好地理解和应用概率论。
首先，我们来了解一下期望的概念。
在概率论中，期望是随机变量的平均值，它是对随机变量取值的加权平均。
对于离散型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，X表示随机变量，x表示随机变量的取值，P(X=x)表示随机变量取值为x的概率。
这个公式的意义是，将每个取值乘以其对应的概率，然后将所有结果相加，即可得到期望。
对于连续型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)表示随机变量的概率密度函数。
这个公式的意义是，将每个取值乘以其对应的概率密度，然后对所有结果进行积分，即可得到期望。
接下来，我们来讨论一下方差的计算技巧。
方差是用来衡量随机变量的离散程度的指标，它表示随机变量与其期望之间的差异。
方差的计算公式为：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中，E(X)表示随机变量的期望。
这个公式的意义是，将随机变量与其期望的差值平方，然后对所有结果进行加权平均，即可得到方差。
在实际计算中，计算期望和方差可能会遇到一些复杂的情况。
下面，我们将介绍一些常见的计算技巧，帮助读者更好地应用概率论。
首先，对于独立随机变量的期望和方差计算，可以利用期望和方差的性质进行简化。
如果X和Y是独立随机变量，那么它们的期望和方差的计算可以分别简化为：E(X+Y) = E(X) + E(Y)Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)这个性质在实际计算中非常有用，可以简化复杂问题的求解过程。
其次，对于二项分布和泊松分布的期望和方差计算，可以利用分布的特性进行简化。
对于二项分布，期望和方差的计算公式为：E(X) = npVar(X) = np(1-p)其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
高考数学必考题型整理高考数学必考题型整理一1、三角函数、向量、解三角形(1)三角函数画图、性质、三角恒等变换、和与差公式。
(2)向量的工具性(平面向量背景)。
(3)正弦定理、余弦定理、解三角形背景。
(4)综合题、三角题一般用平面向量进行“包装”，讲究知识的交汇性，或将三角函数与解三角形有机融合，重视三角恒等变换下的性质探究，重视考查图形图像的变换。
2、概率与统计(1)古典概型。
(2)茎叶图。
(3)直方图。
(4)回归方程(2x2列联表)。
(5)(理)概率分布、期望、方差、排列组合。
概率题贴近生活、贴近实际，考查等可能性事件、互斥事件、独立事件的概率计算公式，难度不算很大3、立体几何(1)平行。
(2)垂直。
(3)角a:异面直线角 b:(理)二面角、线面角。
(4)利用三视图计算面积与体积。
(5)文理有一定的差别，理科相关题目既可以用传统的几何法，也可以建立空间直角坐标系，利用法向量等。
文科对立体几何的考查主要是空间中平行、垂直关系的判断与证明，表面积体积的计算,直线与平面所成角的计算。
理科对立体几何的考查主要是空间中平行、垂直关系的判断与证明，表面积体积的计算, 各类角的计算。
4、数列(1)等差数列、等比数列、递推数列是考查的热点，数列通项、数列前n项的和以及二者之间的关系。
(2)文理科的区别较大，理科多出现在压轴题位置的卷型，理科注重数学归纳法。
(3)错位相减法、裂项求和法。
(4)应用题。
5、圆锥曲线(椭圆)与圆(1)椭圆为主线，强调圆锥曲线与直线的位置关系，突出韦达定理或差值法。
(2)圆的方程，圆与直线的位置关系。
(3)注重椭圆与圆、椭圆与抛物线等的组合题。
6、函数、导数与不等式(1)函数是该题型的主体：三次函数，指数函数，对数函数及其复合函数。
(2)函数是考查的核心内容，与导数结合，基本题型是判断函数的单调性，求函数的最值(极值)，求曲线的切线方程，对参数取值范围、根的分布的探求，对参数的分类讨论以及代数推理等等。
常见分布函数的期望和方差
六种常见分布的期望和方差：
1、0-1分布
已知随机变量X，其中P{X=1} = p，P{X=0} = 1-p，其中0 < p < 1，则成X 服从参数为p的0-1分布。
其中期望为E（X）= p，方差D（X）= p（1-p）。
2、二项分布
n次独立的伯努利实验（伯努利实验是指每次实验有两种结果，每种结果概率恒定，比如抛硬币）。
其中期望E（X）= np，方差D（X）= np（1-p）。
3、泊松分布
其概率函数为P{X=k}=λ^k/(k!e^λ) k=0，1，2…...k代表的是变量的值。
其中期望和方差均为λ。
4、均匀分布
若连续型随机变量X具有概率密度，则称X在（a，b）上服从均匀分布。
其中期望E（X）= （a+b）/ 2 ，方差D（X）= （b-a）^2 / 12。
5、正态分布
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。
当μ= 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。
其中期望是u，方差是σ的平方。
6、指数分布
若随机变量x服从参数为λ的指数分布，则记为X~E（λ）。
其中期望是E(X)=1/λ，方差是D(X)=1/λ。
课时考点19 统计-----随机变量的分布列和期望高考考纲透析：等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差高考风向标：离散型随机变量的分布列、期望和方差热点题型1 n 次独立重复试验的分布列和期望 [样题1] (2005年高考·全国卷II ·理19)甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P （ξ＝3）＝330.60.40.28+= 比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜。
因而P （ξ＝4）＝2230.60.40.6C ⨯⨯⨯＋2230.40.60.40.3744C ⨯⨯⨯=比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。
因而P （ξ＝5）＝22240.60.40.6C ⨯⨯⨯＋22240.40.60.40.3456C ⨯⨯⨯=所以ξ的概率分布为ξ的期望E ξ＝3×P （ξ＝3）＋4×P （ξ＝4）＋5×P （ξ＝5）＝4.0656变式新题型1.(2005年高考·浙江卷·理19)袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是31．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率． (Ⅱ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i) 求恰好摸5次停止的概率； (ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．解：(Ⅰ) 333512140333243C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(Ⅱ)（i ）2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-，得()50513*******P C ξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()323511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是32808017131012324324324324381E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=热点题型2 随机变量ξ的取值范围及分布列[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE . 解法一：（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 解法二：（Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）.变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0 2，若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求：（Ⅰ）一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字）； （Ⅱ）一周5个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）解：以ξ表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则ξ~B （5，0 2）).5,4,3,2,1,0(8.02.0)(55=⨯⨯==-k C k P k k k ξ （Ⅰ）.21.08.02.0)2(3225≈⨯⨯==C P ξ（Ⅱ）以η表示利润，则η的所有可能取值为10，5，0，－2.328.08.0)0()10(5≈====ξηP P.410.08.02.0)1()5(4115≈⨯⨯====C P P ξη .205.08.02.0)2()0(3225≈⨯⨯====C P P ξη.7()2(≥=-=ξηP P的概率分布为利润的期望=10×0 328+5×（万元）[样题3] (2005年高考·江西卷·理19)A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求ξ的取值范围； （2）求ξ的数学期望E ξ.解：（1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=+=-915||ξξn m n m ，可得：.9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当ξξξξ===============n m n m n m n m n m n m（2）;645)21(2)7(;161322)21(2)5(7155=====⨯==C P P ξξ .322756455964571615;64556451611)9(=⨯+⨯+⨯==--==ξξE P变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击一次命中率为0．8，（1）求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列．（2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率。
每日练习 导数大题 证明 期望方差1．已知函数))(1ln(1)(R a x a xx x f ∈+-+=，)()(2R m e x x g m x ∈=. （1）当1=a 时，求函数)(x f 的最大值；（2）若0<a ，且对任意的)(1)(],2,0[,2121x g x f x x ≥+∈恒成立，求实数m 的取值范围.2．已知函数f （x ）=，g （x ）=e x+m，其中e=2.718…． （1）求f （x ）在x=1处的切线方程；（2）当m≥﹣2时，证明：f （x ）＜g （x ）．3．已知函数xa x x f -=ln )(,x ax x f x g ln 6)()(-+=，其中∈a R. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x g 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围；（3）设函数4)(2+-=mx x x h ,当2=a 时，若)1,0(1∈∃x ，]2,1[2∈∀x ，总有)()(21x h x g ≥成立，求实数m 的取值范围．4．已知函数3()3f x x x =-（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[-3,2]上的最值．5．已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值。
6．已知函数1ln (),.mx f x m x -+=∈R（I ）若1m =，判断函数在定义域内的单调性；（II ）若函数在(1,)e 内存在极值，求实数m 的取值范围。
7．若函数4)(3+-=bx ax x f ．当2=x 时，函数)(x f 取得极值4-3． （1）求函数的解析式；（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围．8．设3()32f x ax x =++有极值，（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）求极大值点和极小值点.9．已知函数f(x)＝lnx －ax .(1)当0>a 时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为23，求a 的值.⎩⎨⎧>≤-=1,ln 1,)(23x x x x x x f )(x fc x x f +≤)(R x ∈c11．已知R a ∈，设函数1ln 3)(+-=x a x x f（1）若e a 3=)(为自然常数e ，求函数)(x f 在]2,0[e 上的最小值（2）判断函数)(x f 的单调性12．已知函数32()3(,)f x ax bx x a b R =+-∈，且()f x 在1x =和3x =处取得极值.（1）求函数()f x 的解析式.（2）设函数()()g x f x t =+，是否存在实数t ，使得曲线()y g x =与x 轴有两个交点，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.13．已知()322f x axax b =-+在区间[],21-上最大值是5，最小值是－11，求()f x 的解析式.14．已知函数2()ln(1)(0)'(0) 2.f x x f x f x=+--+ （1）求()f x 的解析式及减区间；（2）若()23,2b f x xax b a -≤+++求的最小值。
15．设函数.(I)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求的值;(II)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;(III)当时,求函数在区间上的最大值 16．已知函数x ax x x f 22131)(23+-=，讨论()f x 的单调性. 17．已知函数f(x)=ln(1+x)－x x +1. (1)求f(x)的极小值; (2)若a 、b>0,求证:lna －lnb ≥1－ab . 18． 设321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中a R ∈．（1）若()f x 有极值，求a 的取值范围；（2）若当0x ≥，()0f x >恒成立，求a 的取值范围．19．（本小题满分12分）设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++.（1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x=，求实数a 的值； （2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在,求出a 的值；若不存在，说明理由.20．(本小题满分14分)已知函数3()3f x x ax b =-+在1x =处有极小值2。
（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若函数()'()233m g x f x x =-+在[0,2]只有一个零点，求m 的取值范围。
21．（本小题满分13分）已知函数2()ln(1)()f x x ax a x a R =---∈(1) 当1a =时，求函数()f x 的最值；(2) 求函数()f x 的单调区间；22．（本小题满分12分）设函数()2()1x f x x eax =-- （Ⅰ）若12a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当x ≥0时()f x ≥0，求a 的取值范围．23．（本题满分15分）已知函数)()(2R a e ax x f x ∈-=，()f x '是()f x 的导函数（e 为自然对数的底数） （Ⅰ）解关于x 的不等式：()()f x f x '>；（Ⅱ）若)(x f 有两个极值点12,x x ，求实数a 的取值范围． 24．（本题满分12分）已知c bx ax x x f +++=33)(23在2=x 处有极值，其图象在1=x 处的切线与直线0526=++y x 平行.（1）求函数的单调区间；（2）若]3,1[∈x 时，241)(c x f ->恒成立，求实数c 的取值范围。
25．（本小题满分12分）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点与极值.26．已知221,,2,12x R a x b x c x x ∈=+=-=-+，试证明,,a b c 至少有一个不小于1.27．已知a >0，求证： 221a a +－2≥a ＋1a －2.28．已知R d c b a ∈、、、，且,11>+=+=+bd ac d c b a ，求证：d c b a 、、、中至少有一个是负数。
29．设,,1,||1,a b R a b ∈<<求证:11a b ab +<+ 30．已知c b a a c c b b a b a b a c b a ++≥++-≥2222)2(,21,,）都是正实数，求证（31．（本小题12分）若,0x y >且2x y +>，求证12x y +<和12y x +<中至少有一个成立。
32．用分析法证明：若0a >，则221122a a a a +-+-≥．33．证明：如果,0,0b a b a ≠>>且求证：2233ab b a b a +>+34．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a b c >>，且0a b c ++=，则23b ac a -<．35．已知a ＞0,b ＞0,且a+b=1,试用分析法证明不等式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 11≥425. 36．已知a ＞0,求证：221a a +-2≥a+a 1-2. 37． 设a,b,c ＞0,证明：a c c b b a 222++≥a+b+c.38．已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c +≥--- 39．ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列，求证：c b a c b b a ++=+++311 40．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的,,A B C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12．假设该网民是否购买这三种商品相互独立．（1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量h 表示该网民购买商品的种数，求h 的概率分布和数学期望．41．（本小题共13分）某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．42．（本小题满分12分）由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市政府决定从今年3月份开始进行汽车尾气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示.节排器等级如表格所示综合得分K的范节排器等级围K一级品85≥≤k二级品8575<≤k三级品70<75若把频率分布直方图中的频率视为概率，则（1）如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，然后从这10件中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，求其二级品数X的分布列及数学期望.43．在10个同样型号的产品中，有8个是正品，2个是次品，从中任取3个，求（1）其中所含次品数 的期望、方差；（2）事件“含有次品”的概率。
44．一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分．经过多次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋．(1)求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率；(2)求该人两次投掷后得分ξ的数学期望Eξ.45．为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为2.3(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试写出X的分布列，并求X 的数学期望．46．市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是1，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概10，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．率都是15(1)求李先生的小孩按时到校的概率；(2)李先生是否有七成把握能够按时上班？(3)设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X 的均值．47．记者在街上随机抽取10人，在一个月内接到的垃圾短信条数统计的茎叶图如下:（Ⅰ）计算样本的平均数及方差；（Ⅱ）现从10人中随机抽出2名，设选出者每月接到的垃圾短信在10条以下的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．48．从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则试验结束.（1）求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率；（2）记试验次数为X，求X的分布列及数学期望()E X．49．某中学经市批准建设分校，工程从2010年底开工到2013年底完工，分三期完成，经过初步招标淘汰后，确定由甲、乙两建筑公司承建，且每期工程由两公司之一独立完成，必须在建完前一期工程后再建后一期工程，已知甲公司获得第一期，第二期，第三期工程承包权的概率分别是34，12，14．(I)求甲乙两公司均至少获得l期工程的概率；(II)求甲公司获得的工程期数的分布列和数学期望E(X)．50．某企业招聘工作人员，设置A、B、C三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙、丁两人各自独立参加B组测试．已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为13，丙、丁两人各自通过测试的概率均为12．戊参加C组测试，C组共有6道试题，戊会其中4题.戊只能且必须选择4题作答，答对3题则竞聘成功.（Ⅰ）求戊竞聘成功的概率；（Ⅱ）求参加A组测试通过的人数多于参加B组测试通过的人数的概率；（Ⅲ）记A、B组测试通过的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望. 51．某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“极幸福”的人数，求X的分布列及数学期望.52．某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记X为选取女生的人数，求X的分布列及数学期望．53．甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7、8、9、10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下：若将频率视为概率，回答下列问题：（1）求表中x，y，z的值及甲运动员击中10环的概率；（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率；（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求ξ的分布列及.Eξ54．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.的概率均为1,2（I）求第4局甲当裁判的概率；（II）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.55．为了响应学校“学科文化节”活动，数学组举办了一场数学知识比赛，共分为甲、乙两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的学生中，每组各任选2个学生，作为数学组的活动代言人．（1）求选出的4个学生中恰有1个女生的概率；（2）设X 为选出的4个学生中女生的人数，求X 的分布列和数学期望．56． 某人上楼梯，每步上一阶的概率为23，每步上二阶的概率为13，设该人从台阶下的平台开始出发，到达第n 阶的概率为nP .(1)求2P ；;(2)该人共走了5步，求该人这5步共上的阶数ξ的数学期望. 57．一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X 为取出3球中白球的个数，已知215)3(==X P ．（Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望．58．某商场共五层，从五层下到四层有3个出口，从三层下到二层有4个出口，从二层下到一层有4个出口，从一层走出商场有6个出口。
